中山一中2020届高一第二学期第二次段考(数学)试题卷含答案

广东省中山市2019-2020学年高一下学期期末水平测试数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知扇形的圆心角为2rad ，半径为2cm ，则这个扇形的面积是（ ） A ．4 2cm B ．4π2cm C ．2 2cm D ．1 2cm2.已知2sin 3α=，则cos2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．53-B ．23-C ．53D ．233.下列各组向量中，能作为平面上一组基底的是（ ）A ．()10,2e =u r ，()20,1e =-u u rB ．()12,1e =u r ，()20,0e =u u rC ．()13,1e =u r ，255,3e ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u r D ．()12,1e =-u r ，()24,2e =u u r4.如图所示，向量OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，A 、B 、C 在一条直线上，且4AC BC =u u u r u u u r，则（ ）A ．1322c a b =+r r rB ．3122c a b =-r r rC ．2c a b =-+r r rD ．1433c a b =-+r r r5.如图，在半径为4的大圆中有三个小半圆1O ，2O ，3O ，其半径分别为1，2，1，若在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．716B ．58C ．38D ．146.执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为5，则输S 出的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．127.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：若将运动员按成绩好到差编为1-35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[]139,151上的运动员人数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 8.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，πϕπ-<<）的部分图象如图所示，为了得到()3sin 2gx x =的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移23π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移23π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度 9.《周易》历被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“------”当作数字“1”，把阴爻“--- ---”当作数字“0”，则八卦代表的数表示如下：以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15 10.已知()111,P x y ，()222,P x y 是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，12POP θ∠=（θ为钝角），若3sin 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1212x x y y +的值为（ ） A ．55 B ．1010 C ．1010- D ．210-11.过点()3,0P-作直线()20ax a b y b +++=（a ，b 不同时为0）的垂线，垂足为M ，点()2,3N，则MN 的取值范围是（ ）A ．5⎡-+⎣B ．)5⎡⎣C ．(5,5+D ．(0,5+12.已知函数()()f x x ωϕ=+（其中0ω>，ϕ为常数）的图像关于直线2x π=对称且318f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，在区间3,84ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调，则ω可能取数值的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设向量()1,2a =r ，()1,b x =-r，若a r 与b r 垂直，则x 的值为 ．14.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，现部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，其余6个数字表示不下雨：产生了20组随机数：则这三天中恰有两天降雨的概率约为 ．15.当曲线1y=+与直线240kx y k --+=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是 ．16.平面四边形ABCD 中，AC BD ⊥且2AC =，3BD =，则AC CD u u u r u u u rg的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知点()3,1M，圆()()22124x y -+-=.（1）求过点M 的圆的切线方程；（2）若直线40ax y -+=与圆相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为，求a 的值.18.已知4a =r ，3b =r ，()()23261a b a b -+=r r r r.（1）求向量a r 与b r向量的夹角；（2）求a b +r r.19.“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设节约型社会而发布的公益广告里的一句话，活动组织者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了120名年龄在[)10,20，[)20,30，…，[)50,60的市民进行问卷调查，由此得到的样本的频率分布直方图如图所示.（1）根据直方图填写频率分布统计表；（2）根据直方图，试估计受访市民年龄的中位数（保留整数）； （3）如果按分层抽样的方法，在受访市民样本年龄在[)40,60中共抽取5名市民，再从这5人中随机选2人作为本次活动的获奖者，求年龄在[)40,50和[)50,60的受访市民恰好各有一人获奖的概率.分组频数 频率 [)10,20 18 0.15 [)20,30 30 [)30,40 [)40,50 0.2 [)50,6060.0520.设函数()22cos 22cos 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，x R ∈. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 的图像向右平移3π个单位长度后得到函数()gx 的图像，求函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 21.某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(),i i x y （1,2,,6i =L ），如表所示：已知80y=.（1）求的值q ；（2）已知变量x ，y 具有线性相关性，求产品销量y 关于试销单价x 的线性回归方程$$y bxa =+$，可供选择的数据613050i i i x y ==∑，621271i i x ==∑. （3）用$y 表示（2）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值，当销售数据(),i i x y （1,2,,6i =L ）对应的残差的绝对值µ1i i y y -≤时，则将销售数据(),i i x y 称为一个“好数据”，试求这6组销售数据中的“好数据”.参考数据：线性回归方程中b$，$a 的最小二乘法估计公式分别是1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑$，$ay bx =-$. 22.定义非零向量(),OM a b =u u u u r的“相伴函数”为()sin cos f x a x b x =+（x R ∈），向量(),OM a b =u u u u r称为函数()sin cos f x a xb x =+的“相伴向量”（其中O 为坐标原点），记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S . （1）已知()()cos 2cos 6hx x x πα⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭（R α∈），求证：()h x R ∈，并求函数()h x 的“相伴向量”模的取值范围；（2）已知点(),OM a b =u u u u r （0b ≠）满足(()2211a b -+-=，向量OM u u u u r 的 “相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值，当点M 运动时，求0tan 2x 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5 ABDDA 6-10 CBBBD 11、12：AA二、填空题 13.12 14. 14 15. 53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦16. 134- 三、解答题17. 解：（1）由圆的方程得到圆心()1,2，半径2r =，当直线斜率不存在时，方程3x =与圆相切，当直线斜率存在时，设方程为()13y kx -=-，即130kx y k -+-=，2=，解得34k =， ∴ 方程为()3134y x -=-，即3450x y --=， 则过点的切线方程为3x =或3450x y --=. （2）∵ 圆心到直线40ax y -+=的距离为d =，∴2242⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：34a =-. 18. 解：（1）∵ ()()23261a b a b -+=r r r rg ，∴ 2244361a a b b --=r r r r g ，∴ 224443361a b ⨯--⨯=r r g， ∴ 6a b =-r rg， ∴ 61cos ,432a b a b a b -===-⨯r rr r g r r ，由于[]0,θπ∈，∴ 向量a r 与向量b r 的夹角为23π.（2）∵ 222a b a a b b +=++r r r r r r g 22142433132⎛⎫=+⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，∴a b +=r r19. 解：（1）（2）受访市民年龄的中位数为：()0.50.015100.02510300.035-⨯+⨯+100303335=+≈（岁）.（3）样本年龄在[)40,50中的有24人，在[)50,60中的有6人，则按分层抽样的受访市民年龄在[)40,50中有245430⨯=人，分别记为1a ，2a ，3a ，4a ，在[)50,60中的有65130⨯=人，记为b ，从已抽取的5人中任选2人的所有可能为()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()1,a b ，()23,a a ，()24,a a ，()2,a b ，()34,a a ，()3,a b ，()4,a b ，共10种，记“年龄在[)40,50和[)50,60的受访市民恰好各有一人获奖”为事件A ，则事件A 包括()1,a b ，()2,a b ，()3,a b ，()4,a b 共4种，故年龄在[)40,50和[)50,60的受访市民恰好各有一人的概率为()42105P A ==. 20. 解：（1）()22cos 22cos 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos2sin 21cos222x x x =--++1cos22122x x =-+ cos 213x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴ 函数()f x 的最小正周期为π，由2223k x k ππππ≤+≤+解得63k x k ππππ-≤≤+，∴,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）由（1）得()cos 21cos 21333gx x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∵ 02x π≤≤，∴ 22333x πππ-≤-≤， ∴ 1cos 2123x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴1cos 21223x π⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的取值范围为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21. 解：（1）根据题意，计算()184837568806yq =++++=，解得90q =. （2）计算()1456789 6.56x =⨯+++++=， ∴ 23050680 6.542716 6.5b-⨯⨯==--⨯$，$()804 6.5106a =--⨯=， ∴ y 关于x 的回归方程是$4106y x =-+. （3）∵ 回归方程为$4106y x =-+， ∴ µ114106y x =-+µ1190909001y y =-=-=<，∴ ()()11,4,90x y =是好数据；µµ2222410686y x y y =-+=-868421=-=>，∴ ()()22,5,84x y =不是好数据； µµ3333410682y x y y =-+=-828311-==，∴ ()()33,6,83x y =是好数据； µµ4444410678y x y y =-+=-788021-=>，∴ ()()44,7,80x y =不是好数据； µµ5555410674y x y y =-+=-747511-==，∴ ()()55,8,75x y =是好数据； µµ6666410670y x y y =-+=-706821-=>，∴ ()()66,9,68x y =不是好数据；∴ 好数据为()4,90，()6,68，()8,75.22. 解：（1）()()cos 2cos 6h x x x πα⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭12sin sin 2cos cos 22x x αα⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ ()h x的相伴向量12sin 2cos 2OM αα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，∴ ()h x R ∈， ∵OM =u u u ur = ∵ R α∈，∴ []sin 1,13πα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴ []1,3OM ∈u u u u r .（2）OM uuuu r 的相伴函数()sin cos f x a x b x =+()x ϕ=+，其中cos ϕ=sin ϕ=当22x k πϕπ+=+，k Z ∈即022x k ππϕ=+-，k Z ∈时()f x 取得最大值，∴ 0tan tan 2cot 2a x k b ππϕϕ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭，∴ 002022tan 2tan 21tan 1ax b x b a x a a b b ===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ab为直线OM的斜率，又满足(()2211a b +-=，∴a b⎡∈⎣，∴,3b a a b ⎛⋅∈-∞ ⎝⎦，∴ ())0tan 2,0x ∈-∞+∞U .。

中山一中2020届高一第二学期第一次段考语文试题卷一、现代文阅读（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1-3题。

相对来说，宋代文化环境比较宽松，士人群体活跃，“开口揽时事，论议争煌煌”，正是在这样相对开明、宽松的环境下，宋代社会充满活力，大师、精英辈出，由这种开放氛围孕育出一种开创精神。

葛兆光先生曾说，唐文化是“古典文化的巔峰”，而宋文化则是“近代文化的滥觞”。

这两者的区别，简单来概括，就是出现了“平民化、世俗化、人文化”的趋势。

比较唐宋两代都城，能直观感受到两类都市格局和它所呈现的不同气象。

唐代长安城的布局非常严整，而宋代开封相对来说商业气氛比较浓重。

唐代居民住宅区基本上是坊式结构，“坊”在某种意义上接近于封闭的小区。

而宋代城市结构，基本是一种长巷式、街区式的布局，是一种开敞式的氛围，南宋都城临安也是如此。

两宋时期，文学重心逐渐下移，文学体裁从诗文扩大到词曲、话本小说，与市井有了更密切的关系；创作主体从士族文人扩大到庶族文人乃至市井文人；文学的接受者扩大到市民以及社会大众。

当时都市的街头巷尾，活跃着一些讲史，说书的艺人，他们不仅是故事情节的传布者，也是文学作品的丰富者、参与创造者。

而生活在市井中的普通民众，也成为文学艺术的直接欣赏者和接受者。

在道路通衢、瓦肆勾栏，有杂耍的、说书的、讲史的，也有街头的饮茶活动，这些都是市民文化勃兴的重要标志。

通过读书、科举、仕宦、创作、教学、游赏等活动，宋代的文人士大夫结成了多种类型、不同层次的交游圈，像真率会、同乡会、同年会等各种各样的聚会形式，层出不穷。

有时，“者老者六七人，相与会于城中之名园古寺，且为之约；果实不过五物，殽膳不过五品，酒则无算。

以为俭则易供，简则易继也。

命之曰‘真率会’”。

都市中的茶楼、酒肆，成为文人交往、会聚的场所。

一些私人的花园、亭馆也成了士人交游访友的去处。

士人也将茶具、酒器、梅花、新茶等作为重要的礼品彼此互赠。

2024-2025学年广东省中山一中高二（上）第二次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线x+y+1=0的倾斜角是( )A. 30°B. 60°C. 45°D. 135°2.若圆(x−a)2+(y+1)2=3关于直线5x+4y−a=0对称，则a=( )A. −1B. 1C. 3D. −33.已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0,−3)，F2(0,3)，P是双曲线上一点且||PF1|−|PF2||=4，则双曲线的标准方程为( )A. x24−y25=1 B. x25−y24=1 C. y24−x25=1 D. y25−x24=14.如图1，某家用电暖气是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成，为了更好利用热效能，反射面设计成抛物面(抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面)，热馈源安装在抛物线的焦点处，圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径．图2是该电暖气的轴截面，防护罩的宽度AD等于热馈源F到口径AB的距离，已知口径长为40cm，防护罩宽为15cm，则顶点O到防护罩外端CD的距离为( )A. 25cmB. 30cmC. 35cmD. 40cm5.已知直线l过定点A(2,3,1)，且n=(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为( )A. 322B. 22C. 102D. 26.如图所示，二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB =4，AC =6，BD =8，CD =2 17，则该二面角的大小为( )A. π6 B. π4C. π3D. π27.如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使杯底与水平桌面成30°，此时杯内水面成椭圆形，此椭圆的离心率为( )A.32B.34C. 12D. 148.与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心，如图1所示，已知F 1，F 2是双曲线x 29−y 216=1的左右焦点，P 是双曲线右支上一点，Q 是△PF 1F 2的一个旁心，如图2所示，直线PQ 与x 轴交于点M ，则|MQQP |=( )A. 34B. 43C. 32D. 53二、多选题：本题共4小题，共20分。

中山市第一中学2019—2020学年度第一学期高一级 第二次段考 数学试题满分150分，时间120分钟 命题人： 审题人：第Ⅰ卷（共52分）一、选择题（共10个小题,每小题4分，共40分．每题只有一项是符合题目要求．） 1．若集合2{|20},{|21}x M x x x N y y =-<==+，则MN =（ ）A.(0,2)B.(1,2)C.(0,1)D. ∅2．下列说法正确的是（ ）A ．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；B ．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；C ．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．D ．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥． 3．平行于同一平面的两条直线的位置关系是（ ）A ． 平行B ． 相交C ．异面D ．平行、相交或异面 4．若()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x+=+，则(2)f =（ ）A.0B.1C.83D.45．函数()f x =）A ．(],5-∞-B ．(],2-∞-C ．[)2,-+∞D ．[)1,+∞ 6．函数()()20622x x f x x -=<≤-的图象大致形状为（ ）A B C D7．若 1.21()3a -=，523b =，0.5log 0.6c =，则（ ）A ．c a b <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<8．已知函数()f x 的图像是连续不断的，有如下x ，()f x 对应值表：函数()f x 在区间[1,6]上有零点至少有（ ）A ． 2个 B. 3个 C .4个 D. 5个 9．下列说法不正确的是 ( )A ．三角形一定是平面图形B ．若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形C ．圆心和圆上两点可确定一个平面D ．三条平行线最多可确定三个平面10．若直角坐标平面内的两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()y f x =的图象上；②,P Q 关于原点对称．则称点对(,)P Q 是函数()y f x =的一对“友好点对”，(点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一对“友好点对”)．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩()01a a >≠且，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则a 的取值范围是（ ）A ． 114⎛⎫⎪⎝⎭，B ．()114⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,4 C ．()111+4，，⎛⎫∞⎪⎝⎭D ．()11+4⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，4，二、选择题（共3个小题,每小题4分，共12分．每题有多个选项是符合题目要求．全对得4分，有错选的得0分，部分选对的得2分）11．用一个平面去截一个正方体，所得的截面可能是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形12．一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，在此几何体中，给出的下面结论中正确的有（ ） A ．直线AE 与直线BF 异面 B ．直线AE 与直线DF 异面 C ．直线EF ∥平面PAD D ．直线EF ∥平面ABCD13．对于定义域为D 的函数()f x ，若存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在[],m n 上是单调的；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n ，则称[],m n 为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（ ）A ．()2f x x =B ．()23f x x=-C ．()22f x x x =- D ．()ln 2f x x =+第Ⅱ卷（共98分）三、填空题（每小题4分，满分16分.）14．幂函数()f x x α=的图像经过点12（，则()16f =_____． 15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AA 、AB 的中点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______．16．定义在R 上的偶函数()f x 对任意的12,(,0]x x ∈-∞,且12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x -<-，且(1)0f =，则不等式()02f x x <+解集是____________________． 17．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为12cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆使得,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为__________．四、解答题 （本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．（12分）设全集R U =，集合1|2432x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，B ={|13}x x -<< （1）求()U C AB ；（2）若{}|121C x m x m =-<<+．若A C A =，求m 的取值范围．19.（14分）（1）计算：7log 223lg 25lg 47log 3log 4+++⋅；（2）已知11223m m -+=(1m > ) ，求22m m --的值.20．（14分）已知函数()()1f x x R x αα=-∈，且()1522f =-. （1）判断()f x 的奇偶性并证明；（2）判断()f x 在(),0-∞上的单调性，并给予证明．21.（14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，DC AB //，AB CD 2=，E 为棱PD 的中点.（1）求证：AE //平面PBC ；（2）试判断PB 与平面AEC 是否平行？并说明理由.C22．（14分）某公司计划在报刊与网络媒体上共投放30万元的广告费，根据计划，报刊与网络媒体至少要投资4万元．根据市场前期调研可知，在报刊上投放广告的收益P 与广告费x 满足4P =，在网络媒体上投放广告的收益Q 与广告费x 满足122Q x =+，设在报刊上投放的广告费为x (单位：万元)，总收益为()f x (单位：万元).(1)当在报刊上投放的广告费是18万元时，求此时公司总收益；(2)试问如何安排报刊、网络媒体的广告投资费，才能使总收益最大?23．（14分）已知函数()f x 对于任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且1(1)2f =-．（1）求(0)f ，(1)f -的值；（2）当34x -≤≤时，求函数()f x 的最大值和最小值；（3）设函数2()()3()g x f x m f x =--，判断函数g (x ) 最多有几个零点，并求出此时实数m 的取值范围．中山市第一中学2019—2020学年度第一学期高一级 第二次段考 数学参考答案一、选择题三、填空题（每小题4分，满分16分.） 14．4 15．60 16．(,2)(1,1)-∞-- 17．4003π四、解答题 （本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．【解析】（1）{}1|24|5232x A x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，…………… 2分 所以{}|12AB x x =-<≤，…………… 4分所以()U C AB {|12}x x x =≤->或.…………… 6分（2）因为A C A =⇒C A ⊆，…………… 7分①当121m m -≥+，即2m ≤-时，C A =∅⊆，…………… 9分②当C ≠∅，即2m >-时，有15212m m -≥-⎧⎨+≤⎩解得：122m -<≤…………… 11分 综上可知，满足条件的m 的取值范围为12m ≤．…………… 12分 19.解析：（1）原式lg3lg 4lg10022226lg 2lg3=++⋅=++=. ………7分 （2）1122122()37m m m m --+=∴+=………9分12222()747m m m m --+=∴+= 1222()245m m m m ---=+-= ,1m 1m m -∴-=> ………12分2211()()m m m m m m ---∴-=+-= ………14分20．【解析】（1）由()1522f =-得115222α-=-， 解得3α=；………3分 由（1）得()31f x x x=-，定义域为()(),00,-∞+∞关于原点对称，………4分()()3311f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭，………6分∴()f x 为奇函数；………7分 （2）函数()31f x x x=-在(),0-∞上是单调减函数，证明如下：………8分 设()12,,0x x ∈-∞，且12x x < ………9分()()3312121211f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()33121211x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()()212212112212()x x x x x x x x x x -=--++()22211122121()x x x x x x x x=-+++………12分因为120x x <<，所以21120,0x x x x ->>，1210x x >，2222112212213()024x x x x x x x ++=++> ∴ ()()120f x f x ->，即()()12f x f x > ，………13分 所以()31f x x x=-在(),0-∞上是单调减函数. ………14分 21.证明：（1）取PC 的中点F ，连接EF ，BF ，………1分 则EF //DC ，且12EF DC =， 又因为DC AB //，AB CD 2=， 所以EF //AB ，且EF AB =， 所以四边形EFBA 为平行四边形， 则AE //BF ， ………4分 又因为AE ⊄平面PBC ，BF ⊂平面PBC ， 所以AE //平面PBC . …………7分C（2）PB 与平面AEC 不平行. ………8分 假设PB //面AEC ， 设BDAC O =，连结OE ，则平面EAC平面PDB OE =，又PB ⊂平面PDB ， 所以//PB OE . 所以，在PDB ∆中有OB OD =PEED， 由E 为PD 的中点可得1OB PEOD ED==，即OB OD =.………11分 因为//AB DC ，所以12AB OB CD OD ==，这与OB OD =矛盾，………13分 所以假设错误，PB 与平面AEC 不平行. …………14分22．【解析】(1)当18x =时，此时在网络媒体上的投资为12万元，………1分 所以总收益()1184122162f =+⨯+= (万元). ………5分 (2)由题知，在报刊上投放的广告费为x 万元，则在网络媒体上投放广告费为()30x -万元，依题意得4304x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得426x ≤≤，………6分所以()()143022f xx =+-+=1213x -+，426x ≤≤………8分 令t =，则[]2,4t ∈，所以21123yt =-++=21(172t--+.………10分当t =，即8x =万元时，y 的最大值为17万元．………12分所以，当在报刊上投放的8万元广告费，在网络媒体上投放22万元广告费时，总收益最大，且最大总收益为17万元．………14分23．【解析】（1）令0x y ==得()()()000f f f =+，得()00f =. ………2分 令1x =，1y =-，得(0)(1)(1)f f f =+-，解得1(1)2f -=．………4分 (2)任取12,,x x R ∈且12x x <，则210x x ->，………5分因为()()()f x y f x f y +-=，即()()()()f x y f x f x y x f y ⎡⎤+-=+-=⎣⎦，令 21 x x y x x =+=，，则()()()2121f x f x f x x -=-.由已知0x >时，()0f x <且210x x ->，则()210f x x -<， 所以 ()()210f x f x -<，()()21f x f x <， 所以函数()f x 在R 上是减函数，………7分 故 ()f x 在[]3,4-单调递减.所以()()()()max min 3,4f x f f x f =-=，因为(4)(22)(2)(2)2(2)4(1)2f f f f f f =+=+===-，3(3)(21)(2)(1)3(1)2f f f f f -=--=-+-=-=， 故()max 32f x =，()min 2f x =-. ………9分 (3) 令,y x =-代入()()()f x y f x f y +=+， 得()()()00f x f x f +-==，所以()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数. ………10分 ∴()()()23g x f x m fx =-- =()()23f x m f x -+-=()()()()2f x m f x f x f x -+-+-+-()23f x x m =-- ，令()0g x =，即()2300f x x m f --==（），因为函数()f x 在R 上是减函数，所以230x x m --=，即23m x x =-，………13分 所以当9,04m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()g x 最多有4个零点. ………14分。

2022-2023学年广东省中山市高一下学期第二次段考数学试题一、单选题1．sin 70sin10cos10sin 20︒︒︒︒+=（）A ．1B ．12C ．0D ．32【答案】B【分析】由两角差的余弦公式直接求得.【详解】()sin 70sin10cos10sin 20sin 70sin10cos10cos 170cos 7010co 62s 0︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒=-===++.故选：B.2．下列命题正确的是（）A ．棱柱的每个面都是平行四边形B ．一个棱柱至少有五个面C ．棱柱有且只有两个面互相平行D ．棱柱的侧面都是矩形【答案】B【解析】根据棱柱的特点一一分析即可得解.【详解】对于A ，棱柱的上下底面可以是三角形或者是梯形，故A 不正确；对于B ，面最少的就是三棱柱，共有五个面，B 正确；对于C ，长方体是棱柱，但是上下、左右、前后都是互相平行的，C 不正确；对于D ，斜棱柱的侧面可以不是矩形，D 错误.3．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos 2B a c c+=，则ABC 是（）A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】A【分析】利用倍角公式化简边角关系式，再利用正弦定理把关系式转化为角的关系式，化简后可得cos 0C =，从而可得正确选项．【详解】因为22cos2B a c c +=，故cos 1a cB c++=即cos c B a =，由正弦定理可得sin cos sin C B A =，故()sin cos sin sin cos cos sin C B B C B C B C =+=+，整理得到sin cos 0B C =.因为()0,B π∈，故sin 0B >，从而cos 0C =，而()0,C π∈，故2C π=.故ABC 为直角三角形.故选：A ．【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.化简中注意三角变换公式的合理使用．4．如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积S 为A ．54B ．542π+C ．54π+D ．543π+【答案】C【解析】根据器皿的形状可知，器皿的表面积等于正方体的表面积减去圆的面积，再加上半球的表面积，即可求出．【详解】器皿的表面积是棱长为3的正方体的表面积减去半径为1的圆的面积，再加上半径为1的半球的表面积，即器皿的表面积()()221633141542542S πππππ=⨯⨯-⨯+⨯⨯=-+=+．故选：C ．【点睛】本题主要考查球的表面积公式，正方体的表面积公式的应用，属于基础题．5．如图，函数()2sin 02y x ππϕϕ⎛⎫=+<≤ ⎪⎝⎭在一个周期内的图象与y 轴交于点()0,1.P 是其图象上的最高点，M N ､是其图象与x 轴的交点，则PM 与PN uuur 的夹角的余弦值为（）A ．0B ．1315C ．1517D ．1【答案】C【分析】先根据图象过点()0,1，求出ϕ的值，再利用五点法求出M ，P ，N 三点的坐标，最后套用向量夹角的坐标公式求值.【详解】把点()0,1代入函数()2sin y x πϕ=+，有1sin 2ϕ=，又02πϕ<≤，所以6πϕ=.所以()2sin 6f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由图知，点M ，P ，N 分别为五点法中的第1，2，3点.有06M x ππ+=，62P x πππ+=，6N x πππ+=，所以1,06M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,06N ⎛⎫⎪⎝⎭.1,22PM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭uuur ，1,22PN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uuu r ，记PM 与PN uuur 的夹角为θ，则cos PM PN PM PN θ⋅=⋅ 1415417171722-+==⨯.故选：C.6．龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．现有一龙洗盆高15cm ，盆口直径40cm ，盆底直径20cm ．现往盆内倒入水，当水深6cm 时，盆内水的体积近似为（）A ．31824cmB ．32739cmC ．33618cmD ．34512cm【答案】B【分析】根据轴截面和相似关系，以及圆台体积即可求解.【详解】如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长EC 与FD 于点G .根据题意，20cm AB =，10cm CD =，15cm AC =，6cm EC =，设cm CG x =，cm EF y =所以102015x x =+，610y x x+=解得15x =，14y =，所以()()2231π14π10π14106872π2739cm 3V =⋅+⋅+⋅⋅⋅=≈，故选：B.7．已知在边长为2的正三角形ABC 中，M ､N 分别为边BC ､AC 上的动点，且CN BM =，则AM MN ⋅的最大值为（）A ．73-B ．43-C ．13D ．34【答案】B【分析】建立直角坐标系由数量积坐标运算公式可得答案.【详解】如图建系，则()10B -，､0(1)C ，､)30(，A ，则(20)BC = ，，(13)CA =- ，，设BM tBC =(01t ≤≤)，则t CN CA =(01t ≤≤)，则(210)M t -，，(13)N t t -，，∴(213)AM t =-- ，，(233)MN t t =-，，∴2214(21)(23)(3)(3)6426()33MN t t t t t A t M ⋅=-⨯-+-⨯=-+-=--- ，当13t =时AM MN ⋅ 取最大值43-，故选：B.8．在锐角ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值为()A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【分析】根据()sin sin A B C =+和sin 2sin sin A B C =可得tan tan 2tan tan B C B C +=，令tan tan 2tan tan B C B C m +==，结合正切和角公式()tan tan tan 1tan tan 12B C mB C m B C ++==--可求m 范围.要求的式子可化为()tan tan tan tan tan tan A B C B C B C =-+，可继续化为用m 表示的式子，根据m 的范围可求其最小值.【详解】由()sin sin 2sin sin A B C B C =+=，得sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=，两边同时除以cos cos B C ，得tan tan 2tan tan B C B C +=.令tan tan 2tan tan B C B C m +==，∵ABC 是锐角三角形，∴()tan tan tan 01tan tan 12B C mB C m B C ++==<--，∴m>2.又在三角形中有：()2211tan tan tan tan tan tan 212212m m A B C B C B C m m m m m =-+=-⋅==---+21111248m =⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，故当4m =时，tan tan tan A B C 取得最小值8.故选：C.二、多选题9．已知正方形ABCD 的边长为1，向量a ，b满足AB a = ，BC b a =- ，则（）A ．1b = B ．2cos ,2a b =C ．1a b ⋅= D ．()2a b b -⊥ 【答案】BCD【分析】由题可得AC b = ，进而可知1,2,,4a b a b π=== ，然后逐项分析即得.【详解】∵AB a = ，BC b a =-，∴AC AB BC b =+=，又正方形ABCD 的边长为1，∴1,2,,4AB a AC b a b π===== ，故A 错误；∴2cos ,2a b = ，21212a b ⋅=⨯⨯= ，即1a b ⋅= ，故BC 正确；∴()222220a b b a b b -⋅=⋅-=-= ，即()2a b b -⊥ ，故D 正确.故选：BCD.10．如图，在正方体1111-ABCD A B C D 中，M ，N 分别为棱111C D C C ，的中点，则以下四个结论中，正确的有（）A ．直线AM 与1CC 是相交直线B ．直线BN 与1MB 是异面直线C ．AM 与BN 平行D ．直线1A M 与BN 共面【答案】BD【分析】根据异面直线的定义，结合三角形中位线定理、正方体的性质、共面的判定方法逐一进行判断即可【详解】解：A 选项，∵1A M C C 、、、四点不共面，∴根据异面直线的定义可得直线AM 与1CC 是异面直线，故选项A 错误；B 选项，∵1B N M B 、、、四点不共面，∴根据异面直线的定义可得直线BN 与1MB 是异面直线，故选项B 正确；C 选项，取1DD 的中点E ，连接AE 、EN ，则有,//=AB EN AB EN ，所以四边形ABNE 是平行四边形，所以//AE BN，∵AM 与AE 交于点A ，∴AM 与AE 不平行，则AM 与BN 不平行，故选项C 错误；D 选项，连接111A M MN NB BA CD 、、、、，因为M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，所以1//MN D C ，由正方体的性质可知：11//BA D C ，所以1//MN A B ，∴1A B M N 、、、四点共面，∴直线1A M 与BN 共面，故选项D 正确．故选：BD ．11．已知复数12,z z 是关于x 的方程210(22,)x bx b b ++=-<<∈R 的两根，则下列说法中正确的是（）A ．12z z =B ．12z z ∈RC ．121z z ==D ．若1b =，则33121z z ==【答案】ACD【分析】在复数范围内解方程得12,z z ，然后根据复数的概念、运算判断各选项．【详解】240b ∆=-<，∴24i 2b b x -±-=，不妨设214i 22b b z -=-+，224i 22b b z -=--，12z z =，A 正确；222124()()122b b z z -==-+=，C 正确；121z z =，∴222211121224i 22z z b b b z z z z --===-，0b ≠时，12R z z ∉，B 错；1b =时，113i 22z =-+，213i 22z =--，计算得212113i 22z z z =--==，2212z z z ==，31121z z z ==，同理321z =，D 正确．故选：ACD ．12．已知()22cos 1,0,0,24f x x ωπϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+->∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，具有下面三个性质：①将()f x 的图象右移π个单位得到的图象与原图象重合；②x ∀∈R ，()512f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭；③()f x 在50,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时存在两个零点，给出下列判断，其中正确的是（）A ．()f x 在0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递减B ．91483162f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．将()f x 的图象左移24π个单位长度后得到的图象关于原点对称D ．若()g x 与()f x 图象关于3x π=对称，则当2,23x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()g x 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】BCD【分析】根据①可得2,k k Z ω=∈，再根据③可得3554124T T π<<，由此可得1865ω<<，从而可求得ω的值，再由②可知5112f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，可求得ϕ的值，从而可求出函数()f x 的解析式.求出函数()f x 的单调区间，即可判断A 的正误；计算出948316f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值，可判断B 的正误；求出函数左移24π个单位长度后的解析式，判断其奇偶性，即可判断C 的正误；根据对称性求出232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的对称区间后，再求函数()f x 的值域，可判断D 的正误.【详解】()()22cos 1cos 22f x x x ωϕωϕ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，将()f x 右移π个单位得到的函数解析式为[]cos ()2=cos(2)y x x ωπϕωϕπω=-++-，又该函数的图象与原图象重合，所以2,k k πωπ=∈Z ，所以2,k k Z ω=∈，又()f x 在50,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时存在两个零点，所以3554124T T π<<，所以539T ππ<<，即2539πππω<<，所以1865ω<<，所以4ω=，所以()()cos 42f x x ϕ=+，又x ∀∈R ，()512f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以5112f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，所以52,3k k πϕπ+=∈Z ，所以5,26k k ππϕ=-∈Z ，又0,4πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6πϕ=，所以()cos 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由242,3k x k k ππππ≤+≤+∈Z 得,21226k k x k ππππ-≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调递减区间为,21226k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，当0k =时，函数()f x 在126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递减；由2422,3k x k k πππππ+≤+≤+∈Z 得5+,26212k k x k ππππ≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为5+,26212k k k ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z ，当0k =时，函数()f x 在5612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增；所以函数()f x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，故A 错误；5=cos cos 4812312f ππππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，45221cos +=cos cos cos 3333332f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，997755cos cos 2+=cos cos cos 164312121212f πππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以91483162f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确；将()f x 的图象左移24π个单位长度后得到的图象的解析式为()cos 4cos 4sin 42432h x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又()()sin 4sin 4()h x x x h x -=--==-⎡⎤⎣⎦，所以函数()h x 为奇函数，所以()h x 的图象关于原点对称，故C 正确；232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦关于3x π=对称的区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，4,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1()1,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当2,23x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()g x 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：BCD三、填空题13．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若::1:1:4A B C =，::a b c =．【答案】1:1:3【分析】通过三角形的角的比，求出三个角的大小，利用正弦定理求出::a b c 即可.【详解】∵A +B +C =π，A ：B ：C =1：1：4，∴A =30°，B =30°，C =120°，由正弦定理可知：::a b c =sin A ：sin B ：sin C =1:1:3．故答案为：1:1:3．14．已知非零向量a ，b 的夹角为π3，3a = ，()a ab ⊥- ，则b = .【答案】6【分析】根据垂直的向量表示结合数量积的定义，即可求得答案.【详解】因为()a a b ⊥- ，故()20,0a a b a a b ⋅-=∴-⋅= ，即π93||cos 0,||63b b -⋅=∴= ，故答案为：615．若A 为ABC 的内角，且3sin 25A =-，则cos 4A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为．【答案】255-【分析】根据正弦值为负推出2A π>，再利用()2sin cos sin cos A A A A -=-，求出210sin cos 5A A -=，再利用两角和的余弦公式求值.【详解】因为A 为ABC 的内角，且3sin 205A =-<，所以2A π>，2A π>.sin cos 0A A ->()2210sin cos sin cos 1sin 25A A A A A -=-=-=.()2221025cos cos sin 42255A A A π⎛⎫⎛⎫+=-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：255-.16．ABC ∆中，23AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，则sin C 的最大值是.【答案】73【详解】由数量积的定义及余弦定理知222cos 2b c a AB AC cb A +-⋅==.类似地，2222a cb BA BC +-⋅= ，2222a b c CA CB +-⋅=..故已知等式化为()()22222222223b c a a c b a b c +-++-=+-22223a b c ⇒+=.由余弦定理及基本不等式得:()22222221223cos 22236363a b a b a b ca b a b C abab b a b a +-++-===+≥⋅=,27sin 1cos 3C C ⇒=-≤，当且仅当::3:6:5a b c =时，上式等号成立.因此，sin C 的最大值73.四、解答题17．已知复数z 为纯虚数，且21iz -+为实数.(1)求复数z ；(2)设m ∈R ，1z m z =+，若复数21z 在复平面内对应的点位于第三象限，求11z 的取值范围.【答案】(1)2i z =-(2)21,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据纯虚数的定义设出复数z 的表示形式，再根据复数除法运算法则，结合复数的分类进行求解即可；（2）求出21z ，结合在复平面内对应点所在象限，求出m 范围，结合模的计算求得答案.【详解】（1）设i z b =，0b ≠且b ∈R ，则()()()()()2i 1i 22i22i 1i 1i 1i 1i 2b b b z b -+--++--+===+++-.又∵21iz -+为实数，∴2b =-，即2i z =-.（2）由（1）得()()222212i 44i z m z m m m =+=-=--，由题知240m -<且40m -<，解得02m <<.又∵214z m =+，∴1222z <<.∴121142z <<，即11z 的取值范围是21,42⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.18．已知：a ､b 是同一平面内的两个向量，其中a=（1，2），()1,1b = (1)若a与a b λ+ 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围；(2)求a b + 在a上投影向量.【答案】(1)()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭；(2)816,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）求出()1,2a b λλλ+=++ ，再解不等式组()()12202210λλλλ⎧+++>⎪⎨+-+≠⎪⎩即得解；（2）求出()8a b a +⋅= ，5a =，再代入投影向量的公式即得解.【详解】（1）()()()1,2,1,1,1,2a b a b λλλ==∴+=++，又a 与a b λ+ 的夹角为锐角，()0a a b λ∴⋅+> 且a 与a b λ+不平行，()()12202210λλλλ⎧+++>⎪∴⎨+-+≠⎪⎩，解得53λ>-且0λ≠，∴实数λ的取值范围是()5,00,.3∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭（2）由题得()2,3a b += ，()268a b a +⋅=+= ，2212 5.a =+=a b ∴+ 在a 上的投影向量为()2||a b a a a +⋅8816,555a ⎛⎫== ⎪⎝⎭ .19．由四棱柱1111ABCD A B C D -截去三棱锥111C B CD -后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为平行四边形，O 为AC 与BD 的交点．(1)求证：1AO ∥平面11B CD ；(2)求证：平面1A BD ∥平面11B CD ；(3)设平面11B CD 与底面ABCD 的交线为l ，求证：BD l ∥．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）取11B D 的中点1O ，连接111,CO AO ，结合四棱柱的几何性质，由线线平行证明即可；（2）由线线平行证BD ∥平面11B CD ，结合1AO ∥平面11B CD 即可证平面1A BD ∥平面11B CD ；（3）由线面平行证线线平行即可.【详解】（1）取11B D 的中点1O ，连接111,CO AO ，∵1111ABCD A B C D -是四棱柱，∴11A O OC ∥，∴四边形11AOCO 为平行四边形，∴11AO O C ∥，又1O C ⊂平面111,B CD AO ⊄平面11B CD ，∴1AO ∥平面11B CD ．（2）∵111BB AA DD ∥∥，∴四边形11BB D D 是平行四边形，∴11BD B D ∥，∵BD ⊄平面1111,B CD B D ⊂平面11B CD ，∴BD ∥平面11B CD ，由（1）得1AO ∥平面11B CD 且1BD AO O = ，1BD AO ⊂、平面1A BD ，∴平面1A BD ∥平面11B CD ．（3）由（2）得：BD ∥平面11B CD ，又BD ⊂平面ABCD ，平面11B CD ⋂平面ABCD l =，∴BD l ∥．20．如图，有一条宽为60m 的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中ABC ）养殖观赏鱼，AB AC ⊥，顶点A 到河两岸的距离12,,,AE h AD h C B ==两点分别在两岸12,l l 上，设ABD α∠=.(1)若30α=︒，求养殖区域面积的最大值；(2)现拟沿着养殖区域ABC 三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若130m h =，求观赏长廊总长()f α的最小值.【答案】(1)26003m ；(2)60(21)m +.【分析】（1）由题可得1223ABC S h h =，再利用基本不等式即得；（2）由题可知sin cos 1()30sin cos f ααααα++⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用同角关系式可转化为601y t =-，然后利用函数的单调性即求.【详解】（1）当30α=︒时，212122,sin cos 3h h AB h AC h αα====，所以121223ABC S AB AC h h =⋅= ，又因为1212602h h h h +=≥（当且仅当1230h h ==时等号成立），所以12900h h ≤，于是12260033ABC S h h =≤ ，因此，养殖区域面积的最大值为26003m .（2）由题意，3030,sin cos AB AC αα==，所以22223030113030sin cos sin cos sin cos BC αααααα⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ABC 的周长111sin cos 1()3030sin cos sin cos sin cos f ααααααααα++⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.设sin cos t αα=+，则sin cos 2sin (1,2]4t πααα⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，所以21sin cos 2t αα-=.所以216030112t y t t +=⋅=--，(1,2]t ∈于是当2t =时，min 6060(21)21y ==+-，即min ()60(21)f α=+，因此，观赏长廊总长的最小值为60(21)m +.21．如图，在平面凸四边形ABCD 中（凸四边形指没有角度数大于180 的四边形），2,4,5AB BC CD ===.（1）若120B ∠= ，1cos 5D =，求AD ；（2）已知3AD =，记四边形ABCD 的面积为S .①求S 的最大值；②若对于常数λ，不等式S λ≥恒成立，求实数λ的取值范围.（直接写结果，不需要过程）【答案】（1）3；（2）①230；②214λ≤.【分析】（1）在ABC ∆中，利用余弦定理求得AC ；在ACD ∆中利用余弦定理构造关于AD 的方程，解方程求得结果；（2）①在ABC ∆和ACD ∆中利用余弦定理构造等量关系可得15cos 8cos 7D B -=，根据三角形面积公式可得215sin 8sin S D B =+，两式平方后作和可得()26060cos S B D =-+，当()cos 1B D +=-时，可求得S 的最大值；②由S λ≥可知min S λ≤，根据①可知，S 的范围由B D +的范围决定，求解出(),B D πβπα+∈-+且1cos 15α=-，2cos 5β=且α为钝角、β为锐角；根据2S 的单调性可求得最小值，从而求得min S 得到结果.【详解】（1）在ABC ∆中，2AB =，4BC =，120B ∠= 由余弦定理得：222cos 27AC AB BC AB BC B =+-⋅=在ACD ∆中，27AC =，5CD =，1cos 5D =由余弦定理得：222cos AD CD AD CD D AC +-⋅=即：225227AD AD +-=，解得：3AD =（2）①在ABC ∆和ACD ∆中，由余弦定理得：22016cos 3430cos AC B D =-=-整理可得：15cos 8cos 7D B -=面积：()115sin 8sin 2S D B =+，即：215sin 8sin S D B =+()()22244915sin 8sin 15cos 8cos S D B D B ∴+=++-()()22564240cos cos sin sin 289240cos B D B D B D =+--=-+即：()26060cos S B D =-+当B D π+=时，即7cos 23D =，7cos 23B =-时，()min cos 1B D ⎡⎤+=-⎣⎦2120S ∴≤max 230S ⇒=∴四边形ABCD 面积S 的最大值为：230②214λ≤由①知：()26060cos S B D =-+，则需研究B D +的范围.当D 增大时，AC 增大，从而B 随之增大所以，当,,A B C 趋于共线时，B D +趋于πα+，其中钝角α满足1cos 15α=-当D 减小时，AC 减小，从而B 随之减小所以，当,,A B D 趋于共线时，B D +趋于πβ-，其中锐角β满足2cos 5β=(),B D πβπα∴+∈-+令()26060cos S f x x ==-，则()f x 在(),πβπ-上递增，在(),ππα+上递减并且()84f πβ-=，()56f πα+=，()120f π=()(]256,120S f x ∴=∈，即(214,230S ⎤∈⎦214λ∴≤【点睛】本题考查解三角形相关知识，涉及到余弦定理解三角形、三角形面积公式、两角和差余弦公式的应用等知识，难点在于求解函数的最值时，角度的取值范围需要根据极限状态来求得，计算难度较大，属于难题.22．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ．(1)若边AB 的中线CD 长为3，对[]01x ∀∈，，且1x y +=，()9xCB yCA CD +⋅≥恒成立，试判断“AC BC =”是否成立？(2)若ABC 为非直角三角形，且a c mb +=，其中1m >．（ⅰ）证明：1tantan 221A C m m -=+；（ⅱ）是否存在函数()m φ，使得对于一切满足条件的m ，代数式cos cos ()()cos cos A C m m A Cφφ++恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的()m φ，并证明之；若不存在，请给出一个理由．参考公式：sin sin 2sin cos22αβαβαβ+-+=【答案】(1)答案见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）存在22()1mm m ϕ=-+，证明见解析【分析】（1）依题意建立平面直角坐标系，由()9xCB yCA CD +⋅≥ 恒成立得9CP CD ⋅≥，设出点的坐标，根据数量积的坐标运算计算可得；（2）（ⅰ）由正弦定理将边化角，利用和差化积、和差角公式及同角三角函数的基本关系计算可得；（ⅱ）由（ⅰ）及1cos sin tan 2sin 1cos ααααα-==+，即可得到21cos 1cos tan tan 221cos 1cos A C A C A C --⎛⎫=⋅⎪++⎝⎭整理可得222cos cos 112cos cos 1mA C m mA C m +-+=--+，从而得解；【详解】（1）解：法一：设P 为边AB 上一点，则由对[]01x ∀∈，，且1x y +=，()9xCB yCA CD +⋅≥ 恒成立得9CP CD ⋅≥，建立平面直角坐标系，如下图所示，设(,0)B a ，(,0)P b （[]0,b a ∈），00(,)C x y ，(,0)2aD ∴00),(CP b x y =-- ，00()2,a CD x y =-- ，则由3CD =得220092a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴()22200000009222a ab a CP CD b x x y bx x x y ⎛⎫⎪⋅=--+=--+⎭+≥⎝ 恒成立，∴2200099222a ab a x b x x ⎛⎫⎛⎫-+++--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，∴200422a a ab b x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭恒成立，即0022a a b x ⎛⎫⎛⎫-⋅-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，∴若02ab -≤则002a x -≥恒成立，∴02a x ≤恒成立，若02ab -≥则002a x -≤恒成立，∴02a x ≥恒成立，∴02a x =，∴CD AB ⊥，又D 为AB 中点，∴CA CB =．法二：设P 为边AB 上一点，则由对[]01x ∀∈，，且1x y +=，()9xCB yCA CD +⋅≥ 恒成立得9CP CD ⋅≥ ，令PCD θ∠=，则cos 3cos 9CP CD CP CD CP θθ⋅=⋅=≥∴cos 3CP CDθ≥= 若<AC BC ，则由cos CP CD θ≥ 得P 在BD 上，即112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，这与[]01x ∀∈，矛盾∴<AC BC 不成立若AC BC >，则由cos CP CD θ≥ 得P 在AD 上，即102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，这与[]01x ∀∈，矛盾∴AC BC >不成立若AC BC =，则由cos CP CD θ≥得P 在AB 上，即[]01x ∈，，这与[]01x ∀∈，符合∴AC BC =；（2）解：（ⅰ）由a c mb +=及正弦定理sin sin sin a b cA B C==得sin sin sin A C m B +=，所以2sin cos 2sin cos 2222A C A CB Bm +-=，因为222A CB π+=-，所以()2sin cos 2sin cos 2sin cos 22222222B A C A C B A C B m m πππ--++⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有cos cos 22A C A Cm -+=，由两角和、差的余弦公式可得coscos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 222222222222A C A C A C A C A C A C m m m ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，整理得(1)sin sin (1)cos cos 2222A C A Cm m +=-，故1tantan 221A C m m -=+．（ⅱ）∵1tantan 221A C m m -=+又∵1cos sin tan2sin 1cos ααααα-==+∴21cos sin 1cos sin 1cos 1cos tan tan 22sin 1cos sin 1cos 1cos 1cos A C A A C C A C A A C C A C ----⎛⎫=⋅⋅⋅=⋅ ⎪++++⎝⎭22(1)(1)m m -=+，展开整理得()2421(cos cos )4cos cos m m A C m A C -++=-，∴()2421(cos cos )4cos cos m m A C m A C-++=-，即222cos cos 21cos cos 1mA C m m A C m +-+=+，即222cos cos 112cos cos 1mA C m m A C m +-+=--+，∴与cos cos ()()cos cos A C m m A C φφ++作比较可知()m ϕ存在且22()1mm m ϕ=-+．。

中山市高一级第二学期期末统一考试高一数学试卷本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）.1. 与向量=（12，5）垂直的单位向量为（）A. （，）B. （-，-）C. （，）或（，-）D. （±，）【答案】C【解析】设与向量=（12，5）垂直的单位向量=（，y）则由此易得：=（，）或（，-）.点睛：单位向量是长度为1的向量，不唯一.如果把这些单位向量的起点放到一起，那么它们的终点落在同一个单位圆上.与向量垂直的单位向量是两个，并且二者互为相反向量，注意向量是有方向的.2. 执行如图的程序框图，如果输入的，，，则输出的值满足（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：运行程序，，判断否，，判断否，，判断是，输出，满足.考点：程序框图.3. 是第四象限角，，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，又因为，两式联立可得，又是第四象限角，所以考点：同角的基本关系．4. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段。

广东省中山市2020年（春秋版）高一下学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共11题；共22分)1. （2分）已知a>0，函数，若满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（）A .B .C .D .2. （2分）在中，，，，则的面积为（）．A .B .C .D .3. （2分）数列满足并且，则数列的第100项为（）A .B .C .D .4. （2分）设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知（+﹣2）•（﹣）=0，则△ABC的形状是（）A . 直角三角形B . 等腰三角形C . 等腰直角三角形D . 等边三角形5. （2分） (2018高一下·唐山期末) 执行下边的程序框图，若输出的是121，则判断框内应填写（）A .B .C .D .6. （2分）如图所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=BB1 ，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A . 60°C . 105°D . 75°7. （2分）(2016·静宁模拟) 设等差数列 {an}的前n项和为Sn ，若S12=288，S9=162，则S6=（）A . 18B . 36C . 54D . 728. （2分）某几何体的三视图如图所示,它的体积为（）A .B .C .D .9. （2分）已知三棱锥A－BCD内接于球O，AB＝AD＝AC＝BD＝，∠BCD＝60°，则球O的表面积为（）A .B .D .10. （2分） (2016高二下·长春期中) 已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=2n﹣1，n∈A}，则A∩B=（）A . {1，3}B . {2，4}C . {1，4}D . {2，3}11. （2分） (2018高一下·扶余期末) 在中，角，，所对的边长分别为，，，若，，则（）．A .B .C .D . 与的大小关系不能确定二、填空题 (共4题；共4分)12. （1分） (2016高三上·闽侯期中) 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖________块13. （1分） (2018高二上·临汾月考) 如图所示，是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：①点与点重合；② 与垂直；③ 与所成角度是；④ 与平行．其中正确命题的序号是________．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）14. （1分） (2018高二上·西安月考) 如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.15. （1分）(2017·商丘模拟) 已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{xn}满足xn+1=xn﹣，设an=ln ，若a1= ，xn＞2，则数列{an}的通项公式an=________．三、解答题 (共6题；共47分)16. （5分）在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内有一个高为的圆柱．（1）求：圆柱表面积的最大值；（2）在（1）的条件下，求该圆柱外接球的表面积和体积．17. （10分） (2017高二上·汕头月考) 已知向量 .记 .（1）求的最小正周期及单调增区间；（2）在中，角的对边分别为若，求的值.18. （10分）(2017·南阳模拟) 如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．（1）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（2）若CD=2，AA1=λAC，二面角A﹣C1D﹣C的余弦值为，求三棱锥C1﹣A1CD的体积．19. （2分） (2017高三上·嘉兴期末) 在中，内角所对的边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若的面积，求的值．20. （10分） (2016高一下·红桥期中) 设等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn ，若a1=1，a3=4．（1）若Sk=63，求k的值；（2）设bn=log2an，证明数列{bn}是等差数列；（3）设cn=（﹣1）nbn，求T=|c1|+|c2|+|c3|+…+|cn|．21. （10分）(2017·江苏) 对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…an+k ﹣1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”．（Ⅰ）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；（Ⅱ）若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列．参考答案一、单选题 (共11题；共22分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、二、填空题 (共4题；共4分)12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共47分)16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、第11 页共11 页。