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湖 南 省 娄 底 市 双 峰 县 第 五 中 学 集 体 备 课 教 案高 一 年 级 数 学 组- 1 -教学环节设计 知识点解析、师生互动 教学后记课题：1.3.2 三角函数的诱导公式(二) 教学目标：1.进一步理解和掌握六组正弦、余弦和正切的诱导公式，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2.通过公式的应用，培养学生的化归思想，运算推理能力、分析问题和解决问题的能力.教学重点：诱导公式及诱导公式的综合运用.教学难点：公式的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 教学过程：（导入→自学→展示→探讨→展示→讲解点拨→评价小结→练习总结） 一、导入新课 角2π-α与角α终边之间有怎样的对称关系，能否从任意角三角函数的定义出发利用这一对称关系探求角2π-α与角α的三角函数值之间的关系呢？ 二、自主学习 自学任务：课本P26—P27，独立完成导学案。
三、展示评价 (学生展示导学案答案、教师评价解析) 四、小组探讨 （分组讨论、解答探究案） 五、展示评价 （分组展示探究案答案、教师评价解析） 六、课堂小结 七、检测反馈 （学生独立完成练习案、教师巡查点拨） 一、导学案答案解析二、探究案答案解析例1 13. 例2 略例3 5716. 三、检测案答案解析1．A 2．A 3．C 4．C 5．－13 6.892 7．2 8．解 原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θ－cos θ·cos θ＋cos θ ＝1cos θ＋1＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ. ∵sin θ＝33，∴原式＝6. 9．解 由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β.①② ①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③ 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
第二课时三角函数的诱导公式五、六选题明细表知识点、方法题号给角(或式)求值1,2,3,6,7化简求值4,5,8,11 三角恒等式的证明及综合应用9,10,12,13基础巩固1.已知sin 40°=a,则cos 130°等于( B )(A)a (B)-a(C) (D)-解析:cos 130°=cos (90°+40°)=-sin 40°=-a.2.(2018·某某市期末)已知tan α=3,则sin(-α)·cos (+α)的值为(B)(A)(B)-(C)(D)-解析:已知tan α=3,则sin(-α)·cos (+α)=-sin αcos α=-=-=-.故选B.3.若f(cos x)=2-sin 2x,则f(sin x)等于(C)(A)2-cos 2x (B)2+sin 2x(C)2-sin 2x (D)2+cos 2x解析:因为f(cos x)=2-sin 2x,所以f(sin x)=f[cos(-x)]=2-sin[2(-x)]=2-sin(π-2x)=2-sin 2x.4.已知tan θ=2,则等于(B)(A)2 (B)-2 (C)0 (D)解析:原式====-2.5.若cos(+θ)+sin(π+θ)=-m,则cos(-θ)+2sin(6π-θ)的值为(B)(A) (B)-(C)- (D)解析:由题意知,sin θ+sin θ=m,所以sin θ=.所以cos(-θ)+2sin(6π-θ)=-sin θ-2sin θ=-3sin θ=-.6.若cos (π+α)=-,则sin(-α)=.解析:cos (π+α)=-cos α,所以cos α=.sin(-α)=-cos α,所以sin(-α) =-.答案:-7.已知cos (75°+α)=,且-180°<α<-90°,则cos (15°-α)=.解析:因为-180°<α<-90°,所以-105°<75°+α<-15°.又cos (75°+α)=,所以sin(75°+α)=-.所以cos (15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)=-.答案:-8.已知sin(α-3π)=cos (α-2π)+sin(α-π),求的值.解:sin(α-3π)=cos (α-2π)+sin (α-π),得-sin α=2cos α.则tan α=-2,所以====.能力提升9.设α是第二象限角,且cos =-,则是(C)(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角解析:α是第二象限角,则是第一或第三象限角.-=-=-|cos|=cos ,所以cos <0.所以为第三象限角.10.角α与角γ的终边相同,且α是第一象限角,tan γ=1,β=α+ 90°,则sin β等于( A )(A)(B)-(C)(D)-解析:由题意,tan α=tan γ=1,由又α是第一象限角,解得所以sin β=sin(α+90°)=cos α=.故选A.11.已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,α是第三象限角,则=.解析:由已知得sin α=-.因为α是第三象限角,所以cos α=-,tan α=.所以原式==.答案:12.(2018·库尔勒市期中)已知角θ是第二象限角,其终边与以原点为圆心的单位圆交于点P(-,).(1)写出三角函数sin θ,cos θ的值;(2)求的值.解:(1)因为角θ是第二象限角,其终边与以原点为圆心的单位圆交于点P(-,),所以sin θ=y=,cos θ=x=-.(2)==2tan θ=2·=2×=-.探究创新13.是否存在角α,β,α∈(-,),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=cos(-β),sin(+α)=-cos (π+β) 同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.解:利用诱导公式可将已知条件化为两式平方相加得sin2α+3cos2α=2,即cos2α=,所以cos α=±.因为α∈(-,),所以cos α=,所以α=或α=-.当α=时,由①式可得sin β=,由②式可得cos β=,又β∈(0,π),所以β=.当α=-时,由①式可得sin β=-,这与β∈(0,π)矛盾.从而只存在α=,β=使得两个等式同时成立.。
第一章 1.3 第2课时A 级 基础巩固一、选择题1．已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α＝ ( C )A ．－25B ．－15C ．15D ．252．已知sin α＝513，则cos(32π＋α)等于 ( A )A ．513B ．1213C ．－513D ．－1213[解析] cos(32π＋α)＝sin α＝513.3．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于 ( A )A ．－12B ．12C ．32D ．－32[解析] 由已知，得sin α＝12，则cos(7π2－α)＝－sin α＝－12.4．已知cos(3π2＋α)＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α) ( B )A ．45B ．－45C ．±45D ．35[解析] ∵cos(3π2＋α)＝－35，∴sin α＝－35，∴cos(－3π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－45.5．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是 ( B )A ．－2a 3B ．－3a 2C ．2a 3D ．3a 2[解析] 由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ， 得：－sin α－sin α＝－a ，即sin α＝a 2，cos(270°－α)＋2sin(360°－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .6．若sin(π3－α)＝13，则cos(5π6－α)的值为 ( B )A ．13B ．－13C ．223D ．－223[解析] cos(5π6－α)＝cos[π2＋(π3－α)]＝－sin(π3－α)＝－13.二、填空题7．化简sin (15π2＋α)cos (α－π2)sin (9π2－α)cos (3π2＋α)＝__－1__.[解析] 原式＝sin[8π＋(α－π2)]cos (π2－α)sin[4π＋(π2－α)]cos[π＋(π2＋α)]＝sin (α－π2)sin αsin (π2－α)[－cos (π2＋α)]＝－cos αsin αcos α[－(－sin α)]＝－1.8．已知sin(α－π4)＝35，那么cos(α＋π4)的值是 －35 .[解析] ∵(α＋π4)－(α－π4)＝π2，∴α＋π4＝π2＋(α－π4)，∴cos(α＋π4)＝cos[π2＋(α－π4)]＝－sin(α－π4)＝－35.三、解答题9．化简：sin (2π＋α)cos (π－α)cos (π2－α)cos (7π2－α)cos (π－α)sin (3π－α)sin (－π＋α)sin (5π2＋α).[解析] 原式＝sin α(－cos α)sin αcos[2π＋(π＋π2－α)]－cos αsin[2π＋(π－α)]sin[－(π－α)]sin[2π＋(π2＋α)]＝sin αsin αcos[π＋(π2－α)]sin (π－α)[－sin (π－α)]sin (π2＋α)＝sin αsin α[－cos (π2－α)]sin α(－sin α)cos α＝sin α(－sin α)(－sin α)cos α＝tan α.10．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin (－α－3π2)sin (3π2－α)tan 3αcos (π2－α)cos (π2＋α)的值.[解析] 由已知得sin α＝－35.∵α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45.∴原式＝cos α·(－cos α)·(sin αcos α)3sin α·(－sin α)＝sin αcos α＝34.B 级 素养提升一、选择题1．若角A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是 ( D ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos(A2＋C )＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A 2[解析] ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ， ∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ．所以A ，B 都不正确；同理，B ＋C ＝π－A ， 所以sin B ＋C 2＝sin(π2－A 2)＝cos A2，因此D 是正确的．2．α为锐角，2tan(π－α)＝3cos(π2＋β)＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α＝ ( C )A ．355B ．377C ．31010D ．13[解析] 由已知可得，－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1解得tan α＝3，故sin α＝31010，选C ． 3．已知sin(π6－α)＝12，那么cos(2π3－α)＝ ( D )A ．32B ．－32C ．12D ．－12[解析] cos(2π3－α)＝cos[π2＋(π6－α)]＝－sin(π6－α)＝－12.4．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )等于 ( C ) A ．3－cos2x B ．3－sin2x C ．3＋cos2xD ．3＋sin2x[解析] f (cos x )＝f [sin(π2－x )]＝3－cos2(π2－x )＝3－cos(π－2x )＝3＋cos2x 二、填空题5．已知sin(π2＋α)＝34，则sin(π2－α)＝ 34 .[解析] ∵sin(π2＋α)＝cos α＝34，∴sin(π2－α)＝cos α＝34.6．化简cos (52π－α)cos (－α)sin (32π＋α)cos (212π－α)＝__－1__.[解析] 原式＝cos[2π＋(π2－α)]cos αsin[π＋(π2＋α)]cos[10π＋(π2－α)]＝cos (π2－α)cos α－sin (π2＋α)cos (π2－α)＝sin αcos α－cos αsin α＝－1.三、解答题7．若sin(180°＋α)＝－1010，0°<α<90°. 求sin (－α)＋sin (－90°－α)cos (540°－α)＋cos (－270°－α)的值．[解析] 由sin(180°＋α)＝－1010，α∈(0°，90°)， 得sin α＝1010，cos α＝31010， ∴原式＝－sin α－sin (90°＋α)cos (360°＋180°－α)＋cos (270°＋α) ＝－sin α－cos α－cos α＋sin α＝－1010－31010－31010＋1010＝2.8．已知cos(π6－α)＝13，求cos(56π＋α)sin(2π3－α)的值.[解析] cos(56π＋α)·sin(2π3－α)＝cos[π－(π6－α)]·sin[π－(π3＋α)]＝－cos(π6－α)·sin(π3＋α)＝－13sin[π2－(π6－α)]＝－13cos(π6－α)＝－19.C 级 能力拔高是否存在α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α、 β的值；若不存在，说明理由.[思路分析] 题中所给条件式比较繁琐，故先化简，然后利用平方关系消去α(或β)解方程可求出角α与β的一个三角函数值和其范围，进一步求出角．[解析] 由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β ①3cos α＝2cos β ②①2＋②2得，sin 2α＋3cos 2α＝2③ 又∵sin 2α＋cos 2α＝1④由③，④得cos 2α＝12即cos α＝±22，∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
