八年级初二数学下学期平行四边形单元达标学能测试

新华师大版八年级下册数学平行四边形单元测试卷姓名____________ 时间: 90分钟 满分:120分 总分____________ 一、选择题（每小题3分,共30分）1. 在四边形ABCD 中,CD AB //,再添加下列一个条件,四边形ABCD 不一定是平行四边形的是 【 】 （A ）CD AB = （B ）BC AD = （C ）BC AD // （D ）C A ∠=∠2. 如图所示,在□ABCD 中,︒=∠︒=∠115,25A DBC ,则=∠BDC 【 】 （A ）︒25 （B ）︒30 （C ）︒40 （D ）︒65第 2 题图ADBC第 3 题图EBACD3. 如图所示,在△ABC 中,BC AB A ⊥︒=∠,40,点D 在AC 边上,以CB 、CD 为边作□BCDE ,则E ∠的度数为 【 】 （A ）︒40 （B ）︒50 （C ）︒60 （D ）︒704. 如图所示,EF 过□ABCD 对角线的交点O ,交AD 于点E ,交BC 于点F ,若□ABCD 的周长是30,3=OE ,则四边形ABFE 的周长是 【 】 （A ）18 （B ）21 （C ）24 （D ）27第 4 题图F ODBCAE第 5题图5. 如图,在□ABCD 中,AB BE ⊥交对角线AC 于点E ,若︒=∠201,则2∠的度数为 【 】 （A ）︒120 （B ）︒100 （C ）︒110 （D ）︒906. 如图所示,□ABCD 的周长周长为24,AC 、BD 相交于点O ,BD OE ⊥交AD 于点E ,则△ABE 的周长为 【 】 （A ）8 （B ）10 （C ）12 （D ）16第 6 题图EODBCA第 7 题图FECABD7. 如图所示,在□ABCD 中,E 、F 是对角线BD 上不同的两点,若添加下列条件,不能得出四边形AECF 一定是平行四边形的为 【 】 （A ）DF BE = （B ）CE AF // （C ）DCF BAE ∠=∠ （D ）CF AE =8. 如图,平行四边形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为()0,5,()3,2,则顶点B 的坐标为 【 】 （A ）()3,7 （B ）()7,3 （C ）()7,4 （D ）()4,7yx第 8 题图BCAO第 9 题图9. 如图所示,已知□AOBC 的顶点()0,0O ,()2,1-A ,点B 在x 轴正半轴上,按以下步骤作图:①以点O 为圆心,适当长为半径作弧,分别交边OA 、OB 于点D 、E ;②分别以点D 、E 为圆心,大于DE 21的长为半径作弧,两弧交于点F ;③作射线OF ,交边AC 于点G .则点G 的坐标为 【 】 （A ）()2,5 （B ）()2,53- （C ）()2,25- （D ）()2,15-第 15 题图EF CABDP10. 如图所示,在□ABCD 中,点E 、F 在对角线BD 上,连结AE 、CE 、CF 、AF ,添加下列条件中的一个:①DE BF =;②AF AE =;③CF AE =;④CFD AEB ∠=∠;⑤BD CF BD AE ⊥⊥,.其中,能使四边形AECF 为平行四边形的有 【 】 （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个第 10 题图FEDBCA第 11 题图D二、填空题（每小题3分,共15分）11. 如图,在□ABCD 中,AB CE ⊥,若︒=∠65D ,则=∠BCE _________.12. 已知□ABCD 的周长为10,对角线AC 、BD 交于点O ,△AOD 的周长比△AOB 的周长多1,则AB 的长为_________.13. 如图所示,四边形AEDF 是平行四边形,△CED 和△DFB 的周长分别为5和10,则△ABC 的周长为_________.第 13 题图F DABCE第 14 题图ADEBC14. 如图所示,在□ABCD 中,ABC ∠和BCD ∠的平分线交AD 边于同一点E ,且3,4==CE BE ,则AB 的长是_________.15. 如图所示,四边形ABCD 是平行四边形,点E 是CD 上一点,且EC BC =,BE CF ⊥交AB 于点 F ,P 是EB 延长线上的一点,下列结论:①BE 平分CBF ∠; ②CF 平分DCB ∠; ③BC BF =; ④PC PF =. 其中,正确结论的序号是__________.三、解答题（共75分）16.（9分）证明命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”,要根据题意,画出图形,并写出已知、求证、证明过程.下面是某同学根据题意画出的图形,并写出了不完整的已知和求证.已知: 如图所示,在四边形ABCD中,CDAB//,__________.求证:___________________________________.请补全已知和求证部分,并写出证明过程.DB CA17.（8分）已知:如图所示,在□ABCD中,点E是BC边的中点,连结DE并延长交AB边的延长线于点F.求证:BFAB .BC EA FD18.（9分）已知:如图所示,在□ABCD 中,点F 在AB 的延长线上,且AB BF =,连结FD ,交BC 于点E .（1）求证:△DCE ≌△FBE ; （2）若3=EC ,求AD 的长.FEDBCA19.（9分）如图所示,点B 、E 、C 、F 在同一条直线上,DE AC DF AB ==,,FC BE =. （1）求证:△ABC ≌△DFE ;（2）连结AF 、BD ,求证:四边形ABDF 是平行四边形.EDBFAC20.（9分）如图所示,AC 、BD 相交于点O ,BC AD CD AB //,//,E 、F 分别是OB 、OD 的中点.求证:四边形AFCE 是平行四边形.FEODBCA21.（10分）如图所示,已知︒=∠=∠90E B ,点B 、C 、F 、E 在一条直线上,EC BF DF AC ==,. 求证:四边形ACDF 是平行四边形.22.（10分）如图所示,在□ABCD 中,E 、F 分别是AB 、CD 的中点,DE 、BF 与对角线AC 分别交于点M 、N ,连结MF 、NE . （1）求证:BF DE //;（2）判断四边形MENF 是何特殊的四边形,并说明理由.NMEFCABD23.（11分）如图所示,在四边形ABCD 中,︒=∠90,//A BC AD ,12=AB ,21=BC ,16=AD .动点P 从点B 出发,沿射线BC 以每秒2个单位长度的速度运动,动点Q 同时从点A 出发,在线段AD 上以每秒1个单位长度的速度向点D 运动,当点Q 到达点D 时另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t 秒.（1）填空:=AQ _________,=BP _________,（用含t 的代数式表示）,t 的取值范围是__________;（2）设△DPQ 的面积为S ,用含t 的式子表示S ; （3）当=t _________时,PQ PD =;（4）当t 为何值时,以点P 、C 、D 、Q 为顶点的四边形是平行四边形?DABCQP新华师大版八年级下册数学摸底试卷平行四边形单元测试卷 参考答案一、选择题（每小题3分,共30分）二、填空题（每小题3分,共15分）11. ︒25 12. 2 13. 15 14. 2515. ①②③④ 部分题目答案提示9. 如图所示,已知□AOBC 的顶点()0,0O ,()2,1-A ,点B 在x 轴正半轴上,按以下步骤作图:①以点O 为圆心,适当长为半径作弧,分别交边OA 、OB 于点D 、E ;②分别以点D 、E 为圆心,大于DE 21的长为半径作弧,两弧交于点F ;③作射线OF ,交边AC 于点G .则点G 的坐标为 【 】 （A ）()2,5 （B ）()2,53- （C ）()2,25- （D ）()2,15-第 9 题图解析 本题考查平行四边形的性质和尺规作图的原理,注意角平分线+平行线模型的识别.由尺规作图可知:OF 平分AOB ∠根据角平分线+平行线模型可知:AG OA = ∵()2,1-A∴()52122=+-=OA ∴5=AG ∵x AC //轴 ∴2==A G y y∵()51==--=-AG x x x G A G∴51=+G x ∴15-=G x∴点G 的坐标为()2,15-∴选择答案【 D 】.10. 如图所示,在□ABCD 中,点E 、F 在对角线BD 上,连结AE 、CE 、CF 、AF ,添加下列条件中的一个:①DE BF =;②AF AE =;③CF AE =;④CFD AEB ∠=∠;⑤BD CF BD AE ⊥⊥,.其中,能使四边形AECF 为平行四边形的有 【 】 （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个第 10 题图FEDBCA解析 本题主要考查平行四边形的性质以及判定.对于①DE BF =,连结AC ,交BD 于点O ,如图1所示.图 1∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OD OB OC OA ==, ∵DE BF =∴OE OD OF OB +=+ ∴OE OF =∵OF OE OC OA ==, ∴四边形AECF 是平行四边形.对于②AF AE =,不能确定四边形AECF 是平行四边形;对于③CF AE =,不能确定四边形AECF 是平行四边形;对于④CFD AEB ∠=∠,如图2所示.图 2∵CFD AEB ∠=∠ ∴21∠=∠∴CF AE //∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴CD AB CD AB =,// ∴43∠=∠在△ABE 和△CDF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CD AB CFD AEB 43 ∴△ABE ≌△CDF （AAS ） ∴CF AE =∵CF AE //,CF AE = ∴四边形AECF 是平行四边形. 对于⑤BD CF BD AE ⊥⊥,,如图3所示.图 3∵BD CF BD AE ⊥⊥, ∴CF AE //（在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行） 易证:△ABD ≌△CDB ∴CDB ABD S S ∆∆=∴CF BD AE BD ⋅=⋅2121 ∴CF AE =∵CF AE //,CF AE = ∴四边形AECF 是平行四边形.（或易证:△ABE ≌△CDF ,∴CF AE =） 综上所述,能使四边形AECF 为平行四边形的条件有:①④⑤,共3个. ∴选择答案【 B 】.14. 如图所示,在□ABCD 中,ABC ∠和BCD ∠的平分线交AD 边于同一点E ,且3,4==CE BE ,则AB 的长是_________.第 14 题图ADEBC解析 本题主要考查平行四边形的性质,注意角平分线+平行线模型的识别. 根据角平分线+平行线模型不难确定:△ABE 和△DCE 都是等腰三角形 ∴DC DE AB AE ==, ∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AD BC CD AB CD AB ==,//, ∴︒=∠+∠=180,BCD ABC DE AE ∴AB AE AD BC 22=== ∵BE 平分ABC ∠,CE 平分BCD ∠ ∴22,12∠=∠∠=∠BCD ABC ∴︒=∠+∠1802212 ∴︒=∠+∠9021 ∴︒=∠90BEC在Rt △BCE 中,由勾股定理得:222CE BE BC +=∴53422=+=BC ∴2521==BC AB . 15. 如图所示,四边形ABCD 是平行四边形,点E 是CD 上一点,且EC BC =,BE CF ⊥交AB 于点F ,P 是EB 延长线上的一点,下列结论:①BE 平分CBF ∠; ②CF 平分DCB ∠;③BC BF =; ④PC PF =. 其中,正确结论的序号是__________.第 15 题图EF CABDP解析 本题主要考查平行四边形的性质.图 1对于①,∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴CD AB //∴31∠=∠（如图1所示） ∵EC BC = ∴21∠=∠ ∴32∠=∠ ∴BE 平分CBF ∠; 故结论①正确; 对于②,如图1所示. ∵EC BC =,BE CF ⊥ ∴CF 平分DCB ∠（等腰三角形“三线合一”） 故结论②正确; 对于③,如图2所示.图 2由结论②可知: CF 平分DCB ∠ ∴21∠=∠∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴CD AB //∴31∠=∠ ∴32∠=∠ ∴BC BF =. 故结论③正确;对于④,∵BC BF =,CF BE ⊥∴直线BE 垂直平分CF ∴PC PF = 故结论④正确.综上所述,正确结论的序号是①②③④. 三、解答题（共75分）16.（9分）证明命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”,要根据题意,画出图形,并写出已知、求证、证明过程.下面是某同学根据题意画出的图形,并写出了不完整的已知和求证.已知: 如图所示,在四边形ABCD 中,CD AB //,__________.求证:________________________________. 请补全已知和求证部分,并写出证明过程.CD AB =…………………………………………1分四边形ABCD 为平行四边形…………………………………………2分 证明:连结AC ∵CD AB // ∴21∠=∠在△ABC 和△CDA 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CA AC CD AB 21 ∴△ABC ≌△CDA （SAS ） ∴43∠=∠ ∴BC AD //…………………………………………6分 ∵CD AB //,BC AD // ∴四边形ABCD 为平行四边形…………………………………………9分 点评 要证明平行四边形的判定定理,必须按照平行四边形的定义进行,即证明四边形的两组对边分别平行.17.（8分）已知:如图所示,在□ABCD 中,点E 是BC 边的中点,连结DE 并延长交AB 边的延长线于点F . 求证:BF AB =.BC EAFD证明:∵点E 是BC 边的中点 ∴CE BE =∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴CD AB CD AB =,//…………………………………………2分 ∴CD AF // ∴1∠=∠F在△BEF 和△CED 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CE BE F 321 ∴△BEF ≌△CED （AAS ） ∴CD BF =…………………………………………6分 ∵CD BF CD AB ==, ∴BF AB =…………………………………………8分 18.（9分）已知:如图所示,在□ABCD 中,点F 在AB 的延长线上,且AB BF =,连结FD ,交BC 于点E .（1）求证:△DCE ≌△FBE ; （2）若3=EC ,求AD 的长.FEDBCA（1）证明:∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴CD AB CD AB =,//…………………………………………2分 ∴CD AF //∴1∠=∠F∵AB BF = ∴CD BF =在△DCE 和△FBE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BF CD FEB DEC F 1 ∴△DCE ≌△FBE （AAS ）;…………………………………………5分 （2）解:由（1）可知:△DCE ≌△FBE ∴3==BE CE ∴62==CE BC…………………………………………7分 ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴6==BC AD .…………………………………………9分 19.（9分）如图,点B 、E 、C 、F 在同一条直线上,DE AC DF AB ==,,FC BE =. （1）求证:△ABC ≌△DFE ;（2）连结AF 、BD ,求证:四边形ABDF 是平行四边形.证明:（1）∵FC BE = ∴CE FC CE BE +=+ ∴FE BC =…………………………………………1分EDBFAC在△ABC 和△DFE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧===FE BC DE AC DFAB ∴△ABC ≌△DFE （SSS ）;…………………………………………4分（2）由（1）可知:△ABC ≌△DFE ∴21∠=∠ ∴DF AB //…………………………………………6分 ∵DF AB =∴DF AB =// ∴四边形ABDF 是平行四边形.…………………………………………9分 20.（9分）如图所示,AC 、BD 相交于点O ,BC AD CD AB //,//,E 、F 分别是OB 、OD 的中点.求证:四边形AFCE 是平行四边形.FEODBCA证明:∵BC AD CD AB //,// ∴四边形ABCD 是平行四边形…………………………………………3分 ∴OD OB OC OA ==,…………………………………………5分 ∵E 、F 分别是OB 、OD 的中点 ∴OD OF OB OE 21,21==∴OF OE =…………………………………………6分 ∵OF OE OC OA ==, ∴四边形AFCE 是平行四边形.…………………………………………9分 21.（10分）如图,已知︒=∠=∠90E B ,点B 、C 、F 、E 在一条直线上,EC BF DF AC ==,. 求证:四边形ACDF 是平行四边形.证明:∵EC BF = ∴CF EC CF BF -=- ∴EF BC =…………………………………………1分在Rt △ABC 和Rt △DEF 中∵⎩⎨⎧==EF BC DF AC∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ）…………………………………………5分 ∴DFE ACB ∠=∠ ∴21∠=∠ ∴DF AC //…………………………………………7分 ∵DF AC //,DF AC = ∴四边形ACDF 是平行四边形.…………………………………………10分 22.（10分）如图所示,在□ABCD 中,E 、F 分别是AB 、CD 的中点,DE 、BF 与对角线AC 分别交于点M 、N ,连结MF 、NE . （1）求证:BF DE //;（2）判断四边形MENF 是何特殊的四边形,并说明理由.NMEFCABD（1）证明:∵四边形ABCD 是平行四边形∴CD AB CD AB =,//…………………………………………2分 ∴BE DF //∵E 、F 分别是AB 、CD 的中点 ∴AB BE CD DF 21,21==∴BE DF =∵BE DF //,BE DF = ∴四边形BEDF 是平行四边形 ∴BF DE //;…………………………………………5分（2）解:四边形MENF 是平行四边形 …………………………………………6分 理由如下:由（1）可知:BF DE // ∴,//NF ME ABF ∠=∠1 ∵CD AB //∴ABF ∠=∠2,43∠=∠ ∴21∠=∠∵E 、F 分别是AB 、CD 的中点 ∴CD CF AB AE 21,21==∴CF AE =在△AME 和△CNF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠4321CF AE ∴△AME ≌△CNF （ASA ）∴NF ME =∵,//NF ME NF ME = ∴四边形MENF 是平行四边形.…………………………………………10分 23.（11分）如图所示,在四边形ABCD 中,︒=∠90,//A BC AD ,12=AB ,21=BC ,16=AD .动点P 从点B 出发,沿射线BC 以每秒2个单位长度的速度运动,动点Q 同时从点A 出发,在线段AD 上以每秒1个单位长度的速度向点D 运动,当点Q 到达点D 时另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t 秒.（1）填空:=AQ ________,=BP ________,（用含t 的代数式表示）,t 的取值范围是__________;（2）设△DPQ 的面积为S ,用含t 的式子表示S ;（3）当=t _________时,PQ PD =; （4）当t 为何值时,以点P 、C 、D 、Q 为顶点的四边形是平行四边形?DABCQP解:（1）t ,t 2,0≤t ≤16;…………………………………………3分 （2）由题意可知:t AQ AD DQ -=-=16∴()966121621+-=⋅-=t t S ; …………………………………………5分（3）316;…………………………………………7分 提示: 当PQ PD =时,作AD PE ⊥,如图1所示.P由等腰三角形“三线合一”的性质可知:DE QE =易知:四边形ABPE 是矩形（即长方形） ∴t BP AE 2==∴t t t AQ AE QE =-=-=2 t AE AD DE 216-=-= ∵DE QE = ∴t t 216-=解之得:316=t∴当316=t 时,PQ PD =.（4）分为两种情况:图 2P QDABC①当点P 在BC 边上时,四边形PCDQ 是平行四边形,则有DQ PC = ∴t t -=-16221解之得:5=t ;（如图2所示）…………………………………………9分 ②当点P 在BC 边的延长线上时,四边形CPDQ 是平行四边形,则有DQ PC = ∴t t -=-16212解之得:337=t .（如图3所示） 图 3PQDABC综上所述,当5=t 或337=t 时,以点P 、C 、D 、Q 为顶点的四边形是平行四边形.…………………………………………11分学生整理用图。

平行四边形之答禄夫天创作一、选择题:1．下面几组条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（）．A．一组对边相等; B．两条对角线互相平分C．一组对边平行; D．两条对角线互相垂直2．下列命题中正确的是（）．A．对角线互相垂直的四边形是菱形; B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形;D．对角线相等的平行四边形是矩形3．如图所示，四边形ABCD和CEFG都是平行四边形，下面等式中错误的是（）．A．∠1+∠8=1800; B．∠2+∠8=180°;C．∠4+∠6=180°; D．∠1+∠5=180°4．在正方形ABCD所在的平面上，到正方形三边所在直线距离相等的点有（）．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个5．菱形的两条对角线长分别为3和4，那么这个菱形的面积为（平方单位）（ ）．A ．12B ．6C ．5D ．76．矩形两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15cm ，则矩形较短边长为（ ）A ．4cmB ．2cmC ．3cmD ．5cm 7．下列结论中正确的有（ ）①等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形，且有三条对称轴；②矩形既是中心对称，又是轴对称图形，且有四条对称轴； ③对角线相等的梯形是等腰梯形； ④菱形的对角线互相垂直平分．A ．①③；B ．①②③; C．②③④； D ．③④8．小李家住房的结构如图所示，小李打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，他至少要买（ ）m2的木地板 A ．12xy B ．10xy C ．8xy D ．6xy 二、填空题:1．用正三角形和正方形组合能够铺满地面，每个顶点周围有______•个正三角形和______个正方形．2．平行四边形的一组对角和为300°，则另一组对角的度数分别为______．3．已知P为□ABCD的边AB上一点，则S△PCD=____．4．已知□ABCD中，∠A比∠B小20°，那么∠C的度数是________．5．在□ABCD中，若一条对角线平分一个内角，则四边形ABCD为_______形．6．一个正方形要绕它的中心至少旋转______，才干和原来的图形重合；若绕它的一个顶点至少旋转________，才干和原来的图形重合．7．如图所示，在等腰梯形ABCD中，共有_____对相等的线段．8．梯形的上底长为acm，下底长为bcm（a<b），•它的一条对角线把它分成的两部分的面积比为_______．三、解答题．1．在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，AD与CD的长度分别为a和b．（1）求AB的长．（2）若AD⊥AB于点A，求梯形的面积．2．梯形ABCD中，DC∥AB，DC<AB，过D点作DE∥AB，交AB 于点E，•若梯形周长为30cm，CD=4cm，则△ADE的周长比梯形的周长少多少厘米？3．如图所示，已知四边形ABCD为正方形，M为BC边中点，将正方形折起，使点M•与A重合，设折痕为EF，则ME=AB，求△AEM的面积与正方形ABCD面积的比．4．如图所示，已知□ABCD中，AC的平行线MN分别交DA，DC的延长线于M，N，交AB，BC于P，Q，求证：QM=NP．5．已知AD是△ABC中∠A的平分线，DE∥AC交AB于E点，DF∥AB交AC于F点．求证：E，F关于直线AD对称．6．（1）证明：在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°．（2）利用这个结论解决下列问题：如图所示，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AD⊥AC，AD=AC，DB=DC，AC，BD交于点E，•试问CE与CB相等吗，为什么？参考答案:一、1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．A二、1．3 2 2．30°3．4．80°5．菱6．90° 360°7． 48．解析：如答图所示，对角线AC将梯形ABCD分成△ACD与△ABC，S△ACD= ，S△ABC =，∴S△ACD：S△ABC =a：b．答案：a：b三、1．解析：如答图所示．（1）过C点作CE∥DA．∵AB∥CD，∴四边形AECD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），∴∠AEC=∠D．∵∠D=2∠B，∴∠AEC=2∠B=∠1+∠B，∴∠1=∠B，∴EC=EB．∵DC=b，AD=a，∴AE=b，CE=EB=a，∴AB=a+b．（2）S梯形ABCD= ×AB= ×a= ．2．解析：如答图所示．∵DC∥AB，DE∥CB，∴四边形DEBC是平行四边形，∴DC=EB，DE=CB，∴L梯形A BCDL△ADE=（DC+AD+AB+BC）（AD+AE+DE）=DC+EB=2DC．∵CD=4cm，∴△ADE的周长比梯形的周长少8cm．3．解析：依题意可知EM=EA．∵EM=AB，EA=AB．∵M是BC边中点，∴MB= BC．∵正方形ABCD，∴∠B=90°，AB=BC=CD=DA，∴S△AEM：S正方形ABCD= ：AB2= ：AB2=1：6．4．解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥ND．∵AC∥MN，∴四边形ACQM，APNC是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴AC=PN=MQ（平行四边形对边相等）．5．如答图所示，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．∵AD是△ABC中∠A的平分线，∴∠1=∠2，∴□AEDF是菱形（对角线平分一组对角的平行四边形是菱形）．∴EF关于直线AD对称．6．如答图所示，过A点，B点分别作AM⊥DC于M点，BN⊥DC于N点．∵AB∥DC，∴AM=BN，∵AD=AC，∴DM=MC=DC．∵AD⊥AC，∴∠ACD=45°，AM=MC=MD=CD．∵DB=DC，∴BN=AM=DB，∴∠BDC=30°，∴∠CEB=∠ACD+∠DCB=45°+30°=75°，∠DCB=∠DBC=（180°∠BDC）=（180°30°）=75°，∴∠DBC=∠CEB，∴CE=CB．创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日。

第18章平行四边形达标测试卷一、选择题(每题3分，共24分)1．在▱ABCD中，∠A＋∠C＝210°，则∠B的度数为()A．30°B．75°C．95°D．105°2．如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P从左向右运动时，△PCD的面积将()A．变大B．变小C．不变D．无法确定(第2题)(第3题)3．如图，在四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，DE＝CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A．AD＝BC B．AB＝CDC．CE＝BC D．∠A＝∠D4．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长为()A．6 B．8C．10 D．12(第4题)(第5题)5．如图，在▱ABCD中，∠BDC＝47°42′，依据尺规作图的痕迹，计算α的度数是()A．67°29′ B．67°9′C．66°29′ D．66°9′6．如图，在△MBN中，BM＝6，点A，C，D分别在MB，NB，MN上，四边形ABCD为平行四边形，∠NDC＝∠MDA，则▱ABCD的周长是()A．24 B．18 C．16 D．12(第6题)(第8题)7．四边形ABCD是平行四边形，点E是平面内一点，且到AD，AB，BC三边所在直线的距离相等，则下列结论正确的是()A．∠AEB的度数不确定B．符合条件的点E有两处C．S△AED＝S△BEC，S△AEB＝S△CEDD．点E在对角线AC上8．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC，其中正确结论的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(每题4分，共24分)9．在四边形ABCD中，(1)∠A＝∠C，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是______________________________________．(添加一个条件即可) (2)若AB＝3，BC＝4，CD＝3，要使该四边形ABCD是平行四边形，则AD＝________．10．如图，▱ABCD中，AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，BD＝20，BE＝7，AE＝4，则AC的长等于________．(第10题)(第11题)11．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上．若AD＝AE＝BE，∠D＝108°，则∠BAC＝________°. 12．如图，▱ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝________.(第12题)(第13题)13．如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，AF与BE相交于点G，DF与EC相交于点H，若S△ABG＝16，S△DHC＝7，则四边形EGFH的面积为________．14．如图，▱OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为________．(第14题)三、解答题(15～18题每题8分，19～20题每题10分，共52分)15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，DE＝BF，求证：四边形ABCD是平行四边形．(第15题)16. 如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，点G，H分别在边AD，3BC上，连结EG，FH，且BE＝DF，EG∥FH，连结GH交BD于点O.求证：EG＝FH.(第16题)17．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G，H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连结GE，EH，HF，FG.求证：四边形GEHF是平行四边形．(第17题)18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝43x＋4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，四边形AOCB是平行四边形，求直线AC的表达式．(第18题)19．如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.(第19题) (1)求证：△BCE≌△ADF；(2)设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求ST的值．520．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧，点P，Q分别是射线AD，射线CB上的点，且CQ＝2AP，点E是线段CQ上的点，QE＝2，设AP＝x.(1)若PE⊥BC，求BQ的长；(2)请问是否存在x的值，使得以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．(第20题)7 答案一、1.B 2.C 3.A 4.C 5.D 6．D 7.B 8.D二、9.(1)∠B ＝∠D (答案不唯一) (2)4 10．1011．24 12.61° 13.2314．5 点拨：易知当B 在x 轴上时，对角线OB 长最小，设直线x ＝1和x ＝4分别与x 轴交于点D ，E .由题意得出∠ADO ＝∠CEB ＝90°，OD ＝1，OE ＝4，由平行四边形的性质得出OA ∥BC ，OA ＝BC ，得出∠AOD ＝∠CBE ，所以△AOD ≌△CBE ，得出OD ＝BE ＝1，即可得出OB ＝1＋4＝5. 三、15.证明：∵AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠BCF ， ∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠AED ＝∠CFB ＝90°，在△AED 和△CFB 中，⎩⎨⎧∠AED ＝∠CFB ，∠DAE ＝∠BCF ，DE ＝BF ，∴△AED ≌△CFB ， ∴AD ＝BC ， 又∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形． 16．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠GDE ＝∠HBF ， ∵EG ∥FH ，∴∠GED ＝∠HFB ， ∵BE ＝DF ，∴BD －BE ＝BD －DF ， 即DE ＝BF ，在△GED 和△HFB 中，⎩⎨⎧∠GDE ＝∠HBF ，DE ＝BF ，∠GED ＝∠HFB ，∴△GED ≌△HFB ，∴EG ＝FH .17．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴∠GBE ＝∠HDF .∵AG ＝CH ，∴AB ＋AG ＝CD ＋CH ，即BG ＝DH .又∵BE ＝DF ，∴△GBE ≌△HDF . ∴GE ＝HF ，∠GEB ＝∠HFD .∴∠GEF ＝∠HFE . ∴GE ∥HF .∴四边形GEHF 是平行四边形．18．解：∵一次函数y ＝43x ＋4的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴A (－3，0)，B (0，4)． ∵四边形AOCB 是平行四边形， ∴BC ∥OA ，BC ＝OA ＝3， ∴C (3，4)，设直线AC 的表达式为y ＝kx ＋b ，把(－3，0)，(3，4)代入， 得⎩⎨⎧－3k ＋b ＝0，3k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，b ＝2， ∴直线AC 的表达式为y ＝23x ＋2.19．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°. ∵AF ∥BE ，∴∠EBA ＋∠BAF ＝180°， ∴∠CBE ＝∠DAF ， 同理得∠BCE ＝∠ADF . 在△BCE 和△ADF 中，∵⎩⎨⎧∠CBE ＝∠DAF ，BC ＝AD ，∠BCE ＝∠ADF ，∴△BCE ≌△ADF .(2)解：由点E 在▱ABCD 内部，9 易得S △BEC ＋S △AED ＝12S ▱ABCD ， 由(1)知△BCE ≌△ADF ， ∴S △BCE ＝S △ADF ，∴S 四边形AEDF ＝S △ADF ＋S △AED ＝S △BCE ＋S △AED ＝12S ▱ABCD . ∵▱ABCD 的面积为S ，四边形AEDF 的面积为T ， ∴S T ＝S12S＝2.20．(1)解： 如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，PE 交AC 于点N ，(第20题)∵∠BAC ＝90°，∠B ＝45°，∴∠C ＝180－∠BAC －∠ABC ＝45°， ∴∠ABC ＝∠C ，BM ＝MC ＝12BC ＝12×10＝5， ∵AM ⊥BC ，PE ⊥BC ， ∴AM ∥PE ， 又∵AD ∥BC ，∴四边形AMEP 为平行四边形， ∴ME ＝AP ＝x ， ∵CQ ＝2AP ，∴CQ ＝2x ∵QE ＝2，CE ＝y ＝2x －2，由MC ＝CE ＋ME 可知，5＝2x －2＋x ， 解得x ＝73，即AP ＝73，∴CQ ＝2AP ＝2×73＝143，∴BQ ＝BC －CQ ＝10－143＝163； (2)存在，理由如下：若以A ，B ，E ，P 为顶点的四边形是平行四边形， 则AP ＝BE ， ∴x ＝10－(2x －2)或x ＝2x －2－10，解得x＝4或x＝12.。

八年级数学下册《平行四边形》单元测试卷（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则CD＝（）A．4B．5C．6D．72．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则BC的长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm3．下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D．有两组对角相等的四边形是平行四边形4．如图，在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（）A．9个B．8个C．6个D．4个5．如图，▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，BE＝5，DE＝4，则CE的长为（）A．B．C．D．6．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若▱ABCD的周长为30，则△ABE的周长为（）A．30B．26C．20D．157．如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（）A．4B．6C．8D．108．如图，将▱DEBF的对角线EF向两端延长，分别至点A和点C，且使AE＝CF，连接AB，BC，AD，CD．求证：四边形ABCD为平行四边形．以下是证明过程，其顺序已被打乱，①∴四边形ABCD为平行四边形；②∵四边形DEBF为平行四边形，∴OD＝OB，OE＝OF；③连接BD，交AC于点O；④又∵AE＝CF，∴AE+OE＝CF+OF，即OA＝OC．正确的证明步骤是（）A．①②③④B．③④②①C．③②④①D．④③②①9．如图，在▱ABCD中，点M，N分别是AD、BC的中点，点O是CM，DN的交点，直线AB分别与CM，DN的延长线交于点P、Q．若▱ABCD的面积为192，则△POQ的面积为（）A．72B．144C．208D．21610．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，，则下列结论：①∠CAD＝30°②③S平行四边形ABCD＝AB•AC④，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共8小题，满分32分）11．如图，已知▱ABCD中，AD⊥BD，AC＝10，AD＝4，则BD的长是．12．下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是．A．AB∥CD，AD∥BC B．AD＝BC，AB＝CDC．AB∥CD，AD＝BC D．∠A＝∠C，∠B＝∠D13．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是．14．如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的位置用数对分别表示为（4，6），（1，3），（5，3），则顶点D的位置用数对表示为．15．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则▱ABCD的两条对角线长的和．16．如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E、F，若BE＝6，则CF＝．17．如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，E，F分别是边AD，BC上不与端点重合的两点，连接EF，下列条件中使得四边形BFDE是平行四边形的是．（多选）A．AE＝CFB．EF经过BD的中点C．BE∥DFD．EF⊥AD18．在如图的网格中，以格点A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为个．三．解答题（共6小题，满分48分）19．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M，CF平分∠BCD交BD于点F．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠ABC＝70°，求∠AMB的度数．20．在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，BE平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝3，BC＝5，求AF的长．21．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．（1）求证：AB＝AE．（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．22．如图，点B、C、E、F在同一直线上，BE＝CF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）四边形ABED是平行四边形．23．如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，以AD为边向左侧作等边△ADE，边ED与AB交于点G．（1）求∠CAE的度数；（2）取AB的中点F，连接CF，EF，求证：四边形CDEF是平行四边形．24．在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；②求证：CD＝CH．参考答案与解析一．选择题（共10小题，满分40分）1．解：在▱ABCD中，AD＝8；∴BC＝AD＝8，AD∥BC；∴CE＝BC﹣BE＝8﹣3＝5，∠ADE＝∠CED；∵DE平分∠ADC；∴∠ADE＝∠CDE；∴∠CDE＝∠CED；∴CD＝CE＝5；故选：B．2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10cm，BD＝6cm；∴OA＝OC＝AC＝5（cm），OB＝OD＝BD＝3（cm）；∵∠ODA＝90°；∴AD＝＝＝4（cm）；∴BC＝AD＝4（cm）；故选：A．3．解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形；∴选项A不符合题意；B、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；∴选项B不符合题意；C、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形；∴选项C符合题意；D、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形；∴选项D不符合题意；故选：C．4．解：设EF与NH交于点O；∵在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB；∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD；则图中的四边BEON、DFOH、DHNC、BEFC、BAHN、AEOH、AEFD、ONCF都是平行四边形，共8个．故选：B．5．解：∵AE＝3，BE＝5；∴AB＝8；∵四边形ABCD是平行四边形；∴CD＝AB＝8，AB∥CD，AD＝BC；∴∠DCE＝∠CEB；∵CE平分∠BCD；∴∠DCE＝∠BCE；∴∠BCE＝∠BEC；∴BC＝BE＝5＝AD；∵AE2+DE2＝9+16＝25，AD2＝25；∴AE2+DE2＝AD2；∴∠AED＝90°；∵DC∥CD；∴∠CDE＝90°；在△DCE中，由勾股定理可得：CE＝＝＝4；故选：A．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形；∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD；又∵OE⊥BD；∴OE是线段BD的中垂线；∴BE＝DE；∴AE+ED＝AE+BE；∵▱ABCD的周长为30；∴AB+AD＝15；∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AD＝15；故选：D．7．解：∵平行四边形ABCD；∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC；∵EO⊥AC；∴AE＝EC；∵AB+BC+CD+AD＝16；∴AD+DC＝8；∴△DCE的周长是：CD+DE+CE＝AE+DE+CD＝AD+CD＝8；故选：C．8．解：连接BD，交AC于点O，如图所示：∵四边形DEBF为平行四边形；∴OD＝OB，OE＝OF；又∵AE＝CF；∴AE+OE＝CF+OF；即OA＝OC；∴四边形ABCD为平行四边形；即正确的证明步骤是③②④①；故选：C．9．解：连接MN，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形；∴CD∥AB，AD∥BC，AD＝BC；∴∠CDQ＝∠Q，∠DCB＝∠CBQ；∵点M，N分别是AD、BC的中点；∴DM＝CN，CN＝BN；∴四边形CDMN是平行四边形；在△CDN和△BQN中；；∴△CDN≌△BQN（AAS）；同理可得：△CDM≌△P AM；∴△POQ的面积＝四边形ABCD的面积+△COD的面积，O是CM的中点；∵▱ABCD的面积为192；∴四边形CDMN的面积是96；∴△CDM的面积为四边形CDMN的面积的一半，即48；∴△COD的面积为24；∴△POQ的面积＝四边形ABCD的面积+△COD的面积＝192+24＝216．故选：D．10．解：①∵AE平分∠BAD；∴∠BAE＝∠DAE；∵四边形ABCD是平行四边形；∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°；∴∠DAE＝∠BEA；∴∠BAE＝∠BEA；∴AB＝BE＝1；∴△ABE是等边三角形；∴AE＝BE＝1；∵BC＝2；∴EC＝1；∴AE＝EC；∴∠EAC＝∠ACE；∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°；∴∠ACE＝30°；∵AD∥BC；∴∠CAD＝∠ACE＝30°；故①正确；②∵BE＝EC，OA＝OC；∴OE＝AB＝，OE∥AB；∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°；Rt△EOC中，OC＝；∵四边形ABCD是平行四边形；∴∠BCD＝∠BAD＝120°；∴∠ACB＝30°；∴∠ACD＝90°；Rt△OCD中，OD＝；∴BD＝2OD＝；故②正确；③由②知：∠BAC＝90°；∴S平行四边形ABCD＝AB•AC；故③正确；④由②知：OE是△ABC的中位线；∴OE＝AB；∵AB＝BC；∴OE＝BC＝AD；故④正确；故选：D．二．填空题（共8小题，满分32分）11．解：∵四边形ABCD是平行四边形；∴AO＝CO＝AC，DO＝BO；∵AC＝10；∴AO＝5；∵AD⊥DB；∴∠ADB＝90°，AD＝4；∴DO＝＝3；∴BD＝6；故答案为：6．12．解：A．根据AB∥CD，AD∥BC能推出四边形ABCD是平行四边形；B．根据AD＝BC，AB＝CD能推出四边形ABCD是平行四边形；C．根据AB∥CD，AD＝BC能得出四边形是等腰梯形，不能推出四边形ABCD是平行四边形D．根据∠A＝∠C，∠B＝∠D能推出四边形ABCD是平行四边形；故答案为：ABD．13．解：作AM⊥BC于M，如图所示：则∠AMB＝90°；∵∠ABC＝60°；∴∠BAM＝30°；∴BM＝AB＝×2＝1；在Rt△ABM中，AB2＝AM2+BM2；∴AM＝＝＝；∴S平行四边形ABCD＝BC•AM＝3；∵四边形ABCD是平行四边形；∴AD∥BC，BO＝DO；∴∠OBE＝∠ODF；在△BOE和△DOF中；；∴△BOE≌△DOF（ASA）；∴S△BOE＝S△DOF；∴图中阴影部分的面积＝▱ABCD的面积＝；故答案为：．14．解：∵平行四边形ABCD的顶点A，B，C的位置用数对分别表示为（4，6），（1，3），（5，3）；∴点D坐标为（8，6）；故答案为：（8，6）．15．解：∵四边形ABCD是平行四边形；∴AB＝CD＝5；∵△OCD的周长为23；∴OD+OC＝23﹣5＝18；∵BD＝2DO，AC＝2OC；∴平行四边形ABCD的两条对角线的和＝BD+AC＝2（DO+OC）＝36；故答案为：36．16．解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O；∵四边形ABCD是平行四边形；∴AD∥BC，AB∥CD；∴∠ABC+∠DCB+180°；∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD；∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF；∴∠CBE+∠BCF＝90°；∴∠BHC＝90°；∵AM∥CF；∴∠AOE＝∠BHC＝90°；∵AD∥BC；∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE；∴AB＝AE＝5；又∵∠AOE＝90°；∴BO＝OE＝3；∴AO＝＝＝4；在△ABO和△MBO中；；∴△ABO≌△MBO（ASA）；∴AO＝OM＝4；∴AM＝8；∵AD∥BC，AM∥CF；∴四边形AMCF是平行四边形；∴CF＝AM＝8；故答案为：8．17．解：∵四边形ABCD是平行四边形；∴AD∥BC；∵AE＝CF，AD＝BC；∴DE＝BF；∴四边形BFDE是平行四边形；故A选项符合题意；若EF经过BD的中点O；∵AD∥BC；∴∠EDO＝∠FBO；在△BOF和△DOE中；；∴△BOF≌△DOE（ASA）；∴BF＝DE；∴四边形BFDE是平行四边形；故B选项符合题意；∵DE∥BF，BE∥DF；∴四边形BFDE是平行四边形；故C选项符合题意；由EF⊥AD不能判定四边形BFDE是平行四边形；故D选项不符合题意；故答案为：A，B，C．18．解：如图所示：图中平行四边形有▱ABEC，▱BDEC，▱BEFC共3个．故答案为：3．三．解答题（共6小题，满分48分）19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形；∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD∴∠ABE＝∠CDF；∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD；∴∠BAE＝∠DCF；∴△ABE≌△CDF（ASA）；∴AE＝CF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形；∴AD∥BC，∠BAD+∠ABC＝180°；∵∠ABC＝70°；∴∠BAD＝110°；∵AM平分∠BAD，AD∥BC；∴∠AMB＝∠DAM＝55°．20．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形；∴∠AEB＝∠EBC；∵BE平分∠ABC；∴∠ABE＝∠EBC；∴∠ABE＝∠AEB；∴AE＝AB；（2）解：AC⊥AB，AB＝3，BC＝5；∴AC＝；过F点作FH⊥BC，垂足为H；∵BE平分∠ABC，AC⊥AB；∴AF＝FH；∵S△ABC＝S△ABF+S△BFC；∴AB•AC＝AB•AF+BC•FH；即；∴AF＝．21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形；∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD；∴∠E＝∠DCF；∵点F是AD中点；∴AF＝DF；∵∠EF A＝∠CFD；∴△AFE≌△DFC（AAS）；∴CD＝AE；∴AB＝AE；（2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD；∵BC＝2AE；∵∠E＝31°；∴∠AFE＝∠E＝31°；∴∠DAB＝2∠E＝62°．22．证明：（1）∵BE＝CF；∴BE﹣CE＝CF﹣CE；即BC＝EF；又∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F；∴∠ACB＝∠DFE＝90°；在△ABC和△DEF中；；∴△ABC≌△DEF（SAS）；（2）由（1）知△ABC≌△DEF；∴AB＝DE，∠ABC＝∠DEF；∴AB∥DE；∴四边形ABED是平行四边形．23．（1）解：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点；∴AD⊥BC，∠BAC＝60°；∴∠DAC＝∠BAC＝30°；∵△AED是等边三角形；∴∠EAD＝60°；∴∠CAE＝∠EAD+∠DAC＝90°；（2）证明：∵F是等边△ABC边AB的中点，D是边BC的中点；∴CF＝AD，CF⊥AB；∵△AED是等边三角形；∴AD＝ED；∴CF＝ED；∵∠BAD＝∠BAC＝30°，∠EAG＝∠EAD＝30°；∴ED⊥AB；∴CF∥ED；∵CF＝ED；∴四边形CDEF是平行四边形．24．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点；∴AD∥BC，BO＝DO；∴∠ADB＝∠CBD；在△BOE与△DOF中；；∴△BOE≌△DOF（ASA）；∴DF＝BE且DF∥BE；∴四边形BEDF是平行四边形；（2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N；∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4；∴EN＝CN＝2；∴DN＝＝＝4；∵∠DBC＝45°，DN⊥BC；∴∠DBC＝∠BDN＝45°；∴DN＝BN＝4；∴BE＝BN﹣EN＝4；②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE；∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°；∴∠EDN＝∠ECG；∵DE＝DC，DN⊥EC；∴∠EDN＝∠CDN；∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN；∴∠CDB＝∠DHC；∴CD＝CH．。

八年级数学（下）第十八章《平行四边形》单元测试卷（时间90分钟 满分100分）班级 学号 姓名 得分一、填空题（共14小题，每题2分，共28分）1．四边形的内角和等于 º，外角和等于 º ．2．正方形的面积为4，则它的边长为 ，一条对角线长为 ． 3．一个多边形，若它的内角和等于外角和的3倍，则它是 边形．4．如果四边形ABCD 满足 条件，那么这个四边形的对角线AC 和BD 互相垂直（只需填写一组你认为适当的条件）．5．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ．6．已知菱形两条对角线的长分别为5cm 和8cm ，则这个菱形的面积是______cm ． 7．平行四边形ABCD ，加一个条件__________________，它就是菱形．8．等腰梯形的上底是10cm ，下底是14cm ，高是2cm ，则等腰梯形的周长为______cm ． 9．已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线的长为 ．10．如图，ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥DC 于F ，BC=5，AB=4，AE=3，则AF 的长为 ．11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD=4，BC=8，则EF= ，EF 分梯形所得的两个梯形的面积比S 1 ：S 2为 ．12．下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是图形_______（请填图形下面的代号）．第10题 第11题13．如图，小亮从A 点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了 米．14．如图，依次连接第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去，若第一个正方形的边长为1，则第n 个正方形的面积是 ．二、填空题（共4小题，每题3分，共12分） 15．如图，ABCD 中，AE 平分∠DAB ，∠B=100°，则∠DAE等于（ ）A ．100°B ．80°C ．60°D ．40°16．某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，•从学生中征集到设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（ ） A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．等腰梯形 D ．菱形17．一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）A ．6条B ．7条C ．8条D ．9条 18．如图，图中的△BDC′是将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形（ ）对． A ．1 B ．2 C ．3 D ．430°30°30°A第13题第15题第18题三、解答题（共60分）19．（5分）如图，在□ABCD中，DB=CD，∠C=70°，AE⊥BD于点E．试求∠DAE的度数．20．（5分）已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DFGE是平行四边形．21．（5分）在一个平行四边形中若一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm•的两条线段，求该平行四边形的周长是多少？22．（6分）已知：如图，ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF 求证：AC与EF互相平分23．（6分）如图，一块正方形地板由全等的正方形瓷砖铺成，这地板的两条对角线上的瓷砖全是黑色，其余的瓷砖是白色的，如果有101块黑色瓷砖，那么瓷砖的总数是多少？24．（6分）顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是什么特殊的四边形？画出图形，写出已知，求证并证明．已知：求证：证明：25．（6分）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN•∥BC，•设MN•交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由？（2）当点O运动何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由．26．（6分）如图，若已知△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则可得DE∥BC，且DE=12BC．•根据上面的结论：（1）你能否说出顺次连结任意四边形各边中点，可得到一个什么特殊四边形？•并说明理由．（2）如果将（1）中的“任意四边形”改为条件是“平行四边形”或“菱形”或“矩形”或“等腰梯形”，那么它们的结论又分别怎样呢？请说明理由．27．（7分）如图，△ABD、△BCE、△ACF均为等边三角形，请回答下列问题（不要求证明）（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？28．（8分）如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，•即△ABD•、•△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由．（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．参考答案一、填空题1．360 ，360 2．2，22 3．8 4．四边形ABCD 是菱形或四条边都相等或四边形ABCD是正方形等 5． 6．20 7．一组邻边相等或对角线互相垂直 8．24+49．510．41511．6，7512．② 13.120 14．112n -⎛⎫⎪⎝⎭二、选择题15．•D •16．D 17．A 18．D 三、解答题19．∠DAE=20° 20．略 21．14cm 或16cm 22．略 23．2601块 24．略 25．（1）OE=OF ；（2）当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF•是矩形 26．（1）平行四边形；（2）平行四边形，矩形，菱形，正方形 27．（1）平行四边形；（2）满足∠BAC=150º时，四边形ADEF 是矩形；（3）当△ABC 为等边三角形时，以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在 28．（1）平行四边形；（2）当∠BAC=150°时是矩形；（3）∠BAC=60°。

八年级初二数学下学期平行四边形单元达标学能测试试卷一、解答题1．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC BD ⊥，则2222AB CD AD BC +=+．（1）请帮助小明证明这一结论；（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以Rt ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE .已知4AC =，5AB =，求GE 的长，请你帮助小明解决这一问题．2．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠ADC ＝120°．动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动，连接AF 、CE ，分别取AF 、CE 的中点G 、H ．设运动的时间为ts （0＜t ＜4）．（1）求证：AF ∥CE ；（2）当t 为何值时，△ADF 的面积为32cm 2； （3）连接GE 、FH ．当t 为何值时，四边形EHFG 为菱形．3．如图，ABC 是等腰直角三角形，90,ACB ∠=︒分别以,AB AC 为直角边向外作等腰直角ABD △和等腰直角,ACE G 为BD 的中点，连接,,CG BE ,CD BE 与CD 交于点F ．（1）证明：四边形ACGD 是平行四边形；（2）线段BE 和线段CD 有什么数量关系，请说明理由；（3）已知2,BC =求EF 的长度(结果用含根号的式子表示)．4．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，AE =AD ，作DF ⊥AE 于点F ． （1）求证：AB ＝AF ；（2）连BF 并延长交DE 于G ．①EG ＝DG ；②若EG ＝1，求矩形ABCD 的面积．5．如图1，已知四边形ABCD 是正方形，E 是对角线BD 上的一点，连接AE ，CE ．（1）求证：AE ＝CE ；（2）如图2，点P 是边CD 上的一点，且PE ⊥BD 于E ，连接BP ，O 为BP 的中点，连接EO ．若∠PBC ＝30°，求∠POE 的度数；（3）在（2）的条件下，若OE 2，求CE 的长．6．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =．（1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ：①若522CE =，求BD 长度；②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =； （2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最小值．7．如图平行四边形ABCD ，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且AE ＝CF ，EF 与AC 交于点O ． （1）如图①．求证：OE ＝OF ；（2）如图②，将平行四边形ABCD （纸片沿直线EF 折叠，点A 落在A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 交CD 于点G ．A 1B 分别交CD ，DE 于点H ，P ．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP 相等，并加以证明；（3）如图③，若△ABO 是等边三角形，AB ＝4，点F 在BC 边上，且BF ＝4．则CF OF＝ （直接填结果）．8．类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”． （1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD 中，BC ≠AB ，BD ⊥CD ，AB =3，BD =4，求BC 的长；（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；（3）如图2，在△ABC 中，AB =2，∠BAC =90°．在AB 的垂直平分线上是否存在点P ，使得以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为“准等边四边形”． 若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．9．如图，ABCD 中，60ABC ∠=︒，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD 于点F ．（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积； （2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=︒，求证：3BG GD AG +=．10．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值；（3）当325t =时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）证明见解析；（2）73．【分析】（1）由题意根据勾股定理分别表示出2222,AB CD AD BC ++进行分析求证即可；（2）根据题意连接CG 、BE ，证明△GAB ≌△CAE ，进而得BG ⊥CE ，再根据（1）的结论进行分析即可求出答案．【详解】解：（1）∵AC ⊥BD ，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，222222AD BC AO DO BO CO +=+++，222222AB CD AO BO CO DO +=+++，∴2222AD BC AB CD +=+；（2）连接CG 、BE ，如图2，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC ，即∠GAB=∠CAE ，在△GAB 和△CAE 中，AG AC GAB CAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GAB ≌△CAE （SAS ），∴∠ABG=∠AEC ，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE ⊥BG ，由（1）得，2222CG BE CB GE +=+，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=42，BE=52，∴222273GE CG BE CB =+-=，∴GE=73．【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，熟练并正确理解全等三角形的判定和性质以及灵活运用勾股定理是解题的关键．2．（1）见解析；（2）t ＝2；（3）t ＝1．【分析】 （1）由菱形的性质可得AB ＝CD ，AB ∥CD ，可求CF ＝AE ，可得结论；（2）由菱形的性质可求AD ＝2cm ，∠ADN ＝60°，由直角三角形的性质可求AN ＝3DN ＝3cm ，由三角形的面积公式可求解；（3）由菱形的性质可得EF ⊥GH ，可证四边形DFEM 是矩形，可得DF ＝ME ，由直角三角形的性质可求AM ＝1，即可求解．【详解】证明：（1）∵动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动， ∴DF ＝BE ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴CF ＝AE ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AF ∥CE ；（2）如图1，过点A 作AN ⊥CD 于N ，∵在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠ADC ＝120°，∴AD ＝2cm ，∠ADN ＝60°，∴∠NAD ＝30°，∴DN ＝12AD ＝1cm ，AN 33cm ， ∴S △ADF ＝12×DF×AN ＝12×12332， ∴t ＝2；（3）如图2，连接GH，EF，过点D作DM⊥AB于M，∵四边形AECF是平行四边形，∴FA＝CE，∵点G是AF的中点，点H是CE的中点，∴FG＝CH，∴四边形FGHC是平行四边形，∴CF∥GH，∵四边形EHFG为菱形，∴EF⊥GH，∴EF⊥CD，∵AB∥CD，∴EF⊥AB，又∵DM⊥AB，∴四边形DFEM是矩形，∴DF＝ME，∵∠DAB＝60°，∴∠ADM＝30°，∴AM＝12AD＝1cm，∵AM+ME+BE＝AB，∴1+12t+12t＝2，∴t＝1．【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．3．（1）见解析；（2）BE=CD，理由见解析；（3）EF 310 5【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD为平行四边形；（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE 为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE ≌△CAD ，易得∠CBE=∠ACD ，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．（3）先证明△DBF 是直角三角形，再利用勾股定理进行计算，即可求出答案．【详解】解：（1）∵△ABC 和△ABD 都是等腰直角三角形∴∠CAB =∠ABD = 45°，BDABBC =2BC =2AC∴AC ∥BD又∵G 为BD 的中点，∴BD =2DG ，∴AC =DG ，AC ∥DG∴四边形ACGD 为平行四边形；（2）BE =CD ，理由如下∵△AEC 和△ABD 都是等腰直角三角形AE =AC ，AB =AD∠EAB =∠EAC +∠CAB =90°+45°=135°，∠CAD =∠DAB +∠BAC =90°+45°=135°，∴∠EAB =∠CAD ，在△DAC 与△BAE 中，AD AB CAD EAB AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAC ≌△BAE ，∴BE =CD ；（3） ∵△DAC ≌△BAE∴∠AEB=∠ACD又∵∠EAC=90°∴∠EFC=∠DFB=90°∴ △DBF 是直角三角形∵BC，∴BD根据勾股定理得CD， ∴11••22CD BF BC BD = ∴12=12•∴BF∴EF =BE -BF =CD -BF【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．4．（1）见解析；（2）①见解析；②+2【分析】（1）根据矩形的性质，结合角平分线的定义可证明△ABE≌△AFD（AAS），进而证得结论；（2）①通过求解∴∠EFG=∠AED=67.5°，∠DFG=∠FDG=22.5°，进而可得EG=FG=DG；②AB=x，则x，DF=AF=x，x-x，利用勾股定理可求解x值，再根据矩形ABCD 的面积=△AED面积的2倍可求解．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠DAB=∠ABE=90°，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴∠BAE=∠AEB=45°，∴AB=EB，∵DF⊥AC∴∠AFD=90°，∴∠ABE=∠AFD=90°，∵AE=AD，∴△ABE≌△AFD（AAS），∴AB=AF；（2）①证明：∵AE=AD，∠EAD=45°，∴∠AED=∠ADE=67.5°，∴∠FDG=22.5°，∵AB=AF，∠BAF=45°，∴∠AFB=67.5°，∴∠EFG=67.5°，∴∠EFG=∠AED，∴FG=EG，∠DFG=22.5°，∴∠DFG=∠FDG，∴FG=DG，∴EG=DG；②∵EG=1，∴DG=2，设AB=x，则x，DF=AF=x，∴x-x ，x-x ）2+x 2=22，解得x 2，∴矩形ABCD 的面积=2×12×AE×DFx 2． 【点睛】本题主要考查勾股定理，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，灵活运用定理是解题的关键．5．（1）详见解析；（2）30°；（3）2【分析】（1）利用正方形的性质，得到AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ＝45°，进而判断△ADE ≌△CDE 得到结论；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以得到OB ＝OE ，∠OBE ＝∠OEB ＝15°，再利用外角和定理求得；（3）连接OC ，与（2）同理得到∠POC ＝60°，则△EOC 为直接三角形，再应用勾股定理求得.【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ＝45°，在△ADE 和△CDE 中， AD CD ADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CDE （SAS ），∴AE ＝CE ；（2）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DBC ＝45°，∵∠PBC ＝30°，∴∠PBE ＝15°，∵PE ⊥BD ，O 为BP 的中点，∴EO ＝BO ＝PO ，∴∠OBE ＝∠OEB ＝15°，∴∠EOP ＝∠OBE ＋∠OEB ＝30°；（3）如图，连接OC ，∵点O是BP的中点，∠BCP＝90°，∴CO＝BO，∴EO＝CO＝2，∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠POC＝60°，∴∠EOC＝∠EOP＋∠POC＝90°，∵EC2＝EO2＋CO2＝4，∴EC＝2.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、外角和定理、勾股定理，综合性较强，要注意数形结合.6．（1）①7；②证明见解析；（2）93，理由见解析【分析】（1）①如图1中，延长BC交DE的延长线于T，过点T作TH⊥BD于H，设BD=2x．证明△BDT是等腰直角三角形，四边形ACTE是矩形，进而利用勾股定理构建方程求解即可；②如图2中，延长BC交DE的延长线于T，连接TF，进而利用全等三角形的性质证明△CEF是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图3中，根据题意设∠EAD=x，则∠BAC=2x．证明△ABC是等边三角形，再根据垂线段最短即可解决问题．【详解】解：（1）①如图1中，延长BC交DE的延长线于T，过点T作TH⊥BD于H，设BD=2x．∵∠ACB=90°，∠ACB+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∵CA=CB，EA=ED，∴∠B=∠D=45°，∴∠BTD=90°，∵∠TCA=∠CTE=∠TEA=90°，∴四边形ACTE 是矩形， ∴522EC AT ==， ∵TH ⊥BD ，∴BH=HD=x ，∴TH=HB=HD=x ，∵AB=3，∴AH=x-3，在Rt △ATH 中，则有22252(())3x x =-+， 解得：72x =或12-（不符合题意舍弃）， ∴BD=2x=7．②证明：如图2中，延长BC 交DE 的延长线于T ，连接TF ．∵∠B=∠D=45°，∴TB=TD ，∵∠BTD=90°，BF=DF ，∴TF ⊥BD ，∠FTE=∠BTF=45°，∴TF=BF ，∠BFT=90°，∵四边形ACTE 是矩形，∴TE=AC ，∴AC=BC ，∴BC=TE ，∵∠B=∠FTE=45°，∴△FBC ≌△FTE （SAS ），∴FC=EF ，∠BFC=∠TFE ，∴∠CFE=∠BFT=90°，∴△CFE 是等腰直角三角形，∴2EF ．（2）如图3中，设∠EAD=x，则∠BAC=2x．∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA=x，∴2x+∠AED=180°，∵∠ACB+∠AED=180°，∴∠ACB=2x，∵CB=CA，∴∠B=∠CAB=2x，∴∠C=∠B=∠CAB，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAB=60°，∠EAD=30°，当AD⊥BC时，△ADE的面积最小，∵AB=BC=AC=3，∴322 AD=，∴S△ADE的最小值132393 224=⨯⨯=．【点睛】本题属于三角形综合题，考查等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．7．（1）见解析；（2）FG=EP，理由见解析；（32【分析】（1）证△ODE≌△OFB（ASA），即可得出OE=OF；（2）连AC，由（1）可知OE=OF，OB=OD，证△AOE≌△COF（SAS），得AE=CF，由折叠性质得AE=A1E=CF，∠A1=∠BAD=∠BCD，∠B=∠B1，则∠D=∠B1，证△A1PE≌△CGF （AAS），即可得出FG=EP；（3）作OH⊥BC于H，证四边形ABCD是矩形，则∠ABC=90°，得∠OBC=30°，求出AC=8，由勾股定理得BC=43CF=3，由等腰三角形的性质得BH=CH=12BC=3HF=4-，OH=12OB=2，由勾股定理得OF=，进而得出答案． 【详解】 解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠ODE=∠OBF ，∠OED=∠OFB ，∵AE=CF ，∴AD-AE=BC-CF ，即DE=BF ，在△ODE 和△OFB 中，ODE OBF DE BFOED OFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ODE ≌△OFB （ASA ），∴OE=OF ；（2）FG=EP ，理由如下：连AC ，如图②所示：由（1）可知：OE=OF ，OB=OD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 过点O ，OA=OC ，∠BAD=∠BCD ，∠D=∠B ，在△AOE 和△COF 中，OA OC AOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△COF （SAS ），∴AE=CF ，由折叠性质得：AE=A 1E=CF ，∠A 1=∠BAD=∠BCD ，∠B=∠B 1，∴∠D=∠B 1，∵∠A 1PE=∠DPH ，∠PHD=∠B 1HG ，∴∠DPH=∠B 1GH ，∵∠B 1GH=∠CGF ，∴∠A 1PE=∠CGF ，在△A 1PE 和△CGF 中，111A PE CGF A FCG A E CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△A 1PE ≌△CGF （AAS ），∴FG=EP ；（3）作OH ⊥BC 于H ，如图③所示：∵△AOB 是等边三角形，∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，OA=OB=AB=4，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ，∴AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵AB=OB=BF=4，∴AC=BD=2OB=8，由勾股定理得：BC=2222=84AC AB --=43， ∴CF=43-4，∵OB=OC ，OH ⊥BC ，∴BH=CH=12BC=23， ∴HF=4-23，OH=12OB=2， 在Rt △OHF 中，由勾股定理得：OF=22OH HF +=()222423+-=2622-， ∴434226222CF OF -===-， 故答案为：2．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．8．（1）5；（2）正确，证明详见解析；（3）存在，有四种情况，面积分别是：71+，31+，13+2，33+2【分析】（1）根据勾股定理计算BC的长度,（2）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形判断,（3）有四种情况，作辅助线，将四边形分成两个三角形和一个四边形或两个三角形，相加可得结论.【详解】（1）∵BD⊥CD∴∠BDC=90°，BC>CD∵在“准等边四边形”ABCD中，BC≠AB，∴AB=AD=CD=3,∵BD=4，∴BC=225CD BD+=,（2）正确．如图所示：∵AB=AD∴ΔABD是等腰三角形．∵AC⊥BD．∴AC垂直平分BD．∴BC=CD∴CD =AB=AD=BC∴四边形 ABCD是菱形．（3）存在四种情况，如图2，四边形ABPC是“准等边四边形”,过C作CF PE⊥于F，则∠CFE=90,∵EP 是AB 的垂直平分线，∴90AEF A ==∠∠ ,∴四边形AEFC 是矩形，在Rt ABC 中，2,2AB AC BC === , ∴22CF AE BE === , ∵2AB PC ==∴2262PF PC CF =-= ∴BEP CFP AEFC S S S S =++四边形ABPC 矩形1262126222222222⎛⎫=⨯⨯++⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭332+= 如图4，四边形ABPC 是“准等边四边形”,∵2AP BP AC AB ==== ,∴ABP △是等边三角形， ∴2313(2)221422ABP ABC S S S =+=⨯+⨯⨯=+四边形ACBP ; 如图5，四边形ABPC 是“准等边四边形”,∵2AB BP BC === ,PE 是AB 的垂直平分线，∴,PD AB ⊥ E 是AB 的中点，∴1222BE AB == ,∴2222214222PE PB BE ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭∴ACBP 1141722212222APB ABC S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=+四边形 如图6，四边形ABPC 是“准等边四边形”,过P 作PF AC ⊥于F ，连接AP ，∵2AB AC PB ===， ∴6PE =， ∴16123122222APB APC ABPC S SS +=+=⨯⨯+⨯⨯=四边形 【点睛】 本题考查了四边形综合题，矩形和菱形的判定和性质，“准等边四边形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形和矩形解题，学会用分类讨论的思想解决问题，难度较大，属于中考压轴题.9．（1）63；（2）见详解．【分析】（1）根据所给的60°，判断出等边三角形，得出BE=6，根据所给比例关系，求出CE ，然后求出三角形面积；（2）利用已知条件能够求出ABF ≌ADH ，之后需要构造全等图形，使所求的BG+GD 转化在同一直线上，然后根据含有30°的特殊直角三角形的关系，即可证明出结果．【详解】解：（1） 如图：过A 点作AN ⊥BE ，交BE 于N ．∵60ABC ∠=︒，6AB AE ==∴△ABE 为等边三角形，∴AB=BE=AE=6即：AN=33 ∵:5:2BC CE =∴:5:3BC BE =∵BE=6∴BC=10∴EC=4∴113346322ACE S AN EC ==⨯⨯= 即：ACE △的面积为63．（2）如图：延长GD 至P 使DP=BG ，连接AP ，∵AH=AF ，∴∠AFH=∠AHF即：∠AFB=∠AHD ，又∵AF=AH ，BF=DH ，∴ABF ≌ADH∴AB=AD又∵180ABG ADG ∠+∠=︒，180ADP ADG ∠+∠=︒，∴∠ABG=∠ADP∵BG=DP ，∴ABG≌ADP△∴AG=AP，∠BAG=∠DAP∵∠ABC=60°∴∠BAD=120°即：∠GAP=120°∴∠AGP=∠APG=60°，又∵AM⊥GD∴，∵BG=GP∴BG+GD=GD+DP=GP即：．【点睛】本题重点考察在平行四边形中利用平行四边形的性质证明图形面积，以及构造全等图形求多边之间的关系，构造全等三角形是本题的解题关键．10．（1）10-t；（2）5秒；（3）见解析【分析】（1）先证明△APO≌△CQO，可得出AP=CQ=t，则BQ即可用t表示；（2）由题意知AP∥BQ，根据AP=BQ，列出方程即可得解；（3）过点O作直线EF⊥AP，垂足为E，与BC交于F，利用三角形面积公式求出EF，得到OE，利用勾股定理求出AE，再说明AP=2AE即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠PAO=∠QCO，∵∠AOP=∠COQ，∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP=CQ=t，∵BC=10，∴BQ=10-t；（2）∵AP∥BQ，当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即t=10-t，解得：t=5，∴当t为5秒时，四边形ABQP是平行四边形；（3）过点O作直线EF⊥AP，垂足为E，与BC交于F，在Rt△ABC中，∵AB=6，BC=10，∴，∴AO=CO=12AC=4，∵S△ABC＝12AB AC⋅=12BC EF⋅，∴AB•AC=BC•EF，∴6×8=10×EF，∴EF＝245，∴OE=125，∴AE=22AO OE-=165，当325t=时，AP=325，∴2AE=AP，即点E是AP中点，∴点O在线段AP的垂直平分线上．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．。

青岛版2020八年级数学下册第六章平行四边形自主学习能力达标测试题4（附答案详解）1．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC=12，BD=10，AB=m ，那么m 的取值范围是（ ）A ．1＜m ＜11B ．2＜m ＜22C ．10＜m ＜12D ．2＜m ＜62．如图，点P （3，4），⊙P 半径为2，A （2.8，0），B （5.6，0），点M 是⊙P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是（ ）A ．1.4B ．32C ．52D ．2.63．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，已知DE=6cm ，则BC 的长是（ ）A ．3cmB ．12cmC ．18cmD ．9cm 4．如图所示，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=10，则EF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．55．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，304ADB AB ∠︒＝，＝，则OC 等于（）A．5 B．4 C．3.5 D．36．如图，在▱ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH相交于点O，则图中共有平行四边形()A．6个B．7个C．8个D．9个7．下列命题中，假命题是（）A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形B．有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形是菱形C．一组邻边互相垂直，两组对边分别平行的四边形是矩形D．有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形8．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，若AB=8,则CD的长为（）A．6 B．5 C．4 D．39．能够判别一个四边形是菱形的条件是（）A．一组对角相等且一条对角线平分这组对角B．对角线互相平分C．对角线互相垂直且相等D．对角线相等且互相平分10．平行四边形的对角线分别为，一边长为12，则的值可能是下列各组数中的（）A．8与14 B．10与14 C．18与20 D．10与28 11．在□ABCD中，∠A：∠B＝2：3，则∠B＝____，∠C＝_____，∠D＝____．12．如图，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1，则正方形A1B1C1D1的面积为______；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2；……以此下去，则正方形A n B n C n D n的面积为______．13．如图，已知矩形ABCD中，将△ABE沿着AE折叠至△AEF的位置，点F在对角线AC 上．若BE ＝3，EC ＝5，则AB 的长为_____.14．如图，正方形ABCD 中，AB=2，对角线AC ，BD 相交于点O ，将△OBC 绕点B 逆时针旋转得到△O′BC′，当射线O′C′经过点D 时，线段DC′的长为_____．15．在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥直线BC 于点E ，作AF ⊥直线CD 于点F ．若5AB =，6BC =，则CE CF +的值为__________．16．如图，在Y ABCD 中，AM=13AD ，BD 与MC 相交于点O ，则S △MOD ∶S △BOC =_____．17．用边长为10 cm 的正方形，做了一套七巧板.拼成如图所示的一座“桥”，则“桥”中涂色部分的面积为______cm.18．如图，正方形ABCD 的顶点D 在正方形ECGF 的边EC 上，顶点B 在GC 的延长线上，连接EG 、BE ，EGC ∠的平分线GH 过点D 交BE 于H ，连接HF 交EG 于M ，则MG ME的值为________．19．如图，正方形ABCD 的边长为12，点E 在边AB 上，BE=8，过点E 作EF ∥BC ，分别交BD 、CD 于G 、F 两点．若点P 、Q 分别为DG 、CE 的中点，则PQ 的长为_____．20．正方形ABCD 中，F 是AB 上一点，H 是BC 延长线上一点，连接FH ，将△FBH 沿FH 翻折，使点B 的对应点E 落在AD 上，EH 与CD 交于点G ，连接BG 交FH 于点M ，当GB 平分∠CGE 时，BM=226，AE=8，则ED=_____．21．如图，在□ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，DC 上，且AE =CF ，连接DE ，BF ． 求证：DE =BF ．22．已知，如图，在Rt ABC V 中，E 是两锐角平分线的交点，ED BC ⊥，EF AC ⊥，垂足分别为D ，F ，求证：四边形CDEF 是正方形．23．在一个平行四边形中若一个角的平分线把一条边分成长是2cm 和3cm•的两条线段，求该平行四边形的周长是多少？24．如图1，若四边形ABCD 、四边形GFED 都是正方形，显然图中有AG CE =，AG CE ⊥；()1当正方形GFED 绕D 旋转到如图2的位置时，AG CE =是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；()2当正方形GFED 绕D 旋转到如图3的位置时，延长CE 交AG 于H ，交AD 于M ． ①求证：AG CH ⊥；②当4AD =，2DG =时，求CH 的长．25．如图所示，O 为矩形ABCD 的对角线的交点，//DE AC ，//CE BD ．()1试判断四边形OCED 的形状，并说明理由；()2若10AB =，12BC =，求四边形OCED 的面积．26．如图：在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，且BE=AF ，∠1=∠2． （1）Rt △AEF 与Rt △BCE 全等吗？说明理由； （2）△CEF 是不是直角三角形？说明理由．27．如图，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，D 是BC 上的一点，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点，连结AE.(1)求证：∠AEC ＝∠C ；(2)若AE ＝6.5，AD ＝5，则△ABE 的周长是多少？28．如图，矩形OABC 的边OA ，OC 分别与坐标轴重合，并且点B 的坐标为OBE ∆.将该矩形沿OB 折叠，使得点A 落在点E 处，OE 与BC 的交点为D ．（1）求证：△OBD 为等腰三角形；（2）求点E 的坐标；（3）坐标平面内是否存在一点F ，使得以点B ，E ，F ，O 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1．A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AC=12，BD=10，∴OA=OC=6，OD=OB=5，在△OAB中，OA﹣OB＜m＜OA+OB，∴6﹣5＜m＜6+5，∴1＜m＜11．故选A．2．B【解析】【分析】如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM．因为OA=AB，CM=CB，所以AC=12OM，所以当OM最小时，AC最小，可知当M运动到M′时，OM最小，由此即可解决问题．【详解】如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM，由勾股定理得：，∵OA=AB，CM=CB，∴AC=12 OM，∴当OM最小时，AC最小，∴当M运动到M′时，OM最小，此时AC的最小值=12OM′=12（OP﹣PM′）=12×（5-2）=32，故选B．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题．3．B【解析】∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴BC=2DE=2×6=12cm，故选B.4．B【解析】∵DE为△ABC的中位线，∴DE=12BC=5，∵∠AFB=90°，D是AB 的中点，∴DF=12AB=3，∴EF=DE﹣DF=2，故选B．5．B【解析】试题解析：∵四边形ABCD是矩形，,,90 AC BD OA OC BAD∴==∠=o，30ADB∠=oQ，∴AC=BD=2AB=8，142OC AC ∴==； 故选B. 点睛：平行四边形的对角线互相平分.6．D【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ．∵AD ∥EF ，CD ∥GH ，∴AB ∥GH ∥CD ，AD ∥EF ∥BC ，∴平行四边形有：▱ABCD ，▱ABHG ，▱CDGH ，▱BCFE ，▱ADFE ，▱AGOE ，▱BEOH ，▱OFCH ，▱OGDF 共9个．即共有9个平行四边形．故选D ．7．B【解析】选项A ， 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，命题正确；选项B ，有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形是菱形，命题错误；选项C ，一组邻边互相垂直，两组对边分别平行的四边形是矩形，命题正确；选项D ，有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形，命题正确.故选A.8．C【解析】解：∵∠ACB =90°，D 是AB 的中点，∴CD =12AB =12×8=4．故选C ． 9．A【解析】【分析】求出四边形是平行四边形和一组邻边相等，再根据菱形的判定推出，即可判断A ；对角线垂直的平行四边形是菱形，根据以上内容即可判断B 、C 、D ．【详解】A 、∵AC 平分∠BAD 和∠BCD ， ∴∠BAC=∠DAC=12∠BAD ，∠BCA=∠DCA=12∠BCD ， ∵∠BAD=∠BCD ， ∴∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA ， ∴AB=BC ，AB ∥CD ，AD ∥BC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵AB=BC ， ∴平行四边形ABCD 是菱形，故本选项正确； B 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是菱形，故本选项错误；C 、只有在平行四边形的基础上，添加条件对角线互相垂直的四边形才是菱形，故本选项错误；D、对角线相等且平分的四边形是矩形，不是菱形，故本选项错误；【点睛】本题主要考查了对菱形、平行四边形、矩形的判定的应用，属于基础题型．注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．10．C【解析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，若x y>，则12221222x yx y⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，所以符合条件的,x y可能是18与20；所以选C．11．108º，72º，108º【解析】解：∵平行四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，又∵∠A：∠B=2：3，∴∠A=72°，∠B=108°，∴∠D=∠B=108°，∠C=∠A=72°．故答案为108º，72º，108º．12．5 5n【解析】已知小正方形ABCD的面积为1,则把它的各边延长一倍后,三角形AA1D1的面积=×2AB×AB=AB2=1,新正方形A1B1C1D1的面积是4×1+1=5,从而正方形A2B2C2D2的面积为5×5=25,以此进行下去…,则正方形A n B n C n D n的面积为5n,故答案为:5, 5n.13．6.【解析】分析：根据折叠的性质得出AF=AB，EF=BE=3，在Rt△EFC中根据勾股定理求出CF=4，设AF=AB=x，则AC=x+4，在Rt△ABC中根据勾股定理列方程即可求出AB的长．详解：由△ABE沿着AE折叠至△AEF的位置可得：AF=AB，EF=BE=3，∠AFE=∠B=90°，在Rt△EFC中根据勾股定理得CF=4，设AF=AB=x，则AC=x+4，在Rt△ABC中根据勾股定理得：AB2+BC2=AC2，即x2+(3+5)2=(x+4)2，解得：x=6，即AB=6．点睛：本题主要考查了矩形中的折叠问题，根据勾股定理列出方程是解决此题的关键．14【解析】【分析】根据正方形与旋转的性质可得，设DC′=x，然后在Rt△BDO′中，根据勾股定理即可求得答案.【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=2，∴∵△OBC绕点B逆时针旋转得到△O′BC′，∴，设DC′=x，在Rt△BDO′中，∵BD2=BO′2+O′D2，∴（）2=2+）2，∴.．【点睛】本题主要考查正方形的性质，旋转的性质，勾股定理.解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 15．31+ 【解析】如下图，过A 作AE BC ⊥，AF CD ⊥，∴615AE ⋅=，解得：52AE =， 在Rt AEB V 中，∵90AEB =︒∠，12AE AB =， ∴30ABE ∠=︒，∴532BE =， ∴536CE =-， ∵平行四边形ABCD ，∴30ABE D ∠=∠=︒，∴132AF AD ==， 33DF =，∴335CF =-，∴536335CE CF +=-+-， 31=+． 故答案为：312+．16．4：9【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，AD ∥BC ，∵AM =13AD ， ∴==23， ∵AD ∥BC ，∴△DOM ∽△BOC ，∴=（）2=，故答案为4：9．17．50【解析】【分析】读图分析阴影部分与整体的位置关系;易得阴影部分的面积即为△ABC 的面积，是原正方形的面积的一半.【详解】观察得到阴影部分为正方形的一半，即为2110=502⨯. 故答案为50.【点睛】本题目考查了七巧板;正方形的性质．主要考查正方形对角线相互垂直平分相等的性质，读图也很关键．根据图形之间的关系得出面积关系是解题关键. 1821【解析】【分析】取EG 中点O, 连接OH, 先证明ΔBCE ≌ΔDCG 推出HG ⊥BE, 再证明ΔBGH ≌ΔEGH, 推出OH 是三角形中位线, 设HN=a, 则BC=2a, 设正方形ECGF 的边长是2b, 则NC=b, CD=2a, 利用ΔDHN ∽ΔDGC, 得到DN HN DC CG=, 求出a 、b 之间的关系，最后由ΔEFM ∽ΔOMH,得2b a+b EM EF OM OH ==，可得EM MG的值可得答案. 【详解】解：取EG 中点O,连接OHQ 四边形ABCD 是正方形,∴BC=DC,∠BCE=o 90,同理可得CE=CG, ∠DCG=o 90,在ΔBCE 和ΔDCG 中,BC=DC ，∠BCE=∠DCG=o 90,CE=CG∴ΔBCE ≌ΔDCG,∴∠BEC=∠DGC ,Q ∠EDH=∠CDG, ∠DGC+∠CDG=o 90,∴∠EDH+∠BEC=o 90,∴∠EHD=o 90,∴HG ⊥BE,在ΔBGH 和ΔEGH 中, ∠EHG=∠BHG ，HG=HG ，∠EGH=∠BGH∴ΔBGH ≌ΔEGH,∴BH=EH,Q EH=HB , EO=OG ,∴HO //BG,HO=12BG=12EF, 设EC 和OH 相交于点N.设HN=a,则BC=2a,设正方形ECGF 的边长是2b,则NC=b, CD=2a,Q OH//BC,∴ΔDHN ∽ΔDGC,∴DN HN DC CG =，即:b-2a a =2a 2b， 即:22a +2ab-b =0解得2或2) b (舍去),则a b-1, Q EF//OH,∴ΔEFM~ΔOMH, ∴2b a+bEM EF OM OH == ∴2b a+3b EM OE =，b a+3bEM EG =,∴b 1a a+2b +2bEM MG ==，∴1MG ME =1.【点睛】本题主要考查正方形的性质及三角形相似.19．【解析】【分析】根据题意作出合适的辅助线，利用三角形中位线定理、三角形的相似可以求得PH 和QH 的长，然后根据勾股定理即可求得PQ 的长．【详解】作QM ⊥EF 于点M ，作PN ⊥EF 于点N ，作QH ⊥PN 交PN 的延长线于点H ，如图所示，∵正方形ABCD 的边长为12，BE=8，EF ∥BC ，点P 、Q 分别为DG 、CE 的中点， ∴DF=4，CF=8，EF=12，∴MQ=4，PN=2，MF=6，∵QM ⊥EF ，PN ⊥EF ，BE=8，DF=4，∴△EGB ∽△FGD ， ∴EG BE FG DF=， 即1284FG FG -=， 解得，FG=4，∴FN=2，∴MN=6﹣2=4，∴QH=4，∵PH=PN+QM，∴PH=6，∴PQ=22PH QH+=213，故答案为：213．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线、结合图形熟练应用相关性质和定理进行解题是关键. 20．4【解析】解：如图，过B作BP⊥EH于P，连接BE，交FH于N，则∠BPG=90°．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD=∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，∴∠BCD=∠BPG=90°．∵GB平分∠CGE，∴∠EGB=∠CGB．又∵BG=BG，∴△BPG≌△BCG，∴∠PBG=∠CBG，BP=BC，∴AB=BP．∵∠BAE=∠BPE=90°，BE=BE，∴Rt△ABE≌Rt△PBE（HL），∴∠ABE=∠PBE，∴∠EBG=∠EBP+∠GBP=12∠ABC=45°，由折叠得：BF=EF，BH=EH，∴FH垂直平分BE，∴△BNM是等腰直角三角形．∵BM=226，∴BN=NM=213，∴BE=413．∵AE=8，∴Rt△ABE中，AB=22BE AE-=12，∴AD=12，∴DE=12﹣8=4．故答案为4．点睛：本题考查了翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．21．详见解析【解析】【分析】欲证明DE BF=，只要证明DAEV≌BCFV即可．由四边形ABCD是平行四边形，可证A C∠=∠，AD CB=，从而根据“SAS”可证明DAEV≌BCFV.【详解】证明：Q四边形ABCD是平行四边形，A C∴∠=∠，AD CB=，在DAEV和BCFV中，AD CBA CAE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAEV∴≌()SASBCFV，DE BF∴=．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．22．见解析【解析】【分析】过E作EM⊥AB，根据角平分线的性质可得EF=ED=EM．再证明四边形EFDC是矩形，可根据邻边相等的矩形是正方形得到四边形CDEF是正方形．【详解】证明：过E作EM AB⊥，∵AE平分CAB∠，∴EF EM=，∵EB平分CBA∠，∴EM ED=，∴EF ED=，∵ED BC ⊥，EF AC ⊥，ABC V 是直角三角形，∴90CFE CDE C ∠=∠=∠=o ，∴四边形EFDC 是矩形，∵EF ED =，∴四边形CDEF 是正方形．【点睛】考查角平分线的性质，正方形的判定，作出辅助线，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.23．14cm 或16cm【解析】如图，因为AE 平分∠DAB ，所以∠DAE=∠BAE ；因为CD ∥AB ，所以∠DEA=∠BAE ，所以∠DAE=∠DEA ，则△ADE 是等腰三角形，DA=DE.①当DE=2时，AD=DE=2，EC=3，所以CD=5，则平行四边形的周长为5+5+2+2=14； ②当DE=3时，AD=DE=3，EC=2，所以CD=5，则平行四边形的周长为5+5+3+3=16. 答：该平行四边形的周长是14cm 或16cm.24．()1AG CE =成立．证明见解析；（2）①证明见解析，②810CH =. 【解析】【分析】（1）利用SAS 证△ADG ≌△CDE 即可； （2）①同样先证明△ADG ≌△CDE ，得出∠DAG=∠DCE ，而∠DCM+∠DMC=90°，从而∠DAG+∠AMH=90°，结论显然；②连接AC 、CG ，注意到DG ∥AC ，△GAC 与△DAC 的面积相等，于是考虑用等积变换，求出AG 即可求出CH ．【详解】()1AG CE =成立．证明：∵四边形ABCD 、四边形DEFG 是正方形，∴GD DE =，AD DC =，90GDE ADC ∠=∠=o ． ∴90GDA ADE EDC ∠=-∠=∠o ．∴AGD CED ≅V V ．∴AG CE =．()2①类似()1可得AGD CED ≅V V ，∴12∠=∠．又∵HMA DMC ∠=∠，∴90AHM ADC ∠=∠=o ，即AG CH ⊥．②连接GE ，交AD 于P ，连接CG ，由题意有2sin451GP PD ==︒=，∴3AP =，10AG =∵EG AD ⊥，CD AD ⊥，∴//EG CD ，∴以CD 为底边的CDG V 的高为1PD =，（延长CD 画高） AGD ACD ACG CGD ACDG S S S S S +==+V V V V 四边形∴41441041CH ⨯+⨯=+⨯∴810CH = 【点睛】本题考查了的四边形的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握四边形的性质与应用.25．()1四边形OCED 是菱形，理由见解析；（2）60.【解析】【分析】（1）由条件可先证得四边形OCED 为平行四边形，结合矩形的性质可得OC OD =，可证得结论；（2）连接OE ，可证明四边形BCEO 为平行四边形，可求得OE 的长，结合条件可求得菱形OCED 的面积.【详解】()1四边形OCED 是菱形，理由如下：∵//DE AC ，//CE BD ，∴四边形OCED 是平行四边形，又∵在矩形ABCD 中，OC OD =，∴四边形OCED 是菱形；()2连接OE ，由菱形OCED 得CD OE ⊥，又∵BC CD ⊥，∴//OE BC ，又∵//CE BD ，∴四边形BCEO 是平行四边形，∴12OE BC ==，∴1110126022OCED S OE CD =⋅=⨯⨯=菱形． 【点睛】本题主要考查菱形、矩形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质、矩形的对角线相等且平分是解题的关键，即①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，③四边形都相等的四边形是菱形.26．（1）结论：Rt △AEF 与Rt △BCE 全等（2）结论：△CEF 是直角三角形．【解析】试题分析：（1）根据HL，由BE=AF、EC=EF，即可证明；（2）只要证明∠4+∠5=90°，即可解决问题；试题解析：（1）结论：Rt△AEF与Rt△BCE全等．理由：在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°∵BE=AF，∵∠1=∠2，∴CE=EF∴Rt△AEF≌Rt△BCE．（2）结论：△CEF是直角三角形．理由：∵Rt△AEF≌Rt△BCE．∴∠3=∠5，∵∠3+∠4=90°，∠5+∠4=90°，∴∠CEF=180°﹣（∠4+∠5）=180°﹣90°=90°，所以△CEF是直角三角形．27．（1）见解析；（2）25【解析】试题分析：（1）在Rt△ADB中，点E是BD的中点，根据直角三角形的性质，可得BE=AE，故∠AEC=2∠B=∠C；（2）根据直角三角形的性质可得BD=2AE，根据勾股定理可得AB的长，可得答案．试题解析：(1)∵AD⊥AB，∴△ABD为直角三角形，又∵点E是BD的中点，∴AE ＝12BD ＝BE ， ∴∠B ＝∠BAE ，∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ＝2∠B ，又∵∠C ＝2∠B ，∴∠AEC ＝∠C ；(2)在Rt △ABD 中，AD ＝5，BD ＝2AE ＝2×6.5＝13，∴AB 2＝BD 2－AD 2＝132－52＝122，∴AB ＝12，∴△ABE 的周长为AB ＋BE ＋AE ＝12＋6.5＋6.5＝25.28．(1)证明见解析；(2)点E 的坐标为2432(,)55；（3）F 点坐标为1612(,)55-，1612(,)55-，6452(,)55. 【解析】【分析】（1）根据折叠的性质，得到△OBE ≌△OBA ，由此得到∠EOB=∠AOB ，然后根据矩形的性质和平行线的性质得到OD=BD ，即△OBD 是等腰三角形；（2）过点E 作EF x ⊥轴于F 交BC 于G ，设CD 的长为x ，则8BD BC CD x =-=-，由（1）值OD=8-x ，然后根据勾股定理求出CD 、OB 、BD 的长，再根据AAS 证得△OCD ≌△BED ，得到3,4DE CD BE OC ====，最后根据三角形的面积求出EG 的长，进而利用矩形的性质和勾股定理求出E 点的坐标；（3）根据平行四边形的判定与性质，分类讨论F 点的坐标即可.【详解】(1)∵OBE ∆是由OBA ∆折叠所得∴OBE ∆≌OBA ∆.，∴12∠=∠，又∵四边形OABC 是矩形∴//OA BC .，∴13∠=∠∴OD BD =，∴OBD ∆为等腰三角形；（2）过点E 作EF x ⊥轴于F 交BC 于G设CD 的长为x ，则8BD BC CD x =-=-由(1)知8OD BD x ==-∵四边形OABC 是矩形∴90,OCD OAB OC AB ∠=∠=︒=∴在Rt OCD ∆中222OC CD OD +=即()22238x x +=-解得3x =即3,8835CD OD BD x ===-=-=由(1)知OBE ∆≌OBA ∆∴90OEB OAB ∠=∠=︒∴90OCD BED ∠=∠=︒∴ 在△OCD 和△BED 中 OCD BED ODC BDE OD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OCD ≌△BED∴3,4DE CD BE OC ====∵EF x ⊥轴∴90OFB ∠=︒∵//OA BC∴90CGE OFB ∠=∠=︒∴CG BD ⊥∴1122BDE S DE BE BD EG ∆=⋅=⋅ 即1134522BDE S EG ∆=⨯⨯=⨯ ∴125EG =.∴在Rt DGE ∆中95DG === ∵90OCG OFE CGF ∠=∠=∠=︒∴四边形OFGC 是矩形 ∴924355OF CG CD DG ==+=+= 1232455EF EG GF =+=+=. ∴点E 的坐标为2432,55⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）11612,55F ⎛⎫-⎪⎝⎭ 21612,55F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 36452,55F ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】 此题主要考查了坐标系与四边形的综合，主要用到全等三角形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性比较强，难度较大.。

八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标测试综合卷学能测试一、解答题1．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF 是菱形（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积2．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由； （2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形．3．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ．（1）求证：四边形ECFG 是菱形；（2）连结BD 、CG ，若120ABC ∠=︒，则BDG ∆是等边三角形吗？为什么？ （3）若90ABC ∠=︒，10AB =，24AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长．4．（1）如图①，在正方形ABCD 中，AEF ∆的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF ∠的度数；（2）如图②，在Rt ABD ∆中，90,BAD AD AB ︒∠==，点M ，N 是BD 边上的任意两点，且45MAN ︒∠=，将ABM ∆绕点A 逆时针旋转90度至ADH ∆位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由；（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为12，GF=6，BM= 32EG ，MN 的长．5．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，AE =AD ，作DF ⊥AE 于点F ． （1）求证：AB ＝AF ；（2）连BF 并延长交DE 于G ．①EG ＝DG ；②若EG ＝1，求矩形ABCD 的面积．6．已知正方形ABCD 与正方形（点C 、E 、F 、G 按顺时针排列），是的中点，连接，.（1）如图1，点E 在上，点在的延长线上，求证：DM =ME ，DM ⊥.ME简析： 由是的中点，AD ∥EF ，不妨延长EM 交AD 于点N ，从而构造出一对全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性质，易证△DNE 是 三角形,进而得出结论.（2）如图2， 在DC 的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C 、E 、F 、G 按顺时针排列.若点E 在直线CD 上，则DM= ;若点E 在直线BC 上，则DM= .7．如图,已知平面直角坐标系中,1,0A 、()0,2C ,现将线段CA 绕A 点顺时针旋转90︒得到点B ,连接AB .(1)求出直线BC 的解析式；(2)若动点M 从点C 出发,沿线段CB 以每分钟10个单位的速度运动,过M 作//MN AB 交y 轴于N ,连接AN .设运动时间为t 分钟,当四边形ABMN 为平行四边形时,求t 的值.(3)P 为直线BC 上一点,在坐标平面内是否存在一点Q ,使得以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时Q 的坐标；若不存在,请说明理由.8．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是正方形内两点，BE DF ∥，EF BE ⊥，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：（1）在图1中，连接BD ，且BE DF =①求证：EF 与BD 互相平分；②求证：222()2BE DF EF AB ++=；（2）在图2中，当BE DF ≠，其它条件不变时，222()2BE DF EF AB ++=是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.（3）在图3中，当4AB =，135DPB ∠=︒2246B BP PD +=时，求PD 之长.9．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC 的外部作等腰Rt CED ，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；②若25AB =，2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．10．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有12CBE ABF ∠=∠．（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=︒，求证：BE BF =；（2）如图2，当32b a =时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________； ②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=；③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ∆矩形的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）见解析（2）10【分析】（1）先证明AFE DBE ∆≅∆，得到AF DB =，AF CD =，再证明四边形ADCF 是平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到12AD DC BC ==，即可证明四边形ADCF 是菱形。

八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标综合模拟测评学能测试试题一、选择题1．如图，ABCD □中，4,60AB BC A ==∠=︒，连接BD ，将BCD 绕点B 旋转，当BD （即BD '）与AD 交于一点E ，BC （即BC '）与CD 交于一点F 时，给出以下结论：①AE DF =；②60BEF ∠=︒；③DEB DFB ∠=∠；④DEF 的周长的最小值是423+.其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④2．如图，矩形ABCD 中，AB ＝23，BC ＝6，P 为矩形内一点，连接PA ，PB ，PC ，则PA +PB +PC 的最小值是（ ）A ．43+3B ．221C ．23+6D ．453．如图，四边形,ABCD AD 与BC 不平行，AB CD =．,AC BD 为四边形ABCD 的对角线，,,E F ,G H 分别是,,,BD BC AC AD 的中点下列结论：①EG FH ⊥；②四边形EFGH 是矩形；③HF 平分;EHG ∠④()12EG BC AD =-；⑤四边形EFGH 是菱形．其中正确的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 是AD 边上的一个动点，过点P 分别作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F.若AB ＝3，BC ＝4，则PE ＋PF 的值为( )A ．10B ．9.6C ．4.8D ．2.45．如图，正方形ABCD 的边长为10，8AG CH ==，6BG DH ==，连接GH ，则线段GH 的长为（ ）A ．835B ．22C ．145D ．1052-6．如图，矩形ABCD 中，5AD =，7AB =，点E 为DC 上一个动点，把ADE ∆沿AE 折叠，点D 的对应点为D ，若D 落在ABC ∠的平分线上时，DE 的长为( )A ．53或2 B ．52或53C ．52或35D ．35或2 7．已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示)，点1B 在y 轴上，点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、3C 均在x 轴正半轴上，若已知正方形1111D C B A 的边长为1，1160B C O ︒∠=，且112233////B C B C B C ，则点3A 的坐标是( )A ．331(3++B ．33332+C ．33132++D ．333(3++8．如图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将ADE 沿AE 对折至AFE ，延长交BC 于点G ，连接AG.则BG 的长（ ）A ．1B ．2C ．3D ．39．在ABCF 中，2BC AB =，CD AB ⊥于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE ∠=︒，则B 的度数是（ ）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒10．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 为边BC 上一点，且12BD CD =．点E ，F 分别在边,AB AC 上，且90,EDF M ︒∠=为边EF 的中点，连接CM 交DF于点N ．若//DF AB ，则CM 的长为( )A ．233B ．334C ．536D ．3二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处．若OA ＝8，CF ＝4，则点E 的坐标是_____．12．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．13．如图，菱形ABCD 的BC 边在x 轴上，顶点C 坐标为(3,0)-，顶点D 坐标为(0,4)，点E 在y 轴上，线段//EF x 轴，且点F 坐标为(8,6)，若菱形ABCD 沿x 轴左右运动，连接AE 、DF ，则运动过程中，四边形ADFE 周长的最小值是_______．14．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作//ED AB ，//EF AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作1C ；取BE 中点1E ，作11//E D FB ，11//E F EF ，得到四边形111E D FF ，它的周长记作2C ．照此规律作下去，则2020C =______．15．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，∠A ＝120°，E 是AB 的中点，点F 在平行四边形ABCD 的边上，若△AEF 为等腰三角形，则EF 的长为_____．16．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=︒．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．17．菱形ABCD 的周长为24，∠ABC=60°，以AB 为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE ，连结AC ，CE ，则△ACE 的面积为___________.18．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⊥AB ，AC 与BD 相交于点O ，在同一平面内将△ABC 沿AC 翻折，得到△AB’C ，若四边形ABCD 的面积为24cm 2，则翻折后重叠部分（即S △ACE ) 的面积为________cm 2．19．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若点D 是斜边AB 的中点，则CD ＝12AB ，运用：如图2，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED 连接BE ，CE ，DE ，则CE 的长为_____．20．如图，有一张长方形纸片ABCD ，4AB =，3AD =．先将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则FG 的长为___________．三、解答题21．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．（1）如图（1），当90GOD ∠=︒， ①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>；（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，25HG =，求DE 的长． 22．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为 ．（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．23．如图，在Rt ABC ∆中，90,40,60B AC cm A ∠=︒=∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以4/cm 秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2/cm 秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个地点也随之停止运动.设点,D E 运动的时间是t 秒（010t <≤）.过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接,DE EF .（1）试问四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；（2）当t 为何值时，90FDE ∠=︒？请说明理由.24．如图所示，四边形ABCD 是正方形， M 是AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动(点E 不与点A B 、重合)，另一直角边与CBM ∠的平分线BF 相交于点F ． (1)求证: ADE FEM ∠=∠;(2)如图(1)，当点E 在AB 边的中点位置时，猜想DE 与EF 的数量关系，并证明你的猜想; (3)如图(2)，当点E 在AB 边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．25．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使AE AD =，EAD BAC ∠=∠．（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系； ②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．26．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠． （1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由；（2）求证：CP AE =；（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．27．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 轴上以每秒32的速度从原点出发向右运动，点D 在1l 上以每秒3322+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点. (1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++⋅的值.(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.28．点E 在正方形ABCD 的边BC 上，点F 在AE 上，连接FB ，FD ，∠ABF=∠AFB ． （1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF ；（2）如图2，过点F 作垂线交AB 于G ，交DC 的延长线于H ，求证：DH=2 AG ； （3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC 的长．29．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝nAB ，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若n＝1，AF⊥DE．①如图1，求证：AE＝BF；②如图2，点G为CB延长线上一点，DE的延长线交AG于H，若AH＝AD，求证：AE+BG ＝AG；（2）如图3，若E为AB的中点，∠ADE＝∠EDF．则CFBF的值是_____________（结果用含n的式子表示）．30．已知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF，AE=AF（AE＜AD），连接DE、BF，P是DE的中点，连接AP．将△AEF绕点A逆时针旋转．（1）如图①，当△AEF的顶点E、F恰好分别落在边AB、AD时，则线段AP与线段BF的位置关系为，数量关系为．（2）当△AEF绕点A逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成立．（3）若AB=3,AE=1，则线段AP的取值范围为．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据题意可证△ABE≌△BDF，可判断①②③，由△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，则当EF最小时△DEF的周长最小，根据垂线段最短，可得BE⊥AD时，BE最小，即EF最小，即可求此时△BDE周长最小值．【详解】解：∵AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°∴△ABD，△BCD为等边三角形，∴∠A=∠BDC=60°，∵将△BCD绕点B旋转到△BC'D'位置，∴∠ABD'=∠DBC'，且AB=BD，∠A=∠DBC'，∴△ABE≌△BFD，∴AE=DF，BE=BF，∠AEB=∠BFD，∴∠BED+∠BFD=180°，故①正确，③错误；∵∠ABD=60°，∠ABE=∠DBF，∴∠EBF=60°，故②正确∵△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，∴当EF最小时，∵△DEF的周长最小．∵∠EBF=60°，BE=BF，∴△BEF是等边三角形，∴EF=BE，∴当BE⊥AD时，BE长度最小，即EF长度最小，∵AB=4，∠A=60°，BE⊥AD，∴EB=∴△DEF的周长最小值为4+故④正确，综上所述：①②④说法正确，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，最短路径问题，关键是灵活运用这些性质解决问题．2．B解析：B【解析】【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．【详解】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．由旋转的性质可知：△PFC 是等边三角形，∴PC=PF ，∵PB=EF ，∴PA+PB+PC=PA+PF+EF ，∴当A 、P 、F 、E 共线时，PA+PB+PC 的值最小，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∴tan ∠ACB=AB BC 3， ∴∠ACB=30°，AC=2AB=43∵∠BCE=60°，∴∠ACE=90°，∴22(43)6+21故选B ．【点睛】本题考查轴对称—最短问题、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．3．C解析：C【分析】先根据三角形中位线定理，得出EF=FG=GH=HE ，进而得到四边形EFGH 是菱形，据此可判断结论是否正确，最后取AB 的中点P ，连接PE ，PG ，根据三角形三边关系以及三角形中位线定理，即可得出()1 2EG BC AD >-． 【详解】解：∵E ，F 分别是BD ，BC 的中点，∴EF 是△BCD 的中位线，∴EF=12CD ，同理可得，GH=12CD，FG=12AB，EH=12AB，又∵AB=CD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形，故⑤正确，②错误，∴EG⊥FH，HF平分∠EHG，故①、③正确，如图所示，取AB的中点P，连接PE，PG，∵E是BD的中点，G是AC的中点，∴PE是△ABD的中位线，PG是△ABC的中位线，∴PE=12AD，PG=12BC，PE∥AD，PG∥BC，∵AD与BC不平行，∴PE与PG不平行，∴△PEG中，EG＞PG-PE，∴EG＞12BC12AD，即EG＞12（BC-AD），故④错误．综上所述，正确的有①③⑤．故选：C．【点睛】本题主要考查了中点四边形，三角形三边关系以及三角形中位线定理的运用，解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4．D解析：D【分析】连接OP,由矩形ABCD的可求OA=OD=52，最后由S△AOD=S△AOP+S△DOP即可解答.【详解】解：如图：连接OP∵矩形ABCD，AB＝3，BC＝4∴S矩形ABCD=AB×BC=12, OA=OC,OB=OD,AC=BD,225AC=AB+BC∴S△AOD=14S矩形ABCD=3，OA=OD=52∴S △AOD =S △AOP +S △DOP =()111532222OA PE OD PF PE PF +=⨯+= ∴PE+PF=2.4故答案为D ．【点睛】本题考查了矩形的性质，正确的做出辅助线和运用数形结合思想是解答本题的关键．.5．B解析：B【分析】延长DH 交AG 于点E ，利用SSS 证出△AGB ≌△CHD ，然后利用ASA 证出△ADE ≌△DCH ，根据全等三角形的性质求出EG 、HE 和∠HEG ，最后利用勾股定理即可求出HG ．【详解】解：延长DH 交AG 于点E∵四边形ABCD 为正方形∴AD=DC=BA=10，∠ADC=∠BAD=90°在△AGB 和△CHD 中AG CH BA DC BG DH =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△AGB ≌△CHD∴∠BAG=∠DCH∵∠BAG ＋∠DAE=90°∴∠DCH ＋∠DAE=90°∴CH 2＋DH 2=82＋62=100= DC 2∴△CHD 为直角三角形，∠CHD=90°∴∠DCH ＋∠CDH=90°∴∠DAE=∠CDH ，∵∠CDH ＋∠ADE=90°∴∠ADE=∠DCH在△ADE 和△DCH 中ADE DCH AD DCDAE CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△DCH∴AE=DH=6，DE=CH=8，∠AED=∠DHC=90°∴EG=AG －AE=2，HE= DE －DH=2，∠GEH=180°－∠AED=90°在Rt △GEH 中，GH=2222EG HE +=故选B ．【点睛】此题考查是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．6．B解析：B【分析】连接BD′，过D′作MN ⊥AB ，交AB 于点M ，CD 于点N ，作D′P ⊥BC 交BC 于点P ，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE ．【详解】如图,连接BD ′,过D ′作MN ⊥AB ,交AB 于点M ,CD 于点N ,作D ′P ⊥BC 交BC 于点P∵点D 的对应点D ′落在∠ABC 的角平分线上，∴MD ′=PD ′，设MD ′=x ,则PD ′=BM =x ，∴AM =AB −BM =7−x ，又折叠图形可得AD =AD ′=5，∴x 2+(7−x )2=25，解得x =3或4，即MD ′=3或4.在Rt △END ′中,设ED ′=a ，①当MD ′=3时,AM =7−3=4,D ′N =5−3=2，EN =4−a ，∴a 2=22+(4−a )2，解得a =52,即DE =52， ②当MD ′=4时,AM =7−4=3,D ′N =5−4=1，EN =3−a ，∴a 2=12+(3−a )2，解得a =53,即DE =53. 故选B.【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）, 矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理与折叠问题.解决本题的关键是依据题意分别表示Rt △AMD ′ 和Rt △END ′的三边，利用勾股定理解直角三角形. 7．C解析：C【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠B 3C 3O=∠B 2C 2O=∠B 1C 1O=60°，然后利用三角形全等可得B 2E 2=E 1E 2=D 1E 1=E 3C 2，E 2C 2=E 3E 4=B 3E 4，解直角三角形求出OC 1、C 1E 、E 1E 2、E 2C 2、C 2E 3、E 3E 4、E 4C 3，再求出B 3C 3，过点A 3延长正方形的边交x 轴于M ，过点A 3作A 3N ⊥x 轴于N ，先求出A 3M ，再解直角三角形求出A 3N 、C 3N ，然后求出ON ，再根据点A 3在第一象限写出坐标即可．【详解】解∵B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，∴∠B 3C 3O =∠B 2C 2O =∠B 1C 1O =60°，∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，B 1C 1=C 1D 1，∠B 1C 1D 1=90°，∴∠C 1B 1O=∠D 1C 1E 1=30°，∴△C 1B 1O ≌△D 1C 1E 1；∴B 1O=C 1E 1，OC 1=D 1E 1，同理可得B 2E 2=E 1E 2=D 1E 1=E 3C 2；E 2C 2=E 3E 4=B 3E 4；111122223111111222OC D E E E B E C E B C ∴======⨯=11111222C E D C ===2234342213236E C E E B E B E ====⨯=433413636E C B E ==⨯= 3343112263B C E C ∴==⨯= 过点A 3延长正方形的边交x 轴于M ,过点A 3作A 3N ⊥x 轴于N ，则332323333331133333A M A D D B C B C +=+=+=+= 333333312926A N A M === 3313313322C M A M ++=== 343133331233186C N E M C M ⎛⎫∴=-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭111122223343ON OC C E E E E C C E E E C N =++++++1313131313322262-=++++++= ∵点A 3在第一象限，∴点A 3的坐标是33132+⎭. 故选C.【点睛】本题考查正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，30°角的直角三角形.熟练掌握有30°角的直角三角形各边之间的数量关系是解决本题的关键.8．B解析：B【分析】首先证明AB=AF=AD ，然后再证明∠AFG=90°，接下来，依据HL 可证明△ABG ≌△AFG ，得到BG=FG ，再利用勾股定理得出GE 2=CG 2+CE 2，进而求出BG 即可．【详解】解：在正方形ABCD 中，AD=AB=BC=CD ，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，∴AD=AF ，DE=EF ，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF ，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG ，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，AG AG AB AF⎧⎨⎩＝＝ ∴△ABG ≌△AFG （HL ）；∴BG=FG （全等三角形对应边相等），设BG=FG=x ，则GC=6-x ，∵E 为CD 的中点，∴CE=EF=DE=3，∴EG=3+x ，∴在Rt △CEG 中，32+（6-x ）2=（3+x ）2（勾股定理），解得x=2，∴BG=2，故选B ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的综合应用、三角形全的判定和性质以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．9．D解析：D【分析】连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE ≌△CFE ，所以NE ＝CE ，NA ＝CF ，再由已知条件CD ⊥AB 于D ，∠ADE ＝50°，即可求出∠B 的度数．【详解】解：连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，∵四边形ABCF 是平行四边形，∴AB ∥CF ，AB ＝CF ，∴∠NAE ＝∠F ，∵点E 是的AF 中点，∴AE ＝FE ，在△NAE 和△CFE 中，NAE F AE FEAEN FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△NAE ≌△CFE （ASA ），∴NE ＝CE ，NA ＝CF ，∵AB ＝CF ，∴NA ＝AB ，即BN ＝2AB ，∵BC ＝2AB ，∴BC ＝BN ，∠N ＝∠NCB ，∵CD ⊥AB 于D ，即∠NDC ＝90°且NE ＝CE ，∴DE ＝12NC ＝NE ， ∴∠N ＝∠NDE ＝50°＝∠NCB ，∴∠B ＝80°．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答．10．C解析：C【分析】根据等边三角形边长为2，在Rt BDE ∆中求得DE 的长，再根据CM 垂直平分DF ，在Rt CDN ∆中求得CN ，利用三角形中位线求得MN 的长，最后根据线段和可得CM 的长．【详解】 解：等边三角形边长为2，12BD CD =， ∴23BD =，43CD =， 等边三角形ABC 中，//DF AB ，60FDC B ∴∠=∠=︒，90EDF ∠=︒，30BDE ∴∠=︒，DE BE ∴⊥，1123BE BD ∴==，DE =， 如图，连接DM ，则Rt DEF ∆中，12DM EF FM ==，60FDC FCD ∠=∠=︒，CDF ∴∆是等边三角形，43CD CF ∴==， CM ∴垂直平分DF ，30DCN ∴∠=︒，Rt CDN ∴∆中，43DF =，32DN =，23CN =， ∵EM =FM ，DN =FN ， ∴132MN ED =， 23353CM CN MN ∴=+． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．二、填空题11．(-10，3)【解析】试题分析：根据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE ，设CE=x ，则BE=8-x ，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x ，根据勾股定理可得2224(8)x x +=-，解得x =3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E 的坐标为（-10，3）. 故答案为：（-10，3）12．4:9【分析】设DP ＝DN ＝m ，则PN 2m ，PC ＝2m ，AD ＝CD ＝3m ，再求出FG=CF=12BC=32m ，分别求出两个阴影部分的面积即可解决问题．【详解】根据图形的特点设DP ＝DN ＝m ，则PN 22m m +2m ，∴PM=2m=MC ，PC=22PM MC +=2m ，∴BC ＝CD ＝PC+DP=3m ，∵四边形HMPN 是正方形，∴GF ⊥BC∵∠ACB ＝45︒，∴△FGC 是等腰直角三角形，∴FG=CF=12BC=32m ， ∴S 1＝12DN×DP=12m 2，S 2＝12FG×CF=98m 2， ∴12:S S =12m 2: 98m 2=4:9， 故答案为4：9．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．13．18【分析】由题意可知AD 、EF 是定值，要使四边形ADFE 周长的最小，AE ＋DF 的和应是最小的，运用“将军饮马”模型作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，此时AE ＋DF 的和即为E 1F 1，再求四边形ADFE 周长的最小值．【详解】在Rt △COD 中，OC ＝3，OD ＝4，CD ＝22OC +OD =5，∵ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ＝5，∵F 坐标为(8,6)，点E 在y 轴上，∴EF ＝8，作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，则E 1（0，2），F 1（3，6），则E 1F 1即为所求线段和的最小值，在Rt △AE 1F 1中，E 1F 1＝22211EE +EF =-+(8-5)=52(62)， ∴四边形ADFE 周长的最小值＝AD ＋EF ＋AE ＋DF ＝ AD ＋EF ＋ E 1F 1＝5＋8＋5＝18．【点睛】本题考查菱形的性质、“将军饮马”作对称点求线段和的最小值，比较综合，难度较大．14．201812【分析】根据几何图形特征，先求出1C 、2C 、3C ，根据求出的结果，找出规律，从而得出2020C ．【详解】∵点E 是BC 的中点，ED ∥AB ，EF ∥AC ∴DE 、EF 是△ABC 的中位线 ∵等边△ABC 的边长为1∴AD=DE=EF=AF =12 则1C =1422⨯= 同理可求得：2C =1，3C =12发现规律：规律为依次缩小为原来的12 ∴2020C =201812故答案为：201812．【点睛】 本题考查找规律和中位线的性质，解题关键是求解出几组数据，根据求解的数据寻找规律．15．3357 【分析】△AEF 为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平行四边形的性质可求解．【详解】解：当AE AF =时，如图，过点A 作AH EF ⊥于H ，E 是AB 的中点， 132AE AB ∴==， =AE AF ，AH EF ⊥，120A ∠=︒，30AEF AFE ∴∠=∠=︒，FHEH =， 1322AH AE ∴==，333EH AH ==， 233EF EH ∴==，当AF EF =时，如图2，过点A 作AN CD ⊥于N ，过点F 作FM AB ⊥于M ，图2在平行四边形ABCD 中，6AB =，4BC =，120A ∠=︒，4AD BC ∴==，60ADC ∠=︒，30DAN ∴∠=︒，122DN AD ∴==，323AN DN == //AB CD ，AN CD ⊥，FM AB ⊥，23AN MF ∴==AF EF =，FM AB ⊥，32AM ME ∴==， 22957124EF ME MF ∴++； 当3AE EF ==时，如图3，图33EF ∴=，综上所述：EF 的长为33或3或57． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．16．25【分析】作BE ⊥AD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则四边形BEDF 是矩形，证明△ABE ≌△CBF （AAS ），得出BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，则四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，求出BE=10，即可求得BD 的长．【详解】解：作BE ⊥AD 交DA 延长线于E ，BF ⊥CD 于F ，如图所示：则∠BEA=∠BFC=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形BEDF 是矩形，∴∠EBF=90°，∵∠ABC=90°，∴∠EBF=∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF ，在△ABE 和△CBF 中，BEA BFC ABE CBF AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （AAS ），∴BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，∴四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，∴BE=DE，BE2=10 cm2，∴BE=10(cm)，∴BD=2BE=25(cm)．故答案为：25．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．17．9或9(31)．【分析】分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可．【详解】解：①如图1，延长EA交DC于点F，∵菱形ABCD的周长为24，∴AB=BC=6，∵∠ABC=60°，∴三角形ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，当EA⊥BA时，△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB=AC=6，∠EAC=90°+60°=150°，∴∠FAC=30°，∵∠ACD=60°，∴∠AFC=90°，∴CF=12AC=3，则△ACE的面积为：12AE×CF=12×6×3=9；②如图2，过点A作AF⊥EC于点F，由①可知：∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+60°=150°，∵AB=BE=BC=6，∴∠BEC=∠BCE=15°，∴∠AEF=45°-15°=30°，∠ACE=60°-15°=45°，∴AF=12AE ，AF=CF=2AC= ∵AB=BE=6，∴AE=∴=∴EC=EF+FC=则△ACE 的面积为：12EC×AF=11)2⨯⨯=．故答案为：9或1)．【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．18．6【分析】由折叠的性质可得∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S △ABC =S △AB'C =12cm 2，可证点B ，点A ，点B'三点共线，通过证明四边形ACDB'是平行四边形，可得B'E=CE ，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，S △ABC =1242⨯=12cm 2，∵在同一平面内将△ABC 沿AC 翻折，得到△AB ′C ，∴∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S △ABC =S △AB'C =12cm 2，∴∠BAB'=180°，∴点B ，点A ，点B'三点共线，∵AB ∥CD ，AB'∥CD ，∴四边形ACDB'是平行四边形，∴B'E=CE ，∴S △ACE =12S △AB'C =6cm 2， 故答案为：6．【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的判定和性质，证明点B ，点A ，点B'三点共线是本题的关键．19 【分析】根据12•BC •AH ＝12•AB •AC ，可得AH ，根据 12AD •BO ＝12BD •AH ，得OB ＝613，再根据BE ＝2OB ＝1213，运用勾股定理可得EC ． 【详解】设BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，由勾股定理得：BC ＝13，∵点D 是BC 的中点，∴AD ＝DC ＝DB ＝13， ∵12•BC •AH ＝12•AB •AC ， ∴AH ＝613， ∵AE ＝AB ，DE ＝DB ，∴点A 在BE 的垂直平分线上，点D 在BE 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分线段BE ，∵12AD •BO ＝12BD •AH ， ∴OB ＝613， ∴BE ＝2OB ＝1213， ∵DE ＝DB=CD ， ∴∠DBE=∠DEB ，∠DEC=∠DCE ，∴∠DEB+∠DEC=12×180°=90°，即：∠BEC=90°， ∴在Rt △BCE 中，EC ＝22BC BE - ＝221213(13)()13-=51313． 故答案为：513． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三角形斜边长的中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键．202【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠DAF=∠BAF=45°，再由矩形性质可得FC=ED=1，然后由勾股定理求出FG 即可．【详解】由折叠的性质可知，∠DAF=∠BAF=45°，∴AE=AD=3，EB=AB-AD=1，∵四边形EFCB 为矩形，∴FC=BE=1，∵AB ∥FC ，∴∠GFC=∠DAF=45°，∴GC=FC=1，∴FG ===．【点睛】本题考查了折叠变换，矩形的性质是一种对称变换，理解折叠前后图形的大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解决此题的关键．三、解答题21．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）3DE =． 【分析】（1）过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，①由正方形的性质可得//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒，即可证明四边形DGHM 是平行四边形，可得DM=GH ，由90GOD ∠=︒可得∠EDM=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质可得12∠=∠，利用ASA 可证明△ADE≌△CDM，可得DE=DM ，即可证明DE=GH ；②由①得DM=DE ，根据勾股定理可得，利用三角形三边关系即可得结论； （2）过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，可证明四边形GHND 为平行四边形，可得DN HG =，GD HN =，根据勾股定理可求出CN 的长，利用AAS 可证明ADM CDN ∆∆≌，可得AM NC =，DM DN =，根据平行线的性质∠EDN=45°，根据角的和差故选可得∠MDE=∠EDN ，利用SAS 可证明MDE NDE ∆∆≌，即可证明AE CN EN +=，设AE x =，利用勾股定理可求出x 的值，进而利用勾股定理求出DE 的值即可得答案．【详解】（1）如图（1），过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，EM ， ①∵四边形ABCD 为正方形，∴//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒∴四边形DGHM 为平行四边形，∴DM=GH ，GD HM =，∵90GOD ∠=︒，∴90EDM EOH ∠=∠=︒，∴290EDC ∠+∠=︒，∵90ADC ∠=︒，∴190EDC ∠+∠=︒，∴12∠=∠，在ADE ∆和CDM ∆中12A DCM AD DC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ADE CDM ∆∆≌，∴DE DM =，∴DE GH =．②在DEM ∆中，∠EDM=90°，∴222DE DM EM +=，∵DE DM =，∴222DE EM =， ∴2EM DE =，在EHM ∆中，HM EH EM +>，∵GD HM =， ∴2GD EH GH +≥．（2）如图（2），过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，则四边形GHND 为平行四边形， ∴DN HG =，GD HN =，∵90C ∠=︒，4CD AB ==，25HG DN == ∴222CN DN DC =-=，∴422BN BC CN =-=-=，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，在ADM ∆和CDN ∆中90C MAD CDN ADM DC AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADM CDN ∆∆≌，∴AM NC =，DM DN =，∵45GOD EOH ∠=∠=︒，∴45EDN ∠=︒，∴45ADE CDN ∠+∠=︒，∴45ADE ADN MDE ∠+∠=︒=∠，在MDE ∆和NDE ∆中MD ND MDE EDN DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴MDE NDE ∆∆≌，∴EM EN =，即AE AM AE CN EN +=+=，设AE x =，则BE=4-x ，在Rt BEN ∆中，2222(2)x x +=+， 解得：43x=， ∴2222441043DE AD AE ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理，并正确作出辅助线是解题关键．22．（1332）；（2）存在，点D 的坐标为（0，3）或（231）或（0，-1）；（3）OM=32或212【分析】（1）过点B 作BD ⊥y 轴于D ，利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OB ，再利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出BD 和OD 即可得出结论；（2）根据题意和等边三角形的性质分别求出点A 、B 、C 的坐标，然后根据菱形的顶点顺序分类讨论，分别画出对应的图形，根据菱形的对角线互相平分即可分别求出结论； （3）利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OP 和BP ，然后根据直角三角形的直角顶点分类讨论，分别画出对应的图形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质求解即可．【详解】解：（1）如图2，过点B 作BD ⊥y 轴于D由图1中，点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒，∠AOB=90°∴OA=1，AB=2OA=2由勾股定理可得223AB OA -=∵将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30∴∠BOD=30°∴BD=1322OB =∴2232OB BD -=∴点B 332） 332）； （2）在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，此时点A 落在y 轴上，点B 落在x 轴上∴点A 的坐标为（0,1），点B 30）∵△ABC 为等边三角形∴∠ABC=60°，AB=BC=AC=2∴∠OBC=90°∴点C 32）设点D 的坐标为（a ，b ）如图所示，若四边形ABCD 为菱形，连接BD ，与AC 交于点O∴点O 既是AC 的中点，也是BD 的中点 ∴03312022a b ⎧++=⎪⎨++⎪=⎪⎩ 解得：03a b =⎧⎨=⎩∴此时点D 的坐标为（0，3）；当四边形ABDC 为菱形时，连接AD ，与BC 交于点O∴点O 既是AD 的中点，也是BC 的中点 ∴033212022a b ⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：31a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴此时点D 的坐标为（231）；当四边形ADBC 为菱形时，连接CD ，与AB 交于点O∴点O既是AB的中点，也是CD的中点∴03322 10222ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：1ab=⎧⎨=-⎩∴此时点D的坐标为（0，-1）；综上：点D的坐标为（0，3）或（23，1）或（0，-1）；（3）∵OB=3，∠ABO=30°∴OP=12OB=32∴BP=2232OB OP-=当∠OMB=90°时，如下图所示，连接BM∵F为OB的中点∴PF=12OB，MF=12OB，OF=BF∴PF=MF∴四边形OPBM为平行四边形∴OM=BP=32；当∠OBM=90°时，如下图所示，连接OM，∴∠PBM=∠PBO ＋∠OBM=120°∵点F 为OB 的中点∴FP=FB∴∠FPB=∠FBP=30°∴∠BMP=180°－∠PBM －∠FPB=30°∴∠BMP=∠BPM∴BM=BP=32在Rt △OBM 中，22212OB BM +=； 综上：OM=32或212． 【点睛】 此题考查的是直角三角形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质，掌握30°所对的直角边是斜边的一半、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质是解决此题的关键．23．（1）四边形AEFD 能够成为菱形，理由见解析；（2）5t =，理由见解析.【分析】（1）能；首先证明四边形AEFD 为平行四边形，当AE ＝AD 时，四边形AEFD 为菱形，即40﹣4t ＝2t ，解方程即可解决问题；（2）当∠FDE ＝90°时，AEFD 为矩形，再根据线段的长度关系列方程求得.【详解】解：（1）四边形AEFD 能够成为菱形，理由如下：在DFC ∆中，90,30DFC C ∠=︒∠=︒，4DC t =，∴2DF t =，又∵2AE t =，∴AE DF =，∵,AB BC DF BC ⊥⊥，∴//AE DF ，又∵AE DF =，∴四边形AEFD 为平行四边形，如图1，当AE AD =时，四边形AEFD 为菱形，即4042t t -=，解得203t =.∴当203t =秒时，四边形AEFD 为菱形. （2）如图2，当90FDE ∠=︒时，四边形EBFD 为矩形，在Rt AED ∆中，60A ∠=︒，则30ADE ∠=︒，∴2AD AE =，即4044t t -=，解得5t =.【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想，学会构建方程解决问题.24．（1）详见解析；（2）DE EF =，理由详见解析；（3）DE EF =，理由详见解析【分析】（1）根据90,90AED FEB ADE AED ∠+∠=︒∠+∠=︒，等量代换即可证明；（2）DE=EF ，连接NE ，在DA 边上截取DN=EB ，证出△DNE ≌△EBF 即可得出答案；（3）在DA 边上截取DN EB =，连接NE ，证出()DNE EBF ASA ≌即可得出答案．【详解】(1)证明:∵90DAB DEF ∠=∠=︒，∴90,90AED FEB ADE AED ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴ADE FEM ∠=∠;(2) ;DE EF =理由如下:如图，取AD 的中点N ，连接NE ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD AB = ，∵,N E 分别为,AD AB 中点 ∴11,22AN DN AD AE EB AB ====， ∴,DN BE AN AE == 又∵90A ∠=︒∴45ANE ∠=︒∴180135DNE ANE ∠=︒-∠=︒，又∵90CBM ∠=︒，BF 平分CBM ∠∴45,135CBF EBF ∠=︒∠=︒．∴DNE EBF ∠=∠在DNE △和EBF △中ADE FEB DN EBDNE EBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()DNE EBF ASA ≌，∴DE EF =(3) DE EF =.理由如下:如图，在DA 边上截取DN EB =，连接NE ，∵四边形ABCD 是正方形， DN EB =，∴AN AE =，∴AEN △为等腰直角三角形，∵45ANE ∠=︒∴18045135DNE ∠=︒-︒=︒，∵BF 平分CBM ∠， AN AE =，∴9045135EBF ∠=︒+︒=︒，∴DNE EBF ∠=∠，在DNE △和EBF △中ADE FEB DN EBDNE EBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()DNE EBF ASA ≌，∴DE EF =．【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键就是求证△DNE ≌△EBF ．25．（1）①EAB DAC ∠=∠； ② 平行四边形，证明见解析；（2）成立，证明见解析．【分析】（1）①根据EAD BAC ∠=∠，两角有公共角BAD ∠，可证EAB DAC ∠=∠；②连接EB ，证明△EAB ≌△DAC ，可得,ABE ACD EB CD ∠=∠=,再结合平行线的性质和等腰三角形的判定定理可得EF=DC ，由此可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形CDEF 为平行四边形．（2）根据60BAC ∠=︒，可证明△AED 和△ABC 为等边三角形，再根据ED ∥FC 结合等边三角形的性质，得出∠AFC=∠BDA ，求证△ABD ≌△CAF ，得出ED=CF ，进而求证四边形EDCF 是平行四边形．【详解】解：（1）①EAB DAC ∠=∠，理由如下：∵EAD BAC ∠=∠，EAD EAB BAD ∠=∠+∠，BAC BAD DAC ∠=∠+∠, ∴EAB BAD BAD DAC ∠+∠=∠+∠，∴EAB DAC ∠=∠；②证明：如下图，连接EB,在△EAB 和△DAC 中∵AE AD EAB DAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAB ≌△DAC （SAS ）∴,ABE ACD EB CD ∠=∠=,∵AB AC =，。

青岛版2020八年级数学下册第六章平行四边形自主学习能力达标测试题（附答案详解）1．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，若AB ＝4，BC ＝2，那么线段EB 的长为（ ）A ． 25B ． 23C ． 45D ． 43 2．如图，有一矩形纸片ABCD ，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将AED ∆以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则CEF ∆的面积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．103．如图，菱形ABCD 中，AB ∥y 轴，且B （﹣10，1）、C （2，6），则点A 的坐标为（ ）A ．（﹣10，12）B ．（﹣10，13）C ．（﹣10，14）D ．（2，12）4．能判断一个四边形是平行四边形的为（ ）A ．一组对边平行，另一组对边相等B ．一组对边平行，一组对角相等C ．一组对边平行，一组对角互补D ．一组对边平行，两条对角线相等5．两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．都有可能6．如图，在正方形ABCD 中，△ABE 和△CDF 为直角三角形，∠AEB ＝∠CFD ＝90°，AE ＝CF ＝5，BE ＝DF ＝12，则EF 的长是( )A ．72B ．8C ．7D ．737．如图所示，在□ABCD 中，AD ＝5,AB ＝3,AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则线段BE 、CE 的长分别是（ ）A ．2和3B ．3和2C ．4和1D ．1和48．如图，已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于平面直角坐标系的原点，点D 的坐标为(3,2)，则点B 的坐标为( )A ．(－2，－3)B ．(－3,2)C ．(3，－2)D ．(－3，－2) 9．如图所示，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、CE 的中点，且ABC S V ＝4，则BEF S V 的值是（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.510．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，若AC=12，AB=7，则菱形ABCD 的面积是（ ）A ．13B ．36C ．13D ．6011．如图，在三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，将△ABC折叠，使点B落在边AC上点D （不与点A重合）处，折痕为PQ，当重叠部分△PQD为等腰三角形时，则AD的长为_____．12．已知菱形ABCD的两条对角线长分别为12和16，则这个菱形ABCD的面积S=．13．如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，若AB=3，OC=2.5，则BC长为______________.14．如图：正方形ABCD中，以AB为边，在正方形内作等边△ABE，△ABE周长为15，点P为对角线AC上一动点，则PD+PE最小值为____.15．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cos A＝45，BE＝2，则tan∠DBE＝________.16．如图，在 ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE，若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，则∠AED的度数是______度．17．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC上一点，连接BE并延长交AD延长线于点F，请你只添加一个条件：使得四边形BDFC为平行四边形．18．如图，在平行四边形ABCD中，DB=DC，∠A=70°，CE⊥BD于E，则∠BCE=▲ °．19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线交于点0，点E、F在直线AC上（不同于A、C），当E、F的位置满足_______的条件时，四边形DEBF是平行四边形．20．已知在□ABCD中，AB=4，BC=7，则这个平行四边形的周长为_____.21．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．22．如图，在□ABCD中，∠A+∠C =160°，求∠A、∠B、∠C、∠D的度数．23．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH=EH.(1)求证：四边形EBFC是菱形；(2)如果∠BAC=∠ECF，求证：AC⊥CF.24．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，沿着AE翻折矩形，使点B落在点F 处若AB ＝3，BC ＝3AB ，解答下列问题：（1）在点E 从点B 运动到点C 的过程中，求点F 运动的路径长；（2）当点E 是BC 的中点时，试判断FC 与AE 的位置关系，并说明你的理由；（3）当点F 在矩形ABCD 内部且DF ＝CD 时，求BE 的长．25．如图，在矩形ABCD 中，AB 2cm =，BC 4cm.=点P 从点D 出发向点A 运动，运动到点A 即停止；同时，点Q 从点B 出发向点C 运动，运动到点C 即停止，点P 、Q 的速度都是1cm/s ，连接PQ 、AQ 、CP.设点P 、Q 运动的时间为ts ．()1当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形；()2当t 为何值时，四边形AQCP 是菱形．26．如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AF ⊥BD ，CE ⊥BD ，垂足分别为E 、F ；连结AE 、CF ，求证：四边形AFCE 是平行四边形.27．如图，四边形ABCD 为正方形，O 为正方形ABCD 对角线的交点，M 是CA 延长线上的一个动点（点M 与点C 、A 都不重合），过点A 、C 分别向直线BM 作垂线段，垂足分别为E ，F ，连接OE .（1）若AM AB =，求证：AME BCF ∠=∠；（2）用等式直接写出线段CF ，AE ，OE 之间的数量关系，并证明．28．如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=3+1，求BC的长．参考答案1．B【解析】试题分析：连接CE ，设BE=x ，则AE=4-x ，根据折叠图形的性质可得：CE=AE=4-x ，根据Rt △BCE 的勾股定理可得：222)4(2x x -=+，解得：x=23. 考点：折叠图形的性质2．C【解析】【分析】根据折叠易得BD ，AB 长，利用相似可得BF 长，也就求得了CF 的长度，△CEF 的面积=12CF•CE ． 【详解】解：由折叠的性质知，第二个图中BD=AB-AD=4，第三个图中AB=AD-BD=2，因为BC ∥DE ，所以BF ：DE=AB ：AD ，所以BF=2，CF=BC-BF=4，所以△CEF 的面积=12CF•CE=8； 故选：C ．点睛：本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②矩形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式等知识点．3．C【解析】【分析】根据两点间距离公式求出BC ，再根据菱形的性质即可解决问题．【详解】∵B （﹣10，1）、C （2，6），∴BC =13．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=13，∴点A坐标为（﹣10，14）．故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质、两点间距离公式、坐标与图形性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．4．B【解析】试题分析：因为平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形，B．一组对边平行，一组对角相等，利用平行线的性质，结合条件一组对角相等可证得：另一组对边平行或另一组对角相等，所以可证明四边形是平行四边形，故选：B.考点：平行四边形的判定.5．C【解析】【分析】根据菱形，矩形，正方形的判定进行分析即可.【详解】两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，两条对角线相等的四边形是矩形，所以两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.故选：C【点睛】掌握菱形，矩形，正方形的判定.6．A【解析】【分析】由正方形的性质得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，由SSS证明△ABE≌△CDF，得出∠ABE=∠CDF，证出∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，由AAS证明△ABE≌△ADG，得出AE=DG，BE=AG，同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，得出EG=GF=FH=EF=7，证出四边形EGFH是正方形，即可得出结果．【详解】如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，∴∠BAE+∠DAG=90°，在△ABE和△CDF中，{?AB CDAE CFBE DF===，∴△ABE≌△CDF（SSS），∴∠ABE=∠CDF，∵∠AEB=∠CFD=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∴∠ABE=∠DAG=∠CDF，同理：∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，∴∠DAG+∠ADG=∠CDF+∠ADG=90°，即∠DGA=90°，同理：∠CHB=90°，在△ABE和△ADG中，{90ABE DAGAEB DGA AB DA∠=∠∠=∠=︒= ，∴△ABE ≌△ADG （AAS ），∴AE=DG ，BE=AG ，同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，∴EG=GF=FH=EF=12-5=7，∵∠GEH=180°-90°=90°，∴四边形EGFH 是正方形，∴；故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．7．B【解析】【分析】根据平行四边形的性质和角平分线，可推出AB=BE ，再由已知条件即可求解．【详解】∵AE 平分∠BAD∴∠BAE=∠DAE∵▱ABCD∴AD ∥BC∴∠DAE=∠AEB∴∠BAE=∠BEA∴AB=BE=3∴EC=AD-BE=2故选B ．【点睛】此题主要考查了平行四边形性质及等腰三角形的性质．8．D【解析】【分析】由平行四边形的性质得出B与D关于原点O对称，即可得出点B的坐标．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，O为角线AC与BD的交点，∴B与D关于原点O对称，∵点D的坐标为(3,2)，∴点B的坐标为(−3,−2).故答案选：D.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练的掌握坐标与图形的性质. 9．A【解析】∵点D是BC的中点，∴BD=CD，∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC=12×4=2，同理，S△BDE=S△ABE=12S△ABD=12×2=1，S△CDE=S△ACE=12S△ACD=12×2=1，∴S△BCE=S△BDE+S△CDE=1+1=2，∵F是CE的中点，∴S△BEF=12S△BCE=12×2=1.10．A 【解析】由菱形的性质得出AC⊥BD，OA=OC=12AC=6，OB=OD=12BD，由勾股定理求出OB，得出BD的长，菱形ABCD的面积=12AC×BD，即可得出结果．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC ⊥BD ，OA =OC =12AC =6，OB =OD =12BD ，∴OB =∴BD∴菱形ABCD 的面积=12AC ×BD =12×12×故选A.11．2或﹣2．【解析】分析：分①PD=DQ ；②DQ=PQ ；③PD=PQ 三种情况结合已知条件分析解答即可.详解：若△PDQ 为等腰三角形，则存在以下三种情况：（1）当PD=DQ 时，由折叠的性质可知，PD=PB ，DQ=BQ ，∴PD=PB=BQ=DQ ，∴四边形BQDP 是菱形，∴PD ∥BC ，BP ∥DQ ，∵∠A=90°，AB=AC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴△APD 和△CDQ 都是等腰直角三角形，设AD=x ，则AP=x ，PD=PB=2-x ，在Rt △APD 中，由勾股定理可得：222(2)x x x +=-，解得：1222x x ==-，（不合题意，舍去），∴此时AD=2；（2）DQ=PQ 时，由折叠的性质可知：BQ=DQ=PQ，又∵在△ABC中，∠B=45°，∴∠BPQ=∠B=45°，∴∠PQB=90°，∴PQ⊥BC，∵将点B沿PQ折叠后点B落在AC上，∴点B与点C重合，∴x=AD=AC=2；（3）当PD=PQ时，由折叠的性质考点：PQ=PD=BP，∴∠BQP=∠B=45°，∴∠QPB=90°，∵将点B沿PQ折叠后点B落在AC上，∴点B与点A重合，∵B与点A重合，不符合题意，舍去；∴此种情况不成立；综上所述，AD的长为2或2.故答案为：2或2.点睛：解答本题时需注意存在三种可能情况，需根据已知条件分三种情况讨论计算，不要忽略了其中任何一种情况.12．96．【解析】【分析】根据菱形的性质，菱形的面积=对角线乘积的一半.【详解】菱形的面积是：1121696 2⨯⨯=.故答案为：96【点睛】本题考核知识点：菱形面积. 解题关键点：记住根据对角线求菱形面积的公式.13．4【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝2OC=5.由勾股定理得2222534BC AC AB=-=-=.14．5.【解析】【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，从而得出结果．【详解】解：连接BD，与AC交于点F，BE与AC交点为P，连接PD，∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．又∵△ABE是等边三角形，周长为15，∴BE=AB=5，即PD+PE的最小值为5．故答案是：5．【点睛】题本考查轴对称--最短路线问题，难点主要是确定点P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．15．3【解析】试题解析：设菱形的边长为a，在RT△ADE中，∵∠DEA=90°，AD=a，AE=a-2，∴cosA=45 AEAD=，∴245aa-=，∴a=10，∴AD=10，AE=8，，∴tan∠DBE=632DEEB==．考点：1.菱形的性质；2.三角函数的定义.16．85【解析】【分析】先证明∠B=∠EAD，然后利用SAS证明△ABC≌△EAD，得出∠AED=∠BAC．再证明△ABE 为等边三角形，可得∠BAE=60°，求出∠BAC的度数，即可得∠AED的度数．【详解】∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC=AD，∴∠EAD=∠AEB．又∵AB=AE，∴∠B=∠AEB，∴∠B=∠EAD．在△ABC和△EAD中，∵AB=AE，∠ABC=∠EAD，BC=AD，∴△ABC≌△EAD（SAS），∴∠AED=∠BAC．∵AE平分∠DAB，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB=∠B，∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE=60°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=85°，∴∠AED=∠BAC=85°．故答案为85．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质；熟记平行四边形的性质，证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键．17．BD∥FC．【解析】试题解析：∵AD∥BC，当BD∥FC时，四边形BDFC为平行四边形．考点：平行四边形的判定．18．20【解析】由平行四边形ABCD中，易得∠BCD=∠A=70°，又因为DB=DC，所以∠DBC=∠DCB=70°；再根据CE⊥BD，可得∠BCE=20°．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD=∠A=70°，∵DB=DC，∴∠DBC=∠DBC=70°，∵CE⊥BD，∴∠CEB=90°，∴∠BCE=20°．故答案为20°．19．AE=CF（答案不唯一）【解析】试题分析：根据平行四边形的性质可得OA=OC，OB=OD，，只要满足OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形DEBF是平行四边形，所以添加的条件只要能推出OE=OF即可．考点：平行四边形的性质及判定．20．22【解析】【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对边相等，所以平行四边形的周长等于两邻边和的二倍，直接求解即可．【详解】解：C平行四边形=2（AB+BC）=2×（4+7）=2×11=22．故答案为22．【点睛】考查了平行四边形的性质，在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择的使用，避免混淆性质，以致错用性质．21．证明见解析【解析】试题分析：在菱形中，由SAS求得△ABE≌△ADF，再由等边对等角得到∠AEF=∠AFE．试题解析：证明：∵ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D.又∵EB=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴∠AEF=∠AFE.22．∠A=∠C=80°，∠D=∠B=100°.【解析】试题分析：由ABCD是平行四边形，得到∠A=∠C．再由∠A+∠C =160°，得到∠A，∠C的度数，再利用邻角互补求∠B，∠D的度数．试题解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D．又∵∠A+∠C =160°，∴∠A=∠C=80°．在平行四边形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠D=∠B=100°．23．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据题意可证得△BCE为等腰三角形，由AH⊥CB，则BH=HC，从而得出四边形EBFC是菱形；（2）由（1）得∠2=∠3，再根据∠BAC=∠ECF，得∠4=∠3，由AH⊥CB，得∠3+∠1+∠2=90°，从而得出AC⊥CF．试题解析：证明：（1）∵AB=AC，AH⊥CB，∴BH=HC．∵FH=EH，∴四边形EBFC是平行四边形．又∵AH⊥CB，∴四边形EBFC是菱形．（2）证明：如图，∵四边形EBFC是菱形．∴∠2＝∠3＝12∠ECF．∵AB=AC，AH⊥CB，∴∠4＝12∠BAC．∵∠BAC=∠ECF∴∠4=∠3．∵AH⊥CB∴∠4+∠1+∠2=90°．∴∠3+∠1+∠2=90°．即：AC⊥CF．24．（1）2π；（2）FC与AE的位置关系为：FC∥AE；（33【解析】【分析】(1)根据翻折的性质可得AF＝AB，∠BAE＝∠EAF，当当点E运动到点C时利用三角函数求出∠BAF的度数，最后再根据弧长公式，求出点F的运动路径长.（2）根据题意知道BE ＝EF＝EC，再利用三角形内角和∠BFE+∠CFE＝90°，最后根据翻折的性质求出∠BHE＝90°，即可证出FC与AE的位置关系.(3) 过点F作FM⊥AD于点M，延长MF交BC于点N，根据题意求出AM的值，然后利用勾股定理求出MF，根据矩形的性质得到FN, 设BE＝x，则EN 33﹣x，利用勾股定理求出BE的长.【详解】解：（1）由翻折的性质得：AF ＝AB ，∠BAE ＝∠EAF ，∴点F 运动的路径是以A 为圆心，AB 为半径，∠BAF 为圆心角的弧长，如图1所示：当点E 运动到点C 时，tan ∠BAE ＝BC AB ∴∠BAE ＝60°，∠BAF ＝120°，∴点F 的运动路径长为：1203π 180⨯＝2π； （2）FC 与AE 的位置关系为：FC ∥AE ；理由如下：连接BF 交AE 于点H ，如图2所示：由折叠性质得：BE ＝EF ，∵BE ＝CE ，∴BE ＝EF ＝EC ，∴∠FBE ＝∠BFE ，∠CFE ＝∠FCE ，∵∠FBE+∠BFE+∠CFE+∠FCE ＝180°，∴∠BFE+∠CFE ＝90°，即∠BFC ＝90°，由折叠的性质得：BF ⊥AE ，∴∠BHE ＝90°，∴FC ∥AE ；（3）过点F 作FM ⊥AD 于点M ，延长MF 交BC 于点N ，如图3所示：∵AB ＝3，BC ，∴BC ＝∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝3，DF ＝DC ＝3，∴AF ＝DF ，∵MF ⊥AD ，∴AM ＝12AD在Rt △MAF 中，MF 32， ∵∠BAD ＝∠B ＝90°，MF ⊥AD ，∴四边形ABNM是矩形，∴BN＝AM＝332，MN＝AB＝3，∴FN＝MN﹣MF＝3﹣32＝32，设BE＝x，则EN＝332﹣x，由折叠的性质得：FE＝BE＝x，在Rt△EFN中，EF2﹣EN2＝FN2，即：x2﹣（33﹣x）2＝（32）2，解得：x＝3，∴BE的长为3．【点睛】本题考查矩形的性质和翻折的性质综合题，学生们熟练掌握弧长公式、勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键.25．()1当t 2s =时，四边形ABQP 为矩形；()2 当t 1.5s =时，四边形AQCP 为菱形．【解析】【分析】()1当四边形ABQP 是矩形时，BQ AP =，据此求得t 的值；()2当四边形AQCP 是菱形时，AQ AC =，列方程求得运动的时间t ；【详解】()1由已知可得，BQ DP t ==，AP CQ 4t ==-在矩形ABCD 中，B 90∠=o ，AD//BC ，当BQ AP =时，四边形ABQP 为矩形，t 4t ∴=-，得t 2=故当t 2s =时，四边形ABQP 为矩形．()2由()1可知，四边形AQCP 为平行四边形∴当AQ CQ =时，四边形AQCP 为菱形4t =-时，四边形AQCP 为菱形，解得t 1.5=，故当t 1.5s =时，四边形AQCP 为菱形．【点睛】本题考查了菱形、矩形的判定与性质.解决此题注意结合方程的思想解题．26．见解析【解析】整体分析：用SAS 证明△AOF ≌△COE ，得到OF=OE ，由对角线互相平分的四边形是平行四边形求证. 证明：连接AE ，CF.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝OC.∵AF ⊥BD ，CE ⊥BD ，∴∠AFO ＝∠CEO ＝90°.在△AOF 与△COE 中∠AFO ＝∠CFO ＝90°，AO ＝OC ，∠AOF ＝∠COE ，∴△AOF ≌△COE(AAS)，∴OF ＝OE ，∴四边形AECF 是平行四边形.27．（1）见解析；（2）)22OE AE CF =+，证明见解析 【解析】【分析】 （1）由等边对等角得到AME ABE ∠=∠，由正方形的性质和同角的余角相等，得到FCB ABE ∠=∠，即可得到结论成立；（2）延长EO 交FC 的延长线于点N ，连接OF ，找到证明全等的条件，得到AOE CON ∆∆≌，得到12OE ON EN ==，AE CN =，从而得到OE OF =，同理可得BE CF =，然后证明OBE OCF ∆∆≌，得到BOE COF ∠=∠，然后得到OEF ∆是等腰直角三角形，即可得到答案.【详解】（1）证明：∵AM AB =，∴AME ABE ∠=∠.∵四边形ABCD 是正方形，CF EF ⊥，∴90CBA ∠=︒，90CFB ∠=︒.即90BCF FBC ∠+∠=︒，90CBF ABE ∠+∠=︒.∴FCB ABE ∠=∠，∴AME BCF ∠=∠；（2）解：()2OE AE CF=+.证明：如图，延长EO交FC的延长线于点N，连接OF，∵四边形ABCD是正方形，∴AO CO=.∵AE BM⊥，CF BM⊥，∴AE CFP.∴AEO CNO∠=∠.又∵AOE CON∠=∠，∴AOE CON∆∆≌.∴12OE ON EN==，AE CN=.在Rt EFN∆中，点O是斜边EN的中点，∴12OE OF EN==.∵四边形ABCD是正方形，∴90ABC∠=︒，AB BC=.易证ABE BCF△△≌，∴BE CF=.在OBE△和OCF∆中，∵OB OCOE OFBE CF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSSOBE OCF∆∆≌.∴BOE COF ∠=∠. ∵90COF FOB ∠+∠=︒，∴90BOE FOB ∠+∠=︒.∴OEF V 是等腰直角三角形.∴45OEB ∠=︒.∴()2NC CF EN +=.∴()()122222OE EN NC CF AE CF ==+=+. 【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质性质，解（2）的关键是构造全等三角形，判断出△OEF 是等腰直角三角形，是一道中考常考题.本题难度较大，学生需要熟练掌握数形结合的思想和正确做出辅助线进行解题. 错因分析：（1）不能由AM AB =得到AME ABE ∠=∠，不能由等角代换得到AME BCF ∠=∠；（2）不能正确作出辅助线；不能熟练运用全等三角形的判定和性质；不能正确求出45FEN ∠=︒28．BC 的长为3+2+3．【解析】分析：由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE 、KF=FC ，作KM ⊥BC ，设KM=x ，知EM=x 、MF=3x ，根据EF 的长求得x=1，再进一步求解可得．详解：由题意，得：∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，BE=KE 、KF=FC ， 如图，过点K 作KM ⊥BC 于点M ，设KM=x ，则EM=x 、3，∴33+1，解得：x=1，∴KF=2，∴∴BC的长为点睛：本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．。