丰富多彩的有理数竞赛题

怀化四中东校区2016级周南实验班数学《有理数》竞赛题汇编1、已知，a ＞－5，试比较│a │与4的大小。

2、如图所示，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF ，则与点C 所表示的数最接近的整数是（ ）。

A ．-1B ．0C ．1D ．2 （第12届“希望杯”试题）3、天津市竞赛题（1）x 取何值时，│x+2│+│x-2│取最小值，最小值是多少？（2）x 取何值时，│x+2│+│x-2│+│x-3│取最小值，最小值是多少？（3）x 取何值时，│x+2│+│x-2│+│x-3│+│x-4│取最小值，最小值是多少？（4）x 取何值时，│x-1│+│x-2│+│x-3│+…+│x-1997│取最小值，最小值是多少？4、在数轴上，点A 、B 表示31-，51，则线段AB 的中点所表示的数是 。

（第15届江苏省初中数学竞赛题）5、若ab ＞0，则a a +b b -ab ab 的值等于 。

（数学联合竞赛题）6、如果x<-2,那么x +-11等于 。

（第七届“希望杯”试题）7、设a+b+c=0，abc>0，则a cb ++b ac ++c b a +的值是 。

8、计算：100011002110011100211000110011---+- （第五届“希望杯”试题） 9、设a=1÷2÷3÷4，b=1÷（2÷3÷4）,c=1÷（2÷3）÷4,d=1÷2÷（3÷4）, 试计算［（a-b ）-（c+d ）］÷(a-c)。

10、计算：① （3×4×5×6）⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-31415161 (第六届“希望杯”试题)② 211×（-455）+365×455－211×545+545×365 (第15届“希望杯”试题)③⎪⎭⎫ ⎝⎛--+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--+8737344372115871712433217 （第15届“五羊杯”试题） ④ 117187181710724107133611⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷+- (第八届“希望杯”试题)11、计算：① 201620151431321211⨯++⨯+⨯+⨯Λ ② 201720151751531311⨯++⨯+⨯+⨯Λ 12、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-…+2013+2013、如果4个不同的正整数m 、n 、p 、q 满足（7-m ）（7-n ）（7-p ）（7-q ）=4，则m+n+p+q 等于 。

2024年数学竞赛试题一、趣味数字部分1. 小明发现一个神奇的数字规律。

如果一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，这个数最小是多少呢？（提示：这可是古代就有的趣味数学问题哦，就像在数字的迷宫里找宝藏一样。

）2. 有一个四位数，它的各位数字之和是18，且千位数字是个位数字的2倍，百位数字比十位数字多1，这个四位数可能是多少呢？（想象你是一个数字侦探，要根据这些线索找出这个神秘的四位数。

）二、几何趣题1. 一个三角形的三条边分别为5厘米、12厘米和13厘米，现在以这个三角形的三条边为边长向外分别作三个正方形。

请问这三个正方形面积之和是多少平方厘米？（这个三角形可是很特别的哦，它就像一把神秘的钥匙，能打开计算正方形面积之和的大门。

）2. 有一个圆柱形容器，底面半径是5厘米，高是10厘米。

现在容器里装了一半的水，把一个底面半径是3厘米、高是8厘米的圆锥体完全浸入水中，水面会上升多少厘米呢？（就像圆锥体在水里做了一场有趣的“潜水表演”，让我们看看水面会因为它发生怎样的变化。

）三、生活中的数学1. 小王去超市买东西，他买了3袋薯片，每袋价格是5元；2瓶饮料，每瓶价格是4元；还买了1个蛋糕，价格是15元。

他给了收银员50元，收银员应该找给他多少钱呢？（这就像我们平时去购物一样，要算清楚自己的花费和找零哦。

）2. 学校组织植树活动，计划在一条长100米的小路两旁种树，每隔5米种一棵（两端都种）。

一共需要种多少棵树呢？（想象一下，我们要在这条小路上种上一排排绿色的小卫士。

）四、逻辑挑战1. 有A、B、C、D四个同学，他们分别来自不同的城市：北京、上海、广州和深圳。

A同学说：“我不是来自北京和上海。

”B同学说：“我不是来自广州。

”C同学说：“我不是来自深圳。

”D同学说：“我来自北京。

”那么，A、B、C三个同学分别来自哪里呢？（这就像是一场有趣的猜谜游戏，根据同学们的话来找出他们的家乡。

）2. 在一个神秘的岛上，住着两种人：诚实的人和说谎的人。

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《有理数》培训竞赛训练题1、 若a 为有理数，在a 与－a 之间有2099个整数，问a 的取值范围是什么？2、 给定一列数a 1,a 2,…，a 2009，其中，a 1＝1，且每相邻两项之和等于4，求a 1-a 2+a3-a 4+… a 2007-a 2008+a 2009的值3、 已知y ＝｜x-a ｜+｜x+19｜+｜x-a-96｜，如果19<a<96，a ＜x ＜96 ，求y 的最大值4、 有理数a 、b 、c 均不为0，且a+b+c=0，设x=b ac c a b c b a +++++||||||，求x 19-32x+2004 的值5、 计算：731⨯+1171⨯+15111⨯+…+59551⨯6、 已知1164011101411201111815121＝+++++++， 求164011101411201111815121++-++---的值7、 计算：)542(5.4)542()4125(54275.3548)1638161(-⨯+-⨯-+⨯-⨯--8、 计算：4+67+697+6997+69997+6999979、 求16÷（0.40+0.41+0.42+…+0.59）的整数部分10、已知a 是有理数，求｜a-2009｜+｜2010-a ｜的最小值11、已知a<0,ab<0,求｜b-a+1｜+｜a-b-5｜的值12、计算：)201011()100811)(100711)(100611(2010321-⋯---+⋯+++13、若a 、b 、c 为整数，且｜a-b ｜11+|c-a|11=1,试求｜c-a ｜+｜a-b ｜+｜b-c ｜的值14、将1、2、3、…、100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数，现将每组的两个自然数中任一个数值记作a ，另一个记作b ，代入代数式）｜（｜b a b a ++-21中进行计算，求出其结果，50组都代入后可求得50个值，求这50个值的和的最大值。

第1讲有理数的运算一、单选题1.(2022·福建·九年级统考竞赛〉将形如3m和12"(m, 11为正整数）的正整数从小flj大排列，并依次记为剑，旬，何若第k个数a k=2022，则k的值为（）A.682B. 683 c.684 D.6852.(2021·全国九年级竞赛〉若关于x的方程J x+ll+l x-11=a有实根．则实数a的取值范围，是（）．A. a主。

B. a>OC.a三lD.a?:23.(2019秋·河南许昌·七年级校联考究赛）在数轴上点A、8所表示的数分别为－2和5，点C在数轴上，且点C到点A、8的距离之和为13，则点C m表示的数为（〉A.-5B. 8 c.-5或8 D. 3或-84.(2019秋·河南许吕七年级校联考竞赛〉下列说法：①若α、b互为相反数，则ab<O；②若丘＝_.!.'Sb 5则。

、b互为相反数，＠一个数的平方是它本身，贝。

这个数为0或i；④若－I<a<O，则α2＞－..！..，其中正。

确的是（〉A.②③C①＠＠B.①②D.②＠④5.(2017秋浙江杭州·七年级党赛〉有理数。

，b在数抽上对应的位置如图所示，那么代数式la+l I Jal b-a 1-b－一一－一＋一一一－－一一的健：是（〉a+lα1α－bl lb-IIQ I b、-10 1’A.-lB.0 c.l D. 26.(2022广东九年级统考竞赛〉己知可为实数，且l3x-ll +l4x-ll +l5x-ll+ · · +IJ 7 x-LI的值是一个确定的常数，则这个常数是〈〉．A.5B.10 c.15 D.757.(2020秋－江西①0.01；②÷③15的绝础；④0；⑤－￥：®-2.3州相反数A. I个B. 2个 c. 3个 D. 4个8. (2肌全国丸年级竞赛〉己知样实敛。

有理数综合(提优)1若实数x ，y ，使得x +y ，x -y ，x y，xy 这四个数中的三个数相等，则|y |-|x |的值等于()A.-12B.0C.12D.32【解答】解：因为x y有意义，所以y 不为0，故x +y 和x -y 不等(1)x +y =xy =x y 解得y =-1，x =12，(2)x -y =xy =x y 解得y =-1，x =-12，所以|y |-|x |=1-12=12．故选：C ．2对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义有序实数对(a ，b )与(c ，d )之间的运算“△”为：(a ，b )△(c ，d )=(ac +bd ，ad +bc )．如果对于任意实数u ，v ，都有(u ，v )△(x ，y )=(u ，v )，那么(x ，y )为()A.(0，1) B.(1，0) C.(-1，0) D.(0，-1)【解答】解：∵(u ，v )△(x ，y )=(ux +vy ，uy +vx )=(u ，v )，∴ux +vy =u ，uy +vx =v ，∵对于任意实数u ，v 都成立，∴x =1，y =0，∴(x ，y )为(1，0)．故选：B ．3如果4个不同的正整数m 、n 、p 、q 满足(7-m )(7-n )(7-p )(7-q )=4，那么，m +n +p +q 等于()A.10 B.21 C.24 D.28【解答】解：∵m 、n 、p 、q 为4个不同的正整数，∴7-m 、7-n 、7-p 、7-q 为4个不同的整数，又∵4=2×2×1×1，∴4=-1×(-2)×1×2，∴7-m 、7-n 、7-p 、7-q 为-2、-1、1、2，∴(7-m )+(7-n )+(7-p )+(7-q )=-2+(-1)+1+2=0，∴m +n +p +q =28．故选：D ．4观察下列各式：1×2=13(1×2×3-0×1×2)，2×3=13(2×3×4-1×2×3)，3×4=13(3×4×5-2×3×4)，⋯计算：3×(1×2+2×3+3×4+⋯+99×100)=()A.97×98×99B.98×99×100C.99×100×101D.100×101×102【解答】解：根据题意可知3×(1×2+2×3+3×4+⋯+99×100)=3×13×(1×2×3-0×1×2)+13(2×3×4-1×2×3)+13(3×4×5-2×3×4)+⋯+13(99×100×101-98× =1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+⋯+99×100×101-98×99×100=99×100×101．故选：C ．5下面是按一定规律排列的一列数；第1个数：12-1+-12；第2个数：13-1+-12 1+(-1)231+(-1)34 ；第3个数：14-1+-12 1+(-1)23 1+(-1)34 1+(-1)45 1+(-1)56；⋯⋯第n 个数：1n +1-1+-12 1+(-1)23 1+(-1)34 ⋯1+(-1)2n -12n．那么，在第9个数，第10个数，第11个数，第12个数中，最小的数是()A.第9个数 B.第10个数 C.第11个数 D.第12个数【解答】解：第1个数：12-1+-12 =12-1+12=0，第2个数：13-1+-12 1+(-1)231+(-1)34 =13-1-12 ×43×34=13-1+12=-16，第3个数：14-1+-12 1+(-1)23 1+(-1)34 1+(-1)45 1+(-1)56 =14-1-12 ×43×34×65×56=14-12=-14，⋯第n 个数：1n +1-1+-12 1+(-1)23 1+(-1)34 ⋯1+(-1)2n -12n=-12+1n +1，所以第9个数，第10个数、第11个数、第12个数分别为110-12，111-12，112-12，113-12，其中最小的数为第12个数，故选：D ．6设a =3050，b =4040，c =5030，则a ，b ，c 中最大的是a ，最小的是c ．【解答】解：a =3050=(305)10，b =4040=(404)10，c =5030=(503)10∵305>404>503∴a >b >c故答案为a ；c ．7计算：1-56+712-920+1130-1342+1556-1772+1990【解答】解：1-56+712-920+1130-1342+1556-1772+1990=1-2+32×3+3+43×4-4+54×5+5+65×6-6+76×7+7+87×8-8+98×9+9+109×10=1-13-12+14+13-15-14+⋯-19-18+110+19=1-12+110=35．8自选题：如图，显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：14，12，1，2，4，8，16，32，64填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求x 的值．【解答】解：这9个数的积为14×12×1×2×4×8×16×32×64=643，所以，每行、每列、每条对角线上三个数字积为64，得ac =1，ef =1，ax =2，a ，c ，e ，f 分别为14，12，2，4中的某个数，对a 进行讨论，只有当a =14时，x 不是14，12，2，4中某个数；推得x =8．9阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+⋯⋯+22020+22021的值，采用以下方法：设S =1+2+22+⋯⋯+22020+22021①则2S =2+22+⋯⋯+22021+22022②②-①得，2S -S =S =22022-1．请仿照小明的方法解决以下问题：(1)2+22+⋯+220=　221-2；(2)求1+12+122+⋯++1250=2-1250　；(3)求(-2)+(-2)2+⋯⋯+(-2)100的和；(请写出计算过程)(4)求a +2a 2+3a 3+⋯⋯+na n (其中a ≠0且a ≠1)的和．(请写出计算过程)【解答】解：(1)设S =2+22+⋯+220①，则2S =22+⋯+220+221②，②-①得，2S -S =221-2，即S =221-2，故答案为：221-2；(2)设S =1+12+122+⋯+1250①，则12S =12+122+⋯+1250+1251②，②-①得，12S -S =1251-1，即-12S =1251-1，∴S =2-1250，故答案为：2-1250；(3)设S =(-2)+(-2)2+⋯+(-2)100①，则-2S =(-2)2+(-2)3⋯+(-2)101②，②-①得，-2S -S =(-2)101-(-2)，即-3S =(-2)101+2，∴S =2101-23；(4)设S =a +2a 2+3a 3+⋯⋯+na n ，则aS =a 2+2a 3+3a 4+⋯⋯+(n -1)a n +na n +1，∴(1-a )S =a +a 2+a 3+a 4+⋯⋯+a n -na n +1，设T =a +a 2+a 3+a 4+⋯⋯+a n ，则aT =a 2+a 3+a 4+⋯⋯+a n +a n +1，∴(1-a )T =a -a n +1，∴T =a -a n +11-a，∴(1-a )S =a -a n +11-a -na n +1，∴S =a -a n +1(1-a )2-na n +11-a ．10赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕已久的大学．后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告．报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的a ，b ，c ，⋯，z 26个字母(不论大小写)依次用1，2，3，⋯，26这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式：y =x 2 +1(其中x 是不超过26的正奇数)x +12+13(其中x 是不超过26的正偶数) ；已知对于任意的实数x ，记号[x ]表示不超过x 的最大整数；将英文字母转化成密码，如8→8+12 +13=17，即h 变成q ，再如11→112+1=6，即k 变成f ．他们给出下列一组密码：etwcvcjwejncjwwcabqcv ，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言．现在就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程．【解答】解：由题意，密码etwcvcjw 对应的英语单词是int erest ，ej 对应的英语单词是is ，ncjw 对应的英语单词是best ，wcabqcv 对应的英语单词是teacher ．所以，翻译出来的一句英语是Interestisbestteacher，意思是“兴趣是最好的老师”．。

专题2：有理数一、选择题1．（第16届希望杯竞赛题）1234141524682830-+-+⋅⋅⋅-+-+-+-⋅⋅⋅+-等于（ ）A ．14 B ．14-C ．12 D ．12-2．（第17届希望杯竞赛题）设()2n n ≥个正整数1a ，2a ，…，n a ，任意改变它们的顺序后，记作1b ，2b ，…，n b ，若()()()()112233n n p a b a b a b a b =---⋅⋅⋅-，则（ ）． A ．p 一定是奇数B ．p 一定是偶数C ．当n 是奇数时，p 是偶数D ．当n 是偶数时，p 是奇数3．（第11届“华罗庚杯”竞赛题）如果a ，b ，c 均为正数，且()152a b c +=，()162b c a +=，()170c a b +=，那么abc 的值是（ ）．A ．672B ．688C ．720D ．7504．将223a =，144b =，109c =，108d =由大到小的排列顺序是（ ） A ．a>c>d>bB ．a>c>b>dC ．c>d>b>aD ．a>b>c>d5．在以2，3，5，10，…开始的数列中，从第二项起，每一项都是前面各项之和。

这一数列的第10项是（ ） A ．47B ．170C ．640D ．12806．算式13×2=26中的各数字重新排列后可形成16×2=32和31×2=62两个算式。

下列算式，不能再重排而得到另外的正确算式的是（ ） A ．12×3=36B ．12×7=84C ．26×3=78D ．16×3=487．设234922221335579799S =++++⨯⨯⨯⨯，248122235799T =++++，则S T -等于（ ） A ．49299B ．492199-C ．492199-D ．492199+8．（第19届江苏省初中数学竞赛题）()()20042003232-+⨯-的值为（ ）A ．20032-B ．20032C ．20042-D ．200429．（江苏省初中数学竞赛题）下列计算中，正确的是（ ）． A ．()()25111-⨯-=B ．()239--=C ．311933⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭D ．1393⎛⎫-÷-= ⎪⎝⎭10．（第18届江苏省初中数学竞赛题）已知数轴上的三点A ，B ，C 所对应的数a ，b ，c 满足a b c <<，0abc <和0a b c ++=，那么线段AB 与BC 的大小关系是（ ）． A ．AB BC >B ．AB BC =C ．AB BC <D ．不确定的11．（第18届五羊杯竞赛题）已知有理数a ，b ，c ，d 满足20069153268a b c d ====，那么（ ）． A ．a b c d >>>B ．a b c d <<<C ．9153268a b c d +>+>+>+D ．9153268a b c d +=+=+=+12．（英国中学数学竞赛题）199的一半是多少？（ ）．A ．1942B ．95C ．1952 D ．99E ．199213．若99910001001,,201120122013a b c ===，则（ ） A.a b c <<B.b c a <<C.c b a <<D.a c b <<14．如果4个不同的正整数,,,m n p q 满足()()()()77774m n p q ----=，那么m n p q +++等于（ ） A.10B.21C.24D.26E.2815．如果1231231||||||t t t t t t ++=，那么123123||t t t t t t 的值为（ ） A.-1B.1C.±1D.不确定16．观察下列各式： （1）1=12； （2）2+3+4=32； （3）3+4+5+6+7=52； （4）4+5+6+7+8+9+10=72； ……请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（ ） A.1005+1006+1007+…+3016=20112 B. 1005+1006+1007+…+3017=20112 C. 1006+1007+1008+…+3016=20112D. 1007+1008+1009+…+3017=2011217．（江苏省第21届初中数学竞赛题）若122n n x +=+，1222n n y --=+，其中n 为整数，则x 与y 的数量关系为（ ）． A ．4x y =B ．4y x =C ．12x y =D ．12y x =18．（第14届五羊杯竞赛题）()13.672125136.7212.251367.2 1.87517.09⨯+⨯-⨯÷=（ ）． A ．60B ．60.5C ．48D ．011．（第17届五羊杯竞赛题）()0.000670.338750.000001020.003380.042⨯-⨯+⨯=（ ） A ．0.00008B ．0.000008C ．0.000529D ．0.052919．已知整数,,,a b c d 满足25abcd =，且a b c d >>>，那么||||a b c d +++等于（ ）。

《有理数》竞赛训练1 比较大小比较有理数大小的方法如下:①一般地:正数大于0，0大于负数，正数大于负数;②两个正数，绝对值大的大;③两个负数，绝对值大的反而小.经典例题(1) 比较大小：133，398，7817(2) 比较大小：23，58-，1523-，1017-，1219 解题策略(1) 因为131367833618⨯==⨯ 393927888216⨯==⨯ 因为787878181716<< 所以1378393178<< (2) 把5个数的分子化为相同，可得这5个数为6090，6096-，6092-，60102-， 6095而60609095>，6060601029692<< 所以，这5个数的大小依次为1551012223817193-<-<-<< 画龙点睛比较分数的大小，一般来说是先通分，再比较分子的大小.但是，有的时候，分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小，这时我们可以换一个角度思考，把这些分数的分子化为相同的数，再比较分母的大小，此外，还可采用分子分母交叉相乘或全转化为小数讲行比较.举一反三1. 比较大小：1519-和1115-2. 比较21201720164a =-+和2212017201620172016b =-⨯+的大小3. 有8个数，其中的6个数是:59，0.51，2447，1325，0.51，23如果从小到大排列，第4个数是0.51，那么从大到小排列，第4个数是多少?融会贯通4. 1111120212229++++…的整数部分是多少?2. 有理数巧算一：凑整法在平时的计算中，我们经常会遇到数字比较复杂的计算题，如果“硬算”的话，费时又容易出错.这时就需要用一些巧算的方法，把按常规计算起来比较复杂的运算变得简单、快捷.“凑整法”就是一种非常有效的简便算法.经典例题计算：(1) 2014 2.5+20150.52016 1.25⨯÷-⨯(2)808 6.254047.5⨯-⨯解题策略(1) 注意到2.5410⨯=，0.521⨯=，1.25810⨯=，所以对原式中的2.5、0.5、1.25分别乘以再除以4、2、8，从而简化计算.原式2014(2.54)4+20152(0.52)2016(1.258)8=⨯⨯÷⨯÷⨯-⨯⨯÷2014104+2015212016108=⨯÷⨯÷-⨯÷503540302520=+-6545=(2) 808可以表示为(800+ 8 )，404可以表示为(400 + 4)，它们分别含有因数8和4，可以与1. 25和2. 5进行凑整，使计算简便.原式808 1.255404 2.53=⨯⨯-⨯⨯(8008) 1.255(4004) 2.53=+⨯⨯-+⨯⨯(1001)8 1.255(1001)4 2.53=+⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯101105101103=⨯⨯-⨯⨯101102=⨯⨯2020=画龙点睛“凑整法”是最常见的一种运算技巧，通过乘以再除以一个较小的正整数，利用乘法结合律，将乘数凑成整十、整百、整千……的数，使复杂的计算变得简便.有些题目很难看出凑整的可能，所以，需要我们细心观察，牢记254100⨯=，12581000⨯=等计算结果，而且要对25 、125的倍数非常熟悉.举一反三1. 计算：4.40.5 6.60.258.8 1.25⨯+÷+⨯2. 计算：13(3.87538.750.090.3875)(10.813.7530.13752)58⨯+⨯-÷⨯+⨯+⨯3. 计算：41841290.7562575÷+÷+⨯融会贯通4. 计算：375132404⨯⨯3有理数巧算二：裂项法裂项法，就是将每一项拆成两项的差，然后相加，将大多数项互相抵消，这是求多个数的和的常用技巧.例如:111111223344556++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111111(1)()()()()223344556=-+-+-+-+- 15166=-= 这是因为1212111121212122-==-=-⨯⨯⨯⨯ 13232112323232323-==-=-⨯⨯⨯⨯ 经典例题 计算：11111335579799++++⨯⨯⨯⨯… 解题策略 因为1111()(2)22k K k K =-++，1,,3,5,,97k =…，所以 11111335579799++++⨯⨯⨯⨯… 11111111111(1)()()()2323525729799=-+-+-++-… 11(1)299=- 4499= 画龙点睛 再探索一般规律:求两个分数1n 、1n a+的差11()a n n a n n a -=++ 在应用时常反过来，11()a n n a n n a =-++，或1111()()n n a a n n a=-++ 举一反三1. 计算：111113296192320480++++2. 计算：111113355720152017++++⨯⨯⨯⨯…3. 计算：111112123123412100+++++++++++++……融会贯通4. 计算：1111232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯…4有理数巧算三：规律性问题在进行有理数的运算时，我们往往会遇到具有一定规律性的问题，在解决此类题目时，要先找出题目中数字变化的规律，然后得到问题的解.经典例题 计算：11111248161024+++++… 解题策略观察算式中的每一个数发现，每个数的分母都是前一个数的分母乘以2，因此，只需要将最后一项再加上它本身，就可以得到前一项的值. 解：原式1111111=24816102410241024++++++-…1111111=248165125121024++++++-…=…111=221024+- 1=11024-1023=1024本题还可采用“错项法”计算.设原式为S ，两边同乘以2，可得:111112=24816512S =+++++… 而11111248161024S =+++++… 将两式相减，可得:110231=10241024S =- 画龙点睛解决每项依照某一规律变化的题目时，可先观察每次的变化规律，找出共同特点，再将其化简、抵消，从而得到问题的解.举一反三1. 计算：21001111333++++…2. 计算：12233499100⨯+⨯+⨯++⨯…3. 计算：111111112483162124248496+++++++融会贯通 4. 计算：22222222213141991213141991++++++++----…5 有理数巧算四：幂的巧算幂的运算有以下法则:(1) m n m n a a a +=，m n m n a a a -÷=(2) ()m n m n a a = (3)()n n n ab a b = (4)1n na a -= 在计算时，常利用幂的运算法则使计算过程简化.经典例题 计算：374841(0.625)()8(1)54-⨯⨯⨯-解题策略首先观察式子中是否有可以进行化简的部分，如0.6250.1255=⨯，而0.12581⨯=.若幂的指数不相同时，可先将其拆成两部分，分别进行化简.如：43888=，87555()()444= 原式374845(0.1255)()8()54=-⨯⨯⨯⨯3377455(0.1255)8()()8544=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯3374555(0.1258)()8544=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯1251110=-⨯⨯⨯1250=-画龙点睛 在进行幂的运算时，可利用()n n n a b ab =进行化简，如：5555112()(2)1122=⨯==，因此，有运算时要留意乘积是1、10、100的数，若幂指数不一样时，可采用m n m n aa a +=进行变形，如56551112()2()222= 举一反三1. 计算：542182(2)()()4327---⨯⨯2. 将22323323[()]2a b c x y----化为含有正整数指数幂的式子.3. 化简再求值2221122211()()()x xy y x y x y x y x y ---++÷+⨯+-，其中1x =，2y =融会贯通4. 已知12x x+=，求20172017201720172x x x x --+++的值6 求绝对值的值绝对值是初中代数中一个非常重要的基本概念，在求绝对值的值时，要利用绝对值的定义来解决问题:一般地，一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.即:,00,0,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩当时当时当时经典例题 已知1x ≤，1y ≤，求125y y x ++--的最小值解题策略本题可先利用条件1x ≤，1y ≤得到x 、y 的取值范围为11x -≤≤，11y -≤≤，再利用x 与y 的取值范围判断代数式1y +与25y x --的正负情况，从而去掉绝对值符号并进行化简.解:因为1x ≤，1y ≤，可得:11x -≤≤，11y -≤≤则012y ≤+≤，222y -≤≤，11x -≤-≤可得23y x -≤则252y x --≤-125125y y x y y x ++--=+-++61164x y =-+≥--+=当1,1x y =-=时，1254y y x ++--= 所以，125y y x ++--的最小值为4画龙点睛在求绝对值的值时，首先要利用已知条件判断绝对值符号里代数式的正负，再利用绝对值的定义去掉绝对值符号.若无法判断绝对值符号中代数式的正负时，要进行分类讨论. 举一反三1. 若3x =，2y =，且x y y x -=-，求x y +的值2. 若有理数a 、b 、c 、d 满足1abcd abcd =-，求a b d c a b c d+++的最大值3. 已知1x ≤，1y ≤，求124x y y y x ++++--的最大值和最小值融会贯通4. 已知215x x y ++=，3x y y +-=，求x 、y 的值7 借助数轴解绝对值问题由绝对值的定义可知，任何实数的绝对值都是非负的.从几何上来看，若实数a 在数轴上对应的点为A ，O 为原点，则a 就是线段AO 的长;a b -就是线段AB 的长(b 对应于点B ).对表达式x a -，当x a =时，可得0x a -=1，因此x a =为x a -的零点. 经典例题 若不等式13x x a ++-≤有解，求a 的取值范围.解题策略根据绝对值的几何意义，因为1x +、3x -分别表示数轴上点x 到点1-和3的距离，所以13x x ++-表示数轴上某点到A : 1-和B : 3的距离和.从图中可见，不论x 在A 点左边或者B 点右边时，x 到A 、B 点距离和都大于4.当x 在A 、B 两点之间时，x 到A 、B 点距离和为4.所以4a ≥.所以，a 的取值范围是4a ≥.画龙点睛解绝对值不等式常用分类讨论方法.当1x ≤时，原不等式化为224a x ≥-≥;当13x -<<时，原不等式化为4a ≥;当3x ≥时，原不等式化为224a x ≥-≥.综上所述，4a ≥.由于题中两个绝对值符号中未知数的系数相同，所以我们利用了绝对值的几何意义. 举一反三1. 解不等式143x x +--<2. a 取何值时，不等式532x x a ++-≤无实数解?3. 解不等式444x x +-->融会贯通4. 设0a b c <<<，求y a x b x c x =-+-+-的最小值.8 含有字母的绝对值的化简在初中代数的学习过程中，经常会遇到含有字母的绝对值化简问题.我们知道，当0a ≥时，a a =;当0a ≤时，a a =-，那么在不清楚绝对值符号中代数式的正负情况时，需要进行分类讨论.经典例题 化简：3121x x ++-解题策略本题是两个绝对值和的问题.解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号.若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事.例如，化简31x +，只要考虑31x +的正负，即可去掉绝对值符号.这里我们是分13x ≥-和13x <-两种情况加以讨论的，此时13x =-是一个分界点.类似地，对于21x -而言，12x =是一个分界点.为同时去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点13-和12标在数轴上，把数轴分为三个部分(如图所示)，即 13x <-，1132x -≤<，12x ≥(1) 当13x <-时，原式(31)(21)5x x x =-+--=- (2) 当1132x -≤<时，原式(31)(21)2x x x =+--=+ (3) 当12x ≥时，原式(31)(21)5x x x =++-=所以3121x x ++-=15,3112,3215,2x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩当时当时当时 画龙点睛解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变量字母的值，即题中每个绝对值的“零点”，然后在数轴上标出这些“零点”，这样就将数轴分成几个部分，根据变量字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”举一反三1. 若0x <，化简23x x x x ---2. 已知28242y x x x =++--+，求y 的最大值3. 已知015p <≤，求1530x p x x p -+-++-在15p x ≤≤时的最小值融会贯通4. 设n 个有理数1x ，2x ，…，n x ，满足1i x <(1,2,,)i n =…，且12n x x x +++… 1219n x x x =++++…，求n 的最小值9 利用绝对值的非负性解题对于任何一个实数来说，它的绝对值都是非负数，即0a ≥(a 为任意实数)在解题时，我们可以利用绝对值的非负性，求出题中所给未知数的大小.经典例题 若1x +与2y -互为相反数，求11(2)(3)(1)x y x y +++++… 1(2017)(2015)x y +++的值解题策略 因为1x +与2y -互为相反数，所以120x y ++-= 而10x +≥，20y -≥ 所以10x +=，20y -=即1x =-，2y =111(2)(3)(1)(2017)(2015)x y x y x y ++++++++ (111122320162017)=+++⨯⨯⨯… 11111(1)()()22320162017=-+-++-… 112017=-20162017= 画龙点睛利用绝对值的非负性可以帮助我们解决许多问题.常常用到如下两个性质:(1)有限个非负数的和仍为非负数，即若1a ，2a ，…，n a 为非负数，则120n a a a +++≥….(2)有限个非负数的和为零，那么每一个加数必为零，即若1a ，2a ，…，n a 为非负数，且12 0n a a a +++=…，则必有12 0n a a a ==+=…举一反三1. 若231x y ++与2x y +互为相反数，求2017()x y +的值2. x 、y 是有理数，求2834123x x y -+--+的最小值.3. 若a b a b +=-，求a 、b 应满足的关系. 融会贯通4. 实数a 、b 、c 满足不等式a b c ≥+，b c a ≥+，c a b ≥+，求证:0a b c ++=10 赋值法解题所谓“赋值法”解题，就是对原本与数量无关的问题巧妙地赋予某些特殊的数值(如1±、0等)，将其转化成数量问题，然后通过对整数的正负号或奇偶性等性质的讨论，使问题得以解决.先看下面这个问题.经典例题有11枚硬币，正面朝上放在桌子上.现在规定每次翻动其中4枚，问能否经过有限次翻动，使所有的硬币都正面朝下?解题策略本题是一个操作性的开放性问题，如何将这个操作过程量化表示呢?这里我们提供两种解决方案:解法一：通过对整数正负号的讨论解决问题.对正面朝上或朝下的硬币“赋值”:记正面朝上为“1+”，正面朝下为“1-”，开始时，由于11枚硬币均为正面朝上，所以这11枚硬币的值的乘积为“1+”.一枚硬币每翻动一次，它的值就乘以“1-”.那么，每一次翻动4枚硬币，这四枚硬币的值都分别乘以“1-”，而其他硬币的值不变，所以这11枚硬币的值的积是不变的.所以无论翻转多少次，这些硬币的值的乘积都为“1+”.而题目要求经过翻转后，所有的硬币都正面朝下，即11枚硬币的值都是“1-”，此时，这些硬币的乘积为“1-”.所以，不论经过多少次翻转，都无法将所有硬币正面朝下. 解法二：通过对整数奇偶性的讨论解决问题.同样，我们对正面朝上或朝下的硬币“赋值”:记正面朝上为“1+”，正面朝下为“1-”开始时，由于11枚硬币均为正面朝上，所以这11枚硬币的值的和为“11”，是奇数.一枚硬币每翻动一次，它的值的奇偶性就会改变.那么，每一次翻动4枚硬币，这11枚硬币的值的和的奇偶性都改变了四次，与原奇偶性相同.所以无论翻转多少次，这些硬币的值的和都为奇数.而当所有的硬币都正面朝下时，这些硬币的值的和为“0”，是偶数.所以，不论经过多少次翻转，都无法将所有硬币正面朝下，画龙点睛用赋值法解决此类问题时，只能用于否定的情况.关键是要找到在操作过程中某一个(或几个)不变的量(如正负性、奇偶性等)，通过赋值，使操作前的量与题目最终要求的量不等，推出矛盾，进而得到否定的结论.注意，如果结论是肯定的，则需要给出具体的操作过程. 举一反三1. 有一只渡船往返于一条小河的左右两岸之间.若最初渡船是在左岸，它过河2017次之后，是停在左岸还是右岸呢?2. 桌上放五个杯子，杯口朝上的有2个，朝下的有3个，每次翻动4个杯子.问能否翻动若干次后，将杯口全部朝上?3. 教室里有5排椅子，每排5张，每张椅子上坐一个学生.如果一周后，每个学生都必须和他相邻(前、后、左、右)的某一同学交换座位.问可以完成座位调换吗?融会贯通4. 在例题中，如果改为12枚硬币，结论是怎样的呢?如果改为每次翻动3枚，结论又是怎样的呢?你能发现什么规律吗?11探索数的规律在数学学习中，我们经常需要对一些图形或数列进行观察。

（完整版）七年级上学期数学有理数运算口算竞赛100题七年级上学期数学有理数口算竞赛100题班别_______ 姓名__________ 学号_____________ 评分__________ （说明：要求直接写答案，30分钟内完成）（1）（―3）＋（－7）＝（2）（＋12）＋（－29）＝（3） )41()43(+-＋＝（4）（－3.6）＋（－2.5）＝（5）（＋2）－（＋9）＝（6）（－3.8）－（＋4.7）＝（7） 3)312(－－＝（8） )533()1072(－－－＝(9)－3×（＋2）＝ (10）(－5)×（－2）＝(11)4)21（＋?-＝ (12) ）＝（＋2131?-(13) =?051－（14）－0.125×8=(15) （－3）×（＋12）＝ (16)（－1.5）×（－4）＝(17)（－0.01）×（－264）＝(18)=÷）（－）（－ 1.541(19) ）（－（－410.25)÷ ＝ (20)－(＋2)2＝ (21) 313724－－÷ ＝ (22)0.0454－－÷??＝(23) －(－2)2＝ (24) (－3)3＝(25) －33＝ (26) －(－2)3＝(27) (－2)2×(－2)3＝ (28) (－2)5＝(29) ( )2=16, (30)( )2=9;(31) ( )3=－8, (32) ( )3=27(33) －60÷（－5）＝； (34)（－90）÷3=(35) 4÷（－12）＝； (36) －48÷（－6）＝(37) 化简__________836=- (38)1的倒数为(39)－1的倒数为 (40) 的倒数等于它本身(41)（－3）2= ； (42) －32= ；(43) （－2）4= ； (44) －24= ；(45)（－1）3= ； (46)－13= 。