1979年高考数学试题(理工农医类)

1989年全国高考数学试题及答案解析(理工农医类)一、选择题:每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.【】[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.(1)A(2)与函数y=x有相同图象的一个函数是【】[Key] (2)D【】[Key] (3)C【】[Key] (4)A(A)8 (B)16(C)32 (D)48【】[Key] (5)B【】[Key] (6)C【】[Key] (7)D(8)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是(A)4 (B)3(C)2 (D)5【】[Key] (8)B【】[Key] (9)C【】[Key] (10)D(11)已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x)(A)在区间(-1,0)上是减函数(B)在区间(0,1)上是减函数(C)在区间(-2,0)上是增函数(D)在区间(0,2)上是增函数【】[Key] (11)A(12)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有(A)60个(B)48个(C)36个(D)24个【】[Key] (12)C二、填空题:只要求直接填写结果.[Key] 二、本题考查基本概念和基本运算,只需要写出结果.(14)不等式│x2-3x│>4的解集是 .[Key][Key] (15)(-1,1)(16)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,那么a1+a2+…+a7= .[Key] (16)-2[Key] (17)必要,必要(18)如图,已知圆柱的底面半径是3,高是4,A、B两点分别在两底面的圆周上,并且AB=5,那么直线AB与轴OO＇之间的距离等于 .[Key] (18)三、解答题.[Key] 三、解答题.(19)本题主要考查:运用三角公式进行恒等变形的能力.证法一:证法二:(Ⅰ)求证:顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;(Ⅱ)求这个平行六面体的体积.[Key] (20)本题主要考查:线面关系,三垂线定理以及空间想象能力.(Ⅰ)证明:如图,连结A1O,则A1O⊥底面ABCD.作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD于N,连结A1M,A1N.由三垂线定理得A1M⊥AB,A1N⊥AD.∵∠A1AM=∠A1AN,∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA.∴A1M=A1N.∴OM=ON.∴点O在∠BAD的平分线上.(Ⅱ)解:∴平行六面体的体积(21)自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在直线的方程.[Key] (21)本题主要考查:直线和圆的方程以及灵活应用有关知识解决问题的能力.解法一:已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1,它关于x轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1.设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).由题设知对称圆的圆心C到这条直线的距离等于1,即整理得12k2+25k+12=0,故所求的直线方程是即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.解法二:已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1.设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).由题意知k≠0,于是L的反射点的坐标是因为光线的入射角等于反射角,所以反射光线L＇所在直线的方程是即y+kx+3(1+k)=0.这条直线应与已知圆相切,故圆心C到它的距离等于1,以下同解法一.(22)已知a>0,a≠1,试求使方程log a(x-ak)=log a2(x2-a2有解的k的取值范围.[Key] (22)本题主要考查:对数函数的性质以及解不等式的能力.解:由对数函数的性质可知,原方程的解x应满足当①,②同时成立时,③显然成立,因此只需解由①得 2kx=a(2+k2). ④当k=0时,由a>0知④无解,因而原方程无解.把⑤代入②,得当k<0时得k2>1,即-∞<k<-1.当k>0时得k2<1,即0<k<1.综合得,当k在集合(-∞,-1)∪(0,1)内取值时,原方程有解.(23)是否存在常数a,b,c使得等式对一切自然数n都成立？并证明你的结论.[Key] (23)本题主要考查:综合运用待定系数法、数学归纳法解决问题的能力.解法一:假设存在a,b,c使题设的等式成立,这时,令n=3 得70=9a+3b+c,经整理得解得a=3,b=11,c=10.于是,对n=1,2,3下面等式成立:记S n=1·22+2·32+…+n(n+1)2.设n=k时上式成立,即那么S k+1=S k+(k+1)(k+2)2也就是说,等式对n=k+1也成立.综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立.解法二:因为n(n+1)2=n3+2n2+n,所以S n=1·22+2·32+…+n(n+1)2=(13+2·12+1)+(23+2·22+2)+…+(n3+2n2+n)=(13+23+…+n3)+2(12+22+…+n2)+(1+2+…+n).由于下列等式对一切自然数n成立:由此可知综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立.(24)设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用I k表示区间(2k-1,2k+1],已知当x∈I0时f(x)=x2.(Ⅰ)求f(x)在I k上的解析表达式;(Ⅱ)对自然数k,求集合M k={a│使方程f(x)=ax在I k上有两个不相等的实根}.[Key] (24)本题主要考查:周期函数的概念,解不等式的能力.(Ⅰ)解:∵f(x)是以2为周期的函数,∴当k∈Z时,2k是f(x)的周期.又∵当x∈I k时,(x-2k)∈I0,∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.即对k∈Z,当x∈I k时,f(x)=(x-2k)2.(Ⅱ)解:当k∈N且x∈I k时,利用(Ⅰ)的结论可得方程(x-2k)2=ax,整理得 x2-(4k+a)x+4k2=0.它的判别式是△=(4k+a)2-16k2=a(a+8k).上述方程在区间I k上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足化简得由①知a>0,或a<-8k. 当a>0时:当a<-8k时:故所求集合。

1979年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文科） 一．（本题满分9分） 求函数y=2x2-2x+1的极小值 解略：x=时，y取最小值. 二．（本题满分9分） 化简[（1+sin2θ)2-cos4θ][(1+cos2θ)2-sin4θ] 解：原式=(1+sin2θ+cos2θ)(1+sin2θ-cos2θ) ·(1+cos2θ+sin2θ)(1+cos2θ-sin2θ)=4(1-cos2θ)(1+cos2θ)=4sin2 2θ 三．（本题满9分） 甲，乙二容器内都盛有酒精甲有V1公斤，乙有V2公斤甲中纯酒精与水（重量）之比为m1:n1 ,乙中纯酒精与水之比为m2:n2问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？ 四．（本题满分9分） 叙述并且证明勾股定理 解：略 五．（本题满分14分） 外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域设A及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得∠BAP=α同时在B站测得∠BAP=β问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？ P A α β B C 解：作PC⊥AB于C，设PC=d， 在直角三角形PAC中，AC=d·ctgα在直角三角形PC中，BC=d·ctgβ ∴S=AC+BC=d（ctgα+ctgβ） 当d≤D，即ctgα+ctgβ≥时，应向外国船发出警告 六．（本题满分14分） 美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x<0.1,可用：ln(1+x)≈x，取lg2=0.3,ln10=2.3) 解：年增长率x应满足 100（1+X)40=500,即（1+X)40=5. 取自然对数有 40ln(1+x)=ln5. 又lg5=1-0.3=0.7 ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61 利用ln(1+x)≈x,则有 x≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4% 答：每年约增长百分之四 C E F A B D 七．（本题满分18分） 设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长线相交于点B求证： 证：连接CD因∠CFD=900，所以CD为圆O的直径，又AB切圆O于D， ∴CD⊥AB又在直角三角形ABC中，∠ACB=900， ∴AC2=AD·AB，BC2=BD·BA 又因 BD2=BC·BF，AD2=AC·AE 由（1）与（2）得 八．（本题满分14分） 过原点O作圆x2+y2-2x-4y+4=0的任意割线交圆于P1，P2两点求P1P2的中点P的轨迹 Y P2 P P1 α O X 解：设割线OP1P2的直线方程为 y=kx 代入圆的方程，得： x2+k2x2-2x-4kx+4=0 即(1+k2)x2-2(1+2k)x+4=0 设两根为x1，x2即直线与圆的两交点的横坐标;由韦达定理得： 又设P点的坐标是（x,y) P是P1P2的中点，所以 又P点在直线y=kx上，。

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页.第II 卷3 至9页.共150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1.设集合A 和3都是自然数集合N,映射把集合A 中的元素斤映射到集合3中 的元素2"+〃，则在映射/下，象20的原象是A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】2"+〃 = 20,解得,1 = 4.2-在复平面内’把复数3一®寸应的向量按顺时针方向旋吟所得向量对应的复数是A. 2^3B. -2吕C. V3-3ZD. 3 + 希,【答案】B3. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是血，蕭,、怎，这个长方体对角线的长是A. 2A /3B. 3>/2C. 6D. V6【答案】D【解析】设长、宽和高分别为a,b,c ,则ah = y[2.bc = = V6 , A abc = V6 ,a = \fl.b = l,c = A /3，•:对角线长 I = A /2 + 1 + 3 = V6 .【解析】4. 已知sina>sin0,那么下列命题成立的是A. 若G,0是第一象限角，贝ijcosa>cos0B. 若Q,0是笫二象限角，则tan<z> tan^D.若Q,0是第四彖限角，贝'J tan^z> tan/?【答案】D【解析】用特殊值法：取4 = 60。

,0 = 30。

，A 不正确；取0 = 120。

,0 = 150。

，B 不正确;取a = 210。

,0 = 240。

，C 不正确；D 正确.5.函数y = -xcosx 的部分图像是【答案】D【解析】函数y = —xcos 兀是奇函数，A 、C 错误；且当XG (0,-)时，y<0. 26.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过80()元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分 5% 超过500元至2 000元的部分 10% 趙过2 000元至5 000元的部分15% ■• • •某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于A. 800-900 元B. 900〜120()元C. 120()〜1500 元D. 1500-2800 元【答案】C【解析】当月工资为1300元时，所得税为25元；1500元时，所得税为25 + 20 = 45元, 所以选C.C.若％0是第三象限角,则 cosa 〉cos0A B C D7.若a>b>l t P = yj\gaAgb 9Q = -(\ga^\gb\R = \gJ【答案】B【解析】方法一：丄(lga + lgb)>丄(2jlgd lgb) = Jlga ・lgb ； 丄(lgQ + lg/?),所以B 正确.2方法二：特殊值法：取a = \OO,b = \O,即可得答案.8.以极坐标系屮的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是A ・ p - 2cose — B. p = 2sin 0——< 4<C. p = 2cos(&-1)D. p - 2sin(^-l)【答案】C【解析】设圆上任意一点M(p®,直径为2,贝U2cos(l — &) = p,即p = 2cos(^-l).9. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 1+2龙 1+4龙 1+2龙 1+4龙 A. -------- B. ------------------ C. ----------------- D. ------------------271 4龙 71 271【答案】A【解析】设圆柱的半径为厂，则高力=2帀，电=W +(2J)? = S 仙|(2龙厂)一 2龙【答案】C【解析】圆的标准方程为(X + 2)2 + / = 1,设直线的方程为kx-y = 0,由题设条件可得屮厂I,解得“士孕由于切点在第三象限，所以嗨,所求切线尸纠A. R<P<QB. P<Q<RC. Q<P<RD. P<R<Q10.过原点的直线与圆X 2 + /+4X + 3 = 0相切, 若切点在第三象限, 则该直线的方程是A. y = y/3xB. y = -y/3xD.y=~4x—2k lg> ig =11.过抛物线歹二cue {a > 0）的焦点F 作一-直线交抛物线于P,Q 两点，若线段PF 与FQ的 长分别是p,q,则丄+丄等于p q宀 14 4 A. 2d B.—— C. 4a D ・一2aa【答案】C【解析】特殊值法.作P0丄y 轴，即将y =—代入抛物线方程得x = ±—,4a 2a—I — = 4a . p q【编者注】此题用一般方法比较复杂，并要注意原方程不是标准方程.12. 如图，04是圆锥底而中心A 到母线的垂线，04绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体【答案】D【解析】设圆锥的底面半径为厂，高为力，上半部分由共底的两个圆锥构成，过A 向轴作垂 线 AC,垂足为 C, OA = r cos 0, CA = OAcosO = rcos 2 0 f A V = - r cos 2 0）2h,原 3]0 1-7rr 2h = 2V. =-7crh^ 解得 cos& = 二 & = arccos 〒• 3 3 #2 第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线.13. 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛.3名主力队员要安排在第-、三.五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 ________ 种（用数字作答）. 【答案】252积相等的两部分， 则母线与轴的夹角为A. arccosB. 1arccos —2 C. arccosD. arccos圆锥的体积为V【解析】不同的出场安排共有= 252 .2 214. 椭圆詈+才=1的焦点为片，场，点P 为其上的动点，当ZF\PF?为钝角时，点P 横坐标的取值范围是3 3【答案】（-盘，詡【解析】方法一：（向量法）设P （x,刃，由题设P 片・P 鬥＜0,即（x + c,y ）・（x —c,y ）v0,A*? 彳 4 G又由矿才1得宀4-歹，代入一卄＜。

[1977.天津（1）]1．（1）在什么条件下，xy2①是正数;②是负数;③等于零;④没有意义？ 解： ①x 和y 同号;②x 和y 异号; ③y=0,x ≠0; ④x=0.（2）比较下列各组数的大小，并说明理由①︒︒30cos 31cos 与; ②41log 1log 22与.解： ①因为cosx 在]2,0[π是递减函数，所以<︒30cos 31cos ②.241log 01log 22-=>= （3）求值：①)23arcsin5(tg ; ②.)01.0()2(210⨯- 解： ①原式=3-.②原式=.101 （4）计算.30sin lg 85lg 5.12lg ︒+- 解：原式=121lg 1610lg 8100lg=+- （5）解方程.21122442+-=---x x x x 解：略x=1.[1977.天津（2）]2．（1）某工厂准备在仓库的一侧建立一个矩形储料场（如图），现有50米长的铁丝网，如果用它来围成这个储料场，那么长和宽各是多少时，这个储料场的面积最大？并求出这个最大的面积解：设矩形储料场的长为x 宽为y则因其一面靠墙，所以应有 2x+y=50,即y=50-2x, 设储料场的面积为S ， 则S=xy=x(50-2x)=-2x 2+50x=-2(x-12.5)2+312.5∴当x=12.5时，储料场的面积最大S=312.5米2此时y=25米（2）如图，已知AB 、DE 是圆O 的直径，AC 是弦，AC ∥DE ，求证CE=EB 证：∵∠2CB=2EBCE=EB ，CE=EB（3）如图所示的棱长为a 的正方体中，①求CD 1和AB 所成的角的度数; ②求∠B 1BD 1的正弦值解：①CD 1和AB 所成的角等于∠D 1CD ， 所以为450②∵D 1B 1=2a ，D 1B=3a ， ∴.36sin 11111==∠B D B D BD B [1977.天津（3）]3．如果已知bx 2-4bx+2(a+c)=0(b ≠0）有两个相等的实数根，求证a,b,c 成等差数列证：∵已知bx 2-4bx+2(a+c)=0(b ≠0）有两个相等的实数根，yEDD 1 C 1A 1B 1 DC A B∴（-4b)2-4b ·2(a+c)=0,但∵b ≠0,∴2b-a-c=0,即b-a=c-b.故a,b,c 成等差数列[1977.天津（4）]4．（1）如图，为求河对岸某建筑物的高AB ，在地面上引一条基线CD=a ，测得∠ACB=α，∠BCD=β，∠BDC=γ，求AB解：由正弦定理得.)sin(sin ,)sin(sin ,)180sin(sin α+βα⋅γ⋅=α⋅=∴α+βγ=α-β-︒=γtg a tg BC AB a BC CDBC （2）如果α=300，β=750，γ=450，a=33米，求建筑物AB 的高（保留一位小数）解：).(6.15211120sin 3045sin 33米≈=︒︒⋅︒⋅=tg AB[1977.天津（5）]5．（1）求直线3x-2y+1=0和x+3y+4=0的交点坐标解：略（-1，-1）（2）求通过上述交点，并同直线x+3y+4=0垂直的直线方程解：所求直线的斜率为3所求直线方程为y+1=3(x+1),即3x-y+2=0. [1977.天津（6）]6．附加题.（1）求的值nxx xe e x x x sin 2lim0----→ 解：应用罗比塔法则2cos lim sin lim cos 12lim sin 2lim ,1)1.(0cos 12lim sin 2lim 000000=-=-=---=---=≠=---=----→-→-→-→-→-→x e e xe e x e e nx x x e e n n nx n e e nx x x e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x 时当C（2）计算⎰++4.122dx x x.,21,12,12:22udu dx u x x u x u =-=+=+=则设解 ⎰⎰⎰=+=+-=++∴3124312.317)232(221122du u udu u u dx x x[1977.北京理（1）]1．解方程.31x x -=- 解：将两边平方，得x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2[1977.北京理（2）]2．计算121222021-++-.122:+=原式解[1977.北京理（3）]3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266[1977.北京理（4）]4．证明αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg 原式成立证∴αα+=αα+αα+α=⎪⎭⎫ ⎝⎛αα+α=α+222222cos 2sin 1cos sin cos sin 2cos cos sin cos )1(:tg [1977.北京理（5）]5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程解：由 x+y-7=03x-y-1=0,解得x=2,y=5过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3[1977.北京理（6）]6．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？ 解：七月份到十月份总产值为100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100=)(8.5362.00736.110012.1]1)2.1[(1004万元=⨯=--⨯ [1977.北京理（7）]7.已知二次函数y=x 2-6x+5 (1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴、y 轴的交点坐标解：如图（列表，描点）略[1977.北京理（8）]8．一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300由正弦定理可得45 A C).(220212220Bsin Asin AC CB 海里=⋅=⋅=[1977.北京理（9）]9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB证：联接EC,在△ABD 和△AEC 中，∠BAD=∠EAC ，∠ABD=∠AEC ， ∴△ABD ~△AEC, ∴AD ·AE=AC ·AB[1977.北京理（10）]10.当m 取哪些值时，直线y=x+m 与椭圆191622=+y x 个交点时，画出它的图象解：直线与椭圆的交点适合下面方程组：y=x+m ……………………………①……………………………②将①代入②得.,5025:.,5)25(576)14416(254)32(,0)14416(3225,19)(1622222222这时直线与椭圆相割即的充要条件是直线与椭圆有两个交点这时直线与椭圆相切的充要条件是直线与椭圆有一个交点其判别式为整理可得<>+-±=-=-⋅⋅-=∆=-++=++m m m m m m m m x x m x x 直线与椭圆没有交点的充要条件是：-m 2+25<0,即|m|>5 [1977.北京理参考题]参考题1．（1）求函数 A D B C E19y 16x 22=+⎪⎩⎪⎨⎧=≠π=.)0(0)0(sin )(2的导数x x xx x f(2)求椭圆12222=+by a x 绕x 轴旋转而成的旋转体体积解：（1）当x ≠0时，2.(1)试用ε-δ语言叙述“函数f(x)在点x=x 0处连续的定义（2）试证明：若f(x)在点x=x 0处连续，且f(x 0)>0,则存在一个x 0的（x 0-δ，x 0+δ），在这个邻域内，处处有f(x)>0（1）答：略（2）证：由已知f(x)在点x=x 0处连续，且f(x 0)>0，所以，由定义，对于给定的ε= f(x 0)/2>0，必存在δ>0, 当|x- x 0|<δ时，有|f(x)- f(x 0)|< f(x 0)/2,从而f(x)> f(x 0)- f(x 0)/2= f(x 0)/2>0 即在（x 0-δ，x 0+δ）内处处有f(x)>0[1977.北京文（1）]1．计算：.)971(332110-+-解：原式=0[1977.北京文（2）]2．化简：2626-+⎰⎰--→∆→∆→∆π=-π=π=⎪⎩⎪⎨⎧=≠ππ-π='∴=∆π∆=∆-∆π∆=∆-+∆='=ππ-π=π-π+π='π='aa aa x x x ab dx ax b dx y V x xx x x f xx x x x x f x f f x xx x x x x x x x x x f .34)1()2(0)(x 0)0(.cos sin 2)(.0sin lim 0sin lim )0()0(lim )0(,0.cos sin 2)(cos sin 2)sin ()(222220200222旋转体的体积时当.32:+=原式解[1977.北京文（3）]3．解方程.1241112--=+-x x x 解：略，原方程的解为x=2[1977.北京文（4）]4．不查表求sin1050的值解：.462)4530sin(75sin 105sin +=︒+︒=︒=︒ [1977.北京文（5）]5．一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm ，底面边长是2cm ，求它的体积解：体积V=sh=)(10101060sin 22213cm =⋅︒⋅⋅⋅[1977.北京文（6）]6.一条直线过点（1，-3），并且与直线2x+y-5=0平行，求这条直线的方程解：∵直线2x+y-5=0的斜率k=-2,∴所求直线斜率k ＇=-2故过点（1，-3）且与已知直线平行的直线为y+3=-2(x-1),即2x+y+1=0.[1977.北京文（7）]7．证明：等腰三角形两腰上的高相等证：如图，在△BDC 与△CEB 中， ∵∠DBC=∠ECB ，∠BDC=∠CEB=900, BC=BC ，∴△BDC ≌△CEB ， CD=BE[1977.北京文（8）]8．为了测湖岸边A 、B 两点的距离，选择一点C ，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=1200，求AB解：由余弦定理可得AB=70米[1977.北京文（9）]9．在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后B C使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？ 解：设此数列为2，x,y,30于是有⎪⎩⎪⎨⎧-=-=yx y x y x 302解得x=6,y=18.故插入的两个正数为6，18，因此，所成的数列为2、6、18、30[1977.北京文（10）]10．已知二次函数y=x 2-4x+3. （1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; （2）画出它的图象;（3）求出它的图象与直线y=x-3的交点坐标解：（1）y=(x-2)2-1顶点坐标为（2，-1），对称轴方程为x=2.(2)图略（3）解方程得交点坐标为（2，-1）和（3，0）[1977.福建理（1）]1．（1）计算02319)]225.0(1031)833[(35÷-⨯+-⨯---解：原式=7[1977.福建理（2）]（2）︒︒-︒=155170cos 160cos tg y 的值是正的还是负的？为什么？解：y 的值为负的因为tg1550<0,又第二象限角的余弦函数值随着角的增大而减小，所以，cos1600-cos1700>0,故y<0. [1977.福建理（3）]（3）求函数1x )x 2lg(y --=的定义域解：略1<x<2[1977.福建理（4）]（4）如图，在梯形ABCD 中，DM=MP=PA ，MN ∥PQ ∥AB ，DC=2cm,AB=3.5cm 求MN 和PQ 的长解：根据梯形中位线性质可得：⎩⎨⎧=+=+PQ25.3MN MN2PQ 2解之，可得PQ=3（cm),MN=2.5(cm)[1977.福建理（5）] (5)已知lg3=0.4771,lgx=-3.5229,求x.解：lgx=-3.5229=,4771.4∴x=0.0003.[1977.福建理（6）] (6)求.2x 3x 1x lim21x +--→ 解：)2)(1(1lim231lim121---=+--→→x x x x x x x x 121lim1-=-=→x x [1977.福建理（7）]（7）解方程.01x 21x 4=+-+ 解：移项得1x 21x 4-=+两边平方，得0x ,2x ,0)2x (x ,1x 4x 41x 42==∴=-+-=+（增根） 故原方程的解为x=2[1977.福建理（8）]（8）.a 3a 4a a 9a 6a 1n n 1n 1n 2n 21n 2-+-++-+- 解：原式=.1a )3a (a )3a )(1a ()3a (a )3a 4a (a )9a 6a (a n 2n 21n 21n 2--=---=+-+--+[1977.福建理（9）]（9）求函数2x 3x 52y --=的极值解：略y 的极大值为1249. [1977.福建理（10）]（10）画出下面V 形铁块的三视图（只要画草图）D 2 CA 3.5 B2．（1）解不等式02x 2x 6x x 22<++--解略： -2<x<3. （2）证明：).290(tg 2sin cos 22sin cos 22θ-︒=θ+θθ-θ.)290(tg )90cos(1)90cos(1sin 1sin 1)sin 1(cos 2)sin 1(cos 2:2右边左边证=θ-︒=θ-︒+θ-︒-=θ+θ-=θ+θθ-θ=（3）某中学革命师生自己动手油漆一个直径为1.2米的地球仪，如果每平方米面积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数） 解：设地球仪的表面积为S ，则.)(44.136.04)22.1(4S 22米π=⨯π=⋅π=所以，共需油漆 ).(67821644.1150克≈π=π⨯（4）某农机厂开展“工业学大庆”运动，在十月份生产拖拉机1000台这样，一月至十月的产量恰好完成全年生产任务化，计划在年底前再生产2310台，求十一月、十二月份平均每月增长率解：设十一、十二月份平均每月增长率为x ，则根据题意可得：1000（1+x)+1000(1+x)2=2310,100x 2+300x-31=0,x=0.1,x=-3.1（舍去） 故十一月，十二月份平均每月增长率为10%3．在半径为R 的圆内接正六边形内，依次连结各边的中点，得一正六边形，又在这一正六边形内，再依次连结各边的中点，又得一正六边形，这样无限地继续下去，求：（1）前n 个正六边形的周长之和S n; （2）所有这些正六边形的周长之和S.解：如图，半径为R 的圆内接正六边形的周长为6R ， 设C 为AB 的中点，连结OC ，OB ，则OC ⊥AB∴OC=CD=.2360sin R R =︒⋅ 第二个正六边形的周长.236⋅=R 同理可得第三个正六边形的周长,)23(62⋅=R 第四个正六边形的周长,)23(63⋅=R …………于是可以得到一个表示正六边形周长的数列： 6R ，.236⋅R ,23(62⋅R ,23(63⋅R …,)23(61-⋅n R …①前n 个正六边形周长的和1223(6)23(62366-⋅++⋅+⋅+=n n R R R R S ]23()23(231[612-++++=n R .])23(1)[32(1223123(16R R n n-+=--⋅= ②所有这些正六边形周长的和.)32(1232122316R R R S +=-=-=4．动点P （x,y)到两定点A （-3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2||||=PB PA ），求动点P 的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形解：根据两点间的距离公式可得.16)5(,0910,],)3[(4)3(,,)3(2)3(2)3()3(2222222222222222=+-=++-+-=+++-=++=+-++y x y x x y x y x y x y x yx y x 化简得得两边平方 故动点P 的轨迹是以点（5，0）为圆心，以4为半径的圆5．某大队在农田基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点A 和P 之间的距离，他们土法上马，在障碍物的两侧，选取两点B 和C （如图），测得AB=AC=50 m ，∠BAC=600，∠ABP=1200，∠ACP=1350，求A 和P 之间的距离（答案可用最简根式表示）解：连CB ，AP∵∠CAB=600， AC=AB=50m ，∴△ABC 为等边三角形于是，∠BCP=1350-600=750， ∠CBP=1200-600，∠BPC=1800-（750+600）=450 由正弦定理，得)(62522235045sin 60sin 50sin sin ,sin sin m BPC CBP CB CP BPC CBCBP CP =⋅=︒︒⋅=∠∠⋅=∠=∠由余弦定理，可得CB)(341025)3410(625))(3410(625)22(625502)625(50135cos 2222222m AP m CP AC CP AC AP +=+=+=-⋅⋅⋅-+=︒⋅⋅⋅-+=故A 、P 两点间的距离是341025+米6．已知双曲线)(1162422为锐角α=α-αctg y x 和圆222)(r y m x =+-相切于点A（4,34），求r m ,,α的值解：∵点A （4,34）在双曲线上，∴,116424)34(22=α-αctg),,(2,1,0)2)(1(,02,122舍去不是锐角α-=α=α=+α-α=-α+α=α-αtg tg tg tg tg tg tg tg故双曲线方程为)1(1162422 =-y x又圆的方程为)2()(222 r y m x =+- 从（1）得,163222-=x y代入（2）得,4)34(1632)(22222+-==-+-m r x m x.024*******=-+-m mx x因为交点A 是切点，故方程有等根，即其判别式为.3320,040034032==+-m m m由此可得，圆的圆心为（0,3320），半径.21344)332034(22=+-=r 7．设数列1，2，4，…前n 项和是,32dn cn bn a S n +++=求这数列的通项n a 的公式，并确定d c b a ,,,的值解：依题意得S 1=1，即1=+++d c b a ……………………① S 2=3，即3842=+++d c b a ………………② S 3=7，即72793=+++d c b a ………………③ 上面三式虽然成不定方程组，但可如下解： ②-①得 273=++d c b ………………④ ③-②得 4195=++d c b ………………⑤ ⑤-④得 ,2122=+d c.61d c -=……………………⑥将⑥代入④得,27)61(3=+-+d d b111-=d b ……………………⑦将⑥⑦代入①，得,)61()111(=+-+-+d d d ad a 61-=……………………⑧当n>1时，.)65()1(2)133()12)(61()111()133()12(])1()1()1([)(22232321d n n n d n n n d d dn n c n b n d n c n b a dn cn bn a S S a n n n +-+-=+-+--+-=+-+-+=-+-+-+-+++=-=-上式在n=1时，成为,16,1)6151(3)11(221==+⋅-⋅+-⋅=d d a∴.61=d将61=d 分别代入⑥、⑦、⑧中得：.0,65,0===a b c).2(2161)65(3)1(222+-=⋅+-+-=∴n n n n n a n参考题1．求函数)45sin(2π+=-x e y x 的导数解：)45cos(5)2()45sin(22π+⋅+⋅-⋅π+='--x e e x y x x)]45sin(2)45cos(5[2π+-π+=-x x e x2．求定积分⎰+1022.)(2dx e x xe x解：⎰⎰⎰+=+1010221022.)(22dx e x dx xe dx e x xe x x其中)1(2101212122210210-===⎰⎰e e dx e dx xe x x x2)1(22012201101010221022-=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-=-==⎰⎰⎰⎰e e e e dx e e x e dx xe e x de x dx e x xx xxx⎰-=-+-=+122.25232)1(21)(2e e e dx e x xe x1977年普通高等学校招生考试文科数学(福建省)试题及答案1．（1）计算02319)]225.0(1031)833[(35÷-⨯+-⨯---解：原式=7（2）求)840cos(︒-的值解：)1203602cos(840cos )840cos(︒+︒⨯=︒=︒-2160cos 120cos -=︒-=︒=（3解：根据算术根的定义，当23≥x 时，.32)32(2-=-x x当23<x 时，.23)32(2x x -=-（4）如图，在△ABC 中，MN ∥BC ，MN=1cm,BC=3cm 求AM 的长解：设AM 为x ，∵MN ∥BC∴△AMN ∽△ABC312,=+=x x BC MN AB AM x=1(cm)(5)已知lg3=0.4771,lgx=3.4771,求x. 解：x=3000. (6)求.2x 3x 1x lim21x +--→ 解：)2)(1(1lim 231lim121---=+--→→x x x x x x x x121lim1-=-=→x x （7）求函数422-+=x x y 的极小值 解：5)1(4222-+=-+=x x x y ∴y 的极小值为-5（8）已知απ<α<π=αtg 求,2,53sin 的值解：∵,2,53sin π<α<π=α ∴.54sin 1cos 2-=α--=α ∴.43cos sin -=αα=αtg AM N B C（9）写出等比数列 ,812,272,92--的通项公式 解：.32)1(1+⋅-=n n n a2．（1）求函数1x )x 2lg(y --=的定义域解：略1＜x ＜2（2）证明.12sin )cos (sin 2=α+α-α证：左边=.cos sin 2cos cos sin 2sin 22αα+α+αα-α=..1cos sin 22=α+α ∴左边=右边（3）解方程.632x x =+- 解：移项得.632-=-x x两边同时平方，得,048162=+-x x x=12,x=4（增根）∴原方程的根为x=12 （4）解不等式.062<--x x 解略：-2<x<3. （5）把分母有理化.2525-+解：原式=).615(31325)25)(25()25(2+=+=+-+ （6）某中学革命师生自己动手油漆一个直径为1.2米的地球仪，如果每平方米面积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数） 解：设地球仪的表面积为S ，则.)(44.136.04)22.1(4S 22米π=⨯π=⋅π=所以，共需油漆 ).(67821644.1150克≈π=π⨯3．某农机厂开展“工业学大庆”运动，在十月份生产拖拉机1000台这样，一月至十月的产量恰好完成全年生产任务工人同志为了加速农业机械化，计划在年底前再生产2310台，①求十一月、十二月份每月增长率;②原计划年产拖拉机多少台？解：①设十一、十二月份平均每月增长率为x ，则根据题意可得：1000（1+x)+1000(1+x)2=2310,100x 2+300x-31=0,x=0.1,x=-3.1（舍去） 故十一月，十二月份平均每月增长率为10%②设原计划年生产拖拉机y 台，则11000%212310=÷=y （台）4．求抛物线x y 92=和圆3622=+y x 在第一象限的交点处的切线方程解：解方程组⎩⎨⎧=+=)2(36)1(9222 y x x y （1）代入（2）得,03692=-+x x x=3,x=-12（不合题意）将x=3代入（1），得33=y （仅取正值）， ∴在第一象限的交点为（33,3） 从抛物线x y 92=得.29=p∴过点（33,3）的抛物线的切线方程是.09323),3(2933=+-+=y x x y 即 过点（33,3）的圆的切线方程是,36333=+y x即.0123=-+y x5．某大队在农田基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点A 和P 之间的距离，他们土法上马，在障碍物的两侧，选取两点B 和C （如图），测得AB=AC=50 m ，∠BAC=600，∠ABP=1200，∠ACP=1350，求A 和P 之间的距离（答案可用最简根式表示）解：连CB ，AP∵∠CAB=600， AC=AB=50 m ， ∴△ABC 为等边三角形于是，∠BCP=1350-600=750， ∠CBP=1200-600，∠BPC=1800-（750+600）=450 由正弦定理，得)(62522235045sin 60sin 50sin sin ,sin sin m BPC CBP CB CP BPC CBCBP CP =⋅=︒︒⋅=∠∠⋅=∠=∠ 由余弦定理，可得)(341025)3410(625))(3410(625)22(625502)625(50135cos 2222222m AP m CP AC CP AC AP +=+=+=-⋅⋅⋅-+=︒⋅⋅⋅-+=故A 、P 两点间的距离是341025+米1977年普通高等学校招生考试数学(河北省)试题及答案1．解答下列各题：CB（1）叙述函数的定义答：略（2）求函数x y 3211--=的定义域解：由.32032<>-x x 解得（3）计算.827(])5.0(1[312-÷--解：原式=2（4）计算.2log 4 解：原式2（5）分解因式x 2y-2y 3. 解：原式=).2)(2(y x y x y -+（6）计算).43(625cos 34sinπ-⋅π⋅πtg 解：原式=.4346cos 3sin (-=π⋅π⋅π-tg2．证明：从圆O 外一点P 向这个圆所引的两条切线PA 、PB 所成的角APB 被PO 平分（本题要求写出已知、求证、证明并画图）解：已知：圆O 及圆O 外一点P ，PA 、PB 是圆O 的切线，A 、B 是切点（如图），求证：∠OPA=∠OPB证明：联结OA 、OB∴∠OAP=∠OBP=900在直角△OPA 与直角△OPB 中，∵OA=OB ，OP=OP ，∴△OPA ≌△OPB ，∠OPA=∠OPBB3．证明：.21212sin 2cos 112sin +α=α+α++αtg证：左边=)sin (cos cos 2)cos (sin cos sin 2cos 2cos sin cos sin 22222α+ααα+α=αα+αα+α+α⋅α αα+α=cos 2cos sin 2121+α=tg =右边4．已知),6lg(2lg lg 2+=+x x 求x 解：由原方程可得)(23,2,062),6lg(2lg 22增根-==∴=--+=x x x x x x 故原方程的解为x=2.5．某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃，其两邻边借用夹角为1350的两面墙，另外两边是总长为30米的篱笆（如图，AD 和DC 为墙），问篱笆的两边各多长时，苗圃的面积最大？最大面积是多少？ 解：如图，设BC 长为x ，苗圃面积为S.过D 作DE ⊥AB 交AB 于E. 由已知条件可得AB=30-x ， ∠DAB=450， AE=DE=BC=x ， CD=BE=AB-AE=30-2x ，.150)10(23)360(21)(212+--=-=⋅+=∴x x x BC AB CD S 由此可知，当x=10时，S 取最大值所以，当BC=10米，AB=20米时，苗圃面积最大，这时S=150米26．工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器（上面开口），使其容积为208立方米，高为4分米，上口边长与下底面边长的比为5:2，做这样的容器需要多少平方米的铁皮？（不计容器的厚度和加工余量，不要D CA E B求写出已知、求解，直接求解并画图即可）解：设正四棱台形容器上口边长AB=5x ，则下底面边长A 1B 1=2x ， 设表面积为S因正四棱台的体积)(56.1)(156)2410(4)410(2144)(214).(4),(10,2,4],25)2()5[(431208).(31222111211112222121平方米平方分米由此可得分米分米==-+⋅+⋅⋅+=⋅+⋅⋅+===∴=∴=∴⋅++⋅⋅=∴++=FF B A AB B A S B A AB x x x x x x s s s s h V故共需铁皮1.56平方米7．已知：如图，MN 为圆的直径，P 、C 为圆上两点，连PM 、PN ，过C 作MN 的垂线与MN 、MP 和NP 的延长线依次相交于A 、B 、D ，求证：AC 2=AB ·AD证：在△ABM 与△AND 中， ∠BAM=∠NAD=900 ∠AMB=∠ADN=900-∠MND ， ∴△ABM ∽△AND ， AB:AN=AM:AD, AN ·AM=AB ·AD ……①又∵在直角△MCN 中，AC ⊥MN ， ∴AC 2=AM ·AN ………② 由①，②得AC 2=AB ·ADC BD D 1 A 1 FE 1F 1DN8．下列两题选做一题（甲）已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线y 2=4x 的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长解：设所求之椭圆方程为12222=+by a x ∵2b=2,∴b=1.由抛物线方程y 2=4x 可知它的焦点而（1，0），所以点（1，0）也是椭圆的一个焦点，于是c=1,从而,2,2222==+=a c b a故所求之椭圆方程为1222=+y x ，长轴的长为（乙）已知菱形的一对内角各为600，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形600角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程解：设以菱形内角为600的一对顶点为端点的对角线所在的直线 为X 轴，建立直角坐标系设欲求之椭圆方程为12222=+by a x由图及已知条件可得 b=BO=BC ·sin300=2a =BC=4.故所求之椭圆方程为.141622=+y x 参考题X1．将函数x e x f =)(展开为x 的幂级数，并求出收敛区间（e=2.718为自然对数的底）)2,1(|||)(|,.1)0()0()0()0(.)()()(,)(: =≤=≤≤-==''='=∴==''='∴=n e e x f r x r f f f f e x f x f x f e x f r x n n x n x 有上函数在区间解所以函数x e 可以在区间[-r ，r]上展开成幂级数，因为r>0是任意的，所以，函数x e 在区间),(+∞-∞上可展成幂级数，特别的它的马克劳林级数是++++++=!!3!2132n x x x x e nx2．利用定积分计算椭圆)0(12222>>=+b a by a x 所围成的面积解：因为椭圆12222=+by a x 关于x 轴和y 轴都是对称的，所以所求之面积为.22]2cos 2[222cos 14)(cos 4cos cos 4cos ,cos sin )20.(sin .44202020220222220220ab ab d ab d ab d ab d a a a b s d a dx a a a x a a x dx x a b a ydx s aa π=π⋅=θθ+π=θθ+=θθ=θθ⋅⋅θ⋅⋅=∴θθ=θ=θ-=-π≤θ≤θ=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππ则令1977年普通高等学校招生考试数学(黑龙江省)试题及答案1．解答下列各题： （1）解方程.443=+x 解：方程两边平方得,0432=--x xx=4,x=-1（增根） 故 x=4是原方程的根（2）解不等式|x|<5.解：-5<x<5.（3）已知正三角形的外接圆半径为36cm ，求它的边长解：设正三角形的边长为a ，则).(18)(9233630cos 21cm a cm R a =∴=⋅=︒= 2．计算下列各题： （1）.222a ma m +-解：当.2,22a m a ma m a m -=+-≥时当.2,22m a a ma m a m -=+-<时（2）︒⋅︒+︒⋅︒3sin 12cos 3cos 78cos （不查表求值） 解：原式=)3045sin(15sin 3sin 12cos 3cos 12sin ︒-︒=︒=︒⋅︒+︒⋅︒.4)13(230sin 45cos 30cos 45sin -=︒︒-︒︒=（3）)6arcsin(cos π 解：原式=.323arcsinπ= 3．解下列各题： （1）解方程.189321=-+xx解：18331=-+x x.2,393,18)13(32=∴===-x x x （2）求数列2，4，8，16，……前十项的和解：由题设可知，此等比数列的首项21=a 公比2=q.204612)12(21)1(1010110=--⋅=--=∴q q a S4．解下列各题：（1）圆锥的高为6cm ，母线和底面半径成300角，求它的侧面积解：由题设条件可知，圆锥底面半径R=,36306=︒ctg圆锥母线,1230sin 6=︒=l ∴侧面积)(3722cm Rl S π=π=（2）求过点（1，4）且与直线0352=+-y x 垂直的直线方程解：因为直线0352=+-y x 的斜率为52，所以所求直线的斜率为2-所求直线的方程为1325=-+y x5．如果△ABC 的∠A 的平分线交BC 于D ，交它的外接圆于E ，那么 AB ·AC=AD ·证：连结BE （如图）∵∠CAE=∠EAB ，∠ACB=∠AEB ， ∴△ACD ∽△AEB ， ∴.ABADAE AC = ∴AB ·AC=AD ·AE6．前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？解：设后两年造林面积的年平均增长率为x ，依照题意可得200+200（1+x ）+200（1+x ）2=728， 200（1+x)2+200（1+x ）-528=0， （1+x)2+（1+x ）-2.64=0， [（1+x ）-1.2][（1+x ）+2.2]=0，B1+x=1.2，x=0.2=20%1+x=-2.2，x=-3.2（不合题意，舍去） 故后两年造林面积的年平均增长率为20%7．解方程).5lg 1()1622lg(-=-+x x x 解：,2lg 2lg )5lg 1()1622lg(x x x x x ==-=-+.8,162,21622=∴=∴=-+∴x x x x x8．已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm ，面积为54cm 2，求三边的长解：设三角形三边的长分别为,,,d a a d a +-则依题意有⎩⎨⎧=---+-=+++-)2(54)18)(18)(18(18)1(36)()( d a a d a d a a d a 由（1）得).(12cm a =代入（2）得,54)6(6)6(18=-⋅⋅+d d.3,9,273622±===-d d d故此三角形的三边长分别为9cm,12cm,15cm.9．（参考题）如图，AP 表示发动机的连杆，OA 表示它的曲柄当A 在圆上作圆周运动时，P 在x 轴上作直线运动，求P 点的横坐标为什么当α是直角时，P ∠是最大？解：过A 作AB ⊥OP 设x 为点P 的横坐标，则 x=OP=OB+BP=α⋅-+α222sin cos R l R 因为∠P 随连杆位置的变化而改变，但连杆上下摆A动的幅度是一样的，所以∠P 的最大值是一样的故可以考虑π≤α≤0内∠P 变化的情况，由正弦定理得α⋅=∠sin sin lRP 在π≤α≤0内，当2π=α时，αsin 的值最大，因而P ∠sin 的值也最大∵OA ＜AP ，∴∠P ＜α，即∠P 总是锐角在20π<∠<P 内，P ∠sin 是单调上升的，所以2π=α时，∠P 最大 10．（加试题）求曲线x y sin =在],0[π上的曲边梯形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积解：设旋转体的体积为V ，则.202sin 2)2(cos 2222cos 222cos 1sin 2220002π=π⋅π-π=⋅π-π=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ=-π=π=⎰⎰⎰⎰ππππx x xd xdx dx x xdx v1977年普通高等学校招生考试数学(江苏省)试题及答案1．（1）计算.)827(()14.3()101()412(21221---+-+解：原式=99（2）求函数)5lg(312x x x y -+-+-=的定义域解：根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧≠<≥∴⎪⎩⎪⎨⎧≠->-≥-352030502x x x x x x 故函数的定义域为.5332<<<≤x x 和 （3）解方程.125522=+x x解：原方程即,55322=+x x..1,3,322均为原方程的解=-==+∴x x x x（4）计算⎪⎭⎫⎝⎛-333333log log 解：原式=.33log )3log 271(log )3(log log 333327133=-=-=-- （5）把直角坐标方程9)3(22=+-y x 化为极坐标方程 解：原方程可展开为,99622=++-y x xθ=ρθ=ρ=ρ∴=θρ⋅-ρ=+-cos 6cos 60,0cos 6,06222即或y x x（6）计算.321lim2n nn ++++∞→解：原式=.2121lim 2)1(lim 2=+=+∞→∞→n n nn n n n（7）分解因式.4832224-+--y y y x x 解：原式=2222)22()(---y y x).23)(2()22)(22(2222+--+=+---+-=y x y x y y x y y x3．过抛物线x y 42=的焦点作倾斜角为π43的直线，它与抛物线相交于A 、B 两点求A 、B 两点间的距离解：抛物线x y 42=的焦点坐标为（1，0）所作直线方程为,1)1(43x y x tgy -=-π=或它与抛物线之二交点坐标由下面方程组 确定⎩⎨⎧=+-=-=-=,016,4)1(41222x x x x xy xy 解得 由根与系数关系，得x 1+x 2=6, x 1x 2=1.又解得,044),1(422=-+-=yyyyy1+y2=-4,y1y2=-4.由两点间距离公式221221)()(yyxxd-+-=但,324364)()(21221221=-=-+=-xxxxxx83232,3216164)()(21221221=+=∴=+=-+=-dyyyyyy故AB两点间距离为83．在直角三角形ABC中，∠ACB=900，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，且∠BCD与∠ACD之比为3:1，求证CD=DE证：∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=900，∴∠ACD=∠B又∵CE是直角△ABC的斜边AB上的中线∴CE=EB∠B=∠ECB，∠ACD=∠ECB但∵∠BCD=3∠ACD，∠ECD=2∠ACD=21∠ACB=21×900=450，△EDC为等腰直角三角形∴CE=DE4．在周长为300cm的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动甲球从A点出发按逆时针方向运动，乙球从B点出发按顺时针方向运动，C但这时甲球速度的大小是原来的２倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于D点已知AmC=40厘米，BnD=20厘米,求ACB的长度CA D E B厘米甲球速度为甲v ，乙球速度为v 根据二次从出发到相遇二球运动的时间都相同，可得第一次等候时方程.4040xv v v x v ==乙甲乙甲或 第二次等候时方程.280)20(42120220300x x v v v x v x -+=+=--甲乙乙甲或 由此可得,280)20(440xx x -+= .0)80)(40(=--x x由于已知条件甲v ≠乙v ，∴x ≠40,（厘米）ACB=40+80=120（厘米）5．（1）若三角形三内角成等差数列，求证必有一内角为600证：设三角形三内角分别为,,,d d +αα-α则有.601803,180)()(︒=α∴︒=α︒=+α+α+-αd d（2）若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角都是600证：由题（1）可知，此三角形必有一内角为600，今设其对边为a ，则三角形的三边分别为aq a qa ,,（此处q 为公比，且0>q ） 由余弦定理可得DB,021,21211,60cos 2)()(2222222=+-⋅-+=︒⋅⋅-+=q qq qq aaq q a a),(1,1,11,0)1(22舍去不合题意-===∴==-q q q q q q q 由1=q 可知，此三角形为等边三角形，三个内角均为6006．在两条平行的直线AB 和CD 上分别取定一点M 和N ，在直线AB 上取一定线段ME=a ;在线段MN 上取一点K ，连结EK 并延长交CD 于F 试问K 取在哪里△EMK 与△FNK 的面积之和最小？最小值是多少？ 解：过点K 作两条平行直线的公垂线PQ ， 设PQ=l ，MN=m ， 令PK=x ，则KQ=x l - ∴△EMK ∽△FNK ， ∴.NKMK NF ME = 又∵△MKP ∽△NKQ ， ∴.KQKPNK MK = 于是得到,KQKPNF ME = .)(xx l a KP KQ ME NF -=⋅=从而△EMK 与△FNK 的面积之和为P M EA B K C D F N Q,)12()2()2(222)(2)()(212122222⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=+-⋅=+-⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-⋅-⋅+⋅⋅=l x l x a xl l x a xl lx x a x x l x a x x l a x l a x A ,22,02时也即时当l x xl x ==-∴A 有最小值.)12(al - l x 22=表示点K 到直线AB 的距离为22倍的PQ ，从而点K 到M 的距离也为MN 的22倍，即KM=22MN. 附加题1求极限).1(lim x x x n -+∞→ 解：原式=x x x x x x x n ++++-+∞→1)1)(1(lim.211111lim1lim=++=++=∞→∞→xxx x n n 2．求不定积分.)1(2⎰+x e dx解：令,1t e x =+则,)1(dx t dx e dt x -==.1-=t dt dx.11)1ln(11)1ln(ln 1ln )1ln()1111()1)1(1()1()1(2222C e e x C e e e Ctt t dtt t t dtt t t t t dte dx xx xx x x ++++-=++++-=++--=---=--=-=+∴⎰⎰⎰⎰1977年普通高等学校招生考试理科数学(上海市)试题及答案1．（1）化简)()2(222222ba ab a a b ab a a b a a --+÷++-+ 解：原式=.)1()1(b a a b b a a b a a b a a ba a +-=--++-+ （2）计算2log 9log 1.0lg 2lg 25lg 2132⨯--+解：原式=21-（3）i =-1，验算i 是否方程2x 4+3x 3-3x 2+3x-5=0的解解：令x=i,左边=2-3i+3+3i-5=0所以i 是所给方程的一个解（4）求证：.2cos 2)4cos()4cos()4sin()4sin(θ=θ-πθ+π+θ-πθ+π.2cos 22cos 211)4cos()4sin(2sin)4cos()4sin()4sin()4cos()4cos()4sin(:右边左边证=θ=θ=θ-πθ-ππ=θ-πθ-πθ-πθ+π+θ-πθ+π=2．在△ABC 中，∠C 的平分线交AB 于D ，过D 作BC 的平分线交AC 于E ，已知BC=a ,AC=b,求DE 的长解：∵DE ∥BC ，∴∠1=∠3又∠1=∠2，∴∠2=∠3 DE=EC 由△ADE ∽△ABC ，,,b DE b a DE AC AE BCDE -==∴b ·DE=ab-a ·DE ，.b a abDE +=3．已知圆A 的直径为32，圆B 的直径为324-，圆C 的直径为2，圆A 与圆B 外切，圆A 又与圆C 外切，∠A=600，求BC 及∠C解：由已知条件可知，AC=31+，AB=2，∠CAB=600根据余弦定理，可得由正弦定理，则︒=∠∴=⋅=45,22sin sin C BC A AB C 4．正六棱锥V-ABCDEF 的高为2cm ，底面边长为2cm （1）按1:1画出它的二视图;（2）求其侧面积; （3）求它的侧棱和底面的夹角解：（1）见六五年试题1（2）斜高为)(7672216),(7)223(2222cm cm =⨯⨯⨯==⨯+故侧面积BC（3）侧棱与底面的夹角为4505．解不等式⎩⎨⎧>--≥-0601622x x x 并在数轴上把它的解表示出来 解：略-4≤x ＜-2，3＜x ≤4.6．已知两定点A （-4，0）、B （4，0），一动点P （x,y ）与两定点A 、B 的连线PA 、PB 的斜率的乘积为4-P 的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线解：直线PA 、PB 的斜率分别是故此曲线为椭圆其标准方程为由题意,14161644144.4,4222221=+=+-=-⋅+-=+=y x y x x y x y x y k x y k7．等腰梯形的周长为60，底角为600，问这梯形各边长为多少时，面积最大？ 解：设等腰梯形的腰长为x ，则有AE=2x ，BE=23x ，.2360226022260x x x AEAB BC -=--=-⋅-=等腰梯形ABCD 的面积=BE AE BC BE ADBC ⋅+=⋅+)(2].)15(225[23)30(232322360(22--=-=⋅+-=x x x x x x由此可知，当且仅当x=15时等腰梯形的面积最大此时，腰AB=CD=x=15,上B C底BC=7.5，下底AD=BC+2AE=22.58．当k 为何值时，方程组⎩⎨⎧=---=--)2(0102)1(02 k y kx y x 有两组相同的解？并求出它的解解：由（1），x ≥0，y ≥2由（2），y=kx-2k-10.代入（1），得)122(,)122(2=++-+-=k kx x k kx x此方程有二等根的条件是判别式为零，即 k 2-4(2k+12)=0,k 2-8k-48=0,(k-12)(k+4)=0, k 1=12,k 2=-4(增根） ∴当k=12时，x=6,y=38. 附加题9．如图所示，半圆O 的直径为2，A 为半圆直径的延长线上的一点，且OA=2，B 为半圆上任一点，以AB 为边作等边△ABC ，问B 在什么地方时，四边形OACB 的面积最大？并求出这个面积的最大值解：四边形OACB 的面积=△OAB 的面积+△ABC 的面积 设∠AOB=θ， 则 △OAB 的面积θ=θ⋅⋅⋅=θ⋅⋅⋅=sin sin 1221sin 21OB OA△ABC 的面积 C)cos 45(43)cos 2(434360sin 21222θ-=θ⋅⋅⋅-+=⋅=︒⋅⋅⋅=OA OB OA OB AB AC AB∴四边形OACB 的面积∴当θ-600=900，即θ=1500时，四边形OACB 的面积最大，其最大面积为.2435+ 10．已知曲线y=x 2-2x+3与直线y=x+3相交于点P（0，3）、Q （3，6）两点，（1）分别求出曲线在交点的切线的斜率;（2）求出曲线与直线所围成的图形的面积解：（1）∵y=x 2-2x+3，∴y ＇=2x-2,∴过点（0，3）的切线斜率k 1=y ＇|x=0=-2过点（3，6）的切线斜率k 1=y ＇|x=3=4（2）设所求的带阴影的图形的面积为S S 为梯形OAQP 的面积与曲边梯形OAQP 的面积的差而梯形OAQP 的面积.227)(21=⋅+=OA AQ OP 曲边梯形OAQP 的面积9)331()32(3030232=+-=+-=⎰x x x dx x xY X)60sin(2435cos 3sin 435︒-θ+=θ-θ+=.5.49227=-=∴S1977年普通高等学校招生考试文科数学(上海市)试题及答案1．（1）计算.2343(311()23)(3121[(÷-⨯+----解略：原式=.21-（2）某生产队去年养猪96头，今年养猪120头，问今年比去年增加百分之几？计划明年比今年多养40%，明年养猪几头？ 解：根据已知条件，今年比去年增长%2596249696120==-. 明年养猪头数为120（1+40%）=168（头）（3）计算.51lg 5lg 32lg 4-+ 解：原式=42．在△ABC 中，∠C 的平分线与AB 相交于D ，过D 作BC 的平分线与AC 相交于E ，已知BC=a ，AC=b ，求DE 的长解：∵DE ∥BC ，∴∠1=∠3又∠1=∠2，∴∠2=∠3 DE=EC 由△ADE ∽△ABC ，,,b DEb a DE AC AE BC DE-==∴ b ·DE=a b-a ·DE ，.b a abDE +=3．（1）化简)()2(222222b a a b a a b ab a a b a a --+÷++-+2A E C解：原式=.)1()1(b a a b ba ab a a b a a ba a +-=--++-+ （2）解不等式.4213312-->-x x 解：不等式解为x ＜5 （3）解方程.92131342--=--+x x x x 解：可得x 2-5x+6=0, x=2,x=3（增根） 故原方程的解为x=2. 4（1）计算.)120cos(330225sin ︒-︒+︒tg解：原式=.3322360cos )30(45sin +=︒-︒-+︒-=tg（2）求证：.2sin 2xctgx tgx =+ 证：右边左边==+=xx x x x 2sin 2sin cos cos sin （3）△ABC 中，∠A=450，∠B=750，AB=12，求BC 的长解：由正弦定理可知：.64sin sin =⋅=CAAB BC 5．六角螺帽尺寸如图，求它的体积（精确的1mm 3） 解：由图可知此六角螺帽的体积为Φ20)(725010)36(101010)620232021(332mm V ≈⨯π-=⨯⨯π-⨯⨯⨯⨯⨯= 6.求直线0333=++y x 的斜率和倾角，并画出它的图形解：由0333=++y x 可得.150)33(33.333331︒=-=θ-=--=--=arctg k x x y 倾角斜率图略7．当x 为何值时，函数y=x 2-8x+5的值最小，并求出这个最小值 解：y=x 2-8x+5=2（x-2)2-3，所以，当x=2时，函数最小值为-38．将浓度为96%和36%的甲、乙两种流酸配制成浓度为70%的流酸600升，问应从甲、乙两种流酸中各取多少升？解：设甲种流酸取x 升，乙种流酸取y 升，根据题意可得如下方程组：⎩⎨⎧⋅=⋅+⋅=+)2(%70600%36%96)1(600 y x y x 由（1）得y=600-x.代入（2）得x=340（升）y=260(升）故应取甲种流酸340升，乙种流酸260升1978年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科考生五，六两题选做一题第七题）一．（下列各题每题4分，五个题共20分）1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a则.42,2222πππππa a a a r a r =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅==体积3．求函数)2lg(x y +=的定义域解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22 5.化简： 二 .（本题满分14分）已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数k 值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴=k2;②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴=k 2，半短轴=2.254:.)()1.0()4(41 21214323121b b a ab =⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛----原式解如图：2)k=0时，方程为y 2=4形是两条平行于x 轴的直线2±=y如图 3）k<0时，方程为三．（本题满分14分） （如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于C 点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点，求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM ·BN 1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD ∴△AMC ≌△ADC∴CM=CD 同理CN=CD ∴CD=CM=CN2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900∴ CD 2=AD ·DBY Y YXXy=-2 M C NA B D14422=+-y k x。

1979年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一．（本题满分9分）求函数y=2x 2-2x+1的极小值解略：x=21时，y 取最小值21. 二．（本题满分9分）化简[（1+sin 2θ)2-cos 4θ][(1+cos 2θ)2-sin 4θ]解：原式=(1+sin 2θ+cos 2θ)(1+sin 2θ-cos 2θ)·(1+cos 2θ+sin 2θ)(1+cos 2θ-sin 2θ) =4(1-cos2θ)(1+cos2θ)=4sin 2 2θ三．（本题满9分）甲，乙二容器内都盛有酒精V 1公斤，乙有V 2公斤甲中纯酒精与水（重量）之比为m 1:n 1 ,乙中纯酒精与水之比为m 2:n 2问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？111111112222222211221122221111221122:(),(),(),()()()()()m v n vm n m n m v n vm n m n m v m v m v m n m v m n m n m n m n m n ++++++++=++++解甲中含纯酒精公斤含水公斤乙中含纯酒精公斤含水公斤甲乙共含纯酒精公斤112211222211112211221122221111222211()()()(),[()()]:[()()]n v n v n v m n n v m n m n m n m n m n m v m n m v m n n v m n n v m n ++++=++++++++++甲乙共含水公斤混合后纯酒精与水之比为四．（本题满分9分） 叙述并且证明勾股定理解：略五．（本题满分14分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D 里以内的区域设A及B 是我们的观测站，A 及B 间的距离为S 里，海岸线是过A ，B 的直线，一外国船在P 点，在A 站测得∠BAP=α同时在B 站测得∠BAP=β问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？ 解：作PC ⊥AB 于C ，设PC=d ， 在直角三角形PAC 中，AC=d ·ctg α在直角三角形PC 中，BC=d ·ctg β∴S=AC+BC=d （ctg α+ctg β）当d ≤D ，即ctg α+ctg β≥DS时，应向外国船发出警告六．（本题满分14分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x<0.1,可用：ln(1+x)≈x ，取lg2=0.3,ln10=2.3) 解：年增长率x 应满足100（1+X)40=500,即（1+X)40=5.取自然对数有 40ln(1+x)=ln5.又lg5=1-0.3=0.7 ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61 利用ln(1+x)≈x,则有P A B Cx ≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%答：每年约增长百分之四七．（本题满分18分）设CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过D 作该圆的切线与CE 的延长线相交于点A ，与CF 的延长线相交于点B 求证：33ACBC AE BF = 证：连接CD 因∠CFD=900，所以CD 为圆O 的直径，又AB 切圆O 于D ，∴CD ⊥AB 又在直角三角形ABC 中，∠ACB=900，∴AC 2=AD ·AB ，BC 2=BD ·BA 又因 BD 2=BC ·BF ，AD 2=AC ·AE由（1）与（2）得 八．（本题满分14分）过原点O 作圆x 2+y 2-2x-4y+4=0的任意割线交圆于P 1，P 2两点求P 1P 2的中点P 的轨迹A B D(1) .22ACBC AD BD =∴(2) 22AE AC BF BC AD BD ⋅⋅=∴3344AC BC AE BF AC BC AE AC BF BC =∴=⋅⋅解：设割线OP 1P 2的直线方程为 y=kx 代入圆的方程，得： x 2+k 2x 2-2x-4kx+4=0 即(1+k 2)x 2-2(1+2k)x+4=0 设两根为x 1，x 2即直线与圆的两交点的横坐标;由韦达定理得： 又设P 点的坐标是（x,y)P 是P 1P 2的中点，所以2211212kkx x x ++=+=又P 点在直线y=kx 上，2222222.121(),1()12215((1)241(,1),.22.yk x y y x x y x x y y x x y x yx x x y ∴=+=+++=++=+-+-=代入上式得两端乘以得即这是一个以点为中心内的一段弧Y2211)21(2k k x x ++=+1979年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一．（本题满分6分）若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证：x,y,z 成等差数列证：(z-x)2-4(x-y)(y-z)=（x+z)2-2·2y(z+x)+4y 2=(z+x-2y)2=0∴2y=x+z,所以，x,y,z 成等差数列二．（本题满分6分）xxx x tg xctg x222222csc sin 1csc 111111111111:.csc 111111:==-=+-=---=---原式解化简三．（本题满分6分）甲，乙二容器内都盛有酒精甲有V 1公斤，乙有V 2公斤水（重量）之比为m 1:n 1 ,乙中纯酒精与水之比为m 2:n 2问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？11111111222222221122112222111122112211221122221111221122:(),(),(),()()()()()()()()(m v n vm n m n m v n vm n m n m v m v m v m n m v m n m n m n m n m n n v n v n v m n n v m n m n m n m n m n ++++++++=++++++++=++++解甲中含纯酒精公斤含水公斤乙中含纯酒精公斤含水公斤甲乙共含纯酒精公斤甲乙共含水),公斤混合后纯酒精与水之比为1122221111222211[()()]:[()()]m v m n m v m n n v m n n v m n ++++++四．（本题满6分） 叙述并证明勾股定理证：略五．（本题满10分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D 里以内的区域设A 及B是我们的观测站，A 及B 间的距离为S 里，海岸线是过A ，B 的直线，一外国船在P 点，在A 站测得∠BAP=α同时在B 站测得∠BAP=βα及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？ 解：作PC ⊥AB 于C ，设PC=d ， 在直角三角形PAC 中，AC=d ·ctg α在直角三角形PC 中，BC=d ·ctg βP A B C∴S=AC+BC=d （ctg α+ctg β）当d ≤D ，即ctg α+ctg β≥DS时，应向外国船发出警告六．（本题满分10分）设三棱锥V-ABC 中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角求证：△ABC 是锐角三角形证一：设VA=a ，VB=b ，VC=c ，AB=p ，BC=q ，CA=r于是p 2=a 2+b 2, q 2=b 2+c 2, r 2=c 2+a 2 由余弦定理：2222222cos 0.CAB CAB ∠==>∴∠为锐角同理，∠ABC ，∠BCA 也是锐角证二：作VD ⊥BC ，D 为垂足因VA 垂直于平面VAC ，所以VA ⊥BC 又BC ⊥VD ，所以BC 垂直于平面VAD ，从而BC ⊥AD 及在△ABC 中，A 在BC 边上的垂足D 介于B 和C 之间因此，∠B 和∠C 都是锐角，同理可证∠A 也是锐角七．（本题满分12分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x<0.1,可用：ln(1+x)≈x ，取lg2=0.3,ln10=2.3) 解：年增长率x 应满足100（1+X)40=500,即（1+X)40=5.CA B取自然对数有 40ln(1+x)=ln5.又lg5=1-0.3=0.7 ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61 利用ln(1+x)≈x,则有x ≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4% 答：每年约增长百分之四八．（本题满分12分） 设CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过D 作该圆的切线与CE 的延长线相交于点A ，与CF 的延长线相交于点B 求证：33ACBC AE BF =证：连接CD 因∠CFD=900，所以CD 为圆O 的直径，又AB 切圆O 于D ，∴CD ⊥AB 又在直角三角形ABC 中，∠ACB=900，∴AC 2=AD ·AB ，BC 2=BD ·BA (1) .22ACBC AD BD =∴又因 BD 2=BC ·BF ，AD 2=AC ·AE(2) 22AEAC BF BC AD BD ⋅⋅=∴由（1）与（2）得3344AC BC AE BF AC BC AE AC BF BC =∴=⋅⋅ C E B九．（本题满分14分）试问数列)4sin 100lg(,),4sin 100lg(),4sin 100lg(,100lg 12πππ-n 前多少项的和的值最大？并求这最大值（lg2=0.301)解：该数列的第k 项为：2lg )1(212)4sin 100lg(1--==-k a n k π所以这个数列是递减等差数列，且其首项为2要使前k 项的和最大，必须前k 项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数因此，k 应适合下列条件：11412(1)lg 20, (1)212[(1)1]lg 20, (2)2:(1)14.2(2)13.2,1414,149114280.301014.30.22k k k k k N k k a a S ⎧--≥⎪⎪⎨⎪---<⎪⎩≤>∈∴==+=⨯=-⨯≈解此不等式组由得由得又取前项的和十．（本题满分18分）设等腰△OAB 的顶点为2θ，高为h1．在△OAB 内有一动点P ，到三边OA ，OB ，AB 的距离分别为|PD|，|PF|，|PE|，并且满足关系|PD|·|PF|=|PE|2求P 点的轨迹2．在上述轨迹中定出点P 的坐标，使得|PD|+|PE|=|PF|YA解：设OP与正X轴的夹角为α，P的坐标为（x,y）,则0,.(2)(1)1PD PE PF yhx h xyPθθθ+=>+=∴==+==由可知所以这里右端取正号代入得所求点的坐标为xtgyxyyyxhyxyxxhyxPFPEPDOAAAhEAEhEOOAEAAhhhyhxhyxhxhyhxxxhyxPEPFPDyxOPOPPFyxOPOPPDyxOP⋅θ=θ=θ∴θ=θ-θθ=θ+θ+θ=-+θ-θ=+θθ=''θ='⊥'θθθθθ=+θ-=θ++θ-≠θ=+θ+-θ-=θ-θ=⋅θ+θ=αθ+αθ=α+θ=θ-θ=αθ-αθ=α-θ=+=51,sincos5cos4cossin)2(),1()2cosh(0,(h,0)(2).cos2cossincossin.2.,,.cossin.cos.:.cossin,)0,cos()cossin()cos(coscos2coscos2cos(1),)(cossincossin)sincoscos(sin)sin(cossin)sincoscos(sin)sin(.22222222222222222222222222222222222222得由点点及此直线通过即得由条件的切线是而且圆在是圆上一点的半径是圆是圆的中心则作直线在注意等腰三角形内的一部分所求轨迹是此圆在所给为半径的圆以为中心这是以即得除以即得由条件。

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共14小题；第1～10题每小题4分，第11～14题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 ( )(A) （M ∩P ）∩S (B) （M ∩P ）∪S (C) （M ∩P ）∩S(D) （M ∩P ）∪S2.已知映射f ：B A →，其中，集合{},4,3,2,1,1,2,3---=A 集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的,A a ∈在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是( )(A) 4(B) 5(C) 6(D) 73. 若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ，则()b g 等于 ( ) (A) a(B) 1-a(C) b(D) 1-b4.函数()()()0s i n >+=ωϕωx M x f 在区间[]b a ,上是增函数，且()(),,M b f M x f =-=则函数()()ϕω+=x M x g cos 在[]b a ,上( )(A) 是增函数(B) 是减函数(C) 可以取得最大值M(D) 可以取得最小值M -5.若()x x f sin 是周期为π的奇函数，则()x f 可以是( )(A) x sin (B) x cos (C) x 2sin (D) x 2cos6.在极坐标系中，曲线⎪⎭⎫⎝⎛-=3sin 4πθρ关于 ( )(A) 直线3πθ=轴对称(B) 直线πθ65=轴对称 (C) 点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π中心对称(D) 极点中心对称7.若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm 6，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是( )(A) cm 36 (B) cm 6(C) cm 3182(D) cm 31238.若(),32443322104x a x a x a x a a x ++++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为( )(A) 1(B) －1(C) 0(D) 29.直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 ( )(A)6π (B)4π (C)3π (D)2π 10.如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为( )(A)29 (B) 5 (C) 6 (D)215 11.若,22sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->>παπαααctg tg 则∈α( )(A) ⎪⎭⎫⎝⎛--4,2ππ (B) ⎪⎭⎫⎝⎛-0,4π (C) ⎪⎭⎫⎝⎛4,0π (D) ⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ 12.如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R =( )(A) 10(B) 15(C) 20(D) 2513.已知两点,45,4,45,1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程：①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是 ( )(A) ①③(B) ②④(C) ①②③(D) ②③④14.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )(A) 5种(B) 6种(C) 7种(D) 8种第II 卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.15.设椭圆()012222>>=+b a by a x 的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的率心率是_____16.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有___________种（用数字作答）17.若正数a 、b 满足,3++=b a ab 则ab 的取值范围是______________18.α、β 是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β 之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n②α⊥β③n ⊥β④m ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题：________________________________三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题满分10分）解不等式()1,01log 22log 3≠>-<-a a x x a a20.（本小题满分12分）设复数.sin 2cos 3θθ⋅+=i z 求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=20arg πθθz y 的最大值以及对应的θ值.21.（本小题满分12分）如图，已知正四棱柱1111D C B A ABCD -，点E 在棱D D 1上，截面EAC ∥B D 1，且面EAC 与底面ABCD 所成的角为.,45a AB =Ⅰ.求截面EAC 的面积；Ⅱ.求异面直线11B A 与AC 之间的距离； Ⅲ.求三棱锥EAC B -1的体积. 22.（本小题满分12分）右图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.Ⅰ.输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过0r .问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？（一对轧辊减薄率输入该对的带钢厚度从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度-=）Ⅱ.已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600.mm 若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为.k L 为了便于检修，请计算1L 、2L 、3L 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）.23.（本小题满分14分）已知函数()x f y =的图像是自原点出发的一条折线，当(),2,1,01=+≤≤n n y n时，该图像是斜率为nb 的线段（其中正常数1≠b ），设数列n x 由()(),2,1==n n x f n 定义.Ⅰ.求1x 、2x 和n x 的表达式；Ⅱ.求()x f 的表达式，并写出其定义域；Ⅲ.证明：()x f y =的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点. 24.（本小题满分14分）如图，给出定点()()00,>a a A 和直线B x l .1:-=是直线l 上的动点，BOA ∠的角平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答一、选择题（本题考查基础知识和基础运算）.1. C2. A3. A4. C5. B6. B7. B8. A9. C10. D 11.B12. D13.D14. C二、填空题（本题考查基本知识和基本运算）.15.2116. 12 17. [)+∞,9 18. n m n m ⊥⇒⊥⊥⊥βαβα,,或βαβα⊥⇒⊥⊥⊥n m n m ,,三、解答题19. 本小题主要考查对数函数的性质、对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类讨论的思想.解：原不等式等价于()⎪⎩⎪⎨⎧>--<-≥-.01log 2,1log 22log 3,02log 32x x x x a a a a 由①得,32log ≥x a 由②得,43log <x a 或1log >x a ， 由③得.21log >x a由此得,43log 32<≤x a 或.1log >x a当1>a 时得所求的解是{}a x x a x a x >⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤||4332 ； 当10<<a 时得所求的解是① ② ③{}.0||3243a x x a x a x <<⋃⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤< 20.本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力.解：由20πθ<<得.0>θtg由θθsin 2cos 3i z +=得2arg 0π<<z 及().32cos 3sin 2arg θθθtg tg ==z故 ()z y arg -=θtg tgθθθ232132tg tg tg +-= ,231θθtg tg +=因为,6223≥+θθtg tg 所以.126231≤+θθtg tg 当且仅当⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=2023πθθθtg tg 时，即26=θtg 时，上式取等号. 所以当26arctg=θ时，函数y tg 取得最大值.126由z y arg -=θ得.2,2⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈ππy 由于在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内正切函数是递增函数，函数y也取最大值.126arctg21.本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.Ⅰ. 解：如图，连结BD 交AC 于O ，连结EO 因为底面ABCD 是正方形， 所以DO ⊥AC又因为ED ⊥底面AC ， 因为EO ⊥AC所以∠EOD 是面EAC 与底面AC 所成二面角的平面角. 所以， 45=∠EOD.45sec 22,2,22a a EO a AC a DO =⋅===故.222a S EAC =∆ II. 解：由题设1111D C B A ABCD -是正四棱柱，得A A 1⊥底面AC ，A A 1⊥AC ， 又A A 1⊥,11B A所以A A 1是异面直线11B A 与AC 间的公垂线. 因为11B D ∥面EAC ，且面BD D 1与面EAC 交线为EO 所以11B D ∥EO 又O 是DB 的中点，所以E 是D D 1的中点，11B D =2EO =2a 所以D D 1.2221a DB B D =-=异面直线11B A 与AC 间的距离为.2a Ⅲ. 解法一：如图，连结11B D 因为D D 1=DB =.2a 所以11B BDD 是正方形，连结D B 1交B D 1于P ，交EO 于Q 因为D B 1⊥B D 1，EO ∥B D 1， 所以D B 1⊥EO 又AC ⊥EO ，AC ⊥ED 所以AC ⊥面11B BDD ， 所以D B 1⊥AC ， 所以D B 1⊥面EAC .所以Q B 1是三棱锥EAC B -1的高. 由DQ =PQ ，得.234311a D B Q B == 所以.42232231321a a a V EAC B =⋅⋅=- 所以三棱锥EAC B -1的体积是.423a 解法二：连结O B 1，则112EO B A EAC B V V --= 因为AO ⊥面11B BDD ，所以AO 是三棱锥1EOB A -的高，AO .22a =在正方形11B BDD 中，E 、O 分别是D D 1、DB 的中点（如右图），则.4321a S EOB =∆ ∴.422243312321a a a V EAC B =⋅⋅⋅=- 所以三棱锥EAC B -1的体积是.423a 22. 本小题主要考查等比数列、对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力.Ⅰ.解：厚度为α的带钢经过减薄率均为0r 的n 对轧辊后厚度为().10nr a -为使输出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足()β≤-nr a 01即().10ar nβ≤- 由于(),0,010>>-ar nβ对比上式两端取对数，得().lg1lg 0ar n β≤-由于(),01lg 0<-r 所以().1lg lg lg 0r an --≥β因此，至少需要安装不小于()01lg lg lg r a--β的整数对轧辊.Ⅱ. 解法一：第k 对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积为()⋅-⋅kr a 11600宽度(),%20=r 其中而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为()⋅-⋅41r a L k 宽度.因宽度相等，且无损耗，由体积相等得()=-⋅kr a 11600()41r a L k -⋅ (),%20=r即.8.016004-⋅=k k L由此得(),20003mm L = (),25002mm L = ()mm L 31251= 填表如下 轧锟序号k1234疵点间距k L （单位：mm ）3125 2500 2000 1600解法二：第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有(),2.0116003-⋅=L所以().20008.016003mm L == 同理(),25008.032mm LL ==().31258.021mm LL ==填表如下 轧锟序号k1 2 3 4 疵点间距k L （单位：mm ）312525002000160023.本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力.Ⅰ.解：依题意()00=f ，又由()11=x f ，当10≤≤y 时，函数()x f y =的图像是斜率为10=b 的线段，故由()()10011=--x f x f 得.11=x又由()22=x f ，当21≤≤y 时，函数()x f y =的图像是斜率为b 的线段，故由()()b x x x f x f =--1212，即b x x 112=-得.112b x += 记.00=x 由函数()x f y =图像中第n 段线段的斜率为1-n b，故得()().111---=--n n n n n b x x x f x f 又()()1,1-==-n x f n x f n n ； 所以 .2,1,111=⎪⎭⎫ ⎝⎛=---n b x x n n n由此知数列{}1--n n x x 为等比数列，其首项为1，公比为.1b因,1≠b 得(),111111111-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=-=--=-∑b b b b b x x x n n nk k k n即.111-⎪⎭⎫⎝⎛-=-b b b x n nⅡ. 解：当10≤≤y ，从Ⅰ可知,x y =当10≤≤x 时，().x x f = 当1+≤≤n y n 时，即当1+≤≤n n x x x 时，由Ⅰ可知()()().3,2,1,1 =≤≤-+=+n x x x x x b n x f n n n n为求函数()x f 的定义域，须对() ,3,2,1111=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n b b b x n n 进行讨论.当1>b 时，111limlim 1-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∞→∞→b bb b b x n n n n ； 当10<<b 时，n x n ,∞→也趋向于无穷大. 综上，当1>b 时，()x f y =的定义域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,0b b ； 当10<<b 时，()x f y =的定义域为[)+∞,0. Ⅲ. 证法一：首先证明当1>b ，11-<<b bx 时，恒有()x x f >成立. 用数学归纳法证明：（ⅰ）由Ⅱ知当1=n 时,在(]2,1x 上, ()(),11-+==x b x f y 所以()()()011>--=-b x x x f 成立（ⅱ）假设k n =时在(]1,+k k x x 上恒有()x x f >成立. 可得 (),111++>+=k k x k x f在(]21,++k k x x 上,()().111++-++=k k x x b k x f 所以 ()()x x x b k x x f k k --++=-++111()()()011111>-++--=+++k k k x k x x b 也成立.由(ⅰ)与(ⅱ)知,对所有自然数n 在(]1,+n n x x 上都有()x x f >成立. 即 11-<<b bx 时,恒有()x x f >. 其次，当1<b ,仿上述证明,可知当1>x 时,恒有()x x f <成立. 故函数()x f y =的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点. 证法二:首先证明当1>b ,11-<<b bx 时,恒有()x x f >成立. 对任意的,1,1⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈b b x 存在n x ,使1+≤<n n x x x ，此时有()()()(),10≥->-=-n x x x x b x f x f n n n所以()().n n x x f x x f ->- 又(),1111n n n x bb n x f =+++>=- 所以()0>-n n x x f ，所以()()0>->-n n x x f x x f ， 即有()x x f >成立.其次，当1<b ，仿上述证明，可知当1>x 时，恒有()x x f <成立. 故函数()x f 的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点.24. 本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力.解法一：依题意，记()(),,1R ∈-b b B 则直线OA 和OB 的方程分别为0=y 和.bx y -=设点()y x C ,，则有a x <≤0，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得.12bbx y y ++=①依题设，点C 在直线AB 上，故有().1a x aby -+-= 由0≠-a x ，得().1ax y a b -+-= ②将②式代入①式得()()(),11122222⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++a x xy a y a x y a y 整理得()()[].0121222=++--y a ax x a y 若0≠y ，则()()()a x y a ax x a <<=++--0012122；若0=y ，则π=∠=AOB b ,0，点C 的坐标为（0，0），满足上式. 综上得点C 的轨迹方程为()()()a x y a ax x a <≤=++--0012122（ⅰ）当1=a 时，轨迹方程化为().102<≤=x x y ③此时，方程③表示抛物线弧段； （ⅱ）当1≠a 时，轨迹方程化为()a x a a y a a a a x <≤=-+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111122222④ 所以，当10<<a 时，方程④表示椭圆弧段； 当1>a 时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x 轴，E 是垂足. （ⅰ）当| BD |≠0时，设点C （x ，y ），则.0,0≠<<y a x由CE ∥BD 得().1a xa y EADA CE BD +-=⋅=因为∠COA =∠COB=∠COD －∠BOD =π－∠COA －∠BOD ，所以2∠COA =π－∠BOD 所以(),1222COACOACOA ∠-∠=∠tg tg tg()BOD BOD ∠-=∠-tg tg π因为,xy COA =∠tg().1a xa y ODBD BOD +-==∠tg所以(),11222a x a y xy x y+--=-⋅整理得()()().0012122a x y a ax x a <<=++--（ⅱ）当| BD | = 0时，∠BOA =π，则点C 的坐标为（0，0），满足上式. 综合（ⅰ），（ⅱ），得点C 的轨迹方程为()()().0012122a x y a ax x a <≤=++--以下同解法一.。

1981年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:(1)A∪B,(2)A∩B。

二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果。

三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是。

四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明。

五、解不等式(x为未知数):六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立。

七、设1980年底我国人口以10亿计算。

(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.(1)求直线AB和棱a所成的角;(2)求直线AB和平面Q所成的角.(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.十、附加题:计入总分.已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图).设AC=a,BC=b,作数列u1=a-b,u2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,……,uk=ak-ak-1b+ak-2b2-……+(-1)kbk;求证:un=un-1+un-2(n≥3).1981年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）参考答案一、解:(1)A∪B={实数}.(或A∪B=R,或A∪B=实数集合.)(2)A∩B= .(或A∩B={ },或A∩B=空集.)二、解:所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果:ABC,ABD,ACD,BCD.三、解: (1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充要条件四、公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.证法一:平面几何证法.如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得a2=CD2+DB2=(bsinA)2+(c-bcosA)2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得a2=CD2+BD2=[bsin(180°-A)]2+[c+bcos(180°-A)]2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是直角,cosA=0,∴a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点间的距离公式得a2=│BC│2 =(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA.五、解:原行列式可逐步简化如下:故原不等式为x2(x-a-b-c)>0.原不等式的解是x≠0,x>a+b+c.所以当n=1时等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10, 10×1.02, 10×(1.02)2,……的第21项,即x=10×(1.02)20,两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859(亿).答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10×(1+y%)20≤12,即(1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.八、解:(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.∠ADC为二面角P-a-Q的平面角,∴∠ADC=120°.又AD=2,BCDE为矩形,∴ CD=BE=4.连结AC,由余弦定理得又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.答:直线AB和棱a所成的角等于(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF=60°,AD=2,连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以答:直线AB和平面Q所成的角为九、解法一:(1)设直线l的方程为y=k(x-2)+1, (i)将(i)式代入双曲线方程,得(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0, (ii)到此,若指出所求轨迹的参数方程是这就是所要求的轨迹方程.(2)设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,整理得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0, (iii)由第二式解出k=2,但k=2不满足第一式,所以(Ⅰ)无解.答:满足题中条件的直线m不存在.解法二:(1)设l的参数方程为其中t是参数,θ为AP的倾斜角.代入所给双曲线方程,整理得:(2cos2θ-sin2θ)t2+2(4cosθ-sinθ)t+5=0.(v)(2)也可用设m的参数方程的方法讨论此问,得出满足条件的直线m不存在的结论.十、证法一:通项公式可写为u k=a k-a k-1b+a k-2b2-…+(-1)k b k因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,于是有证法二:由平面几何知识算出通项公式可写为要证u n=u n-1+u n-2成立,只要证明a n+1-(-1)n+1b n+1=a n-(-1)n b n+a n-1-(-1)n-1b n-1,即a n-1·a2-(-1)n-1b n-1·b2=a n-1·a+(-1)n-1b n-1·b+a n-1-(-1)n-1b n-1, 或或上式确是等式,故证得u n=u n-1+u n-2.。