华师版初中数学九年级下册第29章几何的回顾 29.2 反证法学案

第29章几何的回顾导学案29.1几何问题的处理方法第1课时 几何问题的处理方法【学习目标】1．了解合情推理和逻辑推理是研究几何图形性质的两种基本方法，理解逻辑推理是最终确认几何图形属性的重要方法。

2. 理解和掌握逻辑推理的思维方法及其一般步骤，能用这种思维方法解决具体问题。

【学习重点】理解并掌握逻辑推理的基本方法。

【候课阅读】P83：几何原本。

【学习过程】 一、自主学习阅读课本P71-75，理解探索几何图形性质的常用的两种方法：1、合情推理：通过看一看，画一画，比一比，量一量，算一算，想一想，猜一猜，并在实验、操作中对它们作出解释的方法，其特点是直观感知和操作说理。

如：P72的例子说明“等腰三角形的两个底角相等”2、逻辑推理：常用的方法有归纳法和演绎法。

演绎法：从普遍性结论或一般性事理推导出个别性结论的论证方法。

逻辑推理的方法是研究数学的一个重要的基本方法．逻辑推理需要依据，我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据，因此在第19章中，给出了如下的公理：（1） 一条直线截两条平行直线所得的_______相等．（2） 两条直线被第三条直线所截，如果__________相等，那么这两条直线平行．（3） 如果两个三角形的两边及其夹角（或_____________，或_______）分别对应相等，那么这两个三角形全等．（4） 全等三角形的对应边、对应角分别相等．我们还提到，等式、不等式的有关性质．．．．．．．．．．．以及等量代换．．．．也是逻辑推理的依据．另外也将“经过两点有且只有一条直线”以及“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”作为添加辅助线．．．．．的依据。

我们可以在这些公理与依据的基础上，用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题，并将证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理．．． 二、合作探究阅读P74-75，理解“三角形的内角和等于180°”的探究过程。

第29章几何的回顾29.1 几何问题的处理方法【教学目标】：使学生理解推理证明是判断猜想正确与否的重要手段，明确推理证明所要依据的公理，掌握证明的方法，培养学生逻辑推理能力。

【重点难点】：重点：推理证明的方法和学生逻辑推理能力的培养。

难点：学生逻辑推理能力的培养。

【教学过程】：一、理解为何需要推理证明同学们想一想，我们是如何知道三角形内角和等于180°呢?当时我们通过画不同的三角形，测量出它们的内角，然后算得各个三角形的三个内角和为180°，或将一个三角形的三个内角拼在一起(如图(1)，发现三角形的三个内角的和筹于180°。

用测量的方法能保证每次画出的三角形的内角和正好等于180°吗?用观察的方法能保证三个内角拼成的角一定是平角吗?为了确保精确无误，人们发现以下证明的方法。

二、如何证明一个命题求证：三角形的内角等于180°。

已知：如图(2)，任意△ABC的内角为∠A、∠B、∠C。

求证：∠A+∠B+∠C＝180°。

证明：延长线段AB到D，过B点作BE∥AC。

∵AC＝BE∴∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)∠1＝∠A(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ABC＝180°(平角的定义)∴∠A+∠ABC+∠C＝180°(等量代换)上面的括号里的内容是这一步的依据，所谓推理、证明讲究的是依据，这些依据从哪里来呢?三、推理证明的依据逻辑推理需要依据，我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据。

上面，学习了一些公理(事实)。

(1)一条直线截两条平行线所得的同位角相等。

(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

(3)如果两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边、或三边)分别对应相等，那么这两个三角形全等。

(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等。

等式、不等式的有关性质以及等量代换也是逻辑推理的依据。

第29章几何的回顾29.1 几何问题的处理方法29.1.1 用推理方法研究三角形29.1.2用推理方法研究四边形(1)29.1.3用推理方法研究四边形(2)29.1.4用推理方法研究四边形(3)29.1.5用推理方法研究四边形(4)29.2 反证法29.2.1 证明的再认识(1)29.2.2 证明的再认识(2)第29章几何的回顾29.1 几何问题的处理方法29.1.1 用推理方法研究三角形教学目标知识技能目标1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题．过程性目标在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力．教学重点1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题．教学难点在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力．一、情境导入请同学们按以下步骤画△ABC．1．任意画线段BC；2．以B、C为顶点，在BC的同侧作锐角∠B＝∠C，角的两边交于点A．这个△ABC是一个什么三角形？怎么知道△ABC是一个等腰三角形呢？大家可以用度量或沿AD对折的方法，得到AB＝AC，这实际上就是我们已经学过的等腰三角形的识别方法：等角对等边．同学们是否想过，为什么当△ABC沿AD对折时，AB与AC完全重合？现在我们可以用逻辑推理的方法去证明这个问题．二、探究归纳1．求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．分析要证明AB＝AC，可设法构造两个全等三角形，使AB，AC分别是这两个全等三角形的对应边，因此可画∠BAC的平分线AD．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”说明(1)还可通过画中线AD或BC边上的高AD得全等三角形．(2)推理形式：因为在△ABC中，∠B＝∠C．（已知）所以AB＝AC．（等角对等边）2．同学们回忆一下，我们学过的等腰三角形具有哪些性质？(1)等边对等角；(2)等腰三角形的“三线合一”．以前，我们也用折叠的方法（可演示一下）来认识了这两个性质，现在同学们尝试用逻辑推理的方法来证明等腰三角形的性质．先试着画出图形，写出已知，求证．求证：等腰三角形的两个底角相等．已知：△ABC中，AB＝AC．求证：∠B＝∠C．分析仍可通过画∠BAC的平分线AD来构造全等三角形．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等．（简称为“等边对等角”）推理形式：因为△ABC中，AB＝AC．（已知）所以∠B＝∠C．（等边对等角）说明(1)也可作中线AD或BC边上的高线AD；(2)由△BAD≌△CAD，可进一步推得BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90°，因此AD也是中线，是BC边上的高线．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合．（简写成“等腰三角形的三线合一”）在半透明纸上画∠AOB及角平分线OC，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．沿着射线OC对折，发现PD和PE完全重合，即PD＝PE，由此，我们得到了角平分线的性质．请同学们来叙述这一性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．我们现在可以用逻辑推理的方法去证明这一性质．1.同学们按上述性质画出图形，写出已知、求证，老师及时补充．已知：OC是∠AOB平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足．求证：PD＝PE．分析只要去证明PD、PE所在的两个直角三角形全等。

第29章几何的回顾复习教案一. 教学内容：第29章几何的回顾复习二. 重点、难点：⑴经历一些观察、操作活动，并对获得的数学猜想进行实验验证，体验合情推理的过程，并从数学的角度运用逻辑推理的知识和方法寻求证据、给出证明的过程.⑵了解证明的基本步骤和书写格式，能从“同位角相等，两直线平行”、“两直线平行，同位角相等”等基本事实出发，证明一些简单图形的判定定理和性质定理以及推论，并能简单应用这些结论.⑶会区分命题的条件和结论，通过实例，体会反证法的含义.⑷掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据.三. 知识梳理：㈠几何问题的处理方法逻辑推理的方法是研究数学的一个重要的基本方法．逻辑推理需要依据，我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据，因此给出了如下的公理：⑴一条直线截两条平行直线所得的同位角相等．⑵两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．⑶如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等．⑷全等三角形的对应边、对应角分别相等．㈡用推理的方法研究三角形1. 利用公理，可证得三角形内角和定理及由此推出的多边形内角和定理与三角形外角定理．2. 等腰三角形的识别：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形．等腰三角形的特征：（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．3. 角平分线性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．识别：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．根据上述两条定理，我们很容易证明：三角形三条角平分线交于一点．4. 线段的垂直平分线性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．识别：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．根据上述两条定理，我们很容易证明：三角形三边的垂直平分线交于一点．㈢用推理的方法研究四边形1. 几种特殊四边形的特征2. 几种特殊四边形的常用识别方法【典型例题】例1. 如图所示，在△ABC 中，∠A=50°，如图⑴△ABC 的两条高BD 、CE 交于O 点，求∠BOC 的度数 如图⑵△ABC 的两条角平分线BM 、CN 交于P ，求∠BPC 的度数分析：⑴题中，由高可知有直角，由直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理可求得.⑵题中，由角平分线定义及三角内角和定理可求得∠BPC.21EODCBA21PNMCB A⑴⑵解：⑴方法一：∵∠BDC=90°∴∠1=90°－∠BCA 同理∠2=90°－∠ABC∵∠ABC+∠ACB=180°－50°=130°∴∠BOC=180°－（∠1+∠2）=180°－（90°－∠ABC+90°－∠ACB）=180°－180°+∠ABC+∠ACB=130°方法二：∵BD，CD为△ABC的高∴∠BDA=∠CEA=90°∵∠A=50°∴在四边形AEOD中∠DOE=360°－（90°+90°+50°）=130°∴∠BOC=∠DOE=130°⑵∵BM，CN分别为△ABC的角平分线∴∠1=12∠ABC ∠2=12∠ACB∵∠A=50°∴∠ABC+∠ACB=180°－50°=130°∵∠BPC=180°－（∠1+∠2）=180°－（12∠ABC+12∠ACB）=180°－12（∠ABC+∠ACB）=180°－12×30°=115°题后反思：凡是求角度的题，一般都离不开三角形（多边形）内角和定理，设法利用这些去推出等式关系.题中因涉及到高线，别忘了两锐角互余，遇到角平分线要合理利用其倍分关系.例2. 如图所示，四边形ABCD中，∠A=90°，且AB2+AD2=BC2+CD2.求证：∠B 与∠D 互补.DCB4321DCBA分析：欲证∠B 与∠D 互补，只证∠A 与∠C 互补即可，且知∠A=90°故只证∠C=•90°，根据题设中条件，可利用勾股定理及逆定理证明之，故连结BD ，构造直角三角形.证明：连结BD∵∠A=90° ∴AB 2+AD 2=BD2又∵AB 2+AD 2=BC 2+CD 2. ∴BD 2=BC 2+CD 2∴∠C=90° 在四边形ABCD 中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360° ∴∠ABC+∠ADC=360°－180° 即∠B 与∠D 互补例3. 如图所示，∠B=∠BCD=90°，AD 交BC 于E 且ED=2AC. 求证：∠CAD=2∠DAB.21FEDCB A分析：由于AB ∥CD ，故欲证∠D=∠BAD ，只需证出∠CAD=2∠D 即可.联想构造出以∠D•为底角的等腰三角形，且这个等腰三角形与顶角相邻的外角等于∠CAD ，则问题就解决了.已知ED=2AC ，而AC 与ED 没有直接联系，可在Rt △DCE 中构造斜边DE 上中的线.证明：取DE 中点F 连结CF在Rt △DCE 中DE=2CF=2DF 又已知DE=2AC 所以AC=CF CF=DF 因为∠1=∠D ∠2=∠CAD 所以∠2=∠1+∠D=2∠D 所以∠CAD=2∠D 因为∠B=∠BCD=90°所以AB∥CD 所以∠DAB=∠D所以∠CAD=2∠DAB题后反思：本题还是体现了将分散条件集中：在直角三角形中通过斜边中线构造出线段关系.例4. 已知：如图所示，在ABC中，AB=AC，∠A=120°，•AB•边的垂直平分线交BC 于D.求证：DC=2BD.AE1DB分析：由于DC，BD在同一直线上，欲证DC=2BD，表面看似不易，但题中给出AB•的中垂线，则可以利用中垂线的性质，去转移等量线段.故连结AD，这样BD=•AD，•证明DC=2AD 即可，而DC，AD在同一三角形中，且已知∠A=120°可求∠B=∠C=30°.•将这些问题转化成含30°角的直角三角形性质.证明：连结AD因为D在AB垂直平分线上.所以BD=AD所以∠B=∠1因为∠BAC=120° AB=AC所以∠B=∠C=30°所以∠DAC=90°在Rt△DAC中∠C=30°则DC=2AD所以DC=2BD题后反思：证明一条线段等于另一条线段的2倍，•除了已经学的折平法和加倍法外，还可用含30°角的直角三角形的性质;三角形中位线，•直角三角形斜边中线等方法，见到线段的垂直平分线，就想到利用它转移等量线段.例5. 已知：如图所示，ABCD为菱形，通过它的对角线的交点O作AB，BC的垂线，与AB ，BC ，CD ，AD 分别相交于点E ，F ，G ，H.求证：四边形EFGH 为矩形.HGFEODC BA分析：证明四边形EFGH 为矩形有几个方法.而已知EFGH 的对角线都通过AC ，BD•的交点O ，并且各垂直于菱形的两组对边，所以考虑通过EFGH•的对角线的关系证明EFGH 为矩形.由于OE ⊥AB ，OH ⊥AD ，所以立即看出OE=OH.这样EFGH 明显是矩形了.证明：如图所示，由于OA 平分∠BAD ，并且OE ⊥AB ，OH ⊥AD ，由角平分线的性质知道OE=OH.同理，OE=OF ，OF=OG ，OG=OH.所以EFGH 的对角线EG ，FH 互相平分并且相等，所以EFGH 为矩形.例6. 已知：如图所示，ABCD 为矩形，CE ⊥BD 于点E ，∠BAD•的平分线与直线CE 相交于点F ，求证：CA=CF.分析一：如图所示，由于CA ，CF 是△CAF 的两边，因此要证明CA=CF ，可试证∠CFA=•∠CAF ，由于CF ⊥BD.因此作AG ⊥BD 于点G ，则AG ∥CF ，从而∠CFA=∠FAG.于是问题转化为证明∠FAG=∠CAF.但已知AF 是∠BAD 的平分线，•因此问题又转化为证明∠BAG=•∠CAD.但证明这两个角相等不会有什么困难了.证法一：如图所示，作AG ⊥BD 于点G ，∠BAG 与∠ABD 互余，∠CAD=∠ADB 与∠ABD•互余，所以∠CAD=∠BAG.而AF 平分∠BAD. 所以∠CAF=∠FAG.由于AG ∥CF ， 所以∠CFA=∠FAG ， 从而∠CFA=∠CAF. 所以CA=CF.分析二：证明∠CFA=∠CAF 还可以考虑用计算的方法进行.设∠CAD=∠BDA=a ，则∠ACE=90°－∠COD=90°－2a.而∠CAF=∠DAF －∠CAD=45°－a. 所以∠CFA=45°－a. 从而∠CFA=∠CAF. 问题解决了. 证明：（略）例7. 已知：如图所示，在四边形ABCD 中，AC=BD ，∠BAC=∠ABD ，求证：•四边形ABCD 是等腰梯形.KHD CBA分析：在四边形ABCD 中，AC=BD ，因此只需证明DC ∥AB ，从C ，D 分别向AB 上引垂线段CH ，DK ，只需证明CH=DK.即可利用全等三角形证明.证明：如图，从C ，D 分别向AB 引垂线段CH ，DK.在△ACH 和△BDK 中，AC=BD ，∠HAC=∠KBD ，∠CHA=∠DKB=90°，所以△ACH ≌△BDK.从而CH=DK ，并且CH ∥DK ，所以CDKH•为矩形，从而DC ∥AB ，即ABCD 为梯形.又对角线AC=BD ，所以ABCD 为等腰梯形.例8. 已知：如图所示，四边形ABCD 中，AD=BC ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，•AD 的延长线、BC 的延长线分别与直线MN 相交于点P ，Q.求证：∠APM=∠BQM.分析一：如图（a ），已知M 为AB 的中点，N 为CD 的中点，要求证∠APM=∠BQM ，•因此可考虑用三角形中位线定理.但AB ，CD 并不是同一三角形的边，连结线段AC ，则AB 、CD•分别为△ACD 和△ABC 的边，而AC 是这两个三角形的公共边，若取AC 的中点S ，•连结线段SN ，MS ，则SN 1//2AD ，MS 1//2BC.这时∠SNM=∠APM ，∠SMN=∠BQM ，因此只需证明∠SNM=∠SMN.SM=SN.但因AD=BC ，所以SM=SN.问题得到证明.分析二：如图（b ）若将DN 平移到AE ，平移CN 到BF ，则得平行四边形ADNE 和BCNF.•于是∠ENM=∠APM ，∠FNM=∠BQM ，因此只需证明∠ENM=∠FNM.由于AE //DN ，BF//CN ，所以AE//BF.从而AB 与EF 互相平分于M.在△NEF 中，NE=AD=BC=NF ，而NM 为EF 上的中线，所以∠ENM=∠FNM.问题得到证明.例9. 已知：如图所示，在正方形ABCD 中，∠PAB=∠PBA=15°. 求证：△PCD 是等边三角形.654321PDCBA证明：因为∠PAB=∠PBA=15° 所以∠APB=180°－15°×2=150° 所以∠3+∠4+∠DPC=210°①又∠1=90°－15°=∠2，AD=BC，AP=BP所以△APD≌△BPC所以PD=PC ∠5=∠6故欲证PD=PC=CD，只须证PD=CD.假设PD≠CD，那么PD>CD或PD<CD.当PD>CD=AD时，得∠1>∠3，∠6>∠DPC.所以∠3+∠4<150°②所以由①、②得∠DPC>60°所以∠5+∠6+∠DPC>180°，与三角形内角和定理相矛盾.当PD<CD=AD时，同理可证∠5+∠6+∠DPC<180°，与三角形内角和定理相矛盾，故假设PD≠CD不成立.所以PD=PC=CD.即△PCD是等边三角形.由本例证明过程可以看出，利用反证法证题时，不一定开始就用反证法，•有时先利用直接证法做些必要的准备，然后再运用反证法继续证明.。

华东师大版第二十七章 二次函数教学目标：1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律．2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．重点：解二次函数的有关概念难点：解二次函数的有关概念的应用27．1 二次函数本节知识点通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． 教学过程（1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式．请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索]例1． m 取哪些值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？分析 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：02≠-m m ．解 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02≠-m m ． 解得 0≠m ，且1≠m ．因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数． 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数．探索 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系． 解 （1）由题意，得 )0(62>=a a S ，其中S 是a 的二次函数；（2）由题意，得 )0(42>=x x y π，其中y 是x 的二次函数； （3）由题意，得 10000%98.110000⋅+=x y （x ≥0且是正整数），其中y 是x 的一次函数； （4）由题意，得 )260(1321)26(212<<+-=-=x x x x x S ，其中S 是x 的二次函数． 例3．正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 解 （1）)2150(4225415222<<-=-=x x x S ； （2）当x=3cm 时，189342252=⨯-=S （cm 2）． [当堂课内练习]1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）02=-x y （2）2)1()2)(2(---+=x x x y（3）xx y 12+= （4）322-+=x x y 2．当k 为何值时，函数1)1(2+-=+kkx k y 为二次函数？3．已知正方形的面积为)(2cm y ，周长为x （cm ）． (1)请写出y 与x 的函数关系式； (2)判断y 是否为x 的二次函数． [本课课外作业]A 组1． 已知函数72)3(--=mx m y 是二次函数，求m 的值．2． 已知二次函数2ax y =，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y 的值．3． 已知一个圆柱的高为27，底面半径为x ，求圆柱的体积y 与x 的函数关系式．若圆柱的底面半径x 为3，求此时的y ．4． 用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积y 与它的半径x 之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围．B 组5．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A ．22)1(x m y -= B ．22)1(x m y += C ．22)1(x m y += D ．22)1(x m y -= 6．下列函数关系中，可以看作二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）模型的是 （ ）A ． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B ． 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C ． 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D ． 圆的周长与圆的半径之间的关系课堂小结：教学反思：27． 2 二次函数的图象与性质（1）教学目标：1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．重点：二次函数的图象与性质 难点：二次函数的图象与性质本节要点会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． 教学过程：我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数xy 3=的图象分别是 、 ，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？（1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？（2）观察函数2x y =的图象，你能得出什么结论？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22x y = （2）22x y -=解 列表x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y =…18 8 2 0 2 8 18 … 22x y -= …-18-8-2-2-8-18…分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：22x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例2．已知42)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．解 （1）由题意，得⎩⎨⎧>+=-+02242k k k ， 解得k=2．（2）二次函数为24x y =，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴．例3．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2．（1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意，得)0(1612>=C C S ． 列表：C24 68 (2)161C S =41 149 4…描点、连线，图象如图26．2．2．（2）根据图象得S=1 cm 2时，正方形的周长是4cm ． （3）根据图象得，当C ≥8cm 时，S ≥4 cm 2． 回顾与反思（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． [当堂课内练习]1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）23x y = （2）23x y -= （3）231x y = 2．（1）函数232x y =的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； （2）函数241x y -=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．3．已知等边三角形的边长为2x ，请将此三角形的面积S 表示成x 的函数，并画出图象的草图． [本课课外作业]A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1）24x y -= （2）241x y = 2．填空：（1）抛物线25x y -=，当x= 时，y 有最 值，是 ． （2）当m= 时，抛物线mm x m y --=2)1(开口向下．（3）已知函数1222)(--+=k k x k k y 是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y 随x 的增大而增大．3．已知抛物线102-+=k kkx y 中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值； （2）作出函数的图象（草图）．4．已知抛物线2ax y =经过点（1，3），求当y=9时，x 的值．B 组5．底面是边长为x 的正方形，高为0．5cm 的长方体的体积为ycm 3．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm 3时底面边长x 的值；（4）根据图象，求出x 取何值时，y ≥4．5 cm 3．6．二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．（1）求a 、b 的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小． 27． 一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过M （-2，2）． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；（2）写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标，并求出⊿MON 的面积．课堂小结：教学反思：27．2 二次函数的图象与性质（2）教学目标：1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．重点：二次函数的图象与性质 难点：二次函数的图象与性质本节知识点会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． 教学过程同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？，你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？ ． [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与222+=x y 的图象． 解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．回顾与反思 当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗？x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y = … 18 8 2 0 2 8 18 … 222+=x y…20104241020…例2．在同一直角坐标系中，画出函数12+-=x y 与12--=x y 的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=x y 得到抛物线12--=x y ． 解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．可以看出，抛物线12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得到的．回顾与反思 抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的．探索 如果要得到抛物线42+-=x y ，应将抛物线12--=x y 作怎样的平移？例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与221x y =相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标为（0，-2）， 因此所求函数关系式可看作)0(22>-=a ax y ， 又抛物线经过点（1，1）， 所以，2112-⋅=a ， 解得3=a ．x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 12+-=x y … -8 -3 0 1 0 -3 -8 … 12--=x y…-10-5-2-1-2-5-10…故所求函数关系式为232-=x y ．回顾与反思 k ax y +=2（a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：[当堂课内练习]1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：221x y =， 2212+=x y ， 2212-=x y ． 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线k x y +=221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2．抛物线9412-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的．3．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．[本课课外作业]A 组1．已知函数231x y =， 3312+=x y ， 2312-=x y ． （1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）试说出函数5312+=x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 2． 不画图象，说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数241x y -=通过怎样的平移得到的．3．若二次函数22+=ax y 的图象经过点（-2，10），求a 的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？B 组4．在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )5．已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式．课堂小结：教学反思：27．2 二次函数的图象与性质（3）教学目标：1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．重点：二次函数的图象与性质 难点：二次函数的图象与性质本节知识点会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． 教学过程我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)2(21+=x y ，2)2(21-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解 列表．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是 （0，0），（-2，0），（2，0）． 回顾与反思 对于抛物线2)2(21+=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-=x y ，应将抛物线221x y =作怎样的平移？x… -3 -2 -1123…221x y = (2)922121229…2)2(21+=x y (2)1212225 8225…2)2(21-=x y …225829 22121…例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗?解 抛物线23x y -=的顶点坐标为（0，0）；抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2，0）．因此，抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴和直线2-=x ．抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向左平移2个单位而得的．回顾与反思 2)(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：[当堂课内练习]1．画图填空：抛物线2)1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．[本课课外作业]A 组1．已知函数221x y -=，2)1(21+-=x y ， 2)1(21--=x y ． （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质．2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线221x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(21--=x y 3．函数2)1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．4．不画出图象，请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系．B 组5．将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点 （1，3），求a 的值．课堂小结：教学反思：27．2 二次函数的图象与性质（4）教学目标：1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．重点：二次函数的图象与性质 难点：二次函数的图象与性质本节知识点1．掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律；2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． 教学过程由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=x y 的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=x y 的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？ [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)1(21-=x y ，2)1(212--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解 列表．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．探索 你能说出函数2)(h x a y -=+k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．2)(h x a y -=+k开口方向对称轴顶点坐标 0>a0<a例2．把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、cx… -3-2 -10 12 3…221x y = (2)9 221 021 229… 2)1(21-=x y … 8 29 2 21 0 21 2 … 2)1(212--=x y …625 023- -223- 0…的值．分析 抛物线2x y =的顶点为（0，0），只要求出抛物线c bx x y ++=2的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b 、c 的值．解 c bx x y ++=2c b b bx x +-++=442224)2(22b c b x -++=． 向上平移2个单位，得到24)2(22+-++=b c b x y ， 再向左平移4个单位，得到24)42(22+-+++=b c b x y ， 其顶点坐标是)24,42(2+---b c b ，而抛物线2x y =的顶点为（0，0），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--0240422b c b解得 ⎩⎨⎧=-=148c b探索 把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线c bx x y ++=2．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．[当堂课内练习]1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = （ ）A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 2．把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ． 3．抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到．[本课课外作业]A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．23x y -=，2)2(3+-=x y ，1)2(32-+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．将抛物线522++-=x x y 先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．3．将抛物线23212++-=x x y 如何平移，可得到抛物线32212++-=x x y ？ B 组4．把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线532+-=x x y ，则有 （ ）A ．b =3，c=7B ．b= -9，c= -15C ．b=3，c=3D ．b= -9，c=215．抛物线c bx x y ++-=23是由抛物线132+--=bx x y 向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b 、c 的值．6．将抛物线)0(2≠=a ax y 向左平移h 个单位，再向上平移k 个单位，其中h ＞0，k ＜0，求所得的抛物线的函数关系式．课堂小结：教学反思：27．2 二次函数的图象与性质（5）教学目标：1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．重点：二次函数的图象与性质 难点：二次函数的图象与性质 本节知识点1．能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．会利用对称性画出二次函数的图象． 教学过程我们已经发现，二次函数1)3(22+-=x y 的图象，可以由函数22x y =的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数1)3(22+-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函数，如232-+-=x x y ，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？ [实践与探索]例1．通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图． 解 6422++-=x x y[]8)1(261)1(26)112(26)2(22222+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）． 由对称性列表：x…-2-1 01234…回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索 对于二次函数c bx ax y ++=2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ．例2．已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y 轴上，则顶点的横坐标等于0．解 9)2(2++-=x a x y 4)2(9)22(22+-++-=a a x ， 则抛物线的顶点坐标是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+4)2(9,222a a ．当顶点在x 轴上时，有 022=+-a ， 解得 2-=a ．当顶点在y 轴上时，有 04)2(92=+-a ， 解得 4=a 或8-=a ．所以，当抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上时，a 有三个值，分别是 –2，4，8． [当堂课内练习]1．（1）二次函数x x y 22--=的对称轴是 ．（2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小． （3）抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ． 2．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a 、c 的值是多少？ [本课课外作业]A 组1．已知抛物线253212+-=x x y ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象． 2．利用配方法，把下列函数写成2)(h x a y -=+k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）162++-=x x y（2）4322+-=x x y（3）nx x y +-=2（4）q px x y ++=23．已知622)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．B 组4．当0<a 时，求抛物线22212a ax x y +++=的顶点所在的象限．5. 已知抛物线h x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上，求抛物线的顶点坐标．课堂小结：教学反思：27．2 二次函数的图象与性质（6）教学目标：1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．重点：二次函数的图象与性质 难点：二次函数的图象与性质本节知识点1．会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大或最小值；2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值． 教学过程在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？在这个问题中，设每件商品降价x 元，该商品每天的利润为y 元，则可得函数关系式为二次函数2000100102++-=x x y ．那么，此问题可归结为：自变量x 为何值时函数y 取得最大值？你能解决吗?[实践与探索]例1．求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ．分析 由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解 （1）二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2＞0， 因此抛物线5322--=x x y 有最低点，即函数有最小值．因为5322--=x x y =849)43(22--x ， 所以当43=x 时，函数5322--=x x y 有最小值是849-． （2）二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1＜0， 因此抛物线432+--=x x y 有最高点，即函数有最大值．因为432+--=x x y =425)23(2++-x ，所以当23-=x 时，函数432+--=x x y 有最大值是425． 回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．探索 试一试，当2．5≤x ≤3．5时，求二次函数322--=x x y 的最大值或最小值．例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表：x （元） 130 150 165 y （件）705035若日销售量y 是销售价x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量． 解 由表可知x+y=200，因此，所求的一次函数的关系式为200+-=x y ． 设每日销售利润为s 元，则有1600)160()120(2+--=-=x x y s ．因为0120,0200≥-≥+-x x ，所以200120≤≤x ．所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元．回顾与反思 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．例3．如图26．2．8，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ，设DE=x ，DF=y ．（1）用含y 的代数式表示AE ；（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系，并求出S 的最大值． 解 （1）由题意可知，四边形DECF 为矩形，因此y DF AC AE -=-=8．（2）由DE ∥BC ，得AC AE BC DE =，即884yx -=， 所以，x y 28-=，x 的取值范围是40<<x ．（3）8)2(282)28(22+--=+-=-==x x x x x xy S ， 所以，当x=2时，S 有最大值8．[当堂课内练习]1．对于二次函数m x x y +-=22，当x= 时，y 有最小值．2．已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关系是 （ ）A ．a ＜bB ．a=bC ．a ＞bD ．不能确定3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？[本课课外作业]A 组1．求下列函数的最大值或最小值．（1）x x y 22--=； （2）1222+-=x x y ． 2．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．，3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：)300(436.21.02≤≤++-=x x x y ．y 值越大，表示接受能力越强．（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第10分时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分时，学生的接受能力最强？B 组 4．不论自变量x 取什么数，二次函数m x x y +-=622的函数值总是正值，求m 的取值范围． 5．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2． （1）求S 与x 的函数关系式；（2）如果要围成面积为45 m 2的花圃，AB 的长是多少米？ （3）能围成面积比45 m 2更大的花圃吗？如果能，请求出 最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．6．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，线段EF 在对角线AC 上，EG ⊥AD ，FH ⊥BC ，垂足分别是G 、H ，且EG+FH=EF ． （1）求线段EF 的长；（2）设EG=x ，⊿AGE 与⊿CFH 的面积和为S ， 写出S 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围， 并求出S 的最小值．课堂小结：教学反思：。

课题:29.2反证法课时安排:2课时教材分析:反证法也是一种重要的证明方法,教材中通过简单的例子,使学生了解反证法的证明步骤,体会反证法的思想.教学目标：通过具体例子，使学生体会反证法证明命题的方法，了解反证法的步骤，能初步应用反证法证明一些简单的命题。

教学重点、难点：重点：体会反证法证明命题的思路方法难点：用反证法证明简单的命题教学方法：启发引导,举例说明教学过程：一、用具体例子让学生体会反证法的思路思考：在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°。

求证；a2＋b2≠c2。

有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法。

假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的。

所以a2＋b2≠c2是正确的。

二、由上述的例子归纳反证法的步骤1．假设命题的结论的反面是正确的；2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、巳证的定理、定义或已知条件矛盾；3．由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论是正确的。

三、例题与练习例1．已知：如图，设点A、B、C在同一条直线l上。

求证：经过A、B、C三点不能作一个圆。

分析：按照反证法的步骤，先假设过A、B、C三点可以作一个圆，然后由这个假设出发推下去，得出矛盾．证明：假设过A、B、C三点可以作圆，设这个圆的圆心为O，显然A、B、C三点在这个圆上，所以OA＝OB＝OC，由线段的垂直平分线的判定定理可以知道，O点既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，也就是说，O点是l1和l2的交点，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。

所以，过同一条直线上的三点不能作圆。

例2．求证；在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

已知；△ABC。

求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。