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BS模型知识点总结BS模型的主要假设是市场上不存在套利机会，证券价格服从对数正态分布，无风险利率和证券价格的波动率是已知的且恒定的。
在这些假设下，BS模型提供了一种确定期权价格的数学方法，以及为了对冲风险和进行套利交易而构建的策略。
BS模型对期权价格的影响因素包括标的资产价格、期权执行价格、无风险利率、标的资产价格的波动率和期权到期时间。
BS模型的主要公式如下：C = S0N(d1) - Xe^(-rt)N(d2)P = Xe^(-rt)N(-d2) - S0N(-d1)其中，C表示欧式看涨期权的价格，P表示欧式看跌期权的价格，S0表示标的资产的当前价格，X表示期权的执行价格，r表示无风险利率，t表示期权到期时间，N(d1)和N(d2)表示标准正态分布的累积分布函数，d1和d2分别表示：d1 = (ln(S0/X) + (r + 0.5*σ^2)*t) / (σ*√t)d2 = d1 - σ*√t其中，σ表示标的资产价格的波动率。
BS模型的知识点总结：1. BS模型的假设：BS模型的有效运用建立在一系列假设的基础上，包括市场上不存在套利机会、证券价格服从对数正态分布、无风险利率和证券价格的波动率是已知的且恒定的等。
2. 期权价格与影响因素：BS模型对期权价格的影响因素主要包括标的资产价格、期权执行价格、无风险利率、标的资产价格的波动率和期权到期时间。
这些因素的变动会直接影响期权价格的变化。
3. BS模型的主要公式：BS模型的主要公式包括欧式看涨期权和欧式看跌期权的定价公式。
根据这两个公式，投资者可以根据期权的相关参数计算出期权的价格。
4. 期权的对冲和套利策略：BS模型不仅提供了期权价格的计算公式，还为投资者提供了对冲和套利的策略。
通过对冲风险，投资者可以降低风险，并能够利用套利机会来获取收益。
5. BS模型的局限性：虽然BS模型在期权定价领域有着广泛的应用，但它也存在一些局限性。
例如，BS模型的假设可能无法完全适用于市场实际的情况，导致模型的预测不准确；此外，BS模型对于美式期权的定价并不适用。
第六章 Black-Scholes 期权定价模型我们在第五章用二叉树定价方法介绍了动态无套利均衡分析方法并引入了风险中性假设。
本章将通过介绍Black-Scholes 期权定价模型来深化这些概念。
在该模型中我们假设标的资产遵循几何布朗随机过程（这是一个特殊的马尔可夫过程）。
因此在讨论之前，我们必须作一些有关概念和数学知识的准备。
一、预备知识（一）正态和对数正态分布1、均值为μ，方差为σ2的正态分布随机变量x 的密度函数为：)2)(exp(21)(22σμσπ--=x x f ⑴如果正态变量的均值为0，方差为1，则称为标准正态随机变量，它的密度于分布函数分别为n(x )和N (x )表示，这里2221)(xex n -=πdt ex N xt⎰∞--=2221)(π2、如果x 是均值为x μ，方差为2x σ的正态分布变量，那么称x e Z =是对数正态分布的，其中)2exp(2xx Z σμμ+=且]1))[exp(2exp(222-+=x x x Z σσμσ。
证明：由于x ～),(2xx N σμ，则x 的密度函数为)2)(exp(21)(22xx xx x f σμσπ--=又因为x e Z =，则Z 的密度函数为)2)(ln exp(21])([ ))(()(2211xx x Z ZZ g Z g f Z g σμσπ--='=--。
Z 的截断均值，定义为):(a Z Z E >，其值为：)ln ()2exp()(1)2exp( )22)]([exp(21)2)(exp(2 )( )():(2ln 222ln 24222ln 22x xx xx axxx xxx ax xxx x x x a xx xxxaa N dx x n dx x dx x ee Z dZ Z Zg a Z Z E σσμσμσσμσσμσσσμσμσπσμσπ+-+=--+=--+--=--===>⎰⎰⎰⎰∞+∞+∞++∞当0→a 时，截断均值成为普通的均值，则对数正态变量Z 的均值即为：)2exp(2xx Z σμμ+= （2）其中)()(x N x n 和分别表示为标准正态分布的密度和分布函数。
布莱克-斯科尔斯公式摘要：1.布莱克- 斯科尔斯公式的定义和背景2.布莱克- 斯科尔斯公式的推导过程3.布莱克- 斯科尔斯公式的应用领域4.布莱克- 斯科尔斯公式在我国的发展和影响正文：【1.布莱克- 斯科尔斯公式的定义和背景】布莱克- 斯科尔斯公式，简称BS 公式，是由美国金融学家费舍尔·布莱克和迈克尔·斯科尔斯于1973 年提出的。
该公式主要用于估算欧式期权的理论价格，是现代金融学领域的一项重要成果。
在BS 公式提出之前，期权的定价问题一直是金融界的难题，BS 公式的诞生为金融市场带来了革命性的变革。
【2.布莱克- 斯科尔斯公式的推导过程】布莱克- 斯科尔斯公式的推导过程基于以下几个关键假设：1) 股票价格遵循几何布朗运动；2) 无风险利率为常数；3) 市场无摩擦，即不存在交易成本等影响。
在这些假设下，布莱克和斯科尔斯运用了随机微分方程和风险中性定价原理，最终得到了欧式期权价格的表达式。
【3.布莱克- 斯科尔斯公式的应用领域】布莱克- 斯科尔斯公式在金融领域的应用非常广泛，主要体现在以下几个方面：1) 期权定价：BS 公式为金融机构提供了一种科学、有效的期权定价方法，有助于降低交易成本和风险。
2) 风险管理：BS 公式为投资者提供了一种衡量期权风险的工具，有助于优化投资组合。
3) 金融产品创新：BS 公式为金融市场带来了丰富的衍生品交易，如期权、期货等，为投资者提供了更多的投资机会。
【4.布莱克- 斯科尔斯公式在我国的发展和影响】自20 世纪90 年代以来，我国金融市场取得了快速发展。
布莱克- 斯科尔斯公式在我国也得到了广泛应用，为我国金融市场的繁荣和稳定做出了贡献。
一方面，我国金融机构运用BS 公式进行期权定价和风险管理，提高了金融服务水平；另一方面，我国政府借鉴BS 公式的原则，加强金融市场监管，保障金融市场安全。
B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件(一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
(二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式[1]C = S * N(d1) − Le− rT N(d2)其中:C—期权初始合理价格L—期权交割价格S—所交易金融资产现价T—期权有效期r—连续复利计无风险利率Hσ2—年度化方差N()—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。
r0必须转化为r方能代入上式计算。
两者换算关系为:r = ln(1 + r0)或r0=Er-1。
例如r0=0.06，则r=ln(1+0.06)=0.0583，即100以5.83%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。
第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。
如果期权有效期为100天，则。
B-S定价模型的推导与运用[1](一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是:E[G] = E[max(St− L,O)]其中，E[G]—看涨期权到期期望值St—到期所交易金融资产的市场价值L—期权交割(实施)价到期有两种可能情况:1、如果St > L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且max(S t− L,O) = S t− L2、如果St < L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有:max(St− L,O) = 0从而:其中:P：(St > L)的概率E[S t | S t > L]：既定(S t > L)下S t的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:C = Pe− rT(E[S t | S t > L] − L)这样期权定价转化为确定P和E[S t | S t > L]。
第四讲BS期权定价模型统计与管理学院第四讲BS期权定价模型第一节BS期权定价模型的基本思路第二节BS期权定价公式第三节BS期权定价公式的精确度评价与拓展第一节BS期权定价模型的基本思路股票价格服从的随机过程由It ô引理可得期权价格相应服从的随机过程dS Sdt SdWm s =+222212f f f fdf S S dt SdWS t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷=+++ç÷ç÷綶¶¶èø第一节BS期权定价模型的基本思路BS微分方程BS期权定价公式222212f f frS S rft S S s ¶¶¶++=¶¶¶()()()12r T t c SN d Xe N d --=-第二节BS期权定价公式一、模型基本假设二、BS方程的推导三、风险中性定价原理四、BS期权定价公式的推导五、BS期权定价公式的参数估计一、假设证券价格遵循几何布朗运动，即µ和σ为常数 允许卖空标的证券没有交易费用和税收，所有证券都完全可分 衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 不存在无风险套利机会证券交易是连续的，价格变动也是连续的衍生证券有效期内，无风险利率r为常数二、BS微分方程的推导由于假设股票价格S遵循几何布朗运动，因此在一个小的时间间隔∆t中，S的变化值∆S为dS Sdt SdWm s =+S S t S Wm s D =D +D二、BS微分方程的推导设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S 和t的函数，根据伊藤引理可得：在一个小的时间间隔∆t中，f的变化值∆f满足：222212f f f f df S S dt SdW S t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷=+++ç÷ç÷綶¶¶èø222212f f f f f S S t S W S t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷D =++D +D ç÷ç÷綶¶¶èø二、BS微分方程的推导为了消除风险源∆W，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。
Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是一种能用来计算股票期权价格的数学模型。
它是由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯于20世纪70年代初提出的，因此得名。
该模型的基本假设是市场条件持续稳定，且不存在利率和股票价格变动的趋势。
此外，它还假设股票价格服从几何布朗运动，即价格的波动是随机的。
根据这些假设，Black-Scholes模型将股票价格与利率、期权行权价、到期时间以及波动率等因素联系起来，以计算期权的合理价格。
Black-Scholes模型的公式为：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C为期权的价格，S_0为股票的当前价格，N(d1)和N(d2)分别为标准正态分布函数的值，X为期权的行权价，r为无风险利率，T为期权的到期时间。
d1和d2是通过一系列数学计算得出的。
利用Black-Scholes模型，投资者可以根据个人的风险偏好和市场条件来评估一个期权的合理价格。
它对市场参与者来说是一种有用的工具，因为它能够帮助他们理解和衡量期权的价值。
然而，Black-Scholes模型也存在一些局限性。
首先，它假设市场条件持续稳定，而实际上市场是非常复杂和动态的。
其次，它假设股票价格服从几何布朗运动，这在现实中并不总是成立。
另外，模型中的波动率是一个固定的参数，而实际上波动率是随着时间和市场条件的变化而变化的。
因此，在使用Black-Scholes模型时，投资者需要慎重考虑其局限性，并结合其他因素和分析来作出投资决策。
此外，人们也一直在尝试改进这个模型，以更好地适应实际市场的复杂性和动态性。
Black-Scholes期权定价模型是金融领域中最著名的定价模型之一。
它提供了一个基于几何布朗运动的股票价格模型，可以计算欧式期权的合理价格。
该模型的公式给出了欧式期权的理论价格，而不考虑市场上的任何其他因素。
Black-Scholes模型的創始人费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年发布了这一模型，并以此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
BS期权定价公式Black-Scholes期权定价模型基于七个假设条件，其中包括股票价格遵循几何布朗运动、没有交易费用和税收、资产价格变动连续而均匀、标的资产可以自由买卖、无风险利率保持不变、股票不支付股利以及所有无风险套利机会均被消除。
这些假设条件为Black-Scholes期权定价公式提供了基础。
Black-Scholes期权定价公式适用于无收益资产欧式看涨期权，由Black和Scholes得到。
该公式包括微分方程和定价公式，其中微分方程描述了期权价格的变化规律，而定价公式则可用于计算无收益资产欧式看涨期权价格。
该公式中，d1和d2分别表示期权价格与股票价格之比和无风险利率、波动率、期权到期时间和当前时间之差的函数，N(x)为标准正态分布变量的累计概率分布函数。
Black-Scholes期权定价公式的理解需要对其中的参数和变量有深入的了解。
其中，波动率是期权价格的主要影响因素之一，期权价格随着波动率的增加而增加。
另外，无风险利率也是影响期权价格的重要因素，期权价格随着无风险利率的增加而增加。
同时，期权价格也受到期权到期时间和股票价格之比的影响。
通过对这些参数和变量的深入理解，投资者可以更好地利用Black-Scholes期权定价模型进行期权定价和风险管理。
1.Black-Scholes期权定价公式用于不支付股利的欧式看涨期权的定价。
该公式的前提条件是市场完美（无税、无交易成本、资产无限可分、允许卖空）、无风险利率保持不变、股价遵循几何布朗运动等。
在该公式中，SN(d1)可视为证券或无价值看涨期权的多头，Ke-r(T-t)N(d2)可视为K份现金或无价值看涨期权的多头。
为了构造一份欧式看涨期权，需要持有N(d1)份证券多头，并且卖空数量为Ke-rTN(d2)的现金。
2.风险中性定价原理表明，期权价格与标的资产的预期收益率无关。
欧式Call的价格与投资者的风险偏好无关。
在欧式Call定价时，可以假设投资者是风险中性的，即对所承担的风险不要求额外回报，所有证券的期望收益率等于无风险利率。
Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动，即dz dt SdS σμ+=。
其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
μ和σ都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
二、Black-Scholes 期权定价模型（一）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：rf S f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
BLACK-SCHOLES期权定价模型Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克-斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础，特别是为评估组合保险成本、可转换债券定价及认股权证估值等提供了依据。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式（看涨和看跌）。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型（含红利的）。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
(一)B-S模型有5个重要的假设1、金融资产收益率服从对数正态分布；（股票价格走势遵循几何布朗运动）2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；4、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施；5、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
(二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S 定价公式)()(21d N Le d SN c rT --=其中:C —期权初始合理价格L —期权交割价格S —所交易金融资产现价T —期权有效期r —连续复利计无风险利率2σ—年度化方差（波动率）N()—正态分布变量的累积概率分布函数，（标准正态分布 μ=0）在此应当说明两点： 第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
B-S 模型专门用来解决期权或权证这类衍生品的定价问题。
模型的假设条件主要有：
（1）资产价格的运动可以用对数正态分布描述；
（2）资产收益率的变化属于正态分布；
（3）模型使用的无风险利率在相应投资期内为常数；
（4）市场没有摩擦，无需支付税收或交易成本；
（5）期权为欧式期权，除非在到期日才能执行；
（6）投资者在市场中不能进行无风险套利；
（7）市场允许投资者根据个人选择进行卖空。
从这些假设出发，B-S 模型推导出期权价格是股票价格、股价波动率、无风险利率、期权执行价格和距到期曰剩余时间这五个变量的函数，并得出适用于无收益资产欧式看涨期权的一个微分方程：
rf S
f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ （3-3）
f:期权价格；S:当前时刻股票价格；r 无风险利率；t:当前时刻
求解该微分方程，即可得到在无收益条件下买入期权的定价公式： （3-
4）
c:期权理论价格；X:期权执行价格；T:到期时刻
其中，服从标准正态分布的d 1、d 2的数值由下列公式确定，公式中字母含义与上文一致。
t T d t
T t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=
σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln( （3-5）
)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=。
