命题、联结词、命题公式与真值表

第二节 命题公式及其真值表在上节中，用,,p q r L 表示确定的简单命题。

简单命题又称为命题常项或命题常元。

命题常项有确定的真值。

在数理逻辑中，不仅要研究具体的逻辑关系，还要研究抽象的逻辑关系，因而不仅要有命题常项，还要有命题变项。

称真值可以变化的简单陈述句为命题变项或命题变元，仍然用,,p q r L 表示命题的变项。

命题常项、命题变项及联结词可按下述定义合式的公式。

定义2.1 （1）单个的命题变项（或常项）是合式公式；（2）若A 是合式公式，则（¬A ）也是合式公式；（3）若A ，B 是合式公式，则（A ∧B ），（A ∨B ），（A →B ），（A ↔B ）也是合式公式；（4）有限次地应用（1）～（3）形成的符号串都是合式公式。

这样定义的合式公式也称为命题公式，简称公式。

单独使用（¬A ），（A ∧B ），（A ∨B ），（A →B ），（A ↔B ）时，外层括号可以省去，即可写成¬A ，A ∧B ，A ∨B ，A →B ，A ↔B 。

在定义 2.1.中出现的A ，B L 是用来表示任意的合式公式的。

在以下的论述中出现的A ，B ，C 等也同样是用来表示任意公式的。

定义2.2 设1p ，2p L ，n p 是出现在公式A 中的全部的命题变项，给1p ，2p L ，np 各指定一个真值，称为A 的一个赋值或解释。

若指定的一组真值使A 的真值为1，则称这组真值为A 的成真赋值（或成真解释）。

若指定的一组真值使A 的真值为0，则称这组真值为A 的成假赋值（或成假解释）。

本书中对含n 个命题变项的公式的赋值形式做如下规定：（1）设A 中含的命题变项为1p ，2p L ，n p ，赋值12n a a a L （i a 为0或1）是指11p a =，22p a =，L ，n n p a =。

（2）若出现在A 中的命题变项为p ，q ，r ，L ，赋值12n a a a L 是指1p a =，2q a =，L ，即按字典顺序赋值。

2 命题公式,真值表(1) 数理逻辑是通过引入表意符号研究人类思维中的推理过程及推理正确与否的数学分支.数学------⎧⎨⎩符号运算推理---思维过程:前提结论命题逻辑---研究由命题为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系.(逻辑演算) 即将推理(不涉及内函)形式化.例1 (a) 4是偶数.张林学习优秀.太阳系以外的星球上有生物.(b) 这朵花真美丽!现在开会吗?(c) 3 5.x +>我正在说慌.特征分析(a) 陈述句,非真即假.(b) 感叹句,疑问句.(c) 悖论.定义1 能辩真假的陈述句,称为命题,用,,,P Q Z 表示.其判断结果称为命题的真值.成真的命题称为真命题,其真值为真,记为,T 或为1.成假的命题称假命题,其真值为假,记为,F 或为0.例2 (1) 2008年奥运会在北京举行.(2) 22 5.⨯=(3) 计算机程序的发明者是诗人拜伦.用符号表是上述命题,并求真值.解 (1) :P 2008年奥运会在北京举行. .T(2) :Q 22 5.⨯= .F(3) :R 计算机程序的发明者是诗人拜伦. .F(2) 3, 35,+ 3(41).+- 例3 (1) 今天没有数学考试.(2) 下午,我写信或做练习.(3) 王芳不但用功,而且成绩优秀.(4) 如果太阳从西边出来了,那么地球停止转动.(5) 2是素数,当且仅当三角形有三条边.特征分析(a)存在自然语言中的虚词.(b)语句可以分解,细化.定义2 称下列符号为逻辑联结词否定 ⌝ 非 P ⌝析取 ∨ 或者 P Q ∨合取 ∧ 且 P Q ∧蕴涵 → 若----,则----- P Q →等价 ↔ 当且仅当 P Q ↔逻辑联结词真值的规定例4 将下列命题符号化.(1) 小李聪明,但不用功. ()P Q ∧⌝(2) 单位派小王或小苏出差. P Q ∨(3) 如果椅子是紫色的,且是园的,那么地是平的. ()P Q R ∧→ (4) n 是偶数当且仅当它能被2整除. P Q ↔注 1 逻辑联结词:运算符.顺序 ,,,,.⌝∧∨→↔2 自然语言中 虽然---,但是----; 不但---,而且----; ∧只有----,才----; 除非----,才-----; →3 ∨ 可兼或(相容) ∨ 不可兼或(排斥)小王是山东人或是河北人. ()()P Q P Q P Q ∨⇔∧⌝∨⌝∧4 ,P Q -----------------------简单命题()P Q R ∨→-----------复合命题(由简单命题及逻辑联结词按一定规则组成)5 复合命题的真值由简单命题和逻辑联结词真值规定共同确定.“若雪是黑的,那么太阳从西边出来了.”P :雪是黑的. :Q 太阳从西边出来了.P Q → 真值 为 T6 蕴含联结词的真值规定解释“若天下雨,那么我带伞.”何时自食其言.前件:P 天下雨.后件:Q 我带伞.则有命题 P Q → 仅当天下雨,我没有带伞时才自其言，即当前件为T ，后件为F 时，命题才为F .对应的真值情况如下:(3) 3,;43;ππ-221, 5.;23;24|x y x x y x y ==++-定义3 真值确定的命题,称为命题常元1,0,否则为命题变元,记号仍用,.P Q命题公式是由按下列规则生成的符号串(1)命题常元是命题公式(2)命题变元是命题公式(3)若,P Q 是命题公式,则,,,,P P Q P Q P Q P Q ⌝∨∧→↔也是命题公式.(4)有限次运用(1),(2),(3)得到的字符串也是命题公式.注 1 递归定义.():,,,().P Q R P P P Q P Q R ⌝→∧⌝⌝→⌝→∧2 ,(()Q P Q ∧∨不是命题公式.(4) 定义4 命题公式中,命题变元的一组确定的真值,称为该公式的一个真值指派.真值指派的全体构成的表,称为该公式的真值表.注 命题公式12(,,,)n A P P P 一共有2n 个真值指派.例5 求命题公式()Q P Q P ∧→→的真值表.解(5) 22sin cos 1,arcsin 2,30.x x x x +=≥+>例6 讨论下列命题公式的真值情况.(),P P Q ⌝→→ (),P Q P ∧∧⌝ ().P P Q ∨⌝→ 解定义5 命题公式12(,,,)n A P P P 在2n 个真值指派下其值⎧⎪⎨⎪⎩永真永假至少有一个真 称A 为重言式矛盾式可满足式(1) 数理逻辑、命题逻辑研究的内容。

第一章命题与命题公式第01讲命题与命题联结词(一)1.1命题与命题联结词选择题考点1.1.1命题与命题的表示推理：由一个或几个已知的前提，推导出一个未知结论的思维过程。

真值：表达这些前提的陈述句是否成立的一个属性。

＞＞当陈述句成立时，其真值为真，表示为T(TrUe)。

例：地球是行星。

＞＞当陈述句不成立时，其真值为假，表示为F(Fa1Se)。

例：2是无理数。

命题：具有唯一真值的陈述句称作命作，也称为语句。

*疑问句、句叹句、祈使句等都不能构成命题。

≥＞真值为真的命题一真血题»真值为假的命题一假命题例：判断下列句子中哪些构成命题。

①8不是素数；√②雪是黑的；√③到2049年世界人口将超过90亿；√④喜马拉雅山好高啊！X⑤x+1=2°X总结:.判断命题的两个条件»语句本身是个陈述句；＞＞它有唯一的真值。

命题的表示＞＞命题可用大小写英文字母或字母加数字的形式来表示。

例：P或p；P1或Ch»命题为真时，其真值用T或“1”表示。

＞＞命题为假时，其真值用“F”或“0”表示。

例：P：所有的素数都是奇数。

真值为FQ：6是一个合数。

真值为T【单选题】下列句子不是命题的是()。

A.中华人民共和国的首都是北京B.张三是学生C.雪是黑色的D.太好了「正确答案」D「答案解析」D选项不是陈述句，故不是命题。

参见教材PI8。

1.1.2复合命题与联结词原子命题/简单命题：不能再分解的命的。

例：张三是学生。

8不是素数。

复合命题：由原子命题通过联结词联结而成的命题。

例：如果今年有假期，我将去欧洲旅游。

尽管我在减肥，但是我还是想吃饭。

【单选题】下列语句是原子命题的为（）。

A.x÷y>xyB.请给我来点掌声吧C.小明既爱唱歌又爱跳舞D.火星上有生物『正确答案』D『答案解析J A、B选项不符合命题要求；C选项为复合命题，故选D。

参见教材P19。

数理逻辑中常用的联结词1.否定设P为命题,P的否定是一个复合命题，记作注。

逻辑联结词和四种命题1、逻辑联结词（1）命题：一般地，我们把用语言、符号、式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题（2）逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词或：两个简单命题至少一个成立且：两个简单命题都成立非：对一个命题的否定（3）简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题；由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫复合命题（4）表达形式用小写的拉丁字母p、 q 、 r 、 s……来表示简单命题复合命题有三类：① p或q ② p且q ③非p(5)真值表：表示命题真假的表叫真值表①非p② p且q③p或q2、四种命题（1）一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用┐p和┐q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p则 q（p q）；逆命题：若q则 p（q p）；否命题：若┐p则┐q（┐p┐q）；逆否命题：若┐q则┐p（┐q ┐p）（2）四种命题的关系原命题逆命题否命题逆否命题（3）一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下四种关系①原命题为真，它的逆命题不一定为真②原命题为真，它的否命题不一定为真③原命题为真，它的逆否命题一定为真④逆命题为真，否命题一定为真3、反证法证明命题的一般步骤（1）否定结论（2）从假设出发，经过推理论证得出矛盾（3）断定假设错误，肯定结论成立反证法属于间接证法，当证明一个结论成立，已知条件较少，或结论的情况较多，或结论是以否定形式出现，如某些结论中含有“至多”、“至少”、“唯一”、“不可能”、“不都”等指示性词语时往往考虑采用反证法证明结论成立。

联考逻辑知识点汇总一、命题逻辑命题逻辑是逻辑学中的一个分支，主要研究命题之间的逻辑关系。

在联考中，命题逻辑是一个重要的知识点。

1.命题和逻辑联结词命题是陈述句，可以判断为真或假。

逻辑联结词包括合取、析取、蕴含和否定。

合取用符号“∧”表示，表示两个命题都为真时整个命题为真；析取用符号“∨”表示，表示两个命题中至少有一个为真时整个命题为真；蕴含用符号“→”表示，表示如果前提为真，则结论也为真；否定用符号“¬”表示，表示命题的反命题。

2.命题公式和真值表命题公式由命题和逻辑联结词组成，可以通过真值表来验证其真假。

真值表是一种列出所有可能情况的表格，每一行都对应一种情况，列出命题公式在每种情况下的真假情况。

3.推理规则推理规则是判断一个命题是否能由另一些命题推导出来的规则。

常见的推理规则包括假言推理、析取三段论、消解法等。

通过掌握这些推理规则，我们可以更好地进行逻辑思考和推理。

二、谬误与修辞学在逻辑学中，谬误是指推理过程中的错误或无效的推理。

修辞学则是研究语言的有效传达和说服力的学科。

在联考中，我们需要了解常见的谬误类型和修辞学的相关知识。

1.谬误类型常见的谬误类型包括偷换概念、以讹传讹、诉诸权威、诉诸感情等。

偷换概念是指将一个概念替换为与之相关但不同的概念进行论证；以讹传讹是指将一个错误的信息传播开来；诉诸权威是指通过引用权威的观点来证明自己的观点等。

了解这些谬误类型可以帮助我们识别和避免在逻辑推理中犯错。

2.修辞学的相关知识修辞学涉及到语言运用的各种技巧和手法，可以增强语言的表达力和说服力。

比如使用比喻、排比、夸张等修辞手法可以使语言更加生动有力。

了解修辞学的相关知识可以帮助我们更好地理解和解读各种文本，提高我们的语言表达能力。

三、关系推理关系推理是指通过观察事物之间的关系来进行推理的过程。

在联考中，关系推理是一个重要的能力要求。

1.具体关系推理具体关系推理是指在具体的场景中通过观察事物之间的关系来进行推理。

逻辑知识点总结框图
逻辑是研究正确推理和论证的学科。

在逻辑学中，我们研究的是如何正确地使用语言和思维，以便得出合理的结论。

逻辑知识点包括命题逻辑、谬误、演绎推理、归纳推理、逻辑推理等内容。

1. 命题逻辑
命题逻辑是逻辑学中的一个重要分支，它研究的是命题之间的逻辑关系。

命题是陈述句，可以是真或假。

命题逻辑包括命题的联结词、真值表、蕴涵与等值式、命题公式的真值、永真式与重言式等内容。

2. 谬误
谬误是指在推理过程中出现的逻辑错误。

谬误分为形式谬误和内容谬误。

形式谬误是指推理过程中的逻辑结构错误，而内容谬误则是指论证中的错误事实或对事实的错误解释。

常见的谬误包括偷换概念、非因果关系、诉诸情感等。

3. 演绎推理
演绎推理是指从一般到特殊的推理过程。

它是一种逻辑推理的形式，通过已知的前提推出一个新的结论。

演绎推理分为三种形式：假言演绎、析取演绎和假言析取演绎。

4. 归纳推理
归纳推理是指从特殊到一般的推理过程。

它是一种逻辑推理的形式，通过观察到的个别案例，推断出一般规律或结论。

归纳推理分为一般化和统计归纳两种形式。

5. 逻辑推理
逻辑推理是通过逻辑规则和推理规则得出结论的过程。

逻辑推理包括推理规则、命题逻辑的规则和量词逻辑的规则等内容。

以上这些知识点构成了逻辑学的基础知识，逻辑学是一门重要的学科，它不仅在数学和哲学中有重要的应用，也在日常生活中有着广泛的影响。

掌握逻辑知识，可以帮助我们正确思考和论证，提高我们的思维能力和分析能力，对于提高我们的学术能力和解决实际问题都有着重要的作用。

离散数学复习资料第1章命题逻辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.一、重点内容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句。

命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2. 六个联结词及真值表h“”否定联结词，P是命题，P是P的否命题，是由联结词和命题P组成的复合命题.P取真值1，P取真值0，P取真值0，P取真值1. 它是一元联结词.h “”合取联结词，P Q是命题P，Q的合取式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P Q取值为0，只有P，Q之一取0.h “”析取联结词，“”不可兼析取(异或)联结词， P Q是命题P，Q的析取式，是“”和P，Q组成的复合命题. P Q是联结词“”和P，Q组成的复合命题. 联结词“”或“”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或. 即“P Q”“(P Q)(P Q)”. P Q取值1，只要P，Q之一取值1，P Q取值0，只有P，Q都取值0.h “”蕴含联结词， P Q是“”和P，Q组成的复合命题，只有P取值为1，Q取值为0时，P Q取值为0；其余各种情况，均有P Q的真值为1，亦即10的真值为0，01，11，00的真值均为1. 在语句中，“如果P则Q”或“只有Q，才P，”表示为“P Q”.h “” 等价联结词，P Q是P，Q的等价式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“…当且仅当…”，P Q取值1当且仅当P，Q真值相同.3. 命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别h命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,P n，给P1，P2,…,P n各指定一个真值，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1，则这组值为P的真指派；若使P的真值为0，则称这组值称为P的假指派.h命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材的十六个等值式或演算律)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式.既非永真，也非用假，成为非永真的可满足式.其三主析取(合取)范式法，该公式的主析取范式有2n个极小项(即无极大项)，则该公式是永真式；该公式的主合取范式有2n个极大项(即无极小项)，则该公式是永假式；该公式的主析取(或合取)范式的极小项(或极大项)个数大于0小于2n,，则该公式是可满足式.h等值式A B，命题公式A，B在任何赋值下，它们的真值均相同，称A，B等值。

C语言与离散数学在计算机科学中起着至关重要的作用，而命题、公式、逻辑联结词及真值表是离散数学中的重要概念，在C语言中也有着广泛的应用。

本文将介绍C语言与离散数学中命题、公式、逻辑联结词及真值表的相关概念，并讨论它们在程序设计与计算机科学中的应用。

一、命题在离散数学中，命题是指可以明确判断真假的陈述。

在C语言中，命题通常被用于控制程序的流程，例如条件语句中的判断条件。

命题通常具有以下特点：1. 命题具有唯一的确定性，即任何一个命题要么为真，要么为假；2. 命题可以由自然语言或符号表示；3. 命题可以进行逻辑运算，如与、或、非等。

二、公式公式是离散数学中的重要概念，它由命题和逻辑联结词组成。

在C语言中，公式通常被用于逻辑表达式的表示，例如在循环或条件语句中的判断条件。

公式具有以下特点：1. 公式由命题和逻辑联结词组成；2. 公式可以通过推理和演绎来进行逻辑推理；3. 公式可以用真值表来进行验证。

三、逻辑联结词在离散数学中，逻辑联结词是用来连接命题，构成公式的重要符号。

在C语言中，逻辑联结词通常被用于逻辑表达式中，用来表示逻辑运算的关系。

常见的逻辑联结词有：1. 与（）：表示逻辑与运算，只有所有命题都为真时，整个公式才为真；2. 或（||）：表示逻辑或运算，只要有一个命题为真，整个公式就为真；3. 非（!）：表示逻辑非运算，将真变为假，假变为真。

四、真值表真值表是用来验证公式真假的一种方法，在离散数学中具有重要意义。

在C语言中，真值表通常被用于逻辑表达式的验证。

真值表具有以下特点：1. 真值表由多个命题和对应的公式真假组成；2. 真值表可以通过逻辑联结词来进行推理和验证；3. 真值表可以用来确定公式的真假和逻辑关系。

总结：C语言与离散数学中的命题、公式、逻辑联结词及真值表都是非常重要的概念，在程序设计与计算机科学中有着广泛的应用。

掌握这些概念不仅可以帮助我们更好地理解程序的运行原理，也可以提高我们的逻辑推理能力。

离散结构命题公式及真值表教学目标基本要求（1）会判断命题公式及其层次；（2）真值表；（3）公式类型；重点难点真值表的应用。

命题中的符号命题中的符号：(1) 命题常元：真值唯一确定。

例如：T、F(2) 命题变元：真值可变化。

例如：P、Q、R(3) 联接词：优先级按¬, ∧, ∨, →, ↔递减(4) 辅助符号如括号（）。

命题中的符号任意组成的符号串是否都有意义？例：(∧p ¬q) pq →(思考：按什么规律组成的符号串才有意义？合式公式合式公式：合法的命题公式。

（简称公式）（1）命题常元或变元是合式公式（2）若A, B是合式公式，(¬A),(A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B)也是合式公式（3）只有有限次地应用(1)、(2)形成的符号串才是合式公式注意这个定义是递归的。

(1)是递归的基础，由(1)开始，使用规则(2)，可以得到任意的合式公式。

公式简写的约定1) 最外层括号可以省略；2) 省略括号后, 运算顺序与联结词的优先级一致，则可以省略；3) 相同联结词按从左到右的顺序计算，则可以省略。

公式的层次定义：（1）若公式A 是单个的命题变项，则称A 为0层公式。

（3）若公式的层次为k ，则称A 是k 层公式。

（2）若有下面情况之一的，称A 为n+1层公式:A 是¬B ，B ∧C ，B ∨C ，B→C ，B↔C ，其中B 、C 分别是i 层、j 层公式，且n=max(i,j)； 例：((¬p ∧q)∨(p ∧ ¬q))→r1层 2层 3层 4层公式的解释命题公式代表一个命题，但只有当公式中的每一个命题变元都用一个确定的命题代入时，命题公式才有确定值，成为命题。

解释（I）：给公式A（ P1，P2，…,Pn ）中的命题变元P1，P2，…,Pn指定一组真值称为对A的一个解释（赋值）。

成真赋值: 使公式为真的赋值。

成假赋值: 使公式为假的赋值。