数学史试题A1222222剖析

数学史试题数学史试题高等教育自学考试数学史试题1一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号1.对古代埃及数学成就的了解主要来源于()A.纸草书B.羊皮书C.泥版D.金字塔内的石刻2.公元前4世纪，数学家梅内赫莫斯在研究下面的哪个问题时发现了圆锥曲线？()A.不可公度数B.化圆为方C.倍立方体D.三等分角3.《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的()A.棱柱B.棱锥C.棱台D.楔形体4.印度古代数学著作《计算方法纲要》的作者是()A.阿耶波多B.婆罗摩笈多C.马哈维拉D.婆什迦罗5.射影几何产生于文艺复兴时期的()A.音乐演奏B.服装设计C.雕刻艺术D.绘画艺术6.微分符号“d”、积分符号“”的首先使用者是()A.牛顿B.莱布尼茨C.开普勒D.卡瓦列里7.求和符号Σ的引进者是()A.牛顿B.莱布尼茨C.柯西D.欧拉8.作为“非(武汉自考)欧几何”理论建立者之一的年轻数学家波约是()A.俄国人B.德国人C.葡萄牙人D.匈牙利人9.最早证明了有理数集是可数集的数学家是()A.康托尔B.欧拉C.魏尔斯特拉斯D.柯西10.在1900年巴黎国际数学家大会上提出了23个著名的数学问题的数学家是()A.希尔伯特B.庞加莱C.罗素D.克莱因二、填空题(本大题共10小题，每空1分，共20分)11.古代美索不达米亚的数学常常记载在__________上，在代数与几何这两个传统领域，他们成就比较高的是__________领域。

12.《几何原本》所建立的平面几何体系中共有__________条公设和__________条公理。

13.《海岛算经》的作者是__________，《数书九章》的作者是__________。

14.阿拉伯数学家__________的《还原与对消计算概要》第一次给出了__________方程的一般解法，并用几何方法对这一解法给出了证明。

数学史试卷70题一、选择题（共70题）1 第二十四国际数学大会于2002年在（ ）召开Ａ、巴黎 B 、莫斯科 C 、北京2 交换群这一概念的引入者是_______Ａ、阿贝尔 B 、伽罗瓦 C 、卡尔希3 解析几何的奠基人、同时提出物质和运动不灭原理，发现光的折射定律的是_______A 、欧几里得B 、费马C 、笛卡儿4 _______改进了韦达的符号记法，用a 、b 、c ……等表示已知数，用x 、y 、z ……等表知数，创造了“=”，“”等符号。

Ａ、高斯 B 、笛卡儿 C 、柯西5 最早把解析函数论的成果应用于数论领域的是____________Ａ、傅立叶 B 、拉普拉斯 C 、狄利克雷 6 对数的创始人是__________Ａ、耐普尔 B 、布里格斯 C 、冯 诺伊曼7 提出圆锥曲线的方程都是含有两个未知数且最高次幂为二次方程的结论的是___________Ａ、欧拉 B 、费马 C 、海仑8 现代整数论的奠基人是（ ）Ａ、费马 B 、牛顿 C 、高斯9 负数的概念，最早出现于我国古代数学名著（ ）Ａ、《周髀算经 》 B 、《海岛算经》 C 、《九章算术》 10 （ ）的问世，标志着现代数论的开始。

Ａ、《算术研究》 B 、《算法之书》 C 、《数理精蕴》 11 推动概率论的形成和发展、建立光的波动学说的是（ ）Ａ、帕斯卡 B 、惠更斯 C 、阿基米德12 首先使用“矩阵”这一术语的是（ ）Ａ、西尔维斯特 B 、哈密顿 C 、凯来13 提出平行线在无穷远处相交的观点的是（ ）Ａ、克莱因 B 、康托尔 C 、开普勒14 在代数学上，第一次使用“行列式”这术语的是（ ）Ａ、高斯 B 、柯西 C 、欧拉15 《解析函数论》的作者是（ ）Ａ、拉格朗日 B 、拉普拉斯 C 、莱布尼茨16 用极限思想证明四面体体积公式61abh 和指教四棱锥的体积公式31abh 的是我国伟大数学家（ ）Ａ、贾宪 B 、杨辉 C 、刘徽17 “假如我比别人看得远一点，那是我站在巨人的肩膀上的缘故”这句话是（ ）的经典名言Ａ、爱因斯坦B、牛顿C、富兰克林18 用∑表示求和，有i表示1-，用e表示自然数对数的底等都源于（）Ａ、欧拉B、黎曼C、柯西19 给出“虚数”这一名称的是法国数学家（）Ａ、笛卡儿B、拉普拉斯C、柯西20 先引入“集合”这一概念的是（）Ａ、雅各B、康托尔C、高斯21 具有“数学诺贝尔奖”之誉的奖项是（）Ａ、沃尔夫奖B、菲尔兹奖C、格莫诺夫奖22 公元263年刘徽注（）用割圆术求π，包含极限的思想。

一道基于数学史的数学试题的命制与评析程银生杨巧玲摘要：卡莱尔的几何解法是数学史上解一元二次方程的著名方法之一。

在一次命制九年级上学期期末考试数学卷压轴题的过程中，尝试重构卡莱尔的几何解法，将“圆和直线的交点”与“一元二次方程的根”关联，促使学生在运用圆、相似三角形等相关知识解决问题的过程中拓宽数学视野，激发学习兴趣，深化知识理解，激发创新意识。

在试题测评反馈、讲评拓展的基础上反思得到关于数学史类试题命制与数学史类试题融入数学教学的体会。

关键词：数学史;数学试题;卡莱尔的几何解法;一元二次方程现各版本教材、各级各类考试中，以数学史为背景的阅读材料、习题、试题等日益增多，数学史素材的整理、裁剪和加工已成为试题命制的重要途径和方法。

其中，2022年浙江省台州市中考数学卷第24题以直角三角板的移动操作为载体，融入卡莱尔的一元二次方程的几何解法，构思精妙，让人深感佩服。

我們在一次命制九年级上学期期末考试数学卷压轴题的过程中，尝试重构卡莱尔的几何解法，将“圆和直线的交点”与“一元二次方程的根”关联，促使学生在运用圆、相似三角形等相关知识解决问题的过程中拓宽数学视野，激发学习兴趣，深化知识理解，激发创新意识。

一、卡莱尔的几何解法简介19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔（ThomaCarlyle，1795—1881）在爱丁堡大学读书时，给出了一个十分新颖、简洁的任意一元二次方程实根的几何解法。

这个解法后来被他的老师——苏格兰数学家莱斯利（JohnLelie，1766—1832）收入《几何基础（第三版）》（1817）一书中，成为数学史上解一元二次方程的著名方法之一。

具体如下：三、命制设想本题共设五个环节，前三个环节中方程的二次项系为1，后两个环节中二次项系数非1，五个环节逐层递进，由简单到复杂、由特殊到一般，让在学生解决问题的过程中，感受问题研究的一般思路与方法。

命制“超级模仿秀”环节时，我们曾考虑直接呈现卡莱尔的几何解法史料。

大学数学史题库及答案一、单选题1、以下哪个数学家不是古希腊人？A.毕达哥拉斯B.阿基米德C.欧几里得D.希波克拉底答案：D.希波克拉底2、以下哪个数学符号不是由阿拉伯人发明的？A.零符号B.代数符号C.函数符号D.等号答案：D.等号3、以下哪个数学定理不是由法国数学家费马提出的？A.费马大定理B.费马小定理C.费马多边形定理D.费马圆周率公式答案：C.费马多边形定理二、多选题1、以下哪些数学家是文艺复兴时期的代表人物？A.达芬奇B.伽利略C.开普勒D.牛顿答案：A，B，C2、以下哪些数学符号是印度人发明的？A.十进位记数法B.三角函数表C.圆周率近似值D.虚数单位“i”答案：A，C3、以下哪些数学定理是欧几里得提出的？A.欧几里得定理B.勾股定理C.平行公理D.微积分基本定理答案：A，B，C三、判断题1、阿基米德发现了微积分。

（）答案：错误。

微积分是由牛顿和莱布尼茨发现的。

2、π是由印度数学家阿叶彼海特发明的。

（）答案：错误。

π是由古希腊数学家海伦发明的。

大学数学史题库附答案数学，作为一门历史悠久且广泛应用的基础学科，以其独特的魅力在大学教育中占据了重要的地位。

今天，我将为大家分享一份精选的大学数学史题库及其答案，希望能够帮助大家更好地理解数学的历史和发展。

一、选择题1、以下哪个选项不是数学史上的重要人物？A.毕达哥拉斯B.阿基米德C.牛顿D.莎士比亚答案：D.莎士比亚解释：莎士比亚是文学巨匠，而非数学家。

2、以下哪个发明与数学无关？A.钟表B.算盘C.电脑D.日晷答案：C.电脑解释：电脑虽然与计算有关，但其主要功能是信息处理和存储，而非数学计算工具。

3、在中世纪，哪个国家对数学的发展做出了重要贡献？A.罗马帝国B.中国C.阿拉伯帝国D.古希腊答案：C.阿拉伯帝国解释：阿拉伯帝国在数学领域有着显著的成就，如代数学的发展以及阿拉伯数字的传播等。

二、简答题1、请简述数学在文艺复兴时期的发展以及主要成就。

自考数学史历年试题及答案一、单项选择题1. 被称为“几何学之父”的数学家是（）。

A. 毕达哥拉斯B. 欧几里得C. 阿基米德D. 牛顿答案：B2. 微积分的基本原理是由以下哪两位数学家独立发现的？A. 牛顿和莱布尼茨B. 笛卡尔和帕斯卡C. 高斯和欧拉D. 阿基米德和毕达哥拉斯答案：A3. 以下哪个数学概念是由法国数学家勒内·笛卡尔首次提出的？A. 代数B. 坐标几何C. 三角学D. 微积分答案：B二、填空题4. 公元前3世纪，中国古代数学家________提出了“割圆术”，为计算圆周率建立了有效的方法。

答案：刘徽5. 被称为数学王子的德国数学家________在19世纪对数学的多个领域做出了巨大贡献。

答案：高斯6. 概率论的奠基人之一，法国数学家________通过研究赌博中的问题，为概率论的发展奠定了基础。

答案：帕斯卡三、简答题7. 请简述牛顿对数学的主要贡献。

答案：牛顿对数学的主要贡献包括发明了微积分，这是数学分析的基础。

他还发现了二项式定理的一般形式，牛顿法（一种迭代法，用于求解方程的根），以及在解析几何方面的贡献。

8. 请解释欧拉公式的意义及其在数学中的重要性。

答案：欧拉公式是复分析领域的一个重要公式，表达式为e^(iπ) +1 = 0，它将自然对数的底e、虚数单位i、圆周率π、1和0五个数学常数以一种优雅的方式联系起来。

这个公式在数学的许多领域中都有应用，尤其是在复变函数、数论和波动方程的研究中。

四、论述题9. 论述中国古代数学的特点及其对世界数学的影响。

答案：中国古代数学的特点主要体现在实用性和算法的创新上。

中国古代数学家们更注重数学知识在天文、历法、土地测量和工程建设等方面的应用。

例如，《九章算术》就是一本典型的实用性数学著作，它包含了许多算法，如盈不足术、方程术等。

中国古代数学对世界数学的影响主要体现在算法的传播上，尤其是在算术和代数领域。

随着东西方文化的交流，中国古代的数学知识逐渐传到西方，对文艺复兴时期的数学发展产生了一定的影响。

【原创】【试题研究】以数学史为背景的数学试题赏析1.引言翻开近些年的高考数学试题和全国各地的高考模拟试题，其中有很多以数学史为背景的数学试题.细细品读这些试题可以发现其独具匠心、立意深远、韵味无穷，它们既渗透了数学文化和数学思想，又兼顾考查学生的认知、理解、迁移能力,蕴含着命题人的人文情怀.它们真正体现着以数学史为载体，以考查能力和学生的综合素质为目的的命题趋势. 2.引例2.1 源于数学史料，兼顾现代数学分支——估算与算法例1 （2015年全国新课标I 理）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛 解：由1284r l π⨯==得圆锥底面的半径16163r π=≈，所以米堆的体积2111256320=543499V r h π⨯=⨯⨯=，所以堆放的米有3201.62229÷≈斛，故选B赏析：这是一道融入数学史和现代数学估算为一体的新颖试题，将圆锥的体积公式和单位换算结合，既考查学生的基础知识又考查学生的运算能力，同时兼顾考查了学生的理解能力、分析问题能力，属于中等难度试题.变式1（2016年湖北七市联考理）《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2000斛(1丈=10尺，l 尺=10寸，斛为容积单位，l 斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底圆周长约 为A.l 丈3尺B.5丈4尺C.9丈2尺D. 48丈6尺解：设圆柱底圆半径为r ，高为h ，圆柱体积为22000 1.62V r h π==⨯()2313.33r ≈⨯⨯，所以281r ≈，即3r ≈尺，所以圆柱底面圆周长为254r π≈尺，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺，故选B.例2（2014年湖北理）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底a > ba = a -b b = b - a输出a 结 束开 始 输入a ，b a ≠ b 是是否否 面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227 B.258C.15750D.157113 解：由题意知2221753L h r h π=，所以2221753L r π=，因为2L r π=，代入得258π=，故选B.赏析：《算数书》是中国现已发现的最古的一部算书，大约比现有传本的《九章算术》还要早近二百年.本题以信息题的形式，考查学生阅读理解能力，属于中等难度题.变式2 （2012年湖北理）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3169d V ≈人们还用过一些类似的近似公式。

数学史试题答案(简答论述)在数学史试题答案（简答论述）中，我们将简要探讨数学史中的一些重要问题，并给出相应的答案。

数学史作为一门学科，涵盖了数学的起源、发展和应用等方面的内容，是了解数学发展历程以及数学思想演变的重要途径。

下面，我们将就数学史中的几个关键问题进行解答。

一、早期数学的起源是什么？早期数学的起源可以追溯到古代文明的发展。

在人类历史的早期阶段，人们开始观察周围的自然现象，并试图用数字和符号来描述和解释。

早期数学主要集中在实际问题的计算以及土地测量、贸易和农业等领域的应用。

古代文明如古代埃及、巴比伦、印度和中国等，都在早期数学的发展中起到了重要的作用。

二、古希腊数学的特点是什么？古希腊数学以几何学为主要特点。

古希腊的数学家将几何学作为研究对象，并尝试用严谨的证明来建立几何学上的定理和问题。

其中最著名的数学家是欧几里德，他的《几何原本》成为了后来数学教育的典范。

古希腊数学的其他重要特点还包括：重视形式化证明、注重逻辑推理和使用严谨的推理方法等。

三、古代中国数学的贡献有哪些？古代中国数学的贡献主要体现在算术和代数方面。

中国古代数学家在古代科学技术的发展中起到了重要作用。

中国古代数学家创造了很多数学概念和方法，如无理数、负数概念以及高次方程的解法等。

古代中国在商业贸易、地理测量以及天文学方面的发展也离不开数学的应用。

四、中世纪数学的发展情况如何？中世纪数学的发展主要受到宗教和哲学思想的影响。

在这一时期，欧洲的学问主要受到天主教教会的影响，数学被视为一种法学，被广泛用于天文学和天主教历法的计算。

然而，这一时期的数学发展相对较为缓慢，主要是基于继承古希腊和古罗马的数学知识。

直到文艺复兴时期，数学的发展才开始重新蓬勃起来。

五、现代数学的特点有哪些？现代数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点。

在18世纪以后，数学逐渐脱离了实际应用的限制，开始探索抽象的数学理论和方法。

19世纪是现代数学发展的关键时期，包括微积分、数论和几何学等方面的重要突破。

数学史题库选择题（每题3分）1.对古代埃及数学成就旳理解重要来源于(A)A.纸草书B.羊皮书C.泥版D.金字塔内旳石刻2.对古代巴比伦数学成就旳理解重要来源于(C)A.纸草书B.羊皮书C.泥版D.金字塔内旳石刻3.《九章算术》中旳“阳马”是指一种特殊旳(B)A.棱柱B.棱锥C.棱台D.楔形体4.《九章算术》中旳“壍堵”是指一种特殊旳(A)A.三棱柱B.三棱锥C.四棱台D.楔形体5.射影几何产生于文艺复兴时期旳(C)A.音乐演奏B.服装设计C.绘画艺术D.雕刻艺术6.欧洲中世纪漫长旳黑暗时期过后，第一位有影响旳数学家是(A)。

A.斐波那契B.卡尔丹C.塔塔利亚D.费罗7.被称作“第一位数学家和论证几何学旳鼻祖”旳数学家是(B)A.欧几里得B.泰勒斯C.毕达哥拉斯D.阿波罗尼奥斯8.被称作“非欧几何之父”旳数学家是(B)A.波利亚B.高斯C.魏尔斯特拉斯D.罗巴切夫斯基9.对微积分旳诞生具有重要意义旳“行星运营三大定律”，其发现者是(C)A.伽利略B.哥白尼C.开普勒D.牛顿10.公元前4世纪，数学家梅内赫莫斯在研究下面旳哪个问题时发现了圆锥曲线？(C )A.不可公度数B.化圆为方C.倍立方体D.三等分角11.印度古代数学著作《计算措施纲要》旳作者是(C)A.阿耶波多B.婆罗摩笈多C.马哈维拉D.婆什迦罗12.最早证明了有理数集是可数集旳数学家是(A)A.康托尔B.欧拉C.魏尔斯特拉斯D.柯西13.下列哪一位数学家不属于“悉檀多”时期旳印度数学家？(C)A.阿耶波多B.马哈维拉C.奥马.海亚姆D.婆罗摩笈多14.在19巴黎国际数学家大会上提出了23个出名旳数学问题旳数学家是(A)A.希尔伯特B.庞加莱C.罗素D.F·克莱因15.与祖暅原理本质上一致旳是(D)A.德沙格原理B.中值定理C.泰勒定理D.卡瓦列里原理16．世界上第一种把π计算到3.1415926＜π＜3.1415927旳数学家是(B)A.刘徽B.祖冲之C.阿基米德D.卡瓦列里17．国内元代数学著作《四元玉鉴》旳作者是(C)A.秦九韶B.杨辉C.朱世杰D.贾宪18．就微分学与积分学旳来源而言(A)A.积分学早于微分学B.微分学早于积分学C.积分学与微分学同期D.不拟定19．在现存旳中国古代数学著作中，最早旳一部是(D)A.《孙子算经》B.《墨经》C.《算数书》D.《周髀算经》20．发现出名公式e iθ=cosθ+i sinθ旳是(D)A.笛卡尔B.牛顿C.莱布尼茨D.欧拉21．中国古典数学发展旳顶峰时期是( D )A.两汉时期B.隋唐时期C.魏晋南北朝时期D.宋元时期22．最早使用“函数”(function)这一术语旳数学家是( A )A.莱布尼茨B.约翰·伯努利C.雅各布·伯努利D.欧拉23．1834年有位数学家发现了一种到处持续但到处不可微旳函数例子，这位数学家是( B ) （注意，书上给旳例子是1861年魏尔斯特拉斯给出旳，但不是历史上最早旳）A.高斯B.波尔查诺C.魏尔斯特拉斯D.柯西24．大数学家欧拉出生于（ A ）A.瑞士B.奥地利C.德国D.法国25．一方面获得四次方程一般解法旳数学家是( D )A.塔塔利亚B.卡当C.费罗D.费拉利26．《九章算术》旳“少广”章重要讨论（ D ）A.比例术B.面积术C.体积术D.开方术27．最早采用位值制记数旳国家或民族是( A )A.美索不达米亚B.埃及C.阿拉伯D.印度28．数学旳第一次危机旳产生是由于(B)A.负数旳发现B.无理数旳发现C.虚数旳发现D.超越数旳发现29．给出“纯数学旳对象是现实世界旳空间形式与数量关系”这个有关数学本质旳论述旳人是( B )A.笛卡尔B.恩格斯C.康托D.罗素30．提出“集合论悖论”旳数学家是(B)A.康托尔B.罗素C.庞加莱D.希尔伯特填空题（每空2分）1．古希腊出名旳三大尺规作图问题分别是：“化圆为方、倍立方体、三等分角”。

数学史高中考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 被誉为“几何之父”的数学家是（）。

A. 欧几里得B. 阿基米德C. 毕达哥拉斯D. 牛顿答案：A2. 中国古代数学著作《九章算术》成书于（）。

A. 春秋时期B. 战国时期C. 汉朝D. 唐朝答案：C3. 微积分的创始人之一，同时也是物理学家的是（）。

A. 莱布尼茨B. 牛顿C. 笛卡尔D. 高斯答案：B4. 以下哪位数学家对概率论的发展做出了重要贡献？（）A. 费马B. 帕斯卡C. 欧拉D. 哥白尼答案：B5. 被誉为“代数学之父”的数学家是（）。

A. 牛顿B. 笛卡尔C. 韦达D. 莱布尼茨答案：C6. 以下哪位数学家提出了“无穷小”的概念？（）A. 阿基米德B. 牛顿C. 莱布尼茨D. 欧拉答案：C7. 以下哪位数学家证明了“费马大定理”？（）A. 费马C. 怀尔斯D. 高斯答案：C8. 以下哪位数学家被誉为“现代数学之父”？（）A. 欧拉B. 高斯C. 牛顿D. 莱布尼茨答案：B9. 以下哪位数学家提出了“非欧几何”的概念？（）A. 欧拉B. 高斯C. 黎曼答案：C10. 以下哪位数学家提出了“群论”的概念？（）A. 拉格朗日B. 伽罗瓦C. 牛顿D. 欧拉答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 古希腊数学家________提出了“勾股定理”。

答案：毕达哥拉斯12. 被誉为“解析几何之父”的数学家是________。

13. 微积分的另一个创始人是________。

答案：莱布尼茨14. 概率论的奠基人之一是________。

答案：帕斯卡15. 被誉为“现代数学之父”的数学家是________。

答案：高斯16. 非欧几何的提出者是________。

答案：黎曼17. 群论的提出者是________。

答案：伽罗瓦18. 被誉为“代数学之父”的数学家是________。

19. 无穷小的概念是由________提出的。

答案：莱布尼茨20. 证明了“费马大定理”的数学家是________。

柯西不等式证明最值1.求函数y x2 4x,(x R)的最小值。

2.求函数y x4x2,(x R)的最小值。

x R且x2y3.设21,求x y2的最大值4.设x,y,z为正实数,且x+y+z=10,求4x19 y的最小值。

已知：x25.4y21求：x y；2x y的取值范围。

6.已知：a2b21，m2n22,求am bn的取值范围7.已知：2x3y1求：x22y2的最小值.8.求函数y x12x的取值范围。

9.求函数y x12x的最大值。

证明不等式1.求证:a2b2c2ab bc ac2.已知a,b都是正数，求证：（1）(1a b)(1a2b2)9ab;（2）(a2b a b2)(ab2a2b)9a2b2.3.设a,b,c,d R，求证：a2b2c2d2(a c)2(b d)2。

4.已知a2b2c21,x2y2z21,求证：ax by cz 1.5.已知a,b,c均为正数，且a b c1，求证：111a b c96.若0，则1sin cos 2.高中数学新课标选修4-5课时计划东升高中高二备课组授课时间:2021年月日(星期)第节总第课时第一课时3.1二维形式的柯西不等式（一）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1.提问：二元均值不等式有哪几种形式？答案：a b2(a0,b0)及几种变式.2.练习：已知a、b、c、d为实数，求证(a2b2)(c2d2)(ac bd)2证法：（比较法）(a2b2)(c2d2)(ac bd)2=….=(ad bc)20二、讲授新课：1.教学柯西不等式：①提出定理1：若a、b、c、d为实数，则(a2b2)(c2d2)(ac bd)2.→即二维形式的柯西不等式→什么时候取等号？②讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d 222(ac bd)(ad b)c(（要点：展开→配方）a c.)bd证法三：（向量法）设向量m(a,b)，n(c,d)，则|m|，|n|∵m n ac bd，且m n|m||n|cos m,n，则|m n||m||n|.∴…..证法四：（函数法）设f(x)(a2b2)x22(ac bd)x c2d2，则f(x)(ax c)(bx d)≥0恒成立.222∴[2(ac bd)]24(a2b2)(c2d2)≤0，即…..③讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？|ac bd|或ac bd.|ac||bd|④提出定理2：设,是两个向量，则||||||.即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）→讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者,共线）⑤练习：已知a、b、c、d.证法：（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义？（构造三角形）2.教学三角不等式：①出示定理3：设x1,y1,x2,y2R分析其几何意义→如何利用柯西不等式证明→变式：若x1,y1,x2,y2,x3,y3R，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3.小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、巩固练习：1.练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2.作业：教材P37 4、5题.教学后记：板书设计：第二课时3.1二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系.教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：一、复习准备：1.提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？答案：(a2b2)(c2d2)(acbd)22.讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3.如何利用二维柯西不等式求函数y?要点：利用变式|ac bd|二、讲授新课：1.教学最大（小）值：.①出示例1：求函数y分析：如何变形？→构造柯西不等式的形式→板演→变式：y→推广：y d(a,b,c,d,e,f R)②练习：已知3x2y1，求x2y2的最小值.解答要点：（凑配法）x2y2113(x y)(32)113(3x2y)113.讨论：其它方法（数形结合法）2.教学不等式的证明：①出示例2：若x,y R，x y2，求证：1x1y 2.分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比→构造）要点：1x1y12(x y)(1x1y)12 22]…讨论：其它证法（利用基本不等式）②练习：已知a、b R，求证：(a b)() 4.ab13.练习：①已知x,y,a,b R，且要点：x y(xabyax by1，则x y的最小值.)(x y)….→其它证法②若x,y,z R，且x y z1，求x2y2z2的最小值.（要点：利用三维柯西不等式）变式：若x,y,z R，且x y z1的最大值.3.小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.三、巩固练习：1.练习：教材P378、9题2.作业：教材P371、6、7题第三课时3.2一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用.教学难点：理解证明中的函数思想.教学过程：一、复习准备：1.练习：2.提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：(a2b2)(c2d2)(ac bd)2；(a2b2c2)(d2e2f2)(ad be cf)2二、讲授新课：1.教学一般形式的柯西不等式：①提问：由平面向量的柯西不等式||||||，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？②猜想：n维向量的坐标？n维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设a1,a2,,an,b1,b2,,bn R，则222(a12a22a)(b b n12)b nb)(1a1b ab n na22anbn讨论：什么时候取等号？（当且仅当a1b1a2b2时取等号，假设bi0）222联想：设B a1b1a2b2anbn，A a12a22an2，则有B2AC0，C b1b2bn，可联想到一些什么？③讨论：如何构造二次函数证明n维形式的柯西不等式？（注意分类）xxxx要点：令（fx）（a1a2an)x2(a1b1a2b2anbn)x(b1b2 bn)，则f(x)(a1x b1)(a2x b2)+（anx bn)0.222 又a12a22an20，从而结合二次函数的图像可知，2(a1b1a2b2anbn)4(a1a2an)(b1b2bn)≤0 即有要证明的结论成立.（注意：分析什么时候等号成立.）④变式：a12a22an21n(a1a2an).（讨论如何证明）2.教学柯西不等式的应用：①出示例1：已知3x2y z1，求x2y2z2的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？→板演→变式：②练习：若x,y,z R，且1x1y 11，求xy23的最小值..1b c)(11)4③出示例2：若a>b>c，求证：要点：(a c)(1a b1b c1a b1b c4a c1a b)[(a b)(b c)](3.小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：1.练习：教材P414题2.作业：教材P415、6题第四课时3.3排序不等式教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式.教学难点：排序不等式的证明思路.教学过程：一、复习准备：1.提问：前面所学习的一些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）2.举例：说说两类经典不等式的应用实例.二、讲授新课：1.教学排序不等式：①看书：P42~P44.②提出排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:a1a2···an;b1b2···bn.c1,c2,···cn是b1,b2，···,bn的任一排列,则有a1b1a2b···+anbn(同序和)2··+ancn(乱序和)a1c1a2c2+···+anb1(反序和)a1bn a2bn1+·当且仅当a1a2···=an或b1b2···=bn时，反序和等于同序和.（要点：理解其思想，记住其形式）2.教学排序不等式的应用：①出示例1：设a1,a2,,an是n个互不相同的正整数，求证：112131n a1a22a33ann.分析：如何构造有序排列？如何运用套用排序不等式？证明过程：设b1,b2,,bn是a1,a2,,an的一个排列，且b1b2bn，则b11,b22,,bn n.又1a1122213221n22，由排序不等式，得b22a22a33annb1b33bnn…小结：分析目标，构造有序排列.②练习：已知a,b,c为正数，求证：2(a3b3c3)a2(b c)b2(a c)c2(a b).解答要点：由对称性，假设a b c，则a2b2c2，于是a2a b2b c2c a2c b2a c2b，a2a b2b c2c a2b b2c c2a，两式相加即得.3.小结：排序不等式的基本形式.三、巩固练习：1.练习：教材P451题2.作业：教材P453、4题自选专题均值不等式与柯西不等式【均值不等式】例题1：已知x,y均为正数，且x y，求证：2x例题2：已知x,y,z均为正数．求证：变式：设x,y,z为正数，证明：2x3y3z3x2y z y2x z【柯西不等式】例题1：若正数a,b,c满足a b c1，求变式：若x21,3212a112b 112c 121x2xy y222y3．xyyzxxy1x1y．x y．的最小值．例题2：已知x,y,z是正数．1若x2若xy1，求x22xy22y的最小值；2xy2y21，求证：x22xy22y221．自选专题变式1：设a,b,c0，a b c1，求证：a2a b2b c2c35．变式2：已知正数x,y满足x y z xyz，求【能力提升】1、设a,b,c均为正实数，求证：1xy1yz2zx的最大值．12a12b12c1b c1a c1a b．2、设正数a,b,c满足a b c3，求证：a3、已知a,b,c0,，且abc1，求1a3b c ab bc ca b c1b3c a1c3a b的最小值．2021年高中数学IB模块选修4-5专题测试（一）试题内容：柯西不等式与排序不等式试卷总分：120分考试时间：60分钟一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）1、a,b,c,d R，不等式a b22c2d2ac bd取等号的条件是（）2A．ab dc0B．ad bc0C．ad bc0D．ac bd02、设a1a2a3,b1b2b3，下列最小的是（）A．a1b3a2b2a3b1B．a1b1a2b2a3b3C．a1b2a2b1a3b3D．a1b1a2b 3a3b23、若四个实数a1,a2,a3,a4满足a2a1a3a2a4a31，则a3a4a1a2的最大值为（）A．1BC．2D4、a,b是非零实数，a b1，x1,x2R,M ax1bx2bx1ax2,N x1x2，则M与N的大小关222系为（）A．M NB．M NC．M ND．M N5、若实数x,y满足(x5)(y12)14，则x y的最小值是（）A．2B．1CD6、x,y,z R，且x2y2z5，(x5)(y1)(z3)的最小值是（） A．20B．25C．36D．477、已知a,b,c,d R，且满足a b c d625（）A．25B．50C．22222222225D．6254228、已知0a,b,c1，且a b c2，则a b c的取值范围是（）A．,B．,2C．,2D．,23333二、填空题（共5小题，每题4分，共20分）9、x,y0,14444的最大值是10、设x,y,R，那么x y11、设14的最小值是xy22，那么x1,x2,x3,xn0,a1,a2,a3,an0,x1x2x3x1t ax axn1122 a3x32anxn2的最小值是12、设2x3y4z22,(x,y,z0)，则三、解答题（共5小题，每题60分）239的最小值是，此时xyz.xyb4c4c4a4a4 b413、（本小题10分）设a,b,c R，利用排序不等式证明：a b c2a2b2c33314、（本小题10分）设x1,x2,x3是不同的自然数，求s15、（本小题10分）设n N,n2，利用柯西不等式证明：16、（本小题10分）求函数yx1x2x3的最小值。

数学史试卷1（考试日期 ：2020年 月 日）一、填空题（每空1分，共20分.错填、漏填均不得分）1．古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以《九章算术》为典范.2.《海岛算经》的作者是刘徽.3. “非欧几何”理论的建立源于对欧几里得几何体系中欧几里得平行公设的证明，最先建立“非欧几何”理论的数学家是罗巴切夫斯基.4. 在微积分方法正式发明之前，许多数学家的工作已显示了微积分的萌芽，如开普勒的旋转体体积计算；巴罗的微分三角形方法；费马的求极大值、极小值的方法；沃利斯的无穷算术等.5.逻辑推理的方法有两种：一是演绎推理，即由一般到特殊的推理；二是归纳推理，即由特殊到一般的推理.6. 被称为“现代分析之父”的数学家是柯西，被称为 “数学之王” 的 数学家是高斯.7. 笛卡儿在著作《思维的法则》里设计了一种能解各种问题的“万能方法”，它可以表述为：把任何问题化为数学问题，把任何数学问题化为一个代数问题，把任何代数问题归结到一个解方程问题.8. 刘徽数学成就中最突出的是割圆术和体积理论.9. 第二次数学危机源于微积分工具的使用。

这一数学工具是由牛顿和莱布尼茨共同发现的.10. 哥尼斯堡七桥问题是数学抽象基本形式的理想化抽象，同余数类是数学抽注意：装订线外，勿写答案；装 订 线象基本形式的等价抽象，虚数是存在性抽象.二、判断题（每题2分，共10分.若表述正确请在括号内划√，否则划 ×） （ √ ）1．中国古代第一部数学专著是《九章算术》，最早提到了分数，同时首次阐述了负数.（ √ ）2．《九章算术》中关于求最大公约数的“更相减损术”与西方的“欧几里得算法”是相同的。

（ × ）3．若B A ,为锐角三角形的两内角，则1tan tan <⋅B A .（ √ ）4.贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想.（ √ ）5.首先将三次方程一般解法公开的是意大利数学家卡当.三、单项选择题（每题2分，共20分。

《数学史》朱家生版+课后题目参考答案+第二章1、试从数学科学发展的角度，探讨古希腊把逻辑学中的演绎证明引入数学的理由，并进一步论述数学与逻辑的关系。

答：一般认为，数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，逻辑是研究思维形式及其规律和方法的一门科学，但它们都完全撇开其内容，仅仅从形式方面加以研究，因而均具有高度的抽象性，所以在分类上它们同属于形式科学。

同时，数学和逻辑的应用都十分广泛，往往成为研究其它科学的工具，因此常常同被人们称为工具性科学。

围绕逻辑与数学的关系讨论下去，曾经形成三种意见──逻辑主义、形式主义和直觉主义。

其中逻辑主义、直觉主义，过多强调了数学和逻辑的同一性，而忽视了数学与逻辑的差异性。

因此，认识数学和逻辑的关系，在于把握二者关系的辩证性──同一、差异又互补。

研究中国传统数学中逻辑思想与方法的必要性一直以来，不论是在逻辑史学界，还是在数学史学界，对于中国传统数学中逻辑思想与方法的研究没有得到应有的重视。

但从下面我们简单论述来看，加强这方面的研究却具有显明的必要性。

一、从逻辑与数学的关系看数学与逻辑的研究对象虽各不相同，但它们的性质、特点却有很多共同和类似的地方，正因为如此，才使得它们关系十分密切，在内容和方法上可以互相运用和相互渗透。

一般认为，数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，逻辑是研究思维形式及其规律和方法的一门科学，但它们都完全撇开其内容，仅仅从形式方面加以研究，因而均具有高度的抽象性，所以在分类上它们同属于形式科学。

同时，数学和逻辑的应用都十分广泛，往往成为研究其它科学的工具，因此常常同被人们称为工具性科学。

围绕逻辑与数学的关系讨论下去，曾经形成三种意见──逻辑主义、形式主义和直觉主义。

其中逻辑主义、直觉主义，过多强调了数学和逻辑的同一性，而忽视了数学与逻辑的差异性。

因此，认识数学和逻辑的关系，在于把握二者关系的辩证性──同一、差异又互补。

首先，肯定数学和逻辑的同一性。

这是因为：(1)数学和逻辑都是高度抽象的学科，数学是研究数量的形式结构的，逻辑是研究思维的形式结构的，形式结构都是高度抽象的，是抽象结构，它们的定义、定理、原理、法则等的正确性均不涉及各种事物具体内容；(2) 数学和逻辑都讲严格性，数学只有具有推理论证的严密性和结论的确定性或可靠性才成其为科学，逻辑也只有当它的推理论证严格而公理系统化时才形成科学；(3) 数学和逻辑都具有广泛的应用性，数学的应用自不待言，对逻辑而言可以肯定地说哪里有思维哪里就要逻辑，一切科学都在应用逻辑。

. .. .师大学成教豆学年第 2二学期《数学史》 考试卷 （A) （ 式样一〉、单项选择题（每小题 2 分 ，共 26 分）l . 世界上第 ·个把 π 计算到 3. 1415926 ＜π ＜3. 1415927 的数学家是 （ B )A .傲B .祖冲之 C. 阿某米德 D. 卡瓦列利2 . 我罔元代数学莉作 《阿元二J.i 鉴》 的作者’是 （c )A .九韶B .辉C . 朱世杰D.贸宪3 . 就微分学与积分学的起源＂rfri 育（ A )A . 积分学早于微分学B . 微分学早于积分学 C.积分学与微分学 同期 D . 不确定4. 在现存的I 11国古代数学著作I I ＇，故早的← ·部是 （ D )A . 《子算经》B.《型经》 c .《5. 发现著名公式 e ;9 =cos θ ＋i s in θ 的是（ A 笛卡尔 B 牛顿 C 莱布尼茨 6 . q 1国古典数学发展的顶峰时期是（ D ）。

D 拉 D ）。

A.两汉时期 B .隋唐时期 C.普南北朝时期 D.宋元时期 7 . 敲早使用 “函数” （fu n ctio n ）这 ·术语的数学家是（ A ）。

A.莱布尼茨B.约翰 ·f(I 努利C.雅各布 ·响’l 努利D.欧拉 8. 1834 年有位数学家发现了 .个处处连续但处处不可微的 函数例子 ，这位数学 家是（ B ）。

A.高斯 B.波尔资诺 C.尔斯特拉斯 D .柯西 9 . 古埃及的数学知识常常记载在 （ A）。

A.纸草书上 B.竹片上 C.木版上 D.泥报上10. 大数学家欧拉出生于 （ A )A.瑞士B .奥地利 C.德罔 D.法罔II . 首先获得四次方程”般解法的数学家是（D ）。

A.塔塔利亚B .卡到 C.费罗D.费拉利12 . 《九章算术》 的 “少广 ” 章主要讨论 （D ）。

A. 比例术B .而积术C.体积术D.开方术13. 最早采用位值制记数的国家或 民族是（A )oA 美索不达米 －B 埃及 C.阿拉伯 D 印度二、填空题 （每空 1 分，共 28 分）14 . 希尔伯特征历史上第 ·协 明确地提出 了选择和组织公理系统的原则，即：杭｜容性、完备性、独立性15. 在现存的小国肯代数学著作小 ，《周僻算经》 是最早的’ 古币。

华中师大《数学史》练习题库及答案《数学史》练习题库及答案一填空1数学史的研究对象是 2数学史分期的依据主要有两大类其一是根据来分期其一是根据来分期317世纪产生了影响深远的数学分支学科它们分别是 418世纪数学的发展以为主线5整数458 用古埃及记数法可以表示为6研究巴比伦数学的主要历史资料是而莱因特纸草书和莫斯科纸草书是研究古代的主要历史资料7古希腊数学发展历经1200多年可以分为时期和时期817世纪创立的几门影响深远的数学分支学科分别是笛卡儿和创立了解析几何牛顿和创立了微积分和帕斯卡创立了射影几何和费马创立了概率论费马创立了数论919世纪数学发展的特征是精神和精神都高度发扬10整数458 用巴比伦的记数法可以表示为11数学史的研究内容从宏观上可以分为两部分其一是内史即其一是外史即19世纪数学发展的特征可以用以下三方面的典型成就加以说明1分析基础严密化和2和射影几何的完善3群论和 1320世纪数学发展日新月异突飞猛进其显著趋势是数学基础公理化数学发展整体化的挑战应用数学异军突起数学传播与的社会化协作的导向14《九章算术》的内容分九章全书共问魏晋时期的数学家曾为它作注15整数458 用玛雅记数法可以表示为16数学史的研究对象是数学这门学科产生发展的历史既要研究其历史进程还要研究其17古希腊数学学派有泰勒斯学派毕达哥拉斯学派厄利亚学派巧辩学派柏拉图学派欧多克索学派和 18阿拉伯数学家在他的著作中系统地研究了当时对一元一次和一元二次方程的求解方法1919世纪数学发展的特点可以用以下三方面的典型成就加以说明1和复变函数论的创立2非欧几里得几何学问世和3在代数学领域与非交换代数的诞生20整数458 用古印度记数法可以表示为《九章算术》内容丰富全书共有章大约有个问题22世界上第一个把π计算到31415926π 31415927 的数学家是23亚力山大晚期一位重要的数学家是他唯一的传世之作《数学汇编》是一部荟萃总结前人成果的典型著作24古希腊亚历山大时期的数学家在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论其著作《》代表了希腊演绎几何的最高成就25发现不可公度量的是古希腊学派该发现导致了数学史上的第次数学危机26我国的数学教育有悠久的历史代开始在国子寺里设立算学代则在科举考试中开设了数学科目叫明算科27《几何基础》的作者是该书所提出的公理系统包括组公理选择数学史的研究对象是A数学学科知识 B历史学科知识 C数学学科产生发展的历史2中国传统数学以为基础以算为主寓理于算A算筹 B筹算C珠算3阿尔-花拉子模称为平方和根等于数的方程形如AX2 2X 3 BX2 2 3X CX2 2X 34《九章算术》的作者A是刘徽 B是杨辉 C不可详考5柯西把分析学的基础建立在之上A导数论B极限论 C集合论6世界上讲述方程最早的著作是A中国的《九章算术》 B阿拉伯花拉子米的《代数学》C卡尔丹的《大法》 D牛顿的《普遍算术》7《数学汇编》是一部荟萃总结前人成果的典型著作它被认为是古希腊数学的安魂曲其作者为A托勒玫 B帕波斯 C阿波罗尼奥斯 D丢番图8美索不达米亚是最早采用位值制记数的民族他们主要用的是A六十进制 B十进制 C五进制 D二十进制三解释古希腊数学学派阿拉伯数学中国传统数学方程术印度数学6《几何原本》7阿尔-花拉子模8牟合方盖9筹算10不可分量原理大衍求一术12超实数域13巴比伦楔形文字泥板14《海岛算经》15穷竭法原理16开方术17朱世杰什么朝代什么地方的人代表著作和数学创造18简述阿基米德的生活时代代表著作以及在数学上的主要成就四求解用几何直观的方法证明正五边形的边与其对角线不可以公度以 X2 8X 84 为例说明阿尔-花拉子模求解一元二次方程正根的方法并给出相应的几何释意3以为例说明泰塔格利亚和卡丹求解一元三次方程的基本思路和主要成果4曲边四边形由XY kk0X 2Y 0X 8 所围成试用不可分量原理求该曲边四边形绕 Y 轴旋转一周所成旋转体体积5用古希腊的几何代数法求解一元二次方程 X2 6X 16 06用秦九韶的大衍求一术求解一次同余式组N 1mod 7 2mod 8 3mod 97 用几何直观的方法证明正方形的边与其对角线不可以公度8用古希腊的几何代数法求解并给出相应的几何释意五注释1对于给定的两个数分别加上某个数使它们成为两个平方数[丢番图方法]用现代数学符号可以表示为丢番图的解题方法是取构成差 3 - 2 1 取两数积等于该差设解得要求分析丢番图解法的要点并论证其合理性2《张丘建算经》卷上第23问今有女善织日益功疾初日织五尺今一月日织九匹三丈问日益几何答曰五寸二十九分寸之十五术曰置今织尺数以一月日而一所得倍之又倍初日尺数减之余为实以一月日数初一日减之余为法实如法而一将题文术文翻译成现代汉语注释题文术文论述其造术原理3求四个数使这四个数之和的平方加上或减去这四个数中的任意一个数所得的仍然是一个平方数[丢番图解法] 取四组数655239655633656025656316令将 x1 4056 2 代入解得故 j 1 2 3 4 可求得要求分析丢番图解法的要点并说明其合理性今有人持米出三关外关三而取一中关五而取一内关七而取一余米五斗问持米几何答曰十斗九升八分升之三术曰置米五斗以所税者三之五之七之为实以余不税者二之四之六之为法实如法而一要求将题文术文翻译成现代汉语论述其造术原理5已知一个数为两个平方数之和把它分成另外两个平方数之和 [丢番图解法]x2 y2 m2 n2 取 13 2232令 x2 22 y2 2 -32 由 22 2 -32 13解得 85 故 x2 32425 y2 125要求分析丢番图的解法原理并探讨其解法的变化 6今有与人钱初一人与三钱次一人与四钱次一人与五钱以次与之转多一钱与讫还敛聚与均分之人得一百钱问人几何答曰一百九十五人术曰置人得钱数以减初钱数余倍之以转多钱数加之得人数要求将题文术文翻译成现代汉语分析其造术原理7 如图取KL上任一点Z使由于NO非常小设则有 1有即类似地可以得到曲边四边形面积 2要求用上例说明巴罗已经认识到微分与积分的互逆关系8《九章算术》均输第16问今有客马日行三百里客去忘持衣日已三分之一主人乃觉持衣追及与之而还至家视日四分之三问主人马不休日行几何答曰七百八十里术曰置四分日之三除三分日之一半其余以为法副置法增三分日之一以三百里乘之为实实如法得主人马一日行要求将题文术文翻译成现代汉语注释题文术文论述其造术原理《数学史》复习题参考答案一填空22分1数学史的研究对象是数学这门学科产生发展的历史既要研究其历史进程还要研究其一般规律2数学史分期的依据主要有两大类其一是根据数学学科自身的研究对象内容结构知识领域的演进来分期其一是根据数学学科所处的社会政治经济文化环境的变迁来分期317世纪产生了影响深远的数学分支学科它们分别是解析几何微积分射影几何概率论数论418世纪数学的发展以微积分的深入发展为主线5整数458 用古埃及记数法可以表示为6研究巴比伦数学的主要历史资料是契形文字泥板而莱因特纸草书和莫斯科纸草书是研究古代埃及数学的主要历史资料7古希腊数学发展历经1200多年可以分为古典时期和亚历山大里亚时期817世纪创立的几门影响深远的数学分支学科分别是笛卡儿和费马创立了解析几何牛顿和莱布尼茨创立了微积分笛沙格和帕斯卡创立了射影几何帕斯卡和费马创立了概率论费马创立了数论919世纪数学发展的特征是创造精神和严格精神都高度发扬10整数458 用巴比伦的记数法可以表示为11数学史的研究内容从宏观上可以分为两部分其一是内史即数学内在学科因素促使其发展其一是外史即数学外在的似乎因素影响其发展19世纪数学发展的特征可以用以下三方面的典型成就加以说明1分析基础严密化和复变函数论创立2非欧几里得几何学问世和射影几何的完善3群论和非交换代数诞生1320世纪数学发展日新月异突飞猛进其显著趋势是数学基础公理化数学发展整体化电子计算机的挑战应用数学异军突起数学传播与研究的社会化协作新理论的导向14《九章算术》的内容分九章全书共246问魏晋时期的数学家刘徽曾为它作注15整数458 用玛雅记数法可以表示为16数学史的研究对象是数学这门学科产生发展的历史既要研究其历史进程还要研究其一般规律17古希腊数学学派有泰勒斯学派毕达哥拉斯学派厄利亚学派巧辩学派柏拉图学派欧多克索学派和亚里士多德学派18阿拉伯数学家阿尔-花拉子模在他的著作《代数学》中系统地研究了当时对一元一次和一元二次方程的求解方法1919世纪数学发展的特点可以用以下三方面的典型成就加以说明1分析基础严密化和复变函数论的创立2非欧几里得几何学问世和射影几何的完善3在代数学领域群论与非交换代数的诞生20整数458 用古印度记数法可以表示为21 九246 22 祖冲之 23 帕波斯 24阿波罗尼兹圆锥曲线 25 毕德哥拉斯一26 隋唐唐至五代 27 希尔伯特五二选择题数学史的研究对象是CA数学学科知识 B历史学科知识 C数学学科产生发展的历史2中国传统数学以B为基础以算为主寓理于算A算筹 B筹算C珠算3阿尔-花拉子模称为平方和根等于数的方程形如AAX2 2X 3 BX2 2 3X CX2 2X 34《九章算术》的作者CA是刘徽 B是杨辉 C不可详考5柯西把分析学的基础建立在B之上A导数论B极限论 C集合论6世界上讲述方程最早的著作是 AA中国的《九章算术》 B阿拉伯花拉子米的《代数学》C卡尔丹的《大法》 D牛顿的《普遍算术》7《数学汇编》是一部荟萃总结前人成果的典型著作它被认为是古希腊数学的安魂曲其作者为 BA托勒玫 B帕波斯 C阿波罗尼奥斯 D丢番图8美索不达米亚是最早采用位值制记数的民族他们主要用的是 AA六十进制 B十进制 C五进制 D二十进制三解释28分古希腊数学学派公元前6世纪公元前3世纪是古希腊的古典时期当时的哲学家也是数学家先后形成以一两位杰出人物为中心的组织开展学术或政治或宗教活动这类组织被称为古希腊哲学学派亦即古希腊数学学派他们相继是泰勒斯学派毕达哥拉斯学派厄利亚学派巧辩学派柏拉图学派欧多克索学派和亚里士多德学派他们为初等数学的开创作出重要贡献阿拉伯数学公元8世纪15世纪在中东北非和西班牙等地的伊斯兰国家以阿拉伯文字书写为主的数学著作所代表的数学为阿拉伯数学作出贡献的人不止于阿拉伯人还有希腊人波斯人犹太人甚至有基督徒阿拉伯数学在世界数学史上有承前启后的作用有人称之为欧洲近代数学的继父阿拉伯数学的兴衰经历了89世纪的初创913世纪的兴盛14世纪以后外传三个阶段中国传统数学从远古到明代在中国独立产生发展起来的数学知识体系它以筹算为基础以算为主寓理于算广泛应用它有明显的算法化模型化程序化机械化的特征方程术载于《九章算术》卷八方程章按现代数学的观点方程术是指多元线性方程组的求解方法方程术采用线性方程组系数的增广矩阵通过遍乘直除的方法即矩阵的初等行变换将矩阵化为三角阵逐一求解各变量的值这种方法与19 世纪德国数学家高斯的方法完全一致只是矩阵的书写是竖式转置后与现代的表达完全一样而且3世纪的刘徽在注释方程术时还明确指出方程组有解的条件即行之左右无所同存且为有所据而言耳印度数学 6世纪 12世纪印度文明古国的数学与历法都受婆罗门宗教的影响而发展起来同阿拉伯中国都有来往但记载不详在印度 ganita 计算载于宗教书年代不详公元后该字被分为Pati-ganita 算术Bija-ganita代数Krestra-ganita几何因明似与逻辑学同义与数学关系不明古希腊似的几何论证并不发展先进的十进位值制使用记号的代数却发展起来这个时期有著名的数学家 Arya-Bhatta476 550阿利阿伯哈塔 Brahmagupta598 660婆罗摩及多梵藏 Bhaskara Acharya1114 1185婆什迦罗6《几何原本》公元前 3 世纪古希腊数学家欧几里得的巨著版本目前可见最早的是888年希腊文抄本最早的中译本是1607年徐光启笔译后来1857 年李善兰续中译本1925年TLHeath英译本比较权威1990年有中译本内容原版13卷后人有扩充成15卷的版本 13卷的内容包括 [1] 直线形 [2] 几何代数法 [3] 圆 [4] 多边形 [5] 比例论 [6] 相似形 [7] [8] [9] 数论 [10] 不可公度比 [11]立体图形 [12] 求积术 [13] 正多面体这些数学知识可以追溯到古希腊古典时期的数学学派乃至巴比伦和古埃及特征1大量引用古希腊古典时期数学家的数学成就2采用独特的编写方式先给出定义公设公理再由简到繁由易到难地证明一系列命题首次用公理化方法建立数学知识逻辑演绎体系成为后世西方数学的典范7阿尔-花拉子模约 780 840一说850 A - KhowarizmiMohammed ibn Musa 曾担任巴格达智慧宫的主持人著有《代数学》《Al - jabr Wal muqabala 》《Algebra》意为复原与化简其中讨论一元一次二次方程求解用数根平方分别表示常数xx2研究以下形式的方程 ax2bx ax2c bxc ax2bxc ax2bxc ax2cbx譬如 x2 10x 39称之为平方和根等于数型对于每一种方程给出解法求出根和平方两个结果但是一般只有正根另外给出几何证明以示其解法的合理性8牟合方盖一个正方体用它的两个中心轴线互相垂直的内切圆柱贯穿所得到的相贯体它是公元3世纪的刘徽在注开立圆术时提出的概念并认识到它与其内切球的体积之比为 4 但是不会计算它的体积6世纪的祖用缘幂势既同则积不容异的原理求出了它的体积进而求出了球体积9筹算在中国传统数学中把生产生活中的实际问题转换成一定的数学模型采用算筹表示数按照特定术文进行运算从而解决实际问题筹算具有明显的算法化模型化程序化机械化的特征筹算以算为主寓理于算广泛应用10不可分量原理意大利数学家CavalieriFrancesco Bonaventure1598 1647在《用新的方法推进连续体的不可分量的几何学》1635提出不可分量原理线段是无数个等距点构成面积是无数个等距平行线段构成体积是无数个等距平行平面构成这些点线段平面是长度面积体积的不可分量Cavalieri 利用这种不可分量进行长度面积体积的计算及其相关的推理但是他未能对不可分量作出严格的论述数学家们对此褒贬不一1644年Cavalieri本人发现了关于不可分量的悖论大衍求一术大衍求一术起源于 5 世纪的《孙子算经》卷下第 26 问物不知其数世纪秦九韶的《数书九章》1247年总结出该算法现在国际上称之为中国剩余定理秦九韶的工作可以用现代数学术语表示如下对于一般的一次同余式组 N Ri mod Ai i 1 2 3n 给出大衍总数术它包括两部分1将 Ai 化为 ai 使 aiaj 1i j 得到等价问题 N Ri mod aii 123n 此为化问数为定数 2求解 ki ×gi1 mod aii 1 2 3 n 得到 ki 从而N Ri Ki Mai - pM i 1 2 3 n 其中 M ai gi ai 为 mI MaI累减 ai 所得余 p 为适当的非负整数使N M 此为大衍求一术12超实数域在美国数学家 RobinsonAbraham1918 1974创立非标准分析中假设存在实数域 R 的一个有序域正真扩张 RR 的元素称之为超实数若 xR r0rR 有xr 则 x 称为无穷小若 xy R x - y 是无穷小则 x y为无限接近记为x y 对于每一个有限超实数 x 存在唯一实数 r 使 r x 则这个唯一的 r 为 x 的标准部分记为 r St x xR 在 r St x 周围有与 x 相差为无穷小的单子的集合在此基础之上建立超实数域上的微积分把无穷小作为一个逻辑实体又有求标准部分的方法为微积分的运算和推理带来了方便13巴比伦楔形文字泥板现在我们研究巴比伦数学知识的积累最可靠的资料它是用截面呈三角形的利器作笔在将干而未干的胶泥板上斜刻写而成的由于字体为楔形笔画故称之为楔形文字泥板书从19世纪前期至今相继出土了这种泥板有50万块之多其中大约有300至400块是数学泥板数学泥板中又以数表居多据推测这些数表是用来运算和解题的这些古老的泥板现在散藏于世界各地许多博物馆内并且被一一编号在这些泥板书中记录了巴比伦人当时的数学成就14《海岛算经》刘徽注释《九章算术》勾股之后感到意犹未尽又自撰了九问附于勾股之后皆为重差术之题因此有的《九章算术》版本把它作为第十章称为重差后来还是将它独立出来成为《海岛算经》15穷竭法原理如果从任何量中减去不小于其一半的量从余下的量中再减去不小于其一半的量如此类推那么最后余下的量将小于任何事先给定的同类量16开方术最早载于《九章算术》少广第 12 问的开平方术还有开带从平方以及开立方和开带从立方术后来又演变成增乘开方法可以开任意次方并且算法规范人们都认为中国传统数学中的开方术与高次方程数值解相关17朱世杰什么朝代什么地方的人代表著作和数学创造答朱世杰是13 世纪至14 世纪元代数学家燕山人代表著作是《四元玉鉴》其主要数学成就是求解方程的四元术高阶等差数列研究及其在内插法上的应用18简述阿基米德的生活时代代表著作以及在数学上的主要成就答阿基米德生活在古希腊亚历山大前期代表著作有《论球与圆柱》《圆的度量》《劈锥曲面与回转椭圆体》《论螺线》《平面图形》《数沙器》《抛物线图形求积法》等阿基米德的主要成就有用力学方法求出球体积抛物或弓形的面积托球体抛物或旋转体截体和球缺体积用穷竭法求出圆面积和一系列曲边形面积与体积得到的近似值为227四求解24分用几何直观的方法证明正五边形的边与其对角线不可以公度解 a b r3 r1 r2b a r1a r1 r2r1 r2 r3 r2 r3 r4 rn rn1 rn2只有当 rn 0 时a 与 b 才能公度而这是不可能的以 X2 8X 84 为例说明阿尔-花拉子模求解一元二次方程正根的方法并给出相应的几何释意解[解法步骤] ____________ ___________82 82 2 82 2 84 82 2 84 82 2 84 - 82 10 4 6 6 2 36 4x 42 4x424x 4x4x x24x x23以为例说明泰塔格利亚和卡丹求解一元三次方程的基本思路和主要成果泰塔格利亚的解法设则有对于这个方程组用巴比伦人的方法可以求解即可求出开立方后即得卡丹的工作用变换化为型三次方程再用泰塔格利亚的方法求解此后他还对这种方法给出了几何证明如图考虑两个正方体AECL其体积之差值为20若令 AC×CK 2能作出 BC CK则 AB AC - BC 为所求为此在正方体AE 中划分出正方体DC使 VDC VCL于是产生以下分割 VDC BC3 VDF AB3VDE BC×AB2VDA AB×BC2 VAE AC3 BC3 CK3由图可见 AC3 - BC3 3VDA 3VDE VDF 1由于 AC×CK 2所以 AC×3CK 6即有AB×AC×3CK 6 AB3 AB×AC×BC 6 AB 2而 AB×AC×BC VDA VDE 所以 6AB 3 AB×AC×BC 3×DA 3×DE3将3代入1得 AC3 - BC3 6AB VDF即有AB3 6AB 20故AB AC - BC4曲边四边形由XY kk0X 2Y 0X 8 所围成试用不可分量原理求该曲边四边形绕 Y 轴旋转一周所成旋转体体积解 __取 OA 2 2k 任取垂直于y 轴的截面 MN 可有S侧 2OLLM 2k S截 OA22 2k 一一对应两两相等由不可分量原理得 V 2 k m5用古希腊的几何代数法求解一元二次方程 X2 6X 16 0解将方程化为X2 6X 42 0如图取 AB 6 AP PB作 BC 垂直于 AB取 BC 4以 P 为圆心以PC 为半径划弧交 AB 的延长线于D则有向线段 AD 或DB 为所求的解用秦九韶的大衍求一术求解一次同余式组N 1mod 7 2mod 8 3mod 9解求定数 7 89 a17a28 a39a1a2a3 为 Ai 的最小公倍数且aiAi 即得N 1 mod7 2 mod8 3 mod9 求衍母 M 7 ×8 ×9 504 求衍数 m172 m263 m356求奇数g12 g27g32求乘率k1 ×2 1mod7k2 ×7 1mod8k3 ×2 1mod9k1 4 k2 7 k3 5求泛用k1m1288 k2m2441 k3m3280故得 N 1×288 2×441 3×280 mod 7×8×9 N 2010 - 3×504 498用几何直观的方法证明正方形的边与其对角线不可以公度如上图正方形ABDC的边对角线由A作∠BAD的平分线交BD于E过E作EB′⊥AD 交AD于B′过E作∠B′ED的平分线交B′D于E′过E′作E′B"⊥BD 交BC于B"过E′作∠B" E′D的平分线交B" D于E"BEr1 B′E′ r2 通过简单的几何证明就可以得到如下的关系式其中的 rn 可以无穷无尽地写下去所以正方形的边与对角线之比成为不可公度比即无法找到一个单位能够分别把和量尽用古希腊的几何代数法求解并给出相应的几何释意如图设即解方程满足五注释26分1对于给定的两个数分别加上某个数使它们成为两个平方数[丢番图方法]用现代数学符号可以表示为丢番图的解题方法是取构成差 3 - 2 1 取两数积等于该差设解得要求分析丢番图解法的要点并论证其合理性[分析] 上面我们看到的是不定方程如何求解上述解法合理吗我们知道解方程一般原理是消元降次但是丢番图是如何消元降次的呢他确实是很有讲究的[评论]我们不妨设取令则得关键在于 2《张丘建算经》卷上第23问今有女善织日益功疾初日织五尺今一月日织九匹三丈问日益几何答曰五寸二十九分寸之十五术曰置今织尺数以一月日而一所得倍之又倍初日尺数减之余为实以一月日数初一日减之余为法实如法而一将题文术文翻译成现代汉语注释题文术文论述其造术原理 [译文]今有一女子善长织布一天比一天快第一天织5尺一个月织9匹3丈问她每天比前一天多织多少答5寸15 29 寸 [解法]9匹3丈 3025尺29匹3丈 302 - 5尺230 1[9匹3丈 302 - 5尺2] 30 - 1 [造术原理]按现代数学的观点这是关于等差数列的问题已知首项 a1 前n 项的和 Sn 求公差 d 解法Sn [a1 an n ] 2 而an a1 n - 1d Sn [a1 a1 n - 1d] 2 d Sn 2 - 2 a1 n - 1这与以上解法的表达完全一样可见中国古代数学中已经有关于等差数列的求解问题3求四个数使这四个数之和的平方加上或减去这四个数中的任意一个数所得的仍然是一个平方数[丢番图解法] 取四组数655239655633656025656316令将 x1 4056 2 代入解得故 j 1 2 3 4 可求得要求分析丢番图解法的要点并说明其合理性[分析] 丢番图解法的合理性关键在于巧妙地取了四组勾股数在直角。

一、单项选择题1、古代美索不达米亚的数学成就主要体现在(A )A.代数学领域B.几何学领域C.三角学领域D.解方程领域2、建立新比例理论的古希腊数学家是( C)A.毕达哥拉斯B.希帕苏斯C.欧多克斯D.阿基米德3、我国古代关于求解一次同余式组的方法被西方称作“中国剩余定理”，这一方法的首创者是( D )A.贾宪B.刘徽C.朱世杰D.秦九韶4、下列著作中，为印度数学家马哈维拉所著的是( B)A.《圆锥曲线论》B.《计算方法纲要》C.《算经》D.《算法本源》5、在射影几何的诞生过程中，对于透视画法所产生的问题从数学上直接给予解答的第一个人是( C )A.达·芬奇B.笛卡儿C.德沙格D.牛顿6、提出行星运行三大定律的数学家是( D )A.牛顿B.笛卡儿C.伽利略D.开普勒7、欧拉从事科学研究工作的地方，主要是( B)A.瑞士科学院B.俄国圣彼得堡科学院C.法国科学院D.英国皇家科学院8、《几何基础》的作者是(C)A.高斯B.罗巴契夫斯基C.希尔伯特D.欧几里得9、提出“集合论悖论”的数学家罗素是( A)A.英国数学家B.法国数学家C.德国数学家D.巴西数学家10、运筹学原意为“作战研究”，其策源地是(A )A.英国B.法国C.德国D.美国11、数学的第一次危机，推动了数学的发展。

导致产生了（ A ）A欧几里得几何 B非欧几里得几何 C微积分 D集合论12、世界上第一个把π计算到3.11415926 <π<3.1415927的数学家是（祖冲之）13、我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是（ C ）A秦九韶 B杨辉 C朱世杰 D贾宪14、变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式。

这个函数定义在18世纪后期占据了统治地位，给出这个函数定义的数学家是（ C ）A莱布尼茨 B约翰贝努利 C欧拉 D狄利克雷15、几何原本的作者是（欧几里得）16、世界上讲述方程最早的著作是（中国的九章算术）17、就微分学与积分学的起源而言（ A ）A 积分早于微分B 微分早于积分C 积分与微分同时期D 不确定18、在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是（周脾算经）19、中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是（三国时期的赵爽）20、发现不可公度量的是（毕达哥拉斯学派）二、填空题1. 人类关于数概念的认识大致经历过（身体指代、集合指代、刻痕记事、语言表达、科学记数）等五个阶段。

专题42 中考数学史类试题解法初中阶段了解一些著名的中外数学家的事迹及其贡献，可以激发学生学习数学的积极性和主动性，通过学习数学家研究问题的思想，提升学生数学观念、科学思维、科学探究、科学态度等核心素养的是十分重要的举措。

1.秦九韶秦九韶（1208年－1261年）南宋官员、数学家.著作《数书九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。

他在1247年著成《数书九章》十八卷．全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。

在世界数学史上占有崇高的地位。

2.杨辉杨辉，字谦光，中国南宋（1127～1279）末年钱塘（今杭州市）人。

其生卒年月及生平事迹均无从详考。

据有关著述中的字句推测，杨辉大约于13世纪中叶至末叶生活在现今浙江杭州一带，曾当过地方官，到过苏州、台州等地。

是当时有名的数学家和数学教育家，他每到一处都会有人慕名前来请教数学问题。

杨辉一生编写的数学书很多，被称为《杨辉算法》。

杨辉继承中国古代数学传统，他广征博引数学典籍，引用了现已失传的宋代的许多算书，使我们才得知其部分内容。

其中，刘益的“正负开方术”，贾宪的“增乘开方法”与“开方作法本源”图（即误传为“杨辉三角”），就是极其宝贵的数学史料。

3.刘徽三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一。

他是魏晋时代山东邹平人。

终生未做官。

他在世界数学史上，也占有杰出的地位他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。

《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。

在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。

他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。

在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则改进了线性方程组的解法。