下载文档原格式
抽屉原理公式及例题
抽屉原则一：
如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：
如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有：①k=[n/m ]+1个物体：当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体：当n能被m整除时。
理解知识点：表示不超过X的最大整数。
问题：构造物体和抽屉。
也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。
例1．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？
解：把3种颜色看作3个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于3，故至少取出4个小球才能符合要求。
例2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？
解：点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同。
这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同。
第5讲抽屉原理初步一、学习目标1.理解抽屉原理的概念，学会从“最倒霉”情况思考问题。
2.利用抽屉原理解释并证明一些结论及生活中的一些问题。
二、知识要点桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。
这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。
抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。
” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。
它是组合数学中一个重要的原理。
三、例题精选【例1】把15个球放进4个箱子里，至少有多少个球要放进同一个箱子里？【巩固1】在街上任意找来50个人，可以确定，这50人中至少有多少个人的属相相同？【例2】库房里有一批篮球、排球、足球，每人任意搬运两个，问在41个搬运者中，至少有几个人搬运的球完全相同？【巩固2】桌子上摆放着香蕉、橘子、芒果、橙子各若干个，50个小朋友可以从中任取两种不同的水果，那么至少有几个小朋友取的水果完全相同？【例3】某班有40个小朋友，张老师拿来了一些糖果，随意分给小朋友们。
那么张老师至少需要多少块糖果，才能保证至少有一个小朋友可以分到3块？【巩固3】体育场聚集着一群人在看演唱会，那么至少有多少人，才能保证观众中有6个人的生日在同一天？【例4】把125本书分给若干个学生，为保证至少有一人可以分到4本书，那么学生最多可以有多少人？【巩固4】100个苹果分给若干只猴子，为保证至少有一只猴子拿到7个苹果，那么猴子最多可以是多少只？【例5】张老师在一次数学课上出了两道题，规定每道题做对得2分，做错得0分，没做扣1分。
张老师说：可以肯定全班同学中至少有8名学生的得分相同。
那么，这个班最少有多少人？【巩固5】一个箱子里2行5列共10个小方格，将每一个小方格涂上红色或蓝色。
小威发现无论如何涂，其中至少总有两列的涂色方式是一样的，试说明原因。
一．第一抽屉原理原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能.原理2：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn 个物体,与题设不符，故不可能。
原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
二．第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
例1：400人中至少有2个人的生日相同.例2：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同.例3: 从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
例4:从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
例5：从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。
三．抽屉原理与整除问题整除问题：把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1，m+1，2m+1，3m+1，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。
(证明：n+1个自然数被n整除余数至少有两个相等（抽屉原理），不妨记为m=a1*n+b n=a2*n+b，则m-n整除n)。
例1 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。
四．经典练习：1．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色不相同，则最少要取出多少个球？解析：把3种颜色看作3个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于7，故至少取出8个小球才能符合要求。
抽屉原理知识要点最不利原则所谓“最不利原则”是指完成某一项工作先从最不利的情况下考虑，然后研究任意情况下可能的结果。
由此得到充分可靠的结论。
抽屉原理又称鸽巢原理或Dirichlet原理如果把1n+个苹果任意放入n个抽屉，那么必定有一个抽屉里至少有两个苹果。
这个现象就是我们所说的抽屉原理。
抽屉原理在国外又称为鸽巢原理。
（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。
它是由德国数学家狄利克雷（G.Lejeune Dirichlet，18051859~）首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。
它是组合数学中一个重要的原理。
抽屉原理1：如果把多于n件物品任意放到n个抽屉中，那么必有1个抽屉至少有2件物品。
抽屉原理2：如果把多于m nm+件物品。
⨯件物品任意放到n个抽屉中，那么必有1个抽屉至少有1抽屉原理3：如果把无穷多件物品任意放到n个抽屉中，那么必有1个抽屉至少有无穷多件物品。
最不利原则【例 1】一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张。
那么至少从中摸出多少张牌，才能保证在摸出的牌中有黑桃？【例 2】一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张。
那么至少从中摸出多少张牌，才能保证至少有3张牌是红桃？【例 3】一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张。
那么至少从中摸出多少张牌，才能保证有5张牌是同一花色的？【例 4】（2004年第九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第8题）一副扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能使其中至少有2张牌有相同的点数？【例 5】（1988年第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第11题）一副扑克牌有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌。
问：最少要抽多少张牌，才能保证有4张牌是同一花色？【例 6】（2006年3月8日第十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第13题）自制的一幅玩具牌共计52张（含4种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅。
抽屉原理例1：把3个苹果放进2个抽屉里，不论怎么放，必有一个抽屉里至少放有多少个苹果？解：把3个苹果放进2个抽屉里，可以有两种不同类型的放法：一类是一个抽屉里1个苹果也不放，一个抽屉里放3个苹果；另一类是把3个苹果分放在2个抽屉里，一个抽屉放2个苹果，另一个抽屉放1个苹果。
但无论怎么放，都肯定有一个抽屉里放2个或2个以上的苹果。
例2：某校五年级有61名学生是4月份出生的，那么其中至少有几名学生的生日是在同一天？解：4月份有30天，可以看作30个抽屉，把61名学生看作61个元素。
因为61＝30×2＋1，根据抽屉原理（二），至少有2＋1个元素放入同一个抽屉里。
所以其中至少有3名学生的生日是在同一天。
例3：夏令营组织1390名学生去游览：上海地铁一号线、东方明珠电视塔、杨浦大桥。
规定每人至少去一处游览，最多去两处游览，那么至少有几个人游览的地方完全相同？解：游览一处仅有三种方法：上海地铁一号线、东方明珠电视塔、杨浦大桥，游览两处也仅有三种方法：上海地铁一号线和东方明珠塔、上海地铁一号线和杨浦大桥、东方明珠塔和杨浦大桥，共有6种方法，把它看成六类。
1390名学生按游览方法归入这六类中，所以至少有一类有1390÷6＝231……4，231＋1＝232（人），即至少有232人游览的地方完全相同。
例四：有红、黄、蓝、绿四种颜色的小球各10个，混合放在一个布袋里，一次最少摸出多少个，才能保证有5个小球是同色的？解：把四种颜色看作四个抽屉，把球看作元素，要保证摸出有5个小球是同色的，根据抽屉原理（二），最少有（5－1）×4+1=17个元素，才能使其中一个抽屉里保证有5个元素。
所以一次最少摸出17个小球，才能保证有5个小球是同色的。
练习题1、小明一星期写了8张大楷习字，其中必有一天他写的大楷习字不少于几张？2、一副扑克牌共有54张，问至少要取多少张牌才能保证其中必有3种花色？3、44名小学生都订阅了《儿童时代》、《少年报》、《少年文学》中的一种或几种，其中至少有几名小学生订阅的刊物种类完全相同？4、盒子中有70张粘帖纸，大小形状相同，每种图案各有7张，一次至少取出多少张，才能保证其中至少有4张图案完全相同？5、某年级有212名学生，一年中每个星期都有学生过生日。
三、抽屉原理（一）
例1、把5个苹果放入4个果盘里，那么一定有某个果盘里至少有几个苹果？
做一做：
如果从5双袜子中挑出6只来，那么挑出的6只袜子中必定有几只是配对的，为什么？
例2、一个班有59名同学，那么其中至少有几名同学在同一个星期里过生日？
做一做：
某次联欢会有100人参加，每人在这个联欢会上至少有一个朋友。
那么，这100人中，至少有几个人的朋友数相同？
例3、任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数，为什么？
做一做：
任意8个自然数，其中至少有两个数的差是7的倍数，为什么？
练一练：
1、有12个小朋友，阿姨至少拿多少只苹果分给小朋友，方能保证至少有一个小朋友得到两只或两只以上的苹果？
2、某小学学生的年龄最大为13岁，最小为6岁，至少需要从中挑选几个同学，就一定能使挑出的同学中有两位同学岁数相同？
3、在100米的路上植树，至少要植多少棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米？
4、任意取几个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数？。
抽屉原理例1、证明：在任意n 个自然数构成的集合中，总有一个非空子集，它所含的各数之和被n 整除例2、给定1n +个正整数，其中每一个都不大于2n ，证明：其中必有两个数,a b 使得a b例3、（1）证明：在任意52个整数中，必有两个数，它们之和或差被100整除（2）设A 是从等差数列1,4,7,,100 中任意选取20个不同的整数所组成的集合，则A 中必有两个数，其和为104（3）由小于100的27个不同的奇数组成的集合中必有两个数，其和为102（4）由小于100的26个不同的奇数组成且任意两数之和均不等于102的集合有多少个？例4、（1）将集合{}1,2,,100 任意划分为七个子集，则至少有一个子集，或是含有这样的四个数使得其中的两数之和等于另两数之和，或是含有这样的三个数使得其中两数之和为第三个数的两倍（2）证明：将集合{}1,2,,9 任意划分为两个子集，则至少有一个子集，含有这样的三个数，其中两数之和为第三个数的两倍例5、任意1与99之间的10个自然数1210199a a a ≤<<<≤ ，证明：这个10元集{}1210,,,a a a 必有两个互不相交的子集,A B ，满足A 中各数之和等于B 中各数之和例6、给定1978个集合，每个集合都有40个元素，已知其中任意两个集合都恰有一个公共元素， 证明：存在一个元素，它属于所有的这1978个集合例7、设有1mn +个正整数满足121mn a a a +<<< ，证明下述两个结论中必有一个成立：（1）能从中选出1m +个数，每个数都不能被另外m 个数的任意一个除尽；（2）能从中选出1n +个数，从小到大排列，每个数都能整除其后面的数⨯棋盘上的每一个小方格都染成白色或黑色，求证在棋盘上必定包含一个矩形其四角例8、（1）把47上的四个小方格同色⨯棋盘的一种用黑、白两色的染色方式，使得棋盘上不存在（1）中的矩形（2）求出46⨯棋盘上的每一个小方格都染成黄色、红色或白色，求证在棋盘上必定包含一个矩形其例9、把1212四角上的四个小方格同色⨯棋盘上至少可以摆上多少个特利米诺角片，使得在不互相重叠的条件下无法在棋盘上再例10、在88摆放一个特利米诺角片例11、设3n ≥，能否在n n ⨯方格表的每个小方格中写上1,2,3中的某一个使得每行、每列以及对角线上的n 个数之和两两不相等？例12、设E 是等边ABC 三边上点的全体组成的集合，把E 中的点任意分成两个互不相交的子集，问：这两个子集中是否至少有一个子集，其包含一个直角三角形的三个顶点？例13、（1）可以把正整数集合N +的有限子集分成甲类和乙类，使得对于任意的N +的无限子集T ，存在正整数2k ≥，T 中既有甲类的k 元子集，又有乙类的k 元子集（2）存在具有下述性质的集合A N +⊂，对于任意一个由无穷多个素数组成的集合S ，存在正整数2k ≥，存在数m A ∈与数n N A +∈-，,m n 都可以表示为S 中的k 个不同素数的乘积抽屉原理（1）1、一个边长为1，锐角为60 的菱形，被三个相等的圆覆盖，求最小的可能半径2、111个点在一个边长为153个34、正方形被2005条直线分割，每一条都与正方形的一对对边相交，把正方形分成面积比为2:3的两个梯形，求证这2005条直线中至少502条共点5、对单位正方体八个顶点用红、蓝色染色，必有两组同色全等三角形组处各挖去一个以该点为中心，宽为2ε的“陷阱”，一6、设ε为任意小的正数，在数轴上1,2,,,n个“圆规式”的机器人从数轴上的A x轴正方向前进，求证：这个机器人的脚迟早要落入“陷阱”7、一家旅行馆有90个房间，住有100名旅客，如果每次恰有90名客人同时回来，证明：至少要准备990把钥匙才能使每次客人回来时每个客人都能用自己分得的钥匙打开一个房间住进去，同时避免每个人同时住进一个房间8、在边长为9的正方形上任取30个不同的整点，证明：其中必有四个点组成中心对称图形并且其对称中心也是整点9、有20个正整数满足122070a a a <<<< ，求证：在()j i a a j i ->中至少有四个相等10、有两个同心圆盘，各分成n 个相等的扇形，外盘固定，内盘可以转动，内外盘的扇形中分别写有数1212,,,;,,,n n a a a b b b 满足12120;0n n a a a b b b +++<+++< ；求证：一定可以将内盘转到一个适当的位置使得内外盘上的扇形对齐，这时n 个对齐了的扇形中的两数乘积之和为正数11、平面上有1999个不同的点，它们分布在一个平行四边形的内部，如果这个平行四边形的边长为27与37，夹角为6012、已知ABC 与三个矩形123,,R R R ，矩形的边平行于两个固定的方向，矩形的并集覆盖边,,AB BC CA ，即ABC 的周界上的每一点至少在一个矩形的内部或边上，证明这个三角形的每一点也被矩形123,,R R R 的并集覆盖13、在1515 的方格纸中的每一个小方格内任意的写上1,2,,56 中的一个数，求证：一定能找到四个小方格，它们的中心构成一个平行四边形的顶点，且这个平行四边形对角线两端的两个小方格中的数字之和相等14、M 是1985个不同自然数的集合，M 中的每一个数的素因数均小于25，求证：从M 中一定可以找到四个不同的数，使它们的乘积是一个自然数的四次方抽屉原理（2）1、已知一个集合，由任意10个互不相同的两位十进制正整数组成，求证：这个集合必有两个无公共元素的子集，它们所含元素之和相等2、17位科学家，其中每一个人都与其余所有的人通信，在他们的通信中，只讨论3个问题，且每两位科学家只讨论一个题目，求证：至少有3个科学家之间相互讨论同一个题目3、设S 是第一象限内整点的一个无穷集合，证明：至少有两点()(),,,A B S αβγδ∈使得,αγβδ≤≤4、把37⨯棋盘上的每一个小方格都染成白色或黑色，求证在棋盘上必定包含一个矩形其四角上的四个小方格同色5、任意凸15边形，至少存在有两条对角线他们的交角（指锐角）不超过26、任意一个30位的整数M ，可以找到一个整数X ，使得X 能被1979整除，且X 的后30位数是M7、求证：在凸()7n n ≥边形中，至少有两个内角,αβ使得()1cos cos 26n αβ-<-8、已知{}12100,,,1,2a a a ∈ 且从任何一项起，连续10个整数之和不超过16，求证：比存在r k >使得139k r a a +++=9、已知,,a b c 为正整数，求证存在不全为0的{}()1,0,11,2,3i x i ∈-=使得1237x a x b x c ++10、一张试卷共有4道选择题，每道选择题有3个选项,,a b c ，一群学生参加考试，阅卷发现：任3人都有一道题目的答案各不相同，试问参加考试的学生最多有几人？11、49个学生解3个问题，每道题的得分是0到7分的整数，求证：存在两个学生,A B 使得对每道题A 的得分不少于B12、设012,,,,n a a a a 是()13n n +>个正整数，满足：01223n a a a a n <<<<≤- 求证：存在不同的正整数{},,,,1,2,,i j k l m n ∈ 使得i j k l m a a a a a +=+=13、求最小的正整数n ，使得集合{}1,2,3,,2007 的每一个n 元子集中都有2个元素（可以相同），它们的和是2的幂.14、对于整数n ≥4，求出最小的整数)(n f ，使得对于任何正整数m ，集合{}1,...,1,-++n m m m 的任一个)(n f 元子集中，均有至少3个两两互素的元素。
抽屉原理一例1：某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？练习1：某校有370名1992年出生多的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，为什么？练习2：某校有30名学生是2月份出生的。
能否至少有两个学生的生日是同一天？练习3：15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？例2：某班学生去买语文书、数学书、外语书。
买书的情况是：有买一本的，二本的，也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？练习1：某班学生去买数学书、语文书、美术书、自然书。
买书的情况是：有买一本、二本、三本或四本的。
问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？练习2：学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。
每个学生从中任意借两本，那么至少要几个学生才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？练习3：一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有2个同色的？例3：一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的？练习1：一只布袋中装有大小相同、颜色不同的手套。
颜色有黑、红、蓝、黄四种。
问：最少要摸出多少只手套才能保证有4副同色的？练习2：布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。
颜色有白、黑、蓝三种。
问：最少要摸出多少只袜子，才能保证有3双同色的？练习3：一个布袋里有红、黄、蓝色袜子各8只。
每次从布袋中拿出一只袜子，最少要拿出多少只才能保证其中至少有2双颜色不同的袜子？抽屉问题一检测题1：某校有368名1996年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，为什么？2：某年级有31名学生是4月份出生的。
能否至少有两个学生的生日是在同一天？3：18个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？4：桌上有梨、苹果、橘子三种水果。
每个小朋友从中任意拿两样，那么至少要几个小朋友才能保证一定有两人所拿的水果属于同一种？5：一只袋子中装有红、蓝、黑色袜子各10只。
第39讲抽屉原理一、专题简析：把12个苹果放到11个抽屉中去，那么，至少有一个抽屉中放有两个苹果，这个事实的正确性是非常明显的。
把它进一步推广，就可以得到数学里重要的抽屉原理。
用抽屉原理解决问题，小朋友一定要注意哪些是“抽屉”，哪些是“苹果”，并且要应用所学的数学知识制造抽屉，巧妙地加以应用，这样看上去十分复杂，甚至无从下手的题目才能顺利地解答。
二、精讲精练例1：敬老院买来许多苹果、橘子和梨，每位老人任意选两个，那么，至少应有几位老人才能保证必有两位或两位以上老人所选的水果相同？练习一1、学校图书室买来许多故事书、科技书和连环画，每个同学任意选两本。
那么，至少应有几个同学，才能保证有两个或两个以上同学所选的书相同？2、布袋中有红、黄、橙三种颜色的木块若干块，每个小朋友任意摸两块木块。
那么，至少有多少个小朋友，才能保证有两个或两个以上小朋友所选的木块相同？例2：幼儿园大班有41个小朋友，老师至少拿几件玩具随便分给大家，才能保证至少有一个小朋友能得两件玩具？练习二1、小明家有5口人，小明妈妈至少要买几个苹果分给大家，才能保证至少有一人能得两个苹果？2、某学校共有15个班级，体育室至少要买几个排球分给各班，才能保证至少有一个班能得两个排球？例3：盒子里混装着5个白色球和4个红色球，要想保证一次能拿出两个同颜色的球，至少要拿出多少个球？练习三1、箱子里装着6个苹果和8个梨，要保证一次能拿出两个同样的水果，至少要拿出多少个水果？2、书箱里混装着3本故事书和5本科技书，要保证一次能拿出两本同样的书，至少要拿出多少本书？例4：一个布袋里装有红、黄、蓝袜子各5只，问一次至少取出多少只，才能保证每种颜色至少有一只？练习四1、抽屉里放着红、绿、黄三种颜色的球各3只，一次至少摸出多少只才能保证每种颜色至少有一只？2、书箱里放着4本故事书，3本连环画，2本文艺书。
一次至少取出多少本书，才能保证每种书至少有一本？例5：三（2）班有50个同学，在学雷锋活动中，每人单独做了些好事，他们共做好事155件。
第39讲抽屉原理一、专题简析：把12个苹果放到11个抽屉中去，那么，至少有一个抽屉中放有两个苹果，这个事实的正确性是非常明显的。
把它进一步推广，就可以得到数学里重要的抽屉原理。
用抽屉原理解决问题，小朋友一定要注意哪些是“抽屉”，哪些是“苹果”，并且要应用所学的数学知识制造抽屉，巧妙地加以应用，这样看上去十分复杂，甚至无从下手的题目才能顺利地解答。
二、精讲精练例1：敬老院买来许多苹果、橘子和梨，每位老人任意选两个，那么，至少应有几位老人才能保证必有两位或两位以上老人所选的水果相同？练习一1、学校图书室买来许多故事书、科技书和连环画，每个同学任意选两本。
那么，至少应有几个同学，才能保证有两个或两个以上同学所选的书相同？2、布袋中有红、黄、橙三种颜色的木块若干块，每个小朋友任意摸两块木块。
那么，至少有多少个小朋友，才能保证有两个或两个以上小朋友所选的木块相同？例2 ：幼儿园大班有41个小朋友，老师至少拿几件玩具随便分给大家，才能保证至少有一个小朋友能得两件玩具？练习二1、小明家有5口人，小明妈妈至少要买几个苹果分给大家，才能保证至少有一人能得两个苹果？2、某学校共有15个班级，体育室至少要买几个排球分给各班，才能保证至少有一个班能得两个排球？例3：盒子里混装着5个白色球和4个红色球，要想保证一次能拿出两个同颜色的球，至少要拿出多少个球？练习三1、箱子里装着6个苹果和8个梨，要保证一次能拿出两个同样的水果，至少要拿出多少个水果？2、书箱里混装着3本故事书和5本科技书，要保证一次能拿出两本同样的书，至少要拿出多少本书？例4：一个布袋里装有红、黄、蓝袜子各5只，问一次至少取出多少只，才能保证每种颜色至少有一只？练习四1、抽屉里放着红、绿、黄三种颜色的球各3只，一次至少摸出多少只才能保证每种颜色至少有一只？2、书箱里放着4本故事书，3本连环画，2本文艺书。
一次至少取出多少本书，才能保证每种书至少有一本？例5：三（2）班有50个同学，在学雷锋活动中，每人单独做了些好事，他们共做好事155件。
“抽屉原理例3”教学设计设计理念本课着眼于学生数学思维的发展，注重让学生充分体验猜测验证的推理过程，努力提高他们分析和解决问题的能力。
通过实验操作、假设推理等活动，调动学生已有的生活经验，引导他们体验运用“抽屉原理”进行逆向思维的探究过程，培养学生观察比较、动手操作、逻辑推理以及语言表达等能力。
让学生在应用“抽屉原理”的过程中，感受数学的魅力，激发他们学习数学的兴趣和探求数学知识的欲望。
教学内容《义务教育课程标准实验教科书数学》（人教版）六年级下册第70、72页。
学情与教材分析例题3是“抽屉原理”的具体应用，也是运用“抽屉原理”进行逆向思维的一个典型例子。
应该把什么看成抽屉，要分放的东西是什么。
学生在思考这些问题的时候，一开始可能会缺乏思考的方向，很难找到切入点。
而且，题中不同颜色球的个数，很容易给学生造成干扰。
因此教学时，教师要允许学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。
并在此基础上，逐步引导学生把具体问题转化为“抽屉问题”，找出这里的“抽屉”是什么，“抽屉”有几个，再应用前面所学的“抽屉原理”进行反向推理。
教学目标1. 通过观察、猜测、实验、推理等活动，寻找隐藏在实际问题背后的“抽屉问题”的一般模型。
体会如何对一些简单的实际问题“模型化”，用“抽屉原理”加以解决。
2.在经历将具体问题“数学化”的过程中，发展数学思维能力和解决问题的能力，感受数学的魅力。
同时积累数学活动的经验与方法，在灵活应用中，进一步理解“抽屉原理”。
教学准备一个盒子、4个红球和4个蓝球为一份，准备这样的教、学具若干份。
教学过程一、创设情境，猜想验证1.猜一猜，摸一摸。
（出示一个装了4个红球和4个蓝球的不透明盒子，晃动几下）师：同学们,猜一猜老师在盒子里放了什么?（请一个同学到盒子里摸一摸，并摸出一个给大家看）师：老师的盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，如果这位同学再摸一个，可能是什么颜色的？师：如果老师想这位同学摸出的球，一定有2个同色的，最少要摸出几个球？【设计意图：利用学生的好奇心理，创设摸物体的活动，激发学生的学习兴趣，为他们投入探究学习的活动做好情感铺垫。
】2.想一想，摸一摸。
请学生独立思考后，先在小组内交流自己的想法，再动手操作试一试，验证各自的猜想。
在这个过程中，教师要加强巡视，要注意引导学生思考本题与前面所讲的抽屉原理有没有联系，如果有联系，有什么样的联系，应该把什么看成抽屉，要分放的东西是什么。
【学情预设：学生有的可能会猜测“只摸2个球能保证这2个球同色”；有的由于受到题目中“4个红球和4个蓝球”这个条件的干扰，可能会猜测要摸的球数只要比其中一种颜色的个数多1就可以了，即“至少要摸出5个球才能保证一定有2个是同色的”…对于前一种想法，只要举出一个反例就可以推翻这种猜测，如两个球正好是一红一蓝时，就不能满足条件。
对于后一种想法，学生虽然找错了“抽屉”和“抽屉”的个数，但是教师还是应给予一定的鼓励。
因为这种想法说明学生已自觉地把“摸球问题”与“抽屉问题”联系起来了，这对后面找出摸球的规律以及弄清本题与“抽屉问题”的联系非常有帮助。
】二、观察比较，分析推理1.说一说，在比较中初步感知。
请一个小组派代表概括地汇报探究的过程与结果。
其他小组有不同想法可以补充汇报。
汇报时可以借助演示来帮助说明。
如果汇报中出现不同的想法，师生可以共同梳理，比较各种想法，寻找能保证摸出2个同色球的最少次数，达成统一认识。
即：本题中，要想摸出的球一定有2个同色的，最少要摸出3个球。
【学情预设：虽然猜测之初，学生中可能会有这样那样的想法，但经过动手操作及同伴交流，学生对于本题“要想摸出的球一定有2个同色的，最少要摸出3个球”这个结论不难达成共识。
】2.想一想，在反思中学习推理。
师：同学们，为什么至少摸出3个球就一定能保证摸出的球中有两个是同色的？请学生先想一想，再和同桌说一说，最后全班交流。
【学情预设：如果学生在理解时出现比较大的困难，可以引导他们这样思考：球的颜色一共有两种，如果只取两个球，会出现三种情况：两个红球、一个红球一个蓝球、两个蓝球。
如果再取一个球，不管是红球还是蓝球，都能保证三个球中一定有两个同色的。
】三、深入探究，沟通联系师：为什么前面有些同学会认为在4个蓝球和4个红球中，要想一定摸出2个同色的球，最少要摸出5个来？请大家猜一猜，他们是怎样想的？（如果没人猜出来，可以请先前这样想的同学说一说当时的想法。
）师：这种想法实际上是把今天学习的例题3和我们前面学过的“抽屉问题”联系起来了，把4看成了“抽屉数”，也就是把每种颜色球的个数当成了“抽屉数”。
这种想法有没有一点道理？例题3和“抽屉问题”有联系吗？请学生先独立思考一会，再在小组内讨论，最后全班交流。
【设计意图：在实际问题和“抽屉问题”之间架起一座桥梁并不是一件容易的事。
因此，教师应有意识地引导学生朝这个方向思考，慢慢去感悟。
逐步引导学生把具体问题转化为“抽屉问题”，并找出这里的“抽屉”是什么，“抽屉”有几个。
例如，在本题中，“同色”就意味着“同一抽屉”，一共有红、蓝两种颜色的球，就可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”。
】师：既然例题3和“抽屉问题”有联系，那么，解决例题3的问题，有没有其它的方法？能否用前面学过的“抽屉问题”的规律来帮忙解决?请学生先和同桌讨论，再全班交流。
【设计意图：应用前面所学的“抽屉原理”进行反向推理。
根据例1中的结论“只要分的物体个数比抽屉数多，就能保证一定有一个抽屉至少有2个球”，就能推断“要保证有一个抽屉至少有2个球，分的物体个数至少要比抽屉数多1”。
现在，“抽屉数”就是“颜色数”，结论就变成了：“要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色种数多1。
”】师：请同学们反过来思考一下，至少摸出5个球，就一定能保证摸出的球中有几个是同色的？四、对比练习，感悟新知1.说一说。
把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。
至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？ (完成课本第70页“做一做”第2题。
)教师可以引导学生应用例题3的结论，直接解决“做一做”第2题的问题。
2．算一算。
向东小学六年级共有370名学生，其中六（2）班有49名学生。
请问下面两人说的对吗？为什么？生1：“六年级里一定有两人的生日是同一天。
”生2：“六（2）班中至少有5人是同一个月出生的。
”(完成课本第70页“做一做”第1题。
)“做一做”第1题是“抽屉原理”的典型例子。
其中“370名学生中一定有两人的生日是同一天”与例1中的“抽屉原理”是一类，“49名学生中一定有5人的出生月份相同”则与例2的类型相同。
教师要引导学生把“生日问题”转化成“抽屉问题”。
因为一年中最多有366天，如果把这366天看作366个抽屉，把370个学生放进366个抽屉，人数大于抽屉数，因此总有一个抽屉里至少有两个人，即他们的生日是同一天。
而一年中有12个月，如果把这12个月看作12个抽屉，把49个学生放进12个抽屉，49÷12＝4……1，因此，总有一个抽屉里至少有5（即4＋1）个人，也就是他们的生日在同一个月。
五、总结评价师：这节课你有哪些收获或感想？六、布置作业1．做一做。
把红、黄、蓝三种颜色的小棒各10根混在一起。
如果让你闭上眼睛，每次最少拿出几根才能保证一定有2根同色的小棒？保证有2对同色的小棒呢？(完成课本第72页第5题。
)2．试一试。
给下面每个格子涂上红色或蓝色。
观察每一列，你有什么发现？如果只涂两列的话，结论有什么变化呢？, , , , , , ,,, , , , , , ,,, , , , , , ,,(完成课本第72页第6题。
)七、拓展练习（选做）1、任意给出5个非0的自然数。
有人说一定能找到3个数，让这3个数的和是3的倍数。
你信不信？(课本第72页第7题。
)2、把1～8这8个数任意围成一个圆圈。
在这个圈上，一定有3个相邻的数之和大于13。
你知道其中的奥秘吗？(课本第72页思考题。
)设计思路修订后的课程标准对课程目标的改动非常大，把过去强调的“双基”增加了两个，一个是基本思想，另一个是基本活动经验，变成了“四基”。
强调学生通过数学学习，不仅要获得基本的数学知识和技能，更要获得基本的数学活动经验和基本的数学思想方法。
以适应未来社会的生活和进一步的发展。
本着这一理念，本课的教学重在引导学生主动经历观察、实验、猜测、验证、推理和交流等数学活动，发展他们的数学思维，让学生在学会用“抽屉原理”解决生活中具体问题的同时，体会用数学知识解决生活中具体问题的趣味与便捷，感悟数学的魅力，增进对数学的兴趣与理解。
首先，晃动盒子让学生猜盒子里装了什么，并请人摸一摸，一下子就能抓住学生的好奇心，激发他们参与学习活动的热情；接着提出问题“如果老师想这位同学摸出的球，一定有2个同色的，最少要摸出几个球？”，引导学生猜测、实验、交流、……使学生逐步理解“至少摸3个球就一定能保证摸出的球中有两个是同色的”，并学会推理这一过程。
其次，利用学生由于受到“4个蓝球和4个红球”的干扰，非常可能出现“要想一定摸出2个同色的球，最少要摸出5个来”的错误，在帮助学生寻找错误根源的过程中，引导他们逐步将“摸球问题”与“抽屉问题”联系起来，找出两者的相通点，弄清例题3中什么是“待分的东西”，什么是“抽屉”，学会用“抽屉原理”进行反向推理来解决问题。
总之，本节课的教学中，教师努力让学生经历将具体问题“数学化”的过程，帮助学生从现实素材中找出最本质的数学模型，发展学生的数学思维和能力，帮助他们积累数学活动的经验与方法。
需要指出的是，教学中要适当地把握教学要求。
“抽屉原理”本身或许并不复杂，但它的应用广泛且灵活多变，因此，用“抽屉原理”来解决实际问题时，经常会遇到一些困难。
例如，有时要找到实际问题与“抽屉问题”之间的联系并不容易，即使找到了，也很难确定用什么作为“抽屉”，要用几个“抽屉”。
因此，教学时，不必过于追求学生“说理”的严密性，只要能结合具体问题把大致意思说出来就可以了，更要允许学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。
“数学广角”抽屉原理例3的案例分析教学内容：课本第72页的例3以及相关的练习教学目标：1、使学生能理解抽取问题中的一些基本原理，并能解决有关简单的问题。
2、体会数学与日常生活的联系，了解数学的价值，增强应用数学的意识。
教学重难点：理解抽取问题的基本原理教学具准备：一个不透明的盒子、黄白色乒乓球各4个为一份、准备这样的学具15份、课件、活动记录单教学过程：课前师生交流师：同学们，玩过石头、剪刀、布的游戏吗？生：玩过！师：如果有四位小朋友在玩这个游戏，会出现什么样的情况？生：有两位同学出的是一样的。
师：这是为什么呢？生：因为这四位同学是待分物体，石头、剪刀、布是三个抽屉，当待分物体的个数比抽屉数多1时，总有一个抽屉至少放进了两个物体。
