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离散傅里叶变换学习目标1掌握DFT的定义物理含义2

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八点DFT变换课程设计

八点DFT变换课程设计

八点DFT变换课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解DFT（离散傅里叶变换）的基本概念和数学原理；2. 掌握八点DFT变换的算法步骤和计算方法；3. 了解DFT在信号处理和数字通信中的应用。

技能目标：1. 能够运用DFT对信号进行频谱分析；2. 能够编程实现八点DFT变换；3. 能够解释DFT变换结果，并分析其意义。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对信号处理领域的兴趣，激发其探索精神；2. 培养学生具备良好的团队协作意识和沟通能力；3. 培养学生严谨的科学态度，认识到数学工具在工程应用中的价值。

分析课程性质、学生特点和教学要求，本课程旨在使学生掌握DFT的基本原理和实际应用，具备以下具体学习成果：1. 能够准确描述DFT的基本概念和数学表达；2. 能够独立完成八点DFT变换的计算；3. 能够运用所学知识分析实际问题，并给出合理的解释；4. 培养学生的动手实践能力和团队协作精神，提高其综合素质。

二、教学内容本课程教学内容依据课程目标，紧密结合教材，确保科学性和系统性。

以下是详细的教学大纲及内容安排：1. 引言：介绍傅里叶变换的基本概念，引导学生了解其在信号处理领域的重要性。

- 教材章节：第一章 傅里叶变换基础2. 离散傅里叶变换（DFT）基本原理：- 教材章节：第二章 离散傅里叶变换- 内容：DFT的定义、数学表达式、性质和特点3. 八点DFT变换算法：- 教材章节：第三章 快速傅里叶变换- 内容：DFT的蝶形算法、编程实现和优化4. DFT在信号处理中的应用：- 教材章节：第四章 DFT的应用- 内容：频谱分析、数字滤波器设计、通信系统中的应用5. 实践环节：- 设计实验：运用DFT对实际信号进行频谱分析- 编程实践：编程实现八点DFT变换，观察和分析结果6. 教学进度安排：- 引言和DFT基本原理：2课时- 八点DFT变换算法：2课时- DFT应用：2课时- 实践环节：2课时三、教学方法本课程采用多样化的教学方法，旨在激发学生的学习兴趣，提高其主动性和实践能力。

实验四离散傅立叶变换DFT

实验四离散傅立叶变换DFT

实验四离散傅立叶变换DFT实验四离散傅里叶变换（DFT ）一实验目的（1）理解信号变换的基本概念（2）理解离散傅立叶变换的基本概念二实验原理及实例分析 1、离散傅里叶变换傅里叶变换是信号分析和处理的重要工具。

有限长序列作为离散信号的一种，在数字信号处理中占有着极其重要的位置。

对于有限长序列，离散傅立叶变换不仅在理论上有着重要的意义，而且有快速计算的方法－快速傅立叶变换FFT 。

所以在各种数字信号处理的运算方法中，越来越起到核心的作用。

1.1 傅里叶变换的几种形式1、非周期连续时间信号的傅里叶变换非周期连续时间信号)(t x 的傅立叶变换)(ωj X 可以表示为)(ωj X ＝dt e t x tj ?∞∞--ω)(逆变换为ωωπωd j x t x tj ?∞∞-=)(21)(在这里，ω是模拟角频率。

可以看到，时域的连续函数造成频域的非周期谱，时域的非周期性造成频域的连续谱。

结论：非周期连续时间函数对应于一非周期连续频域变换函数。

2、周期连续时间信号的傅里叶变换周期为T 的周期性连续时间信号)(t x 傅立叶变换是离散频域函数，可表示为-=22)(1)(T T tjm d e t x Tjm X ωωω 逆变换为ωωωd ejm X t x tjm m ∑∞-∞==)()(这就是经常称之为傅里叶级数的变换形式。

在这里，ω也是模拟角频率。

可以看到，时域的连续函数造成频率域的非周期谱，频域函数的离散造成时域函数的周期性。

结论：周期连续时间函数对应于一离散非周期频域变换函数。

3、非周期离散时间信号)(n x 的傅立叶变换)(ωj e X 可以表示为∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω)()(逆变换为ωπωππωd e e X n x n j j ?-=)(21)( 在这里，ω是数字频率，它和模拟角频率的关系为T Ω=ω。

可以看到，时域的取样对应于频域的周期延拓，而时域函数的非周期性造成频域的连续谱。

离散傅里叶变换(DFT)

离散傅里叶变换(DFT)

尾补L－M个零后，再形成第一行的循环倒相序列。
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位 形成的。 （3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
x( L 1) x( L 2) y (0)c x(0) y (1) x(1) x(0) x( L 1) c y (2)c ＝ x(2) x(1) x(0) y ( L 1)c x( L 1) x( L 2) x( L 3) x(1) h(0) x(2) h(1) x(3) h(2) x (0) h( L 1)
主值序列 x(n)
DFT变换对
x(n)的长度为M点，N≥M
N点DFT 变换对
DFT [ x(n)] X (k ) x(n)WNkn
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
[ x(m)WNmk ]WN kn
k 0 m 0
N 1 N 1
1 x ( m) N m 0
1 N
WNk ( m n )
k 0
N 1
W
k 0
N 1
k ( mn ) N
1 N
e
k 0
N 1 j 2 k ( m n ) N
x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
用矩阵计算循环卷积的公式
L 1 yc (n) h(m) x((n m)) L RL (n) m0

1离散傅里叶变换的定义及物理意义2离散傅里叶变换的基本

1离散傅里叶变换的定义及物理意义2离散傅里叶变换的基本

的主值序列。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
周期延拓序列频谱完全由其离散傅里叶级数系数 X (k ) 确定，因此： X(k) 实质上是 x(n) 的周期延拓序列 x((n)) N 的频谱特性 观察 DFT[R4(n)]4= 4δ(k)。 根据DFT第二种物理解释可知，DFT[R4(n)]4 表示 R4(n)以4为周期的周期延拓序列R4((n))4的频谱特性，因 为R4 ((n))4是一个直流序列，只有直流成分（即零频率 成分），所以， DFT[R4(n)]4 = 4δ(k) 。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
|X(ejω)| (a)R4(n)的幅频特性图
4 3 2 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
|X(k)|
(b)4点DFT的幅频特性图
5 4 3 2 1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
|X(k)|
ω/π
ω/π
图3.1.3 例3.1.2程序运行结果
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
3.2
3.2.1 线性性质
若x1(n)、x2(n)是两个有限长序列，长度为N1、N2，且
y(n)=ax1(n)+bx2(n)
a、b为常数，取N=max[N1, N2]，则 y(n) 的 N 点DFT为
Y(k) = DFT[y(n)]N = aX1(k)+bX2(k) 0≤k≤N－1 其中 X1(k) 和 X2(k) 分别为 x1(n) 和 x2(n) 的N点DFT
x(n) x((n)) N
（3）最后取 x(n m) 的主值序列 x((n+m)) NRN(n) 得到有限长序列 x(n) 的循环移位序列 y(n)。

实验三 离散傅立叶变换(DFT)

实验三 离散傅立叶变换(DFT)
实验三 离散傅立叶变换（DFT）
1
2/9
一、实验目的
掌握离散傅立叶级数(DFS) 掌握DFT变换 掌握DFT性质 掌握利用DFT计算线性卷积 掌握快速傅立叶变换（F散傅立叶级数 DFS:
~ X (k) = DFS[~(n)] = ∑~(n)e x x
n=0
N−1
−j
2π nk N
nk = ∑~(n)WN x n=0
N−1
IDFS: 2π N−1 N−1 j nk 1 ~ ~ ~ − ~(n) = IDFS[ X (k)] = N x X (k)e = ∑X (k)WN nk ∑ N k=0 k =0
4/9
2、离散傅立叶变换（DFT）
X(n)为有限长序列： DFT：
X (k) = DFT[x(n)] = ∑x(n)e
n=0 N−1 −j 2π nk N nk = ∑x(n)WN n=0 N−1
IDFT：
N−1 j nk 1 N−1 − x(n) = IDFT[ X (k)] = ∑X (k)e N = ∑X (k)WN nk N k=0 k =0 2π
5/9
7/9
5、快速傅立叶变换（FFT）
在MATLAB中提供fft函数来计算x的DFT。 X＝fft(x,N);
8/9
本实验用到的一些函数
离散傅立叶级数：
Xk=dfs(xn,N) xn=idfs(Xk,N)
nk 算法：X (k) = ∑x(n)WN n=0
N −1
1 X (0) 1 离散傅立叶级数： X (1) 1 W 1×1 N Xk=dft(xn,N) X (2) = 1 WN2×1 xn=idft(Xk,N) ⋯⋯ ⋮ X ( N − 1) 1 W N −1 N

第三章-离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)

第三章-离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)
返回
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x(n)
IDFT[ X (k)]N

1 N
N 1
X (k)WNk n ,
k 0
n 0, 1,
, N 1
也可以表示为矩阵形式:
x DN1 X
DN1称为N点IDFT矩阵，定义为
1
DN1

1 N
1 1
1
1 WN1 WN2
WN( N 1)
线性性质 DFT的隐含周期性 循环移位性质 复共轭序列的DFT DFT的共轭对称性 循环卷积定理 离散巴塞伐尔定理
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① 线性性质 设有限长序列x1(n)和x2 (n)的长度分别为N1和N2 ， x(n) ax1(n) bx2 (n) ，a和b为常数。
则
)
N M
xN (n) x((n))N X (k ) X ((k ))N
有限长序列x(n)的DFT变换X(k)，就是x(n)的周期延拓序列 ~x(n) 的DFS系数 X~(k ) 的主值序列
返回
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DFS与FT之间的关系:
M 1
X (k) DFS[xN (n)] x(n)WNkn n0
xN (n) xN (n)RN (n)
主值区间序列 N M , xN (n) x(n)
返回
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x8 (n) x4 (n)
返回
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周期序列DFS: N 1 X (k ) DFS[ xN (n)] xN (n)WNkn n0
M 1

x(n)WNkn
k
返回
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xN (n)
n
N
0
N

第3章离散傅里叶变换(DFT)09-10-1

第3章离散傅里叶变换(DFT)09-10-1
序列的DFS级数系数的主值序列！
§3.2 离散傅里叶变换的基本性质
一. 线性性质
x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2
y(n)=ax1(n)+bx2(n)
式中a、 b为常数， 即N≥max［N1, N2］， 则y(n)的N
点DFT为：
（补零问题！）
Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1
➢再 反 转 形 成 x2((-m))N ， 取 主 值 序 列 则 得 到 x2((m))NRN(m)，通常称之为x2(m)的圆周反转； ➢对x2(m)的圆周反转序列圆周右移n，形成
x2((n-m))NRN(m)； ➢当n=0,1,2,…,N-1时，分别将x1(m)与x2((n-m))NRN(m)相 乘，并在m=0到N-1区间内求和，便得到其循环卷积y(n)。
y(n) x((n m))N RN (n)
则循环移位后的DFT为
Y (k) DFT [ y(n)] DFT [x((n m))N RN (n)] WNmk X (k)
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
x1(n)
0
N-1
~x2 (n)
0
N-1
n n
~x2 (m)
x2 0 mN RN (m)
0
m
x2 1 mN RN (m)
0
x2
2
mN
RN
(m)
m
0
m
x2 3 mN RN (m)
0
m
y(n) x1(n) N x2 (n) ➢两个长度

离散傅里叶变换的定义及物理意义离散傅里叶变换的基本

离散傅里叶变换的定义及物理意义离散傅里叶变换的基本

即如果 n=MN+n1 0≤n1≤N－1, M为整数
则
((n))N = (n1)
例如，
, 则有
N 8, x(n) x((n))8 x(8) x((8))8 x(0) x(9) x((9))8 x(1)
x(2) x((2))8 ？ 2 (1) 8 6
x(2) x((2))8 x(6)
即 X(k) 为 X的(k主)值序列
有限长序列 x(n) 的 N 点离散傅里叶变换 X(k) 正好是x(n)的周期延拓序列
x((n))N 的离散傅里叶级数系数
的主值序列。
X (k)
周期延拓序列频谱完全由其离散傅里叶级数系数
确定，因此：X (k )
X(k) 实质上是 x(n) 的周期延拓序列 x((n)) N 的频谱特性
如果x(n)的长度为M，且
~x (n)的离散傅里叶级数：
~x (n，) N≥xM(，(n则)) N
N 1
N 1
N 1
X (k)
x(n)WNkn
x
((n))
N
W
kn N
x(n)WNkn
n0
n0
n0
x(n)
1 N
N 1
X
(k
)W
N
kn
k0
1 N
N 1
X
(k
)W
N
kn
k0
式中 X(k) X(k)R N (k)
1 N
N 1
X (k)WNkn ,
k0
n=0,
1,
, M-1
式中，WN=
，eN称j2N为 DFT变换区间长度, N≥M
❖ 3.1.2 DFT与傅里叶变换（DTFT）和Z 变换的关系

第3章--离散傅里叶变换(DFT)

第3章--离散傅里叶变换(DFT)

设x(n)是一种长度为M旳有限长序列， 则定义x(n)旳N点
离散傅里叶正变换为
N 1
j 2 nk
X (k ) DFT[x(n)] x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
离散傅里叶逆变换为
离散傅里叶变换对
x(n)
IDFT[ X (k )]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k )e N
3.2 离散傅里叶变换旳基本性质
1 线性性质 假如x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N=max［N1, N2］，
则y(n)旳N点DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)旳N点DFT。 若N1<N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变
k 2 k f f s k
N
N
以上所讨论旳三种频率变量之间旳关系，在对模 拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数 字滤波器乃至整个数字信号处理中十分主要，望 同学们高度注重。
第三章 离散傅里叶变换DFT
3.1.2 DFT旳隐含周期性------ DFT与 DFS旳关系
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但因为WknN旳周
第三章 离散傅里叶变换DFT
例2 ： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)旳8点、16点DFT。
解: x(n)旳8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 j2k n

实验二 离散傅里叶变换(DFT)实验

实验二 离散傅里叶变换(DFT)实验

实验二 离散傅里叶变换（DFT ）实验【实验目的】1．进一步熟悉CCS 集成开发环境的软硬件调试方法2．学习DFT 的基本原理3．掌握如何在DSP 中实现DFT 算法【实验内容】1. 了解DFT 的基本原理。

2．了解命令文件中伪指令MEMORY 和SECTIONS 的作用。

2. CCS 中的软硬件开发环境的熟悉。

3. 常用信号（包括正弦波，方波，三角波，锯齿波）的DFT 。

【实验器材】1.DSP 开发板2.DSP 仿真器3 .PC 机(软件：CCS ，全称：Code composer studio )三 实验原理。

傅里叶变换是一种将信号从时域变换到频域的变换形式，是信号处理的重要分析工具。

离散傅里叶变换（DFT ）是傅里叶变换在离散系统中的表示形式。

本实验是在学生首先产生一信号后，对该信号进行DFT ，并在CCS 中利用其自带的观察窗口或Memory 菜单来查看变换前后的波形或频谱值，从而完成了一个简易频谱分析仪。

让学生更加直观形象地体会DFT 的整个过程假设信号为x (0)，x(1)，……，x (N)，那么其离散傅立叶变换后的实部和虚部以及频谱幅度分别为：2()0()()()()N j k n N r i n X k x n eX k jX k π-===+∑ 0(0)()(0)0N r i i X x i X =∴==∑ 002 ()()cos(())2()()sin(())(0)Nr n N i i X k x n k n N X k x n k n k N ππ===⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯>∑∑()A k =具体的实现过程的时候需要根据硬件的特性来实现。

比如cos和sin的值都可事先通过软件计算出结果，保存在两个数组中，直接对其进行查表操作。

若缓存数量为128，即N＝128。

对于cos和sin的系数，根据需要可以首先计算出128点的sin值，而cos的值则可以通过sin表整体后移N/4点，也就是整体后移32点后得到。

实验三 离散傅里叶变换(DFT)

实验三 离散傅里叶变换(DFT)
~ ~
title('|X(k)|'); subplot(2, 2, 4); stem(k, angle(Xk)); %显示序列的相位谱 title('arg|X(k)|'); 由这个周期序列的实验我们可以看出，与例 1 相比，有限长序列 x(n) 可以看成是周期序列 x(n) 的 一个周期；反之，周期序列 x(n) 可以看成是有限长序列 x(n) 以 N 为周期的周期延拓。频域上的情况也 是相同的。从这个意义上说，周期序列只有有限个序列值有意义。 3）有限长序列 DFT 与离散时间傅里叶变换 DTFT 的联系 离散时间傅里叶变换（DTFT）是指信号在时域上为离散的，而在频域上则是连续的。如果离散 时间非周期信号为 x(n) ，则它的离散傅里叶变换对(DTFT)表示为：
~ ~
DTFT[ = x(n)] X = (e j w )
n = −∞
∑ x ( n) e
∞
− j wn
jw IDTFT[ X (e= )] x= ( n)
1 2π
−π
∫ X (e
π
ห้องสมุดไป่ตู้
jw
) e j wn d w
其中 X (e jω ) 称为信号序列的频谱。将频谱表示为
X (e j w ) = X (e j w ) eϕ ( w )
3.４实验报告
(1) 列写调试通过的实验内容程序，打印或描绘实验程序产生的曲线图形。 (2) 思考题：有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）与离散时间傅里叶变换（DTFT）有何联系与 区别？
② 画出原信号与傅里叶逆变换 IDFT[ X ( k ) ]的图形进行比较。 ，求 x(n) 周期重复次数为 3 次时的 DFS 和 (3) 已知周期序列的主值 x(n) ＝［7，6，5，4，3，2］ IDFS。要求： ① 画出原信号序列的主值和周期序列的图形。

数字信号处理课件第4章离散傅里叶变换1DFT的定义和物理意义

数字信号处理课件第4章离散傅里叶变换1DFT的定义和物理意义
1、在忽略舍入误差时，IDFT能准确 地恢复DFT窗内的原采样信号；
2、IDFT的采样值与原采样信号窗外 的部分无关；
3、IDFT可以唯一确定原序列。
【随堂练习】 1.求下列序列的N点DFT （1） x(n) (n) （2） x(n) (n n0 ) 0 n0 N （3） x(n) an 0 n N （4） x(n) u(n) u(n n0 ) 0 n0 N
回到第3章的周期序列的DTFT：
~x (n) 的离散傅里叶级数
X~(k)
N 1 ~x (n)WNkn
N 1
x((n)) N WNkn
N 1
x(n)WNkn
n0
n0
n0
~x(n)
1 N
N 1 X~ (k )WNkn
k 0
1 N
N 1
X (k )WNkn
k 0
N点DFT：X
(k)
N 1
j2 kn
解： N1 X (k) x(n)WNkn n0
121 1 [e
j n 6
e
j n 6
j2 kn
]e 12
n0 2
1
121
[e
j 2 (k 1)n 12
j 2 (k 1)n
e 12 ]
2 n0
121 j2 (k1)n 121 j2 (k1)n
1[ e e ] 12
12
2 n0
n0
k)
sin( k)
8
X
(e
j
)
e
j 3 2
sin(2) sin(1 )
2
3、求x(n)的16点DFT，N=16
X (k) X (e j ) 2 k 16
X

信号与信号处理实验六 离散傅里叶变换(DFT)

信号与信号处理实验六 离散傅里叶变换(DFT)

DFT公式： 公式： 公式
X (k ) =
N −1 n= 0 kn x ( n)W N = ∑ N −1 n= 0
∑ 1.m: 用for循环计算 循环计算DFT 循环计算 function [Am,pha]=dft1(x) N=length(x); w=exp(-j*2*pi/N); for k=1:N sum=0; for n=1:N sum=sum+x(n)*w^((k-1)*(n-1)); end Am(k)=abs(sum); pha(k)=angle(sum); end
实验三 离散傅里叶变换（DFT） 离散傅里叶变换（DFT）
一、实验目的 1．掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法。 ．掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法。 2．了解 的性质及应用。 ．了解DFT的性质及应用。 的性质及应用 3. 应用离散傅里叶变换 应用离散傅里叶变换(DFT)，分析离散信号 ， x(n)的频谱。深刻理解 的频谱。 的频谱 深刻理解DFT分析离散信号频谱 分析离散信号频谱 的原理，掌握改善分析过程中产生的误差的方法。 的原理，掌握改善分析过程中产生的误差的方法。
x ( 0) N −1 x (1) L WN M M M ( N −1 )( N −1 ) L WN x( n − 1) L
0 WN
dft2.m: 用MATLAB矩阵运算计算 矩阵运算计算DFT 矩阵运算计算 function [Am,pha]=dft2(x) N=length(x); n=[0:N-1]; k=[0:N-1]; w=exp(-j*2*pi/N); nk=n'*k; wnk=w.^nk; Xk=x*wnk; Am=abs(Xk); pha=angle(Xk);

第三章 离散傅里叶变换(DFT)

第三章 离散傅里叶变换(DFT)
WΒιβλιοθήκη n N=(W
− N
n
)*
W
n N
=
W
n N
+iN
3. 可约性 4. 正交性
W i⋅n N
= WNn / i
∑ ∑ 1
N
N −1
W
nk N
(WNmk
)
*
k =0
=
1 N
N −1
W (n−m)k N
k =0
=
⎧1, ⎩⎨0,
n − m = iN n − m ≠ iN
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
z 可以看出，当0≤k≤N-1 时，X~(k) 是对X(z)在Z平面单 位圆上的N点等间隔采样，在此区间之外随着k的变 化，X~ (k ) 的值呈周期变化。
了。所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是 有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
z X~(k) ↔ ~x (n) 是一个周期序列的离散傅里叶 级数(DFS)变换对，这种对称关系可表示为：
∑ X
(k )
=
D F S [ x (n)]
=
N −1
x
10
X (k) =
|X(ejω)|
X (e jω ) ω= 2π k 10
=
− j 4π k
e 10
sin(π k / 2) sin(π k /10)
5
…
o
π
…
2π
3π
4π
ω
3.3 周期序列的离散傅里叶级数
例2 已知周期序列x (n),求X (k )。并讨论 X~ (k)与 X (e jω ) 的关系
将n和k互换，有 ∑ Nx (－k ) = N－1 X (n)WNkn n＝0

离散傅里叶变换(DFT)

离散傅里叶变换(DFT)
周期延拓
0
N-1
n
循环移位
循环移位
2、循环移位的含义 （1）主值区间: n=0～N-1； （2）当某序列值从此区间一端移出时，与它相同 的序列值又从此区间的另一端移进来; （3）如果把x(n)首尾排列(n=0~N-1)在一个N等分 的圆周上，序列的移位就相当于x(n) 在圆上旋转， 故又称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到 的就是周期序列 ~ x ( n)
连续： 不适合 计算机 处理
正 : X (e jw )
n
jwn x ( n ) e

反 : x(n)
1 2




X (e jw )e jwn dw
由DTFT到DFT

离散时间、离散频率的傅立叶变换（DFT） 由上述分析可知，对DTFT，要想在频域上 离散化，那么在时域上必须作周期延拓。 对长度为M的有限长序列x(n)，以N为周期 延拓（N≥M）。
则称n1是n对N的模（余数），记作： 或n模N等于n1
n N
n1
例 : (1) n 25, N 9,
(2) n 4, N 9,
259 7
49
5
二、DFT的隐含周期性
~ 2、有限长序列x(n)和周期序列 x (n) 的关系
~ x ( n)
m

1 e
j
2 16
4k
1 e
k j2 16
e
k j3 16
sin( k / 4) sin( k / 16)
0 k 15
频率采样点数不同，DFT的长度不同，DFT 的结果也不同。
二、DFT的隐含周期性
1、求模（余数）运算 如果整数 n n1 mN , 0 n1 N 1, m为整数

离散傅里叶变换DFT

离散傅里叶变换DFT

图 3.1.1 X(k)与X(z),X(e jω)的关系
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
一. 基本概念
1. 序列的圆周移位
序列x(n)，长度为N，则x(n)的圆周移位定义为：
循环移位过程：
周期延拓
circshift(a,[0,-1])
左移m位
取主值序列
圆周移位的实质是将序列x(n)移位，移出主值区 间的序列值又依次由另一侧进入主值区。
二. 四种信号傅里叶表示
(1) 周期为T的连续时间周期信号
FS
时域周期频域离散。频谱特点:离散非周期谱 (2) 连续时间非周期信号
FT
时域非周期频域连续。频谱特点：连续非周期谱
(3)离散非周期信号
DTFT
时域离散频域周期。频谱特点：周期为2的连续谱 (4) 周期为N 的离散周期信号
DFS
时域离散周期频域周期离散。频谱特点:周期为N的离散谱
四种傅立叶变换:
1. 连续非周期 2. 连续周期 3. 离散非周期 4. 离散周期
连续非周期() FT
离散非周期 () FS
连续周期（ ） DTFT
离散周期
DFS
切实理解四种FT之间的对应关系
三. 离散付里叶级数(DFS)
为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及 其离散傅里叶级数（DFS）表示。然后讨论可作为周期函 数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)。
DFT
(3)离散傅里叶变换的矩阵方程
例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT 。 解：DFT定义式为：
设变换区间N=8， 则
设变换区间N=16， 则
(4)DFT和Z变换的关系

第3章 离散傅里叶变换(DFT)09-10-

第3章 离散傅里叶变换(DFT)09-10-

N 1
X (k) DFT[x(n)]
x(n)W
nk N
,0
k
N
1
n0
DFT
x(n)
IDFT [X (k)]
1 N
N 1
X
(k
)W
nk N
k 0
,0
n
N
1
例：x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT 解：设变换区间N=8， 则
7
X1(k)
3
x(n)W8kn
j 2 kn
n0
n0
N1
k n N 1
kn kN
x n WN2 x n N WN2 WN 2
n0
n0
N 1
x
kn
n WN2
1 e jk
n0
2
X
k 2
,
k 偶数
0， k 奇数
0 k 2N -1
~
~
N 1 ~
j 2 kn
X (k) DFS[x(n)] x(n)e N
令
yn， 试x求nY(NkR)=2DNFnT[y(n)]与
X(k)之间的关系。
解：
2 N 1
2 N 1
Yk
ynW2kNn
xnN
R2
N
n
W kn 2N
n0
n0
N 1
2 N 1
xnW2kNn xnW2kNn
n0
nN
N 1
N 1
x
n
W kn 2N
x n N W2kNnN
序列的DFS级数系数的主值序列！
§3.2 离散傅里叶变换的基本性质
一. 线性性质

离散傅里叶变换学习目标1掌握DFT的定义物理含义2

离散傅里叶变换学习目标1掌握DFT的定义物理含义2

离散傅里叶变换学习目标1掌握DFT的定义物理含义2第3章离散傅里叶变换一、学习目标1.掌握DFT的定义、物理含义；2.熟练掌握圆周卷积的计算，线性卷积和圆周卷积的关系；3.掌握DFT进行谱分析三种误差产生的原因及解决办法；4.了解频域采样定理。

二、本章导航3.3离散傅里叶级数3.4离散傅里叶变换3.5频域采样理论3.6用DFT计算线性卷积3.7用DFT进行频谱分析DFT是为适应计算机分析傅里叶变换规定的一种专门运算，本章是数字信号处理课程的重点章节。

3.3离散傅里叶级数1.周期序列的离散傅里叶级数连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示，离散周期序列也可以表示成傅里叶级数形式。

周期为N的复指数序列的基频序列为k次谐波序列为由于，即，因而，离散傅里叶级数的所有谐波成分中只有N个是独立的。

因此在展开成离散傅里叶级数时，我们只能取N个独立的谐波分量，通常取k=0到(N-1)，即（*）式中，1/N是习惯上采用的常数，是k次谐波的系数。

利用将（*）式两端同乘以，并对一个周期求和即由于所以也是一个以N为周期的周期序列。

因此，时域离散周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍然是一个周期序列。

令，则其中，符号DFS[.]表示离散傅里叶级数正变换，IDFS[.]表示离散傅里叶级数反变换。

2.周期序列的傅里叶变换思路：由利用和DTFT的频移特性，可得一、重点与难点1.DFT的定义、性质，DFT与z变换、DTFT之间的关系；2.循环卷积的计算；3.频域采样定理；4.圆周卷积和线性卷积的关系，DFT计算线性卷积的框图；5.DFT进行谱分析参数选择，三种误差产生的原因及解决办法。

二、具体讲解1.频域采样定理离散傅里叶变换相当于信号傅里叶变换的等间隔采样，也就是说实现了频域的采样，便于计算机计算。

那么是否任一序列都能用频域采样的方法去逼近呢？这是一个很吸引人的问题。

我们考虑一个任意的绝对可和的序列x(n)，它的z变换为如果对X(z)单位圆上进行等距离采样现在要问，这样采样以后，信息有没有损失？或者说，采样后所获得的有限长序列x N(n)能不能代表原序列x(n)。

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第3章离散傅里叶变换
一、学习目标
1.掌握DFT的定义、物理含义；
2.熟练掌握圆周卷积的计算，线性卷积和圆周卷积的关系；
3.掌握DFT进行谱分析三种误差产生的原因及解决办法；
4.了解频域采样定理。

二、本章导航
3.3离散傅里叶级数
3.4离散傅里叶变换
3.5频域采样理论
3.6用DFT计算线性卷积
3.7用DFT进行频谱分析
DFT是为适应计算机分析傅里叶变换规定的一种专门运算，本章是数字信号处理课程的重点章节。

3.3离散傅里叶级数
1.周期序列的离散傅里叶级数
连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示，离散周期序列也可以表示成傅里叶级数形式。

周期为N的复指数序列的基频序列为
k次谐波序列为
由于，即，因而，离散傅里叶级数的所有谐波成分中只有N个是独立的。

因此在展开成离散傅里叶级数时，我们只能取N个独立的谐波分量，通常取k=0到(N-1)，即
（*）
式中，1/N是习惯上采用的常数，是k次谐波的系数。

利用
将（*）式两端同乘以，并对一个周期求和
即
由于
所以也是一个以N为周期的周期序列。

因此，时域离散周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍然是一个周期序列。

令，则
其中，符号DFS[.]表示离散傅里叶级数正变换，IDFS[.]表示离散傅里叶级数反变换。

2.周期序列的傅里叶变换
思路：由
利用和DTFT的频移特性，可得
一、重点与难点
1.DFT的定义、性质，DFT与z变换、DTFT之间的关系；
2.循环卷积的计算；
3.频域采样定理；
4.圆周卷积和线性卷积的关系，DFT计算线性卷积的框图；
5.DFT进行谱分析参数选择，三种误差产生的原因及解决办法。

二、具体讲解
1.频域采样定理
离散傅里叶变换相当于信号傅里叶变换的等间隔采样，也就是说实现了频域的采样，便于计算机计算。

那么是否任一序列都能用频域采样的方法去逼近呢？这是一个很吸引人的问题。

我们考虑一个任意的绝对可和的序列x(n)，它的z变换为
如果对X(z)单位圆上进行等距离采样
现在要问，这样采样以后，信息有没有损失？或者说，采样后所获得的有限长序列x N(n)能不能代表原序列x(n)。

为了弄清这个问题，我们从周期序列开始
由于
所以
也即是原非周期序列x(n)的周期延拓序列，其时域周期为频域采样点数N。

在第一章我们看到，时域的采样造成频域的周期延拓，这里又对称的看到，频域采样同样造成时域的周期延拓。

因此，如果序列x(n)不是有限长的，则时域周期延拓时，必然造成混叠现象，因而一定会产生误差。

对于长度为M的有限长序列，只有当频域采样点数N大于或等于序列长度M时，才有
即可由频域采样值X(k)恢复出原序列x(n)，否则产生时域混叠现象，这就是所谓的频域采样定理。

2.用DFT进行谱分析的误差问题
（1）混叠现象
利用DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换，为避免混叠失真，按照抽样定理的要求，采样频率至少是信号最高频率的两倍。

解决混叠问题的唯一方法是保证采样频率足够高。

（2）频谱泄露
任何带限信号都是非时限的，任何时限信号都是非带限的。

实际问题中遇到的离散时间序列可能是非时限的、无限长序列，在对该序列利用DFT进行处理时，由于作DFT的点数总是有限的，因此就有一个必须将该序列截断的问题。

序列截断的过程相当
于给该序列乘上一个矩形窗口函数RN(n)。

如果原来序列的频谱为，矩形窗函数的频谱为，则截断后有限长序列的频谱为
由于矩形窗函数频谱的引入，使卷积后的频谱被展宽了，即的频谱“泄露”到其它频率处，称为频谱泄露。

在进行DFT时，由于取无限个数据是不可能的，所以序列的时域截断是必然的，泄露是难以避免的。

为了尽量减少泄露的影响，截断时要根据具体的情况，选择适当形状的窗函数，如汉宁窗或汉明窗等。

（3）栅栏效应
由于DFT是有限长序列的频谱等间隔采样所得到的样本值，这就相当于透过一个栅栏去观察原来信号的频谱，因此必然有一些地方被栅栏所遮挡，这些被遮挡的部分就是未被采样到的部分，这种现象称为栅栏效应。

由于栅栏效应总是存在的，因而可能会使信号频率中某些较大的频率分量由于被“遮挡”而无法得到反映。

此时，通常在有限长序列的尾部增补若干个零值，借以改变原序列的长度。

这样对加长的序列作DFT时，由于点数增加就相当于调整了原来栅栏的间隙，可以使原来得不到反映的那些较大的频率分量落在采样点上而得到反映。

一、例题
1.设x(t)的最高频率f c不超过3Hz，现用f s＝10Hz，即T＝0.1s对其抽样，求所得到的频率最大分辨率。

如果信号x(n)由三个正弦组成，其频率分别f1＝2Hz，f2＝
2.02Hz，f3＝2.07Hz，即
那么用DFT求其频谱时，能否分辨出三个频率分量？
解：x(t)的最高频率f c不超过3Hz，现用f s＝10Hz对其抽样，由抽样定理可知，不会发生混叠问题。

T p＝25.6s，对x(n)做DFT时，所得到的频率最大分辨率
如果信号x(n)由三个正弦组成，其频率分别f1＝2Hz，f2＝2.02Hz，f3＝2.07Hz，那
么用DFT求其频谱时，由于，所以不能分辨出由f2产生的正弦分量；又由于，所以能分辨由f3产生的正弦分量。

2.对有限长序列的Z变换在单位圆上进行5等份采样，得到采样值，即
，
试根据频率采样定理求的逆离散傅里叶变换。

解：
二、习题
1.证明：若x(n)实偶对称，即x(n)=x(N-n)，则X(k)也实偶对称。

2.已知序列，，今对其Z变换X(z)在单位圆上N等分采样，采样值为
求有限长序列。

3.研究两个有限长序列x(n)和y(n)，此二序列当n<0时皆为零，并且
x(n)=0n≥8
y(n)=0n≥20
各作其20点DFT，然后将两个DFT相乘，再计算乘积序列的IDFT得r(n)，试指出r(n)的哪些点对应于x(n)和y(n)作线性卷积应得到的点。

4.设有两个序列：{1,1,1,1,0,0,0}和{1,2,3,4,5,0,0}，试求
（1）它们的循环卷积（周期长度N＝7）；
（2）它们的循环卷积（序列长度N＝7），试问这个卷积结果与上一结果有何不同？
（3）它们的线性卷积，问至少需要多少点的DFT？。