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数列知识点及常用解题方法归纳总结

一、等差数列的定义与性质

() 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2

()()前项和n S a a n na

n n d n n =

+=+

-112

{}性质：是等差数列a n

（）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+

{}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232--

（）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则

；421

a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52

a S an bn a

b n n n ?=+

0的二次函数）

{}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2

项，即：

当，，解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n n n 11000

><≥≤??

当，，由可得达到最小值时的值。a d a a S n n n n 11

000

0<>≤≥???+

{}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123

（由，∴a a a a a n n n n n ++=?==----12113331

()又·，∴S a a a

a 3132

3311

+===

()()∴·S a a n a a n n

n n n =

+=+=+?? ???=-121221312

18 ∴=n 27）二、等比数列的定义与性质定义：

（为常数，），a a q q q a a q n n

n n +-=≠=1

110 等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ?==±2

()

前项和：（要注意）n S na q a q q

q n n ==--≠???

111111()()!

{}性质：是等比数列a n

（）若，则··1m n p q a a a a m n p q +=+= （），，……仍为等比数列2232S S S S S n n n n n -- 三、求数列通项公式的常用方法

1、公式法

2、n n a S 求由；（时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--12111

3、求差（商）法

{}如：满足

……a a a a n n n n 12121

2251122+++=+<>

解：n a a ==?+=11

22151411时，，∴

n a a a n n n ≥+++=-+<>--212121

215

212211时，……

<>-<>=12122得：n n a ，∴a n n =+21

，∴a n n n n ==≥???

+141221()()

［练习］

{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +=

=++1115

4 （注意到代入得：

a S S S S n n n n n

+++=-=111

4 {}又，∴是等比数列，S S S n n n

144==

n a S S n n n n ≥=-==--234

时，……·

4、叠乘法

{}例如：数列中，，

，求a a a a n

n a n n n n 1131

==++ 解：

a a a a a a n n a a n

n n n 213211122311

·……·……，∴-=-= 又，∴a a n

n 133

== 5、等差型递推公式

由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n -==-110()

n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=?

??-22321321时，…………两边相加，得：()()()

a a f f f n n -=+++123()()()…… ∴……a a f f f n n =++++023()()() ［练习］

{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 11

1132==+≥--

()

（）a n n

-12

31 6、等比型递推公式

()

a ca d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数，，， ()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1

()?=+--a ca c x n n 11

令，∴()c x d x d c -==-11

∴是首项为，为公比的等比数列a d c a d

c c n +

-???

???+-11

∴·a d c a d c c n n +

-=+-?? ???-1111

∴a a d c c d

c n n =+

-??

???---1111

［练习］

{}数列满足，，求a a a a a n n n n 11934=+=+

（）a n n =-?? ?

+-84311

7、倒数法

例如：，，求a a a a a n n n n 11122==

++ ，由已知得：1

221211a a a a n n n n

+=+=+

∴

111

a a n n +-

= ， ∴??????

=111121a a n 为等差数列，，公差为 ()()∴

=+-=+11112121a n n n · ，∴a n n =+21

三、求数列前n 项和的常用方法

1、公式法：等差、等比前n 项和公式

2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 {}如：是公差为的等差数列，求

a d a a n k k k n

1+=∑ 解：()()由

·11111011a a a a d d a a d k k k k k k ++=+=-?? ?

?≠

∴11111111a a d a a k k k n

k k k n

+=+=∑∑=-?? ?

=-?? ???+-?? ???++-?? ???????

??=-?? ??

?++11111111111223111d a a a a a a d a a n n n ……

［练习］求和：…………111211231123+

++++++++++n

（…………，）a S n n n ===-+21

3、错位相减法：

{}{}{}若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项a b a b n n n n n

{}和，可由求，其中为的公比。S qS S q b n n n n -

如：……S x x x nx

n n =+++++<>-12341231

()x S x x x x n x nx n n n ·……=+++++-+<>-234122341

()<>-<>-=++++--121121

：……x S x x x

nx n n n ()()

x S x x nx x

≠=---

-11112

时，

()x S n n n n ==++++=

+112312

时，……

4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

S a a a a S a a a a n n n n n n =++++=++++???

?--121121…………相加

()()()21211S a a a a a a n n n n =++++++-………… ［练习］

已知，则f x x x f f f f f f f ()()()()()=+++?? ???++?? ???++?? ???=

11212313414

（由f x f x x x x x x x x ()+?? ?

??=

++?? ??

?+?? ?

?=+++=1111111112

2222 ∴原式=++?? ?????????++?? ?????????++?? ??

??????

?f f f f f f f ()()()()1212313414

+++=12111312）

例1设{a n }是等差数列，若a 2=3，a 7=13，则数列{a n }前8项的和为（）

A ．128

B ．80

C ．64

D ．56 （福建卷第3题）

略解：∵ a 2 +a 7= a 1+a 8=16，∴{a n }前8项的和为64，故应选C ．

例2 已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（） A ．64

B ．81

C ．128

D ．243 （全国Ⅰ卷第7题）

答案：A ．

例3 已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（）

A ．30

B ．45

C ．90

D ．186 （北京卷第7题）

略解：∵a 5-a 2=3d=9，∴ d=3，b 1=26a =，b 5=a 10=30，{}n b 的前5项和等于90，故答案是C ．

例4 记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d =（）

A ．2

B ．3

C ．6

D ．7 （错误!未找到引用源。第4题）略解：∵422412,3S S S d d --===,故选B. 例5在数列{}n a 中，542

n a n =-

，212n a a a an bn +++=+L ，*

n N ∈,其中,a b 为常数，则ab = ．（安徽卷第15题）

答案：－1．

例6 在数列{}n a 中，12a =， 11

ln(1)n n a a n

+=++，则n a =（）

A ．2ln n +

B ．2(1)ln n n +-

C ．2ln n n +

D ．1ln n n ++（江西卷第5题）答案：A ．

例7 设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = ___________．（四川卷第16题）

此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口．

略解：∵112,1n n a a a n +==++ ∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，

()2331n n a a n --=+-+，K ，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+．将以上各式相

加，得()()()123211n a n n n n =-+-+-+++++????L ()()11112

n n n n n -+=++=+，故

应填

(1)

n n ++1．例8 若(x +12x

)n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x 4

项的系数为

( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9 (重庆卷第10题) 答案：B ．

使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例4以前的例题．例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用．重庆卷第1题，浙江卷第4

题，陕西卷第4题，天津卷第4题，上海卷第14题，全国Ⅱ卷第19题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习．

例9 已知｛a n ｝是正数组成的数列，a 1=1，且点（1,n n a a +）（n ∈N*）在函数y =x 2+1的图象上. (Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式； (Ⅱ)若数列｛b n ｝满足b 1=1，b n +1=b n +2n a

，求证：b n ·b n +2＜b 2n +1. （福建卷第20题）略解：（Ⅰ）由已知，得a n +1-a n =1，又a 1=1,所以数列｛a n ｝是以1为首项，公差为1的等差数列．故a n =1+(n -1)×1=n.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，a n =n ，从而b n +1-b n =2n ，b n =(b n -b n -1)+(b n -1-b n -2)+…+（b 2-b 1）+b 1=2n -1+2n -2+…

+2+1=2n -1．∵. b n ?b n +2-b 21+n =(2n -1)(2n +2

-1)-(2n+1-1)2= -2n ＜0, ∴ b n ·b n +2＜b 21+n ．

对于第（Ⅱ）小题，我们也可以作如下的证明：

∵ b 2=1,b n ·b n +2- b 21+n =(b n +1-2n )(b n +1+2n +1)- b 21+n =2

n +1

·b n +1-2n ·b n +1-2n ·2n +1＝2n （b n +1-2n +1）=2n （b n +2n -2n +1）=2n （b n -2n ）=…=2n （b 1-2）=-2n <0，∴ b n -b n +2

例10 在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+．（Ⅰ）设1

n n a b -=

．证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．（全国Ⅰ卷第19题）

略解：（Ⅰ）1n n b b +-=1122n n n n a a +--=122n n n

a a +-=22n

n =1，则{}n b 为等差数列，11b =， n b n =，12n n a n -=．

（

Ⅱ

）

0121

1222(1)22n n n S n n --=+++-+g g L g g ，12121222(1)22n n

n S n n -=+++-+g g L g g ．

两

式

相

减

，

得

01121222221n n n n n S n n -=----=-+g g L g =(1)21n n -+．

对于例10第（Ⅰ）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数．可以用迭代法，但不可由b 2-b 1=1，b 3-b 2=1等有限个的验证归纳得到{}n b 为等差数列的结论，犯“以偏盖全”的错误．第（Ⅱ）小题的“等比差数列”，在高考数列考题中出现的频率很

高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前n 项和时给出，是“等比差数列”求和时最重要的方法．一般地，数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示．

例9、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江卷第18题，江苏卷第19题，辽宁卷第20题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列．主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力．考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主．

例11 等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，

{}n b 为等比数列, 11b =，且2264,b S =33960b S =．(Ⅰ)求n a 与n b ； (Ⅱ)求和：12111

S S S +++L ．（江西卷第19题）

略解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，依题意有222

33(6)64,

(93)960.

S b d q S b d q =+=??=+=?解之，得2,8;d q =??=?或6,

540.

3d q ?=-????=??

(舍去，为什么？)故132(1)21,8n n n

a n n

b -=+-=+=．

（

Ⅱ

）

35(21)(2)

n S n n n =++++=+L ，∴

121111111

132435(2)

n S S S n n +++=++++???+L L 111111

(1232435

=-+-+-+11)2n n +-+L 1111

(1)2212

n n =+--++32342(1)(2)n n n +=-

++． “裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法．

使用解答题形式考查数列的试题，其内容还往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前n 项和的一般方法，并且往往不单一考查数列，而是与其他内容相综合，以体现出对解决综合问题的考查力度．数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用．

例12 设数列{}n a 的前n 项和为22n

n n S a =-，（Ⅰ）求14,a a ；（Ⅱ）证明： {}

12n n a a +-是等比数列；（Ⅲ）求{}n a 的通项公式．（四川卷第21题）

略解：（Ⅰ）∵1111,22a S a S ==+，所以112,2a S ==．由22n n n a S =+知，

1122n n n a S +++=+

12n n n a S ++=++得，

12n n n a S ++=+ ①∴

222122226,8a S S =+=+==，

3332328216,24

a S S =+=+==，

443240a S =+=．

（Ⅱ）由题设和①式知，()()

11222n n n n n n a a S S ++-=+-+122n n +=-2n =，∴

{}12n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列．

（Ⅲ）

()()()21112211222222n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-+L ()112n n -=+?

此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等．推移脚标，两式相减是解决含有n S 的递推公式的重要手段，使其转化为不含n S 的递推公式，从而有针对性地解决问题．在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点．同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向．

例13 数列{}n a 满足,2,021==a a 2

22(1cos

)4sin ,1,2,3,,22

n n n n a a n ππ+=++=L （I ）求43,a a ，并求数列{}n a 的通项公式；（II ）设1321k k S a a a -=+++L ，

242k k T a a a =+++L ， 2(2k

k k

S W k T =

∈+)N *，求使1k W >的所有k 的值，并说明理由．（湖南卷第20题）

略解：（I ）

311(1cos )4sin 44,

a a a π

=++=+=22422(1cos )4sin 24,

a a a ππ=++==一般地, 当21()n k k N *

-∈=时，

2212121(21)(21)[1cos

]4sin 4,22

k k k k k a a a ππ

+----=++=+即2121 4.k k a a +--= 所以数列{}21k a -是首项为0、公差为4的等差数列，因此214(1).k a k -=-当

2()n k k N *∈=时，2

2222222(1cos )4sin 2,22

k k k k k a a a ππ

+=++=所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.k

k a =故数列{}n a 的通项公式为

22(1),21(),2,2().

n n n n k k N a n k k N **?-=-∈?=??=∈?

（II ）由（I ）知，

1321

k k S a a a -=+++L =

044(1)2(1),k k k +++-=-L 242k k

T a a a =+++L 2122222,k k +++=-L 1

2(1)

.22k k k k S k k W T --=

=+ 于是，10,W =21,W =33,2W =

43,2W =55,4W =61516

W =. 下面证明:

当

6k ≥时， 1.k W <事实上, 当6k ≥时，

11(1)(1)(3)0,222

k k k k k

k k k k k k W W +-+---=

-=<即1.k k W W +<又61,W <所以当6k ≥时，

1.k W <故满足1k W >的所有k 的值为3,4,5.

数列知识点回顾

第一部分：数列的基本概念 1．理解数列定义的四个要点

⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．

⑵在数列中同一个数可以重复出现．

⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．

⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列．

2．数列的通项公式

一个数列{ a n }的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系，如果用一个公式a n =)(n f 来表示，就把这个公式叫做数列{ a n }的通项公式。若给出数列{ a n }的通项公式，则这个数列是已知的。若数列{ a n }的前n 项和记为S n ，则S n 与a n

的关系是：a n =???≥-=-2

.1,

11n S S n S n n 。

第二部分：等差数列

1．等差数列定义的几个特点：

⑴公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差(同一常数)，即d = a n －a 1-n (n ≥2)或d = a 1+n －a n (n ∈N +)．

⑵要证明一个数列是等差数列，必须对任意n ∈N +，a n －a 1-n = d (n ≥2)或d = a 1+n －a n 都成立．一般采用的形式为：

① 当n ≥2时，有a n －a 1-n = d (d 为常数)． ②当n +∈N 时，有a 1+n －a n = d (d 为常数)． ③当n ≥2时，有a 1+n －a n = a n －a 1-n 成立．

若判断数列{ a n }不是等差数列，只需有a 3－a 2≠a 2－a 1即可． 2．等差中项

若a 、A 、b 成等差数列，即A=

2b a +，则A 是a 与b 的等差中项；若A=2

a +，

则a 、A 、b 成等差数列，故A=2

a +是a 、A 、

b 成等差数列，的充要条件。由于a n =

1-++n n a a ，所以，等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。 3．等差数列的基本性质 ⑴公差为d 的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d ．

⑵公差为d 的等差数列，各项同乘以常数k 所得数列仍是等差数列，其公差为kd ．

⑶若{ a n }、{ b n }为等差数列，则{ a n ±b n }与{ka n ＋b}(k 、b 为非零常数)也是等差数列．

⑷对任何m 、n +∈N ，在等差数列{ a n }中有：a n = a m + (n －m)d ，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．

⑸、一般地，如果l ，k ，p ，…，m ，n ，r ，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当{a n }为等差数列时，有：a l + a k + a p + … = a m + a n + a p + … ．

⑹公差为d 的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k 为取出项数之差)．

⑺如果{ a n }是等差数列，公差为d ，那么，a n ，a 1-n ，…，a 2、a 1也是等差数列，其公差为－d ；在等差数列{ a n }中，a l m +－a l = a k m +－a k = md ．(其中m 、k 、l ∈+N )

⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．

⑼当公差d ＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d ＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d ＝0时，等差数列中的数等于一个常数．

⑽设a l ，a m ，a n 为等差数列中的三项，且a l 与a m ，a m 与a n 的项距差之比

m m

l --=λ（λ≠－1），则a m =λλ++1n l a a ．

4．等差数列前n 项和公式S n =

2)(1n a a n +与S n = na 1＋

d n n 2

)

1(-的比较前n 项和公式

公式适用范围相同点

S n =2

)(1n a a n +

用于已知等差数列的首项和末项都是等差数

列的前n 项和公式

S n = na 1＋

d n n 2

)

1(- 用于已知等差数列的首项和公差

5．等差数列前n 项和公式S n 的基本性质

⑴数列{ a n }为等差数列的充要条件是：数列{ a n }的前n 项和S n 可以写成S n = an 2+ bn 的形式(其中a 、b 为常数)．

⑵在等差数列{ a n }中，当项数为2n (n ∈N *)时，S 偶－S 奇= nd ，

偶

奇S S =

+n n

a a ；当项数为(2n －1) (n +∈N )时，S 偶－S 奇= a n ，

偶

奇S S =

-n n

． ⑶若数列{ a n }为等差数列，则S n ，S n 2－S n ，S n 3－S n 2，…仍然成等差数列，公差为d n 2．

⑷若两个等差数列{ a n }、{ b n }的前n 项和分别是S n 、T n (n 为奇数)，则

n n

T S =2

++n n b a ． ⑸在等差数列{ a n }中，S n = a ，S m = b (n ＞m)，则S n m +=m

n m

n -+(a －b)． ⑹等差数列{a n }中，n S n 是n 的一次函数，且点（n ，n S n ）均在直线y =2

d x + (a 1－

)上． ⑺记等差数列{a n }的前n 项和为S n ．①若a 1＞0，公差d ＜0，则当a n ≥0且a 1+n ≤0时，S n 最大；②若a 1＜0 ，公差d ＞0，则当a n ≤0且a 1+n ≥0时，S n 最小．

第三部分：等比数列

1．正确理解等比数列的含义

⑴q 是指从第2项起每一项与前一项的比，顺序不要错，即q =

n a a 1+ (n +∈N )

或q =

-n n

a a (n ≥2)． ⑵由定义可知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q 也不为0． ⑶要证明一个数列是等比数列，必须对任意n +∈N ，

n a a 1+= q ；或

-n n

a a = q (n ≥2)都成立．

2．等比中项与等差中项的主要区别

如果G 是a 与b 的等比中项，那么a G =G

，即G 2= ab ，G =±ab ．所以，

只要两个同号．．

的数才有等比中项，而且等比中项有两个，它们互为相反数；如果A 是a 与b 的等差中项，那么等差中项A 唯一地表示为A=

a +，其中，a 与

b 没有同号．．

的限制．在这里，等差中项与等比中项既有数量上的差异，又有限制条件的不同．

3．等比数列的基本性质

⑴公比为q 的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q m ( m 为等距离的项数之差)．

⑵对任何m 、n +∈N ，在等比数列{ a n }中有：a n = a m · q m n -，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性． ⑶一般地，如果t ，k ，p ，…，m ，n ，r ，…皆为自然数，且t + k ，p ，…，m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当{a n }为等比数列时，有：a t ．a k ．a p ．… = a m ．a n ．a p ．… ．．

⑷若{ a n }是公比为q 的等比数列，则{| a n |}、{a 2n }、{ka n }、{

a 1

}也是等比数列，其公比分别为| q |}、{q 2}、{q}、{

}． ⑸如果{ a n }是等比数列，公比为q ，那么，a 1，a 3，a 5，…，a 12-n ，…是以q 2为公比的等比数列．

⑹如果{ a n }是等比数列，那么对任意在n +∈N ，都有a n ·a 2+n = a 2n ·q 2＞0． ⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个

数列的公比的积．

⑻当q＞1且a

1＞0或0＜q＜1且a

＜0时，等比数列为递增数列；当a

＞

0且0＜q＜1或a

＜0且q＞1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q＜0时，等比数列为摆动数列．

4．等比数列前n项和公式S

的基本性质

⑴如果数列{a

}是公比为q 的等比数列，那么，它的前n项和公式是

n =

≠

)

时

当

时

当

也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函

数值，分段的界限是在q = 1处．因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q = 1和q ≠1进行讨论．

⑵当已知a

1，q，n时，用公式S

a n

)

1；当已知a

，q，a

时，用

公式S

n =

1．

⑶若S

n 是以q为公比的等比数列，则有S

= S m＋qS

．⑵

⑷若数列{ a

n }为等比数列，则S

，S

－S

，S

－S

，…仍然成等比数

列．

⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S

1与T

，次

n项和与次n项积分别为S

2与T

，最后n项和与n项积分别为S

与T

，则S

，

2，S

成等比数列，T

，T

亦成等比数列．

二、难点突破

1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一

定唯一．已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的．2．等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数”．这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项．所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项．

3．数列的表示方法应注意的两个问题：⑴{ a

n }与a

是不同的，前者表示

数列a 1，a 2，…，a n ，…，而后者仅表示这个数列的第n 项；⑵数列a 1，a 2，…，a n ，…，与集合{ a 1，a 2，…，a n ，…，}不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性．

4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：

⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S ，则通常设…，aq 2-， aq 1-， a ，aq ，aq 2，…；

⑵对连续偶数个项同号．．

的等比数列，若已知其积为S ，则通常设…，aq 3-， aq 1

-， aq ，aq 3，…．

5．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意a n ≠0，因为当a n = 0时，虽有a 2n = a 1-n · a 1+n 成立，但{a n }不是等比数列，即“b 2= a · c ”是a 、b 、 c 成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列{a n }，“2b = a + c ”是a 、b 、 c 成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清．

6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”．等比数列的前n 项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q = 1和q ≠1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错．

数列基础知识定时练习题

（满分为100分+附加题20分，共120分；定时练习时间120分钟）

一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列四个数中，哪一个是数列{)1(+n n }中的一项（）

（A ）380 （B ）39 （C ）35 （D ）23 2．在等差数列}{n a 中，公差1=d ，8174=+a a ，则20642a a a a ++++Λ的值为（）（A ）40 （B ）45 （C ）50 （D ）55 3．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套

书的年份是（）

（A ）1997 （B ）1999 （C ）2001 （D ）2003

4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且

中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（）

（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）6 5．已知1是2a 与2b 的等比中项，又是

a 1与

b 1的等差中项，则22b

a b

a ++的值是（）（A ）1或2

1 （B ）1或2

1- （C ）1或3

（D ）1或3

1- 6．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d 的取值范围是（）

（A ）3

8>d （B ）3

8≤3

8≤3 7．如果-1，a,b,c ,-9成等比数列，那么（）

（A ）b =3,ac =9

(B)b =-3,ac =9 (C)b =3,ac =-9 (D)b =-3,ac =-9

8．在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于（） A.40 B.42 C.43 D.45

9．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）

A.5

B.4

C. 3

D. 2

10．若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a =（）

A ．4

B ．2

C ．－2

D ．－4

11．在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 = （） A. 81 B. 27527 C.

3 D. 243

12．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（）

(A)1

2n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n -

【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。

13．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=

（）

A ．120

B ．105

C ．90

D ．75 14．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（）

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

15．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6

S 12 ＝（）

（A ）310 （B ）13 （C ）18 （D ）1

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案填在题中横线上） 1．在数列}{n a 中，1

1++=

n n a n ，且9=n S ，则=n ．

2．等比数列}{n a 的前三项为x ，22+x ，33+x ，则=4a

3．若数列{}n a 满足：1.2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a Λ21 . 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，S 10－7S ＝30，则S 9＝ . 5．在数列{}n a 中，若11a =，12(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a = 。三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 1．已知{}n a 为等比数列，32420

2,3

a a a =+=

，求{}n a 的通项式。 2．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，481,17,?n S S a ===求通项公式

3．已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n .

4．数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T

本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12分。

1. A

2.B

3.D

4.C

5.D

6.D

7.B

解：由等比数列的性质可得ac ＝（－1）×（－9）＝9，b ×b ＝9且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3，选B 8.B

解：在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=∴ d=3，a 5=14，456a a a ++=3a 5=42，选B. 9.C

解：33025515

2051

1=???

?=+=+d d a d a ，故选C. 10. D 解：由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由310a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D 11.A 解：因为数列｛a n ｝是等比数列，且a 1＝1，a 10＝3，所以a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9＝（a 2a 9）（a 3a 8）（a 4a 7）（a 5a 6）＝（a 1a 10）4＝34＝81，故选A 12.C

【解析】因数列{}n a 为等比，则1

2n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，

则

22121122212

(1)(1)(1)22(12)01

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++?+=++?+=?+-=?=

即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C 。 13.B

【解析】{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则2

5a =，

13(5)(5)16a a d d =-+=，∴ d=3，1221035a a d =+=，111213a a a ++=105，选

14. D

【解析】n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若74735,S a == ∴ 4a =5，选 D. 15.A

解析:由等差数列的求和公式可得

31161331,26153

S a d a d S a d +===+可得且0d ≠ 所以

6112161527312669010

S a d d S a d d +===+,故选A 二、填空题 1. 99 2. 2

27-

3. 解：数列{}n a 满足：111,2, 1n n a a a n +===，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，

∴ =

+++n a a a Λ2121

2121

n n -=--. 4.解：设等差数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ，由题意得,142

)

14(441=-+

d a 30]2)17(77[]2)110(1010[11=-+--+d a d a ，联立解得a 1=2,d=1，所以S 9＝5412

)

19(929=?-+?

5.解：由12(1)n n a a n +=+≥可得数列{}n a 为公差为2的等差数列，又11a =，所以n a =2n －1 三、解答题

1.解: 设等比数列{a n }的公比为q, 则q≠0, a 2=a 3q = 2

q , a 4=a 3q=2q

所以 2q + 2q=203 , 解得q 1=1

, q 2= 3,

当q 1=13, a 1=18.所以 a n =18×(13)n －1=183

n －1 = 2×33－

n .

当q=3时, a 1= 29 , 所以a n =29

×3n －1=2×3n －

2.解：设{}n a 的公比为q ，由481,171S S q ==≠知，所以得

41(1)

11a q q -=-…① 81(1)171a q q -=-……②由①、②式得整理得841

171

q q -=-解得416q =

所以 q ＝2或q ＝－2

将q ＝2代入①式得1115a =，所以1

215

n a -=

将q ＝－2代入①式得115a =-，所以1

(1)25

n n n a --?=

3.解析：解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3．又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，②

由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2)．

当a 1=3时，a 3=13，a 15=73． a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时，a 3=12， a 15=72，有a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3．

附加题解: 引入字母,转化为递归数列模型.

设第n 次去健身房的人数为a n ，去娱乐室的人数为b n ，则150=+n n b a .

3010

30107)150(102109102109111111+=+=-+=+=

∴------n n n n n n n n a a a a a b a a 即. )100(1071001-=

-∴-n n a a ，于是11)10

)(100(100--=-n n a a 即 )100()10

7(10011-?+=-a a n n .

100lim =∴∞

→n n a .故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.

4.解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得

()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥

又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列

∴1

3n n a -=

高考数列万能解题方法

数列的项n a 与前n 项和n S 的关系：1 1 (1)(2)n n n s n a s s n -=?=?-≥? 数列求和的常用方法： 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。 2、错项相减法：适用于差比数列（如果 {}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b 叫做差比数列）即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。 3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列11n n a a +???????和??（其中{}n a 等差）可裂项为： 11 1111 ()n n n n a a d a a ++=-?，

1 d = 等差数列前n项和的最值问题： 1、若等差数列{}n a的首项10 a>，公差0 d<，则前n项和 n S有最大值。（ⅰ）若已知通项 n a，则 n S最大? 1 n n a a + ≥ ? ? ≤ ? ；（ⅱ）若已知2 n S pn qn =+，则当n取最靠近 2 q p -的非零自然数时 n S最大； 2、若等差数列{}n a的首项10 a<，公差0 d>，则前n项和 n S有最小值（ⅰ）若已知通项 n a，则 n S最小? 1 n n a a + ≤ ? ? ≥ ? ；（ⅱ）若已知2 n S pn qn =+，则当n取最靠近 2 q p -的非零自然数时 n S最小；数列通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 ⑵已知 n S（即 12 () n a a a f n +++= L）求 n a，用作差法：{11,(1),(2) n n n S n a S S n - = =-≥。已知 12 () n a a a f n = g g L g求 n a，用作商法： (1),(1) () ,(2) (1) n f n f n a n f n = ?? =?≥ ?- ? 。 ⑶已知条件中既有 n S还有 n a，有时先求 n S，再求 n a；有时也可直接求 n a。 ⑷若 1 () n n a a f n + -=求 n a用累加法： 11221 ()()() n n n n n a a a a a a a --- =-+-++- L 1 a +(2) n≥。 ⑸已知1() n n a f n a +=求 n a，用累乘法：12 1 121 n n n n n a a a a a a a a - -- =???? L(2) n≥。 ⑹已知递推关系求 n a，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如 1 n n a ka b - =+、 1 n n n a ka b - =+（,k b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求n a；形如1n n n a ka k - =+的递推数列都可以除以 n k得到一个等差数列后，再求 n a。（2）形如1 1 n n n a a ka b - - = + 的递推数列都可以用倒数法求通项。

(完整版)数列题型及解题方法归纳总结

知识框架 111111(2)(2)(1)( 1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-??-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ???????????????? ??? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ??? ???????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法 1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数）例1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1）即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a = ，121 41 n n a a n +=+-，求n a . 解：由已知可知)12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） 2 43 4)1211(211--= --+=n n n a a n ★ 说明只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数）例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有132n n a a -=+，求n a . 解法一：由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1）因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1 ∵a n+1=3a n +2 ∴3a n +2-a n =4·3n-1 即 a n =2·3n-1 -1 解法二：上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2 ，把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=p a n +q n （p ，q 为常数） )(3211-+-= -n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )32(23-= ∴n n n n n b a )31(2)21(32-== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+

数列知识点及常用结论

数列知识点及常用结论一、等差数列（1）等差数列的基本公式 ①通项公式：1(1)n a a n d =+- （从第1项1a 开始为等差） ()n m a a n m d =+- （从第m 项m a 开始为等差） ()n m n m n m a a nd a a n m d a a d n m -=?? =+-??-=?-? ②前n 项和公式：11()(1)22 n n n a a n n S na d +-= =+ （2）证明等差数列的法方 . ①定义法：对任意的n ，都有1n n a a d +-=（d 为常数）?{}n a 为等差数列 ②等差中项法：122n n n a a a ++=+（n ∈*N ）?{}n a 为等差数列 ③通项公式法：n a =pn+q (p ，q 为常数且p ≠0) ?{}n a 为等差数列即：通项公式位n 的一次函数，公差d p =，首项1a p q =+ ④前n 项和公式法：2 n S pn qn =+ (p ， q 为常数) ?{}n a 为等差数列即：关于n 的不含常数项的二次函数（3）常用结论 < ①若数列{}n a ，{}n b 为等差数列，则数列{}n a k +，{}n k a ，{}n n a b ±，{}n ka b + (k ， b 为非零常数)均为等差数列. ②若m+n=p+q (m ，n ，p ，q ∈*N )，则n m a a +=p q a a +. 特别的，当n+m=2k 时，得n m a a +=2k a ③在等差数列{}a 中，每隔k(k ∈*N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍

数列解题技巧归纳总结---好(5份)

数列知识点及常用结论

数列知识点及常用结论一、等差数列（1）等差数列的基本公式 ①通项公式：1(1)n a a n d =+- （从第1项1a 开始为等差） ()n m a a n m d =+- （从第m 项m a 开始为等差） ()n m n m n m a a nd a a n m d a a d n m -=?? =+-??-=?-? ②前n 项和公式：11()(1)22 n n n a a n n S na d +-= =+ （2）证明等差数列的法方 ①定义法：对任意的n ，都有1n n a a d +-=（d 为常数）?{}n a 为等差数列 ②等差中项法：122n n n a a a ++=+（n ∈*N ）?{}n a 为等差数列 ③通项公式法：n a =pn+q (p ，q 为常数且p ≠0) ?{}n a 为等差数列即：通项公式位n 的一次函数，公差d p =，首项1a p q =+ ④前n 项和公式法：2 n S pn qn =+ (p ， q 为常数) ?{}n a 为等差数列即：关于n 的不含常数项的二次函数（3）常用结论 ①若数列{}n a ，{}n b 为等差数列，则数列{}n a k +，{}n k a ，{}n n a b ±，{}n ka b + (k ， b 为非零常数)均为等差数列. ②若m+n=p+q (m ，n ，p ，q ∈*N )，则n m a a +=p q a a +. 特别的，当n+m=2k 时，得n m a a +=2k a ③在等差数列{}n a 中，每隔k(k ∈*N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为(k+1)d(例如：1a ，4a ，7a ，10a ??????仍为公差为3d 的等差数列)

数列知识点及常用解题方法归纳总结

数列知识点及常用解题方法归纳总结一、等差数列的定义与性质 () 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2 ()()前项和n S a a n na n n d n n = +=+ -112 12 {}性质：是等差数列a n （）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+ {}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232-- （）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则；421 21 a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52 a S an bn a b n n n ?=+ 0的二次函数） {}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2 项，即：当，，解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n n n 11 000 0><≥≤?? ?+ 当，，由可得达到最小值时的值。a d a a S n n n n 11000 <>≤≥?? ?+ {}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123 （由，∴a a a a a n n n n n ++=?==----12113331 ()又·，∴S a a a a 3132 22 33113 = +===

数列知识点及常用结论

数列知识点及常用结论 -、等差数列（1）等差数列的基本公式 ①通项公式：a^ a i （n - 1）d （从第1项印开始为等差） a n = a m - （n- m）d （从第m项a m开始为等差）比代二nd a n=a m+（ n-m）d=仁a n-a m d = ---- — m L.n ②前n项和公式：皿且2訂务 2 2 （2）证明等差数列的法方 ①定义法：对任意的n,都有a ni -a. =d（d为常数）二{a.}为等差数列 ②等差中项法：2a n^a n■ a n 2（n，N ）= {a n}为等差数列 ③通项公式法：a n=pn+q （p , q为常数且p z 0）u {a n}为等差数列即:通项公式位n的一次函数，公差d = p，首项a^ p q 2 ④前n项和公式法：S n = p n +qn （p , q为常数）={a n}为等差数列即:关于n的不含常数项的二次函数（3）常用结论 ①若数列{a n}, {b n}为等差数列，则数列{a n k} , {kLa n} , {a n - b n}, {ka n b} （k , b为非零常数）均为等差数列. ②若m+n=p+q （m, n, p, q N*），贝U a. a m=a p a q. 特别的，当n+m=2k时，得a n' a m= 2a k

③在等差数列{a n}中，每隔k（k ? N*）项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为（k+1）d（例如：a1, a4, a7, a10 仍为公差为3d的等差数列) ④若数列｛a*｝为等差数列，则记2 =6 ? a?山. 宀比,S2k -S k二a k i ? a k 2宀.... 宀a2k, 2 S3k _S2^a2k 1 a2k 2 .... ' a3k，则S k , Sk , S k 仍成等差数列，且公差为k d S ⑤若S n为等差数列｛a n｝的前n项和，则数列｛」｝也为等差数列. n f S|,( n = 1) ⑥a n二此性质对任何一种数列都适用 ! S n - S二，(n-2) ⑦求S n最值的方法： a兰0 I：若a i>0，公差d<0，则当彳时，则S n有最大值且S k最大； (A卑兰0 N _ 0 若a i<0，公差d>0，则当时，贝V S n有最小值，且S k最小； I a k i 一0 II :求前n项和S n pn ? qn的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k , 当n二k时，S k为最值，是最大或最小，通过S n的开口来判断。二、等比数列 (1)等比数列的基本公式 ①通项公式：n 1 a n =aq (从第1项a i开始为等比) a二a q (从第m项a开始为等差) ②前n项和公式： —,(q ~1)，Sfq-1) (2)证明等比数列的法方 ①定义法：对任意的n,都有a n 1 = qa n(a n = 0)= 色」=q (q = 0)= {a n}为等比数列a n

数列解题技巧

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第四讲数列与探索性新题型的解题技巧【命题趋向】从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势： 1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有. 2.数列中a n与S n之间的互化关系也是高考的一个热点. 3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用. 4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.因此复习中应注意： 1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等. 2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算. 3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等. 4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如a n与S n的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳. 5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.

6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果. 7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 【考点透视】 1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项. 2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题. 3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题. 4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决. 【例题解析】

数列知识点和常用解题方法归纳总结

数列知识点和常用解题方法归纳总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

数列知识点及常用解题方法归纳总结一、等差数列的定义与性质 () 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2 ()()前项和n S a a n na n n d n n = +=+ -112 12 {}性质：是等差数列a n （）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+ {}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232-- （）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则；421 21 a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52a S an bn a b n n n ?=+ 0的二次函数） {}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2 项，即：当，，解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n n n 11000 0><≥≤???+ 当，，由可得达到最小值时的值。a d a a S n n n n 11 000 0<>≤≥???+ {}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123 （由，∴a a a a a n n n n n ++=?==----12113331 ()又·，∴S a a a a 3132 22 3311 3 = +===

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等差数列前n 项和的最值问题： 1、若等差数列{}n a 的首项1 a >，公差0d <，则前n 项和n S 有最大值。（ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最大?1 n n a a +≥?? ≤? ；（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q p -的非零自然数时n S 最大； 2、若等差数列{}n a 的首项1 0a <，公差0d >，则前n 项和n S 有最小值（ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最小?1 n n a a +≤?? ≥? ；（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q p -的非零自然数时n S 最小；数列通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 ⑵已知n S （即1 2 ()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{1 1 ,(1),(2) n n n S n a S S n -==-≥。已知1 2() n a a a f n =求n a ，用作商法： (1),(1)() ,(2) (1)n f n f n a n f n =??=?≥?-? 。 ⑶已知条件中既有n S 还有n a ，有时先求n S ，再求n a ；有时也可直接求n a 。 ⑷若1 ()n n a a f n +-=求n a 用累加法：1 1 2 2 1 ()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1 a +(2)n ≥。 ⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：12 1 121 n n n n n a a a a a a a a ---=????(2)n ≥。 ⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比

数列解题技巧

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高考数列万能解题方法定稿版

高考数列万能解题方法 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

数列的项n a 与前n 项和n S 的关系：1 1(1)(2)n n n s n a s s n -=?=?-≥? 数列求和的常用方法： 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。 2、错项相减法：适用于差比数列（如果{}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b 叫做差比数列）即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。 3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列11n n a a +???????和??（其中{}n a 等差）

可裂项为： 111111()n n n n a a d a a ++=-? 1 d = 等差数列前n 项和的最值问题： 1、若等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，则前n 项和n S 有最大值。（ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最大?10 n n a a +≥??≤?；（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q p - 的非零自然数时n S 最大； 2、若等差数列{}n a 的首项10a <，公差0d >，则前n 项和n S 有最小值（ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最小?1 0n n a a +≤??≥?；（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q p - 的非零自然数时n S 最小；数列通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 ⑵已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{ 11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -== -≥。已知12 ()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)() ,(2) (1) n f n f n a n f n =??=?≥?-?。 ⑶已知条件中既有n S 还有n a ，有时先求n S ，再求n a ；有时也可直接求n a 。

(推荐)高中数学数列知识点精华总结

数列专题 ◆ 考点一：求数列的通项公式 1. 由a n 与S n 的关系求通项公式由S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路有： ①利用S n －S n －1＝a n (n≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝? ?? ?? S 1，n ＝1， S n －S n －1，n≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示． ②转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 的关系，再求a n . 2.由递推关系式求数列的通项公式由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解． ◆ 累加法：递推关系形如a n ＋1－a n ＝f(n)，常用累加法求通项； ◆ 累乘法：递推关系形如a n ＋1 a n ＝f(n)，常用累乘法求通项； ◆ 构造法：1）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q(p 、q 是常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类通项问题，常用待定系数法．可设a n ＋1＋λ＝p(a n ＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n ＋λ}是一个等比数列； 2）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q n (q ，p 为常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n 转化为类型(4)，或同除以p n ＋1 转为用迭加法求解． 3） ◆ 倒数变形

3.数列函数性质的应用数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．函数思想在数列中的应用 (1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决． (2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法．（3)数列{a n }的最大(小)项的求法可以利用不等式组? ?? ?? a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组? ?? ?? a n －1≥a n ， a n ≤a n ＋1，找到数列的最小项. [例3] 已知数列{a n }．(1)若a n ＝n 2 －5n ＋4，①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． (2)若a n ＝n 2 ＋kn ＋4且对于n ∈N * ，都有a n ＋1>a n 成立．求实数k 的取值范围．考点二：等差数列和等比数列等差数列等比数列定义 a n －a n －1＝常数(n≥2) a n a n －1＝常数(n≥2) 通项公式 a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n －1 (q≠0)

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数列解题技巧归纳总结基础知识： 1．数列、项的概念：按一定次序排列的一列数，叫做数列，其中的每一个数叫做数列的项． 2．数列的项的性质：① 有序性；② 确定性；③ 可重复性． 3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，（…），简记作 {a n } ．其中a n 是该数列的第 n 项，列表法、图象法、符号法、列举法、解析法、公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法． 4．数列的一般性质：①单调性；②周期性． 5．数列的分类： ①按项的数量分：有穷数列、无穷数列； ②按相邻项的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列、其他； ③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他； ④按项的变化范围分：有界数列、无界数列． 6．数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的函数关系可以用一个公式a n =f （n ）（n ∈N + 或其有限子集{1，2，3，…，n}）来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列的图象是散点图，点的横坐标是项的序号值，纵坐标是各项的值．不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一． 7．数列的递推公式：如果已知数列{a n }的第一项（或前几项），且任一项a n 与它的前一项a n -1（或前几项a n-1， a n -2，…）间关系可以用一个公式 a n =f （a 1n -）（n =2，3，…）（或 a n =f （a 1n -,a 2n -）(n=3，4，5，…)，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式． 8．数列的求和公式：设S n 表示数列{a n }和前n 项和，即S n = 1 n i i a =∑=a 1 +a 2 +…+a n ，如果S n 与项数n 之间的函数关系可以用一个公式 S n = f （n ）（n =1，2，3，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列的求和公式． 9．通项公式与求和公式的关系：通项公式a n 与求和公式S n 的关系可表示为：11(1) (n 2) n n n S n a S S -=?=? -≥? 等差数列与等比数列：等差数列等比数列文字定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。符号定义 1n n a a d +-= 1 (0)n n a q q a +=≠ 分类递增数列：0d > 递减数列：0d < 递增数列：1101001a q a q >><<<，或，

三角数列知识点梳理

三角函数知识点总结 1. 角的概念的推广 (1) 终边相同的角：所有与α角终边相同的角(连同α角在)可以用式子k ?360?α，k ∈Z 来表示。与α角终边相同的角的集合可记作：{β|β k ?360?α，k ∈Z}或{β|β2k πα，k ∈Z}。 ※ 角的集合表示形式不是唯一的；终边相同的角不一定相同，相同的角一定终边相同。 (2) 象限角：角的顶点与坐标轴原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角为第几象限的角。象限角集合表示象限角集合表示第一象限 ??????∈+<

坐标轴 ? ?????∈=Z k k x x ，π21 2. 弧度制 (1) 1弧度的角：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 (2) 度数与弧度数的换算： ①180? π弧度； ②180 1π = ?弧度； ③1弧度 O ?? ? ??π180。 (3) 有关扇形的一些计算公式： ①R =α； ②R S 2 1 = ； ③221 R S α=； ④C (α2)R ； ⑤)sin (2 1 2αα-=-=?R S S S 扇形弓。 3. 同角三角函数的基本关系 (1) 商数关系： αα αtg =cos sin ；(2) 平方关系：sin 2αcos 2 α1， 4. 三角函数的诱导公式：“奇变偶不变(2 π 的奇数倍还是偶数倍)，符号看象限(原三角函数名)”。 5. 两角和与差的三角函数公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； β αβ αβαtg tg tg tg tg 1)(±= ± (变形：)1()(βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=±)。 6. 倍角、半角公式 (1) 二倍角公式： sin2α2sin αc os α，c os2αc os 2αsin 2α2c os 2α112sin 2α，α -α = α2 tg 1tg 22tg ； 7. 倍角、半角公式的功能 (1) 并项功能：1±sin2α(sin α±c os α)2 (类比：1c os2α2c os 2α，1c os2α2sin 2α)； (2) 升次功能：c os2αc os 2αsin 2α2c os 2α1 1 2sin 2α； R

数列题型及解题方法归纳总结

知识框架掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法 1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数）例1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。例1、解∵a n+1-a n =2为常数∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1）即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2n n a a +=，而12a =，求 n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112 a = ，12 141 n n a a n +=+ -，求n a . 解：由已知可知 )12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） ★ 说明只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数）例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有 132n n a a -=+，求n a . 解法一：由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1）因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1∵a n+1=3a n +2∴3a n +2-a n =4·3n-1 即a n =2·3n-1-1 解法二：上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2，把n-1个等式累加得：∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=pa n +qn （p ，q 为常数） )(3 2 11-+-=-n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )3 2(23-=∴ n n n n n b a )31(2)21(32 -== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+ 思路：设21n n n a pa qa ++=+,可以变形为： 211()n n n n a a a a αβα+++-=-，想于是{a n+1-αa n }是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。求n a 。 (6)递推式为S n 与a n 的关系式系；（2）试用n 表示a n 。 ∴)2121( )(1 2 11 --++- +-=-n n n n n n a a S S ∴1 11 2 1 -+++ -=n n n n a a a ∴ n n n a a 2 1 211+= + 上式两边同乘以2n+1得2n+1a n+1=2n a n +2则{2n a n }是公差为2的等差数列。 ∴2n a n =2+（n-1）·2=2n 数列求和的常用方法： 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。

数列知识点和常用解题方法归纳总结.doc

数列知识点及常用解题方法归纳总结一、等差数列的定义与性质定义： a n 1 a n d (d为常数 ) ， a n a1 n 1 d 等差中项： x， A ， y成等差数列2A x y a1 a n n n n 1 前 n项和 S n na 1 d 2 2 性质： a n是等差数列（1）若 m n p q，则 a m a n a p a q；（ 2）数列 a2 n 1， a2 n， ka n b 仍为等差数列； S n， S2 n S n， S3n S2 n仍为等差数列；（ 3）若三个数成等差数列，可设为 a d，a，a d；（ 4）若 a n， b n是等差数列 S n ， T n 为前 n项和，则a m S2 m 1 ； b m T 2 m 1 （ 5） a n 为等差数列 S n an 2 bn （，为常数，是关于的常数项为 a b n 0的二次函数） S n的最值可求二次函数S n an2bn的最值；或者求出a n中的正、负分界项，即：当 a 1 ， d ，解不等式组a n 0 可得S n 达到最大值时的n 值。 0 0 a n 0 1 当 a 1 ， d ，由 a n 0 可得 S n 达到最小值时的 n 值。 0 0 a n 1 0 如：等差数列 a n， S n 18，a n a n 1 a n 2 3，S3 1，则 n （由 a n a n 1 a n 2 3 3a n 1 3，∴ a n 1 1 又 S3 a1 a3 · 3 3a2 1，∴ a2 1 2 3

1 1 n a 1 a n n a 2 a n 1 · n 3 18 n 27） ∴ S n 2 2 2 二、等比数列的定义与性质定义： a n 1 q （ q 为常数， q 0）， a n a 1 q n 1 a n 等比中项： x 、G 、 y 成等比数列 G 2 xy ，或 G xy na 1 (q 1) 前n 项和： S n a 1 1 q n 1) （要注意 ! ） 1 (q q 性质： a n 是等比数列（1）若 m n p q ，则 a m · a n a p ·a q （ 2） S n ， S 2 n S n ， S 3n S 2 n 仍为等比数列三、求数列通项公式的常用方法 1、公式法 2、由 S n 求 a n ；（ n 1时， a 1 S 1 ， n 2时， a n S n S n 1 ） 3、求差（商）法如： a n 满足 1 a 1 1 a 2 1 a n 2n 5 2 22 2n 解： n 1时， 1 a 1 2 1 ，∴ a 1 14 2 5 n 2时， 1 a 1 1 1 a 2 a n 1 2n 1 5 2 22 2 n 1 1 2 得： 1 n a n 2 ， ∴ a n 2n 1 ， ∴ a n 2 ［练习］数列 a n 满足 S n S n 1 5 a n 1 ， a 1 4，求 a n 3 （注意到 a n 1 S n 1 S n 代入得： S n 1 4 S n 又S 1 4 ，∴ S n 是等比数列， S n 4 n n 2时， a n S n S n 1 3· 4 n 1 1 2 14 ( n 1) 2 n 1 (n 2)

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