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22.3 实际问题与二次函数第1课时 二次函数与图形面积要点感知 面积最值问题应该设图形一边长为 ，所求面积为因变量，建立 的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的 .预习练习1-1 如图，用20 m 长的铁丝网围成一个一面靠墙的矩形养殖场，其养殖场的最大面积为 m 2.1-2 用12 m 长的木条，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，则窗子的横档长为 m.知识点 二次函数与图形面积问题1.在一幅长60 cm ，宽40 cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是y cm 2，设金色纸边的宽度为x cm ，那么y 关于x 的函数是( )A.y=(60+2x)(40+2x)B.y=(60+x)(40+x)C.y=(60+2x)(40+x)D.y=(60+x)(40+2x)2.已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm ，则这个直角三角形的最大面积为( )A.25 cm 2B.50 cm 2C.100 cm 2D.不确定3.用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( )A.6425m 2 B.43 m 2 C.83 m 2 D.4 m 24.如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m 长的篱笆围一个矩形场地.当AD=时，矩形场地的面积最大，最大值为 .5.如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=8 cm ，BC=6 cm ，点P 从点A 开始沿AB 向B 点以2 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 向C 点以1 cm/s 的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，当△PBQ 的面积为最大时，运动时间t 为 s.6.小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm ，这个三角形的面积S(单位：cm 2)随x 的变化而变化.(1)S与x之间的函数关系式为；(2)当x= 时，这个三角形面积S最大，最大面积是.7.(2013·滨州)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180 cm，高为20 cm.请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)8.将一条长20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长为周长各围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是.9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,AB=12 cm，点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,当PB= 时，四边形PECF的面积最大，最大值为.10.手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化.(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？11.如图所示，等腰直角三角形ABC以2 cm/s的速度沿直线m匀速向正方形CDEF移动，直到直线AB与EF重合，设移动x s时，三角形与正方形重合部分的面积为y cm2.(1)当x=2,7时，y的值分别为多少？(2)求从开始移动时到AB与EF重合时，y与x的函数关系式，并求出x的取值范围.挑战自我12.如图，等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB的长为x米.(1)求出底边BC的长(用含x的代数式表示)；(2)若∠BAD=60°，该花圃的面积为S米2.①求S与x之间的函数关系式(要指出自变量x的取值范围)，并求当时x的值；②如果墙长为24米，试问S有最大值还是最小值？这个值是多少？参考答案课前预习要点感知 自变量 二次函数 取值范围预习练习1-1.50 1-2.2当堂训练1.A2.B3.C4.20m 800m 25.26.(1)S=-21x 2+20x (2)20 200cm 2 7.根据题意，得y=20x(2180-x).整理，得 y=-20x 2+1800x=-20(x 2-90x+2025)+40500=-20(x-45)2+40500. ∵-20＜0，∴当x=45时，函数有最大值，y 最大值=40500.即当底面的宽为45 cm 时，抽屉的体积最大，最大为40 500 cm 3. 课后作业8.12.5 cm 2 9.6 cm 93cm 210.(1)S=-21x 2+30x. (2)∵S=-21x 2+30x=-21(x-30)2+450，且a=-21＜0， ∴当x=30时，S 有最大值，最大值为450.即当x 为30 cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm 2.11.(1)当x=2时，y=8;当x=7时，y=42.(2)当0<x ≤5时，△ABC 与正方形CDEF 重合部分是三角形，y=2x 2; 当5<x<10时，△ABC 与正方形CDEF 重合部分是梯形,y=-2x 2+20x, 当x=0和10时，重合部分的面积为0.∴y=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤10).x 20x(52x -5),x (02x 22 12.(1)BC=40-2x.(2)①过点B,C 分别作BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F.在Rt △ABE 中，AB=x ，∠BAE=60°，∴AE=21x ，BE=23x. 同理DF=21x ，CF=23x. 又EF=BC=40-2x ，∴AD=40-x.∴S 梯形ABCD =21(BC+AD)·BE=21(40-2x+40-x)·23x, 即S=343-x 2+203x(0<x<20). 当S=933时，343-x 2+203x=933.解得x 1=6，x 2=2032(舍去).∴x=6. ②由题意，得40-x ≤24.解得x ≥16.结合①得16≤x<20.由①，S=343-x 2+203x=343-(x-340)2+34003. ∴当16≤x<20时，S 随x 的增大而减小,∴当x=16时，S取得最大值，此时S最大值=1283(米2).。
图形面积的最值问题面面观例1某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（如图1中所有黑线的长度和）为10米．当x等于多少米时，窗户的透光面积最大，最大面积是多少？图1解析：设窗户上半部半圆的半径为x米，下半部矩形的宽为y米，则有4y+6x+πx=10，所以y=1064x xπ--.设窗户面积为S米2，由题意，得S=12πx2+2x·1064x xπ--=-3x2+5x=-3(x-56)2+2512.即当x=56米时，S的最大值为2512米2.所以当x等于56米时，窗户的透光面积最大，最大面积是2512米2.例2 如图2，小颖的爸爸准备用长为l2 m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．要求围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C=∠D=∠E．如果设CD=DE=xm，五边形ABCDE的面积为Sm2．请你帮他算一算：当x取什么值时，S最大?并求出S的最大值．图2解析：连接EC，作DF⊥EC，垂足为F．因为∠DCB=∠CDE=∠DEA，∠EAB=∠CBA=90°，所以∠DCB=∠CDE=∠DEA=120°．因为DE=CD，所以∠DEC=∠DCE=30°，所以∠CEA=∠ECB=90°．所以四边形EABC为矩形，所以AE=6-x，DF=12x，EC=x3．所以S=113(6)322DEC ABCES S x x x x+=⋅+-=)60(364332<<+-xxx．故当4)433(236=-⨯=x时，312=最大S m2．即当x为4m时，苗圃的面积最大为32．温馨提示：解决有关图形面积最值问题的一般步骤：(1)仔细审题，分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(2)建立二次函数模型表示它们之间的关系；(3)把二次函数解析式用配方法化为顶点式或用公式法求出顶点坐标，确定出二次函数的最值；(4)注意检验结果的合理性．。
数学结合思想在二次函数中的应用一、课标要求1. 通过实际问题情境分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义，能从图象上认识二次函数的性质，能用函数刻画事物间的相互关系并进行分析。
2. 探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，初步掌握一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，提高运用函数知识与方法解决问题的能力。
二、内容分析二次函数在初中数学教学中有重要地位，它是初中数学教学的重点和难点之一，更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。
它的考查经常牵涉到等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想方法，二次函数也是中考的热点之一。
本节课设想在学生第一轮复习了二次函数的图象与性质的基础上，在第二轮复习中进一步研究解决二次函数与几何结合的综合问题，让学生体会这类问题的通解通法，感受数学结合思想为解题带来的便利，初步掌握一些处理数形关系及其变化规律的常用手法，提高运用函数知识与方法解决问题的能力。
三、教学目标1. 初步掌握利用几何图形和二次函数的有关性质及相关知识解决函数与几何融合在一起的综合问题的一些常用方法，会探索、寻找、利用运动中的“不变量”；2. 学会运用类比、联想、转化、推理等方法挖掘问题中的隐含条件，用数形结合、分类讨论等思想方法分析问题，在问题解决的过程中提升运用函数知识与方法解决问题的能力。
四、教学重点培养运用类比、联想、转化、推理等方法解决二次函数与几何综合问题的思维方式方法。
五、教学难点挖掘问题中的隐含条件，寻找运动中的“不变量”，用数形结合思想分析、思考问题。
六、学情分析教学班级为平行班，学生的学习基础参差不齐，成绩中等的学生占大多数。
本班学习积极性高。
因此在设计本节课的内容是，从最基础的二次函数知识出发，由浅入深，环环紧扣，从题目的设计上降低学生学习的难度，从而让学生能更好地体会数形结合思想在二次函数中的应用。
七、教学过程在抛物线上且它的横坐标为2，那么点P，。
探索二次函数中图形面积最值问题知识目标：1.认识二次函数的意义。
2.灵活运用选定系数法求二次函数的解析式。
3.掌握构建二次函数模型并利用二次函数的性质解决图形面积的最值问题。
能力目标：1.熟悉运用数形结合的思想解决问题。
2.通过观察课件的演示，学会分析事物“静”与“动”的辩证统一关系。
情感目标：1.培养学生的空间想象能力。
2.培养学生学会以变化的思想分析问题。
教学重点：掌握构建二次函数模型并利用二次函数的性质解决图形面积的最值问题教学难点：理清点、线段、解析式三者之间的关系，把动态问题看作静态问题。
教学方法：讲练结合法、研究法教学过程：一、问题导入问题一：如图：已知平面直角坐标系中，点A、B的则S△OAB=问题二：如图，平面直角坐标系中有两点A（2，2）B（－1,－4），则S△OAB=小结归纳：在平面直角坐标系中，求三角形的面积关键是确定三角形的底边和底边上的高，为了能够把点的坐标联系起来，通常要找出“横平、竖直”的线段作为三角形的底和高，如问题一以OA（横平）的线段作为底边，高则由B点的纵坐标的绝对值决定；如果图中没有出现“横平、竖直”的线段，则利用割补法，把图形分成两个图形进行计算，如问题二：直线AB与x轴交于点C，则以OC为底边，把△OAB分成两个以OC 为底边的三角形，高则由点A和点B的纵坐标的绝对值确定。
二、新授如图：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点，（1）求抛物线的解析式。
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标是m，△AMB面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值。
活动一：小组讨论如何求抛物线的解析式方法一：把三点坐标代入二次函数的一般形式，构建三元一次方程组求解。
方法二：利用交点式，设y=a(x+4)(x-2)，然后把点B（0，－4）代入求出a即可。
活动二：问题引导1.观察课件动画演示，体会图形面积的变化产生的原因以及关键的因素，体会在图形变化过程中，存在某一点M使△AMB的面积最大。
初中数学：二次函数面积最值问题的4种解法原题：在（1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出P点的坐标及△PBC 的面积最大值，若没有，请说明理由。
考试题型，大多类似于此。
求面积最大值的动点坐标，并求出面积最大值。
一般解题思路和步骤是，设动点P的坐标，然后用代数式表达各线段的长。
通过公式计算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。
解法一：补形，割形法。
方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。
请看解题步骤。
解法二：铅锤定理，面积=铅锤高度×水平宽度÷2。
这是三角形面积表达方法的一种非常重要的定理。
铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，在课堂上讲解。
因为，铅锤定理，在很多地方都用的到。
这里，也有铅锤定理的简单推导，建议大家认真体会。
解法二：铅锤定理，在求二次函数三角形面积最值问题，运用非常多。
设动点P的坐标，然后用代数式分别表达出铅锤高度和水平宽度，然后利用铅锤定理的计算公式，得出二次函数，必有最大值。
解法三：切线法。
这其实属于高中内容。
但是，基础好的同学也很容易理解，可以看看，提前了解一下。
解法四：三角函数法。
请大家认真看上面的解题步骤。
总之，从以上的四种解法可以得出一个规律。
过点P做辅助线，然后利用相关性质，找出各元素之间的关系。
设动点P的坐标，然后找出各线段的代数式，再通过面积计算公式，得出二次函数顶点式，求出三角形面积的最大值。
对于同学们中考数学来说，只要你熟练掌握解法一和解法二，那么二次函数几何综合题中，求三角形面积最大值问题，就非常简单了。
二次函数面积最大值问题二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，a!=0。
它是数学中的一种基本函数类型，也是一种常见的函数类型。
二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，它在平面上呈现出对称的形状。
而二次函数的面积最大值问题即是要找到这个二次函数上的某个区间，使得该区间所对应的面积达到最大值。
要解决这个问题，我们首先需要找到二次函数的顶点，因为顶点是抛物线的最高点或最低点，对应着面积最大值或最小值。
二次函数的顶点坐标的x值可以通过求导函数的根来得到，也可以通过使用二次函数的对称轴公式来得到。
一般来说，对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的对称轴公式为x = -b/(2a)。
对于开口朝上的抛物线，顶点位于对称轴上方；对于开口朝下的抛物线，顶点位于对称轴下方。
有了二次函数的顶点坐标后，我们可以进一步求得面积最大值对应的区间。
对于开口朝上的抛物线，可以找到一个区间，使得顶点的两个x值都落在该区间内；对于开口朝下的抛物线，可以找到一个区间，使得顶点的两个x值都落在该区间外。
接下来，我们需要定义面积的计算方法。
对于开口朝上的抛物线，面积为两个顶点x值之间的曲线下方所围成的面积；对于开口朝下的抛物线，面积为整个函数曲线下方所围成的面积。
对于面积的计算，可以使用微积分的方法。
我们可以先求出二次函数的原函数F(x)，然后通过计算F(x)在区间内的两个端点的函数值之差来得到面积。
具体来说，对于开口朝上的抛物线，面积可以表示为S = F(x2) - F(x1)，其中x1和x2是顶点的两个x值；对于开口朝下的抛物线，面积可以表示为S = |-F(x2) + F(x1)|。
要计算S的数值，我们需要根据二次函数的具体形式来计算对应的原函数F(x)。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的原函数F(x) = (a/3)x^3 + (b/2)x^2 + cx。
二次函数的应用—（面积最大问题）学案教学目标：1、通过本节学习，巩固二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。
2、通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。
3、通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。
教学重点：利用二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，求面积最值问题教学难点：1、正确构建数学模型2、对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用教学过程：一、基础扫描1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 ，顶点坐标是 。
当x= 时，y 的最 值是 。
2. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称是 ，顶点坐标是 。
当x= 时，函数有最__ 值，是 。
3.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 ，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最 值，是 。
二、探究新知（一）读中思请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园。
怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？2、用长20米的篱笆围成一个一面靠墙的长方形的菜园，设菜园的宽为x 米，面 积为y 平方米。
(1)求y 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；(2)怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？•••练一练：已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为多少时，这个直角三角形面积最大，最大值是多少？（二）、学中引某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？（三）、堂上清△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从A开始沿AB边向B 以1cm/s的速度移动；点Q从B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动。
