初三数学上册《 二次函数》

九年级上册数学知识点二次函数九年级上册数学知识点的二次函数主要包括以下内容：1. 二次函数的概念：二次函数是一个含有x的二次多项式，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c。

其中a、b、c为常数，a不等于0。

2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口向上或开口向下的抛物线。

开口向上的抛物线对应的二次函数的a值为正，开口向下的抛物线对应的二次函数的a值为负。

3. 二次函数的顶点：二次函数的顶点是抛物线的最低点（开口向上）或最高点（开口向下）。

顶点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为f(-b/(2a))。

4. 二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。

对称轴的方程为x = -b/(2a)。

5. 二次函数的零点：二次函数的零点是函数的图像与x轴交点的横坐标。

可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来求得零点。

6. 二次函数的最值：开口向上的二次函数没有最小值，开口向下的二次函数没有最大值。

可以根据顶点和抛物线的开口方向来判断最值的取值范围。

7. 二次函数的平移：对二次函数进行平移操作可以改变函数的顶点和对称轴的位置。

平移时，可以考虑将二次函数的一般式写成完全平方形式，然后对x进行平移。

8. 二次函数与一次函数的关系：二次函数是一次函数的平方。

通过解方程或图像的变化，可以找到一次函数和二次函数之间的关系。

9. 二次函数的应用：二次函数在现实生活中具有广泛应用，如物体的抛射运动、焦点和准线问题、面积最大值和最小值等问题。

应用中需要把问题转化为二次函数，并利用二次函数性质进行求解。

九年级上册数学二次函数知识点一、二次函数的概念。

1. 定义。

- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。

其中x是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b=3，c=-1。

2. 二次函数的特殊形式。

- 当b = 0时，二次函数为y=ax^2+c，例如y = 3x^2-2。

- 当c = 0时，二次函数为y = ax^2+bx，例如y=x^2+2x。

- 当b = 0且c = 0时，二次函数为y = ax^2，例如y=-x^2。

二、二次函数的图象和性质。

1. 二次函数y = ax^2的图象和性质（a≠0）- 图象：二次函数y = ax^2的图象是一条抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 对称轴：对称轴为y轴（即直线x = 0）。

- 顶点坐标：顶点坐标为(0,0)。

- 增减性。

- 当a>0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而增大。

- 当a < 0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而减小。

2. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象和性质。

- 图象：也是一条抛物线。

- 对称轴：对称轴公式为x =-(b)/(2a)。

- 顶点坐标：把x =-(b)/(2a)代入函数y = ax^2+bx + c可得到顶点的纵坐标y=frac{4ac - b^2}{4a}，所以顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

- 增减性。

- 当a>0时，在对称轴左侧（x<-(b)/(2a)），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>-(b)/(2a)），y随x的增大而增大。

初三数学《二次函数》考点整理与例题解析二次函数重难点分析:1、二次函数的图像2、二次函数的性质以及性质的综合应用3、二次函数的应用性问题：①面积最值问题②高度、长度最值问题③利润最大化问题④求近似解知识点归纳：1、二次函数的概念y=ax2+bx+c(a≠0)2、求二次函数的解析式一般式y=ax2+bx+c、顶点式y=a（x+m）2+k交点式y=a（x-x1）(x-x2)3、二次函数的图像和性质当a>0时，图像开口向上，有最低点，有最小值当a<0时，图像开口向下，有最高点，有最大值顶点式对称轴：直线x=-m一般式对称轴：直线x=-b/2a交点式对称轴：直线x=（x1+x2）/24.二次函数图像的平移函数y=a（x+m）2+k的图像，可以由函数y=ax2的图像先向右（当m<0时）或向左（m>0时）平移|m|个单位，再向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到5、抛物线与系数的关系二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

常数项c决定抛物线与y轴交点抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数?= b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

?= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

?= b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点知识拓展：初中数学最重要的部分，在中考中占的比重大，跟其他知识点联系多，以数形结合的题型考查几何，解方程、代数等都相互联系，知识点多题型多变，压轴题多以此为出题点1、考查形式：以选择题、填空题形式考察二次函数图像的性质，以解答题形式考察以二次函数为载体的综合题。

2、考察趋势：二次函数图像与系数的关系，二次函数的应用仍是重点3、二次函数求最值的应用：依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结合方程、一次函数等知识解决实际问题（对于二次函数最大（小）值的确定，一定要注意二次函数自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特殊约定，结合图像进行理解）经典例题。

九年级上册数学二次函数二次函数是数学中的一种重要类型的函数，也是九年级上册数学中的一个重要内容。

下面我将为大家详细介绍九年级上册数学的二次函数。

二次函数是一种以x的平方项为最高次的多项式函数。

它的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a，b，c为常数，且a 不等于零。

在二次函数中，a决定了函数的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下；而b决定了函数的对称轴位置，c决定了函数的平移位置。

一、函数的图像特征二次函数的图像是一个平滑的曲线，称为抛物线。

根据二次函数的a值，可以判断抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

对称轴是垂直于y轴的一条直线，过顶点。

顶点坐标为(-b/2a , f(-b/2a))，其中-f(-b/2a)为函数的最小值或最大值。

二、零点和交点二次函数的零点是指函数取0值的x的值。

根据函数f(x) = ax^2 + bx + c = 0，可以通过求解二次方程来求得二次函数的零点。

当二次方程有两个根时，表示函数与x轴有两个交点；当二次方程有一个根时，表示函数与x轴有一个交点；当二次方程没有实根时，表示函数与x轴没有交点。

三、函数的增减性根据二次函数的开口方向，可以判断函数的增减性。

当a>0时，二次函数是向上开口的，函数在开口处左右是递减的；当a<0时，二次函数是向下开口的，函数在开口处左右是递增的。

四、函数的平移与拉伸我们可以通过改变二次函数的常数项c来使函数平移，改变一次项系数b来使函数斜拉伸或压缩，改变二次项系数a来使函数横向拉伸或压缩。

具体来说，当我们将常数项c增大或减小时，函数的图像将上下平移；当我们将一次项系数b增大或减小时，函数的图像将左右移动；当我们将二次项系数a增大或减小时，函数的图像将变得更瘦或更胖。

五、二次函数的应用二次函数在现实生活中有很多应用，例如抛物线的运动轨迹、抛物线天线的接收范围等等。

初三上册数学二次函数知识点(5篇)1.初三上册数学二次函数的定义篇一一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数.如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2+x-1等都是二次函数。

注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式;(2)二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数;(3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数;(4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x，故它不是二次函数。

2.初三上册数学二次函数y=ax2+c的图象与性质篇二(1)抛物线y=ax2+c的形状由a决定，位置由c决定。

(2)二次函数y=ax2+c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y 轴。

当a>0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c.在y轴左侧，y随x的增大而减小;在y轴右侧，y随x增大而增大。

当a<0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y最大值=c.在y轴左侧，y随x的增大而增大;在y轴右侧，y随x增大而减小。

(3)抛物线y=ax2+c与y=ax2的关系。

抛物线y=ax2+c与y=ax2形状相同，只有位置不同.抛物线y=ax2+c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到.当c>0时，向上平行移动，当c<0时，向下平行移动。

3.初三上册数学二次函数的平移规律口诀篇三上加下减，左加右减y=a(x+b)2+c，是将y=ax2的二次函数图像按以下规律平移(1)c>0时，图像向上平移c个单位(上加上)。

(2)c<0时，图像向下平移c个单位(下减)。

(3)b>0时，图像向左平移b个单位(左加)。

人教版数学九年级上学期《二次函数》章节知识点归纳总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：（1）一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。

（2）这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b c ，可以为零．二次函数的定义域(x)是全体实数．2. 二次函数 2y ax bx c =++ 的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． （2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．3. 二次函数解析式的几种形式（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0） （2）顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （ h ，k ）]（3）交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)[仅限于与x 轴有交点A （x 1，0）和 B （x 2，0）的抛物线]其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根，a ≠0. x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-)/2a在三种形式的互相转化中，有如下关系:h= -b / 2a ； k=(4ac-b 2) / 4a ； x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-) / 2a说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)；(2) 当h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点；(3) 如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax2+k4.抛物线的性质（1）.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线 x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。