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“悖论”（paradox）“悖论”（paradox）一词常见诸报端，其字面意思为“荒谬的理论或自相矛盾的话”。
从逻辑上看，悖论性的语句具有这样的特征：如果假定这个语句为真，那么会推出这个语句为假；反之，如果假定这个语句为假，又会推出这个语句为真。
说它对也不是，不对也不是，真是左右为难。
语义学悖论举例悖论古已有之。
一般认为，最早的悖论是古希腊的“说谎者悖论”。
《新约全书·提多书》是这样记述的：克里特人中的一个本地先知说：“克里特人总是撒谎，乃是恶兽，又馋又懒。
”这个见证是真的。
这个克里特岛的“先知”是伊壁孟尼德（Epimenides）。
后来欧布里德（Eubulides）将他的话改进为：我正在说谎。
这句话是真的，还是假的？ 如果是句真话，由这句话的内容可知：说话者正在撒谎，既然是撒谎，那么说的是假话；反之，如果这句话是假的，说假话就是说谎，这句话的内容正是“我正在说谎”，因此这句话又是真的。
后来又发现了好几种“说谎者悖论”的变种，例如所谓“说谎者循环”：A说：“下面是句谎话。
”B说：“上面是句真话。
”“说谎者悖论”和“说谎者循环”是与自然语言的表达方式密切相关的悖论，涉及真假、定义、名称、意义等语义方面的概念，这类悖论被称为“语义学悖论”。
语义学悖论的实例很多，“格列林（K.Grelling）-纳尔逊（L.Nelson）悖论”就饶有趣味，它与形容词的应用有关：将形容词分为两类，一类称为“自谓的”，即可对于它们自身成立、对自己为真的。
例如，形容词“Polysyllabic（多音节的）”本身是多音节的，“English（英文的）”本身是英文的，它们都是自谓的。
另一类称为“它谓的”，即对于它们自身不成立、对自己不真的。
例如，形容词“Monosyllabic（单音节的）”是它谓的，因为这个词不是一个单音节词；“英文的”也是它谓的，因为这个词是中文的而不是英文的。
问题来了：形容词“它谓的”是不是它谓的？得到的结果是：如果“它谓的”是它谓的，那么会推出“它谓的”不是它谓的，反之亦然。
有关悖论思维例子有哪些所谓悖向思维,笼统地说就是指背离原来的认识并在直接相对立的意义上去探索新的发展的可能性。
下面小编为你整理关于悖论思维例子，希望能帮到你。
有关于悖论思维的例子“两个信封”问题是蒙提霍尔一个鲜为人知的变体，基本理论为：给你两个装钱的信封，其中一只信封中的钱是另一只的两倍，选择一个信封，打开，此时，你可以选择拿走手上信封里的钱，或者拿走另一个信封，哪种方式获得的钱最多呢?一开始，你拿到钱多的那个信封的概率为50%，假定你手上信封里的钱为Y，那么接下来在计算概率常犯的一个错误就是：1/2(2Y) + 1/2(Y/2) = 1.25Y，如此一来，你就会不停捡起下一只信封，因为这么一算，下一只信封的钱永远会比手上信封的钱要多一些，这也是这个问题成为悖论的原因。
针对这个问题，如今许多科学家们给出了自己的答案，但是没有一个答案得到多数人的肯定。
有关于悖论思维的例子汤姆生是20世纪的英国哲学家，他的最主要贡献就是汤姆生的灯悖论，该悖论主要研究“超任务”现象(要求完成无限连续任务的任一逻辑佯谬)。
悖论内容如下：一盏装有开关按钮的灯，利用按钮不停开灯，关灯，每一次开(关)灯动作用时为上一关(开)灯动作用时的一半，那么在确定时间内，这盏灯是开着的，还是关着的呢?从“无限”的本性考虑，我们永远不会知道这盏灯是开着的还是关着的，因为最后的开(关)动作永不存在，这类悖论最早由埃利亚(意大利城市)的芝诺提出，“超任务”是一种在逻辑上无解的悖论，然而有些哲学家，如贝纳塞拉夫，仍旧认为汤姆生的灯这种机器在逻辑上是可行的。
有关于悖论思维的例子目前，我们的太阳比40亿年前明亮40%，这个悖论也就应运而生，如果这种假设成立，那么当时的地球接受的日照比现在少得多，因此，地球表面应是冰雪覆盖的世界。
1972年，著名科学家卡尔·萨根(Carl Sagan)提出了这一悖论，许多科学家百思不得其解，因为证据显示，当时地球表面有几处已被海洋覆盖。
四条逻辑规律定义什么是理性思维逻辑学研究什么?怎么研究?有什么用处?逻辑学是一门关于推理和论证的科学，它力求阐明什么是正确、安全、有效的推理和论证，什么是错误和无效的推理和论证，并教会我们对它们加以区分和鉴别的程序、方法和规则。
下面是小编为大家收集关于四条逻辑规律定义什么是理性思维，欢迎借鉴参考。
什么是理性精神?我说逻辑学是对于理性精神的培养和训练，那什么叫理性精神?什么叫理性思维?这里有四条基本的逻辑规律，某种意义上就定义了什么叫理性思维。
1、同一律必须满足这样一些规律要求，要遵守同一律，同一律就是你在思考论证过程中，你所使用的概念、命题、思想等等，都要与自身保持同一，事物要保持确定性。
概念保持统一，一个概念什么意思就是什么意思，指称什么对象就是指称什么对象，不能混淆概念。
比如人是由猿猴进化而来的，张三是人，所以张三是由猿猴进化而来的，这不对，张三是由他妈生的，不是猿猴进化而来的，他只活几十年时间，他一个人不可能完成从猿猴到人的进化过程。
那么这个结论不对了，就是前提有问题，什么前提?就是人，人是由猿猴进化过来的，完成这个过程的是人类，张三是人，张三是一个人，不是人类，所以我们日常语言里面，有一词多意，造成了好像推理有共同项。
从论辩的角度说，同一律还要求，在一个论辩过程中，讨论什么论题，就讨论什么论题，不能偏题、离题、跑题。
我们偏题、离题、跑题是经常发生的，同一律还要求我们，在反驳和批评别人观点的时候，不能歪曲别人的观点，故意将其荒谬化，你批评别人的时候，要持科学的态度去批判。
2、矛盾律另外是矛盾律，矛盾律就是思维不能自相矛盾，思维应该前后一致，不能自己跟自己打架，不能自我否定。
矛盾有深浅之分，有些矛盾就是因为考虑不周，用词不当造成的。
张三不小心谋杀了李四，这肯定有问题。
谋杀就是蓄意的，不会不小心。
还有一种特殊的矛盾，叫悖论，悖论是什么?悖论就是这样的句子，如果你假定他是真的，你可以逻辑推出是假的，如果假定是假的，你可以逻辑推出他是真的。
解忧书店 JieYouBookshop2.8有关结婚的二难推理1.【单选题】一户人家养了四只猫，其中一只猫偷吃了他家里的鱼。
主人对它们进行审问，只有一只猫说真话。
这四只猫的回答如下：甲：“乙是偷鱼贼。
”乙：“丙是偷鱼贼。
”丙：“甲或者乙是偷鱼贼。
”丁：“乙或者丙是偷鱼贼。
”根据以上陈述，请确定以下哪项陈述为假？A甲不是偷鱼贼B乙不是偷鱼贼C丙说真话D丁说假话正确答案：A 我的答案：A2.【单选题】保护思想自由的人争论说，思想自由是智力进步的前提条件。
因为思想自由允许思考者追求自己的想法，而不管这些想法会冒犯谁，以及会把他们引到什么方向。
然而，一个人必须挖掘出与某些想法相关的充分联系，才能促使智力进步，为此，思考者需要思考法则。
所以，关于思想自由的论证是不成立的。
加入以下哪项陈述，能够合乎逻辑地得出上文的结论？A在那些保护思想自由的社会里，思考者总是缺乏思考法则B思考者把他的思想路线局限于某一正统思想，这会阻碍他们的智力进步C思想自由能够引发创造力，而创造力能够帮助发现真理D没有思考法则，思考者就不能拥有思想自由正确答案：A 我的答案：C3.【单选题】研究人员把受试者分成两组：A组做十分钟自己的事情，但不从事会导致说谎行为的事；B组被要求偷拿考卷，并且在测试时说谎。
之后，研究人员让受试者戴上特制电极，以记录被询问时的眨眼频率。
结果发现，A组眨眼频率会微微上升，但B组的眨眼频率先是下降，然后大幅上升至一般频率的8倍。
由此可见：通过观察一个人的眨眼频率，可判断他是否在说谎。
对以下哪项问题的回答，几乎不会对此项研究的结论构成质疑？A A组和B组受试者在心理素质方面有很大差异吗？B B组受试者是被授意说假话，而不是自己要说假话，由此得出的说假话与眨眼之间的关联可靠吗？C用于A组和B组的仪器设备是否有什么异常？D说假话是否会导致心跳加速，血压升高？正确答案：D 我的答案：B4.【单选题】随着年龄的增长，人们每天对卡路里的需求量日趋减少，而对维生素B6的需求量却逐渐增加。
悖论-思维魔方课程笔记《悖论-思维魔方》课程笔记“悖论”（paradox）指思维中深层次的矛盾，并且是难解的矛盾。
它们是巨大且艰深的理智难题，以触目惊心的形式向我们展示了：我们的看似合理、有效的“共识”、“前提”、“推理规则”在某些地方出了问题，我们思维中最基本的概念、原理、原则在某些地方潜藏着风险。
悖论对人类理智构成严重挑战，并在人类的认知发展和科学发展中起重要作用。
本课程将讲授历史上已经提出的一些著名悖论，涉及的论题有：一些扰人的二难困境；模糊性：连锁悖论；芝诺悖论和无穷之迷；逻辑-数学悖论；语义悖论；休谟问题和归纳悖论；认知悖论；合理行动和决策的悖论；道德悖论；中国古代文化中的悖论；对于悖论的进一步思考，如此等等。
我认为，大学里应该传授两类知识：一类知识“实实在在”，另一类知识“奇奇怪怪”。
学习第一类知识后，你能够成为此类知识的使用者和传播者，成为社会所需要的合格的劳动者，能够直接在企事业单位就业，也为自己谋一份体面而有尊严的生活。
学习第二类知识，则有助于打破你的思维定势，开拓你的理智空间，激发你的理智好奇心，使你养成独立思考的习惯，培养一种健康、温和的怀疑主义态度，培养一种宽容和接纳的文明态度，能够成为民主社会中独立自主、理性负责的公民，经进一步深造后，有可能成为知识的创造者和生产者，成为各行各业中的精英人物。
“悖论”（paradox）典型地属于“奇奇怪怪”的知识。
第一章预备知识和悖论概述逻辑思维的四个基本规律：同一律矛盾律排中律充足理由律悖论之所以成为问题：违反了逻辑的基本规律。
1同一律：概念保持统一，清晰。
命题保持统一：在一个思维过程中，如果认为一个命题为真，那就要一直以这种命题来推导。
不同一的几种情况：1.构型歧义：因为句子语法结构不确定而产生的一句多义。
2.在同一个辩论过程中，该讨论什么问题，就讨论什么问题，不能跑题、离题、腮边打网。
比如说：“食堂的饭好难吃”学校说：“你咋不想一想还有那么多人吃不上饭呢”怎么样好的与人辩论？我们不能把别人的观点荒谬化、极端化，我们有义务去正确理解别人的观点，在这个基础上去和别人辩论。
数学中常见的思维模型数学作为其他很多学科的基础学科，很多学科都在借鉴数学中的思维方式，而欧氏几何提出的公理化思维更是被很多人推崇备至，从这门学科中提取思维模型的精华，除了在生活中简单的计算是对数学的应用，在思考和决策中，对数学的应用将极大的提升我们的决策质量。
1、排列与组合排列组合使我们了解我们周围世界的实际概率，事物是如何排序的，以及我们应该如何思考这些事。
2. 代数等价代数的引入可以使我们用数学和抽象方法证明两个看似不同的事物很可能是相同的。
通过数学符号的表现，我们可以证明等价性和非等价性，使用这个方法使人类具备了无限的工程和技术能力。
至少知道代数基础，就能让我们理解各种重要的结果。
3. 随机性尽管人类大脑很难理解，但世界的大部分都是由随机的、非连续的、无序的事件构成的。
当我们事物的因果关系归因到我们控制之外的事情上，我们就会被“随机”影响愚弄。
若我们不去纠正这种随机影响的愚弄——我们就会产生一种错误的意识——即倾向于认为事情更容易被预测，并据此开始行动。
1913年，在蒙特卡罗赌场。
当轮盘赌连续26次落在黑色区域的时候，一群赌徒因此损失了数百万美元。
当时在场的人一致认为，下次会落在红区。
每次落在黑色区的时候，他们就认为落在红色的区的可能性更高。
我们将这种错误称为蒙特卡罗谬误（或者赌徒谬误）——假设先前的结果会影响未来的结果。
而实际上，未来的结果也是独立的。
换句话说：人们是在假设一个随机的过程变得不那么随机，而且随着不断被重复而更容易被预测。
阿莫斯·特沃斯基和丹尼尔·卡尼曼认为这种思维方式是“典型性试探法”的组成部分，他们指出我们越是相信我们可以控制随机事件，我就越可能被赌徒谬误所击垮。
4.随机过程（泊松、马尔科夫和随机漫步）随机过程是一个随机的数据统计过程，它涵盖了各种各样的过程，其中单个变量的变化是无法被预测，但可以通过概率来思考。
各种随机方法可以帮助我们通过概率描述变量系统，而不一定要确定当个变量在某一时间上的位置。
学习和运用多元思维模型什么是思维模型？思维模型是对事物如何运作的一种解释。
它是一个概念、框架或世界观，你存在你的头脑中，用来帮助你解释世界和理解事物之间的关系。
思维模型是关于世界如何运作的根深蒂固的信念。
例如，供给和需求是一个帮助你理解经济运行方式的思维模型。
博弈论是一种帮助你理解人际关系和信任如何运作的思维模型。
熵也是一个思维模型，它能帮助你理解无序和衰变是如何工作的。
思维模型指导你的感知和行为。
它们是你用来理解生活、做决定和解决问题的思维工具。
学习一种新的思维模式可以让你以一种新的方式看待世界——就像理查德·费曼学习一种新的数学技巧一样。
思维模型并不完美，但很有用。
例如，物理学或工程学中没有一个单一的思维模型可以完美地解释整个宇宙，但这些学科中最好的心智模型使我们能够建造桥梁和道路，开发新技术，甚至去外空间旅行。
正如历史学家尤瓦尔·诺亚·哈拉里(Yuval Noah Harari)所说，“科学家们普遍认为，没有任何理论是百分之百正确的。
因此，对知识的真正考验不是真理，而是效用。
”最好的思维模式是最有效用的想法。
它们在日常生活中有广泛的用途。
理解这些概念将帮助你做出更明智的选择并采取更好的行动。
这就是为什么开发一个广泛的思维模型基础对于任何有兴趣清晰、理性和有效地思考的人来说都是至关重要的。
伟大思考和决策的秘诀扩展你的思维模型工具箱是专家和新手一样需要努力的事情。
我们都有自己最喜欢的思维方式，这些方式被我们习惯用来解释事情是如何或为什么发生的。
随着年龄的增长和在某一领域的专长的发展，人们总是倾向于选择最熟悉的思维方式。
问题是:当某种世界观主导你的思维时，你会试图用这种世界观来解释你面临的每一个问题。
当你在某一特定领域很聪明或很有天赋的时候，尤其容易陷阱这个陷阱。
你使用某个单一思维模型越多，这个思维模型就越有可能让你马前失蹄，因为你将开始不加区别地把它应用到每一个问题上。
浅谈魔方中的数学思想学生姓名：之花127一、引言魔方是一种休闲益智玩具.生活中人们所熟知的魔方(Rubik’s cube)是匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克(Rubik)教授于1974年发明的教学道具.这种方魔(Rubik’s cube)是由333⨯⨯个块方的成组, 个每块方都能绕心中转意任向方的体方立.总来的说,方魔的法玩就是转动魔方令其上每个面的方块颜色一致(还原)或排列组合出有规律的图案.魔方转动一次相当于魔方一层上所有的方块(有限元素)进行了一次数学意义上的变换.所以,魔方的构造与操作过程中蕴含着一定的数学思想.简而言之一些数学思想比如变换、坐标、组合等都可以在魔方上找到现实具体的运用.二、魔方的基础知识（一）魔方的历史与结构生活中人们所常见的魔方(Rubik’s cube)是匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克(Rubik)教授于1974年设计的教学道具.这种魔方是由333⨯⨯个方块组成的,每个方块都能绕中心转任意方向的立方体.经过近40年的发展,原始的传统意义上的魔方已经创造性的衍生出了由方块组成的各个方向都能够转动的多种多样的几何体魔方玩具.在外形设计的角度,传播最早的魔方(Rubik’s cube)也可以称作三阶立方体魔方,继相有还阶二、阶四、阶五等种多数阶的体方立方魔,目前络网上一方魔者好爱计设并造制了高最的阶十七体方立方魔(2011).除体方立方魔外之有还它其体面多方魔和型异方魔.设计各种外形的几何体魔方时使其各个组成部分具有良好的旋转性是基本要求.这就使得魔方的内部结构的设计丰富多样、精简巧妙.1.阶从外形设计来看,立方体魔方每条棱上方块数目就是该魔方的阶数.因此,生活中人们普遍见到玩赏的方魔可称作阶三体方立方魔.最初魔方在作为增加学生空间方位感觉的教学道具设计时,魔方发明人Rubik教授考虑到从数学思维角度来说,222⨯⨯(即二阶立方体魔方)理论上是外形结构最简单的体方立魔方,然而在过经验实后作操现发他,在械机计设的度角上虑考话的,333⨯⨯魔方在部内造构上是最易容现实块方各度角转旋并备具最单简械机构结的体方立魔方.2.轴中心块棱块角块如图1所示，在拆开三阶立方体魔方后,可以观察到它的内部构造.一个以可各向方动转的项六头接在处的魔方的心中.其上个六头接是即方魔的轴.一个块方分别用螺丝、垫片、弹簧固定在每个接头,这个方块称为中心块.所以从内部构造的度角阶三方魔被也作称阶三轴六魔方.六个中心块被固定在魔方的六个轴上,而同一面上的四个中心块可以绕垂直或.所以中心块之间的相互位置不会在转魔方过程于这个面的两个轴旋转90180中改变.综上,块心中的色颜以可定确它面在所的色颜,这就示表在面该它其块方的色颜的断判上以应块心中的色颜为准基.图1实际上,魔方是由333126⨯⨯-=个方块（除去中心的一块）组成.除了以上所说的6个中心块以外,其它20个方块中:12个方块是两个面涂有颜色,它们的正确位置和朝向将由两个中心块决定,称之为棱块;8个方块有三个面涂有颜色(以下把涂有颜色的面称为有色面),它们的正确位置和朝向由三个中心块决定,称之为角块.如图1在计设上块棱和块角都有具出突的脚小,块棱的侧两有都装弧的口缺,这些脚小和口缺与都块心中扣紧在一起.这样棱块和角块就能够随着所在层的转动而向各个方向转动,并且紧扣在中心块上而不会在转动时从魔方上脱落. （二）魔方的玩法魔方的作操,即针时顺或针时逆动转魔方的某层一或层两90,180,270,360.作操单简得使玩方魔起来看易容.不过玩过的人都明白玩魔方并不容易,而且玩魔方需要记忆一些步骤.对大部分人来说初始接触的魔方都是三阶魔方,它有正方体的外形,6个面上都有9个有色块.大体上而言使每个面的有色块的颜色都相同是玩魔方的游戏目标,也就是还原魔方.自然的,各个有色块是组成魔方的方块的一部分.实际操作魔方,即转动魔方的过程中,方块之间能够互换位置或者方块自身会变换朝向.事实上,Rubik教授在制造出世界上第一个魔方后随意转动之后想要还原魔方就花费了三个多月的时间.还原魔方的困难之处就在于:移动一个方块时伴随着其它多个方块的移动(中心块除外).在还原的初始阶也许这构不成较大的困难，然而随着多数方块达到正确的位置,这时新的转动必然会使这些方块离开正确的位置,如何在转动中不断还原已完成好的部分是个难题.在学数的域领就应对着有元限的换变和逆换变问题.今当的方魔是一种不仅闲休的力智具玩,玩方魔更展发为成了技竞动运.为作技竞动运的魔方法玩富丰样多.种各魔方玩的界世录记不断被新刷,如快最原还魔方录记者持保为生出于亚利澳大岁18Feliks Zemdegs,他的最快记录为6.77秒(2010年).魔方的种类除了传播最早的魔方(Rubik’s cude)也可以称作三阶立方体魔方,相继还有二阶、四阶、五阶等多种阶数的立方体魔方, 前目络网上些一魔方者好爱计设并造制了高最的阶十七体方立魔方.除体方立魔方外之有还它其体面多魔方和型异魔方.魔方的数轴、向轴、数阶、状形在魔方者好爱断不试尝与造创中得变富丰彩多.三、魔方中的数学思想（一）排列组合的思想“意随的动转魔方使魔方的面个六原还能可吗?”通过魔方旋转其上的色块一共可以组合出多少种图案,利用组合的数学思想,我们可以得到魔方可以变换8128!312!243,252,003,274,489,856,000322⨯⨯⨯=⨯⨯种案图.首先,易容到想果如动不转魔方层间中,魔方的个六块心中的置位会不变改,相对的旋转上下两层相当于旋转中间层.通过这种方式可以固定魔方的空间位置,即立建一个间空系标坐.其次,在这个系标坐中8个块角的置位全列排为8!,又因为每个角块有3三个有色面,所以角块所有的图案组合为88!3⨯中.同理,魔方上的棱块有12个,每个棱块有2个有色面,棱块全部图案有1212!2⨯个.再次,魔方上不存在以下的操作结果:只有一个角块或一个棱块的有色面变换了朝向,只有一对角块或者一对棱块相互交换了位置.所以除以322⨯⨯.最后得到以上结果.如果人的平均寿命为100年每秒转动魔方3下,除去重复的图案,每个人吃饭睡觉都在转,46亿人经过4542亿年时间就可以转出所有不同的图案.所以通过随意转魔方而还原魔方有人可能终其一生都无法完成.“拆开重新组装的魔方一定正确吗?”首先,6个中心块固定在魔方中心的六个接头上.其次,剩下的20个方块有:8个角块和12个棱块.8个角块的位置,以及每个角块有3个有色面,一共有88!3⨯种安装角块的方式.同理,共有1212!2⨯种安插12个棱块的方法.魔方有8128!312!2519,024,039,293,878,272,000⨯⨯⨯=种组装方法.相对于魔方转动变换出的图案种类魔方组装的图案要多很多.对比上文可以得到正确组装一个魔方的概率为112.可以想到,在复原魔方的过程中试图通过拆卸魔方方块而简化复原步骤的办法是不可行的.（二）群论的思想1.魔方中的对称生活中,几何体的镜面对称(关于某个平面的对称)是很常见的,魔方的结构也体现了这种对称性.然而,对称的含义远远超出了镜面对称,需要用到群论的思想作为研究的工具.关于面平称对,若一个体何几被某面平成劈分部两,其中任一分部都是另一分部于关给所面平的面镜像映,则该体何几关于面平称对,即该体何几成面镜称对.关于线直称对,若一个体何几上的点每于关线直的点称对在该体何几上,则个这体何几关于该直线对称,即这条直线是该几何体的二阶对称轴.反过来讲,如果一个几何体具有二阶对称轴,那么该几何体围绕轴转3602后与本身重合.类似的,若几何体围绕一条直线旋转360n后与本身重合,则这条直线称为该几何体的n 阶对称轴.关于点称对,即心中称对,若段线AB的点中点为O,则点段,A B于关点O成心中称对.如果某体何几上的每点一个都以可在该体何几上找到于关给点定O成心中称对的点,那么就称该体何几关点于O称对.如图2体方正有具4阶轴称对(如图2()a)、2阶轴称对(如图2()b)、3阶轴称对(如图2()c),同时正方体关于中心(即正方体体对角线的交点)点对称.三阶魔方的外形正是这种具有仅次于球体的对称性质的正方体.图22.魔方中的变换魔方的变换为旋转魔方是方块位置的变换,而在立体空间中,平移、旋转和镜面映像为三种不改变几何体大小的空间运动.在空间中任取一直线a,若空间中点P与点Q关于直线相互对应,则点Q或点P绕轴a转一个确定的角度ϕ后与另一个相重合.所以间空换变转旋是一一应对的换变.同时,在转旋化变中持保了转旋点的轴到离距不变.设合集M,P是M的一个集子,A为M的一个换变,若集子P中每点一个的在换变A用作为仍下的P中点.则集子P是变不的或称对的,或者说换变A画刻了集子P的称对性.设()S P为集合M中保持P不变的所有变换的集合,则()S P满足以下的性质:①()S P给定S P中任意两个元素依次作用于P后依然保持P不变,即在()运算顺序后,()S P的该运算满足封闭率;②()S P中该运算满足结合律;③()S P含S P中必有含等恒换变,有意任素元与等恒换变运作持保变不,则()有位单元;④对()S P中必有一个元素y,使之与x运算后为恒等S P中任一元素x,()变换,则x为y的逆元.3.群的一般概念设空非合集G 中定规一个算运“”,若该算运足满下以的个四质性, 群就为说{;}G .① 封闭律,,,a b G a b G ∀∈∈;② 结合律,,,,()a b c G a b c a b c ∀∈=;③ 单位元,,,,e G a G e a a e a e ∃∈∀∈==使有称为单位元;④ 逆元律,a G b G,b a=a b=e,b a ∀∈∃∈，使称为的逆元.据此上文所描述的对称的变换的全体在规定运算后构成一个群,则称该群为对称变换群.通过构建对称变换群的形式来研究几何体的对称性是有效的,例如：三阶魔方的外形是正六面体,因此正六面体对称群成为了魔方的变换研究方面的数学依托.4.魔方群构造魔方有上种六色颜和类三块方, 块角有3个面色有,3个面色有着随块角的动转而换互置位,每交换一次要动转120,此为3阶对称轴的性质,棱块有2个有色面,每交换一次转动180,这是2阶对称轴的性质.一般的以可用字数来1,2,,n 表代量变12,n x x x ,从而可以用数字的置换代替变量12,n x x x 的置换.如正三角形的称对换变用可字数1,2,3的换置表示:123,123I ⎛⎫= ⎪⎝⎭123123123123,,,132321213r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12123123,,231312ρρ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以三角正形的称对换变为群{}612312,,,,,S I r r r ρρ=.若把魔方每一个有色面用数字标记出来(中心块除外),则有48个有色面被标记.如果任何两个有色块能够相互调换位置,则48个有色面的置换的数目就是48!.称这些换置的体全为48次换置群,作记48S .到得可:面六正体的称对群是48S ,则面六正体的称对群的阶为48!.魔方换变的体全为称群方魔(下文证明）.群方魔是48S 群子的一个.原因于在魔方在上块角能只与块角生发置位的换互,不能与块棱进行置位换互,同样块棱也只可以和块棱行进换互位置.3图例如, 顺时针把图3中的1,2,3,4所在面转动90时,就会得到如下置换:12345678123240202113263419113139,,,,41238567201232403421132639191131⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1234用示来表魔方面色有1,2,3,4动转90的换置,则()()()()()12345678123240202113263419113139,a = 自然地,可以写出其它5个面上顺时针旋转90置换:()()()()()910111213141516244427718463214529219,b =()()()()()171819202122232491394814633431243845,c =()()()()()29303132252627281232402046373114135816,d =()()()()()3738394033343536482033042225254717331,e =()()()()()454647484142434417929372315283618103038,f = 可以得到, 群方魔由是a 、b 、c 、d 、e 、f 六个换置在48S 群子中成生的.由一个素元A 成生的群称为群环循.形如,,,,E A AA 111,,.A A A ---的素元成构群环循.这些素元为称A 的幂方,即0,E A =1,A A =2,.AA A =魔方变换112344123A ⎛⎫= ⎪⎝⎭1,2,3,4表示有色块旋转90,212343412A ⎛⎫= ⎪⎝⎭表示转动为180,22111A A A A ==则有.2341111,,,A A A A 用分别1,2,3,4表示旋转90,180,270,360.上述的六个置换,,,,,a b c d e f 可生成群,,,,,M a b c d e f =,M 就是魔方群.即M 中含有所有的魔方变换.不难想到, 原还魔方的程过使魔方从始初态状,过经干若后的魔方换变,到回始初态状的程过中体现了魔方变换的循环以及魔方变换的逆变换.魔方变换都可以多次重复操作中实现魔方状态的循环.例如,如图5中所示魔方依次完成图中所示的旋转可以现实魔方一层点顶、小弯拐、字一、字十的案图循环.4图5.魔方群性质魔方是由26个方块组成的立方体.6在魔方的个面上每个面有9个有色面,共6954⨯=个有色面.26而魔方的个方块中,3有个有色面的是角块,2有个有色面的是边块,1只有个有色面的是中心块.8魔方共有个角块,126个棱块和个中心块.一个简单的事实是:魔方中间层不进行旋转时,6魔方的个中心块的位置是不变的.因此,中心块可以代表它所在的面,这也建立了一个固定的参考系.图5一般地,魔方还原步骤使用一套公式体系来表示魔方变换的基本操作.首先,6魔方有个面:前、后、上、下、左、右,分别对应字母F B D U L R 、、、、、.应90用这些字母来表示其对应面顺时针旋转的操作(顺时针是魔方在操作者的面前的顺时针方向).6如图,U 展示魔方上操作的方式.图6根据以上的描述中心块建立了一个固定的参考系,如果用,,,,,u d f b l r 表示对应面的中心块,则角块可以用xyz 表示其方位,其含义为:位于x 面y 面z 面相交处的方块.如ufl 表示u (上)面f (前)面l (左)面相交的方块.类似地,用xy 表示棱块,含义为:x 面y 面相交处的边块.()()db d b 如表示下面后面相交的方块.若魔方的变换合成运算顺序是从左到有的.{}12,,,,,,,M M U D F B L R ∀∈即12,M M 表示先操作1M 2M 在操作.如RU 如表示先旋转R ,U 在旋转.用c 表示魔方状态,即各方块和有色面的方位,用()M c 表示魔方在状态c 经过M 操作后所生成的新状态.同时,合成运算是从左向右的,有()()()()1221M M c M M c =.定理1 魔方的全部旋转变换的集合,规定合成作为运算,构成一个群,称为魔方群.证明 ,,,,,G U D F B L R =设是魔方全部旋转变换的集合.G 中的任何元素都能够表示为若干基本旋转的合成,则G 中任意两个元素的合成仍然是有限个基本宣战的合成.所以G 中的合成运算满足封闭律.用c 表示魔方状态,则123,,,M M M G ∀∈有:()()()()()()()()()()()()()()()()()()123312321123231321M M M c M M M c M M M c M M M c M M M c M M M c ====c 因为为魔方的任意状态,()()123123M M M M M M =得到,所以运算满足结合律. c 若魔方状态转动M 的作用下不发生改变,M 则是单位转动,故单位元存在. 若12n M M M M =为生成元的乘积{}{},,,,,,1,2,,i M U D F B L R i n ∈∈,则111121n M M M M ----=所以逆元律成立.所以,,,,,,G U D F B L R =是一个群,称为魔方群.同时魔方群G 的生成元可以用有色面的置换来表示,,,,,,G a b c d e f =即. ⑴交换性1引理 n S 中的不相交循环是可交换的.2引理 n S 中的所有置换都是一系列不相交循环的乘积.定理2 n S 中的不相交置换是可交换的.证明 设,f g 是n S 中不相交的置换.2根据引理1212,n m f f f f g g g g ==， i f 和i g 为互不相交的循环,{}{}1,2,,,1,2,,i n j m ==.1根据引理可知这些循环是可交换的,所以有12121212n m m n f g f f f g g g g g g f f f g f ===,证毕. 推论1 魔方群的对面旋转是可交换的.证明 魔方群,,,,,G D F B L R =中,相对面旋转变换是不相交的.根据定理2,相对面的旋转变换是可交换的,则有,,UD DU FB BF LR RL ===.⑵作用 传递性 轨道用*F 表示魔方的有色面的集合,*B 表示魔方的方块的集合,F E 表示魔方棱块上的有色面的集合,F V 表示魔方角块上的有色面集合,B E 表示魔方上棱块集合,B V ,,:表示魔方上角块的集合显然有**,,F F F F B B B B F E V E V B E V E V ==∅==∅定理3 魔方群G 分别作用在*F 和*B 上.证明 魔方群,,,,,G U D F B L R =,有:()()****,,G F F M G c F M c M c F ⨯→∀∈∈=∈,即,其中,c 表示魔方上有色面的的方位.若魔方状态c 转动0M 的作用下不发生改变,则()()00M c M c c ==; 12,,M M G ∀∈有:()()()()1221M M c M M c =.魔方群G 作用在*F 上同理可以证明魔方群G 作用在*B 上.推论2 魔方群G 分别作用在F E 、F V 、B E 、B V 上.定理4 魔方群G 在F E 、F V 、B E 、B V 上的作用是传递的.证明 以魔方前面左下方的角块为例,用dfl 表示.操作旋转:1M FFFDBBBD -=,后dfl 角块将沿着转动的路径通过全部角块的位置,最终返回起始点.因此B V 中随意在的两个元素G 的作用下都可以完成传递,因此G 在B V 上的作用是传递的.同,样的可以证明G 在F E 、F V 、B E 上的作用是传递的.魔方群G 在*F 和*B 上的作用是不传递的.因为角块不能传递到棱块的位置,角块上的有色面也不能传递到棱块上面,反之亦然.引理3 X 的子集是一个传递的G 集合当且仅当它是一个轨道.引理4 任何一个G 集合X 可唯一的划分为传递G 集合的并.推论3 魔方群G 在*F :上有两个轨道F E 和F V ,在*B :上有两个轨道B E 和B V . ⑶共轭 换位子魔方的还原是一个复杂的旋转操作过程,因为需要到数目较多的置换合成.若没有计划的随意乱转,一定会把魔方状态便得更加复杂.一下描述共轭和换位子在魔方还原中的作用.4引理 {}()()()(),,,1,2,,,,.h n g h S i j n g i j g h i h j ∈∈==若共轭在魔方还原中是一种常见的手法.引理4说明g 把i 映射到j ,则g 的共轭h g 把()h i 映射到()h j .这种性质在魔方还原中有重要的应用.5定理 n S 中两个元素有相同的轮换结构,则它们相互共轭.4推论 魔方群G 中的生成元U ,D ,F ,B ,L ,P 相互共轭.在论群中, 子位换是以可来用量衡合集素元的性换交, 来起看与方魔原还有没点一系关,事实上,换位子在魔方还原中反而起着简化还原步骤的作用.根据上文每个旋转作用是由5个长度为4的不相的交循环合成的.在还原魔方时,每旋转一次,就有5420⨯=个有色面重新排列,因此在无规律的连续旋转后的魔方状态会十分混乱,人们希望尽可能的保持已经还原的部分不变,在这方面换位子的重要性就显现出来了.魔方群中换位子定义的实际操作构成,假设g 和h 是魔方相邻两面的旋转,[]11,g h ghg h --=表示在转动gh 之后再旋转11g h --,最后因为g 和h 旋转而改变的部分方块或有色面可以复原到旋转之前.从而换位子简化了魔方的还原过程.在实践中可以验证:[]2.g h 可以交换3个棱块的位置而不改变角块的位置；[]3.g h 交换2对角块的位置而不改变棱块的位置.一下给出魔方实际操作中的例子: []()[]()()23,,,U F uf ur fl U F ufl fdl fur ubr ==.同时还有比较复杂的换位子的例子,如包含共轭的复合换位子:()()()112,,,,B F R L urf ufl ulb F D U urf ubr ufl ulb --⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦.四、小结本文概述方魔中的学数想思.运用论群和组合学数的法方想思以可到得下以论结: 方魔可出转8128!312!243,252,003,274,489,856,000322⨯⨯⨯=⨯⨯种同不的案图;在6种本基换变F ,B ,D ,U ,L ,R 的础基上可以造构群方魔,,,,,G U D F B L R =;且群方魔G 中的元成生F ,B ,D ,U ,L ,R 互相扼共;如果用*F 表示方魔的面色有合集,*B 表示方魔的块方合集,F E 表示方魔块棱上的面色有合集,F V 表示方魔块角上的面色有合集,B E 表示方魔上块棱合集,B V 表示方魔上块角合集.则有: 群方魔G 别分用作在*F 和*B 上; 群方魔G 别分用作在F E 、F V 、B E 、B V 上; 群方魔G 在F E 、F V 、B E 、B V 上的用作是的递传; 群方魔G 在*F 和*B 上的用作是不递传的;群方魔G 在*F 上有个两道轨:F E 和F V ;在*B 有上个两道轨:B E 和B V .。
四向笔记——不只是公式By 百度魔方吧:回家_吃饭__ mf8:sunny_dunn前言：我从2009年10月开始玩魔方，大概已经有10个月了，卡在17外面很久了，终于下定决心开始学四向。
刚开始学四向的时候，我就有这么个疑问，4向是一个个槽的背呢，还是一个个case的背，我现在觉得都不是，对称的case最好是一起背，单独背的话，观察上还要想想左边？右边？一起的话，看下面的特征图，各种情况就能分的很清楚。
另外，引入一个概念：须归位的楞块处于顶层，且侧面的颜色和该面中心块颜色一样时，称之为“√楞”。
当有√楞时，有一个规律，√楞置于L、R面即可得顺手公式。
详见笔记。
想直接寻找某个case请使用Ctrl+F查找功能，搜索case的编号即可。
这篇笔记希望对大家能有所帮助，给正在学四向的、想学四向的、早晚要学四向的朋友们~O(∩_∩)O~希望大家能耐心看完，最后有我的一些感慨……鸣谢老张！有任何错误及问题请发到sunny_dunn@或者上百度魔方吧喊我一声就行~。
那么开始。
编号：Ⅳ1原编号：A0特征图公式：①：(R U'U' R' U) (R U'U' R' U) (F’ U' F)②：(L' U L d’) (L U2) (L' U2) (L U' L')③：(L U2 L' U) (L U2 r' F) (U' F' U)④：(R' U R d ) (R U'U') (R' U2) (R U' R')观察点：角块已归位，楞块需原地翻转。
解析：这个case很好观察，各个公式都很经典，值得一提的是BL槽的公式LU2L'U 最后的L'U手法和r'F是一样的。
编号：Ⅳ2 原编号：A1 A2特征图公式：①：(U R U' R' U') (F’ U F)②：(U' L' U L)F’(r U r’)③：(U L U' L’)x’(U L’U’L) [x无需换手]④：(U' R' U R) x’U’(R U R’) [x无需换手]⑤：(U’F’)(RUR’U’)(R’FR)⑥：(UF)(L’U’LU)(LF’L’)⑦：(R U R U) (R U' R' U' R')⑧：(L U') (L' U' L) (U' L' U L U L')观察点：这2个case是我们层先最常用的4向，角块已归位，楞块需从顶层归位。
数学分析读书笔记这个，关于常常挂科的俺，本不应该来回答的。
但是，你要知道不挂科的大学不是完整的大学。
还有，这门课是天书级别的，学不好正常，不过，不要灰心。
建议多做一些动手的智力游戏。
比如魔方，比如转笔。
可以开发逻辑思维。
还有建议看看侦探方面的书，既不使学习变得枯燥，又可以锻炼推理能力。
对证实题大有裨益。
还有，我特意问过一个学霸，她说，去图书馆自习是提升学习效率的好方法。
关于那些个请教专家，我也干过这种傻事。
完全就是敷衍，不会有那种醍醐灌顶的感觉。
不过，关于你这样有心向学的人，挂科很难。
〔虽说数学分析挂科率很高的说。
那也是挂我们这种不思进取的人。
哈哈，见笑〕楼主加油，要有必过的决心。
谢谢〔纯属原创，不知可有加印象分？〕。
当我们学习过数学史后，自然会有这样的感觉：数学的发展并不合逻辑，或者说，数学发展的实际状况与我们今日所学的数学教科书很不一致。
我们今日中学所学的数学内容基本上属于17世纪微积分学以前的初等数学知识，而大学数学系学习的大部分内容则是17、18世纪的高等数学。
这些数学教材业已经过千锤百炼，是在科学性与教育要求相结合的原则指导下经过反复编写的，是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂的知识体系，这样就必定舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景、知识背景、演化历程以及导致其演化的各种因素，因此仅凭数学教材的学习，难以获得数学的原貌和全景，同时忽视了那些被历史淘汰掉的但对现实科学或许有用的数学材料与方法，而弥补这方面不够的最好途径就是通过数学史的学习。
在一般人看来，数学是一门枯燥无味的学科，因而很多人视其为畏途，从某种程度上说，这是由于我们的数学教科书教授的往往是一些僵化的、一成不变的数学内容，如果在数学教学中渗透数学史内容而让数学活起来，这样便可以激发同学的学习兴趣，也有助于同学对数学概念、方法和原理的理解与熟悉的深入。
科学史是一门文理交叉学科，从今天的教育现状来看，文科与理科的鸿沟导致我们的教育所培养的人才已经越来越不能适应当今自然科学与社会科学高度渗透的现代化社会，正是由于科学史的学科交叉性才可显示其在沟通文理科方面的作用。
《悖论-思维魔方》课程笔记“悖论”（paradox）指思维中深层次的矛盾，并且是难解的矛盾。
它们是巨大且艰深的理智难题，以触目惊心的形式向我们展示了：我们的看似合理、有效的“共识”、“前提”、“推理规则”在某些地方出了问题，我们思维中最基本的概念、原理、原则在某些地方潜藏着风险。
悖论对人类理智构成严重挑战，并在人类的认知发展和科学发展中起重要作用。
本课程将讲授历史上已经提出的一些著名悖论，涉及的论题有：一些扰人的二难困境；模糊性：连锁悖论；芝诺悖论和无穷之迷；逻辑-数学悖论；语义悖论；休谟问题和归纳悖论；认知悖论；合理行动和决策的悖论；道德悖论；中国古代文化中的悖论；对于悖论的进一步思考，如此等等。
我认为，大学里应该传授两类知识：一类知识“实实在在”，另一类知识“奇奇怪怪”。
学习第一类知识后，你能够成为此类知识的使用者和传播者，成为社会所需要的合格的劳动者，能够直接在企事业单位就业，也为自己谋一份体面而有尊严的生活。
学习第二类知识，则有助于打破你的思维定势，开拓你的理智空间，激发你的理智好奇心，使你养成独立思考的习惯，培养一种健康、温和的怀疑主义态度，培养一种宽容和接纳的文明态度，能够成为民主社会中独立自主、理性负责的公民，经进一步深造后，有可能成为知识的创造者和生产者，成为各行各业中的精英人物。
“悖论”（paradox）典型地属于“奇奇怪怪”的知识。
第一章预备知识和悖论概述逻辑思维的四个基本规律：同一律矛盾律排中律充足理由律悖论之所以成为问题：违反了逻辑的基本规律。
1同一律：概念保持统一，清晰。
命题保持统一：在一个思维过程中，如果认为一个命题为真，那就要一直以这种命题来推导。
不同一的几种情况：1.构型歧义：因为句子语法结构不确定而产生的一句多义。
2.在同一个辩论过程中，该讨论什么问题，就讨论什么问题，不能跑题、离题、腮边打网。
比如说：“食堂的饭好难吃”学校说：“你咋不想一想还有那么多人吃不上饭呢”怎么样好的与人辩论？我们不能把别人的观点荒谬化、极端化，我们有义务去正确理解别人的观点，在这个基础上去和别人辩论。
这是逻辑思维的要求，也是道德的要求。
2矛盾律：禁止矛盾律：两个相互矛盾的命题，不可能同真，必有一假。
3充足理由律：一个思想如果为真，必须要有充足的理由如何证明一个命题为真：1.找到命题的理由2.判断这些理由为真3.这些理由能够逻辑的推理出命题说理对于我们的重要性：（说理就是按照逻辑学的方法来讲道理）公众说理是公众文明的成就，是形成民主政治秩序的基本条件，在民主社会中，每个人都是独立的个体，我们需要相互沟通，达成共识，就必须要依靠说理。
法西斯哲学家：我们可以有许多不同的工具来说服对方，讲道理是一种、大棒子是一种，一旦对方被真正说服了，那么用什么工具也就无所谓了。
这恐怕是个反例，但恐现实就是有许多这样的例子，并且我们还将长期处于这样的时代之中。
4什么是悖论？1.与常识或直观相冲突或矛盾。
可能因为当时对真实世界的认识不足，而无法理解，比如说无穷小悖论，它似零又不是零；如伽利略悖论，自然数和自然数的平方组成的数列竟一样多。
2.与广泛认可的科学理论相冲突或矛盾。
这种悖论一般蕴含着深刻的思想或者哲理。
比如“之诺悖论”，比如他要证明运动不可能：飞矢不动、二分发、阿基里斯追不上乌龟、一倍的时间等于一半3.在一个很好证明的科学理论里面推出悖论。
比如：彩票悖论；说谎者悖论：这句话是真的，当且仅当这句话是假的；罗素悖论：对于任意一个集合A，A要么是自身的元素，即A∈A；A要么不是自身的元素，即A∉A。
4.在一个理论内部推出矛盾等等价式。
总结：悖论是前提看起真实，推论看似合理，其结论却是矛盾或者荒谬的。
悖论的价值：悖论的存在表明，或者是推理的原则，或者是推理所基于的假设有缺陷的。
当我们识别并且解决了这些缺陷时，那么悖论就解决了。
逻辑的分类：5数学悖论（语形悖论）：比如：布拉里-弗蒂悖论、罗素悖论、理发师悖论。
语形是指：研究符号系统中，符号之间的排列组合关系。
通过这些排列组合，组成一些我们认可的公理，应用几个推理规则，推理规则说明：从什么样的句子，也就是某种排列组合，能够推出什么样的排列组合。
整个推理过程只和形式结构有关，也就是符合的排列组合有关。
语义学悖论：比如：说谎者悖论、格雷林悖论、理查德悖论、贝里悖论。
语义是指我们构造一个符号系统，有些符号会代指外部世界中的某些对象，然后通过句子就可以描述外部对象的某些状态和关系。
这些表述有真也有假。
逻辑的句子是指，无论怎么对代指进行赋值，它总是真的（永真式）、总是假的（永假式）。
对这个符号系统做解释的时候，就是语义学。
语用悖论：意外考试悖论、全知者悖论、求徒悖论、纽科姆悖论。
语用是指，在语义学的基础上，加上使用语言本身这个人的环境因素。
6如何解决悖论：悖论是思维的矛盾。
矛盾律要求：思维不能自相矛盾。
罗素认为解决悖论的方案至少有三个要求：1.消除悖论。
2.让数学尽可能保持原样。
3.非特设性。
（你解决悖论的方案提出，除了能够避免悖论这一理由之外，应该还有其他的理由。
）7苏格拉底诘问法：1.在对话过程中，询问对方一些概念的最初定义。
2.找出一些实际的例子，来证明之前的定义太宽泛或者太狭窄，迫使对方放弃最初始的定义。
3.这样继续下去，知道得到一个比较满意的答案。
美诺悖论：一种情况：你知道自己在探求什么，你已经知道了，所以研究不可能。
另中情况：你不知到自己在探求什么，你连这都不知道，所以研究不可能。
分析：第一种情况，有两层意思：你知道自己探求的是什么问题，研究可能。
你知道自己探求问题的答案，所以研究不能。
苏格拉底悖论：我知道自己一无所知，这是我比别人更有智慧的地方。
类似的悖论：这个世界上没有绝对的真理。
——这本身就是一条真理。
苏格拉底：the unexamined life is not worth living 未经反省的人生是不值得过的刘震云：一个卑微如草芥般的生命也有他的形而上的追求8结婚的二难定理：如果你结婚，你或者娶到一个好老婆，或者娶到一个坏老婆。
如果你娶到一个好老婆，你会获得人生的幸福。
如果你娶到一坏老婆，你会成为一个哲学家。
所以呢，你或者会获得人生的幸福，或者会成为一个哲学家。
而这两个结果呢，都是可以接受的。
第二章上帝悖论和连锁悖论9半费之讼如果欧小子他打赢了这场官司按照合同的规定，这是他第一次打官司，第一次打官司，他就赢了，所以他应该给我另一半学费。
如果欧小子他打输了这场官司，什么叫打输了？我问他要钱，他打输了这场官司，那按照法庭的裁决，他应该给我另一半学费，那欧小子他打赢这场官司，或者打输这场官司，所以他总应该付给我另一半学费我总能得到那另一半学费。
如果我打赢了这场官司，根据法庭的裁决，我不应该给你另一半学费，如果我打输了这场官司，根据合同的规定，我不应该给你另一半学费，这是我第一次打官司嘛，第一次打官司就输了，你不是保证我学会吗，那我不应该给你另一半学费。
我或者打赢这场官司或者打输这场官司，所以我不应该给你另一半学费，你甭想从我这里得到那另一半学费。
同样的套路：鳄鱼悖论大公鸡悖论10有关上帝的悖论（一）上帝的属性：1.他是唯一的，只有一个上帝；2.他是全能的。
这个能力无限他是全知的，无所不知；3.他是道德完善的，有爱心、仁慈、正义。
4.他是必然存在。
他不会活的存在，活的存在那就以前不存在了；也不会停止存在，他永远存在。
一切东西呢都要送上理智的法庭悖论一：全能悖论如何证明上帝是万能的？如何证明上帝不是万能的？上帝能不能创造一块他自己举不起来的石头？这个问题中已经蕴含了一个预定的假设：有一件上帝做不到的事。
——通过一个蕴含假设的问题，感觉可以诈出事实。
是一个说话的技巧。
当回答“能”的时候，那么肯定存在上帝不能做到的事。
当回答“不能”的时候，那么可能有两层意思。
一：有一件事情，可能可以做，但因为能力不够，所以不能做。
二：因为根本不存在，所以做不到。
所以对于石头悖论来说，这个提问的方式就是不合法的。
但是上帝是否需要逻辑呢？是不是能够遵守物理的理论？悖论二：苦和难的问题世界上，存在着广泛且严重的恶和苦难，这个命题的真实性毋庸置疑。
或者上帝无能为力；或者上帝一无所知；或者上帝漠不关心。
如何消解这四个命题之间的问题呢？1.恶和苦难没有真正的伤害。
因为在这个世界上，健康比疾病更为常见，快乐比痛苦更为常见幸福比苦难更为常见，我们遇到一次烦恼就会换来一百次的快乐。
2. 恶和苦难是上帝赋予我们自由意志的代价。
上帝创世创造了我们，又赋予我们自由意志，自己的行为、决策、自由裁量权。
但是由于我们人类，在道德上不完善，常常做出错误的甚至是邪恶的决定。
悖论三：全知悖论上帝能够预知未来，具有预先知识但上帝这种预先知识似乎会与人的自由意志相冲突。
11有关上帝的悖论（二）悖论四：帕斯卡赌（Blaise Pascal法国思想家）相信上帝，是比不相信上帝更好的赌注。
引文：你有两样东西可输，即真或善；你有两样东西可赌，即你的理智和你的意志, 你的知识和你的福祉；而你的天性又有两样东西要躲避，即错误与不幸。
所以不管选哪一方，不会更有损于你的理智，这一点已成定局。
让我们掂量一下，赌上帝存在的得与失吧。
我们考虑两种情况：假如你赢了，上帝是万能的，你将赢得一切；假如你输了，你却毫无损失，所以那就毫不犹豫地赌上帝存在吧。
这个赌不合理的原理：1.帕斯卡赌把上帝塑造成一个小心眼，顺从我的人，我给你利益；逆我的人，我不给你利益。
这就违背了上帝博爱的本性。
2.帕斯卡赌让信仰变质了。
真正的信仰是出自于理性的思考和抉择。
12有关上帝的悖论（三）克尔凯郭尔神悖论1.崇拜上帝在理性上是适当的2.一个理性的人，不会也不能崇拜他不能适当理解的东西3.人作为有限的存在，不能理解适当地理解无限的上帝陈波对于宗教的看法：1.虽然我们通过各种悖论，说明了宗教是不理性的。
但是并不是说明是反宗教的。
宗教还承担了别的职能：1.身份情感认同：你是一个什么样的人。
2.道德教化3.心理抚慰和敬畏4.社会管理5.文化建设：建筑，音乐，绘画等13模糊性：连锁悖论模糊谓词：比如高、矮、胖。
模糊谓词三个特征：1.存在难以辨别它们是否适用的界限事例；正外延，负外延，界限情形2.模糊谓词“容忍”小幅度的变化，它们没有预先定义好的确定外延。
3.将导致连锁悖论。
连锁悖论（sorites paradox）一般形式有：条件命题的递增形式，如“谷堆”悖论条件命题的递减形式，如“秃头”悖论否定的合取命题形式，如“很少”悖论数学归纳法形式，如“王浩”悖论4.连锁推理特别指“连锁三段论”，其中前一命题的谓词是后一命题的主词，最后的结论则由前一个命题的主词和倒数第一个前提的谓词构成。
14忒修斯之船及其他莱布尼茨同一不可分辨原则莱布尼茨不可分辨的同一原则模糊性的来源1.模糊性在自然语言中几乎是无处不在的，不源自我们的语言，不源自我们真实的世界，而在于我们认知能力的局限性。
