用构造法解题对学生思维能力的培养

构造法——数学解题中的思维亮点摘要：构造法是指在解决数学问题时，寻找与问题相关的内在联系，恰当地构造数学模型，将原问题化归为新问题，直观明了，从而使原问题获解的方法。

它在解题中起到化简、转化和桥梁的作用。

它是建立在观察联想、分析、综合的基础之上的，体现了发现类比、归纳的数学思想，渗透着猜测、探究、检验的数学方法。

构造法重在构造。

通过新旧知识的交融，培养学生的发散思维和探究创新能力，发展学生个性，优化学生数学思维品质，消除习惯思维定式的消极影响。

关键词：构造法；探究；分析；联系；创新“构造法”是一种关系映射反演方法，是通过构造数学模型，寻找与原来问题的内在联系，把比较困难的问题转化为易于处理的问题，以达到解决问题的目的。

“构造法”是建立在观察联想、分析综合的基础上的。

它体现了数学中发现、类比、化归的思想，渗透猜测、探索、检验等数学方法，它没有固定的模式，是分析、思维、联想的产物，以广泛抽象的普遍性与问题的特殊性为基础，针对具体问题采取相应的解决方法。

古今中外数学家们常用此思想方法，如瑞士数学家欧拉通过映射构造数学模型，成功地解决了著名的哥尼斯保七桥问题，确定散步者不可能不重复地一次通过这七座桥返回出发点；我国古代数学家通过割补构造给出了勾股定理的证明。

构造法重在“构造”，关键是恰当地构造出一种“构造物”。

而“构造物”的形式多样，可以是图形、函数、复数、方程、数列等，甚至是一个与原命题相关的命题。

其构造思路：下列运用具体题例分析说明：1 构造图形几何问题中的构造经常通过添加辅助线来完成，然而怎样添加辅助线取决于原来问题的关系结构，也取决于我们希望构造什么样的图形。

结合数学美学思想方法，常用的添加方法有对称、平移、旋转、形外发展等创造性的几何变换。

2 构造函数在初等函数的关系结构中对问题进行函数处理，得到函数结论，再利用函数性质进行反演，使原问题轻松获解。

3 构造方程考察题设条件中的数量关系和结构特征，巧妙设计新的方程，创立新的问题情境，灵活快速地解决问题。

构造法在中学数学中的运用引言：构造法是数学中一种常见的解题方法，它利用几何图形的相关性质，通过构造出新的图形或加上新的辅助线，从而达到解题的目的。

构造法在中学数学中具有广泛的应用，能够帮助学生更好地理解数学知识，培养学生的逻辑思维能力和创造性思维能力。

本文将从基本概念、构造方法和案例分析三个方面来探讨构造法在中学数学中的运用。

一、基本概念1. 构造法的定义构造法是数学解题的一种方法，它利用辅助线、辅助角等手段，通过构造新的图形或加入新的元素来解决问题。

构造法主要运用于几何、代数和三角等数学领域，能够帮助学生更深入地理解数学题目，提高解题效率。

构造法在中学数学中的应用具有以下优势：（1）几何直观性：构造图形能够直观地展示几何问题的性质和规律，让学生更容易理解和记忆。

（2）逻辑性强：构造法要求学生通过合理的线索和推理，找到解题的突破口，培养学生的逻辑思维能力。

（3）启发性强：构造法要求学生有创造性地处理数学问题，培养学生的创造性思维，使他们在数学学习中更具探索精神。

二、构造方法1. 构造辅助线构造辅助线是构造法的一种常见操作，它是通过在原有图形中加入一些辅助线，从而使问题得到更好地解决。

在求解三角形中某个角的大小时，可以通过构造高或中线等辅助线，从而将问题转化为更易解的几何问题。

在解决角相关性质问题时，构造辅助角也是一种常用的构造方法。

通过在角的某一边上构造出一个相等的角或互补的角等辅助角，能够为原问题提供更多的线索和信息，帮助学生更好地解决问题。

3. 构造新图形构造新图形是构造法的另一种重要方法，例如在解决圆的性质问题时，可以通过在给定圆上构造出一些特殊的线段，从而使问题得到更好地解决。

三、案例分析1. 例题一如图所示，AB为直径，C为圆上一点，CE⊥AB于E,连接DE交AC于F.如果⊙O经过D，使得EF ⊥AC于F'.（1）证明：D ，F'，O三点共线；（2）若AB=2,AC=4，求|CE|.解：由于AD为直径，所以F为90度角，即∠DEF=90度。

试论高中数学解题中运用构造法的措施高中数学解题是学生在学习数学课程中常常会遇到的问题，而构造法是一种数学解题方法，通过构造或建立一些具有特定性质的数学对象，来解决问题。

构造法在高中数学解题中有着重要的作用，对于学生的数学解题能力和数学思维能力的培养具有重要意义。

本文将试论高中数学解题中运用构造法的措施，探讨如何有效地应用构造法来解决数学问题。

高中数学解题中运用构造法需要学生具备一定的数学基础知识。

构造法要求学生能够灵活地运用数学知识，如代数、几何、排列组合等，在解题过程中构造出具有特定性质的数学对象。

学生需要对相关数学知识有深刻的理解和掌握，才能在解题过程中准确地运用构造法，得出正确的解答。

教师在教学中应该重视构造法的引入和讲解。

教师在教学中应该注重培养学生的数学解题能力，引导学生在解题过程中灵活运用构造法。

教师可以通过举一些具体的例子来讲解构造法的应用，让学生了解构造法的基本思想和解题方法。

教师还可以设计一些带有构造法思想的课堂练习和作业，让学生在实践中掌握构造法的应用技巧。

学生在解题过程中需要注重对问题的分析和抽象能力。

构造法要求学生能够对问题进行合理的抽象和分析，找出问题的本质和关键，然后针对问题进行构造。

学生需要培养解决问题的灵活思维和创造能力，在解题时要学会灵活地运用构造法，善于在解题过程中进行拆解和构造。

学生需要有耐心和毅力，解题过程中要善于思考和总结。

构造法在解题过程中可能需要花费较长的时间和精力，学生需要有足够的耐心和毅力，不断地思考和尝试，直到找到合适的构造方法。

学生需要在解题过程中及时总结和归纳，发现解题的规律和方法，为以后解题时提供参考和借鉴。

在实际教学中，可以通过多种途径和方式来帮助学生掌握构造法的应用。

教师可以结合课堂教学、课外辅导、习题训练等多种教学形式，引导学生在不同的场景下运用构造法解决实际问题。

学校还可以组织一些数学建模、数学竞赛等活动，让学生在实践中运用构造法，提高解决实际问题的能力。

用构造法解题对学生思维能力的培养
什么是构造法又怎样去构造？构造法是运用数学的基本思想
经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型从而使问题
得以解决。

构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体的
问题的特点而采取相应的解决办法，及基本的方法是：借用一类问
题的性质，来研究另一类问题的思维方法。

在解题过程中，若按习
惯定势思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培
养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能
力也有所帮助，下面我们通过举例来说明通过构造法解题训练学生
发散思维，谋求最佳的解题途径，达到思想的创新。

1、构造函数
函数在我们整个中学数学是占有相当的内容，学生对于函数的性
质也比较熟悉。

选择烂熟于胸的内容来解决棘手问题，同时也达到
了训练学生的思维，增强学生的思维的灵活性，开拓性和创造性。

例1、已知a，b，m∈R ，且a。

构造思想与学生解题能力的培养作者：周秀峰来源：《中学生数理化·教研版》2008年第07期一、构造数学模型，培养学生的思维能力“问题是数学的心脏.”我们在研究或解决一类问题时，如果通过类比、联想，发现它与另一类数学问题有密切的联系，便可构造出一个新的数学模型，使问题得到解决.构造数学模型解题是一种创造性思维，没有固定的模式，它是深刻分析、正确思考和丰富联想的产物.构造一个恰当的数学模型，能给人以启示，可使学生迅速准确、灵活巧妙地解决问题.例1解方程x３+2 x２+3x+ -1=0.分析：三次方程解起来有一定难度，可换个角度把看做未知数，x看做已知数，构建二次方程模型：x•（）２+（2x２+1） +x３-1=0.①解方程①，得 = ．则有 =1-x或 =－，即x２+（ +1）x+1=0，所以可得方程的三个根为：x１=1- ，x２=－，x３= .例2设 x，y∈R，求证（x４+y４）（x２+y２）≥（x３+y３）２.分析：我们可通过构造向量模型，解决不等式的证明.不等式左边可看做两个向量a=（x２+y２），b=（x，y）模平方的积，不等式右边可看做两个向量a=（x２+y２），b=（x，y）内积的平方，故有（x３+y３）２=（a，b）２=|a|２|b|２cos２?兹≤|a|２|b|２≤（x４+y４）（x２+y ２）.二、运用已有信息储备构造辅助问题，培养学生的数学建模能力数学教育的核心问题是数学思维问题，学生学习数学是数学思维过程和结果的综合，学数学不仅要学知识，更要学思考，学思想.当学生已有一定的数学知识后，教师应抓住典型例题，创造情境，培养学生的思维能力和建构能力.教师应引导学生利用已有的知识和技能构造辅助问题.在不等式的证明中，可通过构造函数，利用函数的增减性证明不等式.例3已知α３-3α２＋5α=1，β３-3β２+5β=5，求α+β.解：注意到两个已知等式的左边具有相同的结构，故可引入辅助函数.ｆ（x）=x３-3x２+5x进而化成f（x）=（x-1）３+2（x-1）+3，再引入函数g（u）=u２+2u，则f（x）、g（x）之间有关系，g（x-1）=f（x）-3，易见g（u）是单调上升的奇函数，而题中的条件变成g（α-1）=f（a）-3=-2，g（β-1）=f（β）-3=2．由g（u）的性质知α-1，β-1在x轴上关于原点对称，故有（α-1）+（β-1）=0．由此得α+β=0.三、通过联想构造辅助问题，培养学生的发散思维思维的开阔性是创新思维的重要形式，是散发思维具体表现.对学生创新思维的培养，是培养人才的关键.在平时学习和解题研究中，教师应有意识地渗透构造的思想和方法，注重学生思维的训练，注重积累作为联想和构造的基础，定能找到解决问题的途径，可提高教学质量和学生的解题能力.构造法解题是一种富有创造性的思维活动，一种数学形式的构造绝不是单一思维方式的产物，而是多种思维方式交叉、联系、融汇在一起共同作用的结果．应用构造思想解题属于求异思维的范畴.例４x∈R，a为正常数，且f（x）满足f（x+a）= ，求证：f（x）是周期函数.分析：要证明f（x）是周期函数，只能从定义出发，但从题中找不到函数的一个周期，观察题目结构，可联想到所给式子与tan（ +x）= 相似，而tanx最小正周期为π= ×4，可猜到f （x）周期为4a.证明：f（2a+x）=f［a+（a+x）］= = =-，f（4a+x）=f（2a+（2a+x））=- =- =f（x）．又a＞0，所以4a为f（x）的一个周期，即f（x）为周期函数.另外，对于一些不同的命题甚至是不同类的命题，可通过它们之间的一些相似点寻求统一的解题模式，这里又有着求同思维的因素．掌握好构造思想和构造法，对提高我们的思维能力有很大的好处.虽然开始时会有一定的难度，但只要自觉地坚持进行由浅入深的系统训练，最终必有可喜的收获．构造数学模型求解应用问题，是对构造提出了更高层次的要求，除了要求能对数学各分支的知识进行本质上的沟通外，还须有对其他学科知识进行综合把握和综合应用的能力.如何解决好这类问题将是一个大课题.本文中所探讨的解决应用问题的基础，对研究应用问题是大有裨益的.注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

用构造法解题对学生思维能力的培养『摘要』本文主要如何通过运用构造法解题，激发学生的发散思维训练，使学生在解题过程中，选择最佳解题方法，从而使学生思维和解题能力得到培养。

『关键词』构造创新智力思维探索创造第一部分：浅谈构造法解题“构造法”解题，就是构造数学模型解决问题。

信息学竞赛中，，它的应用广泛。

构造恰当的模型或方法，能使问题的解决变得十分简洁巧妙。

用数学的方法解题，往往是把具体的问题抽象化。

将具体的问题简化，抽象成合理的数学结构。

不妨先看一个简单的例子。

[例1]错排问题：n个数，分别为大于1的正整数，排成一个长度为n的排列。

若每一个数的位置都与数的本身不相等，则称这个排列是一个错排。

例如，n=3，则错排有2 3 1、3 1 2。

编写程序，求n的错排个数。

这道题目，如果用一般的搜索解决，时间肯定受不了。

所以，必须从另一个角度出发，看看能否发现什么规律。

例如n=4的时候。

我们假设n=3和n=2的错排都已经求出来了。

n=3的错排是①231、②312。

如果在这两个错排中插入一个4，使新生成的排列依然是错排，该怎么做呢?通过观察，我们可以发现，把4接在每个排列的后面，4的位置依次与前面三个数调换，生成的排列依然是错排。

即①4312、2413、2341、②4123、3421、3142。

自然，生成的6个错排只是4的错排的一部分。

那么剩下的错排从哪里去找呢?若是有一个排列是1口口4，那么把1、4对调，在求出剩下两个数的错排，生成的排列同样是4的错排。

剩下两个数的错排就是n=2的错排。

同样道理，口2口4、口口34可以生成个数相同的错排。

现在我们可以推测，存在某种递推关系可以求出n的错排个数。

设f(n)是n的错排个数，则：f(n)=(n-1)*f(n-1)+(n-1)*f(n—2)(n>2)1 (n=2)o(n=1)显然，求n 的错排个数，我们实际是在n-1的某种排列(不一定是错排)的基础上，在最后插入数n，通过位置的调换求出来的。

构造直角三角形，提高学生思维水平摘要：许多形式各异的几何图形，他们大都有着内在的联系，具有相同或相似的基本模型，在教学中，教师有意识地让学生学会提炼基本图形，并运用基本图形解决问题，使复杂问题简单化，这既有利于培养学生“透过现象看本质”的分析问题能力．又可以开拓学生的思维空间，提高学生解决问题的能力．关键词：直角三角形；辅助线．直角三角形是最常见的三角形。

在历年的中考题中都有直角三角形的身影，最常见的不外乎三角函数的实际运用，也有直接的关于直角三角形的题目．而很多常见的图形证明与直角三角形有关，有些是明显的存在直角三角形，有些是隐藏的存在直角三角形。

很多有难度的题目，便是将隐藏的直角三角形找出来解决问题的．一、网格中的直角三角形例1、在正方形网格中，∠AOB的位置如图例1所示，则tan ∠AOB的值为．图例1 图例1分析：①该题是求出三角函数，而对初中学生来说，求三角函数，只能在直角三角形中去找出对应的边；②在这个正方形网格中需要找到射线OA，OB所经过的格点，才能求出具体的值．根据分析，不难找出图例1-2中的直角三角形，并求出tan ∠AOB=1 2中考试题中，画旋转，平移，对称图形的试题都放在网格中让考生进行作图，网格有清楚明了的特点，方便看出长度和特殊的角度。

做表格类题目，只要抓住格点，就能解决具体问题。

在网格中，可以根据需要画出直角三角形，使题目一目了然．二、平行线中的直角三角形例2、（2010年甘肃·兰州）如图，直角梯形ABCD 中，2A D B C A B B C A D ∥，⊥，，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至DE ，连接AE CE 、，ADE △的面积为3，则BC 的长为 ．分析：此题是梯形的一腰（线段）绕梯形的一个顶点逆时针旋转90°问题，解答该题的关键是要抓住线段旋转以后长度不变这个性质，再从三角形的面积入手，联想作三角形，梯形的高，构造两个直角三角形，从而解决问题．解：如图例2-1，延长AD ，过E 点做E M ⊥AD 垂足为M ，过C 点做CN ⊥AD 垂足为N.∵ ∠EMD=∠CND=∠EDC=90°， ∴ ∠EDM=∠NCD. ∵ ED=DC ， ∴ △EDM ≌△CDN. ∵ ADE △的面积为3， ∴ EM=DN=3， ∴ BC=AD+DN=5.例3．（2010年湖北·咸宁）如图例3，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条ED CBA 例2EDCBA 例2-1MN平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．分析：表面上不能直接找到两个三角形全等，但我们可以根据图形特征，添加适当的辅助线，构造出两个全等的直角三角形，解决问题．解：如图例3-1，过点D 作直线4EF l ⊥，交1l 于点F ，则90CED DFA ∠=∠=︒． ∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ 90,ADC AD CD ∠=︒=． ∴ DCE ADF ∠=∠, 可得△DCE ≅△ADF ,∵ 相邻平行线之间的距离是1， ∴1,2,DF AF DE AD ====∴sin DF AD α===．例3变式．直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ∥5l ，相邻两条平行直线间的距离都相等，如果直角梯形ABCD 的三个顶点在平行直线上， 90=∠ABC 且AB=3AD ，则αtan = ．分析：同上根据图形特征，添加适当的辅助线，构造出两个相似的直角三角形，解决问题．ABC D αA 例33l2l 1l l例1l3l2l4lAl l l l lAl l l l l解：如图例3变式-1，过点D 作直线1DF l ⊥，交1l 于点F ，过点B 直线1BE l ⊥，交1l 于点E ．则90BEA DFA DAB ∠=∠=∠=． 可得△ABE ≈△AFD ,∵ AB=3AD ， 相邻平行线之间的距离是1， ∴ AE=3 ∴ 3tan 4AE BE α==平行线实际是弱化了的网格，但也是更细化了的网格，方便构造直角三角形。

用构造法解题对学生思维能力的培养【摘要】构造法是一种重要的解题方法，通过引导学生自主探索和构建知识，有助于培养其思维能力。

与传统解题方法相比，构造法注重学生的主动参与和思考，更有利于启发学生的创造力和创新意识。

本文围绕构造法解题的基本原理、步骤以及在数学学科和其他学科中的应用展开讨论，同时分析了构造法对学生思维能力的影响。

结论部分归纳了构造法在培养学生思维能力中的积极作用，并展望了未来构造法在教育中的发展前景。

通过本文的阐述，可以更深入地了解构造法对学生思维能力的重要性，以及其在教育中的作用和发展趋势。

【关键词】构造法、解题、学生思维能力、重要性、区别、基本原理、步骤、数学学科、其他学科、影响、积极作用、发展前景、总结1. 引言1.1 构造法对学生思维能力的重要性构造法是一种重要的解题方法，对学生的思维能力培养起着至关重要的作用。

通过构造法解题，学生需要动脑思考、探究问题的本质、发现问题解决的路径，这些过程能够有效地锻炼学生的逻辑思维能力、创造力、解决问题的能力和思维灵活性。

构造法要求学生自主思考，不依赖于死记硬背，而是通过自己的努力和思考找到问题的解决方案，这种学习方式能够培养学生的自主学习能力和解决问题的能力。

与传统的解题方法相比，构造法更注重学生的思考过程，而不是结果本身。

通过构造法解题，学生不仅能够学会解决具体问题，更重要的是培养了他们的独立思考能力和创造力。

构造法可以激发学生的兴趣和求知欲，让他们在解题的过程中享受到思考和探求的乐趣，从而提高学习主动性和积极性。

构造法对学生思维能力的培养具有重要意义，有利于学生全面发展和未来的终身学习。

1.2 构造法解题与传统解题方法的区别传统解题方法注重学生对知识点的记忆和应用，强调学生的被动接受和机械操作。

学生往往只顾追求答案的正确性，而忽略了解题过程中的思维逻辑和推理能力的培养。

传统解题方法通常是一劳永逸的完成一道题目，缺乏对知识的深度理解和灵活运用。

运用“构造法”解题，培养学生创造性思维关键词：构造法创造性思维迁移借理位移解题构造法，即构造性解题方法是根据数学问题的条件或结论的特征，以问题中数学元素为元件，数学关系为框架，构造出新的数学对象或数学模型，从而使问题转化并得到简便解决的方法。

所以构造法的基本形式是以已知条件为原料，以所求结论为方向，通过观察、联想，对已有的知识进行迁移，将抽象、复杂、隐蔽的题设组合成具体化、明朗化的新题设的解题方法。

运用“构造法”解答数学问题是一种创造性的思维过程，具有较大的灵活性和技巧性，是培养学生创造性思维的有效途径。

一、完整构造法有些几何图形中，条件非常隐蔽，不易找到数量关系，教师在教学时应该根据题意设法将原来不完整的图形构造成一个完整的图形来。

如例1：合唱团的演唱台由图形台（如下图）组成，请算一算这个梯形的体积是多少(单位米）解例1，在计算梯形台的体积时，如果将梯形台构造成一个完整的长方体，（如上图2），然后再计算该梯形台的体积就容易得多，即：1×0.5×0.6÷2=0.15(m3).这样将原图迁移、构造，使学生解题既简单，又易懂，达到预期效果，同理可以算出表面积。

二、原形位移构造法有些组合图形题，从原图中是不易发现数量关系的，若将组合图形中的某个独立图形作适当的位移，构成很容易发现数量关系的新的与原来等价的组合图形，这样就能使原问题巧妙获解。

如例2（见下图1）在三角形ABC中,D是AB的中点，E是AC的中点，F是EC的中点，问阴影部分的面积是三角形ABC面积的几分之几？从上图1看阴影部分的面积是三角形ABC面积的几分之几，是很难看出的，如果用原形位移构造法进行教学，将DE连起来延长到D',使DE=ED'，DE则是△ABC的中位线，这样将△ABC的原形倒移（如图2），则成了一个与原△ABC等面积的平行四边形DBCD',再取BD的中点F',连接FF'相交于CD',再将平行四边形DBCD'平分成8份，然后下一步将△FDF'的原形倒移到△BFC'上，这样阴影部分的面积就很容易看出来,它占整个图形的八分之三。

构造法在高中数学解题中的应用方法1. 引言1.1 介绍构造法在高中数学解题中的重要性构造法在高中数学解题中扮演着重要的角色，它是一种重要的解题方法，可以帮助学生更好地理解和解决数学问题。

构造法在高中数学学习中扮演着至关重要的角色，不仅仅是因为它可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，更重要的是，构造法可以培养学生的逻辑思维能力和创造性思维能力。

通过构造法解题，学生需要分析问题的特点，寻找问题的根本规律，然后根据规律进行构造推导，最终达到解题的目的。

构造法的应用不仅可以让学生更好地理解和应用数学知识，还可以培养他们的逻辑思维能力和创造性思维能力，提高他们的问题解决能力和创新能力。

构造法在高中数学解题中具有重要的应用价值，对学生的数学学习和发展起着积极的促进作用。

2. 正文2.1 什么是构造法构造法是一种数学解题方法，通常用于解决几何、代数和概率等问题。

它是一种通过构造特定形状或对象来达到解题目的目的的方法。

在解决问题时，我们可以通过构造法来建立一定的几何图形或特定的代数表达式，从而找到问题的解决方案。

构造法的核心思想是通过构造特定的结构或对象，来揭示问题的本质并找到解决问题的方法。

构造法有许多种形式，比如利用平移、旋转、反射等方法来构造几何图形，利用等式变形、代数式构造等方法来解决代数问题，利用概率模型来构造概率问题的解决方法等。

构造法在数学解题中起着至关重要的作用，它能够帮助我们更好地理解问题的本质并找到解决问题的方法。

通过构造法，我们能够更加灵活地思考和处理各种数学问题，提高解题的效率和准确性。

在高中数学学习中，掌握构造法的方法和技巧对于提高数学解题能力至关重要。

2.2 构造法的基本原理构造法的基本原理是一种通过建立特定结构或模型来解决数学问题的方法。

在数学解题中，构造法通常涉及到创建或构建一些可以帮助我们理解和解决问题的图形、符号、方程式或其他形式的模型。

1. 确定问题：首先需要确切地理解题目要求和问题类型，确定需要解决的具体问题。

构造法在中学数学中的运用引言构造法是数学中一种重要的解题方法，它能够帮助学生更好地理解数学概念，提高解题能力。

在中学数学教学中，构造法的运用不仅能够提高学生的数学素养，还能够培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。

本文将从构造法的概念和特点、在中学数学中的应用以及教学实践中的重要性等方面展开阐述，以期更好地推动构造法在中学数学教学中的应用。

一、构造法的概念和特点构造法是通过构造几何图形、代数式或其它数学对象的方法来解决问题的一种数学解题方法。

它的特点是直观、具体、具有启发性和强调实践性。

构造法的目的是通过具体的操作，使学生对数学问题有更加直观的理解，能够在解题中培养学生的创造力和发散思维。

构造法在数学中的应用非常广泛，比如在几何学中，通过构造法可以更好地理解几何图形的性质和相关定理；在代数学中，通过构造法可以更好地理解代数式的含义和相关运算规律；在解方程、证明定理等方面，构造法也有着独特的应用价值。

二、构造法在中学数学中的应用1. 几何学中的构造法在中学几何学中，构造法是一种非常重要的解题方法。

在证明几何定理时，可以通过构造法来直观地理解定理的内容。

在解决几何问题时，构造法可以帮助学生更好地理解几何图形的性质和相关定理。

要证明一个四边形是平行四边形，可以通过构造法来构造其对角线相等或者相互平分的线段，从而得到证明。

2. 代数学中的构造法在中学代数学中，构造法同样具有重要的应用价值。

在解决代数方程时，可以通过构造法来直观地找到方程的解。

在代数式化简或因式分解时，构造法可以帮助学生更好地理解代数式的含义和相关运算规律。

要因式分解一个多项式，可以通过构造法来找到其因式。

3. 综合运用在实际的数学问题中，往往需要综合运用几何学和代数学的知识来解决问题。

而构造法可以帮助学生更好地综合运用几何和代数的知识来解决实际问题。

在解决动态几何问题时，构造法可以帮助学生更好地理解问题并得到解答。

三、教学实践中构造法的重要性1. 提高学生的数学素养通过构造法的教学，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高数学素养。

构造法在数学解题中的应用
随着新型数学教学对学生能力和思维开拓的新要求，构造法作为一种独特的数学解决问题的方法，得到了广泛的应用。

通过学生自身创造性的构思，从实际问题中寻找出解决方法的技巧，将巧妙的思维技巧应用在数学解题中，从而提升学生的解题能力。

构造法的核心思想是，结合实际材料，从而构造出相应的解决方案的过程。

无论是数学问题，还是其它类型的问题，学生都可以从它们中构造出一个有效的解决方案。

它教会学生思想的灵活性，激发学生创新思维，促进理解和解决问题的能力。

作为一种先进的教学方法，构造法引入了新的解决问题的方法。

它可以培养学生思维能力和综合素质，培养学生未知领域探索的能力。

通过解决问题，学生需要分析认识问题，并从中找出解决问题的途径。

学生需要学会积极思考，从实际材料和经验中总结出具有普遍性的规律，这有助于他们更好地理解数学概念，在解决实际问题时，可以灵活运用。

此外，构造法也是一种解决数学问题的有效方法。

在解题过程中，学生需要从数学中获取有关的知识，并将其应用到实际问题中。

例如，在解决几何图形问题时，可以通过图形中可以找到的条件，找到几何描述的方法，从而解决问题。

同样，在解决抽象数学问题时，也可以通过对数学定理的利用，将数学定理运用到实际问题中，解决问题。

总之，构造法在数学解题中具有重要的作用。

它不仅可以提高学生独立思考和综合素质，还可以提升学生解题能力，从而避免学生受
到学习困难的影响。

此外，构造法也可以深化学生对数学概念的理解，促进学生对数学问题的独创性解决。

因此，构造法在数学解题中的应用有着重要意义，应受到认真重视。

浅议构造法在高中数学解题中的运用构造法作为一种重要的化归手段,在数学解题中起着重要的作用。

本文总结了几点关于高中数学解题中运用构造法的措施,使学生在解题中能够有效的利用构造法,创造性的解决问题。

一、培养求简意识，激发学生对构造法的兴趣,调动其运用构造法的积极性和主动性构造法是一种新颖独特、简捷快速、灵活变通的解题方法，这些特点,特别是简捷的特点会大大提高学生求知的欲望，他们有一种跃跃欲试的苛求，但却无从知道什么样的问题适合用构造法，如何构造？这就需要教师培养学生的求简意识，当碰到一些用常规方法解决较繁的时候，能否打破常规，另寻一种简单可行的方法，使问题简化解决，这种意识的形成要求教师注意平日讲解题目时用尽可能多的方法去解决，并对各种方法的优缺点加以比较，让学生理解并掌握最简的求解方法，从而在解题中逐步养成一种繁题求简的习惯和意识，为构造法的运用奠定基础。

二、培养联想——类此思维能力，是用构造法解题成败的关键联想思维是创造思维的翅膀，牛顿看到苹果掉地，发现万有引力定理；爱因斯坦想象与光速赛跑，发现广义相对论；哥尼斯堡由七桥问题联想到一笔画问题，为图论的创立奠定了基础。

这类运用联想思维成功的例子举不胜举，运用构造法解题的关键环节在于构造与题目有关的数学模型，这里的构造离不开联想思维，她在其中起着桥梁和纽带的作用，联想思维是发散思维和思维迁移的一种表现形式，它常与类比思维结合形成联想—类比思维。

这是创新思维最重要的、不可缺少的思维形式。

构造法解题过程中由题目的特征挖掘隐含条件，由一种形式联想到另一种形式，通过类比找到这种新形势对问题解决的可行性，从而达到构造的目的。

教师一定要重视对学生这种思维能力的培养。

例如对于要解决的问题,在认真审题,弄清题意的基础上，引导学生进行广泛而丰富的联想；所给问题你过去是否见过或求解过？是否类似于你所熟悉的某一问题？是不是你过去求解过的某一问题的变形？能否转化为你所熟悉的某一问题？或转化为较易求解的问题？这是个代数问题，能否用几何问题求解？通过这样步步深入的联想，往往可找到一个类比问题，最后进行分析比较，便可能找到解决问题的途径。

㊀㊀㊀㊀㊀例说构造法解题对中学生数学思维的培养例说构造法解题对中学生数学思维的培养Һ任兰兰㊀（江苏省苏州市吴中区城西中学，江苏㊀苏州㊀２１５１１１）㊀㊀ʌ摘要ɔ灵活构造数学模型（如函数㊁方程㊁图形等）会使得一些问题的求解或证明变得直观㊁简便．构造法要求学生具备一定的知识储备，教学中大量构造法的训练也会使学生的数学思维得到培养和提高．本文通过例子谈一谈用构造法解题的过程对中学生类比思维㊁化归思维和数形结合思维的培养．ʌ关键词ɔ构造法；中学数学；数学思维在初中数学解题中，同一道题往往有不同的解题方法，因此巧妙㊁便捷的解题方法往往会让人眼前一亮．构造法是集巧妙和便捷于一体的数学方法，主张观察题目条件和相关结论，摆脱思维定式，巧妙构造数学模型解决问题．一般情况下，数学模型的构造不仅会使问题简单化，而且会启发学生对数学方法的认知，使学生的思维高度一种凌驾于题目之上．应用构造法解题能激发学生的学习兴趣，培养学生的数学思维．笔者从题目出发，从以下三个方面讨论构造法对学生数学思维的培养．一㊁对类比思维的培养类比思维是指在处理数学问题时，将该问题与已经成功求解过的问题做比较，找到二者的共同点，构建类似的数学模型来解决当前问题．构造法在培养学生类比思维上有积极的作用．如这道题：已知等式（ｃ－ａ）２－４（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）＝０，求证ａ＋ｃ＝２ｂ．分析：若直接将本题条件中的完全平方和两个一次因式的乘积展开，则不能轻松化简等式得到所证结论．相反，若将条件类比一元二次方程根的判别式Δ，则该题的证明就简单很多．证明过程：已知（ｃ－ａ）２－４（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）＝０，可构造方程（ａ－ｂ）ｘ２＋（ｃ－ａ）ｘ＋ｂ－ｃ＝０，若二次项系数为０，则ａ＝ｂ，结合已知条件易知ａ＝ｂ＝ｃ，从而ａ＋ｃ＝２ｂ；若二次项系数不为０，则ａʂｂ，由方程根的判别式Δ＝０（已知条件），即说明构造的方程有两个相等的实数根，观察方程系数发现ａ－ｂ＋ｃ－ａ＋ｂ－ｃ＝０，故知方程根为ｘ１＝ｘ２＝１，可使用韦达定理建立根与系数的关系：ｘ１ｘ２＝ｂ－ｃａ－ｂ＝１，即ｂ－ｃ＝ａ－ｂ，故ａ＋ｃ＝２ｂ．再如这道题：已知不等式ａｘ２＋ｂｘ＋４＞０的解是－２＜ｘ＜３，求ｘ２＋３ｂｘ＋３ａ＞０的解．分析：此题中给定的条件是一个含参数的一元二次不等式的解，求的是另外一个含参数的一元二次不等式的解，可将题目所给的一元二次不等式和一元二次方程进行类比，构造一个一元二次方程后进行求解．求解过程：构造一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋４＝０（ａ＜０），由题意得所构造方程的两根为ｘ１＝－２，ｘ２＝３，由韦达定理知ｘ１＋ｘ２＝－ｂａ＝１，ｘ１ｘ２＝４ａ＝－６，所以ａ＝－２３，ｂ＝２３，将ａ，ｂ代入所求不等式中得ｘ２＋２ｘ－２＞０，故所求不等式的解为ｘ＜－１－３或ｘ＞３－１．以上两例均以构造方程为主线，将类比思维渗透其中．第一例要求学生在求证过程中将已知条件类比到一元二次方程根的判别式，第二例要求学生在求解过程中将一元二次不等式与一元二次方程做类比．整个构造的过程能巩固学生所学的知识，加深学生对一元二次方程的理解与认知，对培养学生的类比思维有促进作用．二㊁对化归思维的培养化归思维是指将一个数学问题运用已经学习的知识进行转化和归结，将原本复杂的问题由难化易，由繁化简．在应用构造法解题时，必要的转化和归结对数学模型的构造对学生有启发作用，熟练运用构造法解题对学生的化归思维有很好的培养作用．例如这道题：已知ｘ和ｙ都是实数，并且ｘ＝８－ｙ，ｚ２＝ｘｙ－１６，求证ｘ＝ｙ．分析：若按常规思维，直接将ｘ＝８－ｙ代入到ｚ２＝ｘｙ－１６中，可化简得ｚ２＋（ｙ－４）２＝０．由两个平方和为０知各项都为０，得ｚ＝０和ｙ＝４；再由条件ｘ＝８－ｙ可知ｘ＝４，从而ｘ＝ｙ．若以构造法证此题，则可先对已知条件进行转化归结，将原条件化归为一元二次方程中的韦达定理形式的条件，然后构造满足该韦达定理形式条件的一元二次方程，即可完成证明．证明过程：由ｘ＝８－ｙ得ｘ＋ｙ＝８①，由ｚ２＝ｘｙ－１６得ｘｙ＝ｚ２＋１６②，构造满足①②的一元二次方程ｔ２－８ｔ＋ｚ２＋１６＝０．因为ｘ，ｙ是所构造方程的两根，所以判别式Δ＝（－８）２－４（ｚ２＋１６）ȡ０，即－４ｚ２ȡ０，即ｚ２ɤ０，由于ｚ２ȡ０，因此ｚ＝０．将ｚ＝０代入判别式中得Δ＝６４－４（０＋１６）＝０，即说明所构造的方程有两个相等的实数根，故ｘ＝ｙ．再如这道题：计算１＋１２＋１３＋１４()ˑ１２＋１３＋１４＋１５()－１＋１２＋１３＋１４＋１５()ˑ１２＋１３＋１４()的值．分析：此题虽是一道计算题，若按常规方法将多项式乘积展开，然后求值，则计算量太大，而且十分容易出错，不利于学生数学解题思路的拓展．如果在解题前仔细观察式子就会发现，所求是两个多项式乘积作差的形式，而且两个多项式乘积中的括号里有一部分是相同的，都是１２＋１３＋１４，故可先对原式进行转化归结，然后构造参数，对参数化后的因式乘积化简，最后通过化简结果代入求值，这样就会简便很多．求解过程：令ａ＝１２＋１３＋１４，ｂ＝１２＋１３＋１４＋１５，则原式化归为（１＋ａ）ｂ－（１＋ｂ）ａ＝ｂ＋ａｂ－ａ－ａｂ＝ｂ－ａ＝１２＋１３＋１４＋１５－１２＋１３＋１４()＝１５．以上两例都是先通过化归，对题目中所给的条件或原式进行一定的转化，将其归结为已经学习到的某一个知识点上，然后基于对该知识点的理解和应用对原题进行证明或求解．在第一例中，对比证明此题的两种方法不难发现，常㊀㊀㊀㊀㊀规方法注重的是学生代入因式化简计算的能力及学生对平方和为０的结果的分析能力；而构造法培养的是学生对已知条件转化和归结的能力及对方程根与系数的认知与应用的逆向思维能力．此题能应用构造法证明的关键步骤是对已知条件的化归，基于化归后所得的韦达定理形式的条件，再去构造满足条件的方程，做进一步的分析论证．在第二例中，对比常规展开直接计算的方法和构造参数后得到的因式化简求值方法不难发现，构造法的计算量远远低于常规方法，该题中最重要的思想是化归，将原式进行化归后解题马上就豁然开朗．这两道题的构造法证明和求解过程在很大程度上能培养学生的化归思维，不失为课堂教学中的典型题．三㊁对数形结合思维的培养著名数学家华罗庚说： 数无形时少直觉，形少数时难入微． 数形结合一直是中学数学中的巧妙解题思维之一．它是指在遇到数学问题时，通过观察和分析，发现可以画出相应的数学图形，在图形中展示各个变量之间的数量关系，然后应用图形的性质或定理求解㊁证明相关问题．已有的文献表明，构造图形的方法对很多数学问题的解决有较大的应用价值，构造图形创新了中学数学的解题思路．笔者认为，在中学数学中，构造图形辅助解题不仅重在 巧应用 ，还能启发和培养学生的数形结合思维．好的思维能引导学生举一反三，使学生遇到类似问题时会有意识地将代数问题转化为几何问题．如这道题：在әＡＢＣ中，ＡＣ＝１３，ＡＢ＝５，ＢＣ＝１０，求әＡＢＣ的面积．分析：在初中阶段，已知三角形三边求面积，大多考虑使用海伦公式Ｓ＝ｐ（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ）（ｐ是三角形的半周长）．记ａ＝１０，ｂ＝１３，ｃ＝５，所以ｐ＝１２（１０＋１３＋５），由海伦公式Ｓ＝ｐ（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ），得Ｓ＝ｐ（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ）＝７２．从上述解答过程看，海伦公式的使用确实能求解该三角形的面积，但是有两个地方值得注意：第一，该题使用海伦公式会面临较为复杂的代数计算；第二，海伦公式并不常用，目前初中生对海伦公式的记忆并不深刻．基于这两点原因，此题对于基础较为薄弱的学生来说可能无从下手，同时此题对会用海伦公式求解的学生来说是计算量较大的一道题，不容易得出正确答案．若用构造法解此题，则会十分简便．可以考虑构造一个正方形，用大正方形的面积减周围三图１个直角三角形的面积，即可得到所求三角形的面积．求解过程：如图１所示，构造正方形ＤＧＣＥ，ＡＤ＝１，ＤＢ＝２，ＢＧ＝１，ＡＥ＝２，ＣＧ＝３，ＣＥ＝３．由勾股定理知ＡＣ＝１３，ＡＢ＝５，ＢＣ＝１０，即әＡＢＣ满足题意．ＳәＡＢＤ＝１２ˑ１ˑ２＝１，ＳәＡＥＣ＝１２ˑ２ˑ３＝３，ＳәＢＧＣ＝１２ˑ１ˑ３＝３２，Ｓ正方形ＤＧＣＥ＝３ˑ３＝９，所以ＳәＡＢＣ＝Ｓ正方形ＤＧＣＥ－ＳәＡＢＤ－ＳәＡＥＣ－ＳәＢＧＣ＝９－１－３－３２＝７２．再如这道题：已知０＜ａ＜２，０＜ｂ＜２，试证明：ａ２＋ｂ２＋ａ２＋（２－ｂ）２＋（２－ａ）２＋ｂ２＋（２－ａ）２＋（２－ｂ）２＞４２．分析：本题涉及的变量只有ａ和ｂ，但在证明要求中含有很多根号，这给证明结论带来不小的困难．仔细观察后发现，可以使用构造图形的方法，以数形结合的思维解之．ａ，ｂ都是大于且０小于２的数，因此可构造一个边长为２的正方形ＡＢＣＤ，在正方形相邻的两边上截对应的ａ，ｂ长度，添加辅助图２线即可完成本题的证明．证明过程：如图２所示，构造边长为２的正方形ＡＢＣＤ，其中ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ＝２，在ＡＢ上取ＡＥ为ａ，在ＡＤ上取ＡＧ为ｂ，过点Ｅ和点Ｇ作ＢＣ和ＡＢ的平行线交ＣＤ，ＢＣ于点Ｆ和点Ｈ，ＧＨ和ＥＦ的交点为Ｏ，连接ＡＯ，ＢＯ，ＣＯ，ＤＯ，ＢＤ，ＡＣ．因为ＡＥ＝ａ，ＥＯ＝ＡＧ＝ｂ，所以在ＲｔәＡＥＯ中，由勾股定理知ＡＯ２＝ＡＥ２＋ＥＯ２＝ａ２＋ｂ２，即ＡＯ＝ａ２＋ｂ２．同理在ＲｔәＯＦＣ中ＣＯ＝（２－ｂ）２＋（２－ａ）２，在ＲｔәＥＯＢ中ＢＯ＝（２－ａ）２＋ｂ２，在ＲｔәＤＯＦ中ＤＯ＝ａ２＋（２－ｂ）２．由三角形两边之和大于第三边，所以有ＡＯ＋ＣＯ＞ＡＣ，即ａ２＋ｂ２＋（２－ｂ）２＋（２－ａ）２＞ＡＣ＝２２＋２２＝２２①，同理ＢＯ＋ＤＯ＞ＢＤ，即（２－ａ）２＋ｂ２＋ａ２＋（２－ｂ）２＞ＢＤ＝２２＋２２＝２２②，①式加②式得：ａ２＋ｂ２＋（２－ｂ）２＋（２－ａ）２＋（２－ａ）２＋ｂ２＋ａ２＋（２－ｂ）２＞２２＋２２＝４２．以上两例通过构造图形的方法，将代数问题几何化，将原本较为复杂的代数计算或证明放到一个正方形中，结合勾股定理的应用，将问题由复杂转化为简单，十分巧妙．第一例通过构造图形，用大面积减小面积的方法取代了复杂烦琐的无理因式的乘积计算．第二例通过构造图形，以直角三角形的斜边长度分别表示不等式左边的四个代数式，然后由三角形的三边关系得到不等式的证明．这两道题的整个求解和求证过程中巧妙新颖㊁通俗易懂，在很大程度上拓展了学生的解题思路，有利于学生数形结合思维的培养．四㊁结㊀语通过以上论述不难得出，在中学数学中，应用构造法解题具有较好的便捷性和较高的技巧性．应用构造法解题能够启发学生思考问题的方向，对求解和证明相关问题有着很大的辅助作用．在教学中，教师要善于引导学生对题目条件多观察㊁分析和联想，引导学生对所学过的数学知识灵活运用，注重提高学生的构造能力．在应用构造法解题时，教师不仅要让学生真实体会到构造法解题带来的愉悦感，还要通过这些数学模型的构造过程，使学生的数学思维得到一定程度的培养和训练．在初中阶段，学生的类比㊁化归和数形结合的数学思维一旦养成，对学生今后数学学习有着很大的帮助，对提升学科核心素养也大有裨益．ʌ参考文献ɔ［１］梁淑秋．探索构造法在初中数学中的运用［Ｊ］．宁德师范学院学报（自然科学版），２０１５（１）：８９－９１．［２］张传鹏．基于数学核心素养提升的构造法解题［Ｊ］．中学数学研究，２０１８（４）：３０－３２．［３］朱海燕．运用 构造法 ，创新数学解题思路［Ｊ］．数学教学通讯，２０１７（７）：７６－７７，８０．。