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圆的基本性质

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21．圆的基本性质一、选择题1. （2009年娄底）如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D 交⊙O 于E ，则下列说法错误．．的是 ( )A ．AD ＝BDB ．∠ACB ＝∠AOEC ． AE BED ．OD ＝DE【关键词】垂径定理、圆周角、圆心角 【答案】D2.（2009恩施市）如图，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6cm ，则直径AB 的长是（ ）A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm 【关键词】垂径定理、勾股定理 【答案】D3．（2009年甘肃白银）如图，⊙O 的弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【关键词】点和圆的位置关系【答案】A4．（2009年甘肃庆阳）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（）A．2 B．3 C．4 D．5【关键词】点和圆的位置关系【答案】A5．（2009年广西南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°,⊙O的半径为cm3，则弦CD的长为（）A．3cm2B．3cm C．23cm D．9cm【关键词】垂径定理及其逆定理【答案】B6．（2009年孝感）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B＝60°，则∠CAO的度数是( )A．15°B．30°C．45° D．60°【关键词】圆的有关性质【答案】B7.（2009泰安）如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O 的一条弦，且AB＝3，则弦AB所对圆周角的度数为A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°【关键词】圆周角【答案】D8．（2009江西）在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中不正确．．．的是（）A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外【关键词】数轴、点与圆的位置关系【答案】A9.（2009年嘉兴市）如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP．若阴影部分的面积为 9，则弦AB的长为（▲）A．3 B．4 C．6 D．9【关键词】圆【答案】C10.（2009年天津市）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的大小为（）A．28°B．56°C．60°D．62°【关键词】圆周角和圆心角【答案】D11. （2009南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,∠CDB＝30°, ⊙O的半径为cm3，则弦CD的长为（）A．3cm2B．3cm C．23cm D．9cm【关键词】圆周角和圆心角【答案】B12.（2009年湘西自治州）⊙O的半径为10cm，弦AB＝12cm，则圆心到AB的距离为（）A． 2cm B． 6cm C． 8cm D． 10cm【关键词】圆的计算，弦，点到直线的距离【答案】C13.（2009年白银市）如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（）A．5 B．4 C．3 D．2【关键词】圆的相关概念、点到直线的距离【答案】A14.（2009年清远）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结OC，若OC＝5，CD＝8,，则tan∠COE＝（）A．35B．45C．34D．43【关键词】锐角三角函数、垂径定理及其逆定理【答案】D15．（2009年长春）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（）【关键词】弧长、弓形面积及简单组合图形的面积【答案】A16．（2009年安徽）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22BD3则AB的长为【】A．2 B．3 C．4 D．5【关键词】垂径定理及其逆定理【答案】B17．（2009年安徽）△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是【】A．120° B．125° C．135° D．150°【关键词】与圆有关的综合题【答案】C18．（2009年福州）如图，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周， P 为弧AD上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（）A． 15 B． 20 C．15+52．15+55【关键词】等边三角形,勾股定理,同圆的半径相等【答案】C19．（2009年重庆）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径．若∠BOC＝80°，则∠A等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°【关键词】圆周角和圆心角【答案】C．20．(2009年甘肃定西)如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（）A．5 B．4 C．3 D．2【关键词】垂径定理、勾股定理.【答案】A21.（2009年长沙）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BOC＝44°，则∠A的度数为．答案：22°【关键词】圆、角⊙的半径OA＝6，∠AOB＝90°，则∠AOB所对的弧22.（2009年长沙）如图，已知⊙O OAB的长为（）A．2πB．3πC．6πD．12π答案：B【关键词】圆、弧长23.（2009肇庆）如图，⊙O是正方形 ABCD的外接圆，点 P 在⊙O上，则∠APB等于（）A．30° B．45° C．55° D．60°【关键词】外接圆【答案】B24．(2009年南充)如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC, ，则∠AOD＝（）A．70°B．60°C．50°D．40°【关键词】平行线、等腰三角形的性质及临补角的概念【答案】D25. (2009年温州)如图，∠AOB是⊙0的圆心角，∠AOB＝80°，则弧AB所对圆周角∠ACB 的度数是( )A．40° B．45° C．50° D．80°【关键词】圆心角与圆周角的数量关系【答案】A26.（2009年凉山州）如图，⊙0是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝50°，则∠ACB的大小为（）A．40°B．30°C．45°D．50°【关键词】圆的基本概念和性质【答案】A27.（2009年遂宁）如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A ＝70o ，∠C ＝50o， 那么sin ∠AEB 的值为( )A. 21B. 33C.22D. 23【关键词】圆的基本性质、正弦概念 【答案】D28.（2009年兰州）如图，点A 、B 、C 、D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发， 沿O-C-D-O 的路线作匀速运动.设运动时间为t 秒, ∠APB 的度数为y 度，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是( ).【关键词】圆的基本性质、函数图象 【答案】C29. （2009年兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米， 拱的半径为13米，则拱高为( )A ．5米B ．8米C ．7米D ．53米【关键词】圆的基本性质、弓形、勾股定理 【答案】B30.（2009年台湾）如图，在坐标平面上， ABC 为直角三角形，∠B ＝90︒，AB 垂直x 轴，M 为 ABC 的外心。

若A 点坐标为(3,4)，M 点坐标为(-1,1)，则B 点坐标为何？ A. (3,-1) B. (3,-2) C. (3,-3) D. (3,-4) 。

【关键词】直角三角形 圆 平面直角坐标系 【答案】B30. （2009年台湾）如图，圆上有A 、B 、C 、D 四点，其中∠BAD ＝80︒。

若 A BC 、 A DC 的长度分别为7π、11π，则B AD 的长度为何？ A. 4π B. 8π C. 10π D. 15π【关键词】圆有关的运算 【答案】C31． （2009年台湾） AB 是一圆的直径，C 、D 是圆周上的两点。

已知AC ＝7，BC ＝24，AD ＝15，求BD ＝？A.16B. 20C.835 D.556【关键词】与圆有关的计算 【答案】B32. （2009年台湾）如图，长方形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于E 点。

取的中点为F，过F作一直线与AB平行，且交于G点。

求∠AGF＝？A. 110︒B. 120︒C. 135︒D. 150︒【关键词】与圆有关的计算【答案】D33．(2009年河北)如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°【关键词】正方形和圆的圆心角和圆周角的关系【答案】B34．（2009年湖北十堰市）如图，△ABC内接于⊙O，连结OA、OB，若∠ABO＝25°，则∠C 的度数为（）．A．55° B．60° C．65° D．70°【关键词】圆周角和圆心角【答案】C35．（2009年山东青岛市）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）． A ．0.4米 B ．0.5米 C ．0.8米 D ．1米【关键词】垂径定理及其逆定理 【答案】D36.（2009 黑龙江大兴安岭）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半 径为23，AC ＝2， 则sinB 的值是 （ ） A ．32 B ．23 C ．43 D ．34【关键词】圆周角、锐角三角函数 【答案】A37.(2009年肇庆市)如图 ，⊙O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 P 在⊙O 上，则∠APB 等于（ ）A ． 30° B． 45° C． 55° D． 60°【关键词】圆心角与圆周角的关系【答案】B38.(2009武汉)10．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长 D．2CD的长【关键词】互余角的三角函数关系圆心角与圆周角三角函数定义.【答案】AOM.提示：sin∠CBD＝cos∠C＝ cos∠BOM＝OB39.（2009威海）已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝AC＝5，BC＝6，则⊙的半径为（）A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.25【关键词】三角形的外接圆【答案】C40.(2009年安顺)如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是：A．25°B．40°C．30°D．50°【关键词】圆周角和圆心角 【答案】A41．（2009山西省太原市）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，若以点C 为圆心， CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（ ） A ．53B ．5C ．52D ．6解析：本题考查圆中的有关性质，连接CD ，∵∠C＝90°，D 是AB 中点，AB ＝10，∴CD＝12AB ＝5，∴BC＝5，根据勾股定理得AC ＝53A ． 【关键词】圆的性质、直角三角形 【答案】A42. （2009山西省太原市）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿 OA AB BO --的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ）BCDAPA B stOs OOstOstA ．B ．C ．D ．解析：本题考查圆的有关性质、函数图象等知识，点P 从点O 向点A 运动，OP 逐渐增大，当点P 从点A 向点B 运动，OP 不变，当点P 从点B 向点O 运动，OP 逐渐减小，故能大致地刻画s 与t 之间关系的是C ． 【关键词】圆的性质、函数 【答案】C43.(2009年梅州市)如图，在⊙O 中，∠ACB ＝20°，则∠AOB ＝______度.【关键词】圆心角,圆周角【答案】4044．（2009年山西省）如图所示，A 、B 、C 、D 是圆上的点，17040A ∠=∠=°，°，则C ∠= 度．【关键词】圆周角和圆心角 【答案】3045.（2009呼和浩特）如图，AB 是O ⊙的直径，点C 在圆上，CD AB DE BC ⊥，∥，则图中与ABC △相似的三角形的个数有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个ABCD1【关键词】圆周角和圆心角【答案】46.(2009年云南省)如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D ＝ 35°，则∠OAC 的度数是（）A．35°B．55° C．65°D．70°【关键词】圆圆周角圆心角【答案】B47．（2009年枣庄市）如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点∠AOC ＝130°，则∠D等于（）A．25°B．30°C．35°D．50°【关键词】圆周角和圆心角【答案】A二、填空题48.（2009丽水市）如图，在⊙O 中，∠ABC＝40°，则∠AOC＝ ▲ 度．【关键词】圆周角和圆心角的关系 【答案】8049.(2009年鄂州)在⊙O 中，已知⊙O 的直径AB 为2，弦AC 长为3，弦AD 长为2．则DC 2＝______【关键词】圆的有关性质 【答案】3232-+或50.（2009年河南）如图，AB 为半圆O 的直径，延长AB 到点P ，使BP ＝12AB ，PC 切半圆O 于点C ，点D 是 AC 上和点C 不重合的一点，则D ∠的度数为.【关键词】圆的有关性质 【答案】30°51.（2009年新疆）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点A ，B ，C ，已知A 点的坐标是（-3,5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是___________．CBAO【关键词】直角坐标系 圆心 【答案】（-1,0）53．（2009年长春）如图，点C 在以AB 为直径的O ⊙上，1030AB A =∠=，°，则BC 的长为 ．【关键词】圆周角和圆心角、直角三角形的有关计算 【答案】554. （2009年福州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上 ，OD ∥AC ，若BD ＝1，则BC 的长为【关键词】直径所对的圆周角,垂径定理 【答案】255．（2009年广西梧州）某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图（2）所示，已知 AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为 ★ m ．【关键词】垂径定理、勾股定理 【答案】456．（2009年牡丹江）如图，一条公路的转变处是一段圆弧（图中的 AB ），点O 是这段弧的圆心，C 是 AB 上一点，OC AB ⊥，垂足为D ，300m AB =，50m CD =，则这段弯路的半径是 m ．【关键词】垂径定理有关计算 【答案】25057.（2009年哈尔滨）如图，⊙O 的直径CD ＝10，弦AB ＝8，AB ⊥CD ，垂足为M ，则DM 的长为 ．【关键词】垂径定理【答案】8【解析】连接OA ，根据垂径定理可知AM ＝4，又OA ＝5，则根据勾股定理可得：OM ＝3。

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圆的性质及相关定理

圆的性质及相关定理

圆的性质及相关定理圆是几何学中的基本图形之一，它具有许多独特的性质和定理。

在本文中，我们将探讨圆的性质以及与之相关的一些定理。

一、圆的定义与基本性质圆可以被定义为平面上所有到一个给定点距离相等的点的集合。

这个给定点被称为圆心，而到圆心的距离被称为半径。

圆的基本性质包括以下几点：1. 圆的直径是通过圆心的一条线段，它的两个端点都在圆上。

直径的长度是半径长度的两倍。

2. 圆的周长是圆上任意两点之间的弧长，它等于圆的直径乘以π（pi）。

周长也可以被称为圆的周长。

3. 圆的面积是圆内部所有点的集合。

圆的面积等于半径的平方乘以π。

二、圆的相关定理在圆的研究中，有一些重要的定理被广泛应用。

下面我们将介绍其中几个。

1. 弧长定理弧长定理指出，在同一个圆上，两个弧所对应的圆心角相等时，它们的弧长也相等。

这个定理可以用来求解弧长，也可以用来证明一些与圆有关的性质。

2. 弧度制与角度制弧度制是一种用弧长来度量角度大小的方法。

在弧度制中，一个圆的周长被定义为2π弧度。

而角度制是我们常用的度量角度大小的方法。

两者之间可以通过一定的换算关系进行转换。

3. 切线定理切线定理是指与圆相切的直线与半径所构成的角是直角。

这个定理在解决与圆相关的几何问题时非常有用，可以帮助我们确定切线的位置和方向。

4. 正切定理正切定理指出，与圆相切的半径与切线所构成的角的正切值等于切线上相应弧所对应的角的正切值。

这个定理可以用来求解与切线相关的角度问题。

5. 弦切角定理弦切角定理是指，当一个弦与切线相交时，切线与弦所夹的角等于弦上所对应的弧所对应的角的一半。

这个定理可以用来求解与弦和切线相关的角度问题。

三、圆的应用圆的性质和定理在实际生活中有着广泛的应用。

以下列举几个例子：1. 圆的运动轨迹当一个点以固定的速度绕着另一个点旋转时，它的轨迹是一个圆。

这个性质被广泛应用在天文学中，用来描述行星、卫星等天体的运动。

2. 圆形建筑与设计圆形建筑具有独特的美学效果和结构稳定性。

圆的基本性质

圆的基本性质

圆的基本性质1．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径．2．三角形的内心和外心:（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（2）三角形的外心： （3）三角形的内心：3. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半． 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【例题精讲】例1． AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°,⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ）A ．3cm 2B ．3cm C． D ．9cm 例2、BC 是以线段AB 为直径的O ⊙的切线，AC 交O ⊙于点D ，过点D 作弦DE AB ⊥，垂足为点F ，连接BD BE 、．．（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①___ ___，②___ _____ ，③_____ _，④________（不添加其它字母和辅助线） （2）A ∠=30°，CDO ⊙的半径r ．例3、如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 长．P B CEA 例3题图直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°练习、1．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O •的位置关系是____2．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．3、如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是 。

圆的基本性质

圆的基本性质

圆的基本性质圆是平面几何的重要内容之一，圆的基本性质具有非常广泛的应用，因此，它也是数学竞赛命题的热点．一、基础知识圆的基本性质有：1.圆是轴对称图形，也是中心对称图形．对称轴是任何一条直径所在的直线，对称中心是它的圆心，并且具有绕其圆心旋转的不变性．2.直径所对的圆周角是直角．3.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．4.在同圆或等圆中，两个圆心角和它所对的两条弧、两条弦以及两个弦心距这四组量中，如果其中一组量相等，则其它三组量也都分别相等．5.如果弦长为２ａ，圆的半径为Ｒ，那么弦心距ｄ为．例1 已知⊙O的半径OA＝１，弦AB、AC的长分别是、．求∠ＢＡＣ的度数．图1导析：如图1，作ＯＤ⊥ＡＢ，ＯＥ⊥ＡＣ，则ＡＤ＝/２，ＡＥ＝/２．在Ｒｔ△ＯＤＡ中，ｃｏｓ∠ＯＡＤ＝/２，则∠ＯＡＤ＝４５°；在Ｒｔ△ＯＥＡ中，ｃｏｓ∠ＯＡＥ＝/２，则∠ＯＡＥ＝３０°．当AC、AB位于OA两侧时，有∠ＢＡＣ＝∠ＯＡＢ＋∠ＯＡＥ＝７５°；当AC、AB位于OA同侧时，有∠ＢＡＣ＝∠ＯＡＢ－∠ＯＡＥ＝１５°．说明：本题入手不难，能否完整作答，关键在于对弦AB、AC与直线OA的位置关系进行讨论．例2 如图2，⊙Ｏ是锐角△ＡＢＣ的外接圆，H是两条高线的交点，ＯＧ是外心Ｏ到BC边的垂线段．求证：ＯＧ＝（１/２）ＡＨ．图2导析：作直径ＣＥ，连结ＥＢ、ＡＥ，则ＡＥ⊥ＡＣ．又ＢＨ⊥ＡＣ，∴ＥＡ∥ＢＨ．同理可证ＥＢ∥ＡＨ．∴四边形ＡＥＢＨ是平行四边形．∴ＡＨ＝ＥＢ．在Ｒｔ△ＣＥＢ中，ＯＧ∥ＥＢ，ＯＣ＝ＯＥ，∴ＯＧ是△ＣＥＢ的中位线，ＯＧ＝（１/２）ＥＢ．故ＯＧ＝（１/２）ＡＨ．二、综合应用由于圆的问题知识容量大，综合性强，方法涉及面广，因而在处理有关圆的问题时，常常要构造直角三角形和寻找相似三角形，利用勾股定理和相似三角形的性质来解决．例3 已知半径为2的⊙Ｏ有两条互相垂直的弦AB和CD，其交点E到圆心O的距离为1，求ＡＢ２＋ＣＤ２的值．导析：按照AB和CD都不是直径，AB和CD中有一条是直径分别计算．图3如果AB和CD都不是直径，如图3，作AB和CD的弦心距OF和OG，连结OB、OD，则∠ＦＥＧ＝∠ＥＧＯ＝９０°．∴四边形ＯＦＥＧ是矩形，则ＯＦ＝ＥＧ，又ＯＦ２＋ＯＧ２＝ＯＥ２，∴ＡＢ２＋ＣＤ２＝４（ＡＦ２＋ＤＧ２）＝４（Ｒ２－ＯＦ２＋Ｒ２－ＯＧ２）＝４（２Ｒ２－ＯＥ２）＝２８，其中R为⊙Ｏ的半径，下同．如果AB和CD中有一条是直径，不妨设AB是直径，则E为CD的中点．由垂径定理，得（１/２ＣＤ）２＝ＡＥ·ＥＢ＝（Ｒ＋ＯＥ）（Ｒ－ＯＥ）＝Ｒ２－１．∴ＣＤ２＝４（Ｒ２－１）＝１２．又ＡＢ２＝４Ｒ２＝１６．于是，ＡＢ２＋ＣＤ２＝２８．综上可得ＡＢ２＋ＣＤ２＝２８．例4 已知点A、B、C、D顺次在圆O上，，BM⊥AC，垂足为M．求证：ＡＭ＝ＤＣ＋ＣＭ．图4导析：由于DC和CM不在一条直线上，要证明其和等于AM，可延长ＤＣ，使延长部分等于CM．延长DC到N，使ＣＮ＝ＣＭ（如图4），则∠ＢＣＮ＝∠ＢＡＤ．又∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ，而，则∠ＡＣＢ＝∠ＢＡＤ，ＡＢ＝ＡＤ，于是∠ＢＣＮ＝∠ＢＣＭ．从而推知△ＢＣＮ≌△ＢＣＭ，得ＢＭ＝ＢＮ．因∠ＢＡＭ＝∠ＢＤＭ，所以△ＢＡＭ≌△ＢＤＮ．得ＡＭ＝ＤＮ＝ＤＣ＋ＣＭ．说明：此题即为著名的阿基米德折弦定理．例5 △ＡＢＣ为锐角三角形，过顶点A、B、C分别作此三角形外接圆的三条直径ＡＡ１、ＢＢ１、ＣＣ１，求证△ＡＢＣ的面积等于△Ａ１ＢＣ、△ＡＢ１Ｃ、△ＡＢＣ１的面积之和．图5导析：注意到ＡＡ１、ＢＢ１、ＣＣ１为三角形外接圆的直径，而直径所对的圆周角为直角，联想到三角形垂心的性质，即垂心与各顶点的连线垂直于对边，从而可通过三角形的垂心将△ABC分割为与所求的三个三角形面积分别相等的三个三角形．如图5，设H是△ＡＢＣ的垂心，连结ＡＨ、ＢＨ、ＣＨ，则ＡＨ⊥ＢＣ，ＢＣ１⊥ＢＣ，∴ＡＨ∥ＢＣ１．同理可证ＢＨ∥ＡＣ１．∴ＡＨＢＣ１为平行四边形．∴Ｓ△ＡＨＢ＝Ｓ△ＡＢＣ１．同理可证Ｓ△ＡＨＣ＝Ｓ△ＡＢ１Ｃ，Ｓ△ＢＨＣ＝Ｓ△Ａ１ＢＣ．因此Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＨＣ＋Ｓ△ＡＨＢ＋Ｓ△ＢＨＣ＝Ｓ△ＡＢ１Ｃ＋Ｓ△ＡＢＣ１＋Ｓ△Ａ１ＢＣ．三、强化训练1.如图6，AB为半圆的直径，C为半圆上一点，ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为D，若ＣＤ＝６，ＡＤ∶ＤＢ＝３∶２，则ＡＣ·ＢＣ等于（）．图6Ａ．１５Ｂ．３０Ｃ．６０Ｄ．９０2.自圆外一点P，引圆的割线ＰＡＢ、PCD，并连结AC、BD、AD、BC，则图中相似三角形的对数有（）．Ａ．2对Ｂ．3对Ｃ．4对Ｄ．5对3.以AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆上一点，且ＯＣ２＝ＡＣ·ＢＣ，则∠ＣＡＢ＝______．4.在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝３∠Ａ，ａ＝２７，ｃ＝４８，则ｂ的值是______．5.已知⊙Ｏ中，半径ｒ＝５ｃｍ，ＡＢ、ＣＤ是两条平行弦，且ＡＢ＝８ｃｍ，ＣＤ＝６ｃｍ，求AC的长．6.一个内接于圆的六边形的五条边的长都为81，只有第六边AB 的长为31，求从B出发的三条对角线长的和．参考答案与提示１．Ｂ．先分别求出ＡＤ、ＤＢ，再用三角形面积公式得ＡＣ·ＢＣ＝ＡＢ·ＣＤ．２．Ｃ．３．１５°或７５°，由三角形的面积公式及题设条件可得ＣＤ＝（１/２）ＯＣ，从而∠ＡＯＣ＝３０°，由圆的对称性可得有两种情况．４．３５．先三等分弧，两次使用折弦定理即可算得．５．或５或７．分ＡＢ、ＣＤ在圆心同侧和异侧两种情况完成．先求出ＡＢ、ＣＤ间的距离．６．３８４．重复使用折弦定理即可．摘自《中学数学参考》。

圆的基本性质汇总

圆的基本性质汇总

圆的基本性质汇总圆是平面上的一种特殊几何图形，具有许多基本性质。

以下是圆的一些基本性质的汇总。

1.定义性质：圆是由平面上每个点到一个固定点的距离相等的点的集合。

这个固定点被称为圆心，而相等的距离被称为半径。

2.弧：圆上的两个点之间的连线称为圆弧。

圆弧的长度等于圆心角的度数与圆的半径之积，也可以通过欧几里得的原理求解。

3.圆心角：圆心角是圆上的两条射线所夹的角，其中包括圆心的角。

圆心角的度数可以通过弧度公式求解，也可以用度数来表示。

一个圆的完整圆心角为360度或2π弧度。

4.圆上的点：圆上的任何点与圆心的距离等于圆的半径。

5.弦：两点在圆上的连线称为弦，可以是圆的直径（通过圆心的直径是对称的），也可以是其他长度小于直径的弦。

6.切线：切线是从圆上的一个点到圆的切点的直线。

7.弦弧定理：如果两条弦在圆的内部相交，那么它们所对应的弧是相等的。

8.切线定理：从一个点到圆的切点的切线是与半径垂直的。

如果两条切线相交，那么相交的角是外角，并且等于它们所对应的弧的一半。

9.弧长：弧长是圆上的一段弧的长度，可以通过圆心角的度数和圆的半径计算得到。

10.反弧：如果圆上的一段弧的两个端点相交，那么这段弧与它们所对应的圆心角称为反弧。

11.弓形：弓形是由一段弧和连接弧两个端点的线段组成的图形。

12.圆与直线的关系：一个圆与一条直线可以有三种关系。

如果圆和直线没有交点，那么它们是相离的；如果圆和直线有一个交点，那么它们是相切的；如果直线穿过圆，那么它们是相交的。

13.圆的面积：圆的面积公式为πr²，其中r是圆的半径。

这个公式可以通过将圆划分为无数个小扇形来计算。

14.圆周长：圆的周长等于直径乘以π，或者等于2πr，其中r是圆的半径。

15.圆的切线长度：如果从外部一点到圆的切点的切线与半径相交，那么切线长度是切点到圆心的距离的平方根乘以2以上是圆的一些基本性质的汇总。

理解这些性质对于解决与圆相关的数学问题非常重要，也有助于我们更好地理解三角学、几何学和数学中的其他概念和原理。