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数学物理学报2018,38A (4):800-809h ttp ://a cta m s.w ip m.a c.c n二次曲面区域泊松方程第一边值问题的格林函数解法氺相培傅景礼(浙江理工大学数学物理研究所氺氺杭州 310018)摘要：关于泊松方程第一边值问题，目前大部分研究仅给出了球域、圆域等情况的格林函数解 法，而对其他类型的区域讨论甚少.该文从二次曲面成像公式出发，用电像法统一研究椭球 面、双曲面、抛物面、球面等二次曲面区域内的泊松方程第一边值问题，旨在给出其各自的格 林函数解及相应的第一积分表示式.研究发现，在近轴情况下，二次曲面区域内泊松方程第一 边值问题的格林函数解及第一积分表示式有统一形式，该文最终给出了这种统一形式并分别 对这几种二次曲面域进行了讨论.关键词：旋转二次曲面；焦点；电像法；格林函数.M R (2010)主题分类：35J25; 78A25中图分类号：O411.1 文献标识码：A文章编号：1003-3998(2018)04-800-101引言格林函数，亦称点源影响函数，用以表示点源在一定边值条件和（或）初始条件下所产 生的场，结合叠加原理，就可以通过点源的场得到任意源产生的场（见文献[1])•因此，格林函数法成为求解近代物理定解问题的重要手段.波动方程、扩散方程、亥姆霍兹方程和作 为描述稳定场的重要方程之一的泊松方程，以及近代工程中的许多问题都可以用格林函数 法来求解（见文献[2-5]),例如，F 〇d a 和A b d u lja b b a r 曾用格林函数方法研究无阻尼有限长 E u la r -B e r n o u lli 梁横向振动的动力学偏移问题（见文献[4])•用格林函数法求解问题，可归 结为寻找相应的格林函数.而电像法是寻找格林函数的一种简单有效的方法，并且得到的格 林函数具有明显的物理意义.然而，用电像法求解格林函数，对区域边界的对称性有较高要 求.对于内外球域都可以给出相应的格林函数，进一步可给出系统的第一积分公式.对于像 以椭球面和双曲面为边界的问题，要给出相应的格林函数就比较困难.作者从焦点和焦点参 数（半正焦弦）出发，统一研究了椭球面、双曲面、拋物面和球面成像问题，给出了二次曲面 的一系列成像公式（见文献[6])•本文从二次曲面的成像公式出发，利用电像法给出椭球面 边界、双曲面边界、拋物面边界和球面边界泊松方程第一边值问题的格林函数，并给出相应 的积分公式. *收稿日期：2017-05-16;修订日期：2017-10-19E-mail: 1049110768@; sqfujingli@*基金项目：国家自然科学基金（11272287, 11472247)Supported by the NSFC (11272287, 11472247)**通讯作者No.4相培等：二次曲面区域泊松方程第一边值问题的格林函数解法8012圆雒曲线的极坐标方程在平面极坐标系中，以焦点为极点，圆锥曲线方程可统一为以下形式P=1 士 e cos 沒(2.1)其中，P为极径，e为离心率，为焦点到准线的距离，0为极径与极轴的夹角，式中的 “±”取决于极点为左焦点还是右焦点.但这个极坐标方程无法将圆包含进去，因为对于圆而 言，离心率e等于0,则（2.1)式变为p =0,这显然是不合理的.在对旋转二次曲面的成像研 究中，作者采用了新的极坐标形式d = p/(1+e c o s h)(见文献间),最终得出了旋转二次曲面 近轴条件下折射成像的公式，其中包含球面折射成像公式.按照旋转二次曲面成像中的研究 方法，将（2.1)式修正为P=1 士 e cos 0(2.2)对于椭圆及双曲线而言，y=b2/a;对拋物线来说，因为其离心率为1,所以y仍为焦点到 准线的距离；对圆而言，y=r(r为半径)，则变为p =r,与圆的极坐标方程一致.由此可 见，利用极坐标方程（2.2)式可将圆锥曲线统一起来.由此，我们可以统一研究旋转二次曲 面区域内泊松方程第一边值问题的格林函数和第一积分公式.3旋转二次曲面区域内泊松方程第一边值问题的格林函数假定旋转二次曲面区域内的静电场，满足泊松方程第一边值问题，即^0u (r)|S =^(r),r <|r〇|,(3.1)这里S表示旋转二次曲面区域的边界.则，旋转二次曲面区域内的格林函数满足新的边值 问题（见文献[1])A G=^(r- r〇),G |s=0,r<|r〇|.(3.2)下面将采用电像法求解此格林函数，为了简化问题，我们先考虑试验点电荷在旋转轴上的情 况.以旋转二次曲面的焦点F为极点（取椭球右焦点，双曲面左焦点；对于球面而言，此点 即为球心)，旋转轴为极轴建立极坐标系（如图1所示).设试验点电荷M〇(电量q〇=-e〇)与极点的距离为d区域外一点M i(电量为q)为像 点，在旋转二次曲面上有一点A,其与极点的连线和极轴的夹角为朽则有F M〇= d ■e〇, F A=F A■ev,(3.3)其中，e〇为与F M〇同向的单位向量，e v为与F A同向的单位向量，而由圆锥曲线的极坐标方程可得F A=p =P1 + e cos ^(3.4)802数学物理学报Vol .38A1M ike 〇(k > 0), ^x ,F M i = x e 〇(MiM 〇), M 〇 iMi A^〇hWi l s-^04ns 〇|F A — F M〇|4n|p • e ^ — d • e 〇|7k ^01k14n e 〇 |F A — F M i | 4n|p • e ^ — x • e 〇|r t!格林函数的边界条件（3.2) |^o |s + ^i |s = 〇•将（3.5)式和（3.6)式代入（3.7)式，整理后得到k |p • e ^ — d • e 〇| = |p • e ^ — x • e 〇|(k > 0),等式两边同时平方，得到k 2p 2 十 k 2d 2 — 2p . k 2d co s p 二 p 2 十 x 2 — 2p . x cos令 x = k 2d (k = 1),则有k 2p 2 十 k 2d 2 — 2p • k 2d co s p = p 2 十 k 4d 2 — 2p • k 2d co s p ,整理后得到(k 2 — 1)p 2 = (k 2 — 1)d 2k 2又因为k=1且k >0,于是解得dd (1十e cos p ) ’(3.5)(3.6)(3.7)(3.8)(3.9)(3.10)(3.11)(3.12)1P PkNo .4相培等：二次曲面区域泊松方程第一边值问题的格林函数解法803则像电荷Mi 的位置和电荷景分别为d(1 + e cosd(1 + e cos(3.13)w角相关.在近轴(即 p — 0)下，（3.13)5d (1十 e)2d(1 十 e) ’(3.14)此式即为旋转二次曲面K 域内近轴情况下像电荷的位置和电最的统一形式.下面我们通过(3.14)(2)|对于椭球面近轴域，/ = &2/〇; e = c /a = a /o 2- b 2/a,巾（3.14)式得因为d < a - c ,则b 4a 2d(l + ^Y(a — c)d(a — c)((Z — c ) . ------------〉（Z — c ，d可见像电荷M i 确在椭球域外.且像电荷的电景为b2 • £〇qd • (a 十 c)(3.15)(3.16)(3.17)对干双曲面近轴域，62/«； e = c/a = V a 2 +62/«, rfl (3.14)式得像电荷位置及电最b4(c — a )2(c — a )£〇 .对于抛物面近轴域，a 2<l 十 f )2d ’ do 'F = p ; e =1,可得像电荷位置及电景p 2X =M ]P £〇 , ~2d'(3.18)(3.19)(3.13)式将不受近轴条件限制，其中，y = R ;e = 0(R S半径)，;R 2Re 〇 ..(3.20)X = T;9d804数学物理学报Vol .38A与文献[2]中的结果相一致.由格林函数的定义即可得到旋转二次曲面区域内近轴情况下点 M (r )处的电势，亦即近轴条件下二次曲面区域内泊松方程的格林函数，有如下统一形式G (r , r 〇)4n d (1 十 e )卜d(1十 e)：e 〇|4n |r -d e〇|:其中，e 〇为沿极轴方向的单位向董.（3.21)式还可以化为P11G47r<i(l + e) /l 2~d2(1十e)42r p /2cos q 47r v /r 2fp _ 2rdcos 0'd(1十 e)(3.21)(3.22)其中，r 为点M 到极点F 的距离，0为F M与极轴的夹角.下面我们通过（3.22)式给出几种二次曲面区域内近轴条件下的格林函数：对于椭球面近轴域，有G4ndr 2 I 0-c )4 — 2 (a -c )2dA tt V t 2 -\-d 2 - 2rdcos 〇'' d 2 ^对于双曲面近轴域，有G4nd2十(c ~j )4 — 2r(c-:)2 cos 5/4：7rVr 2 -\-d 2 - 2rdcos 0对于拋物面近轴域，有G%d +2 + K dC〇se ^ + d ^-2r d c 〇Se1111(3.23)(3.24)(3.25)其中，p = o 'F ;对于球域，结合球域的高度对称性分析，可知（3.21)式不再受近轴条件的限 制，适用于球域内任一位置G (r ,r 〇)=R1A n d |r -^e〇|与文献[1]中由几何关系得到的格林函数形式一致.114t t \r — d • e 〇\:(3.26)式可进一步化为G =R114n^/r 2 + d 2 — 2rd cos 0(3.26)(3.27)此外，利用电像法还可以给出边界为平面（如图3)的泊松问题的格林函数解，取试验点电荷M 〇与平面间的垂线方向为极轴正方向，垂线与平面的交点为极点建立极坐标系.经分析可得，像电荷M i 必在极轴上，与试验点电荷关于平面对称，且电量为十£。
，于是得到此问题的格林函数为G =14n(1^r 2 -\- d 2 — 2rd cos 01^r 2 -\- d? -\- 2rd cos 0),(3.28)其中，r 为点M 到极点F 的距离，0为F M与极轴的夹角.No.4相培等：二次曲面K域泊松方程第一边值问题的格林函数解法805图3I平面边界情况M l4旋转二次曲面区域内泊松方程的第一积分公式T A u= f (r), (r G T) u|s=是区S), G(r,r〇).,(见文献[2])w-(r) =j I j G(r,r〇)f(r〇)dV〇 +j j ip(r〇)^^^d S〇.(4.1)对于静电场M题，K域中的泊松方程及第一边值条件为卜W=e〇r <|r〇|, (4.2)u (r)|s=^(r),p(r- r〇) ((4.1))中的即格林函数在不同冈域边界的外法向导数.当冈域1"为二次曲面冈域时，为了4 A X；P A^ O A y0O A y轴所在T面（即O O l面）与X O Y面的夹角.806数学物理学报Vol.38A 于是有A点的坐标变换关系式x =p •s in ^•cos p -y =p .cos (fP1十e cos fs in f•cos p,P1十 e cos f•cos f,z =p •s in f•s in pP1十e cos fs in f•s in p,则有r d G d G c)L p d G d/3dx dip dx d/3dxd G d G d f d G d pdy d(f(d(3dydG d G dLp d G d/3、dz~ ~d^~d^+~dp~d^G与p无关，即i f=0，d G dGdifdx dip d x7d G dGdif<dy dip dy ：d G dGdif、dz dip dz '由（4.3)式可推得d x=cos p•(AO" Mi d z=s in p•(f)d f,d f十O' •(— s in p)•d p,d f十O' • cos p• d p,其中O' O''P1十e cos fs in f,P• cos f. 1十 e cos f在（4.6)式中的第一个等式左右同乘以c o s p,第三个等式左右同乘以s in p,即cos /? . d x=cos2/? . ^-d i p-\-O f-(— sin f3cos /?) •d/?,s in/3•dz =s in2/? ••d(f-\-O f•s in[3cos [3•d/3,两式相加，整理得到d i p=cos f3-z------r-d x + sin(3—------—dz.^dO;\ (d〇z、y d(P J \d(^J (4.3) (4.4) (4.5) (4.6) (4.7) (4.8) (4.9)No .4相培等：二次曲面区域泊松方程第一边值问题的格林函数解法807在（4.6)式中的第一个等式左右同乘以-s in 汊第三个等式左右同乘以c o s 戌即-s in f 3 - dx = — s in f 3cos f 3 •^ • d i p + O' • s in 2/? • d/?,cos /? •= s in /? cos f 3 •• d (f -\- O f • cos2/? • d/?,两式相加，整理得到d/? = — s in [3 • ~q,^x + cos P * ~q A z'由（4.9)式、（4.11)式及（4.6)式中的第二个等式可以得到f ?=C 〇S 〜1 O XdoI :，5dy(f)，又因为将（4.5)和（4.12)式代入上式，得d G —丨（d G 、 dn 〇 y \d x 十^dCf'、dy ,十dz ,d Gdn 〇1(d G 、(?) + (?) (?) + (?) (?)\dx J \3屮）\dz ) \9屮 J \8y J(^) C 〇S 2P Wf (d G V . 2r j1(3G \2 1+ f e j sm/?7^ +W (:)(封(紛，騎+卿d G因为d Op /esin2^ pf cos ^d (f(1 + e c o s p )21 + e c o s ^’ d O //pf e s in ^ cos ^p / s in ^d (f(1十 e cos ^)21 十 e cos ^令 p=p 7(1十 e c o s p ),则（4.15)式成为d O /p 2e sin 2^d i p p '十 p c o s ^，d O 〃 p2e s in ^ cos ^d ^p /p sin2222221(4.10)(4.11)(4.12)(4.13)(4.14)(4.15)(4.16)808数学物理学报Vol .38A则有d O ^ f d O r nm d (f2pesin ^ \ pe s in ^ cos ^ 、p-------；--------h C O S ^ ---------------------------sm p’d O ’、z,d O〃、/ p 4e2s in 2^ 2 / p 2e2s in 2^= VP '2+p = 1 p '2+1.(f )'将（4.17)和（4.18)式代入（4.14)式，得到9G =_______________+ ldn〇 p f ^P ^ + cos^p) fpesin(^cosy -s i n ^d G于是得到二次曲面区域内静电场泊松方程的第一边值问题积分表示式u (r )G (r , r 〇)^(r - r 〇)d V 〇+JJ ^r 〇)j ^/ p2e2sin2c p 十工c o s ^ pesmr〇sy —d G.V又因为p = p 7(1 + e c o s 孙则（4.20)式可进一步化为u(r)= [[( G (r , r 〇)^(r - r 〇)d V 〇+/•/户0)(l + e c o s p ) • \Je 2 + 2e cos (p + l p ' s in ^(e + cos ^)d Gd S 〇.(4.17)(4.18)(4.19)(4.20)(4.21)(4.21)式即为二次曲面区域内静电场泊松方程第一边值问题积分表示式的统一形式，只需代入对应于不同区域的参数y 和e 以及格林函数就可得到相应的积分公式：对于椭球域，p ' = b 2/a ; e = c/a = \Ja? - b 2/a ;对于双曲面域，p 1 = h 2丨a'e = c!a = V a 2 + b 2/a ;对于拋物面域，/ = 〇'^=$;6=1;对于球域，/ =况;6 = 0(况为半径).5结论(1)从旋转二次曲面的成像公式出发，用电像法求解泊松方程第一边值问题的格林函 数和积分表示式.本文采用研究旋转二次曲面的成像公式所用的方法，给出了椭球区域、双 曲面区域、拋物面区域以及球域内格林函数的统一形式.研究表明，用电像法求解旋转二次 曲面区域内的格林函数，试验点电荷须放置在旋转轴上，且结果是在近轴条件下得到的，这 是由于某些旋转二次曲面自身的不对称性造成的.若将试验点电荷置于除旋转轴外的区域， 则无法用电像法得到区域内点的电势；其次，如果研究的区域不是近轴区域，像电荷的位置 及电量将与^有关，即不同位置点的电势对应着不同的像电荷，这是不合理的.(2) 采用极坐标系下旋转二次曲面的成像问题的结论，用电像法求得的旋转二次曲面区 域内的格林函数形式简洁，整齐统一，且具有一般性，球域、半空间区域中的结果也可由其 得到，且形式一致.(3) 用同样的方法我们可以给出旋转二次曲面区域外泊松方程第一边值问题的格林函 数和积分表示式.No.4相培等：二次曲面区域泊松方程第一边值问题的格林函数解法809参考文献[1]梁昆淼，刘法，缪国庆.数学物理方法（第四版).北京：高等教育出版社，2015: 303-310Liang K M, Liu F, M iu G Q. 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F o r th e fir s t b o u n d a ry value p ro b le m o f P oisson e q u a tio n, m o s t o f th e rese arch o n ly gives th e G re e n’s fu n c tio n s o lu tio n to th e areas w ith e llip s o id a l s urface o r s p h e ric a l surface a n d so on, b u t th e re is lit t le d iscu ssio n o n o th e r ty p e s o f areas.B ase d o n th e q u a d ra tic surface im a g in g fo rm u la, th e fir s t b o u n d a ry v a lu e p ro b le m o f th e P oisson e q u a tio n in th e areas w ith q u a d ra tic surfaces such as e llip s o id, h y p e rb o lo id, p a ra b o lo id a n d sphere is s tu d ie d u n ifo r m ly in th is te x t b y u s in g e le c tric im a g e m e th o d. T h e p u rp o s e is to g iv e th e G re e n’s fu n c tio n.K e y w o r d s:R o ta tio n a l c o n ic o id; F ocus; M e th o d o f e le c tric im a ge; G re e n’s fu n c tio n.M R(2010)S u b je c t C la s s if ic a t io n:35J25; 78A25。
