广东省深圳市龙岗区2020届中考二模考试数学试卷

2020年广东省深圳市龙岗区中考数学第二次模拟试卷一、选择题。

（共10题；共30分）1．﹣2019的相反数是（）A．2019 B．C．﹣D．﹣20192．据统计，截止2019年2月，我市实际居住人口约4210000人，4210000这个数用科学记数法表示为（）A．42.1×105B．4.21×105C．4.21×106D．4.21×1073．下列运算结果，正确的是（）A．x+2x＝2x2B．（x﹣1）2＝x2﹣1C．（﹣x2）3＝﹣x5D．12x3÷4x2＝3x4.将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（）A．B．C．D．5．在一个不透明的口袋中装有6个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从这个袋子中随机摸出一个球摸到绿球的概率为（）A．1 B．C．D．6.．如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，若∠ABE＝60°，则∠ECD的度数为（）A．120°B．100°C．60°D．20°7.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的20名运动员的成绩如表所示：成绩（m） 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 4 3 5 6 1 1 则这些运动员成绩的众数与中位数为（）A．1.55m，1.65m B．1.65m，1，70mC．1.70m，1.65m D．1.80m，1.55m8.如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（）A．2B．4C．6D．89．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＝4 B．k＞4 C．k≤4且k≠0 D．k≤410.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分贝为（0，3）、（1，0），将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BC，若点C落在函数y＝（x＞0）的图象上，则k的值为（）A．3 B．4 C．6 D．8二、填空题（共6题；共12分）11、分解因式：x2﹣9=________．12、若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2009=________13、不等式组的最大整数解为________．14、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=________．15、如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x的值为________．16、如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的负半轴上，点C 在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数的图象上，正方形ADEF的面积为4，且BF=2AF，则k值为________ ．三、解答题（共7题；共58分）17、化简，再求代数式的值：，其中．18、已知关于x的不等式组（a≠0）求该不等式组的解集．19、有一则广告称“有80%的人使用本公司的产品”，你对该则广告的宣传有何看法？20、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．21、如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E在弧BD上，连接DE，AE，连接CE并延长交AB于点F，∠AED=∠ACF．(1)求证：CF⊥AB；(2)若CD=4，CB=4 ，cos∠ACF= ，求EF的长．22、如图①，已知矩形ABCD中，AB=60cm，BC=90cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，以20cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q 两点同时停止运动．设点P、Q运动的时间为t（s）．(1)当t=________s时，△BPQ为等腰三角形；(2)当BD平分PQ时，求t的值；(3)如图②，将△BPQ沿PQ折叠，点B的对应点为E，PE、QE分别与AD交于点F、G．探索：是否存在实数t，使得AF=EF？如果存在，求出t的值：如果不存在，说明理由．23、平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是为（0,3）、（-1,0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.(1)若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△OC′D的周长；(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时；△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标.答案解析部分一、选择题。

广东省深圳市中考数学二模试卷一、选择题1．16的平方根是（）A．4 B．16 C．±4 D．±162．春节长假期间，全国旅游消费非常强劲，实现旅游收入1400亿元，1400亿元用科学记数法表示为（）A．1.4×103元B．1.4×1011元C．14×1010元D．0.14×1012元3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（）A．圆锥B．球C．圆柱D．圆4．已知点P（x，3﹣x）关于x轴对称的点在第三象限，则x的取值范围是（）A．x＜0 B．x＜3 C．x＞3 D．0＜x＜35．一鞋店试销一种新款女鞋，卖出情况如下表所示：型号（码）34 35 36 37 38 39数量（双） 1 4 3 15 12 2这个鞋店的经理最关心的是那种型号的鞋销量最大，则对他来说，下列统计量中，最重要的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差6．要得到一次函数y=3（x﹣2）的图象，必须将一次函数y=3x的图象（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移6个单位D．向右平移6个单位7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，∠B=40°，∠BAD=30°，则∠C的度数是（）A．70°B．80°C．100°D．110°8．“剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀”“石头”“布”这三种手势中的一种，规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，若双方出相同手势，则算打平，则两人只比赛一局，出相同手势的概率为（）A．B．C．D．9．设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．201710．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（）A．1：3 B．2：3 C．：2 D．：311．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b12．正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK的面积为（）A．10 B．12 C．14 D．16二、填空题：13．因式分解：x2﹣4x= ．14．某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB=4米，∠BAC=30°，∠C=90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为米．15．如图，直线y=x与双曲线y=（x＞0）交于点A．将直线y=x向右平移个单位后，与双曲线y=（x＞0）交于点B，与x轴交于点C，若，则k= ．16．观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为．三、解答题：（共7小题，总分52分）17．计算：﹣22++（π﹣1）0﹣3×|﹣1+tan60°|．18．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．19．某校数学兴趣小组成员小华对本班上期期末考试数学成绩（成绩取整数，满分为100分）作了统计分析，绘制成如下频数、频率分布表和频数分布直方图．请你根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）频数、频率分布表中a= ，b= ；（2）补全频数分布直方图；（3）数学老师准备从不低于90分的学生中选1人介绍学习经验，那么取得了93分的小华被选上的概率是多少？分组49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～100.5 合计频数 2 a 20 16 4 50频率0.04 0.16 0.40 0.32 b 120．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由．21．某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系．（1）求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；（2）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，那么当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？【利润=销售量×（销售单价﹣进价）】22．如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC 向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．（1）求AC的长；（2）在P，Q点运动过程中，∠APQ的度数变化吗？如果不变，求出大小；如果变化，说明理由；（3）以P为圆心，PQ长为半径作圆，问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC只有1个公共点？23．如图，直线y=x+b经过点B（﹣，2），且与x轴交于点A，将抛物线y=x2沿x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P．（1）求∠BAO的度数；（2）抛物线C与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F，当线段EF∥x轴时，求平移后的抛物线C对应的函数关系式；（3）在抛物线y=x2平移过程中，将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，点D能否落在抛物线C 上？如能，求出此时抛物线C顶点P的坐标；如不能，说明理由．广东省深圳市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．16的平方根是（）A．4 B．16 C．±4 D．±16【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，即可解答．【解答】解：∵（±4）2=16，∴16的平方根是±4，故选：C．【点评】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义．2．春节长假期间，全国旅游消费非常强劲，实现旅游收入1400亿元，1400亿元用科学记数法表示为（）A．1.4×103元B．1.4×1011元C．14×1010元D．0.14×1012元【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：1400亿=1.4×1011，故选B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（）A．圆锥B．球C．圆柱D．圆【考点】由三视图判断几何体．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆可得为圆柱体．故选C．【点评】本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力．4．已知点P（x，3﹣x）关于x轴对称的点在第三象限，则x的取值范围是（）A．x＜0 B．x＜3 C．x＞3 D．0＜x＜3【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；解一元一次不等式组．【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．【解答】解：点P（x，3﹣x）关于x轴对称的点在第三象限，得，解得0＜x＜3故选：D．【点评】本题考查了关于x轴的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．5．一鞋店试销一种新款女鞋，卖出情况如下表所示：型号（码）34 35 36 37 38 39数量（双） 1 4 3 15 12 2这个鞋店的经理最关心的是那种型号的鞋销量最大，则对他来说，下列统计量中，最重要的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差【考点】统计量的选择．【分析】鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最大的鞋号．【解答】解：由于众数是数据中出现最多的数，鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最多的鞋号．故鞋店的经理最关心的是众数．故选B．【点评】本题考查学生对统计量的意义的理解与运用．要求学生对统计量进行合理的选择和恰当的运用．6．要得到一次函数y=3（x﹣2）的图象，必须将一次函数y=3x的图象（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移6个单位D．向右平移6个单位【考点】一次函数图象与几何变换．【分析】根据“左加右减”的平移法则求解即可．【解答】解：要得到一次函数y=3（x﹣2）的图象，必须将一次函数y=3x的图象向右平移2个单位即可．故选B．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移法则是解题的关键．7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，∠B=40°，∠BAD=30°，则∠C的度数是（）A．70°B．80°C．100°D．110°【考点】三角形内角和定理．【分析】利用三角形角平分线的定义和三角形内角和定理可求出．【解答】解：AD平分∠BAC，∠BAD=30°，∴∠BAC=60°，∴∠C=180°﹣60°﹣40°=80°．故选B．【点评】本题主要利用三角形角平分线的定义和三角形内角和定理，关键是熟练掌握相关性质．8．“剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀”“石头”“布”这三种手势中的一种，规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，若双方出相同手势，则算打平，则两人只比赛一局，出相同手势的概率为（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与出相同手势情况数，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两人出相同手势情况数是3种，∴出相同手势情况数概率==．故选B．【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9．设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，则a2+2a+b变形为a+b+2015，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2015=0的根，∴a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，∴a2+2a+b=a+b+2015，∵a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=a+b+2015=﹣1+2015=2014．故选A．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．10．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（）A．1：3 B．2：3 C．：2 D．：3【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【分析】首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C=∠A=60°，∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°，∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，=，∴△DEF是正三角形，∴BD：DF=1：①，BD：AB=1：3②，△DEF∽△ABC，①÷②，=，∴DF：AB=1：，∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3．故选：A．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质．此题难度不是很大，解题时要注意仔细识图．11．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】数形结合．【分析】依题意画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）图象草图，根据二次函数的增减性求解．【解答】解：依题意，画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0转化为（x﹣a）（x﹣b）=1，方程的两根是抛物线y=（x﹣a）（x﹣b）与直线y=1的两个交点．由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．综上所述，可知m＜a＜b＜n．故选：A．【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算．12．正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK的面积为（）A．10 B．12 C．14 D．16【考点】正方形的性质；三角形的面积．【专题】几何图形问题；数形结合．【分析】连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，再根据正方形BEFG的边长为4，可求出S△DGE =S△GEB，S△GKE =S△GFE，再由S阴影=S正方形GBEF即可求出答案．【解答】解：如图，连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，在梯形GDBE 中，S △DGE =S △GEB （同底等高的两三角形面积相等），同理S △GKE =S △GFE ．∴S 阴影=S △DGE +S △GKE ，=S △GEB +S △GEF ，=S 正方形GBEF ，=4×4=16故选：D ．【点评】本题主要考查正方形的性质，三角形和正方形面积公式以及梯形的性质，属于数形结合题．二、填空题：13．因式分解：x 2﹣4x= x （x ﹣4） ．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】直接提取公因式x ，进而分解因式得出即可．【解答】解：x 2﹣4x=x （x ﹣4）．故答案为：x （x ﹣4）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．14．某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB=4米，∠BAC=30°，∠C=90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为（2+2）米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】求地毯的长度实际是求AC与BC的长度和，利用勾股定理及相应的三角函数求得相应的线段长即可．【解答】解：根据题意，Rt△ABC中，∠BAC=30°．∴BC=AB÷2=4÷2=2，AC==2，∴AC+BC=2+2，即地毯的长度应为（2+2）米．【点评】本题中求地毯的长度其实就是根据已知条件解相关的直角三角形．15．如图，直线y=x与双曲线y=（x＞0）交于点A．将直线y=x向右平移个单位后，与双曲线y=（x＞0）交于点B，与x轴交于点C，若，则k= 12 ．【考点】反比例函数的性质．【专题】压轴题．【分析】欲求k，可由平移的坐标特点，求出双曲线上点的坐标，再代入双曲线函数式求解．【解答】解：设点A的坐标为（a，a），∵=2，取OA的中点D，∴点B相当于点D向右平移了个单位，∵点D的坐标为（a，a），∴B点坐标为（+a，a），∵点A，B都在反比例函数y=的图象上，∴a×a=a×（+a），解得a=3或0（0不合题意，舍去）∴点A的坐标为（3，4），∴k=12．【点评】本题结合图形的平移考查反比例函数的性质及相似形的有关知识．平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键是利用了对应线段平行且相等的性质．16．观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为n2﹣n+1 ．【考点】规律型：图形的变化类．【专题】规律型．【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．【解答】解：根据题意分析可得：第n个图中，从中心点分出n个分支，每个分支上有（n﹣1）个点，不含中心点；则第n个图中有n×（n﹣1）+1=n2﹣n+1个点．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．三、解答题：（共7小题，总分52分）17．计算：﹣22++（π﹣1）0﹣3×|﹣1+tan60°|．【考点】实数的运算．【分析】本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】原式=﹣4+3+1﹣3×|﹣1+|=﹣4+3+1﹣3（﹣1）=﹣4+3+1﹣3+3=0．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．【考点】解一元一次不等式组；不等式的性质；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．【专题】计算题．【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．【解答】解：，由①得：x＜8，由②得：x≥2，∴不等式组的解集是2≤x＜8，把不等式组的解集在数轴上表示为：【点评】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式的解集等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．19．某校数学兴趣小组成员小华对本班上期期末考试数学成绩（成绩取整数，满分为100分）作了统计分析，绘制成如下频数、频率分布表和频数分布直方图．请你根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）频数、频率分布表中a= 8 ，b= 0.08 ；（2）补全频数分布直方图；（3）数学老师准备从不低于90分的学生中选1人介绍学习经验，那么取得了93分的小华被选上的概率是多少？分组49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～100.5 合计频数 2 a 20 16 4 50频率0.04 0.16 0.40 0.32 b 1【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；概率公式．【专题】图表型．【分析】（1）根据频数分布图中每一组内的频数总和等于总数据个数，得到总人数，再计算故a的值；根据频率=频数÷数据总数计算b的值；（2）据（1）补全直方图；（3）不低于90分的学生中共4人，小华是其中一个，故小华被选上的概率是：．【解答】解：（1）根据频数分布图中每一组内的频数总和等于总数据个数，且知总人数为50人，故a=50﹣2﹣20﹣16﹣4=8，根据频数与频率的关系可得：b==0.08；（2）如图：（3）小华得了93分，不低于90分的学生中共4人，故小华被选上的概率是：．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由．【考点】翻折变换（折叠问题）；直角三角形全等的判定；矩形的性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）由折叠的性质知，CB′=BC=AD，∠B=∠B′=∠D=90°，∠B′EC=DEA，则由AAS得到△AED≌△CEB′；（2）延长HP交AB于M，则PM⊥AB，PG=PM，PG+PH=HM=AD，∵CE=AE=CD﹣DE=8﹣3=5在Rt△ADE中，由勾股定理得到AD=4，∴PG+PH=HM=AD=4．【解答】解：（1）△AED≌△CEB′证明：∵四边形ABCD为矩形，∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，又∵∠B′EC=∠DEA，∴△AED≌△CEB′；（2）由折叠的性质可知，∠EAC=∠CAB，∵CD∥AB，∴∠CAB=∠ECA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC=8﹣3=5．在△ADE中，AD===4，延长HP交AB于M，则PM⊥AB，∴PG=PM．∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4．【点评】本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理求解．21．某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系．（1）求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；（2）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，那么当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？【利润=销售量×（销售单价﹣进价）】【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克；以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．就相当于直线过点（10，300），（13，150），然后列方程组解答即可．（2）根据利润=销售量×（销售单价﹣进价）写出解析式，然后利用配方法求最大值．【解答】解：（1）当销售单价为13元/千克时，销售量为：千克设y与x的函数关系式为：y=kx+b（k≠0）把（10，300），（13，150）分别代入得：∴∴y与x的函数关系式为：y=﹣50x+800（x＞0）（2）∵利润=销售量×（销售单价﹣进价）∴W=（﹣50x+800）（x﹣8）=﹣50x2+1200x﹣6400=﹣50（x﹣12）2+800∴当销售单价为12元时，每天可获得的利润最大，最大利润是800元．【点评】本题是贴近社会生活的应用题，赋予了生活气息，使学生真切地感受到“数学来源于生活”，体验到数学的“有用性”．这样设计体现了《新课程标准》的“问题情景﹣建立模型﹣解释、应用和拓展”的数学学习模式．22．如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC 向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．（1）求AC的长；（2）在P，Q点运动过程中，∠APQ的度数变化吗？如果不变，求出大小；如果变化，说明理由；（3）以P为圆心，PQ长为半径作圆，问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC只有1个公共点？【考点】圆的综合题．【分析】（1）连接BD交AC于点E，由菱形的性质可知△AEB为直角三角形且∠EAB=30°，依据特殊锐角三角函数值可求得AE的长，从而得到AC的长；（2）依据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似证明△APQ∽△ACB，从而得到∠APQ=∠ACB=30°；（3）①当圆P与BC相切时，⊙P与边BC只有1个公共点，②当圆P与BC相交时，先求得圆P 经过点B和点C时的t的取值，从而可确定出t的取值范围．【解答】解：（1）连接BD交AC于点E．∵ABCD为菱形，∠DAB=60°，∴∠EAB=30°，∠AEB=90°，AE=CE．∴AE=AB×=2×=．∴AC=2．（2）∵由题意可知AP=t，AQ=t，∴==．又∵=，∴．又∵∠PAQ=∠CAB，∴△APQ∽△ACB．∴∠APQ=∠ACB=∠DCB=30°．（3）如图2所示：当圆P与BC相切时．∵∠PAQ=∠APQ=30°，∴PQ=AQ．又∵PQ=PE，∴AQ=PE．∵BC为圆P的切线，∴∠PEC=90°．∵在△PEC中，∠PEC=90°，∠PCE=30°，∴PC=2PE=2AQ=2t．∵AP+PC=2，AP=t，∴+2t=2．∴t=4﹣6．∴当t=4﹣6时，圆P与BC只有一个交点．如图3所示：当圆P经过点B时，连接PB．∵PQ=PB，∠PQB=60°，∴PQ=PB=QB．∵AQ=PQ，∴AQ=QB=t．∵AQ+QB=AB，∴2t=2．解得；t=1．如图4所示，当圆P经过点C时．∵AQ=PQ，PQ=PC，∴AQ=PC=t．∵AP=t，∴t+t=2．解得：t=3﹣．∴当1＜t＜3﹣时，圆P与BC只有一个交点．综上所述，当t=4﹣6或1＜t＜3﹣时，圆P与BC只有一个交点．【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了菱形的性质、相似三角形的性质和判定、特殊锐角三角函数值、等边三角形的性质和判定，根据题意画出图形，求得圆P经过点B和点C时的t的取值是解题的关键．23．如图，直线y=x+b经过点B（﹣，2），且与x轴交于点A，将抛物线y=x2沿x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P．（1）求∠BAO的度数；（2）抛物线C与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F，当线段EF∥x轴时，求平移后的抛物线C对应的函数关系式；（3）在抛物线y=x2平移过程中，将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，点D能否落在抛物线C 上？如能，求出此时抛物线C顶点P的坐标；如不能，说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）因为点B（﹣，2）在直线y=x+b上，所以把B点坐标代入解析式即可求出未知数的值，进而求出其解析式．根据直线解析式可求出A点的坐标及直线与y轴交点的坐标，根据锐角三角函数的定义即可求出∠BAO的度数．（2）根据抛物线平移的性质可设出抛物线平移后的解析式，由抛物线上点的坐标特点求出E点坐标及对称轴直线，根据EF∥x轴可知E，F，两点关于对称轴直线对称，可求出F点的坐标，把此坐标代入（1）所求的直线解析式就可求出未知数的值，进而求出抛物线C的解析式．（3）根据特殊角求出D点的坐标表达式，将表达式代入解析式，看能否计算出P点坐标，若能，则D点在抛物线C上．反之，不在抛物线上．【解答】解：（1）设直线与y轴交于点N，将x=﹣，y=2代入y=x+b得b=3，∴y=x+3，当x=0时，y=3，当y=0时x=﹣3∴A（﹣3，0），N（0，3）；∴OA=3，ON=3，∴tan∠BAO==∴∠BAO=30°，（2）设抛物线C的解析式为y=（x﹣t）2，则P（t，0），E（0，t2），∵EF∥x轴且F在抛物线C上，根据抛物线的对称性可知F（2t，t2），把x=2t，y=t2代入y=x+3得t+3=t2解得t1=﹣，t2=3∴抛物线C的解析式为y=（x﹣3）2或y=（x+）2．（3）假设点D落在抛物线C上，不妨设此时抛物线顶点P（m，0），则抛物线C：y=（x﹣m）2，AP=3+m，连接DP，作DM⊥x轴，垂足为M．由已知，得△PAB≌△DAB，又∵∠BAO=30°，∴△PAD为等边三角形，PM=AM=（3+m），∴tan∠DAM==，∴DM=（9+m），OM=PM﹣OP=（3+m）﹣m=（3﹣m），∴M=[﹣（3﹣m），0]，∴D[﹣（3﹣m），（9+m）]，∵点D落在抛物线C上，∴（9+m）=[﹣（3﹣m）﹣m]2，即m2=27，m=±3；当m=﹣3时，此时点P（﹣3，0），点P与点A重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去．当m=3时P为（3，0）此时可以构成△DAB，所以点P为（3，0），∴当点D落在抛物线C上，顶点P为（3，0）．【点评】此题将抛物线与直线相结合，涉及到动点问题，翻折变换问题，有一定的难度．尤其（3）题是一道开放性问题，需要进行探索．要求同学们有一定的创新能力．。

中考数学二模试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.-2的倒数的相反数为（）A. 2B. -2C.D. -2.下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.南京地铁4号线将于年内开工，全长约33200m，将33200用科学记数法表示应为（）A. 3.32×104B. 33.2×103C. 332×102D. 0.332×1054.下列计算中，正确的是（）A. a0=1B. a-1=-aC. a3•a2=a5D. 2a2+3a3=5a55.下面由8个完全相同的小正方体组成的几何体从正面看是（）A.B.C.D.6.为了参加市中学生篮球运动会，一支校篮球队准备购买10双运动鞋，各种尺码的统计如下表所示，则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（）尺码/厘米2525.52626.527购买量/双2421125.5，2626，25.526，2625.5，25.57.已知关于x的一元二次方程2x2-kx+3=0有两个相等的实根，则k的值为（）A. B. C. 2或3 D.8.将抛物线y＝x2－4x－4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为( )A. y＝(x＋1)2－13B. y＝(x－5)2－3C. y＝(x－5)2－13D. y＝(x＋1)2－39.如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（）A.B.C. 2D.10.如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，于x轴交于点A，B（-1，0），则：①二次函数的最大值为a＋b＋c；②a-b＋c＜0；③b2-4ac＜0；④当y＞0时，-1＜x＜3．其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 411.在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x+b的图象与y轴交于点A（0，1），在x轴正半轴上取一点B使得OA=OB，连接AB，作BA1⊥x轴交一次函数y=x+b的图象于点A1，在x轴上再取一点B1，使得BB1=A1B，连接A1B1，依此类推得到如下图形，则点A2017，B2017的坐标分别为（）A. （22017-1，22017），（22018-1，0）B. （22017-1，22017），（22017-1，0）C. （22017-1，0），（22018-1，0）D. （22018-1，0），（22017-1，22017）12.正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=．下列结论：①AD垂直平分EE′，②tan∠ADE=-1，③C△ADE-C△ODE=2-1，④S四边形=，其中结论正确的个数是（）AEFBA. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.分解因式：a3-ab2=______．14.已知x1，x2是一元二次方程x2-2x-1=0的两实数根，则的值是______．15.如图，在△ABC中，∠B=90°，sin A=，BD⊥AC，垂足为D，按如下步骤作图：①以A点为圆心，以大于AB的长度m为半径作弧；②以B点为圆心，以同样大小为半径作弧，两弧交点分别为E，F；③连接EF，直线EF与AC交于点G，则AB与DG的比是______．16.如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y=的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为______．三、计算题（本大题共2小题，共11.0分）17.计算：（）-2-6sin30°-（）0++|-|18.先化简，再求值：（-）÷，其中x=3．四、解答题（本大题共4小题，共31.0分）19.在知识越来越重要的今天，很多父母都认识到知识对孩子的重要性教育投资也呈上升的势头线上线下教育机构大量涌现，某机构在深圳市育才二中选择一批初三的孩子对其在教育机构所报补习的科目进行调查并对调查结果进行分类报一科的学生分成一组，为A组；报两科的学生分成一组，为B组；报3科的学生分成一组，为C组；报3科以上的学生分成一组，为D组．下面两幅统计图反映了学生报辅导班的情况，请你根据图中的信息回答下列问题（1）这次调查的总人数为______；（2）调查当中B组的人数为______，并补全频数分布直方图；（3）求出C组所在的圆心角的度数．20.某学校去年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2400元，购买乙种足球共花费1600元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；（2）今年学校为编排“足球操”，决定再次购买甲、乙两种足球共50个．如果两种足球的单价没有改变，而此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过3500元，那么这所学校最少可购买多少个甲种足球？21.如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1、l2、l3都垂直，垂足分别点A、点B和点C，（高速路右侧边缘），l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM=3千米，l3上的点N位于点M的北偏东α方向上，且cosα=，MN=2千米．点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点．（1）求l2和l3之间的距离；（2）若城际火车平均时速为150千米/小吋，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时？（结果用分数表示）22.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AD交AB于E，△ADE的外接圆⊙O与边AC相交于点F，过F作AB的垂线交AD于P，交AB于M，交⊙O 于G，连接GE．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若tan∠G=，BE=4，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求AP的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵-2的倒数为1÷（-2）=-，-的相反数是，则-2的倒数的相反数为．故选：C．根据乘积为1的两数互为倒数，要求-2的倒数，就用1除以-2得到商为-2的倒数，然后再根据只有符号不同的两数互为相反数，由求出的-2的倒数求出对应的相反数即可．此题考查了倒数，以及相反数的求法，学生做题时注意求的顺序，先求出倒数，然后再求相反数，熟练掌握倒数及相反数的定义是解本题的关键．2.【答案】C【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义．3.【答案】A【解析】解：全长约33200m，将33200用科学记数法表示应为3.32×104，故选A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．本题主要考查科学记数法-表示较大数的知识点，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】C【解析】解：A、a0=1（a≠0），故此选项错误；B、a-1=（a≠0），故此选项错误；C、a3•a2=a5，正确；D、2a2+3a3，无法计算，故此选项错误；故选：C．直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则化简求出答案．此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和合并同类项以及同底数幂的乘法运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．5.【答案】D【解析】解：从正面看易得第一层有1个正方形在中间，第二层有3个正方形．故选：D．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．6.【答案】D【解析】解：25.5出现的次数最多，25.5是众数．第5和第6个数分别是25.5、25.5，所以中位数为25.5．故选：D．出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．本题考查了众数及中位数的知识，掌握各部分的概念是解题关键．7.【答案】A【解析】解：∵a=2，b=-k，c=3，∴△=b2-4ac=k2-4×2×3=k2-24，∵方程有两个相等的实数根，∴△=0，∴k2-24=0，解得k=±2，故选：A．把a=2，b=-k，c=3代入△=b2-4ac进行计算，然后根据方程有两个相等的实数根，可得△=0，再计算出关于k的方程即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．8.【答案】D【解析】【分析】先把一般式配成顶点式得到抛物线y=x2-4x-4的顶点坐标为（2，-8），再利用点平移的规律得到把点（2，-8）平移后所得对应点的坐标为（-1，-3），然后利用顶点式写出平移后的抛物线的函数表达式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．【解答】解：因为y=x2-4x-4=（x-2）2-8，所以抛物线y=x2-4x-4的顶点坐标为（2，-8），把点（2，-8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（-1，-3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y=（x+1）2-3．故选D．9.【答案】D【解析】解：∵∠E=∠ABD，∴tan∠AED=tan∠ABD==．故选：D．根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．本题利用了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念求解．10.【答案】B【解析】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；②当x=-1时，a-b+c=0，故②错误；③图象与x轴有2个交点，故b2-4ac＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（-1，0），∴A（3，0），故当y＞0时，-1＜x＜3，故④正确．故选：B．直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．11.【答案】A【解析】解：点A（0，1）则点B（1，0），将点A的坐标代入y=x+b并解得：b=1，则函数的表达式为：y=x+1，则A1（1，2）、B1（3，0），A（3，4）、B2（7，0），A3（7，8）…看B点的x坐标：1、3、7…可以表示为2n+1-1，即22018-1，同理从点A的坐标规律看：A2017，为（22017-1，22017）；故选：A．求出函数的表达式为：y=x+1，求出则A1（1，2）、B1（3，0），A（3，4）、B2（7，0），A3（7，8）…找规律即可求解．本题考查的是一次函数图象上点的特征，在确定一次函数表达式的基础上，逐次确定A、B点的坐标，用找规律的方法即可求解．12.【答案】C【解析】解：如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，AO=OB=OD=OC，∠DAC=∠CAB=∠DAE′=45°，根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE，∴DE=DE′，AE=AE′，∴AD垂直平分EE′，故①正确，∴EN=NE′，∵∠NAE=∠NEA=∠MAE=∠MEA=45°，AE=，∴AM=EM=EN=AN=1，∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，∴EN=EO=1，AO=DO=+1，∴tan∠ADE=tan∠ODE==-1，故②正确，∴AB=AD=AO=2+，∴C△ADE-C△ODE=AD+AE-DO-EO=，故③错误，∴S△AEB=S△AED=×1×（2+）=1+，S△BDE=S△ADB-2S△AEB=1+，∵DF=EF，∴S△EFB=，∴S四边形AEFB=S△AEB+S△BEF=，故④错误，故选：C．如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．易知△AEB≌△AED≌△ADE′，先求出正方形AMEN的边长，再求出AB，即可一一判断；本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的性质，角平分线的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用分割法求四边形面积，属于中考选择题中的压轴题．13.【答案】a（a+b）（a-b）【解析】解：a3-ab2=a（a2-b2）=a（a+b）（a-b）．故答案为：a（a+b）（a-b）．首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．14.【答案】6【解析】解：∵x1、x2是一元二次方程x2-2x-1=0的两实数根，∴x1+x2=2，x1x2=-1，=2x1+1，=2x2+1，∴=+====6．故答案为：6．根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x1+x2=2、x1x2=-1、=2x1+1、=2x2+1，将其代入=中即可得出结论．本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，将代数式变形为是解题的关键．15.【答案】2【解析】解：由题意得，EF为AB的垂直平分线，∵∠B=90°，∴G为AB的中点，连接BG，∴AG=BG=CG，∵BD⊥AC，∴∠A=∠DBC，∴sin A=sin∠DBC=，∴=，设DC=x，则BC=2x，AC=4x，∴CG=2x，AB===2x，DG=CG-CD=x，∴．故答案为：2．连接BG，由作图可知EF为AB的垂直平分线，则G为AB的中点，由条件可知∠A=∠DBC，设DC=x，则BC=2x，AC=4x，可求出AB=2x，CG=2x，则DG=x，可求出AB与DG 的比．本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．16.【答案】（-1，-6）【解析】解法一：如图所示，过A作AE⊥x轴于E，以AE为边在AE的左侧作正方形AEFG，交AB于P，根据点A（2，3）和点B（0，2），可得直线AB的解析式为y=x+2，由A（2，3），可得OF=1，当x=-1时，y=-+2=，即P（-1，），∴PF=，将△AGP绕点A逆时针旋转90°得△AEH，则△ADP≌△ADH，∴PD=HD，PG=EH=，设DE=x，则DH=DP=x+，FD=1+2-x=3-x，Rt△PDF中，PF2+DF2=PD2，即（）2+（3-x）2=（x+）2，解得x=1，∴OD=2-1=1，即D（1，0），根据点A（2，3）和点D（1，0），可得直线AD的解析式为y=3x-3，解方程组，可得或，∴C（-1，-6），故答案为：（-1，-6）．解法二：如图，过A作AD⊥y轴于D，将AB绕着点B顺时针旋转90°，得到A'B，过A'作A'H⊥y轴于H，由AB=BA'，∠ADB=∠BHA'=90°，∠BAD=∠A'BH，可得△ABD≌△BA'H，∴BH=AD=2，又∵OB=2，∴点H与点O重合，点A'在x轴上，∴A'（1，0），又∵等腰Rt△ABA'中，∠BAA'=45°，而∠BAC=45°，∴点A'在AC上，由A（2，3），A'（1，0），可得直线AC的解析式为y=3x-3，解方程组，可得或，∴C（-1，-6），故答案为：（-1，-6）．解法三：如图，过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF于E，则△ABF为等腰直角三角形，易得△AEF≌△FDB，设BD=a，则EF=a，∵点A（2，3）和点B（0，2），∴DF=2-a=AE，OD=OB-BD=2-a，∵AE+OD=3，∴2-a+2-a=3，解得a=，∴F（，），设直线AF的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=3x-3，解方程组，可得或，∴C（-1，-6），故答案为：（-1，-6）．解法一：先过A作AE⊥x轴于E，以AE为边在AE的左侧作正方形AEFG，交AB于P，根据直线AB的解析式为y=x+2，可得PF=，将△AGP绕点A逆时针旋转90°得△AEH，构造△ADP≌△ADH，再设DE=x，则DH=DP=x+，FD=1+2-x=3-x，在Rt△PDF中，根据PF2+DF2=PD2，可得方程（）2+（3-x）2=（x+）2，进而得到D（1，0），即可得出直线AD的解析式为y=3x-3，最后解方程组即可得到D点坐标．解法二：过A作AD⊥y轴于D，将AB绕着点B顺时针旋转90°，得到A'B，过A'作A'H⊥y 轴于H，由AB=BA'，∠ADB=∠BHA'=90°，∠BAD=∠A'BH，可得△ABD≌△BA'H，由A（2，3），A'（1，0），可得直线AC的解析式为y=3x-3，解方程组即可得到D点坐标．解法三：过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF于E，则△ABF为等腰直角三角形，易得△AEF≌△FDB，依据全等三角形的性质，即可得出F（，），进而得出直线AF的解析式，解方程组即可得到D点坐标．本题主要考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，旋转的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征的运用，解决问题的关键是利用45°角，作辅助线构造等腰直角三角形或正方形，依据旋转的性质或勾股定理列方程进行求解．17.【答案】解：原式=4-6×-1+-+=4-3-1+=．【解析】此题考查负指数幂，特殊角的三角函数值，0指数幂，以及绝对值，二次根式的混合运算，按照运算顺序，正确判定符号计算即可．先算负指数幂，特殊角的三角函数值，0指数幂，以及绝对值，再算乘法，最后算加减，由此顺序计算即可．18.【答案】解：原式=[-]÷，=×，=×，=，当x=3时，原式==1．【解析】先根据分式的加减法则算括号里面的，同时把除法变成乘法，再进行约分，最后把x=3代入求出即可．本题综合考查了分式的加减法则、乘除法则，约分等知识点的应用，关键是考查学生的运算能力，培养学生的解决问题的能力，题目比较典型，是一道很好的题目．19.【答案】500 200【解析】解：（1）本次调查的总人数为：（100+150+50）÷（1-40%）=500，故答案为：500；（2）调查当中B组的人数为：500×40%=200，故答案为：200，补全的频数分布直方图如右图所示；（3）C组所在的圆心角的度数为：360°×=108°．（1）根据直方图和扇形统计图中的数据可以计算出本次调查的总人数；（2）根据（1）中的结果可以计算出调查当中B组的人数，并把直方图补充完整；（3）根据直方图中的数据可以计算出C组所在的圆心角的度数．本题考查频数分布直方图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20.【答案】解：（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20）元，由题意得：，解得：x=60．经检验，x=60是原方程的解．x+20=80答：购买一个甲种足球需60元，购买一个乙种足球需80元．（2）设这所学校可购买y个甲种足球，由题意得：60y+80（50-y）≤3500，解得：y≥25，答：这所学校此次最少可购买25个甲种足球．【解析】（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20）元，根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；（2）设这所学校可购买y个甲种足球，根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得这所学校最多可购买多少个甲种足球．本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一元一次不等式，注意分式方程要检验．21.【答案】解：（1）过点M作MD⊥NC于点D，∵，千米，∴，解得：DM=2（km），答：l2和l3之间的距离为2km；（2）∵点M位于点A的北偏东30°方向上，且千米，∴，解得：AB=3（km）可得：AC=3+2=5（km），∵，DM=2km，∴，∵城际火车平均时速为150千米/小时，∴求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要小时．【解析】（1）直接利用锐角三角函数关系得出DM的长即可得出答案；（2）利用tan30°===，得出AB的长，进而利用勾股定理得出DN的长，进而得出AN的长，即可得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AN的长是解题关键．22.【答案】（1）证明：连结OD，∵DE⊥AD，∴AE是⊙O的直径，即O在AE上，∵AD是角平分线，∴∠1=∠2，∵OA=OD，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴OD∥AC，∵∠C=90°，∴OD⊥BC．∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵OD∥AC，∴∠4=∠EAF，∵∠G=∠EAF，∴∠4=∠G，∴tan∠4=tan∠G=，设BD=4k，则OD=OE=3k，在Rt△OBD中，由勾股定理得（3k）2+（4k）2=（3k+4）2，解得，k1=2，k2=（舍），（注：也可由OB=5k=3k+4得k=2），∴3k=6，即⊙O的半径为6；（3）解：连结AG，则∠AGE=90°，∠EGM=∠5．∴tan∠5=tan∠EGM=，即，，∴，∴AM=AE==，∵OD∥AC，∴，，即，．∴AC=，CD=，∵∠1=∠2，∠ACD=∠AMP=90°，∴△ACD∽△AMP．∴，∴PM==．∴AP==．【解析】（1）连结OD，根据AD是角平分线，求出∠C=90°，得到OD⊥BC，求出BC 是⊙O的切线；（2）构造直角三角形，根据勾股定理求出k的值即可；（3）设FG与AE的交点为M，连结AG，利用三角函数和相似三角形结合勾股定理解题．本题考查了圆的综合题，涉及切线的判定、勾股定理、相似三角形、特殊角的三角函数值，正确的作出辅助线是解题的关键．。

广东省深圳市2020年17校联考中考数学二模试卷（解析版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．给出四个数0，，π，﹣1，其中最小的是（）A．0 B．C．π D．﹣1【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣1＜0＜＜π，故给出四个数0，，π，﹣1，其中最小的是﹣1．故选：D．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．据深圳特区报3月30日早间消息，华为公司获得2020中国质量领域最高奖．华为公司将2020年销售收入目标定为818亿美元，是国内互联网巨头BAT三家2020年收入的两倍以上．其中818亿美元可用科学记数法表示为（）美元．A．8.18×109B．8.18×1010C．8.18×1011D．0.818×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：818亿美元可用科学记数法表示为8.18×1010美元，故选B．【点评】此题考查科学记数法问题，将一个绝对值较大的数写成科学记数法a×10n的形式时，其中1≤|a|＜10，n为比整数位数少1的数．3．在奔驰、宝马、丰田、三菱等汽车标志图形中，为中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念，结合图形特征即可求解．【解答】解：A、C、D都不是中心对称图形，是中心对称图形的只有B．故选B．【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．4．马大哈做题很快，但经常不仔细思考，所以往往错误率很高，有一次做了四个题，但只做对了一个，他做对的是（）A．a8÷a4=a2B．a3a4=a12C．=±2 D．2x3x2=2x5【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则以及单项式乘以单项式运算法则求出答案．【解答】解：A、a8÷a4=a4，故此选项错误；B、a3a4=a7，故此选项错误；C、=2，故此选项错误；D、2x3x2=2x5，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算法则以及单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．5．下列各图中，描述∠1与∠2互为余角关系最准确的是（）A．B．C．D．【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、∠1=∠2，不是互为余角关系，故本选项错误；B、∠1=∠2，是对顶角，不是互为余角关系，故本选项错误；C、∠1与∠2互为余角关系，故本选项正确；D、∠1与∠2互为补角关系，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角的概念并准确识图是解题的关键．6．如图，正三棱柱的主视图为（）A．B．C．D．【分析】根据正三棱柱的主视图是矩形，主视图中间有竖着的实线，即可解答．【解答】解：正三棱柱的主视图是矩形，主视图中间有竖着的实线．故选：B．【点评】本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．7．2020赛季中超联赛中，广州恒大足球队在联赛30场比赛中除4月3日输给河南建业外，其它场次全部保持不败，取得了67个积分的骄人成绩，已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，设广州恒大一共胜了x场，则可列方程为（）A．3x+（29﹣x）=67 B．x+3（29﹣x）=67 C．3 x+（30﹣x）=67 D．x+3（30﹣x）=67 【分析】设该队共胜了x场，则平了（30﹣x）场，根据得出总分为67分列出方程解答即可．【解答】解：设该队共胜了x场，则平了（30﹣x）场，由题意得3x+（29﹣x）=67，故选A【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，理解题意，找出得分的计算方法是解决问题的关键．8．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积=ACBD，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．．2个D．．3个【分析】先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断．【解答】解：在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），故①正确；∴∠ADB=∠CDB，在△AOD与△COD中，，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，∴AC⊥DB，故②正确；四边形ABCD的面积==ACBD，故③正确；故选D．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS证明△ABD与△CBD全等和利用SAS证明△AOD与△COD全等．9．深圳空气质量优良指数排名近年来一直排在全国城市前十．下表是深圳市气象局于2020年3月22日在全市十一个监测点监测到空气质量指数（AQI）数据如表监测点荔园西乡华侨城南油盐田龙岗洪湖南澳葵涌梅沙观澜AQI 15 31 25 24 31 24 25 25 34 20 26 质量优优优优优优优优优优优上述（AQI）数据中，众数和中位数分别是（）A．25，25 B．31，25 C．25，24 D．31，24【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第6个数是中位数．【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列15，20，24，24，25，25，25，26，31，31，34，第6个数是25，所以中位数是25；在这组数据中出现次数最多的是25，即众数是25．故选A．【点评】本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．10．如图，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于F，再分别以B、F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧相交于点G，若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A．11 B．6 C．8 D．10【分析】连接EF，根据题意得出AE垂直平分BF，AF=AB=5，得出OB=OF=3，∠BAE=∠FAE，由勾股定理求出OA，再证出BE=AB=AF，得出四边形ABEF是平行四边形，由平行四边形的性质得出OA=OE=AE，即可得出结果．【解答】解：连接EF，如图所示：根据题意得：AE垂直平分BF，AF=AB=5，∴∠AOF=90°，OB=OF=3，∠BAE=∠FAE，∴OA==4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB=AF，∴四边形ABEF是平行四边形，∴OA=OE=AE，∴AE=2OA=8；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF是平行四边形是解决问题的关键．11．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=，且经过点（2，0），有下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③a﹣b+c=0；④若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1=y2．上述说法正确的是（）A．①②③④ B．③④ C．①③④ D．①②【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号即可判断①；根据对称轴求出b=﹣a，即可判断②；求得点（2，0）关于对称轴的对称点为（﹣1，0），把x=﹣1代入函数关系式，即可判断③；求出点（0，y1）关于直线x=的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小．【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，∴c＞0，∵对称轴是直线x=，∴﹣=，∴b=﹣a＞0，∴abc＜0．故①正确；∵由①中知b=﹣a，∴a+b=0，故②正确；由对称轴为x=，点（2，0）的对称点是（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0．故③正确；∵（0，y1）关于直线x=的对称点的坐标是（1，y1），∴y1=y2．故④正确；综上所述，正确的结论是①②③④．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下．12．如图，两个反比例函数y1=（其中k1＞0）和y2=在第一象限内的图象依次是C1和C2，点P在C1上．矩形PCOD交C2于A、B两点，OA的延长线交C1于点E，EF⊥x 轴于F点，且图中四边形BOAP的面积为6，则EF：AC为（）A．﹕1 B．2﹕C．2﹕1 D．29﹕14【分析】首先根据反比例函数y2=的解析式可得到S△ODB=S△OAC=×3=，再由阴影部=9，从而得到图象C1的函数关系式为y=，再算出△EOF的分面积为6可得到S矩形PDOC面积，可以得到△AOC与△EOF的面积比，然后证明△EOF∽△AOC，根据对应边之比等于面积比的平方可得到EF﹕AC的值．【解答】解：∵B、C反比例函数y2=的图象上，∴S△ODB=S△OAC=×3=，∵P在反比例函数y1=的图象上，∴S=k1=6++=9，矩形PDOC∴图象C1的函数关系式为y=，∵E点在图象C1上，∴S△EOF=×9=，∴==3，∵AC⊥x轴，EF⊥x轴，∴AC∥EF，∴△EOF∽△AOC，∴=，故选：A．【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及相似三角形的性质，关键是掌握在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|；在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）13．已知a≠0，a≠b，x=1是方程ax2+bx﹣10=0的一个解，则的值是5．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和代数式变形求则可．欲求的值，可先将此代数式进行分解因式化简．化简后为，再将x=1代入方程ax2+bx﹣10=0中求出a+b的值即可．【解答】解：==，将x=1代入方程ax2+bx﹣10=0中可得a+b﹣10=0，解得a+b=10则=5，故填5．【点评】本题综合考查了分式的化简与方程解的定义．解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，将已知量与未知量联系起来．14．周星驰拍摄的电影《美人鱼》取景地在深圳杨梅坑，据称是深圳最美的溪谷，为估计全罗湖区8000名九年级学生云过杨梅坑的人数，随机抽取400名九年级学生，发现其中有50名学生去过该景点，由此估计全区九年级学生中有1000个学生去过该景点．【分析】首先求出随机抽取的400名学生中去过该景点的学生所占的百分比，然后再乘以8000，即可得出答案．【解答】解：∵随机抽取400名九年级学生，其中有50名学生去过该景点，∴估计全区九年级学生去过该景点的人数为：×8000=1000（个）．故答案为：1000．【点评】本题考查了用样本估计总体的知识，解答本题的关键在于求出随机抽取的400名学生中去过该景点的学生所占的百分比，然后乘以全区九年级学生人数．15．将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“稻草人”中的“○”的个数，则第20个“稻草人”中有385个“○”．【分析】分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为1+4=5；第2个图形中小圆的个数为1+5+1=7；第3个图形中小圆的个数为1+6+4=11；第4个图形中小圆的个数为1+7+9=17；…由此得出第n个图形中小圆的个数为1+（n+3）+（n﹣1）2．据此可以求得答案．【解答】解：∵第1个图形中小圆的个数为1+4=5；第2个图形中小圆的个数为1+5+1=7；第3个图形中小圆的个数为1+6+4=11；第4个图形中小圆的个数为1+7+9=17；…∴第n个图形中小圆的个数为1+（n+3）+（n﹣1）2．∴第20个“稻草人”中的“○”的个数为1+23+192=385，故答案为：385．【点评】此题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．16．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为2﹣2．【分析】连结AE，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=4，再根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AED=90°，接着由∠AEB=90°得到点E在以AB为直径的⊙O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=2，从而得到CE的最小值为2﹣2．【解答】解：连结AE，如图1，∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=，∴AB=AC=4，∵AD为直径，∴∠AED=90°，∴∠AEB=90°，∴点E在以AB为直径的⊙O上，∵⊙O的半径为2，∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中，∵OA=2，AC=4，∴OC==2，∴CE=OC﹣OE=2﹣2，即线段CE长度的最小值为2﹣2．故答案为2﹣2．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的性质；会利用勾股定理计算线段的长．解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．三、解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题8分，第23题10分，共52分）17．计算：|﹣|+（2020﹣π）0﹣2sin45°+（）﹣2．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=+1﹣2×+4=5．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．解不等式组．并写出它的整数解．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，找出解集中的整数解即可．【解答】解：由①得：x≥2，由②得：x＜4，所以这个不等式组的解集为：2≤x＜4．不等式组的整数为：2、3．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．19．九年级（1）班的全体同学根据自己的兴趣爱好参加了六个学生社团（每个学生必须参加且只参加一个），为了了解学生参加社团的情况，学生会对该班参加各个社团的人数进行了统计，绘制成了如图不完整的扇形统计图，已知参加“读书社”的学生有10人，请解答下列问题：（1）该班的学生共有40名；该班参加“爱心社”的人数为12名，若该班参加“吉他社”与“街舞社”的人数相同，则“吉他社”对应扇形的圆心角的度数为36°；（2）一班学生甲、乙、丙是“爱心社”的优秀社员，现要从这三名学生中随机选两名学生参加“社区义工”活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好选中甲和乙的概率．【分析】（1）利用参加“读书社”的学生数和它所占比例可计算出调查的学生总数，再用学生总数乘以“爱心社”所占的百分比得到该班参加“爱心社”的人数，然后计算出该班参加“吉他社”的百分比，用此百分比乘以360度即可得到“吉他社”对应扇形的圆心角的度数；（3）画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出恰好选中甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）因为参加“读书社”的学生有10人，且在扇形统计图中，所占比例为25%，所以该班的学生共有10÷25%=40（人）；该班参加“爱心社”的人数=40×20%=8（名）；参加“吉他社”的学生在全班学生中所占比为（1﹣25%﹣15%﹣20%﹣20%）=10%，所以“吉他社”对应扇形的圆心角的度数为：360°×10%=36°；故答案为40，8，36°；（3）画树状图如下：共有8种等可能的结果数，其中恰好选中甲和乙的情况有2种，所以P（选中甲和乙）==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了扇形统计图．20．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．（1）求证：四边形ODEC是矩形；（2）当∠ADB=60°，AD=2时，求sin∠AED的值．【分析】（1）根据平行四边形的判定得出边形OCED是平行四边形，根据菱形的性质求出∠COD=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）解直角三角形求出AO、DO、求出AC、CE，根据勾股定理求出AE，解直角三角形求出即可．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴DE∥OC，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°，∴四边形OCED是矩形；（2）解：∵∠ADB=60°，AD=2，∴OD=，AO=3，∴CE=，AC=6，由勾股定理得：AE===，∴sin∠AED=sin∠CAE==．【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相平分且垂直．21．如图，河坝横断面背水坡AB的坡角是45°，背水坡AB长度为20米，现在为加固堤坝，将斜坡AB改成坡度为1：2的斜坡AD【备注：AC⊥CB】（1）求加固部分即△ABD的横截面的面积；（2）若该堤坝的长度为100米，某工程队承包了这一加固的土石方工程，为抢在在汛期到来之际提前完成这一工程，现在每天完成的土方比原计划增加25%，这样实际比原计划提前10天完成了，求原计划每天完成的土方．【提示土石方=横截面x堤坝长度】【分析】（1）在直角△ABC中，首先求得AC的长，根据坡度的定义求得CD的长，进而求的BD的长，然后利用三角形的面积公式求解；（2）设原计划每天完成的土方为x立方，则实际每天完成的土石方为（1+25%）x，然后根据每天完成的土方比原计划增加25%，这样实际比原计划提前10天完成即可列方程求解．【解答】解（1）由题意可知∠ABC=45°，AB=20，AC：CD=1：2，∵∠ABC=45° AB=20，∴AC=BC=20．∵AC：CD=1：2，∴CD=40，BD=20，∴△ABD的面积=200；②堤坝的土石方总量=100x200=20000．设原计划每天完成的土方为x立方，则实际每天完成的土石方为（1+25%）x，由题意可得：﹣=10，解得x=400．经检验x=400是原方程的解．答：原计划每天完成的土方为400立方米．【点评】本题考查了解直角三角形以及分式方程的应用，正确求得△ABD的面积是关键．22．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC 交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．【分析】（1）由Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O切BC于D，易证得AC∥OD，继而证得AD 平分∠CAB．（2）如图，连接ED，根据（1）中AC∥OD和菱形的判定与性质得到四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，则图中阴影部分的面积=扇形EOD的面积．【解答】（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC ⊥BC ，∴AC ∥OD ，∴∠CAD=∠ADO ，∵OA=OD ，∴∠OAD=∠ADO ，∴∠OAD=∠CAD ，即AD 平分∠CAB ；（2）设EO 与AD 交于点M ，连接ED ．∵∠BAC=60°，OA=OE ，∴△AEO 是等边三角形，∴AE=OA ，∠AOE=60°，∴AE=AO=OD ，又由（1）知，AC ∥OD 即AE ∥OD ，∴四边形AEDO 是菱形，则△AEM ≌△DMO ，∠EOD=60°，∴S △AEM =S △DMO ，∴S 阴影=S 扇形EOD ==．【点评】此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．23．如图，抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0）．（1）求b 、c 的值；（2）如图1直线y=kx+1（k＞0）与抛物线第一象限的部分交于D点，交y轴于F点，交线段BC于E点．求的最大值；（3）如图2，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．问在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A、B的坐标带入到抛物线解析式中，得出关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）作DN∥CF交CB于N，由DN∥CF可得出△DEN∽△FEC，根据相似三角形的性质得出，由（1）可得出抛物线的解析式，令抛物线解析式中x=0则可得出点C的坐标，由点B、C的坐标可得出直线BC的解析式，设出点D的坐标，则可得出点N的坐标，由直线DF的解析式可得出点F的坐标，从而得出DN、CF的长度，由DN的长度结合二次函数的性质即可得出结论；（3）假设存在符合题意的点Q．设PM与x轴交于点G，过点G作作直线BC的平行线．由抛物线的解析式可得出顶点P的坐标，由此得出对称轴的解析式，结合直线BC的解析式可得出点M的坐标，结合点G的坐标可知PM=GM，由此得出满足题意的点Q为“过点G与直线BC平行的直线和抛物线的交点”，由G点的坐标结合直线BC的解析式即可得出过点G与BC平行的直线的解析式，联立直线与抛物线解析式得出关于x、y的二元二次方程组，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）带入到抛物线解析式中得：，解得：．（2）作DN∥CF交CB于N，如图1所示．∵DN∥CF，∴△DEN∽△FEC，∴．∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3）．∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．令直线y=kx+1中x=0，则y=1，即点F的坐标为（0，1）．设点D的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点N的坐标为（m，﹣m+3），∴DN=﹣m2+3m，CF=3﹣1=2，∴=，∵DN=﹣m2+3m=﹣+的最大值为，∴的最大值为．（3）假设存在符合题意的点Q．设PM与x轴交于点G，过点G作作直线BC的平行线，如图2所示．∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴P点的坐标为（1，4），PM的解析式为x=1，∵直线BC的解析式为y=﹣x+3，∴M的坐标为（1，2），∵点G的坐标为（1，0），∴PM=GM=2，∴过点G与BC平行的直线为y=﹣x+1．联立直线与抛物线解析式得：，解得：或．∴点Q的坐标为（，﹣）或（，﹣）．故在直线BC下方的抛物线上存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等，点Q的坐标为（，﹣）或（，﹣）．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定及性质、二次函数的性质以及解二元二次方程组，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）由二次函数的性质解决最值问题；（3）由直线与抛物线相交得出二元二次方程组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，联立直线与抛物线的解析式得出关于x、y的二元二次方程组，通过解方程组来求出交点坐标是关键．。