解排列组合问题的利器之一：“隔板法”

利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面）隔板法就是在n 个元素间，插入()1b -个板，把n 个元素分成b 组的方法。

一、放球问题。

例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同的放法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。

由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有311C 种排法。

所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有311165C =种不同方法。

点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。

隔板的块数要比盒子数少1。

二、指标分配问题。

例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有多少种不同分法？解析：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把10相同的名额分配到6个不同的班级，适合隔板法。

分两步。

第一步：6个班每班先分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的4个名额分配给6个班。

取615-=块相同隔板，连同4个相同名额排成一排，共9个位置。

由隔板法知，在9个位置中任取5个位置排上隔板，有59C 种排法。

由分步计数原理知：10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，共有59126C =种不同分法。

点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。

三、求n 项展开式的项数。

例3、求()10125x x x +++L 展开式中共有多少项？解析：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、L 、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、L 、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x ()125i =L ，，，的每个盒子得到的小球数i k ()125i i k N =∈L ，，，，，记作i x 的i k 次方。

这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。

取514-=块相同隔板，连同10个相同的小球排成一排，共14个位置。

隔板法解决排列组合问题Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。

对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。

例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有311C=165种。

（2）法1：（分类）①装入一个盒子有144C=种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有2141166C C=种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32411C C=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有311165C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。

法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有315455C =种。

（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有124410C C +=种。

隔板法在排列组合中的应用技巧在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中而求装入方法数的问题，常用隔板法。

例1：求方程x+y+z=10的正整数解的个数。

［分析］将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z之值（如下图）。

则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为（个）。

实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。

下面举例说明。

技巧一：添加球数用隔板法。

例2：求方程x+y+z=10的非负整数解的个数。

［分析］注意到x、y、z可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了，怎么办呢？只要添加三个球，给x、y、z各一个球。

这样原问题就转化为求x+y+z=13的正整数解的个数了，故解的个数为21266C （个）。

［点评］本例通过添加球数，将问题转化为如例1中的典型隔板法问题。

技巧二：减少球数用隔板法：例3：将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。

解法1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，剩下14个球，有1种方法；再把剩下的球分成4组，每组至少1个，由例1知方法有（种）。

解法2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3，4个球，剩下10个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里，由例2知方法有（种）。

［点评］两种解法均通过减少球数将问题转化为例1、例2中的典型问题。

技巧三：先后插入用隔板法。

例4：为宣传党的十六大会议精神，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？［分析］记两个小品节目分别为A、B。

先排A节目。

关于隔板法的原理和应用一：原理隔板法是一种排列组合中的一种解题应用模型，是将“实际分配问题”或较复杂的数学“球盒问题”转化为“球板模型”的一种重要方式。

其中用球代表相同元素，用板所隔出的几个部分代表相应的分配集合，也就是“球”。

通过隔板的不同插入方式，得到不同的分配结果。

这里需注意的是，既然是插隔板，那么每个空只能插一个，即两个隔板间至少一个元素。

（而板的插入方式则可由简单的计数原理插空法计算得出）二：应用（为方便叙述，以下以球盒模型进行分析）●应用条件必须是相同元素分配到不同集合的相关问题，即’同球异盒’问题。

具体说，主要有两种。

一种是“每盒至少一个球”，另一种是“允许有盒子是空的”，前者较为常见相对简单，是隔板法最原始的原理体现。

下面分别介绍。

●模型应用➢每盒至少有一个元素➢允许有盒子空此时实际已经超出原始隔板法的研究范围，但仍可通过转化，化为隔板法能解决的问题。

●解题应用1.求正整数范围内的不定方程解得组数。

例：在正整数范围内方程X＋Y＋Z＝5有几组解。

解析：由于在正整数范围，则可联系到计数原理，转化为：将5个球分给X,Y,Z这三个“盒”。

即转化为了上述的例一的球盒模型问题。

✧拓展：若是a＋b＋c＋3d＋3e＋4f＝23该怎么解（提示：合并同系项，分类讨论后结合隔板法解）2.求有关盒序号问题。

例：将18个相同的球全部装入编号分别为1,2，3的三个盒子中，要求每个盒子的球数不少于其编号数，则有几种不同装法？解析：由于球是相同的，可将1,2,3中先分别放入0,1,2个球，转化为，每个盒至少一个球的隔板法模型来解，即有14空插2板，91种。

（也可先放1,2,3个球，用“允许盒空”模型解）。

“隔板法”解决排列组合问题排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。

对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。

所谓隔板法，就是把隔板当成元素，再从元素里选隔板就行例1、（1）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问不同放法有多少种？（2）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（3）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？解：（1）本题需要3个隔板，把3个隔板当成3个元素，共15个元素，再从15个元素里选取3个隔板，共有C 153 =455 种（2）首先一个盒子放一小球，还剩8个小球，把8个小球放4个盒子需3个隔板，把3个隔板当成3个元素共11个元素，最后从11个元素里选3个隔板就行了，共有C113 =165 种。

（3）先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2 个小球，2个小球装在4个盒子里需3个隔板，3个隔板看成3个元素，共5个元素，最后从5个元素里选出3个隔板就行了，共有C53=10种913111例 2、（ 1）方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的正整数解有多少组？(2) 方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的非负整数解有多少组？（ 3）方程2x 1 x 2 x 3x 10 3 的非负整数整数解有多少组？解：（ 1）转化为 10 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C 384 种，所以该方程有 84 组正整数解。

（ 2）转化为 10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子， 可以有空盒， 先给每个小盒装一个，进而转化为 14 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C3286 种， 所以该方程有 286 组非负整数整数解。

一、知识要点预备：二、知识要点：排列组合的基本方法——隔板法排列组合中分配问题，是排列组合中的难点问题，其中涉及到名额分配或相同物品的分配问题，适宜采用隔板法，下面我们就来一起研究一下这种方法。

例1 10个优秀指标名额分配给6个班级，每个班至少一个，共有多少种不同的分配方法？解析：本小题涉及到了名额分配的问题，宜采用隔板法。

用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，即有59C 种方法。

按照第一个隔板前的指标数为1班的指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指标……依此类推，共有59126C =种分法。

例2 10个优秀指标名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？解析：先拿3个指标分配给二班一个，三班两个，然后，问题就转化为7个优秀名额分配个三个班级，每班至少一个。

由例1可知，共有2615C =种不同的分配方法。

例3 研究不定方程123410x x x x +++=的正整数解有多少个？ 解析：该问题可以这样处理：将方程左边的1234x x x x 、、、看成是4个班级得到的名额数，右边的10看成是10个名额。

这样就相当于10个优秀名额分配到4个班级，每个班级至少有一个名额，共有多少种不同的分配方法。

这样，本题就转化为里例1的形式，所以本题的答案即为3984C =。

例4 研究不定方程123410x x x x +++=的非负整数解有多少个？ 解析：本题与上一题的不同点就在于本题求的是非负整数解的个数，即1234x x x x 、、、有可能等于0，所以本题就不能再直接的看成是例1的名额分配的问题了。

但我们可以通过转化将其转化为名额分配的问题。

方程123410x x x x +++=即为123411((1)14x x x x ++++++=（）（）+1)，通过这样的转化形式，11x +、21x +、3x +1、41x +就都是正整数了。

所以本题的最后答案是313286C =。

排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中一个非常重要的问题，也是在实际生活中经常遇到的问题。

该问题主要涉及到将一组物品分配到若干个组中，或者将一组人员分配到不同的团队中。

解决这类问题通常需要使用排列组合的知识和技巧。

下面我们将介绍一些有效的解法，希望可以帮助您更好地解决这类问题。

一、隔板法隔板法是经典的排列组合问题解法之一，它在解决分组分配问题中非常实用。

这种方法的核心思想是在待分配的物品之间插入隔板，将物品分成若干组。

具体步骤如下：1. 确定分组数目：首先需要确定待分配的物品要分成几组，这取决于具体问题的要求。

2. 插入隔板：接下来，在待分配的物品之间插入隔板，每个隔板代表一个组的结束。

设共有n个物品和m-1个组隔板，那么总共有n+m-1个位置可以插入隔板。

其中一个特殊的情况是可以将物品和组隔板看作一共有n+m个位置中选择n个位置插入物品，这进一步转化成排列组合问题。

3. 解决问题：确定好每个物品的位置，将其分配到不同的组中即可得到分组分配问题的解。

二、多重集的分组分配多重集是集合的一个扩展，它包含了元素的重复出现次数。

在分组分配问题中，有时候待分配的物品会包含相同的元素，这时候就需要使用多重集的知识和技巧来解决问题。

多重集的分组分配通常需要使用生成函数、递推关系式等工具来求解。

具体步骤如下：1. 确定多重集：首先需要将待分配的物品表示成一个多重集，其中包含了元素的类型和重复出现次数。

通常可以使用集合的形式来表示多重集，例如{a, a, b, c, c, c}表示了元素a出现2次，b出现1次，c出现3次。

2. 利用生成函数求解：多重集的分组分配问题通常可以转化成生成函数的形式来求解，其中生成函数是一个形式化的表达式，它包含了待分配的物品的信息。

利用生成函数的性质和技巧，可以快速得到分组分配问题的解。

3. 使用递推关系式求解：对于一些复杂的多重集分组分配问题，可以使用递推关系式来求解。

微专题“隔板法”模型的构建与应用隔板法隔板法是将〃个相同元素分成加组（每组的任务不同），求不同分法种数的一种解题方法。

利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题.（1）当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有才种，即给〃个元素中间的（〃-1 ）个空隙中插入（〃?—1）个隔板.（2）任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组方式有种，即将〃个相同元素与（/〃-1）个相同隔板进行排序，在（〃+〃?-1）个位置中选（/〃-1）个安排隔板.典例解析题型一：每盒非空例1.将10个相同的小球分别装入3个不同的盒子中且每盒非空（即每盒至少放入1个小球），有种不同的装法.解析：将10个小球排成一排，在其两两之间的9个空位中任意取两个划上竖线，这样就将10个小球分成了 3组.图1―1所示的是其中一种装法.o 0|0oooo|oO O图1—1将每组小球按顺序装入3个盒子中，则划竖线的方法数等于题中所求的装法数，装法共有C；=36 （种）.例2.求方程巧+ 工2 +…+与=7的正整数解的个数.解析：用7个相同的小球代表数7,用5个标有修、£、…、%的5个不同的盒子表示未知数演、招、…、与，要得到方程玉+支,+…+Z=7的正整数解的个数.可分以下两步完成：第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法：第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有C：种放法，由分步计数原理知，共有C：种不同放法.我们把标有七（尸1,2,…，5）的每个盒子得到的小球数勺（i=l, 2,…，5; k«N记作：七二%.这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程/+与+…+/=7的每一组解（储，的，…，勺）.C ： = C ；弋=15 （个）2x1所以，方程M + /+…+%=7的正整数解共有15个.点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程玉+占+…+/=7的非负（或正） 整数解的个数的理论依据.题型二：每盒至少有〃个例3.将20本练习本分给4名学生，要求每名学生至少得3本，有 种不同的 分法.解析：首先分给每人2本练习本，然后将剩下的12本练习本按例1中划竖线的方法分给 4名学生，这样每人就至少得3本练习本，所以不同的分法共有G ： =165（种）.题型三：每盒分别有〃 i ，〃2,…,巧”个例4.将20个相同的小球全部放入编号为3, 4, 5的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不 少于它的编号数，则不同的放法有 种.解析：首先在三个盒子中依次放入2, 3, 4个球，再将剩余的11个球按例1中划线的方法分 到三个盒子中，这样就能满足“每个盒内的球数不少于它的编号数”的要求.于是不同的放 法共有Gj =45（种）题型四：每盒可空例5.把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置.由隔板法知，在 11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C 、种排法.所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法. 点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法.隔板的块数要比盒 子数少L例6.求应+匕+…+幺）’°展开式中共有多少项？解：用10个相同的小球代表辕指数10,用5个标有片、%的5个不同的盒子表示数为、占、乙，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有为（1=12 (5)每个盒子得到的小球数尤（；1, 2,…，5; k"）,记作‘的左次方.这样，将10个 相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项.由隔板法知, 这样的放法共有种，故但+Z+…的展开式中共有项。

2016云南公务员考试行测排列组合速解技巧之隔板法
在云南公务员考试行测数量关系题目中，经常能看到排列组合问题的身影，大部分的考生可能会对排列组合题目望而却步，其实解出排列组合问题并不难，掌握一定的技巧，很多题目可以快速选出答案。

这里给大家介绍一种同素分堆问题的巧解方法-隔板法。

中公教育专家先带着大家来了解一下什么是同素分堆。

例题1. 一串糖葫芦共6颗，每颗大小形状都完全相同，分给三个小朋友吃，每个小朋友至少分得一颗，问共有多少种分法?
在这个题目中，6颗糖葫芦的大小和形状是完全相同的，这就是所谓的“同素”，分给三个小朋友，这三个小朋友是不同的，这就是“分堆”，合起来就是“同素分堆”。