专题十一：隔板法在解排列组合问题中的应用(同元分组问题)

拓展隔板法在高中数学解题中的应用拓展隔板法是一种在高中数学解题中常用的方法，它可以帮助我们快速解决一些复杂的问题，尤其是排列组合、概率等题型。

让我们来了解一下什么是拓展隔板法。

拓展隔板法是一种将问题中的对象用隔板分隔成若干个部分，从而简化问题的方法。

它的基本思想是将对象看作是隔板之间的空间，通过确定隔板的位置来确定问题的解。

下面以一道排列组合题为例来说明拓展隔板法的应用。

假设有6个苹果要分给3个人，每人至少得到一个苹果，问有多少种分法？我们可以将6个苹果看作是5个间隔的隔板，这样我们可以将它们分为6个空间，每个空间表示一个人分到的苹果数。

问题转化为在5个间隔上放3个隔板的问题。

假设5个间隔的位置为o o o o o，我们可以在其中三个位置上放置隔板，来表示三个人分到的苹果数。

我们可以在第一个和第二个间隔之间放一个隔板，表示第一个人分到了2个苹果；第三个和第四个间隔之间放一个隔板，表示第二个人分到了2个苹果；第四个和第五个间隔之间放一个隔板，表示第三个人分到了2个苹果。

这样就得到了一种分法。

事实上，我们只需确定了三个隔板的位置，问题就得到了解答。

而隔板的位置共有C(5,3)种，即从5个间隔中选出3个间隔来放置隔板的方法数。

答案就是C(5,3) = 10种。

从这个例子可以看出，拓展隔板法能够将复杂的问题转化为简单的组合问题，从而解决问题。

这种方法有一定的普适性，可以在排列组合、概率等题目中得到应用。

除了排列组合和概率题目外，拓展隔板法还可以用于解决其他一些与隔板分隔有关的问题，如划分问题、集合划分问题等。

在解题过程中，我们需要将问题转化为隔板的放置问题，并通过组合数学的知识求解。

对于有些问题，我们还可以通过引入辅助隔板来处理特殊情况，进一步简化问题。

拓展隔板法是一种在高中数学解题中常用的方法。

它可以将复杂的问题转化为简单的组合问题，并通过组合数学的知识求解。

熟练掌握拓展隔板法的应用，可以帮助我们在解题过程中节省时间，提高解题效率。

利用隔板法巧解排列、组合题1.放球问题例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？2.指标分配问题例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法？变式：10个优秀指标分配到1、2、 3三个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？3.求n 项展开式的项数。

例3、求10521)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中共有多少项？4.求n 元一次方程组的非负整数解。

例4、求方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数。

变式:求1x +2x +…+5x =7的非负整数解的个数例5、方程2x 1+x 2+x 3+…+x 10=3有多少个非负整数解.例6、在1与610之间有多少个整数的各位数字之和等于9？例7、从1，2，…，14中，按照由小到大的顺序取出三个数321,,a a a ，且312≥-a a ，312≥-a a ，符合条件的不同取法有多少种？例8、在扔硬币时，如果用Z 表示正面朝上，F 表示反面朝上，那么扔硬币的序列就表示为用Z 和F 组成的串，我们可以统计在这种序列中正面紧跟着反面（ZF ）的出现次数，正面紧跟着正面（ZZ ）的出现次数……，例如序列ZZFFZZZZFZZFFFF是15次扔币的结果，其中有5个ZZ ，3个ZF ，2个FZ ，4个FF.问：有多少个15次扔硬币的序列，恰好有2个ZZ ，3个ZF ，4个FZ ，5个FF ？课后作业1、从5双不同号码的鞋子中任取4只，求这4只鞋子至少有2只可配成一双的可能有多少种？2、今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）。

3、一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？4、某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种．5、直角坐标系xOy平面上，平行直线x=n(n=0,1,2,…5)与平行直线y=n(n=0,1,2,…5)组成的图形中，矩形有（）。

隔板法解决排列组合问题Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。

对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。

例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有311C=165种。

（2）法1：（分类）①装入一个盒子有144C=种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有2141166C C=种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32411C C=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有311165C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。

法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有315455C =种。

（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有124410C C +=种。

解题思想方法《中学生数理化》(高中版)/2004·12 在上述同学们提出的疑问中,分子C 818表示将18个人分成两组,其中一组8人,另一组10人,属于“分成甲、乙两组”的类型,具有指向性;而C 1020表示将20个人平均分成两组,不具有指向性.(责任编辑　朱　宁)隔板法在排列组合中的应用技巧■湖北 张红兵在排列组合中,对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中而求装入方法数的问题,常用隔板法.例1　求方程x +y +z =10的正整数解的个数.将10个球排成一排,球与球之间形成9个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插一块隔板),规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值(如下图).则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系,故解的个数为C 29=36(个).实际运用隔板法解题时,在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧.下面举例说明.技巧一:添加球数用隔板法.例2　求方程x +y +z =10的非负整数解的个数.注意到x 、y 、z 可以为零,故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了,怎么办呢?只要添加三个球,给x 、y 、z 各一个球.这样原问题就转化为求x +y +z =13的正整数解的个数了,故解的个数为C 212=66(个).本例通过添加球数,将问题转化为如例1中的典型隔板法问题.技巧二:减少球数用隔板法.例3　将20个相同的小球放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于它的编号数,求放法总数.解法1:先在编号1,2,3,4的四个盒子内分别放0,1,2,3个球,剩下14个球,有1种方法;再把剩下的球分成4组,每组至少1个,由例1知方法有C 313=286(种).解法2:第一步先在编号1,2,3,4的四个盒子内分别放1,2,3,4个球,剩下10个球,有1种方法;第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1,2,3,4的盒子里,由例2知方法有C 313=286(种).31解题思想方法 《中学生数理化》(高中版)/2004·12两种解法均通过减少球数将问题转化为例1、例2中的典型问题.技巧三:先后插入用隔板法.例4　为宣传党的十六大会议精神,一文艺团体下基层宣传演出,准备的节目表中原有4个歌舞节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,拟再添两个小品节目,则不同的排列方法有多少种?记两个小品节目分别为A 、B.先排A 节目.根据A 节目前后的歌舞节目数目考虑方法数,相当于把4个球分成两堆,由例2知有C 15种方法.这一步完成后就有5个节目了.再考虑需加入的B 节目前后的节目数,同理知有C 16种方法.故由分步计数原理知,方法共有C 15·C 16=30(种). 对本题所需插入的两个隔板采取先后依次插入的方法,使问题得到巧妙解决.(责任编辑　朱　宁)文学艺术作品创作大奖赛征稿启事为繁荣文艺创作,培养新秀,贵州人民出版社《少年人生》杂志社在创刊15周年之际,特聘一批创作小记者,给予定点关注指导。

国考备考：排列组合问题之隔板法河北公务员考试的《行测职业能力测验》包括五大部分内容：言语理解与表达、数量关系、判断推理、常识判断和资料分析，主要考察考生是否具有从事公务员职业必须具备的基本素质和潜在能力。

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排列组合问题一直是困扰很多考生的一类题目，其实我们只要把握好排列组合的基本原理和方法，大部分的题目都能够顺利解出来。

今天我们就排列组合的一种方法—隔板法介绍给大家。

对于这种方法虽然没有前面我们讲过的捆绑法和插空法考查的那么频繁，但一旦出现这种题型的话如果没有这种方法的话，会让很多考生感觉没有头绪。

首先我们先来看一下适用隔板法的题目特征：如果题目表述为一组相同的元素分成数量不等的若干组，要求每组至少一个元素，则将隔板插入元素之间，计算出分类总数。

m个相同的物品分给n个人，m≥n时，每人至少分一个有C n-1m-1种分法【例1】将7 个大小相同的桔子分给4 个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有几种分配方法？（）A. 14B. 18C. 20D. 22【解析】m个相同的物品分给n个人，m≥n时，每人至少分一个有C n-1m-1种分法；因此本题中共计有C36 =20 种，因此，本题正确答案为C。

【例2】（2010-国考-46）单位订阅了30 份学习材料发放给3 个部门，每个部门至少发放9 份材料。

问一共有多少种不同的发放方法？（）A. 12B. 10C. 9D. 7【解析】这道题目的问题虽然不是每个部门至少一个，但是我们可以首先给每个部门分8 份，再将剩下6 份的分配给3个部门，这样就变成将6份材料分给3个部分每个部门至少发放一份的方法有几种了。

相当于在6 份材料的5 个间隔中插两块板，有C25＝10(种)情况。

因此，一共有10种方法。

因此，本题正确答案为B。

【例3】有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完为止，求有多少种不同吃法?( )A. 144B. 217C. 512D. 640【解析】这道题目的问题虽然是每天至少吃一粒，但是没有说明吃几天，因此需要分情况吃1天，2天，3天....10天。

“隔板法”解决排列组合问题排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。

对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。

所谓隔板法，就是把隔板当成元素，再从元素里选隔板就行例1、（1）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问不同放法有多少种？（2）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（3）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？解：（1）本题需要3个隔板，把3个隔板当成3个元素，共15个元素，再从15个元素里选取3个隔板，共有C 153 =455 种（2）首先一个盒子放一小球，还剩8个小球，把8个小球放4个盒子需3个隔板，把3个隔板当成3个元素共11个元素，最后从11个元素里选3个隔板就行了，共有C113 =165 种。

（3）先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2 个小球，2个小球装在4个盒子里需3个隔板，3个隔板看成3个元素，共5个元素，最后从5个元素里选出3个隔板就行了，共有C53=10种913111例 2、（ 1）方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的正整数解有多少组？(2) 方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的非负整数解有多少组？（ 3）方程2x 1 x 2 x 3x 10 3 的非负整数整数解有多少组？解：（ 1）转化为 10 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C 384 种，所以该方程有 84 组正整数解。

（ 2）转化为 10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子， 可以有空盒， 先给每个小盒装一个，进而转化为 14 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C3286 种， 所以该方程有 286 组非负整数整数解。

行测排列组合备考：隔板模型做了许多行测模拟题还是没有有效的提升自己的分数？那是你没有掌握一些技巧和重点，下面由小编为你精心准备了“行测排列组合备考：隔板模型”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！行测排列组合备考：隔板模型行测数量关系中比较难学的知识点里面，排列组合应该榜上有名。

其实同学们平时学的都是普通的题型，还有很多特殊的排列组合情况我们需要应用一些对应的技巧去解决，学会了这些，对于行测中大多数排列组合问题相信同学们还是可以解决的，今天讲的就是其中一个特殊题型—隔板模型。

一、本质相同元素的不同分堆二、公式【例】将10个相同乒乓球全部分给4个小朋友，每个小朋友至少分到一个，问有多少种分法?【解析】84。

将10个相同乒乓球分给4个小朋友简单看好比是分成4堆，每个小朋友拿一堆即可分完，因此我们可以看作用板子插入10个球空隙中，将其隔成4堆，隔成4堆只需要3个板子，因为要保证每一堆至少一个球，所以10个球中两边不能插入板子，因此10个球有9个空隙可以插入板子。

隔板模型问题适用前提相当严格，必须同时满足以下三个条件：1.所要分的元素必须相同2.所要分的元素必须分完，决不允许有剩余3.每个对象至少分到1个，决不允许出现分不到元素的对象虽然这样说，但是有些题目不一定满足三个条件，我们可以通过转换一些条件使其满足。

【例】春节期间，爸爸要将12份相同的礼品全部送给姑姑，爷爷以及大伯，姑姑可以不送礼，爷爷至少送三份礼，大伯至少送一份礼，问有多少种送礼方式?【解析】45。

分析题干发现是将12份相同的礼品分成3堆且都会分完，基本满足了隔板题型的前两个条件，但是姑姑可以不送，爷爷至少送三份礼，意味着有对象可以分不到，有对象不只至少分一个，没有满足第三个条件。

如果想要用隔板模型就要转换条件使其满足第三个条件，使每个人都至少分得一份礼。

对于姑姑，可以向姑姑借一份礼，有借有还，因此需要向姑姑还一份礼，加上送给姑姑的礼品，这样的话对于姑姑至少需要分一份礼，此时爸爸总共有13份礼品;对于爷爷，可以先给两份礼品，这样对于爷爷还需要至少分一份才能满足题干要求，此时爸爸总共有11份礼品且题干满足了第三个条件。

解题思想方法《中学生数理化》(高中版)/2004・12 在上述同学们提出的疑问中,分子C 818表示将18个人分成两组,其中一组8人,另一组10人,属于“分成甲、乙两组”的类型,具有指向性;而C 1020表示将20个人平均分成两组,不具有指向性.(责任编辑　朱　宁)隔板法在排列组合中的应用技巧■湖北 张红兵在排列组合中,对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中而求装入方法数的问题,常用隔板法.例1　求方程x +y +z =10的正整数解的个数.将10个球排成一排,球与球之间形成9个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插一块隔板),规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值(如下图).则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系,故解的个数为C 29=36(个).实际运用隔板法解题时,在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧.下面举例说明.技巧一:添加球数用隔板法.例2　求方程x +y +z =10的非负整数解的个数.注意到x 、y 、z 可以为零,故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了,怎么办呢?只要添加三个球,给x 、y 、z 各一个球.这样原问题就转化为求x +y +z =13的正整数解的个数了,故解的个数为C 212=66(个).本例通过添加球数,将问题转化为如例1中的典型隔板法问题.技巧二:减少球数用隔板法.例3　将20个相同的小球放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于它的编号数,求放法总数.解法1:先在编号1,2,3,4的四个盒子内分别放0,1,2,3个球,剩下14个球,有1种方法;再把剩下的球分成4组,每组至少1个,由例1知方法有C 313=286(种).解法2:第一步先在编号1,2,3,4的四个盒子内分别放1,2,3,4个球,剩下10个球,有1种方法;第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1,2,3,4的盒子里,由例2知方法有C 313=286(种).31解题思想方法 《中学生数理化》(高中版)/2004・12两种解法均通过减少球数将问题转化为例1、例2中的典型问题.技巧三:先后插入用隔板法.例4　为宣传党的十六大会议精神,一文艺团体下基层宣传演出,准备的节目表中原有4个歌舞节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,拟再添两个小品节目,则不同的排列方法有多少种?记两个小品节目分别为A 、B.先排A 节目.根据A 节目前后的歌舞节目数目考虑方法数,相当于把4个球分成两堆,由例2知有C 15种方法.这一步完成后就有5个节目了.再考虑需加入的B 节目前后的节目数,同理知有C 16种方法.故由分步计数原理知,方法共有C 15・C 16=30(种). 对本题所需插入的两个隔板采取先后依次插入的方法,使问题得到巧妙解决.(责任编辑　朱　宁)文学艺术作品创作大奖赛征稿启事为繁荣文艺创作,培养新秀,贵州人民出版社《少年人生》杂志社在创刊15周年之际,特聘一批创作小记者,给予定点关注指导。

排列组合公式隔板法在我们学习数学的旅程中，排列组合可是个相当有趣又有点“烧脑”的部分。

其中，隔板法更是一个神奇的解题小妙招。

还记得我之前教过的一个班级，有次在课堂上讲到隔板法的时候，发生了一件特别有意思的事儿。

当时我在黑板上写下了一道题：“要把10 个相同的苹果分给 3 个小朋友，每个小朋友至少分 1 个，有多少种分法？”我刚写完题目，就看到下面有个小男生皱起了眉头，嘴里还嘟囔着：“哎呀，这可怎么分呀？”我笑着对大家说：“别着急，咱们用隔板法来试试。

”于是，我拿出了 10 个小方块代表苹果，在它们之间的 9 个空隙中插入 2 块板子，就把这 10 个苹果分成了 3 份。

我一边演示，一边给大家解释：“这两块板子插的位置不同，分法就不同，所以咱们只需要算出在 9 个空隙中选 2 个位置插板子的组合数就行了。

”这时候，刚才那个皱眉头的小男生眼睛突然亮了起来，大声说：“老师，我懂啦！这就是 C(9, 2) = 36 种分法！”其他同学也纷纷点头，脸上露出了恍然大悟的表情。

咱们言归正传，说说隔板法的原理。

隔板法主要用来解决相同元素的分配问题。

比如说，把 m 个相同的元素分给 n 个不同的对象，每个对象至少分得 1 个元素，那咱们就在 m 个元素排成一排形成的 m - 1 个空隙中，插入 n - 1 块隔板，把它们分成 n 份。

再来看个例子，假如有 8 本相同的书要分给 4 个学生，每人至少一本。

那这时候，我们就在 8 本书形成的 7 个空隙中插入 3 块隔板，分法就是 C(7, 3) = 35 种。

但有时候，题目可能会稍微变个花样。

比如说，把 10 个相同的苹果分给3 个小朋友，允许有的小朋友一个都不分到。

这时候怎么办呢？咱们可以先给每个小朋友“借”一个苹果，这样就有 13 个苹果了，然后再按照每个小朋友至少分 1 个的方法来做，也就是在 12 个空隙中插入2 块隔板，分法就是 C(12, 2) = 66 种。