集合函数与导数

函数的定义与性质
包括函数的定义、函数的表示法（解析法、列表 法、图像法）、函数的性质（单调性、奇偶性、 周期性、有界性）等。
不等式的性质与解法
包括不等式的性质（传递性、可加性、可乘性、 正数可乘性等）、不等式的解法（一元一次不等 式、一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等 式等）。
易错难点剖析
集合运算中的错误
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
集合的基本概念与运算
包括集合的定义、表示法、元素与集合的关系、 集合间的关系（子集、真子集、相等）、集合的 运算（并集、交集、补集）等。
导数的定义与计算
包括导数的定义、导数的几何意义、导数的计算 （基本导数公式、导数的四则运算、复合函数求 导、隐函数求导、参数方程求导等）。
导数在经济学中 的应用
导数在经济学中有广泛 应用，如边际分析、弹 性分析等。通过导数可 以研究经济变量之间的 变化关系，为经济决策 提供数学支持。
不等式在优化问 题中的应用
不等式在优化问题中有 重要作用，如约束条件 中的不等式可以限制变 量的取值范围。同时， 不等式也可以用于刻画 目标函数的性质，如凸 函数和凹函数的定义就 与不等式密切相关。
反函数与复合函数
反函数
设函数$y=f(x)$的定义域为$D_f$，值域 为$R_f$。如果存在一个函数$g:R_f rightarrow D_f$，使得对于任意的$x in D_f, y in R_f$，都有$g(y)=x Leftrightarrow y=f(x)$，则称函数$g(y)$ 为函数$f(x)$的反函数，记作$g=f^{-1}$。
如忽视空集的情况，对并集和 交集的理解不清等。
函数性质理解不透彻
如对函数单调性的判断不准确 ，对函数奇偶性的判断方法掌 握不牢等。

高一数学周报必修一一、导言高一是学生进入高中阶段的重要时期，数学作为一门基础学科，对于学生的学习能力和思维能力起着至关重要的作用。

为了加强学生对数学知识的理解和掌握，提高数学思维能力和解决问题的能力，在这一学期，我们将通过每周发行的高一数学周报，系统地学习必修一的内容。

二、第一章：集合与函数1.1 集合集合是数学中一种重要的基础概念，它是由一些确定的元素所组成的整体。

集合的表示方法有描述法和列举法，其中描述法是通过性质或条件来描述集合元素的，而列举法是直接列举出集合中的元素。

此外，我们还介绍了集合的包含关系、交集、并集和差集等基本运算。

1.2 函数函数是数学中一种非常重要的关系，在现实生活中有广泛的应用。

函数由自变量和因变量组成，自变量的取值范围称为定义域，因变量的取值范围称为值域。

函数的表示方法有四种常见形式：解析式、图像、数据表和文字描述。

我们还简要介绍了函数的性质和基本运算，包括复合函数、反函数和一些常用函数的图像特征。

三、第二章：二次函数与一元二次方程2.1 二次函数二次函数是一种带有平方项的函数，它的图像通常呈现抛物线的形状。

我们介绍了二次函数的标准式和一般式，并探究了二次函数的图像特征，如对称轴、顶点、开口方向等。

此外，我们还学习了二次函数的平移、伸缩和翻折等变换方式。

2.2 一元二次方程一元二次方程是形如$ax^2+bx+c=0$的方程，其中$a\neq0$。

我们介绍了一元二次方程的解的判别式和求解方法，包括因式分解、配方法、求根公式等。

同时，我们也讨论了一元二次方程在实数和复数范围内的解的情况，并通过实际问题的应用，将抽象的方程与实际情境相结合。

四、第三章：函数的导数与导数应用3.1 导数的概念导数是函数的一种重要的变化率度量方式，它给出了函数在某一点的瞬时变化率。

我们通过极限的概念，引入了导数的定义，并解释了导数的几何意义和物理意义。

3.2 导数的计算与性质我们介绍了导数的基本计算方法，包括用导数的定义计算和使用常见函数求导数的法则。

高中数学集合与函数知识点总结_第一部分集合1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？；2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3．（1）含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n－2；（2）注意：讨论的时候不要遗忘了的情况。

4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

第二部分函数与导数1．映射：注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

2．函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；⑤换元法；⑥利用均值不等式；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨导数法3．复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a g(x) b解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x [a,b]时，求g(x)的值域。

（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据同性则增，异性则减来判断原函数在其定义域内的单调性。

4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；⑵是奇函数f(－x)=－f(x)；是偶函数f(－x)= f(x)⑶奇函数在原点有定义，则；⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；6．函数的单调性⑴单调性的定义：①在区间上是增函数当时有；②在区间上是减函数当时有；⑵单调性的判定定义法：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。

集合、函数与导数、定积分评价参考答案1． 解析：由f (x )≤0解得1≤x ≤2，故M ＝[1,2]；由f ′(x )<0，得2x －3<0，即x <32，故N ＝(－∞，32)，∁I N ＝[32，＋∞)．故M ∩∁I N ＝[32，2]．答案：A2．解析：由ac 2＞bc 2⇒a ＞b ，但由a ＞b 推不出ac 2＞bc 2. 答案：3．答案：B 4．答案：B 5．答案：D6．解析：两条切线互相垂直，斜率必异号且乘积为－1.①中f (x )＝e x，f ′(x )＝e x＞0，②中f (x )＝ln x ，f ′(x )＝1x＞0，故①②不符合题意，③中f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ∈R ，④中f (x )＝sin x ，f ′(x )＝cos x ∈[－1,1]，故满足题意的是③④.答案：B7．答案：D8．解析：f (－精选考题)＋f (2011)＝f (精选考题)＋f (2011)＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 2(1＋1)＝1.答案：C9．解析：由题意得f (x )在[0，＋∞)上是减函数．∵e<3<e 2，∴1<ln3<2.又0<log 43<1,0.4－1.2>0.4－1＝2.5>2，∴0<log 43<ln3<0.4－1.2.∴f (0.4－1.2)<f (ln3)<f (log 43)，又f (ln 13)＝f (－ln3)＝f (ln3)，∴c <a <b . 答案：B 10. 答案：C11．解析：若函数y ＝f (x )＝ax1＋x的图象关于直线y ＝x 对称，则f (x )＝f －1(x )，易求得f－1(x )＝xa －x，故a ＝－1. 答案：B12．答案：B 13.递增区间为：（-∞，13），（1，+∞）递减区间为（13，1） （注：递增区间不能写成：（-∞，13）∪（1，+∞））14．解析：由题意，可设f (x )＝a (x －1)(x －2)(a ＜0)，则f (x )＝ax 2－3ax ＋2a 有最大值－a4，由题意－a4＜1，即a ＞－4，又a ＜0，所以－4＜a ＜0. 答案：(－4,0) 15．解析：若x ∈[－1,1]，则有f (x )＝2∉[－1,1]，∴f (2)＝2；若x ∉[－1,1]，则f (x )＝x ∉[－1,1]，∴f [f (x )]＝x ，此时若f [f (x )]＝2，，则有x ＝2.故x ∈[－1,1]∪{2}． 答案：[－1,1]∪{2} 16. 1 ，45417．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧log 2a －b 1，log 2a 2－b 2log 212.所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2a 2－b 2＝12.解得a ＝4，b ＝2.(2)f (x )＝log 2(4x－2x) ＝log 2[(2x－12)2－14]，令u (x )＝(2x－12)2－14.由复合函数的单调性知u (x )在[1,2]上为增函数，所以u (x )max ＝(22－12)2－14＝12，所以f (x )的最大值为log 212＝2＋log 23. 18．解：(1)由f (0)＝2，得b ＝1，由f (x ＋1)＝2f (x )－1，得a x(a －2)＝0， 由a x＞0得a ＝2， 所以f (x )＝2x＋1.(2)由题意知，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )＝2x＋1.设点P (x ，y )是函数h (x )的图象上任意一点，它关于直线y ＝x 对称的点为P ′(y ，x )，依题意点P ′(y ，x )在函数g (x )的图象上，即x ＝2y＋1，所以y ＝log 2(x －1)，即h (x )＝log 2(x －1)(x ∈[54，5])．(3)由已知得，y ＝log 2(x －1)＋2x＋1，且两个函数的公共定义域是[54，2]，所以函数y＝g (x )＋h (x )＝log 2(x －1)＋2x＋1(x ∈[54，2])．由于函数g (x )＝2x＋1与h (x )＝log 2(x －1)在区间[54，2]上均为增函数，当x ＝54时，y ＝242－1，当x ＝2时，y ＝5，所以函数y ＝g (x )＋h (x )(x ∈[54，2])的值域为[242－1,5]．19. .设A 追上B 时,所用的时间为0t 依题意有B 5A S S =+即20(31)105t t t dx tdx +=+⎰⎰3200055t t t +=+22000(1)5(1)t t t +=+ 0t =5 (s)所以 A S =2055t +=130 (m)20．解：(1)W ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －130x 3－1.9x －10，0≤x ≤10，2003－1.9x －10，x >10，即W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－130x 3＋8.1x －10，0≤x ≤10－1.9x ＋1703，x >10(2)设f (x )＝－130x 3＋8.1x －10,0≤x ≤10，f ′(x )＝－110x 2＋8.1.由f ′(x )＝0，得x ＝9.∵f (9)＝38.6，f (0)＝－10，f (10)＝1133<38.6.∴当x ＝9时，f (x )取最大值38.6， 又x >10时，－1.9x ＋1703<1133<38.6，∴当x ＝9时，W 取最大值38.6.因此，年产量为9千件时，该公司所获年利润最大． 21．解：(1)当m ＝1时，f (x )＝2x x 2＋1，f (2)＝45. 又f ′(x )＝2x 2＋14x2x 2＋12＝2－2x 2x 2＋12，则f ′(2)＝－625.所以，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －45＝－625(x －2)，即6x ＋25y －32＝0.(2)f ′(x )＝2mx 2＋12x 2mx －m 2＋1x 2＋12＝－2x －m mx ＋1x 2＋12. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1m，x 2＝m . ∵m >0，∴－1m<m .当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1m)－1m(－1m，m )m(m ，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )减极小值增极大值减所以f (x )在区间(－∞，－1m )，(m ，＋∞)上为减函数，在区间(－1m，m )上为增函数．故函数f (x )在点x 1＝－1m 处取得极小值f (－1m )，且f (－1m)＝－m 2.函数f (x )在点x 2＝m 处取得极大值f (m )，且f (m )＝1. 22．解：(1)因为f ′(x )＝2x －8x，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6. 又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)， 即y ＝－6x ＋7. (2)因为f ′(x )＝2x ＋2x －2x.又x ＞0，所以当x ＞2时，f ′(x )＞0； 当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0.即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减， 欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.(3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x ＞0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 图象在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x－14＝2x －42x ＋1x，且x ＞0.所以当x ＞4时，h ′(x )＞0；当0＜x ＜4时，h ′(x )＜0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值， 从而当x ＞0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.。