专题14 一次函数的实际应用【知识点-思维导图】©知识点一：分配方案问题例1．（2021·山东济宁市兖州区教学研究室九年级一模）如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）关于销售量x（件）的函数图象．给出下列说法，其中说法不正确的是（）．A．售2件时，甲、乙两家的售价相同B．买1件时，买乙家的合算C．买3件时，买甲家的合算D．乙家的1件售价约为3元【答案】D【分析】根据一次函数图象中的数据逐一分析解题．【详解】解：A.甲、乙两个一次函数的图象交于点(2,4)，即售2件时，甲、乙两家的售价相同，正确，给A不符合题意；B.当买1件时，乙的图象在甲图象的下方，即此时乙家的售价较少，买乙家的合算，正确，故B不符合题意；C. 当买3件时，乙的图象在甲图象的上方，即此时乙家的售价较大，买甲家的合算，正确，故C不符合题意；D.由图象可知，乙家的1件售价在3元以下，故D错误，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查一次函数的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．练习1．（2020·湖北黄冈市·八年级期末）某公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种．当月通话时间为（）时，A，B两种套餐收费一样．A．100分钟B．200分钟C．300分钟D．400分钟【答案】C【分析】根据A套餐的收费为月租加上话费，B套餐的收费为话费列式，再根据两种收费相同列出方程，求解即可．【详解】A套餐的收费方式：y1＝0.1x＋15；B套餐的收费方式：y2＝0.15x；由0.1x＋15＝0.15x，得到x＝300，故选C．【点睛】本题考查了一次函数的应用，是典型的电话收费问题，求出两种收费相同的时间是确定选择不同的缴费方式的关键．练习2．（2021·江苏盐城市·九年级一模）某校为改善教师的办公环境，计划购进A，B两种办公椅共100把．经市场调查：购买A种办公椅2把，B种办公椅5把，共需600元；购买A种办公椅3把，B种办公椅1把，共需380元．（1）求A种，B种办公椅每把各多少元？（2）因实际需要，购买A种办公椅的数量不少于B种办公椅数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其它因素），实际付款总金额按市场价九折优惠．请设计一种购买办公椅的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．【答案】（1）A种办公椅每把100元，B种办公椅每把80元；（2）当B种办公椅为25把，则A种办公椅为75把时，所需费用最省，最省费用为8550元．【分析】（1）设A种办公椅每把x元，B种办公椅每把y元，由题意可得256003380x yx y+=⎧⎨+=⎩，进而求解即可；（2）设B种办公椅为a把，则A种办公椅为（100-a）把，实际付款为w元，由题意得1003a a -≥，则有25a ≤，进而可得()0.910010080189000w a a a =-+=-+⎡⎤⎣⎦，然后根据一次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）设A 种办公椅每把x 元，B 种办公椅每把y 元，由题意可得：256003380x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：10080x y =⎧⎨=⎩，答：A 种办公椅每把100元，B 种办公椅每把80元．（2）设B 种办公椅为a 把，则A 种办公椅为（100-a ）把，实际付款为w 元，由题意得：1003a a -≥，解得25a ≤，∴()0.910010080189000w a a a =-+=-+⎡⎤⎣⎦， ∴-18＜0，∴w 随a 的增大而减小，∴当a =25时，w 为最小，即182590008550w =-⨯+=；答：当B 种办公椅为25把，则A 种办公椅为75把时，所需费用最省，最省费用为8550元． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用及二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数的应用、一元一次不等式的应用及二元一次方程组的应用是解题的关键． 练习3．（2021·云南曲靖市·九年级一模）为了巩固拓展脱贫攻坚成果，开启乡村振兴发展之门，某村合作社组织20辆汽车装运A 、B 两种土特产到外地销售，规定每辆汽车只能装运一种特产，且必须装满；装运每种特产的汽车不少于4辆．设用x 辆汽车装运A 特产，此次外销获得的利润为y ，根据下表提供的信息，解答下列问题：（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）由于市场需要，将A 特产每吨售价提高00.02m m <≤（）万元，求该合作社应该怎样装运销售这批土特产，可获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）0.264y x =-+(416)x ≤≤；（2）获得最大利润的方案：4辆汽车装运A 特产，16辆汽车装运B 特产，将A 特产每吨提高0.02万元，可获得最大利润63.9万元 【分析】（1）用x 辆汽车装运A 特产，则（20-x ）辆汽车运送B 特产，根据利润y 等于运送两种特产的利润之和，可列出y 与x 之间的函数关系式；根据装运每种特产的汽车不少于4辆及汽车总数为20辆，可写出自变量的取值范围；（2）根据题意写出y 关于x 的函数关系式，根据一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）由题意可得：50.64(20)0.80.264y x x x =⨯+-⨯=-+， 自变量x 的取值范围是：416x ≤≤；（2）由条件可得：5(0.6)4(20)0.8(50.2)64y x m x m x =++-⨯=-+， ∴00.02m <≤，∴50.20m -<， ∴y 随x 的增大而减小，当40.02x m ==，时，0.16463.9y =-+=最大，答；获得最大利润的方案：4辆汽车装运A 特产，16辆汽车装运B 特产，将A 特产每吨提高0.02万元，可获得最大利润63.9万元． 【点睛】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．©知识点二：最大利润问题例1．（2020·四川达州育才外国语学校七年级期末）元旦期间，某商场搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在本商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按9折优惠”．在此活动中，李明到该商场为单位一次性购买单价为60元的办公用品x(x ＞2)件，则应付款y(元)与商品件数x(件)之间的关系式是( ) A ．y ＝54xB ．y ＝54x ＋10C ．y ＝54x －90D ．y ＝54x ＋45【答案】B 【分析】根据已知表示出买x 件办公用品的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可； 【详解】∴凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠， ∴李明到该商场为单位一次性买单价为60元的办公用品，x （x ＞2）件， 则李明应付贷款y （元）与办公用品件数x （件）的函数关系式是：()()601000.91005410＞2y x x x =-⨯+=+．故答案选B ． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，准确找到等量关系是解题的关键． 练习1．（2019·福建福州市·八年级期中）商场销售甲种服装每件的利润为40元，乙种服装每件的利润为30元．计划购进这两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件，不超过75件．在5月1日当天对甲种服装以每件优惠1(0)0a a ＜＜元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，则商场进货( )件甲种服装能获得最大利润． A ．65 B ．70C ．75D ．100【答案】C 【分析】利用总利润＝销售甲种服装的利润＋销售乙种服装的利润，建立函数关系式，利用一次函数的性质求利润的最大值即可． 【详解】解：设甲种服装购进x 件，总利润为w 元，根据题意得 6575x ≤≤，()()()4030100103000w a x x a x =-+-=-+，010a ＜＜，∴100a -＞，w 随x 的增大而增大，∴当75x =时，w 有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件． 故选：C ．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，掌握列一次函数关系式与利用一次函数的性质求最大值是解题关键．练习2．（2021·山东济南市·九年级二模）某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如表：（1）若学校恰好用完预计进货款1240元，则应购进黑白两种文化衫各多少件？（2）若学校规定黑色文化衫的进货量不超过白色文化衫进货量的3倍，应怎样进货才能使学校在销售完这两种文化衫时获得的利润最多？利润最多为多少元？【答案】（1）黑色文化衫60件，白色文化衫80件；（2）购进黑色文化衫105件，白色文化衫35件时获得利润最大，最大利润为1995元． 【分析】（1）根据表格中提供的信息及等量关系列二元一次方程组即可求解；（2）设获得的利润为W 元，购买黑色文化衫x 件，可得到W 关于x 的函数关系式，从而求出W 的最大值． 【详解】解：（1）设购买黑色文化衫x 件，白色文化衫y 件． 根据题意，得，1401081240x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得，6080x y =⎧⎨=⎩．答：应购进黑色文化衫60件，白色文化衫80件．（2）设获得利润W 元，购买黑色文化衫x 件，则购买白色文化衫（140-x ）件． ∴W =(25−10)x +(20−8)(140−x )=3x +1680．∴W 是关于x 的一次函数，且W 随x 的增大而增大．∴黑色文化衫的进货量不超过白色文化衫进货量的3倍， ∴x ≤3(140−x )． 解得x ≤105．∴当x =105时，W 取得最大值．此时，W =31051680⨯+=1995，140−x =35．答：当购进黑色文化衫105件，白色文化衫35件时获得利润最大，最大利润为1995元． 【点睛】本题考察了列二元一次方程组解应用题和利用一次函数求最值等知识点．列方程组解应用题的关键是从题目的叙述中找到关于已知量和未知量之间的等量关系；利用函数求最值的关键是判断函数在某个区间上的增减性．练习3．（2021·全国八年级期末）某水果店每天都会进一些草莓销售．在一周销售过程中他发现每天的销售量y （单位：千克）会随售价x （单位：元/千克）的变化而变化，部分数据记录如表：如果已知草莓每天销量y 与售价x （14＜x ＜30.625）满足一次函数关系． （1）请根据表格中数据求出这个一次函数关系式；（2）如果进价为14元/千克，请判断售价分别定为20元/千克和25元/千克时，哪个的销售利润更高？【答案】（1）y ＝﹣8x +245；（2）当售价为20元/千克时的销售利润更高 【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得这个一次函数的解析式；（2）根据题意和（1）中的函数解析式可以求得相应的利润，然后比较大小即可解答本题． 【详解】解：（1）设这个一次函数的解析式为y ＝kx +b ，则3052545k b k b +=⎧⎨+=⎩，得8245k b =-⎧⎨=⎩， 即这个一次函数的解析式为y ＝﹣8x +245；（2）当进价为14元/千克，售价为20元/千克时，利润为：（20﹣14）×（﹣8×20+245）＝510（元），当进价为14元/千克，售价为25元/千克时，利润为：（25﹣14）×（﹣8×25+245）＝495（元），∴510＞495，∴当售价为20元/千克时的销售利润更高．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．©知识点三：行程问题例1．（2021·全国九年级专题练习）一天，明明和强强相约到距他们村庄560米的博物馆游玩，他们同时从村庄出发去博物馆，明明到博物馆后因家中有事立即返回．如图是他们离村庄的距离y（米）与步行时间x（分钟）之间的函数图象，若他们出发后6分钟相遇，则相遇时强强的速度是（）米/分钟A．80B．90C．100D．不能确定【答案】A【分析】根据图象找出点A、B的坐标利用待定系数法求出线段AB的函数解析式，代入x＝6求出点F的坐标，由此即可得出答案．【详解】解：观察图象可得出：点A的坐标为（5，560），点B的坐标为（12，0），设线段AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），∴5560 120k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：80960kb=-⎧⎨=⎩，∴线段AB的解析式为y＝﹣80x+960（5≤x≤12）.当x＝6时，y＝480，∴点F的坐标为（6，480），∴所以相遇时强强的速度是480÷6＝80（米/分钟）.故选：A.【点睛】本题考查了一次函数的应用及待定系数法求函数解析式．观察图象找出点的坐标再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．练习1．（2021·湖北武汉市·九年级一模）小明步行从家出发去学校，步行了5分钟时，发现作业忘在家，马上以同样的速度回家取作业，然后骑共享单车赶往学校，小明离家距离S （米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图，则小明骑车比步行的速度每分钟快（）A．200B．80C．140D．120【答案】D【分析】根据小明步行了5分钟，走了400米，求得小明步行的速度，由小明以同样的速度回家取作业，可得小明回家花的时间，由此得出小明骑车花的时间，用骑车的路程÷时间求得小明骑车的速度，即可得出结论．【详解】解：由图像知：步行了5分钟，走了400米，∴小明步行的速度为：400÷5＝80米/分钟，∴又以同样的速度回家取作业，∴又花了5分钟，后面骑车用的时间为：16－5－5＝6分钟，∴小明骑车的速度为：1200÷6＝200米/分钟，∴小明骑车比步行的速度每分钟快200－80＝120米/分钟，故选：D【点睛】本题是一次函数的综合题，也考查了行程问题：路程＝速度×时间的运用，解题时理解函数图像是关键．练习2．（2021·天津九年级一模）下面图象所反映的过程是：张强家、早餐店、体育场依次在同一条直线上．张强从家出发匀速跑步去体育场，在那里锻炼了一段时间后，又匀速步行去早餐店吃早餐，然后匀速散步回到家，其中x表示张强离开家的时间，y表示张强离家的距离．请根据相关信息，解答下列问题：（1）填表：（2）填空：①张强从家出发到体育场的速度为________km/min；②张强在体育场运动的时间为_______min；③张强从体育场到早餐店的速度为_______km/min ；④当张强离家的距离为0.6千米时，他离开家的时间为________min ．（3）当0x 30时，请直接写出y 关于x 的函数解析式，【答案】（1）1.6，2，1.2；（2）①0.2；②10；③0.08；④3或55；（3）当010x 时，0.2y x =；当1020x <时，2y =；当2030x <时，0.08 3.6y x =-+．【分析】（1）由函数图象中的数据进行计算，即可求解；（2）由函数图象中的数据及图中体现的数量关系，进行分析计算即可求解；（3）根据题意及待定系数法即可求解．【详解】（1）由函数图象得：当0≤x ≤10时，设y ＝ax ，把（10，2）代入得2=a ×10，解得a =0.2，∴当0≤x ≤10时，0.2y x =，∴当x ＝5时，y ＝1；当x ＝8时，y ＝1.6；当x ＝20时，y ＝2；当x ＝40时，y ＝1.2； 故答案为：1.6，2，1.2；（2）由函数图象结合题意得：①张强从家出发到体育场的速度为210=0.2km/min ； ②张强在体育场运动的时间为20-10=10min ；③张强从体育场到早餐店的速度为2 1.20.083020-=-km/min ； ④当40＜x ≤70时，设y ＝mx ＋n ，将（40，1.2）、（70，0）代入得 1.240070m n m n =+⎧⎨=+⎩解得0.042.8m n =-⎧⎨=⎩， ∴当20＜x ≤30时，0.04 2.8y x =-+，当y =0.6时，0.60.04 2.8x =-+，解得x =550.2y x ==0.6，解得x =3∴当张强离家的距离为0.6千米时，他离开家的时间为3或55min ．故答案为：①0.2；②10；③0.08；④3或55；（3）由（1）得当010x 时，0.2y x =；当1020x <时，2y =；当20＜x ≤30时，设y ＝kx ＋b ，将（20，2）、（30，1.2）代入得2201.230k b k b=+⎧⎨=+⎩ 解得0.083.6k b =-⎧⎨=⎩， ∴当20＜x ≤30时，0.08 3.6y x =-+，综上，当010x 时，0.2y x =；当1020x <时，2y =；当2030x <时，0.08 3.6y x =-+． 【点睛】本题考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．练习3．（2021·山东济南市·八年级期末）甲、乙两车同时从A 地出发，沿同一路线赶往距离A 地800km 的B 地，在行驶过程中乙车速度始终保持80km/h ，甲车先以一定速度行驶了500km ，用时5h ，然后再以乙车的速度行驶，直至到B 地（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离A 地的路程y （km ）与所用时间x （h ）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）甲车改变速度前的速度是 km/h ，甲车行驶 h 到达B 地，乙车行驶 h 到达B 地；（2）求甲车改变速度后离A 地的路程y （km ）与所用时间x （h ）之间的函数解析式（不用写出自变量x 的取值范围）；（3）出发 h 时，甲、乙两车相距40km ．【答案】（1）100；354；10；（2）y ＝80x ＋100；（3）2或9.5 【分析】 （1）由点()5,500, 可得甲车的速度为：500=100/,5km h 再利用甲车改变速度后行驶了300,km 从而可得甲车的总的行驶时间，由路程为800,km 行驶速度为80/,km h 可得乙车的总的行驶时间，从而可得答案；（2）设甲车改变速度后所求函数解析式为：()0y kx b k =+≠，再将（5，500）和35,8004⎛⎫⎪⎝⎭代入函数解析式，利用待定系数法列方程组，解方程组可得答案；（3）分两种情况讨论：设改变速度以前mh 时两车相距40,km 可得1008040,m m -= 当甲车到达A 地后，设nh 两车相距40,km 可得80760,n = 解方程后可得答案．【详解】 解：（1）由点()5,500, 可得甲车的速度为：500=100/,5km h 甲车到B 地的行驶时间为：800500153555,8044h -+=+= 甲车到B 地的行驶时间为：800=10,80h 故答案为：35100,,10.4 （2）设甲车改变速度后所求函数解析式为：()0y kx b k =+≠，将（5，500）和35,8004⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得：5500358004k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②， ②-①得：15300,4k = 80,k ∴=把80k =代入①得：100,b =80100k b =⎧∴⎨=⎩， ∴甲车改变速度后离A 地的路程()y km 与所用时间()x h 之间的函数解析式：80100y x =+（3）设改变速度以前mh 时两车相距40,km1008040,m m ∴-=2,m ∴=当甲车到达A 地后，设nh 两车相距40,km80760,n ∴=9.5.n ∴=出发2h 或9.5h 时，甲、乙两车相距40km ．故答案为：2或9.5.【点睛】本题考查的是一次函数的应用，从函数图像中获取信息，一元一次方程的应用，二元一次方程组的解法，掌握函数图像上点的横纵坐标的含义是解题的关键．©知识点四：几何问题例1．（2021·内蒙古包头市·九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：152y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，直线2l 经过坐标原点，且21l l ⊥，垂足为C ，则点C 到y 轴的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】 先分别求得A ，B 两点坐标，然后利用勾股定理求得AB 的长，结合三角形面积求得OC 的长，再利用勾股定理求得BC ，最后再利用三角形面积求解【详解】 解：在152y x =-+中，当x =0时，y =5 当y =0时，15=02x -+，解得：x =10 ∴OA =10；OB =5∴在Rt ∴AOB 中，AB ==∴21l l ⊥∴1122AB OC OA OB ⋅=⋅，1151022⨯=⨯⨯，解得：OC =∴在Rt ∴BOC 中，BC =过点C 作CD ∴y 轴∴1122OB CD OC BC ⋅=⋅，11522CD ⨯=⨯2CD = 故选：B【点睛】本题考查一次函数的几何应用及勾股定理解直角三角形，二次根式的乘除运算，利用数形结合思想解题是关键．练习1．（2021·深圳市高级中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y ＝﹣x+5分别交y轴、x轴于点A、B，若点C是坐标轴上的点，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有（）A．9个B．8个C．7个D．4个【答案】C【分析】分为AB＝AC、BC＝BA，CB＝CA三种情况画图判断即可．【详解】解：∴一次函数y＝﹣x+5分别交y轴、x轴于点A、B，∴A（0，5），B（5，0），∴OA＝OB＝5，根据勾股定理=，如图，当AB＝AC时，以A点为圆心,AB为半径画圆,与坐标轴交点中符合条件的点有（0，5+、（﹣5，0）、（0，﹣）共3个；当BA＝BC时，以A点为圆心,AB为半径画圆,与坐标轴交点中符合条件的点有（5+）、（0，-5）、（﹣，0）共3个；当点C在AB的垂直平分线上时，符合条件的点有原点一个；故符合条件的点C共有7个．故选：C．【点睛】本题考查一次函数的性质，等腰三角形性质，线段垂直平分线，掌握一次函数的性质，等腰三角形性质，线段垂直平分线，分类考虑以AB 为底和腰的等腰三角形是解题关键． 练习2．（2021·全国八年级课时练习）如图一次函数y kx b =+的图象经过点(1,5)A -，与x 轴交于点B ，与正比例函数3y x =的图象交于点C ，点C 的横坐标为1．（1）求AB 的函数表达式．（2）若点D 在y 轴负半轴，且满足13COD BOC S S =△△，求点D 的坐标． （3）若3kx b x +<，请直接写出x 的取值范围．【答案】（1）4y x =-+；（2）()0,4D -；（3）1x >【分析】（1）由题意可先求出点C 的坐标，然后再把点A 与点C 的坐标代入一次函数解析式进行求解即可；（2）可先求出∴BOC 的面积，然后可得∴COD 的面积，进而根据面积计算公式可进行求解； （3）直接根据图象可进行求解．【详解】解：（1）∴一次函数y kx b =+与正比例函数3y x =的图象交于点C ，点C 的横坐标为1， ∴把x =1代入正比例函数得：3y =，∴点()1,3C ，∴把点()1,5A -、()1,3C代入一次函数得： 53k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得：14k b =-⎧⎨=⎩， ∴AB 的函数解析式为4y x =-+；（2）由（1）得：()1,3C ，AB 的函数解析式为4y x =-+，∴令y =0时，则有4x =，∴点()4,0B ，∴OB =4，令C x 表示点C 的横坐标，C y 表示点C 的纵坐标，则由图象可得：1143622BOC C S OB y =⋅=⨯⨯=， ∴13COD BOC S S =△△， ∴2COD S =， ∴122COD C S OD x =⋅=△， ∴4OD =，∴点D 在y 轴负半轴，∴()0,4D -；（3）由图象可得：当3kx b x +<时，则x 的取值范围为1x >．【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．练习3．（2021·广东梅州市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，过点()0,6C 的直线AC 与直线OA 相交于点()4,2A ，动点M 在线段OA 和射线AC 上运动，试解决下列问题：（1）求直线AC 的表达式；（2）求OAC 的面积；（3）是否存在点M ，使OMC 的面积是OAC 的面积的14？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6AC y x =-+；（2）12；（3）1(1,)2或(1,5)或(1,7)-．【分析】（1）利用待定系数法解题即可；（2）利用三角形面积公式解题（3）OMC 的面积是OAC 的面积的14时，分两种情况讨论：当M 的横坐标为1时，或当M 的横坐标为1-时，根据面积公式可解得点M 的横坐标，再代入一次函数解析式即可解题．【详解】解：（1）设直线AC 的表达式y (0)kx b k =+≠，代入点()0,6C ，点()4,2A得点642b k b =⎧⎨+=⎩ 16k b =-⎧∴⎨=⎩6AC y x ∴=-+；（2）11641222AOC A S OC x =⋅=⨯⨯= 12AOC S ∴=；（3）设直线OA 的解析式为y mx =，则42m =，解得12m =， 即直线OA 的解析式为12y x =， 当OMC 的面积是OAC 的面积的14时， 即当M 的横坐标为1414⨯=时， 在12y x =中，当1x =时，12y =，1(1,)2M ∴ 在6y x =-+中，当1x =时，5y =，则(1,5)M当M 的横坐标为1-时，在6y x =-+中，1x =-时，7y =，(1,7)M ∴-，综上所述，OMC 的面积是OAC 的面积的14时，M 的坐标是1(1,)2或(1,5)或(1,7)-． 【点睛】本题考查一次函数的综合题，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．©知识点五：其它问题例1．（2021·江苏九年级专题练习）如图，等边三角形ABC 中，AB ＝4，有一动点P 从点A 出发，以每秒一个单位长度的速度沿着折线A ﹣B ﹣C 运动至点C ，若点P 的运动时间记作t 秒，△APC 的面积记作S ，则S 与t 的函数关系应满足如下图象中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】当点P 在AB 上运动时，S =12AP h =12×x ，图象为一次函数，x =4时，S当点P 在BC 上运动时，同理可得：S=1(8)2x ⨯-⨯，同样为一次函数，即可求解． 【详解】解：等边三角形ABC 中，AB =4，则∴ABC 的高h当点P 在AB 上运动时，S =12AP h =12×x ，图象为一次函数，x =4时，S当点P 在BC 上运动时，同理可得：S=1(8)2x ⨯-⨯，同样为一次函数． 故选：A ．【点睛】 本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．练习1．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·八年级期末）某弹簧的长度y 与所挂物体的质量x （kg ）之间的关系为一次函数，其函数图象如图所示，则不挂物体时弹簧的长度为（ ）A ．8cmB ．9cmC ．10cmD ．11cm【答案】C【分析】 直接利用待定系数法求出一次函数解析式，进而得出x=0时，y 的值．【详解】解：设y与x的关系式为y=kx+b，∴图象经过（5，12.5）（20，20），∴12.552020k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得：1210 kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴1102y x=+，当x=0时，y=10，即弹簧不挂物体时的长度是10cm．故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，正确求出函数关系式是解题关键．练习2．（2021·西安市铁一中学九年级其他模拟）儿童用药的药量常常按照他们的体重来计算．已知某种药品，体重10kg的儿童，每次正常服用量为120mg，体重15kg的儿童每次正常服用量为170mg．设儿童体重为x（kg）．每次正常服用量为y（mg）．当0≤x≤50时，y 是x的一次函数．现实中，该药品每次实际服用量可以比每次正常服用量略高一些，但不能超过正常服用量的1.2倍，否则会对儿童的身体造成较大损害．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若该药品的一种包装规格为300mg/袋，求体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药？【答案】（1）y与x之间的函数关系式是y＝10x＋20（5≤x≤50）；（2）体重在23≤x≤28范围的儿童生病时可以一次服下一袋药．【分析】（1）体重10kg的儿童，每次正常服用量为120mg，体重15kg的儿童每次正常服用量为170mg．设儿童体重为x（kg）．每次正常服用量为y（mg），根据当0≤x≤50时，y是x的一次函数，利用待定系数法即可求解；（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以求得儿童的最大和最小体重，从而可以得到体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药．【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），∴体重10kg的儿童，每次正常服用量为120mg，体重15kg的儿童每次正常服用量为170mg．∴10120 15170k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得1020 kb=⎧⎨=⎩，即y与x之间的函数关系式是y＝10x＋20（5≤x≤50）；（2）当y＝300时，300＝10x＋20，得x＝28，当y＝3001.2＝250时，250＝10x＋20，得x＝23，故23≤x≤28，即体重在23≤x≤28范围的儿童生病时可以一次服下一袋药．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．练习3．（2020·河南平顶山市·）国庆期间某一位公司老板准备和员工去上海旅游，甲旅行社承诺：“老板一人免费，员工可享受八折优惠”；乙旅行社承诺：“包括老板在内所有人按全票的七五折优惠”，若全票价为2000元．（1）设参加旅游的员工人数为x，甲、乙旅行社收费分别为y甲（元）和y乙（元），分别写出两个旅行社收费的表达式；（2）当员工有10人时，哪家旅行社更优惠？（3）员工人数为多少时，两家旅行社花费一样？据此，请根据旅游员工人数的多少，为公司老板选择哪家旅行社提出合理化建议（只说出结果）．【答案】（1）y甲＝1600x，y乙＝1500x+1500；（2）当员工有10人时，甲家旅行社更优惠；（3）员工人数为15人时，两家旅行社花费一样，当员工人数多于15人时，选择乙旅行社，当员工人数少于15人时，选择甲旅行社，当员工人数为15人时，两家旅行社一样．【分析】（1）根据甲旅行社的收费标准，可得甲的函数解析式；根据乙的收费标准，可得乙的函数解析式；（2）根据自变量的值，可得相应的函数值，根据有理数的大小比较，可得答案；（3）根据收费相同，可得方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：（1）由题意可得，y甲＝2000x×0.8＝1600x，y乙＝2000（x+1）×0.75＝1500x+1500，即y甲＝1600x，y乙＝1500x+1500；（2）当x＝10时，y甲＝1600×10＝16000，y乙＝1500×10+1500＝16500，∴16000＜16500，∴当员工有10人时，甲家旅行社更优惠；（3）由题意可得，1600x＝1500x+1500，解得x＝15，即员工人数为15人时，两家旅行社花费一样，当员工人数多于15人时，选择乙旅行社，当员工人数少于15人时，选择甲旅行社，当员工人数为15人时，两家旅行社一样．【点睛】此题主要考查一次函数的应用，正确理解函数的自变量与因变量之间的关系是解题关键．。
一次函数应用题含答案一次函数应用题含答案一、方案优化问题我市某乡A、B两村盛产柑桔，A村有柑桔200吨，B村有柑桔300吨.现将这些柑桔运到C、D两个冷藏仓库，已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨；从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元.设从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨，A、B两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为yA元和yB元.（1）请填写下表，并求出yA，yB与x之间的函数关系式；（2）试讨论A、B两村中，哪个村花的运费较少；（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑桔运费不得超过4830元.在这种情况下，请问该怎样调运才能使两村运费之和最小？求出这个最小值.解：（1）yA=-5x+5000（0≤x≤200），yB=3x+4680（0≤x≤200）.（2）当yA=yB时，-5x+5000=3x+4680，x=40；当yA>yB时，-5x+5000>3x+4680，x<40；当yA<yb时，-5x+5000<3x+4680，x style="padding: 0px; margin: 0px; font-family: Arial, 宋体; font-size: 14px; white-space: normal; background-color: rgb(255, 255, 255);">40.当x=40时，yA=yB即两村运费相等；当0≤x<40时，ya>yB即B村运费较少；当40<x≤200时，ya<yb即a村费用较少.（3）由yB≤4830得3x+4680≤4830∴x≤50设两村的运费之和为y，∴y=yA+yB.即：y=-2x+9680.又∵0≤x≤50时，y随x增大而减小，∴当x=50时，y有最小值，y最小值=9580（元）.答：当由A村调往C仓库的柑桔重量为50吨、调往D仓库为150吨，由B村调往C仓库为190吨、调往D仓库110吨的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元.要点提示：解答方案比较问题，求函数式时，对有图象的，多用待定系数法求；对没有给出图象的，直接依题意列式子；方案比较问题通常与不等式、方程相联系；比较方案，即比较同一自变量所对应的函数值，要将函数问题转化为方程、不等式问题；解答方案比较问题尤其要注意：不同的区间，对应的大小关系也多不同.二、利润最大化问题某个体小服装店主准备在夏季来临前，购进甲、乙两种T恤.两种T恤的相关信息如下表：根据上述信息，该店决定用不少于6195元，但不超过6299元的资金购进这两种T恤共100件.请解答下列问题：（1）该店有哪几种进货方案？（2）该店按哪种方案进货所获利润最大，最大利润是多少？（3）两种T恤在夏季很快销售一空，该店决定再拿出385元全部用于购进这两种T恤，在进价和售价不变的情况下，全部售出.请直接写出该店按哪种方案进货才能使所获利润最大.解：（1）设购进甲种T恤x件，则购进乙种T恤（100-x）件.可得，6195≤35x+70（100-x）≤6299.解得，20■≤x≤23.∵x为解集内的正整数，∴x=21，22，23.∴有三种进货方案：方案一：购进甲种T恤21件，购进乙种T恤79件；方案二：购进甲种T恤22件，购进乙种T恤78件；方案三：购进甲种T恤23件，购进乙种T恤77件.（2）设所获得利润为W元.W=30x+40（100-x）=-10x+4000.∵k=-10<0，∴W随x的增大而减小.∴当x=21时，W=3790.该店购进甲种T恤21件，购进乙种T恤79件时获利最大，最大利润为3790元.（3）购进甲种T恤9件、乙种T恤1件.要点提示：在一次函数y=kx+b中，x、y均可取一切实数.如果缩小x的取值范围，则其函数值就会出现最大值或最小值.求一次函数的最大值、最小值，一般都是采用“极端值法”，即用自变量的端点值，根据函数的增减性，对应求出函数的端点值（最值）.三、行程问题从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路.小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间.假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进.已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km.设小明出发x h后，到达离甲地y km的地方，图1中的折线OABCDE表示x与y之间的函数关系.（1）小明骑车在平路上的速度为 km/h；他途中休息了 h；（2）求线段AB、BC所表示的y与x之间的函数关系式；（3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，那么该地点离甲地多远？解：（1）小明骑车在平路上的速度为：4.5÷0.3=15，∴小明骑车在上坡路的速度为：15-5=10，小明骑车在下坡路的速度为：15+5=20.∴小明返回的时间为：（6.5-4.5）÷20+0.3=0.4小时，∴小明骑车到达乙地的时间为：0.3+2÷10=0.5.∴小明途中休息的时间为：1-0.5-0.4=0.1小时.故答案为：15，0.1（2）小明骑车到达乙地的时间为0.5小时，∴B（0.5，6.5）.小明下坡行驶的时间为：2÷20=0.1，∴C（0.6，4.5）.设直线AB的解析式为y=k1x+b1，由题意得4.5=0.3k1+b16.5=0.5k1+b1，解得：k1=10b1=1.5，∴y=10x+1.5（0.3≤x≤0.5）；设直线BC的解析式为y=k2x+b2，由题意得6.5=0.5k2+b24.5=0.6k2+b2，解得：k2=-20b2=16.5，∴y=-20x+16.5（0.5<x≤0.6）（3）小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，由题意可以得出这个地点只能在坡路上.设小明第一次经过该地点的时间为t，则第二次经过该地点的时间为（t+0.15）h，由题意得10t+1.5=-20（t+0.15）+16.5，解得：t= 0.4，∴y=10×0.4+1.5=5.5，∴该地点离甲地5.5km.要点提示：行程类一次函数试题以图象、点坐标相组合的形式呈现，灵活性强，对学生分析问题、解决问题的能力要求较高，重在考查学生的识图能力和创新意识.解决图象中的行程问题除了要掌握好路程、速度和时间三者之间的基本关系外，最重要的'是要学会从图象中获取信息，理清各变量之间的关系，然后根据题意选择适当的解题方法.四、分段计费问题已知某市2013年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系.（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式；（2）若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量；（3）为实施省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2014年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定若企业的月用水量x超过80吨，则除按2013年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收■元.若某企业2014年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量.解：（1）设y关于x的函数关系式y=kx+b，∵直线y=kx+b经过点（50，200），（60，260）∴50k+b=20060k+b=260解得k=6b=-100∴y关于x的函数关系式是y=6x-100（x≥50）；（2）由可知，当y=620时，x>50∴6x-100=620，解得x=120.答：该企业2013年10月份的用水量为120吨.（3）由题意得6x-100+■（x-80）=600，化简得x2+40x-14000=0解得：x1=100，x2=-140（不合题意，舍去）.答：这家企业2014年3月份的用水量是100吨.要点提示：分段函数的特征是不同的自变量区间所对应的函数式不同，其函数图象是一个折线.解决分段计费问题，关键是要与所在的区间相对应.分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上，在求解析式时要用好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”所表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值.2015年第3期《锐角三角函数》参考答案1.D；2.A；3.B；4.■；5.9■；6.2■；7.120；8. 解：（1）■-3tan30°+（π-4）0-（■）-1=2■-3×■+1-2=■-1（2）■（2cos45°-sin60°）+■=■（2×■-■）+■=2-■+■=29. 解：过点A作直线BC的垂线，垂足为D.则∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=240米，在Rt△ACD中，tan∠CAD=■，∴AD=■=■=80■，在Rt△ABD中，tan∠BAD=■，∴BD=ADtan30°=80■×■=80，∴BC=CD-BD=240-80=160. 答：这栋大楼的高为160米. 10.解：在Rt△CDB中，∠C=90°，BC=■=■=4，∴tan∠CBD=■.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=■=4■，∴sinA=■.。
一次函数练习题难题一、选择题1. 下列函数中，是一次函数的是（）A. y = 2x^2 + 1B. y = 3x + 4C. y = √x + 2D. y = 5/x2. 一次函数y = 3x 2的图象经过（）A. 第一、二、三象限B. 第一、三象限C. 第一、二、四象限D. 第二、四象限3. 当k > 0时，一次函数y = kx + b的图象一定经过（）A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限二、填空题1. 一次函数的图象是一条______。
2. 一次函数y = 2x + 3的斜率为______，y轴截距为______。
3. 一次函数y = x + 5与y轴的交点坐标为______。
三、解答题1. 已知一次函数y = kx + b的图象经过点A(2, 3)和B(1, 4)，求该一次函数的解析式。
2. 一次函数y = 2x + 5与x轴、y轴分别相交于点A、B，求线段AB的长度。
3. 已知一次函数y = 3x 1与y = x + 4相交于点P，求点P的坐标。
4. 在同一坐标系中，一次函数y = 2x + 3与y = x + 5的图象相交于点Q，求点Q的坐标。
5. 已知一次函数y = kx + 1的图象经过点(2, 5)，且与y = x + 3平行，求k的值。
四、应用题1. 某商品的原价为1000元，商场进行打折促销，折后价格为800元。
设折后价格与原价的比例为k，求k的值。
2. 某公司生产一种产品，每件产品的成本为200元，售价为300元。
设公司每月生产x件产品，求公司每月的利润y（元）与生产数量x的函数关系式。
3. 甲、乙两地相距120公里，小明从甲地骑自行车前往乙地，速度为15公里/小时。
设小明骑行时间为t小时，求小明与甲地的距离s （公里）与时间t的函数关系式。
五、判断题1. 一次函数的图象是一条直线，所以它一定经过原点。
（）2. 两个一次函数的斜率相同，则它们的图象一定平行。
一次函数型应用题：1、我市某乡A 、B 两村盛产柑橘，A 村有柑橘200吨，B 村有柑橘300吨。
先将这些柑橘运到C 、D 两个冷藏仓库。
已知C 仓库可储存240吨，D 仓库可储存260吨。
从A 村运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 村运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元。
设从A 村运往C 仓库的柑橘重量为x 吨，A 、B 两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为y A 元和y B 元. （1（2（3）、考虑到B 村的经济承受能力，B 村的柑橘运费不得超过4830元，在这种情况下，怎样调运，才使两村运费之和最小?求出这个最小值。
A YB ＝15（240-x ）+18（x+60）＝3x+4680⑵：当Y A ＝Y B 时，－5x+5000＝3x+4680 ∴x=40当Y A ＞Y B 时，－5x+5000＞3x+4680 ∴x ＜40 当Y A ＜Y B 时，－5x+5000）＜3x+4680 ∴x ＞40 ∴当x=40时, 两村运费相同； 当0≤x ＜40时, B 村运费较少； 当40＜x ≤200时, A 村运费较少；⑶：由Y B ≤4830得：3x+4680≤4830 ∴x ≤50设两村运费之和为y ， 则y=Y A +Y B ＝（－5x+5000）＋（3x+4680）＝-2x+9680 ∵ k=-2＜0 ∴ y 随x 增大而减小；∴ 当x ＝50时，y 最小。
此时，y ＝-2×50＋9680＝9580 ∴ 调运方案为：A 村调往C 库50吨、D 库150吨；B 村调往c 库190吨，D 库110吨。
这时，两村运费之和最小，是9580元。
2、甲乙两个仓库要向A 、B 两地运水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调运80吨，而A 地需水泥70吨，B 地需水泥110吨，两库到A 、B 两地的路程和运费如下表： （（2） 当甲乙两库各运往A 、B 两地多少吨水泥时，总运费最省？最省是多少？ ）＋20×8（x+10）＝－30x ＋39200⑵：由题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥-≥-≥01001000700x x x x ∴0≤x ≤70∵y ＝－30x ＋39200又∵k=-2＜0 ∴y 随x 增大而减小；∴当x ＝70时，y 最小。
