高三数学复习课基本不等式求最值教学简案
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高三数学复习课“基本不等式求最值”教案简案
华南师范大学附属中学 吴忠伟
一、教案目标
复习巩固对基本不等式及其变形的理解，掌握使用基本不等式解决高考中常见的求最值问题的方法与技巧。
二、教案难点
. 如何通过代数式的变形想到或理解基本不等式的几何解释；
．使用基本不等式解决最值问题的技巧.
三、教案过程
. 直接引入课题内容，开门见山
（屏幕显示）
. 考纲
① 了解基本不等式的证明过程;
② 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题
02.
a b
a b a b +>≥=2.基本不等式:如果，，那么当且仅当时，等号成立
(
)(
)3
3.133()22112a b c
a b c abc a b c R a b c a b
a b
+++++⎛⎫
≥⇔≤ ⎪⎝⎭
∈==+≤≤≤+基本不等式的常见变形及推广
、、，当且仅当时，等号成立；
. 师生讨论不等式链的证明，数形结合加深对基本不等式的理解
（）代数证明2112a b a b
+≤≤+
（）几何解释：
如图，设2
a b AD a BD b CD AB DE OC OC +==⊥⊥=，，，，则，
2
11CD DE a b ==+，借助几何画板软件，移动点，可以分析三条线段的关系.
图 图 如图，ADF BDG ∆∆⊥⊥与是等腰直角三角形，FM AD 于M ，GN BD 于N ，则
连结FG ，
可证明FG 其中2a b MN +=，比较线段MN FG 与即可. ．展示同一问题使用基本不等式的三种解法，分析得出“一正二定三相等”
14x y x y x y
+问题：已知，都是正数，且+=1，求的最小值.
1410014.
8x y x y x y x y >>=+≥≥+≥≥+解法：因为，，所以 所以，即的最小值是8.
(
)11500444599.4x y x y x y x y x y y x
x y ⎛⎫>>+=++=++ ⎪⎝⎭≥+=+解法2：因为，，所以，即的最小值是
()()
414144414,111
444415111
59x x y x y x x x x x y x x x x x -++====+---+==++=-++≥---+=解法3：由，得所以，其中，等号成立的充要条件
11361
x x y x -===-是，即，此时. . 基本不等式求最值的常见类型
()11y x x =+型分式问题： 41,6.1
x y x x >-=+++已知求的最值 解：
41 5 , 1101
59y x x x x y =++
+>-+>+∴≥=由有
4 ( 11,"")1
x x x +===+当且仅当即时取 4691
y x x ∴=+++有最小值 备注：让学生做完后，追问“如果条件改为2x ≥呢”
变式：()()()5211x x A x y x ++>-=
+设，求的最值; ()()()
1152x B x y x x +>-=++设，求的最值. ()2
21(1)2(1)y x x x =+>-求几个正数和的最小值
求函数的最小值. ()23sin cos (0).2y x x x π
=<<求几个正数积的最大值
求函数的最大值
()48112x y x y x y
+=+条件最值问题
已知正数、满足，求的最小值. ()53x y xy x y xy =++利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题
已知正数、满足，试求的范围.
. 高考试卷赏识
（）[·山东卷]若对任意>，≤恒成立，则的取值范围．
解读：若对任意>，≤恒成立，
只需求得＝的最大值即可．
因为>，所以＝＝≤＝，
当且仅当＝时取等号，所以的取值范围是[，＋∞).
（）[·重庆]若实数，，满足2a＋＝2a＋，＋＋2c＝2a＋＋，
则的最大值是．
解读：依题意得2a＋＝2a＋＝2a·≤()，由此得2a＋≥；
由2a＋＋2c＝2a＋＋＝(2a＋)·2c得＝－，≥－＝，2c≤，≤＝－，
当且仅当＝＝时，≤－取等号，因此的最大值是－.
（）
22
11
(2)(2)() A6 B7 C16 D9
x y x y
y x
+++
若，为正数，则的最小值是 ．．．．
22
22
22
22
22
11
00(2)(2)
1144
(4)(4)()
1144
44
C.
2
16
:x y x y
y x
y x
x y
x y x y
y x
x y x y
x y x y
+++
=+++++
≥
=====
因为＞，＞，所以
当且仅当，，，即
时取等号，即所求的最小值为，故选
解析
. 小结
（）注意使用基本不等式的三个条件“一正二定三相等”；
（）若和为定值时，积有最大值；若积为定值时，和有最小值；
（）有时需要结合题意适当拼凑，需要细心观察。
（）若基本不等式不能辅助求最值，则可用利用函数单调性或判别式法。
四、教案反思
在本节课的设计时，笔者从四个教案目标出发，第一是复习回顾巩固基本不等式的性质及其应用，在教案设计的第点时用高考典型例题加强练习；第二，归纳基本不等式求最值的常见类型以及相对应的操作方法，注意变式训练与总结；第三，检验并突出学生使用基本不等式的注意事项；第四，上出一节新意，在对基本不等式相关的不等式链借助几何画板的辅助演示，通过对代数式的变式用几
何方法解释。
但是没有想到在上课时出现了几个问题：
第一，几何画板演示时，课室电脑里的几何画板与自己常用的几何画板在字母大小上不一致，为了让学生看清，只能人为地操作，占用了大量时间，使得后面的内容无法展开。
第二，学生对基本不等式的知识遗忘得比较多，在代数法证明不等式链时比预想的占用了较多时间。
第三，由于是早上第一节课，学生的状态、兴奋度未到一个较好的阶段，进入课堂较慢，这一点在设计课件时没有考虑到。
作为课后反思，笔者觉得可以从以下几方面进行调整：
第一，不直接复习基本不等式的概念，应当先从问题引入，即先出一题：
“
()()
52
1
1
x x
x y
x
++
>-=
+
设，求的最值.”让学生做题，那么学生就会想到用过
去学过的知识，即用求导法找单调性，或利用现成的对钩函数
1
y x
x
=+的性质
来解决，或用判别式法解决，然后老师再引导学生使用基本不等式解决，通过比较，体现基本不等式的特点。
接下来，把题目改编成“
4
26
1
x y x
x
≥=++
+
设，求的最值.”再问学生解
法。
学生可能会又往单调性或对钩函数或判别式法方面发散。
这时可以追问，基本不等式法仍然可以使用吗？其实是可以使用，即做适当变形就可以了。
这样一来，通过比较使用各种方法，也就加深了对使用基本不等式的理解。
再往下就可以再设问“
4
16
1
x y x
x
<-=++
+
设，求的最值.”这样一来就对
使用基本不等式的条件进行探讨。
最后可以让学生总结基本不等式使用的环境及其注意的事项。
第二，几何画板辅助演示的内容应当放在本节课最后一部分，作为一类代数式变形构造几何图形的方法是可以让学生体会理解的，这样一来就可以成为本节课的内容提升，让学生对基本不等式有更高更深入的理解。
