(全国通用版)2020高考数学二轮复习 专题六 函数与导数 第2讲 函数的应用学案 理
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第2讲 函数的应用[考情考向分析] 1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．热点一 函数的零点 1．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．例1 (1)(2018·广西桂林、贺州、崇左三市调研)已知f (x )＝2|x |x ＋x －2x，则y ＝f (x )的零点个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案 C解析 令2|x |x ＋x －2x＝0，化简得2|x |＝2－x 2，画出y 1＝2|x |，y 2＝2－x 2的图象，由图可知，图象有两个交点，即函数f (x )有两个零点．(2)(2018·天一大联考)关于x 的方程(x 2－2x )2e 2x－(t ＋1)(x 2－2x )e x－4＝0(t ∈R )的不等实根的个数为( )A ．1B ．3C ．5D ．1或5 答案 B解析 设f (x )＝(x 2－2x )e x ，则f ′(x )＝(x ＋2)(x －2)e x，所以函数f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，且当x →－∞时，f (x )→0，f (－2)＝(2＋22)e－2，f (0)＝0，f (2)＝(2－22)·e2，当x →＋∞，f (x )→＋∞，由此画出函数y ＝f (x )的草图，如图所示．关于x 的方程(x 2－2x )2e 2x－(t ＋1)(x 2－2x )e x－4＝0，令u ＝f (x )，则u 2－(t ＋1)u －4＝0，Δ＝(t ＋1)2＋16>0，故有两个不同的解u 1，u 2， 又u 1u 2＝f (－2)f (2)＝－4， 所以不等实根的个数为3.思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有 (1)函数零点大致存在区间的确定． (2)零点个数的确定．(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．跟踪演练1 (1)(2018·安庆模拟)定义在R 上的函数f (x )，满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋1)＝f (x －1)，若g (x )＝3－log 2x ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)内的零点有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 答案 B解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)得f (x )周期为2，作函数f (x )和g (x )的图象，图中，g (3)＝3－log 23>1＝f (3)，g (5)＝3－log 25<1＝f (5)，可得有两个交点，所以选B.(2)已知函数f (x )满足：①定义域为R ；②∀x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－|x |＋1，则方程f (x )＝12log 2|x |在区间[－3,5]内解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 A解析 画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解．热点二 函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解． 例2 (1)已知偶函数f (x )满足f (x －1)＝1f (x )，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋2)有3个零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (3,5)解析 ∵偶函数f (x )满足f (x －1)＝1f (x )， 且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2， ∴f (x －2)＝f (x －1－1)＝1f (x －1)＝f (x )，∴函数f (x )的周期为2，在区间[－1,3]内函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋2)有3个零点等价于函数f (x )的图象与y ＝log a (x ＋2)的图象在区间[－1,3]内有3个交点．当0<a <1时，函数图象无交点，数形结合可得a >1且⎩⎪⎨⎪⎧log a 3<1，log a 5>1，解得3<a <5.(2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 C解析 令h (x )＝－x －a ， 则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )图象的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象可知，当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点， 此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意； 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意． 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)． 故选C.思维升华 (1)方程f (x )＝g (x )根的个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的个数． (2)关于x 的方程f (x )－m ＝0有解，m 的范围就是函数y ＝f (x )的值域．跟踪演练 2 (1)(2018·四川省凉山州诊断性检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，3x －a ，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1)∪(1,2) D ．(－∞，1)答案 A解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，3x －a ，x >0(a ∈R )在R 上有两个零点，且x ＝a3是函数f (x )的一个零点，∴方程2x－a ＝0在(－∞，0]上有一个解，再根据当x ∈(－∞，0]时，0<2x≤20＝1，可得0<a ≤1. 故选A.(2)函数f (x )＝|x |e x ，方程[f (x )]2－(m ＋1)f (x )＋1－m ＝0有4个不相等实根，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－e e 2＋e ，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－e ＋1e 2＋e ，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－e ＋1e 2＋e ，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－e e 2＋e ，＋∞ 答案 C解析 根据题意画出函数f (x )的图象．当x >0时，f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝1－xex (x >0)，故f (1)＝1e为f (x )在(0，＋∞)上的最大值．设t ＝f (x )，t 2－(m ＋1)t ＋1－m ＝0 有两个根t 1，t 2， 由图可知，对应两个x 值的t 值只有一个， 故可设t 1对应一个x 值，t 2对应3个x 值．情况为⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝0，t 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 或⎩⎪⎨⎪⎧t 1>1e ，t 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，当属于第一种情况时，将0代入方程得m ＝1，此时二次方程t 2－(m ＋1)t ＋1－m ＝0的根是确定的，一个为0，一个为2>1e ，不符合第一种情况的要求；当属于第二种情况时，⎩⎪⎨⎪⎧1e 2－m ＋1e ＋1－m <0，1－m >0，即e 2－e ＋1e 2＋e<m <1.热点三 函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式．(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果．(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．例 3 经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (升)与速度x (千米/时)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧175(x 2－130x ＋4 900)，x ∈[50，80)，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知A ，B 两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？ 解 (1)当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4 900)＝175[(x －65)2＋675]，当x ＝65时，y 有最小值175×675＝9.当x ∈[80,120]时，函数单调递减，故当x ＝120时，y 有最小值10. 因为9<10，故当x ＝65时每小时耗油量最低． (2)设总耗油量为l ，由题意可知l ＝y ·120x.①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4 900x －130 ≥85⎝⎛⎭⎪⎫2x ×4 900x－130＝16，当且仅当x ＝4 900x，即x ＝70时，l 取得最小值16.②当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1 440x－2为减函数．当x ＝120时，l 取得最小值10.因为10<16，所以当速度为120千米/时时，总耗油量最少．思维升华 (1)解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去． (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．跟踪演练3 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解 (1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x－200 ≥212x ·80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y ＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能使该单位不亏损．真题体验1．(2016·天津改编)已知函数f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0，x ∈R )．若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是______________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58解析 f (x )＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12(sin ωx －cos ωx )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4.因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，所以T 2>2π－π，所以πω>π，所以0<ω<1.当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，若函数f (x )在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－π4<k π<2ωπ－π4(k ∈Z )，即k 2＋18<ω<k ＋14(k ∈Z )．当k ＝0时，18<ω<14；当k ＝1时，58<ω<54.所以函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点时， 0<ω≤18或14≤ω≤58.2．(2017·山东改编)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是______________． 答案 (0,1]∪[3，＋∞)解析 设f (x )＝(mx －1)2，g (x )＝x ＋m ，在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象．分两种情形：(1)当0<m ≤1时，1m≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意．(2)当m >1时，0<1m<1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)．3．(2017·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________． 答案 8解析 由于f (x )∈[0,1)，则只需考虑1≤x <10的情况，在此范围内，当x ∈Q ，且x ∉Z 时，设x ＝qp，p ，q ∈N *，p ≥2且p ，q 互质．若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝n m，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质．因此10n m＝qp，则10n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾．因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期内x ∉D 部分的交点，画出函数草图．图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内x ∉D 部分，且x ＝1处(lg x )′＝1x ln 10＝1ln 10<1，则在x ＝1附近仅有1个交点，因此方程解的个数为8.押题预测1．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7押题依据 函数的零点是高考的一个热点，利用函数图象的交点确定零点个数是一种常用方法． 答案 B解析 令2sin πx －x ＋1＝0，则2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题就转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,1) B ．[0,2] C ．(－2,2]D ．[－1,2)押题依据 利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体现了数形结合思想． 答案 D解析 g (x )＝f (x )－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x >a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，要使函数g (x )恰有三个不同的零点，只需g (x )＝0恰有三个不同的实数根，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >a ，－x ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x 2＋3x ＋2＝0，所以g (x )＝0的三个不同的实数根为x ＝2(x >a )，x ＝－1(x ≤a )，x ＝－2(x ≤a )．再借助数轴，可得－1≤a <2.所以实数a 的取值范围是[－1,2)，故选D.3．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.押题依据 函数的实际应用是高考的必考点，函数的最值问题是应用问题考查的热点． 答案 20 解析 如图，过A 作AH ⊥BC 交BC 于点H ，交DE 于点F ， 易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AFAH ，∴AF ＝x ，∴FH ＝40－x (0<x <40)，则矩形花园的面积S ＝x (40－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4022，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号，所以满足题意的边长x 为20 m.A 组 专题通关1．(2018·北京市十一学校模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－13x ，则在下列区间中含有函数f (x )零点的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 答案 B解析 f (0)＝1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1312⎛⎫ ⎪⎝⎭－1313⎛⎫ ⎪⎝⎭>0，f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭－1312⎛⎫ ⎪⎝⎭<0，f⎝ ⎛⎭⎪⎫13f⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0， 所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12内必有零点，故选B. 2．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了n (n ∈N *)年后，盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n 等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．7或8 答案 B解析 盈利总额为21n －9－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×n (n －1)×3 ＝－32n 2＋412n －9，由于对称轴为n ＝416，所以当n ＝7时，取最大值，故选B.3．(2018·湖南十四校联考)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足当x >0时，f (x )＝2x＋2x －4，则f (x )的零点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 B解析 由于函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 故f (0)＝0.由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (2)<0，而函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故当x >0时有1个零点，根据奇函数的对称性可知， 当x <0时，也有1个零点．故一共有3个零点．4．(2018·乌鲁木齐模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋log 2(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，2) C.()－∞，22 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22 答案 B解析 f (x )＝x 2＋2x－12(x <0)，当x >0时，－x <0，f (－x )＝x 2＋2－x －12(x >0)，所以f (x )关于y 轴对称的函数为h (x )＝f (－x )＝x 2＋2－x－12(x >0)，由题意得x 2＋2－x －12＝x 2＋log 2(x ＋a )在x >0时有解，作出函数的图象如图所示，当a ≤0时，函数y ＝2－x－12与y ＝log 2(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上必有交点，符合题意，若a >0，若两函数在(0，＋∞)上有交点，则log 2a <12，解得0<a <2，综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，2)．5．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4升，则m 的值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 答案 A解析 根据题意知，因为5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数f (x )＝a e nt满足f (5)＝a e 5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12，因为当k min 后甲桶中的水只有a 4升，所以f (k )＝a 4，即15ln 12·k＝ln 14，所以15ln 12·k ＝2ln 12，解得k ＝10，k －5＝5，即m ＝5，故选A.6．(2018·湖南省三湘名校教育联盟联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln (x －1)|，x >1，2x －1＋1，x ≤1，则方程f (f (x ))－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )＋34＝0的实根个数为( )A ．6B ．5C ．4D ．3 答案 C解析 令t ＝f (x )，则方程f (f (x ))－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )＋34＝0等价于f (t )－2t －32＝0，在同一平面直角坐标系中作出f (x )与直线y ＝2x ＋32的图象，由图象可得有两个交点，且f (t )－2t －32＝0的两根分别为t 1＝0和1<t 2<2，当t 1＝f (x )＝0时，解得x ＝2，当t 2＝f (x )∈(1,2)时，f (x )有3个不等实根，综上所述，方程f (f (x ))－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )＋34＝0的实根个数为4.7．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋5)＝16，当x ∈(－1,4]时，f (x )＝x 2－2x，则函数f (x )在区间[0，2 019]上的零点个数是________． 答案 605解析 因为f (x )＋f (x ＋5)＝16， 所以f (x ＋5)＋f (x ＋10)＝16， 所以f (x )＝f (x ＋10)， 所以该函数的周期是T ＝10.由于函数y ＝f (x )在(－1,4]上有3个零点， 因此在区间(－1,9]上只有3个零点，且在(－1,0)上有1个零点，在[0,9]上有2个零点且不在区间端点处． 而2 019＝201×10＋9，故在区间[0,2 019]上共有201×3＋2＝605(个)零点．8．(2018·北京市一零一中学月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x sin x ，0<x <π，x ，x ≥π，g (x )＝f (x )－kx (k ∈R )．(1)当k ＝1时，函数g (x )有________个零点；(2)若函数g (x )有3个零点，则k 的取值范围是________． 答案 (1)1 (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，ππ 解析 (1)当k ＝1时，g (x )＝0，即f (x )＝x ， 当0<x <π时，x sin x ＝x ，即sin x ＝1，解得x ＝π2，当x ≥π时，x ＝x ，解得x ＝0(舍去)或1(舍去)， 综上，g (x )的零点个数为1.(2)若函数g (x )有3个零点，则k ≠0. 当x ≥π时，x ＝kx (k >0)，最多有1个解， 即有x ＝1k 2≥π，解得0<k ≤ππ，又0<x <π时，x sin x ＝kx ，即为sin x ＝k 有2个解， 则0<k <1，综上可得0<k ≤ππ.9．对于函数f (x )与g (x )，若存在λ∈{x ∈R |f (x )＝0}，μ∈{x ∈R |g (x )＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f (x )与g (x )互为“零点密切函数”，现已知函数f (x )＝e x －2＋x －3与g (x )＝x 2－ax －x ＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________． 答案 [3,4]解析 由题意知，函数f (x )的零点为x ＝2， 设g (x )满足|2－μ|≤1的零点为μ， 因为|2－μ|≤1，解得1≤μ≤3. 因为函数g (x )的图象开口向上，所以要使g (x )的一个零点落在区间[1,3]上，则需满足g (1)g (3)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧g (1)>0，g (3)>0，Δ≥0，1<a ＋12<3，解得103≤a ≤4或3≤a <103，得3≤a ≤4.故实数a 的取值范围为[3,4]．10．(2018·江西抚州七校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P 、种黄瓜的年收益Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120.设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)． (1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？解 (1)因为甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元， 所以f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5.(2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20，解得20≤x ≤180，故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)．令t ＝x ∈[25，65]，则y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，f (x )max ＝282，所以当甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．B 组 能力提高11．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12(x ＋1)，0≤x <1，1－|x －3|，x ≥1，若关于x的方程f (x )－a ＝0(0<a <1)所有根之和为1－2，则实数a 的值为( ) A.22 B.12 C.23 D.14答案 B解析 因为函数f (x )为奇函数，所以当x ∈(－1,0]时，f (x )＝－f (－x )＝－log 12(－x ＋1)＝log 2(1－x )；当x ∈(－∞，－1]时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－|－x －3|)＝|x ＋3|－1，所以函数f (x )的图象如图所示，令g (x )＝f (x )－a ，函数g (x )的零点即为函数y ＝f (x )与y ＝a 的交点，如图所示，共5个．当x ∈(－∞，－1]时，令|x ＋3|－1＝a ，解得x 1＝－4－a ，x 2＝a －2，当x ∈(－1,0)时，令log 2(1－x )＝a ，解得x 3＝1－2a；当x ∈[1，＋∞)时，令1－|x －3|＝a ，解得x 4＝4－a ，x 5＝a ＋2，所以所有零点之和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝－4－a ＋a －2＋1－2a ＋4－a＋a ＋2＝1－2a＝1－2，∴a ＝12.12．(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)若函数f (x )＝ax ＋ln x －x 2x －ln x有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，e e －1－1e B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，e e －1－1eC.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －e e －1，－1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e －e e －1，－1 答案 A解析 函数f (x )＝ax ＋ln x －x 2x －ln x有3个不同的零点，等价于a ＝x x －ln x－ln xx，x ∈(0，＋∞)有3个不同解，令g (x )＝xx －ln x－ln x x，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝1－ln x ()x －ln x 2－1－ln xx 2＝ln x ()1－ln x ()2x －ln x x 2(x －ln x )2，当x ∈(0，＋∞)时，令y ＝2x －ln x ， 则y ′＝2－1x ＝2x －1x，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，y ′<0，y 单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，y ′>0，y 单调递增， 则y min ＝1－ln 12＝1＋ln 2>0，则当x ∈(0，＋∞)时，恒有2x －ln x >0， 令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝e ，且x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；x ∈()1，e 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； x ∈()e ，＋∞时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，则g (x )的极小值为g (1)＝1，g (x )的极大值为g (e)＝e e －1－1e，当x →0时，g (x )→＋∞，当x →＋∞时，g (x )→1. 结合函数图象(图略)可得， 当1<a <e e －1－1e时，y ＝a 与g (x )＝xx －ln x－ln x x的图象有3个不同的交点，即方程a ＝xx －ln x－ln x x，x ∈(0，＋∞)有3个不同解，即函数f (x )＝ax ＋ln x －x 2x －ln x有3个不同的零点，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，e e －1－1e . 13．已知函数f (x )＝|x |(2－x )，关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )有三个不同的实数解x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围为________．答案 (1－2，0)解析 f (x )＝|x |(2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x <0，2x －x 2，x ≥0，如图所示，关于x 的方程f (x )＝m 恰有三个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点，则0<m <1，不妨设从左向右的交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3. 当x >0时，由对称性知，x 2＋x 3＝2,0<x 2x 3<⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322＝1； 当x <0时，由x 2－2x ＝1，得x ＝1－2， 所以1－2<x 1<0，即0<－x 1<2－1， 所以0<－x 1x 2x 3<2－1，即1－2<x 1x 2x 3<0.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3a ，x <0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34解析 画出函数y ＝|f (x )|的图象如图，由函数y ＝f (x )是单调递减函数可知，0＋3a ≥log a (0＋1)＋1，即a ≥13，由log a (x 0＋1)＋1＝0得，x 0＝1a －1≤2，所以当x ≥0时，y ＝2－x 与y＝|f (x )|图象有且仅且一个交点．所以当2≥3a ，即13≤a ≤23时，函数y ＝|f (x )|与函数y ＝2－x 图象恰有两个不同的交点，即方程|f (x )|＝2－x 恰好有两个不相等的实数解，结合图象可知当直线y ＝2－x 与函数y ＝x 2＋3a 相切时，得x 2＋x ＋3a －2＝0.由Δ＝1－4(3a －2)＝0，解得a ＝34，此时也满足题意．综上，所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.。
