下载文档原格式
对称矩阵和反对称矩阵本文主要介绍对称矩阵和反对称矩阵的定义、性质和应用。
1.定义对称矩阵是指矩阵的元素在镜像中心线两侧相等，即矩阵的转置等于它本身。
定义如下：设A为n阶矩阵，如果A的转置矩阵AT等于A本身，则称A为对称矩阵。
反对称矩阵是指矩阵的元素在镜像中心线两侧相反，满足A=-AT。
定义如下：设A为n阶矩阵，如果A的转置矩阵AT等于-A本身，则称A为反对称矩阵。
反对称矩阵中对角线元素都为0。
只有当n为奇数时，才有可能构造出反对称矩阵。
2.性质对称矩阵和反对称矩阵都是特殊的方阵，它们有以下性质：1）对称矩阵的特征值都是实数。
2）对称矩阵可以通过正交相似变换对角化。
3）对称矩阵的每个子矩阵都是对称矩阵。
4）反对称矩阵的行列式都是偶数次幂。
5）反对称矩阵的秩为偶数。
6）反对称矩阵的特征值都是纯虚数或0。
3.应用对称矩阵和反对称矩阵在物理学、工程、数学等领域都有广泛应用。
下面介绍其中一些应用。
3.1 对称矩阵对称矩阵与二次型有密切关系。
二次型是由一个n维向量x和一个n阶矩阵A的乘积xTAx表示的。
如果A是对称矩阵，则称该二次型为正定二次型。
正定二次型的特征值都是正数，表现出对向量的正面影响，常用于优化问题中。
在物理学中，对称矩阵常用于表示物理系统的对称性，如空间对称性和内禀对称性。
此外，在计算机科学领域中，对称矩阵可以用于计算图像处理中的中值滤波和边缘检测。
3.2 反对称矩阵反对称矩阵在物理学中也很有用，可以表示无旋场，如电磁场和磁场等。
在机器学习算法中，反对称矩阵可以用于求解矩阵奇异值、特征值和特征向量等问题，具有很高的计算效率。
同时，反对称矩阵也能表示多种对称性和不变性，例如动量和角动量的守恒，以及物理系统中的对称映射。
此外，反对称矩阵还被广泛应用于控制论和自动化领域。
4.总结对称矩阵和反对称矩阵分别具有不同的特性和应用。
由于其广泛的应用性和重要性，对称矩阵和反对称矩阵成为数学、物理学、工程学等领域中不可或缺的基本工具。
对称矩阵的例子在线性代数中，矩阵是一种非常重要的数学工具，用于描述线性变换、方程组、向量空间等概念。
其中，对称矩阵是一种特殊的矩阵，它具有一些独特的性质和应用。
本文将介绍对称矩阵的定义、性质、常见例子以及应用。
一、对称矩阵的定义对称矩阵是指一个方阵，它的转置矩阵等于它本身，即A=A^T。
其中，A是一个n阶方阵，A^T是A的转置矩阵。
对称矩阵可以看作是某种对称性的体现，它的对角线上的元素是对称轴上的元素，而非对角线上的元素则是关于对称轴对称的。
二、对称矩阵的性质对称矩阵具有以下性质：1.对称矩阵的特征值都是实数。
这是因为对称矩阵的转置矩阵和自身相等，所以它的特征多项式的系数都是实数，从而特征值也都是实数。
2.对称矩阵的特征向量可以正交归一化。
这是因为对称矩阵的特征向量对应不同的特征值，而且它们之间是正交的，即内积为0。
由于特征向量可以线性组合得到矩阵的任意向量，所以可以将它们正交归一化，得到一组标准正交基。
3.对称矩阵是可对角化的。
这是因为对称矩阵的特征向量可以正交归一化，从而可以构成一个正交矩阵P，使得P^-1AP=D，其中D是对角矩阵，其对角线上的元素是A的特征值。
这种对称矩阵的对角化方法称为谱分解。
4.对称矩阵的所有特征值都是非负的。
这是因为对称矩阵可以写成A=PDP^-1的形式，其中D是对角矩阵，其对角线上的元素是A的特征值。
由于P和P^-1都是正交矩阵，所以D=D^T，即对角线上的元素是对称的。
因此，对称矩阵的特征值要么是0，要么是正数。
5.对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵。
这是因为对称矩阵可以写成A=PDP^-1的形式，所以A的逆矩阵可以写成A^-1=(PDP^-1)^-1=PD^-1P^-1。
由于D是对角矩阵，所以D^-1也是对角矩阵，从而A^-1也是对称矩阵。
三、对称矩阵的例子对称矩阵是一种常见的矩阵类型，下面列举几个常见的对称矩阵例子。
1.单位矩阵。
单位矩阵是一种特殊的对称矩阵，它的对角线上的元素都是1，其它元素都是0。
对称矩阵的技巧对称矩阵是指矩阵的主对角线两侧的元素都是对称的，即如果矩阵的第i行j列元素等于第j行i列元素，则称该矩阵是对称矩阵。
对称矩阵在许多数学和科学问题中都有着重要的应用，因此掌握一些对称矩阵的技巧对于解决问题非常有帮助。
一、对称矩阵的性质：1. 对称矩阵的主对角线上的元素一定是实数。
因为对称矩阵的主对角线上的元素是矩阵的自己与自己的转置的元素，所以它们必然相等。
2. 对称矩阵的特征值一定是实数。
这是因为对称矩阵与它的转置具有相同的特征多项式，而特征多项式的根就是特征值，所以对称矩阵的特征值必然是实数。
3. 对称矩阵一定可以对角化。
对称矩阵的对角化是将其转化为对角矩阵的过程，对角矩阵的非对角元素都是零，而对角矩阵的特征值就是对称矩阵的特征值。
因此，对称矩阵一定可以通过特征值分解的方式对角化。
4. 对称矩阵的特征向量对应于不同特征值的特征向量是正交的。
这意味着对称矩阵的特征向量可以构成一个正交基。
二、对称矩阵的运算技巧：1. 利用特征值分解对对称矩阵进行对角化。
通过求解对称矩阵的特征值和特征向量，可以将对称矩阵转换为对角矩阵，这样可以简化计算和分析的复杂度。
特征值分解的公式为：A = PDP^(-1)，其中A为对称矩阵，P为特征向量构成的正交矩阵，D为对角矩阵。
2. 对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵。
由于对称矩阵的转置仍然是对称矩阵，所以对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵。
3. 对称矩阵的特征值和特征向量是相同的。
对称矩阵的特征值和特征向量是成对出现的，即特征值与对应的特征向量构成一个特征对。
特征值是对称矩阵的一个特征对角阵，而特征向量是对应于特征值的单位化的列向量。
4. 如果一个对称矩阵的特征值都是正的，那么该矩阵是正定矩阵。
正定矩阵的特征值都大于零，它在优化问题、信号处理等领域都有广泛的应用。
三、对称矩阵的应用：1. 矩阵的乘法：对称矩阵与向量的乘积可以转化为对角矩阵与向量的乘积，加速计算。
2. 矩阵的特征值分解：对称矩阵的特征值分解可以用于降维、聚类、信号处理等领域，是一种常用的数据压缩方法。
对称矩阵的性质及应用作者：司凤娟来源：《科技视界》2013年第17期【摘要】本文讨论了实对称矩阵的若干性质以及它们的应用。
【关键词】对称矩阵；性质；应用1 对称矩阵的性质定义1设A为n阶方阵，如果满足AT=A，即aij=aji（i，j=1，2，…，n），那么A称为对称矩阵，简称对称阵。
对称阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴对应相等。
规定：本文中的矩阵都为实矩阵。
性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘运算得到的矩阵仍为对称矩阵。
性质2 设A为n阶方阵，则ATA，A+AT，AAT为对称阵。
性质3 设A为n阶对称阵，若A可逆，则A-1，A*为对称阵。
证明：因为A为对称阵，所以AT=A，又因为A可逆，所以（AT）-1=A-1，（A-1）T=A-1，所以A-1为对称阵。
因为A*=AA-1，且A可逆，所以A≠0，由性质1可知A*为对称阵。
性质4 实对称矩阵得特征值为实数。
性质5 设λ1，λ2是实对称矩阵A的两个特征值，p1，p2是对应的特征向量。
若λ1≠λ2，则p1与p2正交[1]。
性质6 设A为n阶实对称矩阵，λ是A的特征方程的r重根，则矩阵A-λE的秩r（A-λE）=n-r，从而对应于特征值λ恰有r个线性无关的特征向量[2]。
性质7 设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使P-1AP=？撰，其中？撰是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。
性质 8 设A，B为对称矩阵，存在正交矩阵P使PTAP=B的充分必要条件是A，B的特征值全部相同。
2 应用举例例1 设A为n阶方阵，则A可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和。
例3 设A，B为对称矩阵，且A正定，证明AB的特征值是实数。
【参考文献】[1]同济大学数学系.工程数学线性代数[M].5版.高等教育出版社，2007.[2]张万琴，焦方蕾，等.线性代数[M].2版.中国人民大学出版社，2007.| [责任编辑：汤静]。
高考数学中的线性代数中的对称矩阵高考较为重视数学的考察，而线性代数是其中的一个重要组成部分。
在线性代数中，对称矩阵是一个关键的概念。
本篇文章将着重探讨高考数学中的线性代数中的对称矩阵。
一、对称矩阵的定义在线性代数中，矩阵是一种非常重要的工具。
而矩阵的对称性则是其中的一个重要概念。
对称矩阵是指一个矩阵满足它的转置矩阵等于它本身，即A = A^T。
其中A^T表示矩阵A的转置矩阵。
对称矩阵的一个典型例子是单位矩阵：[1 0 0][0 1 0][0 0 1]它是一个对称矩阵，因为它等于它的转置矩阵：[1 0 0][0 1 0][0 0 1]对称矩阵在线性代数中有重要的应用，因为它与一些重要的性质相关。
二、对称矩阵的性质1. 对称矩阵可以对角化一个矩阵可以对角化，意味着可以做出一个相似变换将其变为形如对角矩阵的形式。
而对于对称矩阵，它可以被对角化。
也就是说，对于任意的对称矩阵A，都存在一个可逆矩阵P，使得P^-1 * A * P = D，其中D是一个对角矩阵。
2. 对称矩阵的特征值均为实数在线性代数中，矩阵的特征值是一个非常重要的概念。
而对于对称矩阵，它的特征值都是实数。
这是因为对于一个实对称矩阵，它的特征多项式一定是实系数的。
对于实系数的多项式，它的根必须是实数或者共轭复数对。
3. 对称矩阵的特征向量可以相互正交一个非零向量集合中的向量时相互正交的，意味着它们之间的内积为0。
而对于对称矩阵，它的特征向量可以相互正交。
也就是说，对于一个对称矩阵A，如果它的一个特征值λ有k个不同的线性无关特征向量，那么它们就可以相互正交。
三、对称矩阵在高考数学中的应用1. 对称矩阵的求解在高考数学中，对称矩阵可以用于求解线性方程组。
由于对称矩阵的特征值都是实数，可以通过求解对称矩阵的特征值及其对应的特征向量来求解线性方程组。
这是很多高考数学题目经常涉及的部分。
2. 向量的内积对称矩阵与向量相乘可以得到一个结果向量，结果向量的每个元素表示对应维度上的内积。
对称矩阵例子一、什么是对称矩阵对称矩阵是一种特殊的方阵，它满足矩阵的转置等于它本身。
特别地，如果一个矩阵的元素在主对角线上对称（左上到右下），那么这个矩阵就是对称矩阵。
一个n阶矩阵A是对称矩阵，当且仅当A的转置等于A，即A^T = A。
对称矩阵在许多领域中都有应用，例如线性代数、图论和物理学等。
二、对称矩阵的性质对称矩阵有一些独特的性质，下面我们逐一介绍。
1. 对称矩阵的主对角线元素对称矩阵的主对角线元素是矩阵从左上到右下的元素，即A[1,1], A[2,2], …, A[n,n]。
由对称矩阵的定义可知，这些元素一定存在且相等。
2. 对称矩阵的非主对角线元素对称矩阵的非主对角线元素是除了主对角线上的元素以外的其他元素。
根据对称矩阵的定义，对称矩阵的非主对角线元素必须满足A[i,j] = A[j,i]，也就是说关于主对角线对称。
3. 对称矩阵的性质对称矩阵具有以下性质： - 每一个对称矩阵都是方阵。
- 对称矩阵与实对称矩阵的概念是等价的，即每一个实对称矩阵都是对称矩阵，反之亦然。
- 对称矩阵的特征值（即矩阵A满足A x = λx的解）一定是实数。
同时，对称矩阵的特征向量也一定是实向量。
- 对称矩阵可以通过正交对角化（即将矩阵对角化，并且对角线元素是实数）的方法进行分解。
三、对称矩阵的例子下面介绍一些对称矩阵的例子，以更直观地理解对称矩阵。
1. 对角矩阵对角矩阵是一种特殊的对称矩阵，它的非主对角线元素全为0。
例如，下面是一个3阶的对角矩阵：A = [[2, 0, 0],[0, 3, 0],[0, 0, 5]]可以看到，该矩阵满足A^T = A，且非主对角线元素均为0。
2. 单位矩阵单位矩阵是一种特殊的对称矩阵，它的主对角线元素全为1，非主对角线元素全为0。
例如，下面是一个4阶的单位矩阵：I = [[1, 0, 0, 0],[0, 1, 0, 0],[0, 0, 1, 0],[0, 0, 0, 1]]可以看到，该矩阵满足I^T = I，且非主对角线元素均为0。
线性代数中的对称矩阵与正交矩阵线性代数是数学中的一个重要分支，研究了向量空间、线性变换和矩阵等概念和性质。
在线性代数的学习过程中，对称矩阵和正交矩阵是两个重要的概念。
本文将深入探讨对称矩阵和正交矩阵的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、对称矩阵的定义和性质对称矩阵是一个n阶方阵，其主对角线上的元素对称分布。
即对于一个n阶方阵A，如果对于所有的i和j，都有A(i,j) = A(j,i)，那么A 就是一个对称矩阵。
对称矩阵的重要性质包括：1. 对称矩阵的特征值都是实数：对于一个对称矩阵A，其特征值都是实数，这使得对称矩阵在实际问题中的应用更为广泛。
例如，在物理学中，对称矩阵可以表示刚体的惯性矩阵，而其实数特征值可以表示刚体的转动惯量。
2. 对称矩阵的特征向量正交：对于一个对称矩阵A，若v是其非零特征值λ对应的特征向量，那么与v对应的特征值也是λ的特征向量与v正交。
这一属性使得对称矩阵在正交变换和对角化等方面具有重要的应用。
二、正交矩阵的定义和性质正交矩阵是一个n阶方阵，其列向量两两正交且模长为1。
换句话说，对于一个n阶方阵Q，如果满足Q^TQ = QQ^T = I，其中Q^T是Q的转置矩阵，I是单位矩阵，那么Q就是一个正交矩阵。
正交矩阵的重要性质包括：1. 正交矩阵的行和列都是单位向量：正交矩阵的行和列向量都是单位向量，这意味着正交矩阵保持了向量的模长不变，并保持了向量之间的正交性。
2. 正交矩阵的逆等于其转置：对于一个正交矩阵Q，Q的逆矩阵等于其转置矩阵。
即Q^(-1) = Q^T。
这一属性使得正交矩阵在求逆和解线性方程组等方面具有重要的应用。
三、对称矩阵与正交矩阵的关系对称矩阵与正交矩阵之间存在着一定的关系。
具体来说，如果A是一个n阶对称矩阵，那么必存在一个正交矩阵Q，使得Q^TAQ = D，其中D是一个对角矩阵。
这个对角矩阵的对角线上的元素就是A的特征值。
这个关系被称为对称矩阵的正交对角化定理，它表明对称矩阵可以通过正交相似变换对角化。
对称矩阵定义矩阵是线性代数中的重要概念，它是由数学元素构成的矩形阵列。
对称矩阵是一种特殊的矩阵，它在对角线两侧的元素相等，即$a_{ij}=a_{ji}$。
在本文中，我们将探讨对称矩阵的定义、性质以及应用。
一、对称矩阵的定义对称矩阵是指矩阵$A$满足$A=A^T$，其中$A^T$表示$A$的转置矩阵。
对称矩阵的元素$a_{ij}$和$a_{ji}$相等，即$a_{ij}=a_{ji}$，因此对称矩阵是关于其对角线对称的。
二、对称矩阵的性质1. 对称矩阵的特征值是实数对称矩阵的特征值是指矩阵$A$满足$Ax=lambda x$的解$lambda$。
对称矩阵的特征值是实数，这是因为对称矩阵可以通过正交相似变换转化为对角矩阵，而对角矩阵的特征值是实数。
2. 对称矩阵的特征向量可以正交化对称矩阵的特征向量可以通过Gram-Schmidt正交化得到一组正交的特征向量。
这是因为对称矩阵的特征向量对应不同的特征值，而不同特征值的特征向量是线性无关的，因此可以通过Gram-Schmidt正交化得到一组正交的特征向量。
3. 对称矩阵是半正定的对称矩阵是半正定的，当且仅当其所有特征值都非负。
这是因为对称矩阵可以通过正交相似变换转化为对角矩阵，而对角矩阵每个元素都非负。
4. 对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵。
这是因为对称矩阵可以通过正交相似变换转化为对角矩阵，而对角矩阵的逆矩阵也是对角矩阵。
三、对称矩阵的应用对称矩阵在各个领域都有广泛的应用，例如：1. 物理学对称矩阵在物理学中有许多应用，例如在量子力学中，哈密顿矩阵是对称矩阵，它的特征值和特征向量描述了量子系统的能量和波函数。
2. 图像处理对称矩阵在图像处理中有许多应用，例如在图像压缩中，可以通过对称矩阵的特征值和特征向量进行特征提取，从而实现图像压缩。
3. 机器学习对称矩阵在机器学习中有许多应用，例如在核方法中，可以通过对称矩阵的特征值和特征向量进行核函数的构造，从而实现非线性分类。
矩阵的特殊矩阵及其性质和应用矩阵是数学中一个非常重要的概念，它被广泛应用于各个领域，包括物理、经济学、统计学等。
特殊矩阵是一类具有特殊特性的矩阵，它们拥有许多重要的性质和应用。
在本文中，我们将探讨一些常见的特殊矩阵及其性质和应用。
对称矩阵对称矩阵是一个非常重要的特殊矩阵，具有以下性质：1. 对称矩阵的主对角线上的元素都相等。
2. 对称矩阵是实数域上的矩阵，且所有对称矩阵都可以对角化。
3. 对称矩阵的特征值都是实数，且对应的特征向量可以正交化。
对称矩阵在物理学中经常出现，例如量子力学中的哈密顿矩阵。
此外，在机器学习中，对称矩阵也被广泛应用于协方差矩阵的计算。
旋转矩阵旋转矩阵是一种常见的特殊矩阵，它们有以下特性：1. 旋转矩阵的行列式为1，且逆矩阵等于它的转置。
2. 旋转矩阵在欧几里得空间中保持距离、角度和方向不变，因此旋转矩阵在三维图像处理中被广泛应用于图像变换和计算机动画。
对角矩阵对角矩阵是一个具有以下特点的特殊矩阵：1. 对角矩阵的主对角线之外的元素都为0。
2. 对角矩阵的行列式等于对角线上的元素的乘积，因此可以很方便地进行行列式计算。
3. 对角矩阵是一个非常常见的矩阵，常常在代数学中使用。
4. 对角矩阵也是一类特殊的压缩矩阵，可以被用于计算机图形学和计算机视觉中。
希尔伯特矩阵希尔伯特矩阵是一种非常有趣的特殊矩阵，它们具有以下特性：1. 希尔伯特矩阵是一个n x n的方阵，其中第i行第j列的元素为1/(i+j-1)。
2. 希尔伯特矩阵是非对称的，且行列式随n的增大而缩小。
3. 希尔伯特矩阵是条件数极大的矩阵，因此求解它的逆矩阵需要耗费很大的计算资源。
4. 希尔伯特矩阵在数值分析中有广泛的应用，例如矩阵求逆、插值等。
总结特殊矩阵是数学中一个非常重要的概念，不同的特殊矩阵具有不同的性质和应用。
在本文中，我们探讨了四类常见的特殊矩阵，包括对称矩阵、旋转矩阵、对角矩阵和希尔伯特矩阵。
它们在各个领域都有广泛的应用，例如量子力学、机器学习、图形处理、计算机视觉等。
对称矩阵求法对称矩阵是线性代数中一种特殊的矩阵形式，它具有许多有趣的性质和重要的应用。
本文将详细介绍对称矩阵的定义、性质、常见的求法以及一些实际问题中的应用。
首先，让我们来了解对称矩阵的定义。
一个n×n 矩阵 A 被称为对称矩阵，如果它的转置矩阵等于自身，即 A = A^T。
换句话说，对称矩阵关于主对角线对称，主对角线上的元素保持不变。
对称矩阵具有许多有趣的性质。
首先，对称矩阵的主对角线元素必定是实数，因为一个矩阵和它的转置矩阵相等，所以主对角线上的元素不会发生变化。
其次，对称矩阵的任意两个元素 A[i][j] 和A[j][i]，如果 i 不等于 j，那么它们的值是相等的。
也就是说，对称矩阵中的元素关于主对角线对称。
最后，对称矩阵可以通过实对称矩阵的特征值分解方式，将其分解成正交矩阵和对角矩阵的乘积。
接下来，我们来看一些对称矩阵的求法方法。
对称矩阵可以通过多种途径求解，其中一种常见的方法是利用实对称矩阵的特征值分解。
特征值分解可以将对称矩阵表示为正交矩阵 Q 与对角矩阵 D 的乘积，即 A = QDQ^T。
在特征值分解的过程中，首先需要求解对称矩阵的特征值和对应的特征向量，然后通过正交矩阵来构造。
此外，对称矩阵的特征值都是实数，而且特征向量也可以选择为正交向量。
这种特殊性质使得对称矩阵在许多实际问题中有广泛的应用。
例如，在物理学中，对称矩阵可以用来描述物体的对称性，并帮助解决关于自旋、绕轴旋转等问题。
在机器学习中，对称矩阵被广泛应用于协方差矩阵的计算和主成分分析中，帮助我们理解数据的统计特性和降维分析。
总结一下，对称矩阵是一种特殊的矩阵形式，具有许多有趣的性质和广泛的应用。
它可以通过实对称矩阵的特征值分解求解，特征值为实数，特征向量为正交向量。
在物理学和机器学习等领域，对称矩阵的应用也是不可或缺的。
对称矩阵的研究为我们理解和解决实际问题提供了有力的工具和思路。
对称矩阵的性质及应用班级：数学1403班学号：20142681 姓名：张庭奥内容摘要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对称矩阵的基本性质，对称矩阵的对角化，对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性变换和欧式空间问题中的应用等。
关键词：对称矩阵；对角化；正定性；应用1.导言矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的。
这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。
作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点。
本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用。
2.具体内容部分2.1对称矩阵的基本性质在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念。
2.1.1 对称矩阵的定义定义1 设矩阵()ij s n A a ⨯=，记()T ji n s A a ⨯=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件T A A =，则称A 为对称矩阵.由定义知：（1）对称矩阵一定是方阵（2）位于主对角线对称位置上的元素必对应相等。
即ij ji a a =，对任意i 、j 都成立。
对称矩阵一定形如111211222212n n nnnn a a a aa a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭定义2 形式为12000000l a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭的矩阵，其中i a 是数(1,2,,)i l =，通常称为对角矩阵定义3 若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称A 为实对称矩阵。
定义4 若矩阵A 满足T A A =-，则称A 为反对称矩阵。
由定义知： （1）反对称矩阵一定是方阵。
（2）反对称矩阵的元素满足ij ji a a =-，当i j =时，ii ii a a =-，对角线上的元素都为零。
反对称矩阵一定形如12112212000n n nna a aa a a ⎛⎫ ⎪- ⎪⎪ ⎪--⎝⎭。
下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论。
2.1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵。
证 设A 、B 是n 阶对称矩阵，即T A A =,T B B =.则：()TT T A B A B A B +=+=+，()()T TT T T A B A B A B A B -=+-=-=-，(),TT k C kA kA kA ∀∈==性质2 设A 为n 阶方阵，则T A A +，T AA ，T A A 是对称矩阵 证 因为()()TTT TT T A AA AA A +=+=+，则T A A +是对称矩阵。
因为()()TTT T T T AA A A AA ==，则T AA 是对称矩阵，同理可证T A A 也是对称矩阵。
性质3 设A 为n 阶对称矩阵（反对称矩阵），若A 可逆，则1A -是对称矩阵（反对陈矩阵）证 （1）因为A 可逆，T A A =，()()111TT A A A ---==，所以1A -是对称矩阵。
（2）因为A 可逆，T A A =-，1111()()()T T A A A A ----==-=-，则1A -是对称矩阵。
性质4 任一n n ⨯矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和。
证 设A 为n n ⨯矩阵，()()1122T T A A A A A =++-，由性质2易证()12T A A +是对称矩阵，()()()111222TT T T A A A A A A -=-=--，则()12T A A -是反对称矩阵。
性质5 设A 为对称矩阵，X 与A 是同阶矩阵，则T X AX 是对称矩阵。
证 因为()()TTTTTT T T T X AX X AX X A X X AX ===,所以T X AX 是对称矩阵。
性质6 设A 、B 都是n 阶对称矩阵，证明：AB 也对称当且仅当A 、B 可交换。
证 必要性：若AB 为对称矩阵，则()TAB AB =，又()TT T AB B A BA ==，AB BA =，因此，A 、B 可交换。
充分性：若AB BA =，则()TT T AB B A BA AB ===，AB 为对称矩阵。
2.1.2.1 对称矩阵的对角化任意一个n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量，那么对称矩阵的对角化需要什么条件，怎样进行对角化，对称矩阵的正定性又如何判别呢？下面的讨论将给出答案。
2.2.2.2 对称矩阵可对角化的相关理论证明定理1 实对称矩阵的特征值都是实数。
证 设A 是n 阶实对称阵，λ是的特征值，()12,,,Tn X x x x =是属于λ的特征向量，于是有AX X λ=.令12n x x X x ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中i x 是i x 的共轭复数，则________AX X λ=，考察等式____________()()()TTTTTX AX X A X AX X AX X ===，其左边为____TX X λ，右边为____TX X λ。
故____TX X λ=____TX X λ，又因X 是非零量，____11220Tn n X X x x x x x x =+++≠故λλ=，即λ是一个实数。
注意，由于实对称矩阵A 的特征值i λ为实数，所以齐次线性方程组()0i A E x λ-=为实系数方程组，由0i A E λ-=知必有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。
此定理的逆命题不成立。
例如，124003001A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1,21λ=，30λ=均为实数，而A 不是对称的。
定理2 设A 是实对称矩，定义线性变换A ,1122n n x x x x A x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪A = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）则对任意向量,n R αβ∈，有()(),,αβαβA =A 或()T T βααβA =A 。
证 只证明后一等式即可。
()()()TT T T T A βαβαβααβA ==A =A 。
定理3 设A 是实对称矩阵，则n R 中属于A 的不同特征值的特征向量必正交。
证 设12,λλ是A 的两个不同的特征值，12,X X 分别是属于12,λλ的特征向量：111AX X λ=,222AX X λ=。
定义线性变换A 如定理2中的（1），于是111X X λA =，222X X λA =。
由()()1212,,X X X X A =A ，有()()112212,,X X X X λλ=。
因为12λλ≠，所以()12,0X X =。
即12,X X 正交。
定理4 对任意一个n 级实对称矩阵A ，都存在一个n 级正交矩阵P ，使1T P AP P AP -=成为对角形且对角线上的元素为A 的特征值。
证 设A 的互不相等的特征值为12,,,s λλλ()s n ≤，它们的重数依次为12,,,s r r r ()12s r r r n +++=。
则对应特征值i λ(1,2,,)i s =，恰有i r 个线性无关的实特征向量，把它们正交化并单位化，即得i r 个单位正交的特征向量，由12s r r r n +++=知，这样的特征向量共可得n 个。
由定理3知对应于不同特征值的特征向量正交，故这n 个单位特征向量两两正交。
以它们为列向量作成正交矩阵P ，则1T P AP P AP -==Λ，其对角矩阵Λ中的对角元素含1r 个1λ，…,s r 个s λ，恰是A 的n 个特征值。
2.2.2.3 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例定理4说明，对任何一个实对称矩阵总有正交矩阵存在，使它化为对角形。
定理4的证明过程也给出了将实对称矩阵A 对角化找出正交阵P 的方法，具体步骤如下：（1）求出实对称矩阵的A 全部特征值12,,,s λλλ。
（2）对每个i λ(1,2,,)i s =，由()0i E A X λ-=求出的特征向量.（3）用施密特正交法，将特征向量正交化，单位化，得到一组正交的单位向量组。
（4）以这组向量为列，作一个正交矩阵P ，它就是所要求的正交阵。
根据上述讨论，下面举例说明。
例1 求一正交矩阵P ，将实对称矩阵400031013A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭化为对角阵。
解 由于2400031(2)(4)013A E λλλλλλ--=-=---，A 的特征值为12λ=，234λλ==。
对12λ=，由()20A E x -=得基础解系1011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，对234λλ==，由()40A E x -=得基础解系2100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2ξ与3ξ恰好正交，所以1ξ，2ξ，3ξ两两正交。
再将1ξ，2ξ，3ξ单位化，令()1,2,3i i ii ξηξ==，得10η⎛⎫ ⎪= ⎪ -⎝，2100η⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，30η⎛⎫ = ⎝，于是得正交阵()123010,,00P ηηη⎛⎫ == -⎝，则1200040004P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
例2 设2112A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求nA 。
解 （1）先将A 对角化求出正交阵P 。
21(1)(3)012A E λλλλλ---==--=--，121,3λλ==。
由()0A E x -=，()30A E x -=分别得基础解系111ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭，211ξ⎛⎫= ⎪-⎝⎭。
则()1211,11P ξξ⎛⎫== ⎪-⎝⎭，1111112P -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则11003P AP -⎛⎫Λ== ⎪⎝⎭。
（2）利用1n n P A P -Λ=求n A 。
1111011131311110311221313n n nnn n n A P P -⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=Λ=⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2.1.2.2 对称矩阵的正定性二次型的矩阵都是对称矩阵，二次型和它的系数矩阵是相互唯一决定的，因此二次型正定与它的对称矩阵正定等价。
以下将具体讨论对称矩阵正定性的含义以及判别正定性的条件和方法。
正定矩阵的定义 定义1 实二次型()12,,,T n f x x x X AX =称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数12,,,n c c c 都有()12,,,0n f c c c >。
定义2 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型T X AX 正定。
由定义可知： （1）二次型()2221212,,,n nf x x x x x x =+++是正定的，因为只有在120n c c c ====时，22212n c c c +++才为零。
