2021届黑龙江省鹤岗一中2018级高三上学期第二次月考数学(文)试卷及答案

绝密★启用前黑龙江省鹤岗市第一中学2021届高三年级上学期第二次月考质量检测数学(文)试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合{}2230A x x x =+-<，{}2log 1B x x =<，则A B =（ ）A ．{}02x x <<B ．{}01x x <<C ．{}31x x -<<D ．{}12x x -<<2．设,a b ∈R ，若0a b ->，则下列不等式中正确的是（）A ．0b a ->B ．330a b +<C ．220a b -<D ．0b a +>3．ABC ∆中，()cos ,sin m A A =，()cos ,sin n B B =-，若12m n ⋅=，则角C 为( ) A ．3π B ．23π C ．6πD ．56π 4．世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的12是较小的三份之和，则最小的1份为（ ）A ．163磅B ．53磅C ．49磅D ．43磅 5．已知复数13ai z i+=+为纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a =（） A ．3-B ．3C ．13-D ．136．已知1sin 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．225- B ．2325- C ．225 D ．23257．函数lg 1()x x f x x-=的函数图象是（） A ．B ．C ．D ．8．若数列{}n a 是等差数列,首项10a >,202020210a a +>,202020210a a ⋅<,则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A ．4040B ．4041C ．4042D ．40439．在ABC 中,内角、、A B C 所对的边分别为a 、b 、c ,给出下列四个结论：①若A B C >>,则sin sin sin A B C >>；②等式cos cos c a B b A =+一定成立；③sin sin sin +=+a b c A B C ；④若AB AC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭0BC =,且AB AC AB AC ⋅12=,则ABC 为等边三角形；以上结论正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．己知奇函数()f x 的导函数为'()f x ,x ∈R ．当(0,)x ∈+∞时,'()()0xf x f x +>．若()2(2)(2)af a f a af a ≥-+-,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．[1,1]-C ．(,1][1,)-∞-+∞D ．[1,)+∞。

2021届黑龙江省鹤岗市第一中学高三上学期第二次月考数学（理）试题一、选择题（共12小题，每题5分）1．设集合{}5A x x =<，{}*21,NB x x n n ==-∈，则AB =（ ）A ．{}1,1,3-B ．{}1,3,5C ．{}1,3D ．{}0,1,32.下列各式的运算结果虚部为1的是（ ） A. ()1i i - B.21i+ C. 22i + D. ()21i i +-3．设0.40.5a =，0.5log 0.4b =，ln 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<4．已知命题():0,p x ∀∈+∞，1sin x x x≥+，命题:q x R ∃∈，1x e <，则下列为真命题的是（ ） A ．()p q ⌝∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧5．已知直线l 与平面α，β，满足l α⊄且αβ⊥，则“//l α”是“l β⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.在等比数列{}n a 中，561a a =，899a a =，则410a a 等于（ ） A. 9B. 3C. 3-D. 3±7．在ABC 中，1AB =，2AC =，2BD DC =，3AD AC ⋅=，则cos BAC ∠=（ ）A ．14B ．12C D ．568．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为1，点,N P 是棱111,B C DD 的中点，则AB 与NP 所成角的余弦值为（ ）A ．B C ．D 9．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2tan tan tan b B c A B=+，且ABC 的外接圆半径为2，则ABC 的面积的最大值为（ ）A B ．34C D ．10. 已知函数()f x x ω=和()g x x ω=（0>ω）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象（ ）A. 向左平移1个单位B. 向左平移2π个单位 C. 向右平移1个单位 D. 向右平移2π个单位11．如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）A ．254πB ．2516πC ．112516πD ．11254π12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 中点，点P 在线段11A C 上，若直线OP 与平面11A BC 所成的角为θ，则cos θ的取值范围是（ ）．A ．11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．⎣⎦ C．⎣⎦ D．⎣⎦二、填空题（共4小题，每题5分）13．若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，， 则x + 2y 的最大值为14．若正数,x y 满足220xxy +-=，则3x y +的最小值是15. 函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当1x >时，()ln x f x x=，若()()2240f x mf x m -+=有8个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______.16．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将△ABM 沿直线AM 翻折成△1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是_______.①存在某个位置，使得1CN AB ⊥； ②翻折过程中，CN 的长是定值； ③若AB BM =，则1AM B D ⊥；④若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π.三、解答题（共6小题，17题10分，其余每题12分） 17．已知函数3()3 1 f x x ax =--在1x =-处取得极值.（1）求实数a 的值；（2）当[2,1]x ∈-时，求函数()f x 的最小值.18. 设函数()1231f x x x =--+的最大值为M . （1）求M ；（2）若正数a ，b 满足3311Mab a b+=，请问：是否存在正数a ，b ，使得66a b +=理由.19．已知向量3sin ,,(cos ,1)4a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，设函数()2()f x a b b =+⋅. （1）当//a b 时，求2cos sin 2x x -的值；（2）已知在ABC 中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若2a b ==，sin 3B =，求当04x π≤≤时()()4cos 26g x f x A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的取值范围.20．如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，60ABC ∠=︒，5SA =，6AB =，3AD =，M 为SD 上一点.（1）求证：平面AMC ⊥平面SAD ；（2）若//BS 平面AMC ，求面SAB 与面AMC 所成锐二面角的余弦值. 21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n a S +=+，*n ∈N . （1）求通项公式n a ；（2）设()()()*111nn n n a b n a a +=∈++N ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <.22. 已知函数()21()x a e x f x x--=，且曲线()y f x =在()()22f ,处的切线斜率为1.（1）求实数a 的值；（2）证明：当0x >时，()1f x >；（3）若数列{}n x 满足()1n x n ef x +=，且113x =，证明：211n x n e -<.鹤岗一中2018级高三第二次月考数学（理科）试题 答案1-5 CDBAB 6-10 BBCDA 11-12CD13．9 14．415. ()24,22e e ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭16.②④17．（1）a=1（2）当x=-2或1时，()f x 的最小值为3-. 18. （1）3M =.（2）假设存在正数a ，b ，使得66a b +=，则66332a b a b +=≥=，所以552212a b ≤.又由于33113Mab ab a b +==≥，所以552223a b ≥与552212a b ≤矛盾，所以假设不成立，即不存在a ，b ，使得66a b +=19．（1）85（2）11()22g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.20．（1）证明：因为SA ⊥平面ABCD ， AC ⊂平面ABCD ，所以SA AC ⊥. 在ABC 中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠1369263272=+-⨯⨯⨯=，所以AC =222AC BC AB +=，所以ACB 为直角三角形，AC BC ⊥. 因为ABCD 为平行四边形，所以//AD BC ，所以AC AD ⊥. 又SA AD A ⋂=， SA ⊂平面SAD ，AD ⊂平面SAD ，所以AC ⊥平面SAD .又AC ⊂平面ACM ，所以平面ACM ⊥平面SAD . （2）连接BD ，设AC 与BD 交点为N ，连接MN ，因为//BS 平面ACM ，BS ⊂平面SBD ，平面ACM ⋂平面SBD MN =， ∴//BS MN .∵N 是BD 中点，∴M 是SD 中点.如图，以A 为原点，以AC 、AD 、AS 所在方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.于是()0,0,0A ，()0,0,5S，3,0)B -，()C ，()0,3,0D ，350,,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0,0,5)AS =，(33,3,0)AB =-，(33,0,0)AC =，350,,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭设()1111,,n x y z =为平面SAB 的一个法向量，则1100n AB n AS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1110y z -==⎪⎩取1(1,3,0)n =. 设()2222,,n x y z =为平面ACM 的一个法向量，则220n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2220350x y z =⎧⎨+=⎩，取2(0,5,3)n =-. 1212125cos ,n n n n n n ⋅==-.设平面SAB 与平面ACM 所成角的平面角的大小为θ，则125102cos cos ,68n n θ==. 所以平面SAB 与平面ACM 21．（1）因为121n n a S +=+，*n ∈N ，121,3a a ==，所以当2n ≥时，121n n a S -=+，以上两式做差得：12n n n a a a +=-，即13n n a a +=，2n ≥， 由于213a a =，所以13n n a a +=， *n ∈N ，所以数列{}n a 是等比数列，公比为3，首项为1，所以13-=n n a .（2）结合（1）得()()()()1111311111231313131n n n n nn n n n a b a a ---+⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭， 所以数列{}n b 的前n 项和为：()1111111111111224410313122314231n n n n n T -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由于*n ∈N ，所以()10231n >+，所以()11144231n n T =-<+22.（1）()()()()()24311222x x x x a e x a e x xa e x x f xx⎡⎤-⋅---⋅-++⎣⎦'==，因为曲线()y f x =在()()22f ,处的切线斜率为1，所以()()()2322212222a e af ⎡⎤-++⎣⎦'===，得2a =.（2）证明：将2a =代入得()221()x e x f x x--=，若()1f x >，则只需证明：()2210xe x x --->在()0,x ∈+∞上恒成立即可.令m(x)=2(e x −x −1）−x 2,则m ′(x)=2e x −2x −2令n(x)=2e x −2x −2,则n ′(x)=2e x −2>0在x ∈(0,+∞)上恒成立， 所以n(x)在x ∈(0,+∞)上递增,又n(0)=m ′(0)=1>0,即m ′(x)>0在x ∈(0,+∞)上恒成立，所以m(x)x ∈(0,+∞)上单调递增， 又m(0)=0，所以()2210xe x x --->在()0,∞+上恒成立，即()1f x >在()0,∞+上恒成立.（3）证明：由（2）可知，当()0,x ∈+∞时，()1f x >，因为()+1n x n ef x =，所以()+1ln n n x f x ⎡⎤=⎣⎦，设()()ln n n g x f x ⎡⎤=⎣⎦，则()1n n x g x +=， 所以()()()()()()121n n n x g x g g x gg x --====.要证：211n x n e -<，只需证112n nx e ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，因为113x =，所以11311x e e -=-，又3327028e e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，所以1332e <，则1131112x e e -=-<；数学试题 第 11 页 共 11 页 故只需证：11112n n x x e e +-<-，即证()11122n x n f x e -<-. 令()221122222x h x x e x x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭， 只需证当()0,x ∈+∞时，()2211222022x h x x e x x ⎛⎫=-+++>⎪⎝⎭， 则()21+222x h x x x e x ⎛⎫'=-++ ⎪⎝⎭， 令()21+222x x x x e x ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，则()21+2112x x x x e ϕ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭ 则()21+2112x x x x e ϕ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递增，又()00ϕ'=， 所以()0x ϕ'>在()0,∞+上恒成立，即()()x h x ϕ='在()0,∞+上递增， 又()00h '=，所以0h '>在()0,∞+上恒成立，所以()h x 在()0,∞+上递增，又()00h =，所以当0x >时，()2211222022x h x x e x x ⎛⎫=-+++> ⎪⎝⎭所以原不等式成立.。

2021届黑龙江省鹤岗市第一中学高三2月月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合02x A x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}220B x x x =-++≥，则A B =（ ）A ．{}12x x -≤< B ．{}02x x << C ．{}02x x ≤< D ．{}10x x -≤≤【答案】C【分析】先求得集合A 、B ，再由集合的交集运算得出选项. 【详解】由已知得{}02A x x =≤<，{}()(){}{}22021012B x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，∴{}02A B x x ⋂=≤<. 故选：C.2．已知i 为虚数单位，且复数3412ii z+=-，则复数z 的共轭复数为（ ） A ．12i -+ B ．12i --C ．12i +D ．1 2i -【答案】D【分析】根据复数模的计算公式，以及复数的除法运算，求出z ，即可得出其共轭复数.【详解】因为3412i i z+=-，所以512z i =-，则()()()512512121212i z i i i i +===+--+， 因此复数z 的共轭复数为1 2i -. 故选：D.3．已知m ，n ，l 为两两不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若//m n ，//n l ，//l α则//m αB ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥C ．若m l ⊥，l β⊥，则//m βD ．若m α⊥，//m n ，//αβ，则n β⊥ 【答案】D【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断各选项．【详解】A ，若//m n ，//n l ，//l α，则//m α或m α⊂，故A 错误； B ，若αβ⊥，m α⊂，则m 可能与β成任意角度，故B 错误； C ，若m l ⊥，l β⊥，则//m β或m β⊂，故C 错误；D ，由m α⊥，//m n ，得n α⊥，又//αβ，得n β⊥．故D 正确. 故选：D ．4．已知平面向量a 与b 的夹角为3π，若()1,3,7a a b =-=，则b =（ ）A B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】可求出||2a =，再根据,3a b π<>=，对||7a b -=两边平方，进行数量积的运算得出2||2||30b b --=，从而根据||0b ≥解出||b 即可． 【详解】解：(),,1,33a b a π<>==，||7a b -=，所以(212a =+=∴22()42||||7a b b b -=-+=，且||0b ≥，∴解得3b =．故选：C ．5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且39a =，则3132333435log log log log log a a a a a ++++=（ ）A ．52B ．53C ．10D ．15【答案】C【分析】根据等比数列的性质得5123453a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=，由对数运算化简即可． 【详解】解：因为等比数列{}n a 的各项均为正数，且39a = 所以3132333435log log log log log a a a a a ++++()()()()55103123453333log log log 9log 310a a a a a a =⋅⋅⋅⋅====.故选：C ．【点睛】对数运算的一般思路：（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．6．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D【分析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解. 【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12．故选D ． 【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题． 7．下列命题为真命题的是（ ） A ．若0a b <<，则11a b< B ．“0x R ∃∈，00x ex >”的否定是“0x R ∀∈，00x e x <”C ．函数()()11x f x ex x R -=--∈有两个零点D ．幂函数()22231m m y m m x --=--在()0,x ∈+∞上是减函数，则实数1m =-【答案】C 【分析】作差11b a a b ab--=可判断A ；写出命题的否定可判断B ；利用导数判断函数的单调性和极值可判断C ；根据幂函数的定义可判断D.【详解】对于A ，11b aa b ab --=，因为0a b <<，所以0,0b a ab ->>， 所以110->a b ，11a b>，错误；对于B ，“0x R ∃∈，00x ex >”的否定是“x R ∀∈，x e x ≤”，错误；对于C ，函数()()11x f x ex x R -=--∈，()1e 1x f x -'=-，当()0f x '>得1x >，当()0f x '<得1x <，所以()f x 在1x >是单调递增函数，在1x <是单调递减函数，所以()f x 在1x =时有最小值，即()011110f e =--=-<，()3344150f e e =--=->， ()3322110f e e ---=+-=+>，所以()f x 有两个零点，正确；对于D ， 由已知得2211230m m m m ⎧--=⎨--<⎩，无解，幂函数()22231m m y m m x --=--在()0,x ∈+∞上是减函数，则实数1m =-，错误.故选：C.【点睛】本题是一道综合题，对于零点的判断，可以利用函数的单调性结合极值情况进行判断，考查了学生对基础知识、基本技能的掌握情况. 8．函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为 A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点. 【详解】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2x π∈，02x ππ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．9．执行如图所示的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于A ．4122-B ．5122-C ．6122-D ．7122-【答案】C【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果. 【详解】输入的ε为0.01，1.01,0.50.01?x S x ==+=<不满足条件；1101,0.01?24S x =++=<不满足条件；⋅⋅⋅611101,0.00781250.01?22128S x =++++==<满足条件 输出676111112122222S ⎛⎫=++⋯+=-=- ⎪⎝⎭，故选C ． 【点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析． 10．已知函数2()23sincos2cos (0)222xxxf x ωωωω=+>的图象与直线3y =相切，相邻的切点间的距离为23π．将()f x 的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度得到()g x 的图象，若()g x 是偶函数，则ϕ的最小值是（ ） A ．6π B ．3π C ．9π D ．18π 【答案】C【分析】根据二倍角公式可得()2sin 16f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由题意可得23T π=，从而可得23Tπω==，再利用三角函数图象的平移变换可得()2sin 3316⎫⎛=+++ ⎪⎝⎭g x x πϕ，由()g x 是偶函数，可得3()62+=+∈Z k k ππϕπ，解方程即可.【详解】2()cos2cos 222xxxf x ωωω=+cos 12sin 16x x x πωωω⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象与直线3y =相交，相邻的交点间的距离为23π，即23T π=所以2323πωπ==，故()2sin 316⎫⎛=++ ⎪⎝⎭f x x π．()f x 的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到()2sin 3316⎫⎛=+++ ⎪⎝⎭g x x πϕ的图象， 因为()g x 是偶函数，所以3()62+=+∈Z k k ππϕπ，得()93=+∈Z k k ππϕ． 因为0ϕ>，所以ϕ的最小值是9π．故选：C11．若函数()3211232x b f ax x c x =+++在()0,1上取得极大值，在()1,2上取得极小值，则31b a --的取值范围是（ ） A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【分析】求导后导函数为二次函数，根据极值的条件得到关于,a b 的不等式组，利用线性规划方法，画出可行域，将所求式子的值看做区域上点与定点的连线的斜率，根据直线斜率的变化规律求得取值范围. 【详解】∵()3211232x b f ax x c x =+++ ()22f x x ax b ∴=++'∵函数f (x )在()0,1上取得极大值，在()1,2上取得极小值，()()()001020f f f ''⎧'>⎪∴<⎨⎪>⎩，即021020b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩， 在直角坐标系aOb 中画出不等式组所表示的区域如图所示：这是由()()()2,0,1,0,3,1A B C ---为顶点的三角形及其内部区域，31b a --可看作区域上点(),P a b 与点()1,3M 的连线的斜率， 结合图形可知313,122b a -⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值和简单线性规划问题，属小综合题. 关键点在于求得导函数后，结合二次函数的性质和函数取得极大值和极小值的条件，得到()()()001020f f f '''⎧>⎪<⎨⎪>⎩,得到a ,b ,c 满足的不等式组.然后解决由多个二元一次不等式组构成的条件下求表达式的取值范围问题，常见直线型目标函数，斜率型目标函数和距离型目标函数，利用数形结合方法求解是常用的思路.12．已知 12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF 2 |>| PF 1 |，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112||||PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A ．4 B ．6C ．4+22D ．8【答案】D【分析】由题意可得112||||2PF F F c ==，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得2133e e +的表达式，化简后再用均值不等式即可求解. 【详解】由题意得：112||||2PF F F c ==，设椭圆方程为221122111(0)x y a b a b +=>>，双曲线方程为222222221(0,0)x y a b a b -=>>，又∵121212||||2,||||2PF PF a PF PF a +=-=.∴2122||+22,||22PF c a PF c a =-=，∴122a a c -=，则22112122393333e a a a c c e a c ca ++=+= 2222229(2)3633c a a c a c ca c a ++==++2236683a c c a =++≥=，当且仅当2233a c c a =，即23e =时等号成立.则2133e e +的最小值为8. 故选：D【点睛】考查椭圆和双曲的定义,焦半径公式以及离心率，其中将2133e e +化为22911(18)18)833a c c a ++≥=为解题关键，注意取等号.二、填空题13．欲利用随机数表从00、01、02、…、59这些编号中抽取一个容量为6的样本，选取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为_______33 95 22 00 18 74 72 18 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 3990 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 96 35 23 7918 05 98 90 07 35【答案】58【分析】根据随机数表的读取方式，重复出现的数字只读一次即可得出结果. 【详解】根据随机数表的知识可知，抽取的样本的编号依次为18、00、38、58、32、26， 故第4个被抽取的样本的编号为58. 故答案为：5814．已知()f x 满足对,()()0,x R f x f x ∀∈+-=且0x ≥时，()x f x e m =+（m 为常数），则(ln 5)f -的值为__________． 【答案】4-【分析】由题可得()00f =，由此可求得1m =-，再由(ln5)(ln5)f f -=-即可求出. 【详解】,()()0,x R f x f x ∀∈+-=()00f ∴=，0x ≥时，()x f x e m =+，()000f e m ∴=+=，解得1m =-，()ln5(ln5)(ln5)14f f e ∴-=-=--=-.故答案为：4-.15．如图，三棱椎P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，且2PA PB AB ===，3PC =，则点C 到平面PAB 的距离等于______．【答案】33【分析】将三棱锥P ABC -补全为边长为1的正方体，再由等体积法求得点到平面距离.【详解】由题意，可将三棱锥P ABC -补全为边长为1的正方体如图所示，2PA PB AB ==1AC BC PD ===，设点C 到平面PAB 的距离为h ，则由C P A ABC P B V V --=得1133ABC PAB S PD S h ⋅=⋅△△， 所以()21111323324ABC PAB S PD h S ⨯⨯⨯⋅===⨯△△．故答案为：33【点晴】方法点晴：求点到平面距离通常用等体积法求解.16．已知函数()22ln x e f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若2x =是函数()f x 的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为_________ 【答案】(],e -∞【分析】求()f x 的导函数，因为2x =是函数()f x 的唯一一个极值点，所以2x =是导函数()f x '的唯一根，所以0x e k x -=在()0,∞+上无变号零点．设()xeg x x=，结合()xe g x x=与y k =的图像可知答案．【详解】由题可得()()24222221x x x e k x x e x xe f x k x xx x ⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎝⎭'=--+= ⎪⎝⎭因为2x =是函数()f x 的唯一一个极值点， 所以2x =是导函数()f x '的唯一根所以0xe k x-=在()0,∞+上无变号零点．设()x e g x x =，则()()21x x e g x x-'= 当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 在()0,1上单调递减 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()1,+∞上单调递增 所以()()min 1g x g e == ，结合()xe g x x=与y k =的图像可知，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则k e ≤故实数k 的取值范围为(],e -∞.【点睛】本题考查导函数问题，解题的关键是构造函数()xe g x x=三、解答题17．某市规划一个平面示意图为如图的五边形ABCDE 的一条自行车赛道，ED ，DC ，CB ，BA ，AE 为赛道(不考虑宽度)，BD ，BE 为赛道内的两条服务通道，23BCD BAE π∠=∠=，8km,23km DE BC CD ===.（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE 的长度； ①23CDE π∠=；②3cos 5DBE ∠=（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE 最长(即BA +AE 最大) 【答案】（1）10BE =；（2）当AB AE =时，折线段赛道BAE 最长.【分析】（1）在BCD △中应用余弦定理求得BD ，进而在Rt BDE 应用勾股定理求得BE ．（2）在BAE 中，应用余弦定理表达出AB 与AE 的等量关系，再结合不等式求得AB AE +的最大值即可．【详解】（1）①当23CDE π∠=时， 在BCD △中，由余弦定理得：2222BD BC CD BC =+-cos 36CD BCD ⋅∠=，6BD =∴.BC CD =，6CBD CDB π∴∠=∠=，又23CDE π∠=，2BDE π∴∠=，在Rt BDE 中，10BE ===.②当3cos 5DBE ∠=， 由6BD =，8DE =，在BDE 中，利用余弦定理可得2222cos DE BD BE BD BE DBE =+-⋅∠,解得10BE =或145BE =-（舍）. （2）在BAE 中，23π∠=BAE ，10BE =.由余弦定理得2222cos BE AB AE AB AE =+-⋅BAE ∠， 即22100AB AE AB AE =++⋅， 故()2100AB AE +-=22AB AE AB AE +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，从而()231004AB AE +≤，即AB AE +≤， 当且仅当AB AE =时，等号成立，即设计为AB AE =时，折线段赛道BAE 最长.18．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成,A B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到()P C 的估计值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中,a b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.【答案】(1) 0.35a =，0.10b =；(2) 4.05，6.【分析】(1)由()0.70P C =及频率和为1可解得a 和b 的值；(2)根据公式求平均数. 【详解】(1)由题得0.200.150.70a ++=，解得0.35a =，由0.050.151()10.70b P C ++=-=-，解得0.10b =.(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为0.1520.2030.3040.2050.1060.057 4.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，乙离子残留百分比的平均值为0.0530.1040.1550.3560.2070.1586⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.19．图1是由矩形,ADEB Rt ABC ∆和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1,2AB BE BF ===， 60FBC ∠=，将其沿,AB BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明图2中的,,,A C G D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积.【答案】(1)见详解；(2)4.【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED ，Rt ABC 和菱形BFGC 内部的夹角，所以//AD BE ，//BF CG 依然成立，又因E 和F 粘在一起，所以得证.因为AB 是平面BCGE 垂线，所以易证.(2) 欲求四边形ACGD 的面积，需求出CG 所对应的高，然后乘以CG 即可． 【详解】(1)证：//AD BE ，//BF CG ，又因为E 和F 粘在一起.∴//AD CG ，A ，C ，G ，D 四点共面.又,AB BE AB BC ⊥⊥.AB ∴⊥平面BCGE ，AB ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCGE ，得证.(2)取CG 的中点M ，连结,EM DM .因为//AB DE ，AB ⊥平面BCGE ，所以DE ⊥平面BCGE ，故DE CG ⊥，由已知，四边形BCGE 是菱形，且60EBC ∠=得EM CG ⊥，故CG ⊥平面DEM ． 因此DM CG ⊥．在Rt DEM △中，DE=1，3EM =，故2DM =． 所以四边形ACGD 的面积为4.【点睛】很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的多面体不是直棱柱，最后将求四边形ACGD 的面积考查考生的空间想象能力.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且直线1x y a b +=与圆222x y +=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ﹐B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆C 相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上．记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围． 【答案】（1）22163x y +=；（2）,33⎣⎦． 【分析】（1）依题意得到c a ==，再根据222c b a +=解方程即可；（2）由M 为线段AB 的中点，可得12OM S S OP=，对直线l 的斜率的斜率存在与否分两种情况讨论，当直线l 的斜率存在时，设直线():0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ．联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，根据0OA OB ⋅=，即可得到12120x x y y +=，从而得到m 与k 的关系，即可求出面积比的取值范围；【详解】解：（1）∵椭圆的离心率为2，∴2c a =（c为半焦距）．∵直线1x ya b+=与圆222x y +=相切，=．又∵222c b a +=，∴26a =，23b =．∴椭圆C 的方程为22163x y +=．（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△．（ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，由OA OB ⊥及椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22A x =．则22M x =，26P x =，∴12OM S S OP == （ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设直线():0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ．由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222214260k x kmx m ++-=＋． ∴()()()2222221682138630k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22630k m -+>．∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+． ∵点O 在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=． ∴()()221212121210x x y y kx xkm x x m +=++++=．∴()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫++-+= ⎪++⎝⎭． 化简，得2222m k =＋．经检验满足0∆>成立． ∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭． 当0k =时，22m =．此时12S S == 当0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-． 由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得2221221P k x k =+，22321P y k =+． ∴M P OM y OP y == ∴12S S ==∴12S S ∈⎝⎭．综上，12S S的取值范围为⎣⎦．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21．已知函数()1sin ()x f x e a x a R =--∈. （1）当1a =时，判断()f x 在(0,)+∞的单调性；（2）当[0,]x π∈时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 在(0,)+∞上单调递增；（2）(,1]-∞.【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，判断在(0,)+∞上()'0f x >，可得函数()f x 在(0,)+∞上递增；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，根据最小值是否大于零确定a 的范围即可．【详解】（1）当1a =时，()1sin x f x e x =--，所以()cos xf x e x '=-当(0,)x ∈+∞时，e 1x >，cos 1≤x ，所以()0f x '>. 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增.（2）因为()1sin ()x f x e a x a R =--∈.所以()cos '=-xf x e a x ，设()()h x f x '=，()sin xh x e a x '=+，当0a ≤时，即0a -≥时，因为[0,]x π∈，sin 0x ≥，所以sin 0-≥a x ，而10x e -≥，所以1sin 0x e a x --≥，即()0f x ≥恒成立. 当01a <≤时，()sin 0xh x e a x '=+≥，所以()'f x 在[0,]π上递增，而(0)10'=-≥f a ，所以()(0)0f x f ''≥≥，所以()f x 在[0,]π上递增， 即()(0)0f x f ≥=成立，当1a >时，()sin 0x h x e a x '=+≥，所以()'f x 在[0,]π上递增，而(0)10f a '=-<，202f e ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，所以存在0[0,]x π∈，有()00f x '=， 当00x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，当0x x π<<时，()0f x '>，()f x 递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值.最小值为()0f x ， 而()0(0)0f x f <=，不成立. 综上：实数a 的取值范围是(,1]-∞.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设,A B 为曲线C 上不同两点（均不与O 重合），且满足4AOB π∠=，求OAB ∆的最大面积.【答案】（1）4sin ρθ=；（2）2.【分析】（1）由曲线C 的参数方程消去参数α，得到曲线C 的普通方程，再利用普通方程与极坐标方程的转化公式即可得到答案；（2）设出,A B 两点的极坐标，代入极坐标方程中，得到OA 与OB ，由三角形面积公式1sin 2AOB S OA OB AOB ∆=∠，对其进行化简，结合三角函数的值域，即可得到三角形面积的最大值．【详解】（1）设曲线C 上任意点的极坐标为(,)ρθ，由题意，曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=，即2240x y y +-=，则24sin ρρθ=，故曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（2）设1,()A ρθ，则2(,)4B πρθ+，故3(0,)4πθ∈，因为点,A B 在曲线C 上，则14sin ρθ=，24sin()4πρθ=+，故1sin 2AOB S OA OB AOB ∆=∠2sin()4(sin sin cos )2sin 22cos 224πθθθθθθθ=+=+=-+)24πθ=-+，3(0,)4πθ∈,故38πθ=时，OAB ∆取到最大面积为2.【点睛】本题考查参数方程、普通方程以及极坐标方程的转化，其中普通方程与极坐标方程转化的公式为：222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，考查两线段积的取值范围的求法，涉及三角函数的辅助角公式以及三角函数的值域，考查学生转化与划归的思想以及运算求解的能力，属于中档题．23．已知,x y R ∈，且1x y +=． （1）求证：22334x y +≥； （2）当0xy >时，不等式11|2||1|a a x y+≥-++恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）见证明；（2）35[,]22-. 【分析】（1）由柯西不等式即可证明； （2）可先计算11x y+的最小值，再分2a ≥，1a 2-<<，1a ≤-三种情况讨论即可得到答案.【详解】解：（1）由柯西不等式得22222)11x x ⎡⎤⎛⎡⎤+≥⋅+ ⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝+． ∴()22243()3x yx y +⨯≥+，当且仅当3x y =时取等号． ∴22334x y +≥；（2）1111()224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 要使得不等式11|2||1|a a x y+≥-++恒成立，即可转化为|2||1|4a a -++≤，当2a ≥时，421a -≤，可得522a ≤≤， 当1a 2-<<时，34≤，可得1a 2-<<， 当1a ≤-时，214a -+≤，可得312a -≤≤-， ∴a 的取值范围为：35[,]22-．【点睛】本题主要考查柯西不等式，均值不等式，绝对值不等式的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力，分类讨论能力，难度中等.。

数学文科试题参考答案1．B由题意可得{}31A x x =-<<，{}02B x x =<<，2．D 【解析】解析】利用赋值法:令1,0a b ==排除A,B,C,选D.3．B()cos ,sin m A A =u r，()cos ,sin n B B =- ，()1cos cos sin sin cos cos 2m n A B A B A B C ⋅=-=+=-= ，1cos 2C =-，故23C π=.故选：B .4．D由于数列为等差数列，设最小一份为1a ，且公差为d ，依题意可知()451235260a a a a a S ⎧+=++⎨=⎩，即()1112723351060a d a d a d ⎧+=+⎨+=⎩，解得143a =.故选D.故选：B .5．A由题意，复数()()()()1313313331010ai i ai a a z i i i i +-++-===+++-，因为复数z 为纯虚数，可得30310a a +=⎧⎨-≠⎩，解得3a =-.故选：A.6．D解：因为223cos 212sin 3325ππθθ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即223cos 2325πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2223sin 2sin 2cos 2632325ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D7．A首先去绝对值化得函数为()()()lg 11()lg 101lg 10x x f x x x x x ⎧->⎪=-<<⎨⎪--<⎩，结合对数型复合函数的单调性即可得出选项.【详解】去绝对值可得()()()lg 11lg 1()lg 101lg 10x x x x f x x x x x x ⎧->-⎪==-<<⎨⎪--<⎩，当1x >时，()lg 1y x =-单调递增，当01x <<时，()lg 1y x =-单调递减，且0y <，当0x <时，()lg 1y x =--单点递增，且0y <，综上只有A 符合，故选：A 8．A∵202020210a a ⋅<，∴2020a 和2021a 异号，又数列{}n a 是等差数列，首项10a >，∴{}n a 是递减的数列，202020210,0a a ><，202020210a a +>，∴140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>，14041404120214041()404102a a S a +==<，∴满足0n S >的最大自然数n 为4040．9．D①∵A B C >>，∴a b c >>，又∵2sin sin sin a b cR A B C===∴sin sin sin 222a b c A B C R R R===，，，∴sin sin sin A B C>>故①成立；②∵sin sin C C =∴()sin sin C A B =+∴sin sin cos sin cos C A B B A=+∴cos cos c a B b A =+；故②成立；③∵2sin sin sin a b cR A B C===∴sin sin sin 222a b c A B C R R R===，，，∴20sin sin sin 222a b c a b c a b cR a b c A B C a b c R R R+++⎛⎫-=-== ⎪++⎝⎭+∴sin sin sin +=+a b cA B C；故③成立；④∵AB |AB |uu u r uuu r 表示为AB边的单位向量，AC |AC |uuu ruuur 表示为AC 边的单位向量，∴所以（AB AC|AB ||AC |+uu u r uuu ruuur uuur ）.0BC = 表示|AB ||AC |=uuu r uuur ，又∵12AB AC .cos BAC |AB ||AC |==∠uu u r uuu r uuur uuur ，∴60BAC ∠=°所以ABC 为等边三角形故④成立.故选：D.10.D设()()g x xf x =''()()()0g x f x xf x ⇒=+>所以当(0,)x ∈+∞时，()g x 是增函数，因为()f x 是奇函数，所以有()()f x f x -=-，因此有()()()()()g x x f x xf x g x -=--==，所以()g x 是偶函数，而2(2)(2)2(2)(2)(2)(2)f a af a f a af a a f a -+-=---=--，()2(2)(2)af a f a af a ≥-+-可以化为()(2)(2)()(2)af a a f a g a g a ≥--⇒≥-，()g x 是偶函数，所以有()(2)()(2)g a g a g a g a ≥-⇒≥-，当(0,)x ∈+∞时，()g x 是增函数，所以有21a a a ≥-⇒≥，故本题选D.11C函数()2x e f x m x x -=-+恰有三个不同的零点，即方程22x e m x -=有三个不同的实数根，设()22x eg x x-=，即直线y m =与()g x 的图象有三个不同的交点，求出()()232x e x g x x --'=，讨论出函数()g x 的单调区间，作出其大致图象，根据图象可求答案.【详解】由()20x e f x m x x -=-+=可得，22x e m x -=，构造函数()22x e g x x -=，()()232x e x g x x--'=，令()0g x '>得到2x >或0x <，令()0g x '<得到02x <<，所以()g x 的单调递增区间为()()02+，，，-∞∞，递减区间为()02，显然()220x e g x x -=>,当x →-∞时，20x e -→，210x →，则220x e x-→当x →+∞时，由指函数2x y e-=增加的速度比幂函数2y x =快得多，所以22x e x-→+∞.当0x →时,22x ee --→,21x →+∞,所以22x e x-→+∞.画出函数()22x e g x x-=的大致图象，如图.可知当0m ≤时，直线y m =与()g x 的图象无交点；当0m >时，函数()22x e g x x-=在2x =时取得极小值，且()124g =.当14m >时，()22x e g x x-=的图象与y m =有三个不同的交点，即函数()2x e f x m x x -=-+恰有三个不同的零点，所以m 的取值范围为1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数问题，考查构造函数利用导数解决问题的能力，属于中档题.12．D 【解析】由函数3()242()x x f x x x e e -=-+-，可得()33()2()4()2()[242()]xx x x f x x x e e x x e e f x ---=---+-=--+-=-，所以函数()f x 为奇函数，又21()642()xx f x x e e =++'-，因为12x x e e +≥=，所以()0f x '>，所以函数()f x 为单调递增函数，因为2(52)(3)0f a f a -+≤，即2(3)(52)(25)f a f a f a ≤--=-，所以223253520a a a a ≤-⇒+-≤，解得113a -≤≤，故选D ．点睛：本题考查了函数的单调性、奇偶性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的奇偶性和函数的单调性，转化为不等式23520a a +-≤是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内是试题的易错点．13．(,1)-∞【解析】【分析】本题现将不等式220x ax +-<运用参变分离化简为2a x x <-，再构造新函数2()f x x x=-求最大值，最后求实数a 的取值范围.【详解】解：∵不等式220x ax +-<在区间[1,4]上有解，∴不等式22x a x-<在区间[1,4]上有解，∴不等式2a x x<-在区间[1,4]上有解，令2()f x x x =-，（14x ≤≤），则22'()1f x x=--，∴当14x ≤≤时，'()0f x <，()f x 单调递减，∴max 2()(1)111f x f ==-=不等式2a x x<-在区间[1,4]上有解，即max ()a f x <∴1a <故答案为：(,1)-∞【点睛】本题考查不等式存在性问题，借导函数研究原函数单调性求最大值，是中档题.14．32【解析】【分析】由正弦定理得sin A =由平方关系和余弦定理可得32bc =，再利用面积公式1sin 2S bc A =即可得解.【详解】由已知条件及正弦定理可得2sin sin sin sin B C A B C =，易知sin sin 0B C ≠，所以sin 2A =，又2226b c a +-=，所以2223cos 2b c a A bc bc+-==，所以cos 0A >，所以cos 2A ==，即32bc =，bc =，所以ABC 的面积113sin 2222S bc A ==⨯=．故答案为：32.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题.15．③.【解析】【分析】①．特称命题的否定是全称命题，否定时要将存在量词改为全称量词，还要否定结论；②．写出原命题的逆命题，再判断真假；③．若p q ∨为真命题，则必有一个为真命题，即可判断出；④．利用逆否命题的含义即可得出．【详解】解：∵p ：存在0x ∈R ，0sin 1x >，是一个特称命题，由特称命题的否定是全称命题得，p ⌝：任意x ∀∈R ，sin 1x ≤，故①对；命题“若01a <<，则函数()xf x a ＝在R 上是增函数”的逆命题为“若函数()xf x a ＝在R 上是增函数，则01a <<”，是一个假命题，故②对；若p q ∨为真命题，则p 、q 至少有一个是真命题，可以有一个是假命题，故③错；命题“若220x x －－＝，则2x ＝”的逆否命题是“若2x ≠，则220x x ≠－－”，故④对；故答案为：③．【点睛】本题综合考查了简易逻辑的有关知识、指数函数的单调性，属于基础题．16．13()18+∞，【解析】由题意可得3,363nn n a b n n ==+-=-，满足()2136n n a b λ->时，有：()()()3633363183121,3323n nnn n n n λλ-+--->∴>=+，其中()()()111821831872333n n n n n n +-----=，故当4n =时，()336313318n nn +-=取得最值，实数λ的取值范围是1318⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，17．（1）23B π=；（2）4+.解：（1）因为sin cos b C B =，所以sin sin cos B C C B =．又sin 0C ≠，所以sin =B B ，即tan B =．又0B π<<，所以23B π=．（2）由余弦定理得22222cos ()b a c ac B a c ac =+-=+-．因为4b ac ==，所以4a c +=．故ABC的周长为4+．18．（1）3nn a =；（2）1111n n T n n =-=++．解：（1）设数列{}n a 的公比为q依题意有：1131112,72,a a q a q a q +=⎧⎨-=⎩两式相比，整理得(1)6q q -=，解得3q =或2q =-．因为{}n a 的各项均为正，所以3q =，13a =，所以3nn a =．（2）33l 3log og nn n b a n ===，11111(1)1n n n c b b n n n n +===-++，所以1111112231n T n n =-+-++-+ 1111n n n =-=++．19．（1）a=2,b=-4；（2）13．（1）函数()325f x x ax bx =+++的导数为()232f x x ax b =++'，曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线斜率为32k a b =++，切点为()1,6a b ++，由切线方程为31y x =+，可得323a b ++=，64a b ++=，解得2,4a b ==-．（2）函数()325f x x ax bx =+++的导数()()()2344232f x x x x x =+-=+-'，由()0f x '>，可得23x >或2x <-；由()0f x '<，可得223x -<<．则f(x)的增区间为(),2-∞-，2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；减区间为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．可得f(x)的两极值点-2,23，f ( - 2 ) = - 8 + 8 + 8 + 5 = 13，28889553279327f ⎛⎫=+-+= ⎪⎝⎭，又f ( - 3 ) = - 27 + 18 + 12 + 5 = 8，()14f =．故y=f(x)在[]3,1-上的最大值为13．．20．（1）2nn a =；（2）()16232n n T n +=+-⨯.解：（1）将点(),n n a S 代入函数()y f x =的解析式得到22n n S a =-.当1n =时，1122S a =-，即1122a a =-，解得12a =；当2n ≥时，由22n n S a =-得1122n n S a --=-，上述两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=，即12nn a a -=.所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，因此，1222n n n a -=⨯=；（2）()()21212nn n b n a n =-⋅=-⋅Q ，n *∈N ，因此()123123252212nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，①()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，②由①-②得()23112222222212n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L ()()()211121222212632212n n n n n -++-=+⨯--⨯=-+-⨯-，所以()16232n n T n +=+-⨯20．（1）3π；（2）33221．（1）3B π=（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理计算得到答案.（2）根据面积公式化简得到6sin 6a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据角度范围得到值域.【详解】（1）∵22232cos R ac B a c +=+，∴222232cos R a c ac B b =+-=，即3R b =，∴sin22b B b R ===，又B 为锐角，∴3B π=.（2）∵ABC ∆的面积31sin 1223S ac π==，∴3b =，∴23R b ==2sin sin a c R A C ==，23A C B π+=π-=，∴232(sin sin )sin sin sin cos 322a c R A C A A A Aπ⎫⎤⎛⎫+=+=+-=+⎪⎪⎥⎪⎝⎭⎦⎭6sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由ABC ∆是锐角三角形得,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,633A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin ,162A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，∴a c +∈，即a c +的取值范围为.22．（1）当0m ≤时，()g x 的单调递增区间是()0,+∞，无递减区间；当0m >时，()g x 的单调递增区间是10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间是1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）()0,2ln2-.（1）求得()g x 的导函数，对m 分成0m ≤和0m >两种情况，讨论函数()g x 的单调区间.（2）将问题转化为()()min min 3f x m g x ->，利用导数求得()f x 的最小值，结合（1）对m 分成111,1,022m m m ≥<<<≤三种情况进行分类讨论，求得()g x 的最小值.从而确定m 的取值范围.【详解】（1）由()()ln 0g x x mx x =->，得()'1g x m x=-.当0m ≤时，()'0g x >，所以()g x 的单调递增区间是()0,∞+，没有减区间.当0m >时，由()'0g x >，解得10x m <<；由()'0g x <，解得1x m>，所以()g x 的单调递增区间是10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间是1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上所述，当0m ≤时，()g x 的单调递增区间是()0,∞+，无递减区间；当0m >时，()g x 的单调递增区间是10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间是1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）当0m >时，对任意[]11,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()123f x m g x ->成立，只需()()min min 3f x m g x ->成立.由()()()11ln ln 1ln 1x x x f x x x x x++==+++，得()'2221ln 11ln x x x f x x x x x --=+-=.令()()ln 0h x x x x =->，则()'1x h x x -=.所以当()0,1x ∈时，()'0h x <，当()1,x ∈+∞时，()'0h x >.所以()h x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，且()11h =，所以()()()min 110h x h x h ≥==>.所以()'0f x >，即()f x 在()0,∞+上递增，所以()f x 在[]1,2上递增，所以()()min 12f x f ==.由（1）知，当0m >时，()g x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，①当101m <≤即m 1≥时，()g x 在[]1,2上递减，()()min 2ln22g x g m ==-；②当112m <<即112m <<时，()g x 在11,m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递增，在1,2m ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，()()(){}min min 1,2g x g g =，由()()()21ln22ln2g g m m m -=---=-，当1ln22m <≤时，()()21g g ≥，此时()()min 1g x g m ==-，当ln21m <<时，()()21g g <，此时()()min 2ln22g x g m ==-，③当12m ≥即102m <≤时，()g x 在[]1,2上递增，()()min 1g x g m ==-，所以当0ln2m <≤时，()()min 1g x g m ==-，由0ln223m m m <≤⎧⎨->-⎩，得0ln2.m <≤当ln2m >时，()()min 2ln22g x g m ==-，由ln223ln22m m m >⎧⎨->-⎩，得ln22ln2m <<-．∴02ln2m <<-．综上，所求实数m 的取值范围是()0,2ln2-．【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究不等式恒成立、存在性综合问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题。

2021届黑龙江省鹤岗市第一中学高三上学期第二次月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2log (1)0A xx =-<∣，{22}B x x =-<≤∣，则A B =（ ）A ．(1，2)B ．(1，2]C ．[－2，2)D ．(－2，2]【答案】A【分析】根据对数函数的单调性化简集合A ，再根据集合的交集运算可的结果. 【详解】由2log (1)0x -<得011x <-<，即12x <<，所以{|12}A x x =<<，又{22}B xx =-<≤∣，所以A B ={|12}x x <<.故选：A.【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性解不等式，考查了集合的交集运算，属于基础题. 2．若复数z 满足()12z i +=，则z =（ ）A ．1i -BC ．1i +D ．2【答案】B【分析】根据复数z 满足()12z i +=，利用复数的除法得到1z i =-，再利用求模公式求解. 【详解】因为复数z 满足()12z i +=， 所以()()()2121111i z i i i i -===-++-，所以z ==故选：B【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的模，属于基础题.3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥ C ．若//m α，//n α，则//m n D ．若//m α，//m β，则//αβ【答案】B【分析】根据面面垂直的性质判断A 选项的正确性，根据面面垂直的判定定理判断B 选项的正确性.根据线面平行的性质判断C 选项的正确性，根据面面平行的判定方法判断D 选项的正确性.【详解】对于A 选项，两个平面垂直，不能得出其中一个平面内的的直线与另一个平面内的直线垂直，故A 选项错误.对于B 选项，根据面面垂直的判定定理可知，B 选项正确.对于C 选项，两条直线和同一个平面平行，这两条直线可能平行、相交或异面，所以C 选项错误. 对于D 选项，两个平面与同一条直线平行，这两个平面可能平行、相交，所以D 选项错误. 故选：B【点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系有关命题真假性的判断，属于基础题.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，则10S 的值为（ ） A ．－110 B ．－90 C ．90 D ．110【答案】D【分析】根据等比中项的定义得2739a a a =，结合公差可求出首项，从而可得答案．【详解】解：∵7a 是3a 与9a 的等比中项，∴2739a a a =，又数列{}n a 的公差为2-，∴2111(12)(4)(16)a a a -=--，解得120a =， ∴20(1)(2)222n a n n =+-⨯-=-， ∴1101010()5(202)1102a a S +==⨯+=，故选：D ．【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和，考查等比中项的应用，属于基础题． 5．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．83【答案】C【解析】该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积114222323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选C .6．命题“对任意实数[1,3]x ∈，关于x 的不等式20x a -≤恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是 A ．9a ≤ B ．8a ≥C ．9a ≥D ．10a ≥【答案】B【分析】根据题意可知，利用参数分离的方法求出使命题“对任意实数[1,3]x ∈，关于x 的不等式20x a -≤恒成立”为真命题的a 的取值范围，a 的取值范围构成的集合应为正确选项的真子集，从而推出正确结果． 【详解】命题“对任意实数[1,3]x ∈，关于x 的不等式20x a -≤恒成立”为真命题9a ∴≥根据选项满足是9a ≥的必要不充分条件只有8a ≥，故答案选B ．【点睛】本题主要考查了简单的不等式恒成立问题以及求一个命题的必要不充分条件． 7．在三棱锥A BCD -中，AB ⊥面,4,5,2BCD AB AD BC CD ====，则三棱锥A BCD -的外接球表面积是（ ） A ．25π B ．5πC ．5πD ．20π【答案】D【分析】首先计算BD 长为2，判断三角形BCD 为直角三角形，将三棱锥还原为长方体，根据体对角线等于直径，计算得到答案.【详解】三棱锥A BCD -中，AB ⊥面,4,25,2BCD AB AD BC CD ====Rt ABD ∆中：20162BD =-=在BCD ∆中：222BD BC DC BC CD =+⇒⊥ 即ABCD 四点都在对应长方体上：体对角线为AD244520S R πππ==⨯=答案选D【点睛】本题考查了三棱锥的外接球表面积，将三棱锥放在对应的长方体里面是解题的关键.8．如图，在四面体ABCD 中，AB CD =，M 、N 分别是BC 、AD 的中点，若AB 与CD 所成的角的大小为30°，则MN 和CD 所成的角的大小为（ ）A ．15°B ．75°C ．30°或60°D ．15°或75°【答案】D【分析】取BD 中点E ，根据三角形中位线的平行关系可知异面直线AB 与CD 所成角为MEN ∠或其补角；根据等腰三角形特点可求得NME ∠，根据异面直线所成角定义可知NME ∠即为所求角. 【详解】取BD 中点E ，连接,ME NE,,M N E 分别为,,BC AD BD 中点 //ME CD ∴，//NE AB异面直线AB 与CD 所成角为30 30MEN ∴∠=或150AB CD = ME NE ∴= 75NME ∴∠=或15 //ME CD MN ∴和CD 所成角为NME ∠MN ∴和CD 所成角的大小为15或75故选D【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过平移将两直线变为相交关系，从而得到异面直线所成角；易错点是忽略异面直线所成角的范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，造成丢根的情况出现.9．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数(1)e sin ()e 1x x xf x =-+在区间ππ(-,)22上的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】先由函数的奇偶性确定部分选项，再通过特殊值得到答案.【详解】因为()(1)e sin e s (1)in ()()e 1e 1x x x xx xf x f x ----===++--， 所以()f x 在区间ππ(-,)22上是偶函数，故排除B ，D ， 又11(1)e sin1(1)0e 1f =->+， 故选：A【点睛】本题主要考查函数的性质确定函数的图象，属于基础题.10．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<），其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点,016π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．关于点,016π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线16x π=对称D ．关于直线4πx =-对称 【答案】B【分析】先根据已知求出()sin 44f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再令4,4x k k Z ππ-=∈,即得函数图象的对称中心，令4,42x k k Z πππ-=+∈，即得函数图象的对称轴方程.【详解】因为函数()y f x =的图象相邻两条对称轴之间的距离为4π， 所以函数的周期为2π， 24Tπω∴==，()sin(4)f x x ϕ∴=+，将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后， 得到函数3sin 416y x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦图象， 图象关于y 轴对称，34,162k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，即,4k k Z πϕπ=-∈， 又||,24ππϕϕ<∴=-，()sin 44f x x π⎛⎫∴=-⎪⎝⎭， 令4,4x k k Z ππ-=∈， 解得,416k x k Z ππ=+∈， 0k =时，16x π=，所以()f x 的图象关于点,016π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 令4,42x k k Z πππ-=+∈，所以函数的对称轴方程为3,416k x k Z ππ=+∈. 所以选项,C D 错误. 故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图象变换，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．如图，在ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD AE x AB y AC +=+，则14x y+的最小值为（ ）A ．32B ．9C ．5D ．92【答案】D【分析】根据题意求出,x y 满足的等式，然后利用基本不等式中“1”的代换，求解14x y+最小值．【详解】解：如图可知,x y 均为正，设AD mAB nAC =+，AE AB AC λμ=+， 由,,B D C 共线设BD aBC =，则由向量加法的三角形法则得BA AD aBA aAC +=+， ∴AD aBA BA aAC =-+(1)a AB a AC =-++， ∴1m n +=，同理1λμ+=，∵AD AE x AB y AC +=+()()m AB n AC λμ=+++， ∴2x y m n λμ+=+++=，∴14x y +=114()2x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭1452y x x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1(52≥+92=， 则14x y +的最小值为92， 故选：D ．【点睛】本题主要考查平面向量共线定理、基本不等式中“1”的代换，求解代数式最值问题，是平面向量与基本不等式的综合题目．12．若定义域1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的函数()f x 满足()()xef x f x x'-=且()1f e =-，若13f e m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】先根据条件构造函数()ln x f x x c e=+，再利用导数研究函数单调性，进而解决不等式13(1)f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭恒成立问题即可.【详解】函数()f x 满足()()x e f x f x x '-=，()(1)x f x f x e x '-∴=，则()1x f x e x'⎛⎫= ⎪⎝⎭， 可设()ln xf x x c e=+，c 为常数，故()()ln x f x x c e =+，()11f c e e ∴=⋅=-， 1c ∴=-，故()()ln 1xf x x e =-，1()ln 1x f x e x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，令1()ln 1g x x x =+- ，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则22111()x g x x x x -'=-=， 1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<，故()g x 单调递减；()1,∈+∞x 时，()0g x '>，故()g x 单调递增，()g x ∴在1x =时取得最小值(1)0g =，()0g x ∴≥恒成立，1()ln 10x f x e x x ⎛⎫'=+-≥ ⎪⎝⎭在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭成立，故()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增，又()1f e =-，所以不等式13f e m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭即13(1)f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，根据单调性得11312m ≤-≤，解得2152m ≤≤. 故选：D.【点睛】本题考查了构造函数并利用导数研究函数单调性，解决不等式恒成立问题，属于难题.二、填空题13．若21x y ++=，则222x y z ++的最小值为__________ 【答案】18【分析】本题可根据柯西不等式得出222222212323xyzx y z ，然后通过化简即可得出结果.【详解】根据柯西不等式可得222222212323xyzx yz ，因为21x y +=，所以22218xyz，当且仅当23y x 时取等号，故答案为:18. 【点睛】本题考查柯西不等式，柯西不等式公式()()()2222222123123112233a a a bb b a b a b a b ++++≥++，考查计算能力，是简单题.14．学校艺术节对同一类的,,,A B C D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品获奖情况预测如下：甲说：“A 作品获得一等奖”； 乙说：“C 作品获得一等奖”； 丙说：“,B D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“A 或D 作品获得一等奖”. 评奖揭晓后发现这四位同学中只有两位预测正确，则获得一等奖的作品是_______. 【答案】C【解析】若A 获得一等奖,则甲、丙、丁的话是对的,与已知矛盾;若B 获得一等奖,则四人的话是错误的,与已知矛盾;若C 获得一等奖,则乙、丙的话是对的,满足题意;所以获得一等奖的作品是C .15．若x ，y 满足约束条件101010y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-+⎩，则22(2)x y -+的最小值为________.【答案】12【分析】作出可行域，22(2)x y -+的几何意义是可行域内的点与点(2,0)的距离的平方，观察图形可得其最小值为点到线的距离的平方，求出点到直线的距离即可.【详解】由约束条件画出可行域如图所示，目标函数22(2)x y -+表示点(2,0)P 到可行域内的点(,)x y 的距离的平方，由图可知，点(2,0)P 到可行域内的点(,)x y 的距离的最小值为点P 到直线10x y +-=的距离，记为d ，则d =， ∴212d =． 故答案为12． 【点睛】本题考查线性规划问题，其中形如22()()x a y b -+-的目标式的几何意义为点(,)x y 与点(,)a b 的距离，是基础题.16．已知函数2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，函数()()1g x f x kx =-+有四个零点，则实数k 的取值范围是________.【答案】11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】将问题转化为()y f x =与1y kx =-有四个不同的交点的问题；画出()y f x =图象后可知，当1y kx =-与()f x 在0x >和0x ≤上分别相切时，两切线斜率之间的范围即为所求k 的范围，利用导数几何意义和二次函数的知识分别求解出两条切线斜率，从而得到所求范围.【详解】解：()()1g x f x kx =-+有四个零点等价于()y f x =与1y kx =-有四个不同的交点 当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()ln 1f x x '=- 当()0,x e ∈时，()0f x '<；当(),x e ∈+∞时，()0f x '>即()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增 ()()min f x f e e ∴==- 当0x ≤时，()232f x x x =+，此时()min 39416f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由此可得()f x 图象如下图所示：1y kx =-恒过()0,1-，由图象可知，直线位于图中阴影部分时，有四个不同交点即临界状态为1y kx =-与()f x 两段图象分别相切 当1y kx =-与()()2302f x x x x =+≤相切时，可得：12k =-当1y kx =-与()()ln 20f x x x x x =->相切时 设切点坐标为(),ln 2a a a a -，则()ln 1k f a a '==- 又1y kx =-恒过()0,1-，则ln 21a a a k a -+=-即ln 21ln 1a a a a a-+-=，解得：1a = 1k ∴=-由图象可知：11,2k ⎛⎫∈--⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用函数零点个数求解参数范围的问题、零点问题转化为曲线与直线的交点问题、利用导函数研究函数的最值问题，是偏难题.三、解答题17．设()|2||2|f x x x =-++ （1）解不等式()6f x ≥；（2）对任意的非零实数x ，有2()2f x m m ≥-+恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）33x x ≤-≥或 （2）12m -≤≤【分析】（1）通过讨论x 的范围去绝对值符号，从而解出不等式．（2）2()2f x m m ≥-+恒成立等价于2min ()2f x m m ≥-+恒成立的问题即可解决．【详解】（1）()22f x x x =-++()6()226f x f x x x ∴≥⇒=-++≥令202,202x x x x -=⇒=+=⇒=-当2x -≤时()()2262263x x x x x -++≥⇒---+≥⇒≤-3x ∴≤-当2x ≥时()()2262263x x x x x -++≥⇒-++≥⇒≥3x ∴≥当22x -<<时()()22622646x x x x -++≥⇒--++≥⇒≥x φ∴∈综上所述33x x ≤-≥或（2）2()2f x m m ≥-+恒成立等价于2min ()2f x m m ≥-+()()()22224f x x x x x =-++≥--+=（当且仅当()()220x x -⋅+≤时取等）222min ()24220f x m m m m m m ∴≥-+⇒≥-+⇒--≤恒成立12m ∴-≤≤【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式以及恒成立的问题，在解绝对值不等式时首先考虑去绝对值符号．属于中等题．18．在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知()cos 2cos a C b c A =-. （1）求角A 的大小；（2）若a =2b =，求ABC 的面积.【答案】（1）3A π=;（2）2. 【分析】（1）由正弦定理化简()cos 2cos a C b c A =-可得1cos 2A =，即可得到结论； （2）由余弦定理可得2230c c --=，解得3c =，再利用三角形面积公式即可. 【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理得：()sin cos 2sin sin cos A C B C A =-，即sin cos 2sin cos sin cos A C B A C A =-，即()sin cos sin cos sin 2sin cos A C C A A C B A +=+=，又()sin sin A C B +=， 所以sin 2sin cos ,0π,0B B A B sinB =<<≠， 则1cos ,0π2A A =<<，得3A π=.（2）由题意，a =2b =，3A π=，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-， 即2230c c --=，解得1c =-（舍）或3c =，所以11sin 23sin 223ABCSbc A π==⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了正弦定理，考查了两角和的正弦公式，考查了三角形的面积公式，熟练掌握定理和公式是解题的关键.19．已知函数()2ln f x x ax x =+-，a R ∈.（1）若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在[1,3]上是减函数，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 20x y -=.(2) 17,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【解析】分析：（1）由()12f '=和()12f =可由点斜式得切线方程；（2）由函数在[]1,3上是减函数，可得()212120x ax f x x a x x+-=+-=≤'在[]1,3上恒成立，()221h x x ax =+-，由二次函数的性质可得解.详解：（1）当1a =时， ()2ln f x x x x =+-所以()121f x x x+'=-， ()()12,12f f ='=又 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为20x y -=.（2）因为函数在[]1,3上是减函数，所以()212120x ax f x x a x x+-=+-=≤'在[]1,3上恒成立.做法一：令()221h x x ax =+-,有()()10{30h h ≤≤，得1{173a a ≤-≤-故173a ≤-. ∴实数a 的取值范围为17,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦做法二：即2210x ax +-≤在[]1,3上恒成立，则12a x x≤-在[]1,3上恒成立， 令()12h x x x=-，显然()h x 在[]1,3上单调递减， 则()()min 3a h x h ≤=，得173a ≤-∴实数a 的取值范围为17,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值） .20．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PCD⊥平面ABCD ，AB=2，BC=1，PC PD ==E为PB 中点．（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE ； （Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC ； （Ⅲ）求三棱锥E-ABC 的体积．【答案】（I ）见解析；（II ）见解析；（III ）16【分析】（I ）连结BD 交AC 于F ，连结EF ，利用中位线可证明//PD EF ，即可说明//PD 平面ACE ； （II ）由平面PCD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形可得：BC PD ⊥，根据勾股定理可得：PD PC ⊥，由此证明PD ⊥平面PBC ；（III ）取CD 的中点M ，连结PM ，可证明PM ⊥平面ABCD ，由于E 为PB 中点，则过E 点作平面ABCD 的高等于12PM ，所以12E ABC P ABC V V --=，即可求出三棱锥E ABC - 的体积 【详解】（I ）连结BD 交AC 于F ，连结EF ．因为底面ABCD 是矩形，所以F 为BD 中点．又因为E 为PB 中点，所以//PD EF ．因为PD ⊄平面ACE ，EF ⊂平面ACE ，所以//PD 平面ACE ．（II ） 因为底面ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥．又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，所以BC ⊥平面PCD ．因为PD ⊂平面PCD ，所以BC PD ⊥． 因为22PC PD CD AB ====，，所以222PC PD CD +=，即PD PC ⊥．因为BC PC C ⋂=，BC ，PC ⊂平面PBC ， 所以PD ⊥平面PBC ．（III ））取CD 的中点M ，连结PM ，因为22PC PD CD AB ====，，M 是CD 的中点，所以PM CD ⊥，且1PM =，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，PM ⊂平面PCD ，平面PCD 平面ABCD CD =， 所以PM ⊥平面ABCD ，因为E 为PB 中点，所以1111121122326E ABC P ABC V V --==⨯⨯⨯⨯⨯=． 所以三棱锥E ABC -C 的体积为16．【点睛】本题主要考查线面平面，线面垂直的证明以及三棱锥体积的求法，属于中档题． 21．已知数列{}n a 中，11a =，0n a >，前n 项和为n S ，若1n n n a S S -=*n N ∈，且2n ≥）.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记132nn n a c +-=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）2n n n T =. 【分析】（111n n S S -=，再求出2n S n =即得解；（2）求出22n n nc -=，再利用错位相减法求数列{}n c 的前n 项和n T . 【详解】（1）数列{}n a 中，1n n n a S S -=-（n *∈N ，且2n ≥）①， 又1n n n a S S -=n *∈N ，且2n ≥）②，÷①②()112n n S S n -=≥，则数列{}nS 11S =为首项，公差为1的等差数列，()11n S n n =+-=，则2n S n =，当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，11a =也符合该式， 则21n a n =-.（2）由（1）的结论得，21n a n =-，则13222n n n n a nc +--==； 则2310122222n n nT --=++++， ∴2341110132222222n n n n nT +---=+++++， 两式错位相减可得：2312311111121111222222222222n n n n n n nT ++-----⎛⎫=++++-=-+++- ⎪⎝⎭ 21111112222122212n n n n n ++-⋅-=--=-，∴2n n nT =.【点睛】本题主要考查等差数列的判定和数列通项的求法，考查错位相减法对数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.22．已知函数()()22ln 0f x x x a x a =-+>.（1）当1a =时，若关于x 的方程()f x x b =+有唯一实数解，试求实数b 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，()212x x x <，且不等式()12f x mx ≥恒成立，试求实数m 的取值范围. 【答案】（1）2b <-或5ln 24b >--；（2）3ln 22m --. 【分析】（1）()f x x b =+，即23ln b x x x =-+，令2()3ln g x x x x =-+，转为直线y b =与函数()y g x =有一个交点，对函数()y g x =求导，由函数的单调性和极值即可得到有唯一实数解时b 的取值范围；（2）令2()0220f x x x a '=⇒-+=，()f x 有两个极值点，即2220x x a -+=有两个不等实数根12,x x ，得到121,x x +=不等式()12f x m x ⋅恒成立()12f x mx ⇒恒成立，用1x 表示出()12f x x ，然后构造函数11()12ln 012h t t t t t t ⎛⎫=--+<< ⎪-⎝⎭，对函数求导判断单调性，即可得到m 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，有2()2ln f x x x x =-+，其定义域为{}|0x x >，从而方程()f x x b =+，可化为23ln b x x x =-+，令2()3ln g x x x x =-+，则21231()23x x g x x x x'-+=-+=，由()01g x x '>⇒>或110,()0122x g x x '<<<⇒<<， ()g x ∴在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且15ln 2,(1)224g g ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭， 又当0x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()g x →+∞， 关于x 的方程23ln b x x x =-+有唯一实数解， 所以实数b 的取值范围是2b <-或5ln 24b >--. （2）()f x 的定义域为222{|0},()22a x x ax x f x x x x'-+>=-+=，令2()0220f x x x a '=⇒-+=，又因为函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，2220x x a ∴-+=有两个不等实数根()1212,x x x x <，1002a ∴∆>⇒<<，且212111,22x x a x x +==-，从而121012x x <<<<，由不等式()12f x m x ⋅恒成立()21111222ln f x x x a x mx x -+⇒=恒成立， ()()2211111122222ln x x x x x f x x x -+-=()1111112ln 1x x xx =--+-，令11()12ln 012h t t t t t t ⎛⎫=--+<< ⎪-⎝⎭， 21()12ln 0(1)h t t t '∴=-+<-， 当102t <<时恒成立，所以函数()h t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，13()ln 222h t h ⎛⎫∴>=-- ⎪⎝⎭，故实数m 的取值范围是3ln22m--.【点睛】本题考查利用导数研究方程根的个数和恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查分析问题的能力和计算能力，属于中档题.。

1黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高二数学12月月考试题 文（含解析）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．命题“若1a b +>，则221a b +>”的逆否命题为A ．若221a b +>，则1a b +>B ．若221a b +≤，则1a b +≤C ．若1a b +>，则221a b +≤D ．若221a b +<，则1a b +<2．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．2B ．C ．D ．3．现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． 较为合理的抽样方法是 A ．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 B ．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 C ．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D ．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样 4．相关变量的样本数据如下表：经回归分析可得与线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为，则 A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.4 5．设，则“”是“”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．下列命题中，假命题的是 A ． B ． C ． D ． 7．对变量有观测数据，得散点图(1)；对变量有观测数据(，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断2A ．变量与正相关，与正相关B ．变量与正相关，与负相关C ．变量与负相关，与正相关D ．变量与负相关，与负相关8．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中A 型号产品有15件，那么样本容量n 为A ．50B ．60C ．70D ．809．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是A ．12.5,12.5B ．13,13C ．13.5,12.5D ．13.5,1310．设某校共有112名教师，为了支援西部教育事业，现要从中抽取16名组成暑假西部讲师团，教师从1～112进行编号．按编号顺序平均分成16组（1～7号，8～14号，…，106～112号），若第8组应抽出的号码为52，则在第一组中按此抽签方法确定的号码是A ．1B ．2C ．3D ．411．对于常数,m n ，“关于x 的方程20x mx n -+=有两个正根” 是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆” 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件二、填空题12．将二进制数11110(2)化为十进制数，结果为______________。

鹤岗一中高二学年下学期4月月考数学试题（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、复数z 满足13,zi i z =+则复数在复平面内所对应的点的坐标是 （ ） A ．（3，—1）B ．（—1，3）C ．（—3，1）D ．（1，—3）2、已知函数()x f 在0x x =处可导，若()()13lim 000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则()0x f '（ ）A ．1B ．0C ．3D ．31 3、设N n ∈，34+-+n n 与12+-+n n 的大小关系是（ ） A ．1234+-+>+-+n n n n B ．1234+-+<+-+n n n nC ．1234+-+=+-+n n n nD ．不能确定4、用反证法证明命题“已知*,N y x ∈，如果xy 可被7整除，那么x ,y 至少有一个能被7整除”时，假设的内容是（ ） A ．x ，y 都不能被7整除 B ．x ，y 都能被7整除 C ．x ，y 只有一个能被7整除D ．只有x 不能被7整除5、已知t 为实数，()()()t x x x f -⋅-=42且()01=-'f ，则t 等于( )A ．0B ．1- C.12D ．26、已知函数()x f 的导函数()x f ',且满足()()x f x x f ln 12+'=，则()1f '＝( ) A ．e - B ．1- C ．1 D ．e7、点P 是曲线0ln 2=--x y x 上的任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小距离为( )A.1B.23 C.25 D.2 8、设函数()x f 在R 上可导，其导函数为()x f '，且函数()()x f x y '⋅-=1的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数()x f 有极大值()2f 和极小值()1fB ．函数()x f 有极大值()2-f 和极小值()1fC ．函数()x f 有极大值()2f 和极小值()2-fD ．函数()x f 有极大值()2-f 和极小值()2f9、甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃。

2018级高一学年12月份月考文科数学试题一、选择题（每题5分，共60分）1、=-︒)1020sin(（ ） A ． 21 B ．-21C ．23D ．-232、若53)2sin(-=-απ,α为第二象限角，则=αtan ( )A ． 34-B ． 34C ．43-D ．433、下列命题中正确的是（ ）A ． 终边在x 轴负半轴上的角是零角B ． 三角形的内角必是第一、二象限内的角C ． 不相等的角的终边一定不相同D ． 若0•360k βα=+（k Z ∈），则α与β终边相同4、设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A.1 B. 2 C. 3 D. 45、若角045180,k k Z α=+⋅∈，，则角α的终边落在（ ） A ． 第一或第三象限 B ． 第一或第二象限 C ． 第二或第四象限 D ． 第三或第四象限 6、已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝( )A ． －1B ． －C ．D ． 17、若02x π≤≤，x x x x cos sin )cos()sin(21+=+++ππ，则x 的取值范围是 （ ） A.[]0,π B.5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⋃5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦⋃7,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8、已知)433sin(,423cos ),67tan(πππ-==-=c b a ，则c b a ,,的大小关系 是（ ）A.c a b >>B.c b a >>C.a c b >>D.b c a >>9、已知424cos =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin πα( ) A ． 43-B ． 41C ． 42D ． 41410、设()5)cos(sin )(++++=βπαπx b x a x f ，且2)2018(=f ，则)2019(f 等于( ) A ． 2 B ．-2 C ． 8 D ． -811、已知函数)62sin(2)(π+=x x f ，若将它的图象向右平移6π个单位长度，得到函数)(x g 的图象，则函数)(x g 图象的一条对称轴方程为（ ）A ．12π=x B ．4π=x C ．3π=x D ．32π=x12、函数11y x=-的图象与函数()2sin 46y x x π=-≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A ． 18 B ． 14 C ． 16 D ． 12 二、填空题（每题5分，共20分）13、已知角α终边经过点)1,2(-P ，则αsin =__________． 14、函数()()lg 2sin 1f x x =-的定义域为__________． 15、设函数)0)(6cos()(>-=ωπωx x f ，若)4()(πf x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 16、函数⎩⎨⎧>≤=xx x xx x x f cos sin ,cos cos sin ,sin )(，下列四个命题①)(x f 是以π为周期的函数②)(x f 的图象关于直线)(,245Z k k x ∈+=ππ对称 ③当且仅当)(Z k k x ∈+=ππ，)(x f 取得最小值1-④当且仅当)(,222Z k k x k ∈+<<πππ时，22)(0≤<x f 正确的是 ．（填正确序号）三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分 ）17、已知角α的终边过点()2,b -，且sin 5α=，求cos α和tan α的值.18、已知sin cos 1sin cos 3θθθθ-=+，(1)求tan θ的值；（2）求()22sin cos cos 221sin ππθθπθθ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ 19、已知函数)62cos(π+-=x b a y 的最大值为23，最小值为21-.（1）求a ，b 的值；（2）若0>b ，求函数)3sin(4)(π--=bx a x g 在区间[]π,0上的值域。

2021届黑龙江省鹤岗市第一中学高三上学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．设集合{}2230A x x x =+-<，{}2log 1B x x =<，则A B =（ ）A ．{}02x x << B ．{}01x x << C ．{}31x x -<< D ．{}12x x -<<【答案】B【解析】先利用一元二次不等式的解法和对数不等式的解法，化简集合A ,B ，再利用交集运算求解. 【详解】由题意可得{}31A x x =-<<，{}02B x x =<<， 所以{}01A B x x ⋂=<<． 故选：B 【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法和对数不等式的解法，属于基础题.2．设,a b ∈R ，若0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ） A ．0b a -> B ．330a b +<C ．220a b -<D ．0b a +>【答案】D【解析】解析】利用赋值法:令1,0a b ==排除A,B,C,选D. 3．ABC ∆中，()cos ,sin m A A =，()cos ,sin n B B =-，若12m n ⋅=，则角C 为（ ） A ．3πB ．23π C ．6π D ．56π【答案】B【解析】根据向量数量积得1cos cos sin sin 2A B A B -=，()1cos ,23A B A B π+=+=即可求解. 【详解】由题：ABC ∆中，()cos ,sin m A A =，()cos ,sin n B B =-，若12m n ⋅=，即1cos cos sin sin 2A B A B -=， ()1cos ,23A B A B π+=+=，所以23C π=．故选：B 【点睛】此题考查根据平面向量数量积的坐标表示求解三角形的内角，关键在于熟练掌握两角和的余弦公式的逆用.4．世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的12是较小的三份之和，则最小的1份为（ ） A ．163磅 B ．53磅 C ．49磅 D ．43磅 【答案】D 【解析】设出等差数列的首项和公差，利用已知条件列方程组并转化为1,a d 的形式，由此求得最小1分的磅数. 【详解】由于数列为等差数列，设最小一份为1a ，且公差为d ，依题意可知()451235260a a a a a S ⎧+=++⎨=⎩，即()1112723351060a d a d a d ⎧+=+⎨+=⎩，解得143a =.故选D. 【点睛】本小题主要考查数学史，考查等差数列的通项公式的计算以及等差数列前n 项和公式的应用，属于基础题. 基本元的思想是在等差数列中有5个基本量1,,,,n n a d a S n ，利用等差数列的通项公式或前n 项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列1,a d ，进而求得数列其它的一些量的值. 5．已知复数13aiz i+=+为纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a =（ ） A ．3-B ．3C ．13- D ．13【答案】A【解析】化简复数z 的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解. 【详解】 由题意，复数()()()()1313313331010ai i ai a a z i i i i +-++-===+++-， 因为复数z 为纯虚数，可得30310a a +=⎧⎨-≠⎩，解得3a =-.故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题. 6．已知1sin 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．225-B ．2325-C ．225D ．2325【答案】D【解析】利用诱导公式及二倍角余弦公式求值即可. 【详解】22223sin 2sin 2cos 212sin 6323325πππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D 【点睛】本题考查了诱导公式、倍角余弦公式转化函数式，结合已知函数值求值，属于简单题.7．函数lg 1()x x f x x-=的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】首先去绝对值化得函数为()()()lg 11()lg 101lg 10x x f x x x x x ⎧->⎪=-<<⎨⎪--<⎩，结合对数型复合函数的单调性即可得出选项. 【详解】去绝对值可得()()()lg 11lg 1()lg 101lg 10x x x x f x x x xx x ⎧->-⎪==-<<⎨⎪--<⎩， 当1x >时，()lg 1y x =-单调递增，当01x <<时，()lg 1y x =-单调递减，且0y <， 当0x <时，()lg 1y x =--单点递增，且0y <， 综上只有A 符合， 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的性质与图像，需熟记对数型函数的性质，属于中档题.8．若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，202020210a a +>，202020210a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．4040 B ．4041 C ．4042 D ．4043【答案】A【解析】由等差数列的10a >，及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列，因此可确定202020210,0a a ><，然后利用等差数列的性质求前n 项和，确定和n S 的正负．【详解】∵202020210a a ⋅<，∴2020a 和2021a 异号，又数列{}n a 是等差数列，首项10a >，∴{}n a 是递减的数列，202020210,0a a ><，202020210a a +>，∴140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>，14041404120214041()404102a a S a +==<，∴满足0n S >的最大自然数n 为4040． 故选：A ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n 项和，掌握等差数列的性质是解题关键． 9．在ABC 中，内角、、A B C 所对的边分别为a 、b 、c ，给出下列四个结论：①若A B C >>，则sin sin sin A B C >>；②等式cos cos c a B b A =+一定成立；③sin sin sin +=+a b c A B C ；④若AB AC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭0BC =，且AB AC AB AC ⋅12=，则ABC 为等边三角形；以上结论正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】①在三角形中“大角对大边”，可以得到a b c >>，再根据正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===化简，进一步可以得到答案； ②在三角形中利用()sin sin C A B =+化简，利用正弦定理轻松可以得到答案； ③利用正弦定理化简得sin sin sin 222a b c A B C R R R===，，，带入sin sin sin a b cA B C+-+化简，就可以得到答案； ④根据AB AC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭0BC =表示AB AC =， 再根据12AB AC .AB AC =可以得到60BAC ∠=°,进一步得到答案.【详解】①∵A B C >>，∴a b c >>， 又∵2sin sin sin a b cR A B C===∴sin sin sin 222a b c A B C R R R===，，， ∴sin sin sin A B C >> 故①成立； ②∵sin sin C C = ∴()sin sin C A B =+∴sin sin cos sin cos C A B B A =+ ∴cos cos c a B b A =+； 故②成立； ③∵2sin sin sin a b c R A B C=== ∴sin sin sin 222a b c A B C R R R===，，， ∴20sin sin sin 222a b c a b c a b c R a b c A B C a b c R R R+++⎛⎫-=-=-= ⎪++⎝⎭+∴ sin sin sin +=+a b cA B C； 故③成立； ④∵AB |AB |表示为AB 边的单位向量，AC |AC |表示为AC 边的单位向量，∴所以（ABAC|AB ||AC |+）.0BC =表示|AB||AC |=，又∵12ABAC .cos BAC |AB ||AC |==∠，∴60BAC ∠=° 所以ABC 为等边三角形 故④成立. 故选：D. 【点睛】本题考查正弦定理在三角形中的应用，以及利用向量来解三角形的相关知识点，命题体现了数学基本运算的核心素养，属于比较常见的题型. 10．己知奇函数()f x 的导函数为'()f x ，x ∈R ．当(0,)x ∈+∞时，'()()0xf x f x +>．若()2(2)(2)af a f a af a ≥-+-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．[1,1]-C ．(,1][1,)-∞-+∞D ．[1,)+∞【答案】D【解析】通过给出的不等式，可以联想导数的运算法则，再结合问题所给的形式，构造新函数()()g x xf x =，这样可以知道当(0,)x ∈+∞时，函数()g x 的单调性，再判断函数()g x 的奇偶性， 另一方面，利用奇函数()f x 的性质可以化简()2(2)(2)af a f a af a ≥-+-，这样可以得到与新函数的有关的不等式，利用()g x 的单调性、奇偶性可以求出实数a 的取值范围. 【详解】设()()g x xf x =''()()()0g x f x xf x ⇒=+>所以当(0,)x ∈+∞时，()g x 是增函数，因为()f x 是奇函数，所以有()()f x f x -=-，因此有()()()()()g x x f x xf x g x -=--==，所以()g x 是偶函数， 而2(2)(2)2(2)(2)(2)(2)f a af a f a af a a f a -+-=---=--，()2(2)(2)af a f a af a ≥-+-可以化为()(2)(2)()(2)af a a f a g a g a ≥--⇒≥-，()g x 是偶函数，所以有()(2)()(2)g a g a g a g a ≥-⇒≥-，当(0,)x ∈+∞时，()g x 是增函数，所以有21a a a ≥-⇒≥，故本题选D. 【点睛】本题考查通过构造函数解不等式问题.考查了奇偶函数的性质.11．若函数()2x e f x m x x-=-+恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()1,4B ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．()4,+∞【答案】C【解析】求出22x e m x-=，构造函数22()x e g x x -=，根据函数的单调性求出m 的范围即可．【详解】由2()||0||x e f x m x x -=-+=可得，22x e m x -=， 构造函数22()x e g x x -=，23(2)()x e x g x x --'=，令()0g x '>得到2x >或0x <， 令()0g x '<得到02x <<，故()g x 在(,0)-∞递增，在(0,2)递减，在(2,)+∞递增， 而g （2）14=是极小值， 可知当0m 时，直线y m =与()g x 的图象无交点；当0m >时，函数22()x e g x x-=在2x =时取得极小值，且1(2)4g =．当14m >时，22()x e g x x -=的图象与y m =有三个不同的交点，即函数2()||||x e f x m x x -=-+恰有三个不同的零点，所以m 的取值范围为1(,)4+∞， 故选：C【点睛】本题主要考查了函数的单调性和零点问题，考查导数的应用以及转化思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．12．已知函数3()242()x x f x x x e e -=-+-，若2(52)(3)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1[,2]3- B ．2[1,]3--C ．2[,1]3D ．1[2,]3-【答案】D【解析】利用奇函数的定义可证明()f x 是奇函数，可得2(52)(3)f a f a -≤-，利用导数可得()f x 在R 上单调递增，即可得2523a a -≤-，解不等式即可. 【详解】因为()3()242()()x x f x x x e e f x --=-++-=-， 所以()f x 是奇函数，由2(52)(3)0f a f a -+≤得：22(52)(3)(3)f a f a f a -≤-=-，又因为222()642()64260x x f x x e e x x -'=-++≥+⨯=≥-， 所以()f x 在R 上单调递增，所以2523a a -≤-，即23520a a +-≤，解得：123a -≤≤， 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.二、填空题13．若关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为________. 【答案】(,1)-∞【解析】本题现将不等式220x ax +-<运用参变分离化简为2a x x<-，再构造新函数2()f x x x=-求最大值，最后求实数a 的取值范围. 【详解】解：∵ 不等式220x ax +-<在区间[1,4]上有解，∴ 不等式22x a x-<在区间[1,4]上有解，∴ 不等式2a x x<-在区间[1,4]上有解， 令2()f x x x =-，（14x ≤≤），则22'()1f x x=--，∴ 当14x ≤≤时，'()0f x <，()f x 单调递减， ∴ max 2()(1)111f x f ==-= 不等式2a x x<-在区间[1,4]上有解，即max ()a f x∴1a <故答案为：(,1)-∞ 【点睛】本题考查不等式存在性问题，借导函数研究原函数单调性求最大值，是中档题. 14．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin sin sin b C c B B C +=，2226b c a +-=，则ABC 的面积为_______． 【答案】32【解析】由正弦定理得sin A =32bc =，再利用面积公式1sin 2S bc A =即可得解. 【详解】由已知条件及正弦定理可得2sin sin sin sin B C A B C =，易知sin sin 0B C ≠，所以sin A =， 又2226b c a +-=，所以2223cos 2b c a A bc bc+-==，所以cos 0A >，所以cos A ，即32bc =，bc =，所以ABC 的面积113sin 2222S bc A ==⨯=． 故答案为：32. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题. 15．下列说法中①．对于命题p ：存在00sin 1x x ∈>，R ，则p ⌝：sin 1x x ∀∈≤，R ；②．命题“若01a <<，则函数()xf x a ＝在R 上是增函数”的逆命题为假命题；③．若p q ∨为真命题，则p q ，均为真命题；④．命题“若220x x －－＝，则2x ＝”的逆否命题是“若2x ≠，则220x x ≠－－”． 错误．．的是________ 【答案】③.【解析】①．特称命题的否定是全称命题，否定时要将存在量词改为全称量词，还要否定结论；②．写出原命题的逆命题，再判断真假；③．若p q ∨为真命题，则必有一个为真命题，即可判断出； ④．利用逆否命题的含义即可得出． 【详解】解：∵p ：存在0x ∈R ，0sin 1x >，是一个特称命题，由特称命题的否定是全称命题得，p ⌝：任意x ∀∈R ，sin 1x ≤，故①对；命题“若01a <<，则函数()xf x a ＝在R 上是增函数”的逆命题为“若函数()xf x a＝在R 上是增函数，则01a <<”，是一个假命题，故②对；若p q ∨为真命题，则p 、q 至少有一个是真命题，可以有一个是假命题，故③错； 命题“若220x x －－＝，则2x ＝”的逆否命题是“若2x ≠，则220x x ≠－－”，故④对； 故答案为：③． 【点睛】本题综合考查了简易逻辑的有关知识、指数函数的单调性，属于基础题． 16．已知数列{}n a 与{}n b 满足13n n a a +=，11n n b b +=-，613b a ==，若(21)36n n a b λ->，对一切*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是__________．【答案】13()18+∞， 【解析】由题意可得3,363nn n a b n n ==+-=-，满足()2136n n a b λ->时，有：()()()3633363183121,3323n nnnn n n λλ-+--->∴>=+， 其中()()()111821831872333n n n n n n +-----=，故当4n =时，()336313318n nn +-=取得最值， 实数λ的取值范围是1318⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，三、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，且sin cos b C B =． （1）求B ；（2）若4b ac ==，求ABC 的周长． 【答案】（1）23B π=；（2）4+. 【解析】（1）已知等式利用正弦定理化边为角后可求得B 角； （2）利用余弦定理列出关于,a c 的关系式求得a c +后可得周长． 【详解】解：（1）因为sin cos b C B =，所以sin sin cos B C C B =． 又sin 0C ≠，所以sin =B B，即tan B = 又0B π<<，所以23B π=． （2）由余弦定理得22222cos ()b a c ac B a c ac =+-=+-．因为4b ac ==，所以4a c +=． 故ABC的周长为4+． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，解题关键是用正弦定理进行边角转换． 18．已知等比数列{}n a 的各项均为正，且124212,72a a a a +=-=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若311log ,n n n n n b a c b b +==，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）3nn a =；（2）1111n nT n n =-=++． 【解析】（1）利用等比数列的通项公式表示2a 、4a ，根据题意列出关于1a 和公比q 的方程组求解；（2）先利用{}n a 的通项公式确定出n b ，再确定出n c 并求和. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公比为q依题意有：1131112,72,a a q a q a q +=⎧⎨-=⎩ 两式相比，整理得(1)6q q -=，解得3q =或2q =-． 因为{}n a 的各项均为正，所以3q =，13a =，所以3nn a =．（2）33l 3log og nn n b a n ===，11111(1)1n n n c b b n n n n +===-++， 所以1111112231n T n n =-+-++-+ 1111n n n =-=++． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式求解，考查裂项相消法求和，难度一般.解答的关键在于求解通项公式，再根据通项公式确定求和方法.19．已知函数()325f x x ax bx ＝＋＋＋，曲线()y f x ＝在点()()11P f ，处的切线方程为31y x ＝＋. （1）求a b ，的值；（2）求()y f x ＝在[]3,1－上的最大值． 【答案】（1）2a ＝，4b ＝－；（2）13【解析】(1)依题意，由()f 14＝，得到a b 2＋＝－，再由()f'13＝，得到2a b 0＋＝，联立方程组，即可求解；(2)由(1)，求得()()()f'x 3x 2x 2＝－＋，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求得函数的最大值，得到答案． 【详解】(1)依题意可知点()()P 1f 1，为切点，代入切线方程y 31x ＝＋可得，()f 13114⨯＝＋＝，所以()f 1154a b ＝＋＋＋＝，即b 2a ＋＝－， 又由()32f x 5x ax bx ＝＋＋＋，则()2f'x 32x b x a ＝＋＋， 而由切线y 31x ＝＋的斜率可知()f'13＝，∴32b 3a ++＝，即2b 0a +＝，由220a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得24a b =⎧⎨=-⎩，∴a 2＝，b 4＝－．(2)由(1)知()32f x x 2x 4x 5＝－++，则()()()2f x 3x 4x 43x 2x 2+'+＝－＝－， 令()f'x 0＝，得2x 3=或x 2＝－，当x 变化时，()f x ，()f'x 的变化情况如下表：∴()f x 的极大值为()f 213－＝，极小值为295f 327⎛⎫=⎪⎝⎭， 又()f 38－＝，()f 14＝，所以函数()f x 在[]3,1－上的最大值为13． 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，以及利用导数求解函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记导函数与原函数的单调性与极值（最值）之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．20．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n *∈N ，点(),n n a S 都在函数()22f x x =-的图象上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ；【答案】（1）2nn a =；（2）()16232n n T n +=+-⨯.【解析】（1）由题意可得22n n S a =-，由1n =时，11a S =，2n 时，1n n n a S S -=-，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；（2）求得(21)(21)2n n n b n a n =-=-，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和； 【详解】解：（1）将点(),n n a S 代入函数()y f x =的解析式得到22n n S a =-. 当1n =时，1122S a =-，即1122a a =-，解得12a =； 当2n ≥时，由22n n S a =-得1122n n S a --=-， 上述两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=，即12nn a a -=. 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，因此，1222n nn a -=⨯=；（2）()()21212n n n b n a n =-⋅=-⋅，n *∈N ，因此()123123252212n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，①()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯，②由①-②得()23112222222212n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()()211121222212632212n n n n n -++-=+⨯--⨯=-+-⨯-，所以()16232n n T n +=+-⨯；【点睛】本题考查数列通项公式的计算以及错位相减法求和，属于中档题.21．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，其外接圆半径R 满足22232cos R ac B a c +=+. （1）求B 的大小； （2）已知ABC ∆的面积S =，求a c +的取值范围.【答案】（1）3B π=（2）【解析】（1）利用正弦定理和余弦定理计算得到答案. （2）根据面积公式化简得到6sin 6a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据角度范围得到值域. 【详解】（1）∵22232cos R ac B a c +=+，∴222232cos R a c ac B b =+-=，即R =，∴sin2b B b R ===B 为锐角，∴3B π=.（2）∵ABC ∆的面积1sin 23S ac π==，∴3b =，∴23R ==2sin sin a c R A C ==，23A C B π+=π-=， ∴232(sin sin )sin sin sin 32a c R A C A A A A π⎫⎤⎛⎫+=+=+-=⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎦⎭ 6sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由ABC ∆是锐角三角形得,62A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴2,633A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 62A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，∴a c +∈，即a c +的取值范围为. 【点睛】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用，考查的核心素养是数学运算.22．已知函数()()()11ln x x f x x++=，()()ln g x x mx m R =-∈ .（1）求函数()g x 的单调区间；（2）当0m >时，对任意的[]11,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()123f x m g x ->成立，试确定实数m 的取值范围.【答案】（1）当0m ≤时，()g x 的单调递增区间是()0,+∞，无递减区间；当0m >时，()g x 的单调递增区间是10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间是1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）()0,2ln2-. 【解析】（1）求得()g x 的导函数，对m 分成0m ≤和0m >两种情况，讨论函数()g x 的单调区间.（2）将问题转化为()()min min 3f x m g x ->，利用导数求得()f x 的最小值，结合（1）对m 分成111,1,022m m m ≥<<<≤三种情况进行分类讨论，求得()g x 的最小值.从而确定m 的取值范围. 【详解】（1）由()()ln 0g x x mx x =->，得()'1g x m x=-.当0m ≤时，()'0g x >，所以()g x 的单调递增区间是()0,∞+，没有减区间.当0m >时，由()'0g x >，解得10x m<<；由()'0g x <，解得1x m >，所以()g x 的单调递增区间是10,m ⎛⎫⎪⎝⎭，递减区间是1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上所述，当0m ≤时，()g x 的单调递增区间是()0,∞+，无递减区间；当0m >时，()g x 的单调递增区间是10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间是1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）当0m >时，对任意[]11,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()123f x m g x ->成立，只需()()min min 3f x m g x ->成立. 由()()()11ln ln 1ln 1x x x f x x xxx++==+++，得()'2221ln 11ln x x x f x x x x x --=+-=.令()()ln 0h x x x x =->，则()'1x h x x-=.所以当()0,1x ∈时，()'0h x <，当()1,x ∈+∞时，()'0h x >.所以()h x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，且()11h =，所以()()()min 110h x h x h ≥==>.所以()'0fx >，即()f x 在()0,∞+上递增，所以()f x 在[]1,2上递增，所以()()min 12f x f ==.由（1）知，当0m >时，()g x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，①当101m<≤即m 1≥时，()g x 在[]1,2上递减，()()min 2ln22g x g m ==-； ②当112m <<即112m <<时，()g x 在11,m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递增，在1,2m ⎛⎤⎥⎝⎦上递减，()()(){}min min 1,2g x g g =，由()()()21ln22ln2g g m m m -=---=-，当1ln22m <≤时，()()21g g ≥，此时()()min 1g x g m ==-， 当ln21m <<时，()()21g g <，此时()()min 2ln22g x g m ==-， ③当12m≥即102m <≤时，()g x 在[]1,2上递增，()()min 1g x g m ==-，所以当0ln2m <≤时，()()min 1g x g m ==-， 由0ln223m m m<≤⎧⎨->-⎩，得0ln2.m <≤当ln2m >时，()()min 2ln22g x g m ==-，由ln223ln22m m m>⎧⎨->-⎩，得 ln22ln2m <<-．∴ 02ln2m <<-．综上，所求实数m 的取值范围是()0,2ln2-．【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究不等式恒成立、存在性综合问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.。