二次函数表达式的确定(原创)
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1 二次函数表达式的确定
待定系数法确定二次函数表达式的步骤：
（1）设出适当的二次函数表达式，(2)根据已知信息，构建关于常数的方程（组），(3)解方程(组)，(4)把求出的常数的值代入所设的表达式
一般式：
顶点式： ，其中(h，k)为顶点，
交点式： ，其中x1，x2为抛物线与x轴的两个交点的横坐标；.
1．已知抛物线过(1，－1)，(2，－4)和(0，4)三点，求二次函数表达式
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－2时，y＝5，当x＝1时，y＝－4，当x＝3时，y＝0，求抛物线的函数表达式
3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3)．
(1)求二次函数的表达式；(2)画出二次函数的图象
4.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．
(1)求抛物线的表达式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；
5.在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的表达式．
2 6.在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点为，且过点，求与的函数关系式为
6.已知抛物线的顶点为A(1，4)，与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．
(1)求此抛物线的表达式； (2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．
7.抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y轴交于点(0，－3)，求此抛物线的表达式
8.已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）．（1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；
9.如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，且3AB＝4OC，求抛物线的表达式
10.如图，已知二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点，且函数的最大值为9.
11.已知二次函数的图象的顶点为A(2，－2)，并且经过B(1，0)，C(3，0)，求这条抛物线的函数表达式．
3 10.已知二次函数图象上部分点的坐标满足下表：
求该二次函数的解析式；用配方法求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
… …
… …
1. 已知二次函数的图象如图所示求这个二次函数的表达式
A. y＝x2－2x＋3 B. y＝x2－2x－3 C. y＝x2＋2x－3 D. y＝x2＋2x＋3
2. 一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标(－1，3)，则该抛物线的表达式为( )
A. y＝－2(x－1)2＋3 B. y＝－2(x＋1)2＋3 C. y＝－(2x＋1)2＋3 D. y＝－(2x－1)2＋3
3. 抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为( )
A. y＝x2－2x－3 B. y＝x2－2x＋3 C. y＝x2＋2x－3 D. y＝x2＋2x＋3
4. 由表格中信息可知，若设y＝ax2＋bx＋c，则下列y与x之间的函数表达式正确的是( )
x －1 0 1
ax2 1
ax2＋bx＋c 8 3
A. y＝x2－4x＋3 B. y＝x2－3x＋4 C. y＝x2－3x＋3 D. y＝x2－4x＋8
5. 如果抛物线经过点A(2，0)和B(－1，0)，且与y轴交于点C，若OC＝2，则这条抛物线的表达式是( )
A. y＝x2－x－2
B. y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋2 C. y＝－x2＋x＋2
D. y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2
7.已知二次函数的图象以A(－1，4)为顶点，且过点B(2，－5)，则该函数的表达式为 .
8. 如图，抛物线的表达式为 ，直线BC的表达式为
，S△ABC＝
.
9. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是 .
10. 已知二次函数的图象经过原点及点(－12，－14)，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的表达式为 .
4 11. 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3).
(1)求二次函数的解析式；(2)画出二次函数的图象.
12. 已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)和点P(t，0)，且t≠0.
(1)若该抛物线的对称轴经过点A，请通过观察图象，指出此y的最小值，并写出t的值；
(2)若t＝－4，求a，b的值，并指出此时抛物线的开口方向；
(3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值.
15. 如图，顶点为A(3，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B.
(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；
(2)过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB.
16. 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0).
(1)求a，b的值；
(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6).写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值.
5 参考答案
1. B 2. B 3. A 4. A 5. D 6. y＝－23(x＋2)2＋1 7. y＝－(x＋1)2＋4
8. y＝45x2－165x－4 y＝45x－4 12 9. y＝－x2＋2x＋3 10. y＝x2＋x或y＝－13x2＋13x
11. 解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3).∴2(1)(1)1,2,3,abccabcìï?+?+=-ïïï=íïï++=ïïî解得 a＝－1，b＝2，c＝2，∴y＝－x2＋2x＋2.
(2)画图略.
12. 解：(1)y的最小值为－3，t＝－6.
(2)分别把(－4，0)和(－3，－3)代入y＝ax2＋bx，得 0＝16a－4b，－3＝9a－3b，解得 a＝1，b＝4.∴抛物线表达式为y＝x2＋4x，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上.
(3)－1(答案不唯一)
13. 解：(1)∵y＝x2＋bx＋c过原点，∴c＝0.又∵y＝x2＋bx过点A(2，0)，∴b＝－2，∴y＝x2－2x.
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴顶点坐标为(1，－1)，对称轴为直线x＝1.
(3)∵点A的坐标为(2，0)，∴OA＝2.∵S△OAB＝3，∴12OA·||yB＝3，∴||yB＝3.∵抛物线最低点坐标为(1，－1)，∴yB＝3，∴3＝x2－2x，即x2－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0，∴x1＝－1，x2＝3.∴点B坐标(－1，3)或(3，3).
14. 解：(1)把A(2，0)，B(0，－6)的坐标代入y＝－12x2＋bx＋c，得 －2＋2b＋c＝0，c＝－6，解得 b＝4，c＝－6.∴这个二次函数的表达式为y＝－12x2＋4x－6.
(2)∵该抛物线的对称轴为直线x＝－412()2?＝4，∴点C的坐标为(4，0).∴AC＝OC－OA＝4－2＝2.∴S△ABC＝12·AC·OB＝12×2×6＝6.
15. 解：(1)∵抛物线顶点为A(3，1)，设抛物线对应的二次函数的表达式为y＝a(x－3)2＋1，将原点坐标(0，0)代入表达式，得a＝－13.∴抛物线对应的二次函数的表达式为y＝－13x2＋233x.
(2)将y＝0代入y＝－13x2＋233x中，解得x＝0(舍去)或x＝23，∴B点坐标为(23，0)，设直线OA对应的一次函数的表达式为y＝kx，将A(3，1)代入表达式y＝kx中，得k＝33，∴直线OA对应的一次函数的表达式为y＝33x.∵BD∥AO，设直线BD对应的一次函数的表达式为y＝33x＋b，将B(23，0)代入y＝33x
6 ＋b中，解得b＝－2，∴直线BD对应的一次函数的表达式为y＝33x－2.由 y＝33x－2，y＝－13x2＋233x，得交点D的坐标为(－3，－3)，将x＝0代入y＝33x－2中，得C点的坐标为(0，－2)，由勾股定理，得OD＝22(3)3+＝23，又OA＝2＝OC，AB＝2＝CD，OB＝23＝OD.在△OAB与△OCD中， OA＝OCAB＝CDOB＝OD，∴△OAB≌△OCD.
(2)如图，过点A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连接CD，CB，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，S△OAD＝12OD·AD＝12×2×4＝4，S△ACD＝12AD·CE＝12×4×(x－2)＝2x－4；S△BCD＝12BD·CF＝12×4×(－12x2＋3x)＝－x2＋6x，则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋2x－4－x2＋6x＝－x2＋8x，∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2＜x＜6)，∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.
