2020年高考数学12+4满分练(2)

2020年高考数学120分120分(12＋4＋3＋2)保分练(五)(满分：126分 限时：90分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝x －4}，B ＝{x |－1≤2x －1≤0}，则∁U A ∩B ＝( ) A ．(4，＋∞) B.⎣⎡⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎦⎤12，4D ．(1,4]解析：选B 由题意得A ＝{x |y ＝x －4}＝{x |x ≥4}， 则∁U A ＝{x |x ＜4}．∵B ＝{x |－1≤2x －1≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0≤x ≤12， ∴∁U A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0≤x ≤12＝⎣⎡⎦⎤0，12. 2．命题“∃x 0≤0，使得x 20≥0”的否定是( ) A ．∀x ≤0，x 2＜0 B ．∀x ≤0，x 2≥0 C ．∃x 0＞0，x 20＞0D ．∃x 0＜0，x 20≤0解析：选A 题中命题是特称命题，故其否定是全称命题，即∀x ≤0，x 2＜0.3．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋i －i 2i ＝0的复数z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意知，⎪⎪⎪⎪⎪⎪ z 1＋i －i 2i ＝2i z ＋i(1＋i)＝0，所以z ＝－i (1＋i )2i ＝－12－12i ，所以z ＝－12＋12i ，复数z 对应的点⎝⎛⎭⎫－12，12位于第二象限． 4．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是( )A ．2 015B ．2 016C ．2 017D ．2 018解析：选D 由程序框图知最后输出的值为(－1)0＋(－1)1＋(－1)2＋(－1)3＋(－1)4＋…＋(－1)2 014＋2 017＝1＋2 017＝2 018.5．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)或(－1,3)D ．(1，－3)解析：选C 设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 由f (x )＝x 3－x ＋3，得f ′(x )＝3x 2－1， 故f ′(x 0)＝3x 20－1＝2，解得x 0＝±1.将x ＝±1代入f (x )＝x 3－x ＋3知，P 点的坐标为(1,3)或(－1,3)．6．经过点(2,1)，且渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切的双曲线的标准方程为( ) A.x 2113－y 211＝1 B.x 22－y 2＝1C.y 2113－x 211＝1 D.y 211－x 2113＝1解析：选A 设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ， 根据题意知圆心坐标为(0,2)，半径r ＝1， 因为渐近线与圆相切，所以2k 2＋1＝1，解得k ＝±3， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ， 即可设双曲线方程为x 2－y 23＝λ(λ≠0)， 因为点(2,1)在双曲线上，∴4－13＝λ，即λ＝113，所以双曲线的标准方程为x 2113－y 211＝1.7．若函数f (x )＝x lg(mx ＋x 2＋1)为偶函数，则m ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－1或1D ．0解析：选C 因为函数f (x )为偶函数，所以x lg(mx ＋x 2＋1)＝－x lg(－mx ＋x 2＋1)， 即mx ＋x 2＋1＝1－mx ＋x 2＋1，整理得x 2＝m 2x 2，所以m 2＝1，即m ＝±1.8.如图，在等腰直角三角形ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过点C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，则OP ―→·(OB ―→－OA ―→)＝( )A ．－12B.12C ．－32D.32解析：选A 依题意AB ＝2，∠OAB ＝45°. 又CP ―→⊥AB ―→，AC ―→＝14AB ―→，∴OP ―→·(OB ―→－OA ―→)＝⎝⎛⎭⎫OA ―→＋14 AB ―→＋CP ―→ ·AB ―→＝OA ―→·AB ―→＋14AB ―→2＋CP ―→·AB ―→＝－1＋12＝－12.9.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则( )A ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增 B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减 C ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－2 D ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－1 解析：选D 由已知，可得A ＝2，T 4＝14·2πω＝5π6－7π12，所以ω＝2.由图象经过点⎝⎛⎭⎫7π12，0，可得2×7π12＋φ＝k π，k ∈Z ， 即φ＝k π－7π6，k ∈Z.因为－π2＜φ＜π2，所以φ＝－π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，f (x )∈[－1,2]， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上没有单调性，但f (x )有最小值为－1，故选D.10．已知正项数列{a n }的前n 项的乘积T n ＝⎝⎛⎭⎫14n 2－6n (n ∈N *)，b n ＝log 2a n ，则数列{b n }的前n 项和S n 中的最大值是( )A ．S 6B ．S 5C ．S 4D ．S 3解析：选D 因为S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ＝log 2(a 1a 2·…·a n )＝log 2⎝⎛⎭⎫14n 2－6n ＝log 2212n －2n 2＝－2n 2＋12n ＝－2(n －3)2＋18，所以当n ＝3时，S n 最大，即S 3最大．11．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0，设z ＝ax ＋y (a ＜0)，若当z 取最大值时对应的点有无数个，则a 等于( )A ．－2B ．－1C ．－4D ．－3解析：选B 作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当直线y ＝－ax ＋z 刚好移动到直线MN 时，将会有无数多个点使直线在y 轴上的截距z 取得最大值，所以－a ＝1，解得a ＝－1.12．定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )使不等式2f (x )＜xf ′(x )＜3f (x )恒成立，其中f ′(x )为f (x )的导数，则( )A ．8＜f (2)f (1)＜16B ．4＜f (2)f (1)＜8 C ．3＜f (2)f (1)＜4D ．2＜f (2)f (1)＜3解析：选B 令g (x )＝f (x )x 3， 则g ′(x )＝f ′(x )·x 3－3x 2f (x )x 6＝xf ′(x )－3f (x )x 4.因为xf ′(x )＜3f (x )，即xf ′(x )－3f (x )＜0， 所以g ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立， 所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减， 可得g (2)＜g (1)，即f (2)8＜f (1)1. 由2f (x )＜3f (x )，可得f (x )＞0， 则f (2)f (1)＜8.令h (x )＝f (x )x 2， 则h ′(x )＝f ′(x )·x 2－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3.因为xf ′(x )＞2f (x )，即xf ′(x )－2f (x )＞0， 所以h ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立， 所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增， 可得h (2)＞h (1)， 所以f (2)4＞f (1)，即f (2)f (1)＞4.综上可得，4＜f (2)f (1)＜8. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．观察下列等式：1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第n 个等式为________．解析：观察所给等式，等式左边第一个加数与行数相同，加数的个数为2n －1，故第n 行等式左边的数依次是n ，n ＋1，n ＋2，…，(3n －2)；每一个等式右边的数为等式左边加数个数的平方，从而第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)214．已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.解析：令ωx ＝X ，则函数y ＝2sin X 与y ＝2cos X 图象交点坐标分别为⎝⎛⎭⎫π4＋2k π， 2，⎝⎛⎭⎫5π4＋2k π，－2，k ∈Z.因为距离最短的两个交点的距离为23，所以相邻两点横坐标最短距离是2＝T 2，所以T ＝4＝2πω，所以ω＝π2.答案：π215．已知函数f (x )＝22x ＋1＋sin x ，则f (－2 017)＋f (－2 016)＋f (0)＋f (2 016)＋f (2 017)＝________.解析：因为f (x )＝22x ＋1＋sin x ，所以f (－x )＝22－x ＋1－sin x ＝2·2x 2x ＋1－sin x ，所以f (x )＋f (－x )＝2.则f (2 017)＋f (－2 017)＝2，f (2 016)＋f (－ 2 016)＝2.而f (0)＝220＋1＋sin 0＝1，所以f (－2 017)＋f (－2 016)＋f (0)＋f (2 016)＋f (2 017)＝5.答案：516．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线上一点且|PF 1|＝2|PF 2|，则此双曲线离心率的取值范围是________．解析：由双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，而由题意|PF 1|＝2|PF 2|，故|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .又|F 1F 2|＝2c ，由三角不等式有6a ≥2c .又由定义知c ＞a ，故离心率e ＝ca∈(1,3]．答案：(1,3]三、解答题(本大题共3小题，共36分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 3a n 2＋1，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝32a 1－1，∴a 1＝2.S n ＝32a n －1，①S n －1＝32a n －1－1(n ≥2)，②①－②得，a n ＝⎝⎛⎭⎫32a n －1－⎝⎛⎭⎫32a n －1－1， 即a n ＝3a n －1，∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＝2×3n －1.(2)由(1)得b n ＝2log 3a n2＋1＝2n －1，∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n＝11×3＋13×5＋…＋1(2n －3)(2n －1)＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －3－12n －1 ＝n －12n －1. 18．(本小题满分12分)某中学环保社团参照国家环境标准，制订了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300)：空气质量指数(0，50](50，100](100，150](150，200](200，250](250，300]空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染空气质量指数频数频率(0,50]x a(50,100]y b(100,150]250.25(150,200]200.2(200,250]150.15(250,300]100.1该社团将该校区在率分布表，将频率视为概率．估算得全年空气质量等级为2级良的天数为73天(全年以365天计算)．(1)求x，y，a，b的值；(2)请将频率分布直方图补全，并估算这100天空气质量指数监测数据的平均数．解：(1)∵365b＝73，∴b＝0.2，又a＋b＝0.3，故a＝0.1，x＝10，y＝20.(2)补全频率分布直方图如图所示：由频率分布直方图，可估算这100天空气质量指数监测数据的平均数为25×0.1＋75×0.2＋125×0.25＋175×0.2＋225×0.15＋275×0.1＝145.19.(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P ­ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD ＝DC ＝4，AD ＝2，E 为PC 的中点．(1)求证：AD ⊥PC .(2)求三棱锥A ­PDE 的体积．(3)AC 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ， 所以PD ⊥AD .又因为底面ABCD 是矩形， 所以AD ⊥CD . 因为PD ∩CD ＝D ，所 以AD ⊥平面PCD . 又因为PC ⊂平面PCD ， 所以AD ⊥PC .(2)因为AD ⊥平面PCD ， 所以AD 是三棱锥A ­PDE 的高． 因为E 为PC 的中点，且PD ＝DC ＝4. 所以S △PDE ＝12S △PDC ＝12×⎝⎛⎭⎫12×4×4＝4. 又AD ＝2，所以V A ­PDE ＝13AD ·S △PDE ＝13×2×4＝83.(3)取AC 中点M ，连接EM ，DM .因为E 为PC 的中点，M 是AC 的中点，所以EM ∥PA . 又因为EM ⊂平面EDM ， PA ⊄平面EDM ， 所以PA ∥平面EDM ， 且AM ＝12AC ＝ 5.即在AC 边上存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，AM 的长为 5.四、选做题(请在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分) 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知直线L 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝21＋3cos 2θ.(1)直接写出直线L 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与直线L 夹角为π3的直线l ，设直线l 与直线L 的交点为A ，求|PA |的最大值．解：(1)直线L 的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ－6＝0， 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1. (2)直线L 的普通方程为2x ＋y －6＝0， 设曲线C 上任意一点P (cos α，2sin α)， 点P 到直线L 的距离d ＝|2cos α＋2sin α－6|5，由题意得|PA |＝dsin π3＝415⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－315.∴当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1时，|PA |最大， 最大值为415(3＋2)15.23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝5时，解关于x 的不等式f (x )＞9；(2)设关于x 的不等式f (x )≤|x －4|的解集为A ，B ＝{x ||2x －1|≤3}，如果A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝5时，f (x )＝|x ＋5|＋|x －2|.当x ≥2时，由f (x )＞9，得2x ＋3＞9，解得x ＞3； 当－5≤x ＜2时，由f (x )＞9得7＞9，此时不等式无解； 当x ＜－5时，由f (x )＞9得－2x －3＞9，解得x ＜－6.综上所述，当a ＝5时，不等式f (x )＞9的解集为{x |x ＜－6或x ＞3}． (2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .∵B ＝{x ||2x －1|≤3}＝{x |－1≤x ≤2}． ∴当－1≤x ≤2时，f (x )≤|x －4|恒成立， 即|x ＋a |≤|x －4|－|x －2|在－1≤x ≤2时恒成立． ∴当－1≤x ≤2时，|x ＋a |≤2恒成立， 即－2－x ≤a ≤2－x 恒成立．∴实数a的取值范围为[－1,0]．。

������( - ������) ������(������)
又 g(-x)=cos( - ������) = cos������=g(x),
∴g(x)为偶函数,
由 f(x)>
2f
π 4
������(������)
cos x,得cos������ >
2f
π 4
.
π ������( ) ������(������) 4 ∴ >. c2x)>f(x+1)⇒f(|2x|)>f(|x+1|)⇒|2x|>|x+1|,解得 x<-3或 x>1,即 x 的取值范围为 -∞,-3
∪(1,+∞).故选 D.
π
11.C 解析 由 0<x<2时,
f'(x)+f(x)tan x<0,可得: f'(x)cos x+f(x)sin x<0.
考前强化练 2 客观题 12+4 标准练 B
一、选择题 1.复数 z 满足(1+i)z=i+2,则 z 的虚部为( )
3
1
1
1
A.2
B.2
C.-2
D.-2i
2.已知集合 A={-2,-1,1,2},集合 B={k∈A|y=kx 在 R 上为增函数},则 A∩B 的子集个数为( )
则 f(a1)×f(a2)×…×f(a2 019)=( )
A.-22 019
B.22 020
C.-22 017
D.2201
10.(2019 广东潮州高三二模,理 10)设函数 f(x)=ex+e-x+x2,则使 f(2x)>f(x+1)成立的 x 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(1,+∞)

2020年高考数学120分120分(12＋4＋3＋2)保分练(二)(满分：126分 限时：90分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |y ＝4x －x 2}，B ＝{x ||x |≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．[－2,2] B ．[－2,4] C ．[0,2]D ．[0,4]解析：选B ∵A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |－2≤x ≤2}， ∴A ∪B ＝{x |－2≤x ≤4}．2．“a ＝1”是“复数z ＝(a 2－1)＋2(a ＋1)i(a ∈R)为纯虚数”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若a 2－1＋2(a ＋1)i 为纯虚数，则a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，反之也成立．故选A.3．设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 向x 轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k 等于( )A.32 B ．±32C ．±12D.12解析：选B 由题意可得，c ＝1，a ＝2，b ＝3，不妨取A 点坐标为⎝⎛⎭⎫1，±32，则直线的斜率k ＝±32.4．如果圆x 2＋y 2＝n 2至少覆盖曲线f (x )＝3sin πxn(x ∈R)的一个最高点和一个最低点，则正整数n 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 最小范围内的最高点坐标为⎝⎛⎭⎫n2，3，原点到最高点的距离为半径，即n 2＝n 24＋3，解得n ＝2.5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．8＋4 5B ．4＋8 5C ．4＋2 3D ．8＋4 3解析：选A 由三视图知，该几何体是由两个相同的直三棱柱AOD -EFG 和BOF -CDG 组合而成的，如图所示，则该几何体的表面积为12×2×1＋12×(1＋2)×2＋2×5＋12×(1＋2)×2＋2×5＋12×2×1＝8＋4 5.6．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)的图象与直线y ＝－2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f (x )的单调递减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋4π3，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤2k π－π12，2k π＋5π12，k ∈Z 解析：选A f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6， 由题意得T ＝π，即2πω＝π，所以ω＝2，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .7．运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A.29－129B.29＋129C.210－1210D.210210＋1解析：选A 由程序框图可知，输出的结果是首项为12，公比也为12的等比数列的前9项和，即为29－129.8．某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如图．则该同学数学成绩的方差是( )A ．125B ．5 5C ．45D ．3 5解析：选C 由茎叶图知平均值为114＋126＋128＋1324＝125，∴s 2＝14[(125－114)2＋(125－126)2＋(125－128)2＋(125－132)2]＝45.9．在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA ―→|＝|DB ―→|＝|DC ―→|，DA ―→·DB ―→＝DB ―→·DC ―→＝DC ―→·DA ―→＝－2，动点P ，M 满足|AP ―→|＝1，PM ―→＝MC ―→，则|BM ―→|2的最大值是( )A.434B.494C.37＋634D.37＋2334解析：选B 如图，由|DA ―→|＝|DB ―→|＝|DC ―→|知，D 为△ABC 的外心，由DA ―→·DB ―→＝DB ―→·DC ―→＝DC ―→·DA ―→知，D 为△ABC 的垂心，所以△ABC 为正三角形，易知其边长为2 3.由|AP ―→|＝1，知点P 在以点A 为圆心，1为半径的圆上，取AC 的中点E ，则|EB ―→|＝3，因为M 是PC 的中点，所以|EM |＝12|AP |＝12，当B ，E ，M 三点共线时，|BM ―→|最大，所以|BM ―→|max ＝|EB ―→|＋12＝72，则|BM ―→|2max ＝494.10．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，2x ＋y ≥2，y ≤2，若直线x ＋y ＋b ＝0与不等式组表示的平面区域无公共点，则b 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－5)C ．(－∞，－5)∪(－1，＋∞)D ．(－5，－1)解析：选C 作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．当直线x ＋y ＋b ＝0过点A (1,0)时，b ＝－1，其纵截距为1；当直线x ＋y ＋b ＝0过点B (3,2)时，b ＝－5，其纵截距为5，所以当直线x ＋y ＋b ＝0与不等式组表示的可行域无交点时，b ＞－1或b ＜－5.11．记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S 6S 6－7·S 6－S 3S 3－8＝0，且正整数m ，n 满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8n的最小值是( )A.157B.95C.53D.75解析：选C ∵{a n }是正项等比数列， 设{a n }的公比为q (q ＞0)， ∴S 12－S 6S 6＝q 6，S 6－S 3S 3＝q 3， ∴q 6－7q 3－8＝0，解得q ＝2，又a 1a m a 2n ＝2a 35，∴a 31·2m ＋2n －2＝2(a 124)3＝a 31213，∴m ＋2n ＝15，∴1m ＋8n ＝115⎝⎛⎭⎫1m ＋8n (m ＋2n ) ＝17＋2n m ＋8m n 15≥17＋22n m ·8mn 15＝53，当且仅当2n m ＝8mn ，n ＝2m ，即m ＝3，n ＝6时等号成立，∴1m ＋8n 的最小值是53.12．已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )＜2f (x )，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1) 解析：选D 根据题意，设函数g (x )＝f (x )x 2(x ≠0)， 当x ＞0时，g ′(x )＝xf ′(x )－2f (x )x 3＜0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减． 因为f (x )为偶函数，所以g (x )为偶函数． 又f (1)＝0，所以g (1)＝0，故g (x )在(－1，0)∪(0,1)上的函数值大于零， 即f (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：①如果开启1号阀门，那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门；②如果开启2号阀门或者5号阀门，那么要关闭4号阀门；③不能同时关闭3号阀门和4号阀门，现在要开启1号阀门，则同时开启的2个阀门是________．解析：若要开启1号阀门，由①知，必须开启2号阀门，关闭5号阀门，由②知，关闭4号阀门，由③知，开启3号阀门，所以同时开启2号阀门和3号阀门．答案：2号和3号14．若函数f (x )＝4sin 5ax －43cos 5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则实数a 的值为________．解析：因为f (x )＝8sin ⎝⎛⎭⎫5ax －π3，依题意有，T 2＝π3，所以T ＝2π3.又因为T ＝2π5|a |，所以2π5|a |＝2π3，解得a ＝±35. 答案：±3515．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为________．解析：∵直线y ＝33(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P .∴|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|·sin 60°＝3c ，由双曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝c3c －c2＝3＋1.答案：3＋116．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ＜1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________．解析：由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0，得f (x )＝21－|x |，画出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ＜1，x 2－4x ＋2，x ≥1与y ＝21－|x |的图象如图所示，可知它们有2个交点，所以零点有2个．答案：2三、解答题(本大题共3小题，共36分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1＋a ，数列{b n }满足b n ＝2－log 2a 3n .(1)求常数a 的值；(2)求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝22＋a ＝4＋a ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1＋a －(2n ＋a )＝2n ，∵{a n }为等比数列，∴a 22＝a 1·a 3，即(22)2＝(4＋a )·23，解得a ＝－2.(2)由(1)知a n ＝2n ，则b n ＝2－log 223n ＝2－3n ， ∵b n ＋1－b n ＝－3对一切n ∈N *都成立， ∴{b n }是以－1为首项，－3为公差的等差数列， ∴T n ＝nb 1＋n (n －1)2d ＝n －3n 22.18．(本小题满分12分)如图，四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，AB ＝2DC ＝23，AC ∩BD ＝F .且△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为AD 的中点，G 为△PAD 的重心．(1)求证：GF∥平面PDC； (2)求三棱锥G -PCD 的体积．解：(1)证明：法一：连接AG 交PD 于H ，连接CH . 由四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD 且AB ＝2DC ， 知AF FC ＝21， 又E 为AD 的中点，G 为△PAD 的重心， ∴AG GH ＝21， 在△ACH 中，AG GH ＝AF FC ＝21，故GF ∥HC . 又HC ⊂平面PCD ，GF ⊄平面PCD ， ∴GF ∥平面PDC .法二：过G 作GK ∥PD 交AD 于K ，连接KF ，GF ，如图所示．由△PAD 为正三角形，E 为AD 的中点，G 为△PAD 的重心， 得DK ＝23DE ，∴DK ＝13AD ，又由四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2DC ， 得AF FC ＝21，∴FC ＝13AC . ∴在△ADC 中，KF ∥DC ， ∵GK ∩KF ＝K ，PD ∩DC ＝D ， ∴平面GKF ∥平面PDC ，又GF ⊂平面GKF ，∴GF ∥平面PDC .(2)法一：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为AD 的中点， ∴PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，PE ⊥平面ABCD ，且PE ＝3. 由(1)知GF ∥平面PDC ，∴V G -PCD ＝V F -PCD ＝V P -CDF ＝13×PE ×S △CDF . 又由四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2DC ＝23，知DF ＝13BD ＝233.由△ABD 为正三角形，得∠CDF ＝∠ABD ＝60°， ∴S △CDF ＝12×CD ×DF ×sin ∠BDC ＝32，∴V P -CDF ＝13×PE ×S △CDF＝32，∴三棱锥G -PCD 的体积为32. 法二：由平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为AD 的中点， 得PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，PE ⊥平面ABCD ，且PE ＝3，∵PG ＝23PE ，∴V G -PCD ＝23V E -PCD ＝23V P -CDE ＝23×13×PE ×S △CDE ， 由△ABD 为正三角形，得∠EDC ＝120°， ∴S △CDE ＝12×CD ×DE ×sin ∠EDC ＝334.∴V P -CDE ＝13×PE ×S △CDE ＝13×3×334＝334， ∴三棱锥G -PCD 的体积为23V P -CDE ＝23×334＝32. 19．(本小题满分12分)某校在高一年级学生中，对自然科学类、社会科学类选修课程的选课意向进行调查．现从高一年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名．(1)试问：从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为多少？(2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.解：(1)从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为105180＝712.(2)根据统计数据，可得2×2列联表如下：∴K 2＝180×(60×45－30×45)2105×75×90×90＝367≈5.143＞5.024.∴在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为科类的选择与性别有关． 四、选做题(请在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分) 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系下，直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ－4cos θ＝0.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |的值． 解：(1)直线l 的普通方程为x －y －1＝0.由ρ－4cos θ＝0，得ρ2－4ρcos θ＝0，则x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4， 所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得⎝⎛⎭⎫22t －12＋⎝⎛⎭⎫22t 2＝4，即t 2－2t －3＝0， 设方程t 2－2t －3＝0的两根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝－3，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝14. 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若a ＝1，解不等式：f (x )≥4－|x －1|；(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋12n ＝a (m ＞0，n ＞0)，求mn 的最小值．解：(1)当a ＝1时，不等式为|x －1|≥4－|x －1|， 即|x －1|≥2，∴x －1≥2或x －1≤－2， 即x ≥3或x ≤－1，∴原不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(2)f (x )≤1⇔|x －a |≤1⇔－1≤x －a ≤1⇔a －1≤x ≤a ＋1， ∵f (x )≤1的解集为[0,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝2，解得a ＝1. ∴1m ＋12n ＝1≥212mn(m ＞0，n ＞0)， ∴mn ≥2，当且仅当m ＝2，n ＝1时取等号． ∴mn 的最小值为2.。

..[80分] 12＋4标准练41．已知全集U ＝{1,2,3,4}，若A ＝{1,3}，B ＝{3}，则(∁U A )∩(∁U B )等于( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{2,3} D ．{2,4} 答案 D解析 根据题意得∁U A ＝{2,4}，∁U B ＝{1,2,4}， 故(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}．2．设i 是虚数单位，若复数z ＝i1＋i ，则z 的共轭复数为( )A.12＋12i B ．1＋12i C ．1－12i D.12－12i 答案 D解析 复数z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i ＋12，根据共轭复数的概念得，z 的共轭复数为12－12i.3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为( )A ．30B ．25C ．22D ．20 答案 D解析 50×(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝20.4．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，f (－1))处切线的斜率为8，则f (－1)等于( ) A ．7 B ．－4 C ．－7 D ．4 答案 B解析 ∵y ′＝4x 3＋2ax ，∴－4－2a ＝8， ∴a ＝－6，∴f (－1)＝1＋a ＋1＝－4.5．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A ．1B. 2..C.12D.22答案 D解析 设a 与b 的夹角为θ， ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，即a 2－|a |·|b |cos θ＝0， ∴cos θ＝22， ∴向量a 在b 方向上的投影为|a |·cos θ＝22. 6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.83B.163C.203 D ．8 答案 B解析 由三视图可知，该几何体是底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示．∴该几何体的体积V ＝13×8×2＝163.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，则ω的最小值为( )A.23 B ．1 C.43 D ．2 答案 A解析 方法一 当x ＝π2时，ωx ＋φ＝π2ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，当x ＝π4时，ωx ＋φ＝π4ω＋φ＝2k 2π＋π6或2k 2π＋5π6，k 2∈Z ，两式相减，得π4ω＝(k 1－2k 2)π－π6或(k 1－2k 2)π－5π6，k 1，k 2∈Z ，即ω＝4(k 1－2k 2)－23或4(k 1－2k 2)－103，k 1，k 2∈Z ，又因为ω>0，所以ω的最小值为4－103＝23.方法二 直接令π2ω＋φ＝π，π4ω＋φ＝5π6，得π4ω＝π6，解得ω＝23.8．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 C解析 i ＝0，S ＝0，x ＝1，y ＝1，开始执行程序框图，i ＝1，S ＝1＋1，x ＝2，y ＝12；i ＝2，S ＝1＋2＋1＋12，x＝4，y ＝14；…；i ＝5，S ＝(1＋2＋4＋8＋16)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋18＋116<33，x ＝32，y ＝132，再执行一次，S >d 退出循环，输出i ＝6，故选C.9．在△ABC 中，tan A ＋B2＝sin C ，若AB ＝2，则△ABC 的周长的取值范围是( )A ．(2,22]B ．(22，4]C ．(4,2＋22]D ．(2＋22，6]答案 C解析 由题意可得tan A ＋B 2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C2＝cosC2sinC 2＝2sin C 2cos C2，则sin 2C 2＝12，即1－cos C 2＝12， ∴cos C ＝0，C ＝π2.据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形， 则4＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，据此有a ＋b ≤22，∴△ABC 的周长a ＋b ＋c ≤2＋2 2. 三角形满足两边之和大于第三边， 则a ＋b >2，∴a ＋b ＋c >4.综上可得，△ABC 周长的取值范围是(4,2＋22]．10．一个三棱锥A －BCD 内接于球O ，且AD ＝BC ＝3，AC ＝BD ＝4，AB ＝CD ＝13，则球心O 到平面ABC 的距离是( ) A.152 B.153 C.154 D.156答案 D解析 由题意可得三棱锥A －BCD 的三对对棱分别相等，所以可将三棱锥补成一个长方体AEDF －GCHB ，如图所示，该长方体的外接球就是三棱锥A －BCD 的外接球O ，长方体AEDF －GCHB 共顶点的三条面对角线的长分别为3,4，13，设球O 的半径为R ，长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝9，x 2＋z 2＝16，y 2＋z 2＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝3，z 2＝10，则(2R )2＝x 2＋y 2＋z 2＝6＋3＋10＝19，即4R 2＝19. 在△ABC 中，由余弦定理得则sin∠ACB ＝32， 再由正弦定理得ABsin∠ACB＝2r (r 为△ABC 外接圆的半径)，则r ＝133，因此球心O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝156. 11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15.其中m ∈N *且m ≥2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( ) A.24143 B.1143 C.2413 D.613答案 D解析 ∵S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15， ∴a m ＝S m －S m －1＝0－13＝－13，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝－15－0＝－15，又∵数列{a n }为等差数列，∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝－15－(－13)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)a 1＋(m －1)(m －2)2×(－2)＝13，ma 1＋m (m －1)2×(－2)＝0，解得a 1＝13，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13－2(n －1)＝15－2n ， 当a n ≥0时，n ≤7.5， 当a n ＋1≤0时，n ≥6.5， ∴数列的前7项为正数， ∴1a n a n ＋1＝1(15－2n )(13－2n ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫113－2n －115－2n∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为12⎝ ⎛⎭⎪⎫111－113＋19－111＋17－19＋…＋1－13＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－113＝613.故选D.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧||log 2x ，0<x <2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ，2≤x ≤10，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2的取值范围是( ) A ．(0,12) B ．(0,16) C ．(9,21) D ．(15,25)答案 A解析 函数的图象如图所示，∵f (x 1)＝f (x 2)，∴－log 2x 1＝log 2x 2， ∴log 2x 1x 2＝0，∴x 1x 2＝1， ∵f (x 3)＝f (x 4)， 由函数对称性可知，x 3＋x 4＝12,2<x 3<x 4<10，∴(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2＝x 3x 4－2(x 3＋x 4)＋4＝x 3x 4－20＝x 3(12－x 3)－20＝－(x 3－6)2＋16， ∵2<x 3<4，∴(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2的取值范围是(0,12)．13．已知二面角α－l －β为60°，动点P ，Q 分别在平面α，β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P ，Q 两点之间距离的最小值为________． 答案 2 3解析 如图，分别作QA ⊥α于点A ，AC ⊥l 于点C ，PB ⊥β于点B ，PD ⊥l 于点D ，连接CQ ，BD ，则∠ACQ ＝∠PDB ＝60°，AQ ＝23，BP ＝3，∴AC ＝PD ＝2.又∵PQ ＝AQ 2＋AP 2＝12＋AP 2≥23，当且仅当AP ＝0，即点A 与点P 重合时取最小值．14.已知正方形的四个顶点A (1,1)，B (－1，1)，C (－1，－1)，D (1，－1)分别在曲线y ＝x 2和y ＝1－x 2－1上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案8＋3π24解析 y ＝x 2与AB 相交的阴影部分面积为2－ʃ1－1x 2d x ＝2－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 331－1＝2－23＝43， y ＝1－x 2－1化简得(y ＋1)2＋x 2＝1，则y ＝1－x 2－1与CD 相交的阴影部分的面积为半圆的面积， 即π×122＝π2，故质点落在图中阴影区域的概率是43＋π24＝8＋3π24.15．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋2y －5≤0，y ≥1，则u ＝(x ＋y )2xy的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163解析 作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，令t ＝y x，它表示可行域内的点(x ，y )与原点的斜率，由图联立直线方程可得A (1,2)，B (3,1)，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2.u ＝(x ＋y )2xy＝x 2＋2xy ＋y2xy＝x y ＋y x＋2＝t ＋1t＋2. 易知u ＝t ＋1t ＋2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递减， 在[1,2]上单调递增．当t ＝13时，u ＝163；当t ＝1时，u ＝4；当t ＝2时，u ＝92，所以u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163.16．已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |＝4，∠ABC ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段AD ，BC (包含端点D ，C )分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．答案 (1，3＋1]解析 以线段AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则在双曲线中c ＝2，C (1，3)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，只需C 点在双曲线右支图象的上方(包括在图象上)即可， 即1a 2－3b2≤1，两边同乘a 2b 2，得b 2－3a 2≤a 2b 2， 由于b 2＝c 2－a 2＝4－a 2，所以上式化为4－a 2－3a 2≤a 2()4－a 2，解得3－1≤a <2，所以12<1a ≤3＋12，故1<ca≤3＋1.。