江苏省2021-2022学年高二上学期数学开学考试(一)全解全析

2021年高二数学上学期入学考试试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

） 1．数列－3,7，－11,15，…的通项公式可能是( )A ．a n ＝4n －7B ．a n ＝(－1)n (4n ＋1)C ．a n ＝(－1)n (4n －1)D ．a n ＝(－1)n ＋1(4n －1)2．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( )A ．58B ．88C ．143D ．1763. 在△ABC 中，a ＝33，b ＝3，A ＝π3，则C 为( ) A.π6 B.π4 C.π2 D.2π34. 若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( ) A.17 B.16 C.57 D.565. 如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，C ′D ′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形6. 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3 B.52C ．2 2D ．2 7. 下列四个结论，正确的是( )①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ；②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ；③a >b >0⇒3a >3b ； ④a >b >0⇒1a 2>1b2. A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．①③8. 已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 9.等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2 10. 若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4 11. 若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点 ( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4) D ．(4，－2)12.如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ，1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）.若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则（ ）A ．是等差数列B ．是等差数列C ．是等差数列D ．是等差数列二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________.14、在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C＝________. 15. 过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ．16. 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （文科）（1）解不等式（2）若关于x 的不等式：(a-2)x 2+2(a-2)x-4<0的解集为R ，求实数a 的取值范围。

2021-2022年高二数学上学期入学考试试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的．请将你所选的答案填涂在答题卡相应位置．1．设集合，，若，则A. B. C. D.2.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的是A． B． C． D．3.已知，则下列不等式正确的是A． B． C． D．4.已知等差数列的前15项之和为，则=A. B. C. 1 D.5.如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的图像可能是A B C D6．等比数列{}中，，是方程的两根，则等于A．8 B．－8 C．±8 D．以上都不对7. 已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是A． B．Ｃ．Ｄ．8．在△ABC，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若内角A、B、C依次成等差数列，且不等式的解集为，则等于A．B．C．D． 49．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．12＋4 2B．18＋82C．28D．20＋8210．设是ABC 内一点，且0AB AC BAC⋅=∠=，若2330的面积分别为，则得最小值为A．8 B．9 C．16 D．1811．设是等比数列的各项的和，其中，则关于的方程在解的情况是A．有且仅有一个解 B．有两不同的解 C．有无穷多个解 D．无解12. 定义在上的函数满足，当时，．设在上的最大值为，且的前项和为，若对任意恒成立，则的最小正整数值为A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应的位置上． 13.21,1()2,1x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则 ．14．已知正方体的棱长为，该正方体的外接球的半径为，则=________．15．在中，tan tan 33tan A B A B +=，则角的弧度数为__________．16.如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，测得点的仰角为60°，再由点沿北偏东方向走到位置，测得，则塔的高是__________．三、解答题：本大题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将解题过程书写在答题卡相应位置.17．（本小题满分10分）已知向量121243,2a e e b e e =+=-+，其中.（Ι）求与夹角的余弦值；（Ⅱ）若向量与垂直，求实数的值.18．（本小题满分12分）已知公差大于零的等差数列满足：．(Ⅰ) 求数列通项公式；(Ⅱ) 记，求数列的前项和．19. （本小题满分12分）已知定义在上的函数2()(3)2(1)f x x a x a =--+-(其中).（Ⅰ）解关于的不等式;（Ⅱ）若不等式对任意恒成立,求的取值范围.20．（本小题满分12分） 设2()sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，，求△ABC 面积的最大值．21．（本小题满分12分）某渔业公司今年初用98万购进一艘渔船用于捕捞.第一年需各种费用12万元，从第二年开始每年包括维修费在内，所需费用均比上一年增加4万元，该船捕捞总收入预计每年50万元.（Ⅰ）该船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有费用之差为正）？ （Ⅱ）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：① 年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；② 盈利总额达到最大时，以8万元的价格卖出.问哪一种方案较为合算？并说明理由.22. （本小题满分12分）已知定义域在上的单调函数，存在实数，使得对于任意的实数,，总有()0102012()()()f x x x x f x f x f x +=++恒成立．（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，且对任意正整数，有11,1()2n n n a b f f n ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，记12231n n n T b b b b b b +=+++，求与； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若不等式212211224[log (1)log (91)1]35n n n a a a x x +++++>+--+对任意不小于2的正整数都成立，求实数的取值范围．双流中学xx 高二（上）入学试题数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的．请将你所选的答案填涂在答题卡相应位置．1．设集合，，若，则 ( B )A. B. C. D.[解] {}20log 010P Q a a b =⇒=⇒=⇒=，经检验满足，2.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的是（D ）A ．B ．C ．D ．3. 已知，则下列不等式正确的是（ C ）A ．B ．C ．D ．4.已知等差数列的前15项之和为，则=（ A ）A. B. C. 1 D.[解]()115158878981531515tan tan 3tan 12444a a S a a a a a a πππ+=⨯==⇒=⇒++===- 5.如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图像可能是( B )A ．B ．C ．D ．6．等比数列{}中，, 是方程的两根，则 等于( C )A ．8B ．－8C ．±8D ．以上都不对7. 已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是（ C ）A ．B ． Ｃ．Ｄ．[解] 因为函数的最小正周期为，若，则值域为，不符合题意.8．在△ABC ，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若内角A 、B 、C 依次成等差数列，且不等式的解集为，则等于（ B ）A ．B ．C ．D ． 4 [解] ∵内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴B =60°，∵不等式﹣x 2+6x ﹣8＞0的解集为{x |a ＜x ＜c }，∴a =2，c =4，∴b 2=a 2+c 2﹣2accos 60°=4+16﹣2×2×4×=12，∴．故选：B ．9．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体 的表面积为 （ D ）A ．12＋4 2B ．18＋82C ．28D ．20＋82 10．设是ABC 内一点，且023,30AB AC BAC ⋅=∠=，若的面积分别为，则得最小值为A ．8B ．9C ．16D ．18[解] 由条件可得，，∴1||||sin 12S AB AC BAC =⋅∠=，而，∴，∴141442()()2(5)18y x x y x y x y x y +=++=++≥，当且仅当1613x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立． 11．设是等比数列的各项的和，其中 ，则关于的方程在解的情况是（ A ）A ．有且仅有一个解B ．有两不同的解C ．有无穷多个解D ．无解[解] 2()()212n n F x f x x x x =-=++++-在上递增，当时，，∵11111220,(1)1012212n n F F n --⎛⎫=-=-<=-> ⎪⎝⎭-，由零点存在性定理在内有且仅有一个零点，∴关于的方程在解的情况是有且仅有一个零点.12. 定义在上的函数满足，当时，．设在上的最大值为，且的前项和为，若对任意恒成立，则的最小正整数值为（ B ）A ．2B ．3C ．4D ．5[解]画图可知，1234231111,,,,333a a a a ====…，， ∴2111111131331133323213n n n n S ---=++++==-<-， ∴，解得，即的最小正整数值为3. 选B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应的位置上．13.21,1()2,1x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则 ．[解]()22(1)(1)12(1)(2)12f f f f -=-+=⇒-=== 14. 已知正方体的棱长为，该正方体的外接球的半径为，则=________． [解] 215．在中，tan tan 33tan A B A B ++=，则角的弧度数为__________．[解] )tan tan 33tan tan tan 31tan tan A B A B A B A B +=⇒+=-- tan tan 2tan()31tan tan 33A B A B A B C A B ππ+⇒+==-+=⇒=- 16.如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，测得点的仰角为60°，再由点沿北偏东方向走到位置，测得，则塔的高是__________．[解] 设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有BC ＝x ，AC ＝x在△BCD 中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可得，可得，BC ＝= ，解得三、解答题：本大题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将解题过程书写在答题卡相应位置.17．（本小题满分10分）已知向量121243,2a e e b e e =+=-+，其中.（Ⅰ）求与夹角的余弦值；（Ⅱ）若向量与垂直，求实数的值.17[解] （Ⅰ）由已知，，∴||5,||5,2a b a b ==⋅=，………3分∴与夹角的余弦值为25cos ,25||||a b a b a b ⋅<>==．………………………………5分（Ⅱ）∵，∴，化简得222(12)0a xb x a b -+-⋅=， ……………………………………………8分即，解得． ………………………………………10分18.（本小题满分12分）已知公差大于零的等差数列满足：．(Ⅰ) 求数列通项公式；(Ⅱ) 记，求数列的前项和．[解] (Ⅰ) 由公差及，解得． ·················· 3分所以，所以通项． ····················· 6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)有， ······················ 8分所以是等比数列，首项，公比． ··············· 10分 所以数列的前项和. ····················· 12分19.（本小题满分12分）已知定义在上的函数2()(3)2(1)f x x a x a =--+-(其中).（Ⅰ）解关于的不等式;（Ⅱ）若不等式对任意恒成立,求的取值范围.19[解]（Ⅰ） ，而，等价于，于是当时，，原不等式的解集为；……………………2分当时，，原不等式的解集为； ………………………4分当时，，原不等式的解集为………………………6分（Ⅱ）不等式，即恒成立 ……………………………………8分又当时，=，(当且仅当时取“=”号).…10分∴的取值范围为…………………………………………………………………12分20．（本小题满分12分） 设2()sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求△ABC面积的最大值．20．解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣…………………………………………………………………3分由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；………………………………………………………………6分（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，[法一]由题意知A为锐角，所以cosA=，………………………………………………8分由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c 时等号成立．因此bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为． (12)分[法二] 由为锐角，所以，而，∴由正弦定理，，∴，………7分∴15sin sin sin sin sin26ABCS bc A B C B Bπ∆⎛⎫===-⎪⎝⎭ (8)分211sin cos sin cos 22B B B B B B ⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭11sin 2cos 2)sin 2242B B B B ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦……………………………………………………9分∵△ABC 为锐角三角形且，∴0256B B C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得 ∴ ， ……………………………………………………………11分故当即时，△ABC 的面积取得最大值.……………12分21．（本小题满分12分）某渔业公司今年初用98万购进一艘渔船用于捕捞.第一年需各种费用12万元，从第二年开始每年包括维修费在内，所需费用均比上一年增加4万元，该船捕捞总收入预计每年50万元.（Ⅰ）该船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有费用之差为正）？ （Ⅱ）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：① 年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；② 盈利总额达到最大时，以8万元的价格卖出.问哪一种方案较为合算？并说明理由.解： （Ⅰ）设年后盈利额为元()215012498240982n n y n n n n -⎡⎤=-+⨯-=-+-⎢⎥⎣⎦令，得，从第3年开始盈利. …………………………………………………………………6分（Ⅱ） ①平均盈利982404012y n n n =--+≤-= 这种情况下，盈利总额为万元，此时.…………………………………………………………………………9分②()2210102102y n =--+≤，此时.这种情况下盈利额为.……………………………………………11分两种情况的盈利额一样，但方案①的时间短，故方案①合算. …………………12分22. （本小题满分12分）已知定义域在上的单调函数，存在实数，使得对于任意的实数,，总有()0102012()()()f x x x x f x f x f x +=++恒成立．（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，且对任意正整数，有11,1()2n n n a b f f n ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，记12231n n n T b b b b b b +=+++，求与； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若不等式212211224[log (1)log (91)1]35n n n a a a x x +++++>+--+ 对任意不小于2的正整数都成立，求实数的取值范围．[解] （Ⅰ）令得：00(0)()2(0)()(0)f f x f f x f =+⇒=-……………①令，得00()()(1)(0)(1)(0)f x f x f f f f =++⇒=-………②由①②得，又因为是单调函数，∴……………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得121212()(1)()()()()1f x x f f x f x f x f x +=++=++ 令，且，则(1)()(1)1()2f n f n f f n +=++=+∴数列为等差数列，又∵，∴，∴ ………………………………………6分11)21(,0)21()1()21()21()2121()1(1=+==∴++=+=f b f f f f f f 法一：11111211222n n n n b f -⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭ 法二：111111111()()2()(1)2()122222n n n n n f f f f f ++++=+=+=+ 1111111122()2()2()12222n n n n n n b f f f b ++++=+=+=+= ∴ ……………………………………………………………7分12311211)21()21()21()21()21()21()21()21()21(--+⋯++=⨯+⋯+⨯+⨯=n n n o n T ……………………………………………………………………………8分令122()n n n F n a a a ++=+++，则 1111(1)()0414321(43)(41)(21)F n F n n n n n n n +-=+-=>++++++ ∴数列单调递增，∴当时3412()(1)(2)35F n F n F a a >->>=+= ∴ 21122124[log (1)log (91)1]3535x x >+--+，即21122log (1)log (91)2x x +--<， 即211221log (1)log (91)4x x +<-，亦即22119104(1)91x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩解得或，故 ………………12分36210 8D72 赲24517 5FC5 必 21114 527A 剺<#23346 5B32 嬲}39251 9953 饓35233 89A1 覡35317 89F5 觵y37996 946C 鑬40591 9E8F 麏26387 6713 朓。

2021—2022学年度高二开学分班考试（二）数学·全解全析1．C 【详解】由题得(2,2)a b -=， 因为a b -与c 共线， 所以22(1)0m -⨯-=， 解得1m =-. 故选：C ． 2．C 【详解】对于A ，向量是既有大小又有方向的量，单位向量只是模相等，故A 错误； 对于B ，cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅，a 与b 的夹角不确定，故B 错误； 对于C ，由向量数乘的定义可知正确；对于D ，0a b →→⋅=，说明a 与b 垂直，故D 错误； 故选：C. 3．A 【详解】因为21sin cos 12sin cos 1sin 222225ααααα⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭，所以24sin 25α=. 故选：A 4．C 【详解】 因为3cos 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故4sin 5α，所以7sin sin cos cos sin 4442510πππααα⎛⎫+=+==⎪⎝⎭. 故选：C.5．C 【详解】在ABC 中，由正弦定理得，sin sin sin C A c aB b++=，又sin sin sin b C A a c B+=-，所以b c aa cb +=-， 整理得222bc a +=. 所以ABC 为直角三角形. 故选：C. 6．D 【详解】设AB =x 米，在直角△ACB 中∠ACB =45°，所以BC =AB =x 米. 在直角△ABD 中，∠D =30°，tan AB D BD ∠=，∴=3tan30ABBD x =︒. ∵BD BC CD -=， ∴3100,x x -=解得:50(31)x =+.故选：D 7．C 【详解】由题意将平面1I DCC D 展开到矩形1I ACC A 所在平面，结合展开图可知当1,,A M D 三点共线时，1MD MA +取得最小值，最小值为展开图中1D A 的长度，求出展开图中1D A 的长度即可.，当1,,A M D 三点共线时，1MD MA +取得最小值，最小值为展开图中1D A 的长度，因为222AC AB BC +=，1CD =，所以展开图中3AD =，又因为1132DD CC ==所以展开图中2213236322D A ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭故选：C. 8．D 【详解】前200名学生中A 校人数20046%92⨯=人，C 校人数20020%40⨯=人，92402=80>⨯,故A 一定正确；前100名学生中A 校人数约为292554人，超过半数的50人，故B 一定正确； 成绩前150名以内的学生中A 校人数约为29252175++=人，B 校人数最多全在这个范围，有34%20068⨯=人,所以C 校至少有15075687--=人，又∵成绩前200名学生中C 校人数为40人，所以C 校至多有407-=33人测试成绩前151—200名之间，故C 一定正确； 测试成绩前51—100名学生中A 校人数约为25人，这200名学生中B 校学生总数为20034%68⨯=人，有可能也有25人在51—100名之间，故D 不一定正确，故选：D. 9．ABC 【详解】解：由题可知，2013—2020年我国农村每年减贫人数均大于0，因此贫困人口逐年减少，故选项A 正确；2013—2019年我国农村每年减贫人数的平均值为1650123214421240128913861109934877++++++=(万人)，又934813007>，故选项B 正确；2017年末我国农村贫困人口为551110913863046++=(万人)，故选项C 正确； 由于2013—2019年我国农村贫困人口每一年都大量减少，故选项D 错误. 故选：ABC. 10．ABD 【详解】1()2cos 222cos 22sin 226f x x x x x x π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，t =2,626x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，此时sin y t =递增，A 正确；2sin 22666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确；将()f x 的图象向左平移512π个单位后得解析式52sin 2()2sin(2)2sin 22sin 2126y x x x x πππ⎡⎤=++=+=-≠⎢⎥⎣⎦，C 错误；易知函数周期为22T ππ==，因此当12,x x π-=则()()12f x f x =，D 正确． 故选：ABD ．11．BCD 【详解】 因为,a b 是平面上夹角为3π的两个单位向量，所以设,AB a AC b ==，建立如图所示直角坐标系：,,AP c a c PB b c PC =-=-=，由()()0a c b c -⋅-=，即0PB PC ⋅=，所以点P 在以BC 为直径的圆上， 所以3a b +=，故A 错误；1a b BC -==，故B 正确；由图可知，a b +与c 的夹角为锐角，所以a b +与c 不可能垂直，故C 正确；AP 的最大值为：13322+<，故D 正确，故选：BCD 12．BD 【详解】连接AC ，显然11//AC AC ，而直线DE 与平面ABCD 相交于点D ，且D 不在直线AC 上， ∴直线AC 与直线DE 异面，则直线11AC 与直线DE 异面，选项A 错误；在正方体1111ABCD A BC D -中，显然1//D F BE ，选项B 正确；显然平面EBD 不垂直平面FBD ，即二面角E BD F --的大小不为2π，选项C 错误；直线11AC 与平面EDB 所成角即为直线AC 与平面EDB 所成角，设为α， 设正方体边长为2，则11222,1,3,223622BCD BDE S CE OE S ∆∆=⨯⨯====⨯，设点C 到平面BDE 的距离为d ，则1133BCD BDE S CE S d ∆∆⋅=⋅，即26d =，解得63d =，∴633sin 32d OC θ===，选项D 正确． 故选：BD ．13．1-.【详解】 因为3i 2iz=+-，所以()()23i 2i 63i+2i i 7i z =+-=--=-，所以z 的虚部为1-， 故答案为：1-. 14．53【详解】在ABC 中，记53a BC ==，b AC =，15c AB ==，又30B =︒， 由余弦定理得，22232cos 7522525315752b a c ac B ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，解得53b =，即53AC =. 故答案为：53. 15．1【详解】由题意，沿圆锥的一条母线将圆锥剪开，其侧面如图所示，设小虫爬行的最短路程为PP '，在POP '△中，3OP OP '==，PP '=由余弦定理可得2221cos 22OP OP PP POP OP OP ''+-'∠==-'⋅，()0,POP π'∠∈，故23POP π'∠=， 设圆锥底面圆半径为cm r ，则2233r ππ=⨯，解得1r =. 故答案为：1. 16．23【详解】由题意知：cos cos 3(3G αβ++，∴cos cos 33αβ⎧++⎪=⎪⎨=，即cos cos sin sin αβαβ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，∴2224(cos cos )cos 2cos cos cos 3αβααββ+=++=， 222(sin sin )sin 2sin sin sin 2αβααββ+=++=，将两式相加，得：1022(cos cos sin sin )3αβαβ++=， ∴()2cos cos sin s cos in 3αβαβαβ-==+. 故答案为：23. 17．（1）59m =，89n =-；（2）1613k =-. 【详解】解：（1）因为(3,2)a =，(1,2)b =-，(4,1)c =，且a mb nc =-(3，2)(1a mb nc m ==-=-，2)(4n -，1)(4m n =--，2)m n -.∴4322m n m n --=⎧⎨-=⎩，解得59m =，89n =-.（2）(3a kc +=，2)(4k +，1)(34k =+，2)k +.22(1b a -=-，2)(3-，2)(5=-，2).5(2)2(34)0k k ∴-+-+=，解得1613k =-. 18．（1）(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】解：2cos cos 1y x x x =+13cos 22222x x =++3sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （1）令()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，得()36k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 所以函数()y f x =的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （2）由02x π≤≤得72666x πππ≤+≤， ∴1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 从而函数()y f x =的值域为51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．19．（1）6π；（2）4π. 【详解】（1sin cos A BC B ⋅=⋅，在ABC 中结合正弦定理得sin sin cos B A A B ⋅=⋅，因为()0,A π∈，所以sin 0A >cos B B =，06B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为()0,B π∈，所以6B π=；（2）由（1）知6B π=，又因为3C π=，所以2BAC π∠=，又因为AB =100AC =，设BAD ∠=α，则0,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且56BDA πα∠=-，在ABD △中，由正弦定理5sinsin 66ADAB ππα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以sin 6AD α=- ⎪⎝⎭3CAE πα∠=-，所以3AEC πα∠=+，在ACE 中，由正弦定理得sin sin 33AEAC ππα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故sin 3AE α=+ ⎪⎝⎭，结合三角形得面积公式得1sin 2ADES AD AE DAE =⋅⋅⋅∠1sin 52sin sin 63DAEππαα=⋅⋅⋅∠⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14==因为0,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以220,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当22πα=，即4πα=时2sin 2α大值2(75002-，此时4BAD π∠=.20．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 【详解】（Ⅰ）由鳖臑的概念，可知DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴DE AC ⊥， 又∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥， ∵BD DE D ⋂=，∴AC ⊥平面BDE ， ∵AC ⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面BDE ．（Ⅱ）由已知可得点M 为线段AF 的三等分点，111333232ABF DCE B EFM E BCD AMEDB V V V V ---=--=⨯⨯-⨯⨯多面体1133332⨯⨯⨯⨯⨯=21．（1）613；（2）3万，2.6万元；（3）26925，甲组的研发水平应高于乙组研发水平. 【详解】（1）至少有一组研发成功有13种情况，甲乙都研发成功有6种情况，则概率为613P =. （2）甲组研发新药的贡献效益依次为5，5，5，1-，1-，5，5，5，1-，5，1-，5，5，1-，5．则甲组贡献经济效益金的平均值15054531515X -===（万元）． 乙组研发新药的贡献效益依次为5，1-，5，5，1-，5，5，1-，5，1-，1-，5，1-，5，5．则乙组贡献经济效益金的平均值45639132.615155X -====3（万元）． （3）甲组获得奖金额依次为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1（千元）， 甲组获得资金的平均值102153X ==2（千元），甲组获得资金的方差 222212221*********X S⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 乙组获得奖金额依次为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1（千元） 乙组获得奖金的平均值93155X ==4（千元），乙组获得奖金的方差 22213361906155525X S⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦4． 从而可以确定X X >13；但422X X S S <2，综上所述，从所得数据看，甲组的研发水平应高于乙组研发水平． 22．（1）4355OE a b →→→=+；（2）证明见解析.【详解】 解：（1）B ，E ，C 三点共线，∴(1)2(1)OE xOC x OB x a x b →→→→→=+-=+-，①同理，A ，E ，D 三点共线，可得3(1)OE y a y b →→→=+-，②比较①，②，得213(1)x y x y =⎧⎨-=-⎩解得25x =，45y =，∴4355OE a b →→→=+．（2）2a b OL →→→+=，143210a b OM OE →→→→+==，123()22a b ON OC OD →→→→→+=+=，∴61210a b MN ON OM →→→→→+=-=，210a b ML OL OM →→→→→+=-=，∴6MN ML →→=，L ∴，M ，N 三点共线．。

2021-2022年高二数学上学期入学考试试题文一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1.在△ABC 中，若a=c=2，B=120°，则边b=（ ） A ． B ． C ． D ．2.在△ABC 中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（ ） A ． B ．2C ．2D ．43．在中，,， 在边上，且,则（ ） A ． B ． C ． D ．4.已知数列{a n }的首项为1，公差为d （d ∈N *）的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是（ ） A ．2B ．3C ． 4D ．55.边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ． B ． C ． D ．6．已知向量a ＝(1,2)，a·b＝5，|a －b|＝25，则|b|等于( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．257．定义在R 上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x ∈[－π2，0)时，f(x)＝sinx ，则f(－5π3)的值为( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.328．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA → C.BC →－12BA → D.BC →＋12BA →9．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别为( )A ．2,0B ．2，π4C ．2，－π3D ．2，π610．已知函数f(x)＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x ∈R 恒成立，且f(π2)>f(π)，则f(x)的单调递增区间是( ) A ．[kπ－π3，kπ＋π6](k ∈Z) B ．[kπ，kπ＋π2](k ∈Z)C ．[kπ＋π6，kπ＋2π3](k ∈Z)D ．[kπ－π2，kπ](k∈Z)11．在中，角所对应的边分别为，B B A C 2sin 3)sin(sin =-+.若,则( ) A. B.3 C.或3 D.3或12 . 如果数列{a n}满足a1，a 2－a1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an ＝( )A ．2－1B ．2－1C ．2D ．2＋1 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知角的终边落在上，求的值 ．14.如表是降耗技术改造后生产某产品过程中记录产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程，那么表中的值为 ． x 3 4 5 6 y2.5m44.515.若圆22:240C x y x y m +--+=与相交于两点，且，则实数的值为 ． 16.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(2017)f f f f ++++= ．三、解答题（共70分）17．（本题满分10分）已知函数()mxxxf--=2cos2sin23，（1）求函数的最小正周期与单调递增区间；（2）若时，函数的最大值为0，求实数的值.18. （本小题满分12分）已知等差数列的通项公式为．试求（Ⅰ）与公差；（Ⅱ）该数列的前10项的和的值．19.已知函数,其中，.（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）在中，角所对的边分别为，，，且向量与向量共线，求的面积.20．已知数列的前项和为，且满足；数列的前项和为，且满足，，.（1）求数列、的通项公式；（2）是否存在正整数，使得恰为数列中的一项？若存在，求所有满足要求的；若不存在，说明理由.21.（本题12分)已知点(1,2)是函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象上一点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝logaan＋1，求数列{anbn}的前n项和Tn22.设函数，其中，，.（1）求的解析式；（2）求的周期和单调递增区间；（3）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.参考答案B 2.B 3.A 4.B 5.A 6.C 7.D 8.A 9.D 10.CC 12.B13. 14. 2.8 15. 4 16.17.（1），单调递增区间为，；（2）.18.19．解:（Ⅰ）()(2cos ,3sin 2)(cos ,1)f x a b x x x =⋅=-⋅22cos 32cos 232112sin(2)6x x x x x ==+=--π令222()262k x k k z -+≤-≤+∈πππππ错误！未找到引用源。

2021-2022年高二上学期开学考试数学文试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．恩图中1．已知集合{}{}=-=，则如图所示韦1,0,1,0,1,2M N的阴影部分所表示的集合为（ C ）A．B．C．D．2．在下列命题中，不是公理．．的是（ A ）A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（ D ）A．B．C．D．4．过点且与直线平行的直线方程是（ D ）A． B．C． D．5．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ B ）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则6．为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ B ）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位7．等比数列，，，的第四项等于（ A ）A．B．C．D．8．在中，角A、B、C所对的边分别为、、，若，则的形状为( B ) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定9．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径为，则该几何体的体积为（ C ）A．B．C．D．10．已知点、、、，则向量在方向上的投影为（ A ）A．B．C．D．11．设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则、、的大小关系是（ D ）A．B．C．D．12．设函数（，为自然对数的底数）．若存在使成立，则的取值范围是（ B ）A．B．C．D．试卷II（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相应的空内．13．已知函数，则*** ．14．设变量、满足521802030x yx yx y+-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线经过该可行域，则的最大值为．115．已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，则球的体积为．16．已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是．【解析】由题意得，，，…，，∵，且＞0，∴，易得==…====，∴+=+=．三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）(Ⅰ)的方程为62)12()32(22-=-++--m y m m x m m ，根据下列条件分别确定的值．①轴上的截距是； ②的倾斜角为；(Ⅱ)求经过直线，的交点，并且与直线 垂直的直线方程．17解：(Ⅰ)①把代入方程整理得：， 解得：（舍去）所以，．………………………………………3分（2）②由已知得：，整理得：，解得：（舍去）所以，．………………………………………………6分 (Ⅱ)设所求直线为，斜率为，设，交点为．由已知，解得，∴ 点坐标为． 设直线斜率为，则，∵ 它与所求直线垂直，∴ ，解得：．代入直线方程的点斜式得：………………10分18．（本小题满分12分） 已知函数，．(Ⅰ)求的值； (Ⅱ)若，，求．18解：(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．……………4分(Ⅱ)222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………6分因为，，所以，…………8分 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-，227cos 2cos sin 25θθθ=-=-…10分 所以．……………12分19．（本小题满分12分）如图4,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图5所示的三棱锥,其中.(1) 证明://平面;(2) 证明:平面;(3) 当时,求三棱锥的体积.【答案】(1)在等边三角形中,,在折叠后的三棱锥中 也成立, ,平面,平面,平面; …………………………………3分 (2)在等边三角形中,是的中点,所以①,.在三棱锥中,,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥平面; …………………………………6分(3)由(1)可知,结合(2)可得.111111132323323324F DEG E DFGV V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭……10分20．（本小题满分12分） 设为数列{}的前项和,已知,2,N图 4(Ⅰ)求,并求数列{}的通项公式;(Ⅱ)求数列{}的前项和.【答案】解: (Ⅰ) 11111121.S S a a n a S ⋅=-=∴=时，当 …………………2分11111111222221----=⇒-=---=-=>n n n n n n n n n a a a a S a a S a a s s a n 时，当.*,221}{11N n a q a a n n n ∈===⇒-的等比数列，公比为时首项为………………………………5分 (Ⅱ)n n n n qa n qa qa qa qT a n a a a T ⋅++⋅+⋅+⋅=⇒⋅++⋅+⋅+⋅= 321321321321设1432321+⋅++⋅+⋅+⋅=⇒n n a n a a a qT …………………7分 上式左右错位相减:nn n nn n n n na qq a na a a a a T q 21211)1(111321⋅--=---=-++++=-++*,12)1(N n n T n n ∈+⋅-=⇒. …………………10分21．（本小题满分12分）19.（本小题满分12分） 已知向量，，且与满足，其中实数．（Ⅰ）试用表示；（Ⅱ）求的最小值，并求此时与的夹角的值． 解：（I ）因为，所以，2222223632b k b a k a b b a k a k +-=++⋅⋅，……3分，kk k b a 81)13(1)3(22⋅⋅⋅-+-=． …………6分 （Ⅱ）由（1）214142414412=≥+=+=⋅k k k k k k ，…………9分当且仅当，即时取等号． …………10分 此时，，，，所以的最小值为，此时与的夹角为 …………12分 22．（本小题满分12分）已知函数，若存在，使，则称是函数的一个不动点．设二次函数2()(1)(1)f x ax b x b =+++-．（Ⅰ）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若的图象上两点的横坐标是的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值．解：（Ⅰ）∵函数恒有两个相异的不动点， ∴2()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实根，224(1)440b a b b ab a ∆=--=-+>对恒成立，∴ ，得的取值范围为．……………4分 （Ⅱ）由得，由题知，，……………6分设中点为，则的横坐标为，……………10分 ∴ ，∴2112142aba aa=-=-≥-++，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为．……………12分35541 8AD5 諕35818 8BEA 诪20360 4F88 侈28843 70AB 炫32693 7FB5 羵K40283 9D5B 鵛24294 5EE6 廦hk25271 62B7 抷C29290 726A 牪。

2021-2022学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线的倾斜角为( )A. B.C.D.2.已知函数的定义域为R ，若，则( )A. 1B. 2C. 3D. 43.在等差数列中，，，则( )A. 2B. 3C. 4D. 54.函数的极小值为( )A.B. C. 18D. 205.设等比数列的前n 项和为，且，则( )A.B.C. D.6.已知正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆E ：上，若E 的焦点在正方形ABCD 的外面，则E 的离心率的取值范围是( )A.B.C.D.7.已知抛物线的焦点F 恰为双曲线的一个顶点，C 的另一顶点为A ，C 与E 在第一象限内的交点为，若，则直线PA 的斜率为( )A.B.C.D.8.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点C 的坐标可以是( )A.B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.已知曲线，( )A. 若C 是圆，则B. 若C 是双曲线，则C. 若C是长轴在y轴上的椭圆，则D. 若C是焦点在x轴上的双曲线，则其离心率的范围是10.若动点P在圆上，动点Q在圆上，则( )A. 两圆有3条公切线B. 两圆公共弦所在直线方程为C. PQ的最大值为D. 两圆公共弦长为11.已知数列的前n项和，则( )A. 是等差数列B. 是等比数列C. D. 的前20项和为32012.Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数．记为Sigmoid函数的导函数，则( )A. B. Sigmoid函数是单调减函数C. 函数的最大值是D.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知函数，则的值是__________.14.已知圆，若圆C的过点的三条弦的长，，构成等差数列，则该数列的公差的最大值是__________.15.已知椭圆C：的右顶点为A，P为C上一点，则PA的最大值为__________.16.若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。

2021-2022学年江苏省盐城市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知，，，则过点C且与线段AB平行的直线方程为( )A. B. C. D.2.等差数列的公差为d，前n项和，则“”是“数列为单调递增数列”的( )A. 充分必要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件3.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”若取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成简称为8步“雹程”当时，需要多少步“雹程”？( )A. 11B. 12C. 13D. 144.已知函数既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.5.在数列中，，，若，则n的值为( )A. 9B. 10C. 11D. 126.过圆上的点P作圆的切线，切点为Q，则的最大值为( )A. B. C. D.7.已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C在第一象限上的点，直线PO交双曲线C的左支于点M，若，且，则双曲线C的离心率为( )A. B. 3 C. 2 D.8.，不等式恒成立，则的最大值是A. 1B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.已知单调递增的正项等比数列中，，其公比为q，前n项和，则下列选项中正确的有( )A. B. C. D.10.已知直线l：与圆P：，则下列说法中正确的有( )A. 当时，直线l与圆P相切B. 当时，直线l与圆P的相交弦最长C. 直线l与圆P一定相交D. 圆心P到直线l的距离的最大值为11.某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“伴随圆”．利用此结论解决下列问题：已知椭圆C：的离心率为，，为C的左、右焦点且，A为C上一动点，直线l：下列说法中正确的有( )A. 椭圆C的“伴随圆”的面积为B. 对直线l上任意点P，都有C. 动点A到直线l的距离最大值为D. 椭圆C的“伴随圆”的两条弦PM、PN都与椭圆C相切，则面积的最大值为312.已知函数，则下列选项中正确的有( )A. 函数有两个零点B. 若，则恒成立C. 若恒成立，则D. 若，则三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知抛物线上一点P到x轴的距离是8，则点P到该抛物线焦点的距离是__________.14.若圆和圆有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是__________.15.九连环是我国古代流传至今的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，需按一定规则移动圆环，移动圆环的次数决定解开圆环的个数，在某种玩法中，推广到m连环，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，若数列满足：，且则解下为偶数个圆环所需的最少移动次数 __________用含n的式子表示16.过点与曲线相切的直线有且只有两条，则实数m的取值范围是__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。

第一学期暑期作业抽测高二数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)一：填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1.已知集合，，，则集合的真子集的个数为____【答案】【解析】【分析】由与，求出两集合的交集确定，进而可得结果.【详解】,,则集合的真子集的个数为，故答案为7.【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的子集，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简答题.2.已知函数，则的值是____．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的解析式求出，进而可得结果.【详解】因为函数，所以所以故答案为【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.3.函数在区间上的值域为____．【答案】【解析】【分析】先求出取值范围，再由正弦函数的性质即可求出函数在区间上的值域. 【详解】由题意，，得，，故答案为.【点睛】形如，的函数求值域，分两步：（1）求出的范围；（2）由的范围结合正弦函数的单调性求出，从而可求出函数的值域.4.已知向量，，其中，若，则____．【答案】【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算公式求出向量与 ,然后根据平面向量共线（平行）的充要条件建立等式,解之即可.【详解】向量，，，，即，又，故答案为4.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.5.已知，，则____．【答案】【解析】【分析】利用的取值范围和，求得的值，然后结合两角和与差的余弦函数公式来求的值.【详解】，，，，解得，故答案为.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．6.设数列的前的和为，且满足,则____【答案】【解析】【分析】由，得，从而，从而，由此得到是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出的值.【详解】数列的前项和为，满足，，解得，，解得，，解得，，整理，得，是首项为2，公比为2的等比数列，，故答案为4.【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.7.一个圆锥的侧面积等于底面面积的倍，若圆锥底面半径为cm，则圆锥的体积是____cm3.【答案】【解析】【分析】根据圆锥的侧面积等于底面面积的倍，计算圆锥的母线长,得出圆锥的高，代入体积公式计算出圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，设，，解得，圆锥的高，圆锥的，故答案为.【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积公式、圆锥的体积公式以及圆锥的几何性质，意在考查空间想象能力，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.8.若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】钝角三角形内角的度数成等差数列，则，可设三个角分别为，故，又，令，且，则，在上是增函数，，故答案为.9.若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是_________.【答案】(x－2)2＋(y＋)2＝【解析】设圆的圆心坐标，半径为，因为圆经过坐标原点和点，且与直线相切，所以，解得，所求圆的方程为，故答案为.视频10.在中，，，，，若，则实数____．【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的运算法则用表示出和，利用，列方程可求出的值.【详解】如图所示，中，，，，解得，故答案为.【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．11.若正实数满足，则的最小值是____．【答案】8【解析】当y=2x取得等号，所以的最小值是812.在锐角中，内角的对边分别为，且，，则的周长的取值范围为____．【答案】【解析】【分析】由，，可得，由正弦定理可得化简整理为，利用正弦函数的有界性可得出结论.【详解】因为，，所以，由正弦定理可得，sinA=，，，，，故答案为.【点睛】本题主要考查辅助角公式、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.13.已知,且,则的最小值是____．【答案】【解析】【分析】由基本不等式可得，设，，利用函数的单调性可得结果.【详解】因为,且，所以，设，则，，，即，，设，，在上递减，，即的最小值是，故答案为.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用、利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.14.设是定义在上的奇函数，且，若不等式对区间的两不相等的实数都成立，则不等式的解集是____．【答案】【解析】【分析】由对区间内任意两个不等式相等的实数都成立，知在上单调递减，由的奇偶性可判断的奇偶性及特殊点，从而可作出草图，由图可解，进而得到结论.【详解】对区间内任意两个不等式相等的实数都成立，函数在上单调递减，又的奇函数，为偶函数，在上单调递增，且，作出草图如图所示，，即，由图象得，或，解得或，不等式解集是，故答案为.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角的对边分别为，且，，(1)求；(2)设为边上一点，且，求的面积．【答案】⑴；⑵的面积为【解析】【分析】⑴由，可得，又为三角形内角，则，在中，由余弦定理可得结果；⑵由题设可得，则，故面积与面积的比值为，求出的面积，即可得结果.【详解】⑴，，又为三角形内角，则在中，由余弦定理可得，即，解得，舍去，⑵由题设可得，则故面积与面积的比值为的面积为的面积为【点睛】本题主要考查余弦定理、三角形面积公式及特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16.如图，在三棱锥中，，平面平面，点(与不重合)分别在棱上，且求证：(1)平面(2)【答案】(1)见解析；⑵见解析【解析】【分析】(1)利用三角形中位线定理可得，由线面平行判定定理可得结论；(2)由面面垂直的性质定理可得平面 . 因为平面，所以又，可得平面，从而可得结论.【详解】(1)在平面内，因为，，且在同一平面内，所以又因为平面，平面，所以平面(2)因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面因为平面，所以又，，平面，平面，所以平面又因为平面，所以【点睛】证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.17.在一个特定时段内，以点为中心的海里以内海域被设为警戒水域．点正北50海里处有一个雷达观测站．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过分钟又测得该船已行驶到点北偏东且与点相距海里的位置．（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．【答案】(1)；⑵见解析【解析】【分析】（1）先以点为原点，正东方向为轴正半轴建立坐标系，如图，得出点的坐标，再利用两点距离公式得从而求得小船速度即可；（2）欲判断它是否会进入警戒水域，只须比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小即可.【详解】(1)建立如图所示直角坐标系，则船的行驶速度为海里∕小时（也可用余弦定理求）（2）直线方程为整理得原点到直线的距离为所以不会进入警戒水域。

2021-2022学年江苏省镇江市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.倾斜角为，在x 轴上的截距为的直线方程是( )A. B.C.D. 2.已知等比数列的前6项和为，公比为，则( )A.B.C. 32D. 243.如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆4.设，则当数列的前n 项和取得最小值时，n 的值为( )A. 4B. 5C. 4或5D. 5或65.函数的图象大致是( )A. B.C. D.6.已知数列的前n项和满足，记数列的前n项和为，则的值为( )A. B. C. D.7.若点A是函数图象上的动点其中e的自然对数的底数，则点A到直线的距离最小值为( )A. B. C. D. 178.若、且，则下列式子一定成立的是( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. 为函数的递增区间B. 为函数的递减区间C. 函数在处取得极大值D. 函数在处取得极小值10.设，分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的有( )A.B. 双曲线C的实轴长是C. 双曲线C的离心率是D. 存在实数t，使直线与双曲线左右两支各有一个交点11.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，则( )A. B.C. D.12.已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则m可能的取值为( )A. 7B. 6C. 5D. 4三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.函数，则函数在处切线的斜率为__________.14.椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是，，若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为__________15.数列满足，则__________.16.函数仅有一个零点，则实数a的取值范围是__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。

2021—2022学年度高二开学分班考试（八）数学试题本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若单位向量,a b 满足()()122a b a b -⋅+=-，则a b -等于（）A ．1B C D 2．若平面向量()()1,22,,a x b =-=且//a b ，则x 的值为（） A ．12B ．-1C ．-4D ．43．设函数()()2sin cos cos 2f x x x x =+-，则下列结论错误的是（）A ．()f x 1B ．()f x 的一个零点为π8x =C ．()f x 的最小正周期为πD ．()y f x =的图象关于直线3π8x =对称 4．化简2222tan 7.51tan 7.57sin 7.5cos 7.5︒+=︒-︒+︒（）A B C D ．25．将函数()sincos sin 1222f x x x x ωωω⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=（0>ω）在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围为（） A ．02ω<≤B ．322ω<≤ C ．31528ω≤≤ D ．1528ω<≤ 6．在ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若tan tan b a a b B A-=-，则ABC的形状为（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形7．国庆阅兵式上举行升国旗仪式，在坡度为15︒的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为24.5 1.414≈，1.732≈2.449A ．17米B ．22米C ．30米D ．35米8．在ABC ∆中，已知AB AC ==BC =D 是边AC 上的一点，将ABC ∆沿BD 折叠，得到三棱锥A BCD -，若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，设BM x =，则x 的取值范围是（）A ．(0,B ．C ．D ．(二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．2020年上半年受疫情影响，我国居民人均消费支出情况也受到了影响，现统计出2015-2020年上半年我国居民人均消费支出情况如图所示，则下列说法正确的是（）A ．从2015年到2019年我国居民人均消费支出逐年减少B ．若2020年下半年居民消费水平与上半年相当，则全年消费与2018年基本一致C ．若2020年下半年居民消费水平比上半年提高20％，则全年消费支出将超过2019年D ．随着疫情的有效控制，2020年下半年居民消费水平比上半年有所提高，居民人均消费支出较2019年减少不会超过10％10．ABC 中，45,10B AB ∠=︒=，可使得C ∠有两个不同取值的AC 的长度是（） A ．7B ．8C ．9D ．1011．下列各式中，值为2的是（） A ． 15 15sin cos ︒︒B ．22cossin 66ππ-C ．2tan 301tan 30︒︒-D 12．在正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F ，G 分别为11,,BC CC BB 的中点，则（）A ．1D D ⊥平面AEFB ．1//AG 平面AEFC ．异面直线1AG 与EFD ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z 的共轭复数为z ，若i 34i z ⋅=-(其中i 为虚数单位)，则||z =__________. 14．已知角α的终边与单位圆交点P 的坐标是34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.将α的终边绕坐标原点逆时针转动30°得到β角，则角β的终边与单位圆交点的坐标是_______.15．窗花是贴在窗纸或户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM PN ⋅的取值范围是______.16．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，2BC a =，点E 为AD 的中点，将△ABE 沿BE翻折到△A BE '的位置，在翻折过程中，A '不在平面BCDE 内时，记二面角A DCB '--的平面角为α，则当α最大时，cos α的值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知复数z 1满足：|z 1|=1+3i ﹣z 1. （1）求z 1（2）若复数z 2的虚部为2，且21z z 是实数，求2z .18．已知锐角ABC 内角A ，B ，C 及对边a ，b ，c ，满足22cos c b a B -=． （1）求A 的大小；（2）若1a =，求b c +的取值范围．19．已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 且cos cos 2cos a B b A c C +=；（1）求角C；==（2）如图，边AB的垂直平分线ED交AB于E，交边AC于,D AE BC求AD长．20．如图，缉私艇在A处通过卫星发现正东方相距40nmile的P处有一艘走私船，走私船正以的速度往它的东北方向的公海逃窜，此时距离公海．缉私艇立即以20nmile/h的速度追缉．（1）为了尽快将走私船截获，缉私艇应该往哪个方向进行追缉？（2）缉私艇能否在该走私船进入公海前将其截获？21．某市教育科学研究院为了对今后所出试题的难度有更好的把握，提高命题质量，对该市高三联考理综试卷的得分情况进行了调研.从全市参加考试的考生中随机抽取了100名考生的理综成绩，将数据分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300].并整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求直方图中x 的值；（2）用频率估计概率，从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取3个，记理综成绩位于区间[220，260）内的个数为y ，求y 的分布列及数学期望E （y ）；（3）若变量S 满足P （μ﹣σ＜S ≤μ+σ）≈0.6827，且P （μ﹣2σ＜S ≤μ+2 σ）≈0.9545，则称S 近似服从正态分布N （μ，σ2），若该市高三考生的理综成绩近似服从正态分布N （225，225），则给予这套试卷好评，否则差评，试问：这套试卷得到好评还是差评？ 22．在三棱锥中P ABC AB BC AB BC kPA -⊥==，，，点O 是AC 的中点，PO ⊥底面ABC .（1）求证：OB ⊥平面PAC ； （2）当122k AB ==，时，求点A 到平面PBC 的距离； （3）当k 为何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为PBC 的重心？2021—2022学年度高二开学分班考试（八）数学·全解全析1．C 【详解】解：因为,a b 为单位向量，所以()()22122=12a b a b a a b b a b -⋅+=-⋅--⋅-=-，所以12a b ⋅=-, 所以()222=2+3a b a b a ab b -=--=，故选：C. 2．C 【详解】由//a b ，可知40x +=，即4x =-. 故选：C. 3．B 【详解】2π()(sin cos )cos 21sin 2cos 2124f x x x x x x x ⎛⎫=+=+-=+- ⎝-⎪⎭，所以()f x 的最小正周期为π，()f x 1，C ，A 正确；当3π8x =时，3ππsin 2184⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以()y f x =的图象关于直线3π8x =对称，D 正确；因为π108f ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，所以π8x =不是函数()f x 的零点，B 错误， 故选：B. 4．B 【详解】原式222222222tan 7.51sin 7.5cos 7.5tan 7.58sin 7.51sin 7.58sin 7.5cos 7.5cos 7.5︒+︒+︒==︒-︒+︒-︒︒+︒21112sin 15cos303===-︒︒．故选：B ． 5．C 【详解】()11cos 1sin 124π222f x x x x ωωω-⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭．()f x 在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，依题意有πππ26422ππ3π2π342k k ωπω⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩∴31221538k k ωω⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，0,1,2,3,k =⋅⋅⋅，且2π12π2π36ω⋅≥-，∴02ω<≤ 当0k =时满足题意，∴31528ω≤≤， 故选：C 6．D 【详解】由正弦定理得a =2R sin A ,b =2R sin B ,代入已知条件tan tan b aa b B A-=-中并化简得：sin A +cos A =sin B +cos B ,两边平方,并结合平方关系得：2sin A cos A =2sin B cos B ,即sin2A =sin2B , 因为0,π,0π,A B A B <<<+<所以22A B =或22,A B π+=即A B =或π2A B +=,易于验证当A B =或π2A B +=，sin A +cos A =sin B +cos B 成立. 故选：D . 7．C 【详解】根据题意,将各个位置用点标出来如下图所示:由题意可得:301545,18015601051801054530ACBCABABC∠=︒+︒=︒∠=︒-︒-︒=︒∠=︒-︒-︒=︒，在ABC中，利用正弦定理得:sin452,sin306sin6022.49924.530.0002302ACAB ACBD AB AC︒==︒∴=︒=⨯≈⨯=≈故选:C.8．C【详解】将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A-BCD，且点A在底面BCD的射影M在线段BC上，如图2，AM⊥平面BCD，则AM⊥BD，过M作MN⊥BD，连接AN，则AN⊥BD，因此，折叠前在图1中，AM⊥BD，垂足为N.在图1中，过A作AM1⊥BC于M1，运动点D，当D点与C点无限接近时，折痕BD接近BC，此时M与点M1无限接近；在图2中，由于AB 是Rt △ABM 的斜边，BM 是直角边，因此BM ＜AB 由此可得:BM 1＜BM ＜AB因为△ABC 中，AB ＝BC ＝∠ABC ＝45°，由余弦定理可得AC ＝B M 1=BM ∴∈故选：C 9．BD【详解】 A 显然错误；9718219436⨯=，与2018年基本一致，B 正确； 9718 2.221379.621559⨯=<，不会超过，C 错误；215599718210021559-⨯⨯％9.8≈％，不会超过10％，D 正确.10．BC 【详解】ABC 中，45,10B AB ∠=︒=，当sin AB B AC AB <<，即10AC <时使得C ∠有两个不同取值， 故选：BC. 11．CD 【详解】因为1111sin15cos15sin 302224==⨯=，所以A 不正确； 因为22cossin 66ππ-1cos32π==，所以B 不正确； 因为2tan 301tan 30︒︒-212tan 3013tan 6021tan 302=⨯==-，所以C 正确；==，所以D 正确.故选：CD. 12．BCD 【详解】选项A ：假设1D D ⊥平面AEF ，又11//D D A A ，于是1AA ⊥平面AEF ， 显然这是不可能的，所以假设不成立，故A 错误；选项B ：取11B C 的中点Q ，接1GQ AQ ，，则1////GQ EF AQAE ，， 于是//GQ 平面AEF ，1//AQ 平面AEF ，又1GQ AQ Q =， ∴平面1//AGQ 平面AEF ，又1AG ⊂平面1AGQ ， ∴1//AG 平面AEF .故B 正确； 选项C ：∵//EF GQ ，∴1AGQ ∠为异面直线1AG 与EF 所成的角或其补角，设正方体的棱长为2，则11AG AQ QG =由余弦定理得：1cos AGQ ∠==C 正确； 选项D ：连接GC ，交FE 于O ，连接GF ，则OCE OGF ∽. ∴2OG GFOC CE==.∴点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍. 故D 正确. 故选：BCD 13．5 【详解】由34i z i ⋅=-，得3443iz i i-==--，而||||5z z ==. 故答案为：5.14．43,1010⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【详解】解：因为角α的终边与单位圆交点P 的坐标是34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以43sin ,cos 55αα==-， 因为将α的终边绕坐标原点逆时针转动30°得到β角，所以6πβα=+，所以431sin sin sin cos cos sin 666552πππβααα⎛⎫⎛⎫=+=+=+-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3414cos cos cos cos sin sin 666525210πππβααα⎛⎫=+=-=-⨯-⨯=-⎪⎝⎭，所以角β的终边与单位圆交点的坐标是43,1010⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为：⎛ ⎝⎭15．[]8,12 【详解】正六边形ABCDEF 的内切圆半径为sin 604r OA === 外接圆的半径为4R =，()()2PM PN PO OM PO ON PO PO ON PO OM OM ON ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅ ()222224PO PO ON OM OM PO OM PO =+⋅+-=-=-，因为r PO R ≤≤，即4PO ≤≤， 所以21216PO ≤≤，可得28412PO ≤-≤， 故答案为：[]8,12.16 【详解】取BC 中点F ，易得AF BE ⊥，在翻折过程中A '的射影H 在AF 上，且A '的轨迹是以AF 为直径的圆，如上图，在ABCD 内作HG CD ⊥，垂足为G ，连A G '，∴A GH '∠是二面角A DC B '--的平面角，即A GH α'=∠且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 由AF BE ⊥，故AO BE '⊥，∴A OF '∠是二面角A BE C '--的平面角，设A OF θ'∠=，由上下对称故只考虑()0,θπ∈即可．由ABa ，则2OA '=，2sin A H a θ'=，2cos OH θ=，31cos 22HG a a θ=-， 而A H '⊥面ABCD ，故2sin 22tan 313cos cos 22A H HG a a θθαθθ'===--， 令23cos k θθ=-，则232cos 2)k k k θθθϕ=+=++且tan 2ϕ=，∴232k k +，得1122k -≤≤， ∴由正切函数单调性，当α最大时1tan 2α=，故25cos α=，此时1cos 3θ=．25 17．（1）z 1= -4+3i ；（2）2823z i =--. 【详解】解：（1）设z 1=x +yi (x ，y ∈R )，2213()(1)(3)x y i x yi x y i +=+-+=-+-，故22103x y x y+=-=-⎪⎩，解得43x y =-⎧⎨=⎩，∴ z 1=﹣4+3i ；（2）令z 2=a +2i ，a ∈R ， 由（1）知，z 1=-4+3i ，则212(2)(43)43(43)(43)z a i a i i z i i i ++--==-+-+--= 46382525a a i -++-， ∵21z z 是实数， ∴3a +8=0，即a =83- ∴2823z i =-+，则2823z i =--. 18．（1）3A π=；（2）2⎤⎦【详解】解：（1）因为22cos c b a B -=，由正弦定理可得2sin sin 2sin cos C B A B -=， 又因为sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A =+=+， 所以sin 2sin 2sin cos 2cos sin B C A B A B =-=， 可得1cos 2A =， 由(0,)A π∈，可得3A π=．（2）因为1a =，3A π=，由正弦定理sin sin b c B C ==，可得3b B =，2sin()3c C B π==-，可得21sin()]sin ]cos 2sin()326b c B B B B B B B B ππ+=+-=++=+=+，因为锐角三角形ABC 中，所以203202B B πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得62B ππ<<，所以2363B πππ<+<，所以sin()6B π⎤+∈⎥⎝⎦，可得2sin()6b c B π⎤+=+∈⎦． 19．（1）3C π=；（2）AD =【详解】（1）cos cos 2cos a B b A c C +=，由正弦定理得:sin cos cos sin 2sin cos A B A B C C +=， 则()sin 2sin cos ,A B C C A B C π+=++=，即1cos 2C =， 又C 是锐角三角形的内角，故;3C π=（2）,AD DB ADB =∴是等腰三角形，且A ∠是一个底角，故0,2A E π<<为AB的中点，则2AB AE == 在ABC中，,3AB C BC π===，由正弦定理得sin :sin C A BC AB =⋅==，故cos 4A =，故在Rt AED △中，cos AE AD A == 20．（1）缉私艇应该往东偏北30方向追缉；（2）缉私艇可以在该走私船进入公海前将其截获. 【详解】解：（1）假设t 小时后缉私艇在点M 处将走私船截获． 在APM △中，20,,135,sin sin AM PMAM t PM P P A ==∠=︒=，解得1sin 2A =， 则30A =︒，即缉私艇应该往东偏北30方向追缉．（2）在APM △中，根据余弦定理得，2222cos135AM AP PM AP PM =+-⋅⋅︒ 所以()()22222040102240102t tt ⎛=+-⨯⨯⨯ ⎝⎭化简得2480t t --=，解得232t =或232t =-（舍去）， 此时走私船前进了10220(26)356t =< 所以缉私艇可以在该走私船进入公海前将其截获．21．（1）0.0075；（2）分布列见解析，()=1.2E y ；（3）得到差评. 【详解】（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x +0.005+0.0025）×20＝1， 解得x ＝0.0075；（2）用频率估计概率，可得从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取1个，理综成绩位于[220，260）内的概率为（0.0125+0.0075）×20＝0.4， 所以随机变量y 服从二项分布B ～（3，0.4）， 故P （y ＝k ）＝C 3k 0.4k 0.63﹣k ，k ＝0，1，2，3， 故y 的分布列为y 0 1 2 3 P0.2160.4320.2880.064则E （y ）＝3×0.4＝1.2； （3）记该市高三考生的理综成绩为z ，由题意可知，P （210＜z ＜240）≤P （200＜z ＜240）＝20×（0.011+0.0125）＝0.47＜0.6827， P （195＜z ＜255）≤P （180＜z ＜260）＝20×（0.0095+0.011+0.0125+0.0075）＝0.81＜0.9545， 所以z 不近似服从正态分布N （225，225），所以这套试卷得到差评.22．（1）证明见解析；（2）221015；（3）当1k =时，O 在平面内的射影恰好为PBC 的重心. 【详解】（1）因为PO ⊥底面ABC ，PO ⊂面PAC ，所以面PAC ⊥面ABC ， 因为AB BC =，点O 是AC 的中点，所以OB AC ⊥， 又因为面PAC 面ABC AC =，OB ⊂面ABC ，所以OB ⊥平面PAC ；（2）当122k AB ==，时，2,4BC PA ==， 因为AB BC AB BC ⊥=，，点O 是AC 的中点，所以2,4,14OA OB OC PA PB PC PO =======， 取BC 的中点D ，连接PD ，则15PD =， 设点A 到平面PBC 的距离为h ， 由P ABC A PBC V V --=，得111122142153232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯， 解得221015h =，即点A 到平面PBC 的距离为221015；（3）取PC 的中点E ，连接BE 交PD 于点F ，则F 为PBC 的重心，连接OF ， 由题意知：OF ⊥面PBC ，OF PD ⊥， 设,AB BC n PA m ===，则22221,22OA n PO m n ==-，12OD n =，22214PD m n =-，13FD PD =，22251189OF n m =-，则由OP OD OF PD ⨯=⨯，得m n =，又由AB BC kPA ==，所以1k =，k 时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心. 所以当1。

2021年高二上学期入学数学试卷含解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（）A．10 B．9 C．8 D．72．若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8﹣）•=30，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．33．在△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B的值为（）A．45°B．135°C．45°或135° D．不存在4．设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣85．如图是xx某市举行的名师评选活动，七位评委为某位教师打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，46．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a=2bcosC，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形7．在数列{a n}中，a1=1，a n﹣a n=，则a n=（）﹣1A． B． C． D．8．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值（）A．2 B． C．4 D．89．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A． B． C． D．10．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=711．等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．12．已知正项等比数列{a n}，满足a5+a4﹣a3﹣a2=9，则a6+a7的最小值为（）A．9 B．18 C．27 D．36二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．不等式≤3的解集是．14．在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数的平方和不大于的概率．15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10=10，S20=30，则S30=．16．平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=1，AD=，P为平行四边形内一点，且AP=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的最大值为．三、解答题：本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．为了了解高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？（2）样本容量是多少？（3）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？18．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边长，且acosB +bcosA=2ccosC ． （1）求角C 的值；（2）若c=4，a +b=7，求S △ABC 的值．19．已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1﹣a n =2，等比数列{b n }满足b 1=a 1，b 4=a 4+1．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n =a n •b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ．20．已知函数f （x ）=x 2﹣2x ﹣8，g （x ）=2x 2﹣4x ﹣16，（1）求不等式g （x ）＜0的解集；（2）若对一切x ＞2，均有f （x ）≥（m +2）x ﹣m ﹣15成立，求实数m 的取值范围． 21．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量=（2sinB ，﹣），=（cos2B ，﹣1）且∥．（1）求锐角B 的大小；（2）如果b=2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．22．数列{a n }中，a 1=8，a 4=2且满足a n +2=2a n +1﹣a n ，n ∈N *（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |，求S n ；（3）设，是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *，均有成立？若存在，求出m 的值：若不存在，请说明理由． 23．已知A ，B 是函数f （x ）=+log 2的图象上任意两点，且=（+），点M （，m ）． （I ）求m 的值；（II ）若S n =f （）+f （）+…+f （），n ∈N *，且n ≥2，求S n ．（III ）已知a n =，其中n ∈N *．T n 为数列{a n }的前项和，若T n ＞λ（S n +1+1）对一切n ∈N *都成立，试求λ的取值范围．xx重庆市万州二中高二（上）入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（）A．10 B．9 C．8 D．7【考点】分层抽样方法．【分析】本题是一个分层抽样问题，根据所给的高一学生的总数和高一学生抽到的人数，可以做出每个个体被抽到的概率，根据这个概率值做出高三学生被抽到的人数．【解答】解：∵由题意知高一学生210人，从高一学生中抽取的人数为7∴可以做出每=30人抽取一个人，∴从高三学生中抽取的人数应为=10．故选A．2．若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8﹣）•=30，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据所给的向量的坐标，写出要用的8﹣的坐标，根据它与的数量积是30，利用坐标形式写出两个向量的数量积，得到关于x的方程，解方程即可．【解答】解：∵向量=（1，1），=（2，5），∴∴∴x=4．故选C．3．在△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B的值为（）A．45°B．135°C．45°或135°D．不存在【考点】正弦定理．【分析】由A的度数求出sinA的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，即可求出B的度数．【解答】解：∵a=4，b=4，A=30°，∴由正弦定理=得：sinB===，∵b＞a，∴B＞A，则B=45°或135°．故选C4．设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【考点】简单线性规划．【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x﹣3y的最小值．【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8故选D．5．如图是xx某市举行的名师评选活动，七位评委为某位教师打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，4【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】正确读出相关数据，再利用平均数和方差公式计算．【解答】解：去掉最高分93，去掉最低分79，剩下5个数据：84，84，84，86，87，所以平均数为，方差等于．故选C6．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a=2bcosC，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】在△ABC 中，由a=2bcosC 利用余弦定理可得 a=2b •，化简可得 b 2=c 2，从而得出结论．【解答】解：在△ABC 中，∵a=2bcosC ，由余弦定理可得 a=2b •，化简可得 b 2=c 2，b=c ， 故三角形为等腰三角形，故选A ．7．在数列{a n }中，a 1=1，a n ﹣a n ﹣1=，则a n =（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】数列的求和．【分析】累加法：先变形得，a n ﹣a n ﹣1==，由a n =a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1），可得a n （n ≥2），注意检验a 1是否适合．【解答】解：a n ﹣a n ﹣1==，则，，，…，以上各式相加得，，所以（n ≥2），又a 1=1，所以，故选A ．8．设a ＞0，b ＞0，若是3a 与3b 的等比中项，则+的最小值（ ）A ．2B ．C ．4D ．8【考点】基本不等式．【分析】由于a ＞0，b ＞0，是3a 与3b 的等比中项，可得，可得a +b=1．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a ＞0，b ＞0，是3a 与3b 的等比中项，∴，化为3a +b =3，化为a +b=1．则+=（a +b ）=2+=4，当且仅当a=b=时取等号，∴+的最小值是4．故选：C ．9．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则b ＞a 的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选D ．10．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（ ）A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=7【考点】程序框图．【分析】根据已知流程图可得程序的功能是计算S=1++…+的值，利用裂项相消法易得答案．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=1++…+=1+1﹣=2﹣．若该程序运行后输出的值是，则2﹣=．∴a=4，故选A．11．等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．【考点】数列的求和．【分析】由已知结合等差数列的性质可得，=，代入等差数列的求和公式即可求解【解答】解：∵∴即=则===1故选B12．已知正项等比数列{a n}，满足a5+a4﹣a3﹣a2=9，则a6+a7的最小值为（）A．9 B．18 C．27 D．36【考点】等比数列的通项公式．【分析】可判数列{a n+a n}也是各项均为正的等比数列，则a2+a3，a4+a5，a6+a7构成等比数+1列．设其公比为x，a2+a3=a，则x∈（1，+∞），a4+a5=ax，结合已知可得a=，代入可得y=a6+a7的表达式，x∈（1，+∞），由导数求函数的最值即可．【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正的等比数列，}也是各项均为正的等比数列，∴数列{a n+a n+1则a2+a3，a4+a5，a6+a7构成等比数列．设其公比为x，a2+a3=a，则x∈（1，+∞），a5+a4=ax，∴有a5+a4﹣a3﹣a2=ax﹣a=9，即a=，∴y=a6+a7=ax2=，x∈（1，+∞），求导数可得y′=，令y′＞0可得x＞2，故函数在（1，2）单调递减，（2，+∞）单调递增，∴当x=2时，y=a6+a7取最小值：36．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．不等式≤3的解集是．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】把原不等式移向变形，转化为一元二次不等式求得解集．【解答】解：由≤3，得﹣3≤0，即，则，解得：x＜0或．∴不等式≤3的解集是．故答案为：．14．在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数的平方和不大于的概率．【考点】几何概型．【分析】事件“x2+y2≤”包含的基本事件对应的图形为图中扇形面积OHK内部，所有基本事件对应的图形为正方形OMNP内部，求出它们的面积并利用几何概型公式，即可算出所求概率．【解答】解：设两数分别为x、y，则所有基本事件对应的图形为正方形OMNP内部，其面积为S=1；记“两数平方和不大于”为事件B，则B=“x2+y2≤”，事件B包含的基本事件为图中扇形面积OHK内部，其半径为、圆心角是直角，面积为S'==．∴事件B发生的概率为P（B）=．故答案为：15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10=10，S20=30，则S30=．【考点】等差数列的性质．【分析】由给出的数列是等差数列，可知数列的第一个10项和，第二个10项和，…仍然构成等差数列，结合S10=10，S20=30，列式求解S30的值．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，则S10，S20﹣S10，S30﹣S20仍然构成等差数列，由S10=10，S20=30，得2×20=10+S30﹣30，∴S30=60．故答案为：60．16．平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=1，AD=，P为平行四边形内一点，且AP=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的最大值为．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用数量积定义及其运算性质、不等式的性质即可得出．【解答】解：=λ+μ丨丨2=（λ+μ）2，=λ2丨丨2+μ2丨丨2+2λμ••，=λ2丨丨2+μ2丨丨2+2λμ•丨丨•丨丨cos∠BAD，由∠BAD=60°，AB=1，AD=，AP=，∴=λ2+2μ2+λμ×，∴（λ+μ）2=+λμ≤+（）2，λ+μ≤，故答案为：．三、解答题：本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．为了了解高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？（2）样本容量是多少？（3）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？【考点】频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布．【分析】（1）根据从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12，用比值做出样本容量．（2）第一问做出的样本容量可以把上面的过程写出来．（3）根据上面做出的样本容量和前两个小长方形所占的比例，用所有的样本容量减去前两个的频数之和，得到结果，除以样本容量得到概率．【解答】解：（1）∵从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．∴样本容量是=150∴第二小组的频率是=0.08（2）样本容量是=150（3）∵次数在110以上为达标，次数在110以上的有150（1﹣）=132∴全体高一学生的达标率为=0.8818．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB+bcosA=2ccosC．（1）求角C的值；的值．（2）若c=4，a+b=7，求S△ABC【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理与和差化积即可得出．（2）利用余弦定理可得ab，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵acosB+bcosA=2ccosC，由正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC．∴sinC=sin（A+B）=2sinCcosC，∵sinC≠0，∴cosC=，∵C∈（0，π），∴．（2）由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，即，∴ab=11，∴．19．已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n=2，等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a4+1．+1（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．﹣a n=2可知数列{a n}是首项为1、公差为2的等差数列，进而【分析】（1）通过a1=1、a n+1计算即得结论；（2）通过（1）可知c n=（2n﹣1）•2n﹣1，利用错位相减法计算即得结论．﹣a n=2，【解答】解：（1）∵a1=1，a n+1∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴b1=a1=1，b4=a4+1=8，∴公比q===2，∴b n=2n﹣1；（2）由（1）可知c n=a n•b n=（2n﹣1）•2n﹣1，∴S n=1•20+3•21+…+（2n﹣1）•2n﹣1，2S n=1•21+3•22+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n，错位相减得：﹣S n=1+2（21+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n，∴S n=﹣1﹣2（21+22+…+2n﹣1）+（2n﹣1）•2n=﹣1﹣2•+（2n﹣1）•2n=3+（2n﹣3）•2n．20．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）直接因式分解后求解不等式的解集；（2）把函数f（x）的解析式代入f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15，分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围．【解答】解：由g（x）=2x2﹣4x﹣16＜0，得x2﹣2x﹣8＜0，即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．所以不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜4}；（2）因为f（x）=x2﹣2x﹣8，当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，则x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．所以对一切x＞2，均有不等式成立．而（当x=3时等号成立）．所以实数m的取值范围是（﹣∞，2]．21．△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，﹣1）且∥．（1）求锐角B的大小；（2）如果b=2，求△ABC的面积S的最大值．△ABC【考点】二倍角的余弦；平行向量与共线向量；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）由两向量的坐标，及两向量平行时满足的关系列出关系式，利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后求出tan2B的值，由B为锐角，得到2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由cosB的值及b的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB及ac的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1），且∥，∴2sinB•（2cos2﹣1）=﹣cos2B，即2sinBcosB=sin2B=﹣cos2B，∴tan2B=﹣，∵B∈（0，），∴2B∈（0，π），∴2B=，即B=；（2）∵B=，b=2，∴由余弦定理cosB=得：a 2+c 2﹣ac ﹣4=0，又a 2+c 2≥2ac ，代入上式得：ac ≤4（当且仅当a=c=2时等号成立），∴S △ABC =acsinB=ac ≤（当且仅当a=c=2时等号成立），则S △ABC 的最大值为．22．数列{a n }中，a 1=8，a 4=2且满足a n +2=2a n +1﹣a n ，n ∈N *（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |，求S n ；（3）设，是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *，均有成立？若存在，求出m 的值：若不存在，请说明理由．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由条件a n +2=2a n +1﹣a n ，可得，从而{a n }为等差数列，利用a 1=8，a 4=2可求公差，从而可求数列{a n }的通项公式；（2）利用10﹣2n ≥0则n ≤5，确定数列中的正数项，再进行分类讨论；（3先裂项求和，再根据对任意n ∈N*成立，得对任意n ∈N*成立，利用的最小值是，可知，从而存在最大整数m=7．【解答】解：（1）由题意，，∴{a n }为等差数列，设公差为d ，由题意得2=8+3d ⇒d=﹣2，∴a n =8﹣2（n ﹣1）=10﹣2n（2）若10﹣2n ≥0则n ≤5，n ≤5时，S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=n ≥6时，S n =a 1+a 2+…+a 5﹣a 6﹣a 7…﹣a n =S 5﹣（S n ﹣S 5）=2S 5﹣S n =n 2﹣9n +40故（3）∵∴若对任意n ∈N*成立，即对任意n ∈N*成立，∵的最小值是，∴，∴m 的最大整数值是7． 即存在最大整数m=7，使对任意n ∈N*，均有23．已知A ，B 是函数f （x ）=+log 2的图象上任意两点，且=（+），点M （，m ）． （I ）求m 的值；（II ）若S n =f （）+f （）+…+f （），n ∈N *，且n ≥2，求S n ．（III ）已知a n =，其中n ∈N *．T n 为数列{a n }的前项和，若T n ＞λ（S n +1+1）对一切n ∈N *都成立，试求λ的取值范围．【考点】数列与函数的综合；数列的求和．【分析】（1）可知M是AB的中点，根据中点坐标公式求得x1和x2的关系，代入函数解析式即可求得m的值；（2）由（1）可知，f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，采用倒序相加法，即可求求得S n；（3）由题意可知当n≥2时，，求得数列{a n}的前n项和T n，由T n＞λ（S n+1），采用分离+1变量即可求得λ的表达式，即可求得λ的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴M是AB的中点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由，得x1+x2=1，则x1=1﹣x2，x2=1﹣x1，而=，=，=∴．（2）由（1）知：x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，，，两式相加，得：=，∴（n≥2，n∈N）．（3）当n≥2时，，，+1），得，由T n＞λ（S n+1∴对任意n≥2，n∈N*都成立，，当且仅当n=2时等号成立，∴．故λ的取值范围是（﹣∞，）．xx10月14日。

2021-2022年高二数学上学期开学考试试题理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.{}{}()()()()()21.4,33,.2,3.3,2.3,22,3.,M x x N x x N M A B C D =>=-<<=-----∞+∞已知则22332.,,,,11 . . < .>b .a b c R a b A ac bc B C a D a ba b∈>>>设且则{}311103.216, A. 16 B.32 C.64 D.128n a a a a ==公比为的正项等比数列中，若则()()4.1,2,1,3,,23 A. B. C. D.4334 a b a b ππππ==-=已知则15.,230,2.1.2.3.4x x y x y z x y y x A B C D ≥⎧⎪-+≥=+⎨⎪≥⎩若满足则的最小值是()()()()-====-现输入如下四个函数，执行如下程序框图，则可输出的函数是26.1...sin .22x xA f x xB f x xC f x x xD f x7．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC=BD ，AD=1，则等于A ．B ．C ．D ．{}5311018.S 221053S 1110109 (10)11910n n n S Sa n a A B C D ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭设是等差数列前项和，若，，则数列的前项和T()()()()9.sin 0,cos22 A. B.612C. D.612f x A x Ag x xf x πωϕϕππππ⎛⎫=+><= ⎪⎝⎭函数其中的图象如图所示，为了得到函数的图象，则只需将图象向右平移个单位向右平移个单位向左平移个单位向左平移个单位{}1221221221221010.0,2.=1110109....1011910n k k k k k k k a a a k N a a a a a a q q A B C D *-+++==∈在数列中，，对任意，，，成等差数列，且，，成等比数列，其公比为则((11..,6,46,623,6222ABC A a ABC b π∆==∆⎡⎤⎡⎣⎦⎣在中若有两解，则的取值范围为A.B.C. D.()lg(1),012O cos ,02x x f x n n x x π+>⎧⎪=⎨<⎪⎩．函数图象上关于坐标原点对称的点有对，则为A ．3B ．4C ．5D ．无数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.()113.11f x x x x =+>-函数，的最小值为αα==若则114.sin ,cos23()()>在区间内随机取数，在区域随机取数 则的概率是15.0,40,2,x y y x16．给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；（2）若sinA=cosB ，则△ABC 为直角三角形；（3）若sin 2A+sin 2B+sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；（4）若cos （A ﹣B ）cos （B ﹣C ）cos （C ﹣A ）=1，则△ABC 为正三角形，以上正确命题的是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17. （本小题满分10分）已知()132sin cos 322+-+=x x x f .（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求的单调增区间；（Ⅲ）若[,]时,求的值域.18. （本小题满分12分）某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段，画出如下图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题：（1）求70～80分数段的学生人数；（2）估计这次考试中该学科的优分率（80分及以上为优分）、中位数、平均值；（3）现根据本次考试分数分成下列六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第六组）为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差大于30分（以分数段为依据，不以具体学生分数为依据），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的19．(本小题满分12分){}(){}(){}1322, 4.1211.==+⎧⎫⎨⎬⎩⎭已知等比数列的公比为正数，且求的通项公式；设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和n n n n n n a a a a a b b n S a20.(本小题满分12分)()()()()()()=-++<=-≥-≤⎡⎤-⎣⎦已知解不等式当,若时,恒有+,求的取值范围2243110;210.f x x m x mf x m x ax a f x x x a21.(本小题满分12分)()()∆∆--===在中,求；若为中点，求cos sin 0122,.ABC ABC a C C b c A a S D BC AD22.(本小题满分12分)设a 为非负实数，函数f （x ）=x |x ﹣a |﹣a ． （Ⅰ）当a =2时，求函数的单调区间；（Ⅱ）讨论函数y =f （x ）的零点个数，并求出零点．无为中学xx 高二第一学期开学检测数学（理科）答案一. 选择题二. 填空题三. 简答题17. 解: 1)1cos 2(32sin 2+-+=x x………………………………………………………………………….. 4分 (Ⅰ)函数f(x)的最小正周期为 …………………………………………….5分 (Ⅱ)由223222πππππ+≤+≤-k x k得622652ππππ+≤≤-k x k )(,12125Z k k x k ∈+≤≤-ππππ函数的单调增区间为)(,12,125Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ …………………….8分 (Ⅲ)因为,,, ………………………………………….10分18. 解：(1)N=60×(1-0.005-0.010-0.015×2-0.025)×10=18(人)．…….4分 (2)成绩在80分及以上的学生有60×(0.005+0.025)×10=18(人)，∴估计这次考试中该学科的优分率为×100%=30%；. ……………………………8分 (3)所有的组合数：(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6) (2，3)(2，4)(2，5)(2，6) (3，4)(3，5)(3，6) (4，5)(4，6) (5，6) n=5+4+3+2+1=15，符合“最佳组合”条件的有：(1，4)(1，5)(1，6) (2，5)(2，6)(3，6) m=6，所以。

江苏省2021-2022学年高二上学期开学分班考试数学试题（三）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．在△ABC 中，若AB =3BC =，120C ∠=，则AC =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．设1e ，2e 是平面内不共线的两个向量，则以下各组向量中不能作为基底的是（ ）A ．122e e +与212e e +B ．2e 与12e e -C ．122e e -与2142e e -D ．12e e -与12e e +3．在△ABC 中，0AB AC ⋅<，则△ABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形4．在ABC 中，2c =，2a =，60B =︒，则ABC 的面积为（ ）.A ．2BC ．D ．35．已知复数α，β，则下列结论：①若220αβ+=，则0αβ==；②若0αβ->，则αβ>；③222αβαβ⋅=⋅；④2ααα⋅=；⑤2222αβααββ-=-+正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．生活中有很多球缺状的建筑．一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高．球冠的面积公式为2S RH π=，球缺的体积公式为21(3)3V R H H π=-，其中R 为球的半径，H 为球缺的高．现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为1:3，则这两个球缺的体积之比为（ ）A ．19B ．427C ．527D ．29 7．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为,m n ，记t m n =+，则下列说法正确的是A ．事件“12t =”的概率为121 B ．事件“t 是奇数”与“m n =”互为对立事件C ．事件“2t =”与“3t ≠”互为互斥事件D ．事件“832t mn ><且”的概率为148．在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P(x 0，y 0)，若cos(6πα+)=45，则x 0=（ ）A B C D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．欧拉公式i cos isin e θθθ=+（其中i 是虚数单位，R θ∈）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）A ．复数3i e 对应的点位于第一象限B ．复数i 1i x e +C ．i e π为纯虚数D ．42i i 3310e e ππ++=10．某人向正东方向走了x km 后向右转了150°，然后沿新方向走了3km ，结果离出发点，则x 的值为（ ）A B ．C ．2 D ．311．在同一平面内，设1AB =，点M 满足22B M M c A -=（c 为常数），则下列正确的是（ ）A ．若c =13，则存在满足条件的点M 使得2AM MB = B ．c R ，点M 构成的集合是垂直于线段AB 的一条直线C ．若c = 1，当M ，B 不重合时，点M 、A 、B 可构成一个直角三角形D ．若c = 3，则|MB |min = 112．在南方不少地区，经常看到人民头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为了一种时尚旅游产品，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是（ ）.A ．若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费为元B ．用此斗笠盛水，则需要1000π立方厘米的水才能将斗笠装满C ．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为120°D ．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数221(23)i(R)z m m m m =-+--∈为纯虚数，则m =________.14．镇海中学高一各班三分钟跳绳比赛的成绩如下：257，311，267，301，279，296，246，287，257，323，266，293，304，269，332，270，则其第50百分位数为______．15．已知点()1,2A -，(2,)B y ，向量()1,2a =，若//AB a ，则实数y 的值为___________.16．如图所示，半径均为r 的四个小球两两外切，它们又内切于正四面体ABCD ，即正四面体的每个面均与其中三个球相切，已知正四面体的棱长为a ，则小球半径r =______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知复数2(1),z m m m i m R =+-+∈，i 为虚数单位． （1）当z 是纯虚数时，求m 的值；（2）当1m =时，求z 的值．18．某通讯公司需要在三角形地带OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC 内，乙中转站建在区域AOB 内．分界线OB 固定，且(1OB =百米，边界线AC 始终过点B ，边界线OA OC 、满足75,30,45AOC AOB BOC ∠=︒∠=︒∠=︒．设(36)OA x x =≤≤百米，OC y =百米．sin 754⎛︒= ⎝⎭（1）将y 表示成x 的函数，求出函数y 的解析式；（2）当x 取何值时？整个中转站的占地面积OAC S 最小，并求出其面积的最小值．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=︒．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC a ====，90APD ∠=︒，求四棱锥P ABCD -的侧面积．20．随着社会的进步、科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注，因此，2019年6月25日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存、分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．某市环卫局在A 、B 两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（7天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表：（1）分别计算A 、B 小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；（2）如果两个小区住户均按照1000户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案：①A 小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照3000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？②B 小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于4位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员（每天工作8小时）月工资按照4000元（按照28天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？21．已知函数()()()()cos 0,0f x x x ωϕωϕϕπω+-+<<>为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π.（1）若1()sin ,0,32f πααα⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭，求()2sin f αα+的值； （2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间.22．在ABC 中，120CAB ∠=︒.（1）如图1，若点P 为ABC 的重心，试用AB 、AC 表示AP ；（2）如图2，若点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动（包含B 、C 两个端点），且1AB AC ==，设(,)AP AB AC λμλμ=+∈R ，求λμ的取值范围；（3）如图3，若点P 为ABC 外接圆的圆心，设(,)AP mAB nAC m n =+∈R ，求m n +的最小值.2021—2022学年度高二开学分班考试（三）数学·全解全析1．D解：由余弦定理知：2222cos AB BC AC BC AC C =+-⋅⋅，∴2340AC AC +-=，解得1AC =，故选：D2．C解：解：1e ，2e 是平面内不共线的两个向量，对A ，122e e +与212e e +不共线，故可以作为基底，故A 错误； 对B ，2e 与12e e -不共线，故可以作为基底，故B 错误； 对C ，()211214222e e e e -=--，故122e e -与2142e e -共线， 不可以作为基底，故C 正确；对D ，12e e -与12e e +不共线，故可以作为基底，故D 错误；故选：C.3．C解： 解：∵cos 0AB AC AB AC A ⋅=⋅<，∴cos 0A <，∴A ∠是钝角，则△ABC 是钝角三角形.故选：C 4．B解：ABC 的面积为11sin 22sin 6022ac B =⨯⨯︒=， 故选：B.5．A解：①错误，例如1α=，i β=满足220αβ+=，但0α≠，0β≠；②错误，例如2i α=+，i β=，满足条件，但二者是虚数，不能比较大小；③错误，等号左边结果一定是非负实数，等号右边未必是实数；④正确，设i a b α=+，则()()2222i i (i)a b a b a b a b αα⋅=+-=-=+，而2222a b α==+，所以2ααα⋅=，⑤错误，类似于③，即等号左边结果一定是非负实数，等号右边未必是实数.故选：A.6．C解：设小球缺的高为1h ，大球缺的高为2h ，则122h h R +=， 由题意可得，122123Rh Rh ππ=，则213h h =， 1132h h R ∴+=，即12R h =，21332h h R ==， ∴小球缺的体积232111115(3)(3)332424R R R V R h h R πππ=-⋅=-⋅=； 大球缺的体积32222211399(3)(3)33248R V R h h R R R πππ=-⋅=-⋅=． ∴小球缺与大球缺的体积比为3355249278R R ππ=． 故选：C ．7．D解：对于A, 1266t ==+,则概率为1116636⨯=,选项错误; 对于B, “t 是奇数”即向上的点数为奇数与偶数之和,其对立事件为都是奇数或都是偶数,选项错误;对于C,事件“2t =”包含在“3t ≠”中,不为互斥事件,选项错误;对于D, 事件“832t mn 且><”的点数有: ()()()()()()()()()3,6,4,5,4,6,5,4,5,5,5,6,6,3,6,4,6,5,共9种,故概率为91664=⨯,选项正确;综上可得,选D. 点睛:事件A 和B 的交集为空,A 与B 就是互斥事件,也可以描述为:不可能同时发生的事件,则事件A 与事件B 互斥,从集合的角度即A B =∅;若A 交B 为不可能事件,A 并B 为必然事件,那么事件A 与事件B 互为对立事件,即事件A 与事件B 在一次试验中有且仅有一个发生,其定义为:其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件.8．A解：解：由题意，x 0=cosα.α∈,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，6πα+∈,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又cos(6πα+)=45< ∴6πα+∈,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭， ∴sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=35， ∴x 0=cosα=cos 66ππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 6π+sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 6π=431552⨯. 故选：A.9．BD解：A ：3i cos3isin 3e =+，而32ππ<<，则cos 30<、sin 30>，故3i e 位于第二象限，错误； B：i cos isin )isin()]1i 44isin )44x e x x x x ππππ+==-+-++，则其模长为2，正确； C ：i cos isin 1e πππ=+=-，则i e π为实数，错误； D ：42i i 334422111cos isin cos isin 110333322e e ππππππ++=++++=--+=，正确； 故选：BD10．AB解： 如图所示，在ABC中，,3,30AB x BC AC ABC ===∠=，由余弦定理得，222323cos30AC x x =+-⨯，整理得260x -+=，解得x =x =故选：AB11．ACD解：建立如图所示的平面直角坐标系，设(),M x y ，而()10B ,， 则(),,(1,)AM x y BM x y ==- ，因为22B M M c A -=，故()22221x y x y c +---=，整理得到：12c x +=． 它是一条垂直于线段AB 的直线，但当c 变化时，M 的轨迹为垂于线段AB 的无数条直线，故B 错误． 若13c =，则M 的轨迹为直线：23x =，取2,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则21,0,(,0)33AM BM ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，此时2AM MB =，故A 正确． 若1c =，则M 的轨迹为直线：1x =，此时(0,)BM y =，而(1,0)AB =，故0BM AB ⋅=即BM AB ⊥， 因为,,A B M 为不同三点，故可构成直角三角形，故C 正确． 若3c =，则2x =，故(1,)BM y =，故11BM =+， 当且仅当0y =等号成立，故min 1BM=，故D 正确．故选：ACD ．12．BC解：由题知此“灯罩斗笠”对应的圆锥中，母线20l =厘米，底面圆半径r =10h 厘米.圆锥侧面积为rl π=平方厘米，若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费为元，故选项A 错误； 圆锥的体积2110003V r h ππ==立方厘米，故选项B 正确； 过圆锥的顶点和底面中心的截面图形为等腰三角形，因为该等腰三角形腰长20厘米，底边长为cos30==︒，所以底角等于30，顶角等于120︒.故选项C 正确； 过圆锥顶点和侧面上任意两母线的截面三角形面积最大的为顶角为90︒的等腰三角形， 其面积为12020sin902002⨯⨯⨯︒=平方厘米.故选项D 错误. 故选：BC.13．1解：解：因为复数221(23)i(R)z m m m m =-+--∈为纯虚数，所以210m -=且2230m m --≠，由210m -=，得1m =或1m =-，由2230m m --≠，得1m ≠-且3m ≠，综上，1m =，故答案为：114．283解：数据从小到大排序如下，246，257，257，266，267，269，270，279，287，293，296，301，304，311，323，332共16个数据，第8、9个数据为279，287，则其第50百分位数为2792872832+=， 故答案为：283．15．8解：由题意，点()1,2A -，(2,)B y ，可得(3,2)AB y =-，又由向量()1,2a =，且//AB a ，可得3212y -=，解得8y =， 即实数y 的值为8.故答案为：8.16 解：四个球心组成一个棱长为2r 的正四面体，设它的中心O 到各面的距离为d ，正四面体高为h ，且h ==，由等体积法可得，1114333S h S d S d ==⨯表面底面底面，所以14d h =，且6d r = 正四面体D ABC -的各面分别与上述正四面体的各面平行，距离均为r ，它们有公共中心O ，且两正四面体位似，位似中心为O ，而位似比为：d d r ==+， 所以正四面体D ABC -的边长为：221)d r r r d+⨯=， 又正四面体D ABC -的边长为a，所以21)a r =，得r ==故答案为：110a 17．（1）0m =；（2）22z i =-.解：解：（1）由题意，当z 是纯虚数时，有2010m m m ⎧+=⎨+≠⎩，解得0m =；（2）当1m =时，211(11)22z i i =+-+=-.18．（1）(36)2y x x =≤≤-；（2）当400x =米时，整个中转站的占地面积OAC S 最小，最小面积是4(210+⨯平方米.解：解：（1）结合图形可知，BOC AOB AOC SS S +=．于是，111(130(145sin 75222x y xy ︒++︒=︒，解得(36)2y x x =≤≤-． （2）由（1）知，(36)2y x x =≤≤-，因此，1sin 752AOC S xy =︒=4(2)42x x ⎡⎤=-++⎢⎥-⎣⎦2≥+422x x -=-，即4x =时，等号成立）．答：当400x =米时，整个中转站的占地面积OAC S 最小，最小面积是4(210+⨯平方米．19．（1）证明见解析；（2）22322a a +． 解： （1）证明：由90BAP CDP ∠=∠=︒，可得AB AP ⊥，CD DP ⊥，由于//AB CD ，可得AB DP ⊥，又AP DP P ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，又AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ；（2）设PA PD AB DC a ====，由90APD ∠=︒，可得AP DP ⊥，则==AD ，由AB ⊥平面PAD ，可得AB AP ⊥，则==PB ，又CD DP ⊥，可得==PC ，而==BC AD ，所以四棱锥P ABCD -的侧面积为△△△△+++=PAD PCD PBC PAB S S S S22211)224+++a a 22213222=+a a ． 20．（1）210分钟，215分钟；8003，8753；（2）①15元；②64元. 解：（1）()12201802102202002302106A x =+++++=（分钟）， ()12001902402302202102156B x =+++++=（分钟），()()()()2222212202101802102102102202106A s ⎡=-+-+-+-+⎣()()228002002102302103⎤-+-=⎦， ()()()()2222212002151902152402152302156B s ⎡=-+-+-+-+⎣()()228752202152102153⎤-+-=⎦； （2）①按照A 方案，A 小区一月至少需要5名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，其费用是5300015000⨯=元， 每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为150********=（元）， ②由（1）知，B 小区平均每位住户每周需要215分钟进行垃圾分类，一月需要2154860⨯=（分钟），B 小区一月平均需要8601000860000⨯=分钟的时间用于生活垃圾分类，∵一位专职工人一天的工作时间按照8小时作为计算标准，每月按照28天作为计算标准， 一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于4名普通居民对生活垃圾分类的效果，∴B 小区一月需要专职工作人员至少86000016860284≈⨯⨯⨯（名）， 则每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为164000641000⨯=（元），21．（1（2）2148,8()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 解：解：（1）f （x ）（ωx+φ）﹣cos （ωx+φ）（ωx+φ）﹣12cos （ωx+φ）]=2sin （ωx+φ﹣6π）， 因为f （x ）为偶函数，所以φ﹣62ππ=+kπ，k∈z， 即φ=23π+kπ，k∈Z.又因为0＜φ＜π，所以φ=23π. 所以f （x ）=2sin （ωx+2π）=2cosωx. 由题意得2πω=2π，所以ω=1，故f （x ）=2cosx ， （1）()2sin 2cos 2sin f αααα+=+()()()222sin 2cos 2sin 412sin cos f αααααα⎡⎤∴+=+=+⎣⎦ 由()1π·sin 032f ααα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，得: 12cos sin sin 0cos 03αααα=>>，，()2sin 3f αα∴+=== （2）将f （x ）的图象向右平移6π个单位长度后，得到y=2cos （x ﹣6π）的图象. 再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y=2cos （14x ﹣6π）的图象. 所以g （x ）=2cos （14x ﹣6π）. 令2kπ≤4x ﹣6π≤2kπ+π（k∈Z），求得 8kπ+23π≤x≤8kπ+143π（k∈Z）， 所以g （x ）的单调递减区间为2148,8()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 22．（1）1133AP AB AC =+；（2）[0,1]λμ∈；（3）2. 解： （1）延长AP 交BC 于D ，则D 是BC 中点，所以1()2AD AB AC =+因为点P 为ABC 的重心，所以22111()33233AP AD AB AC AB AC ==⋅+=+； （2）以A 为原点，建立如图坐标系，则(1,0)B，1,22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设(cos ,sin )P θθ，20,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为(,)AP AB AC λμλμ=+∈R ，所以1(cos ,sin )(1,0)2θθλμ⎛=+- ⎝⎭，所以cos λθθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以221cos 2sin 2(1cos 2)33λμθθθθθθθ⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎝⎭)1212cos 21sin 23363πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ 因为20,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以21sin 2[0,1]363πθ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以[0,1]λμ∈； （3）因为120CAB ∠=︒，所以120CPB ∠=︒由AP mAB nAC =+可得()()AP m AP PC n AP PB =+++即(1)m n AP mPC nPB --=+平方可得222222(1)2m n AP m PC n PB mnPC PB --=++⋅222222(1)||||||2||||cos120m n AP m PC n PB mn PC PB --=++⋅︒ 222(1)m n m n mn --=+-22221222m n m n mn m n mn ++--+=+-，即3122mn m n +=+根据平行四边形法则可知1m n +>，令m n t +=，则213t mn -=，1t > 根据基本不等式可得2()4m n mn +≤， 所以22134t t -≤，解得2t ≥或23t ≤ 所以2t ≥，所以2m n +≥，所以m n +的最小值是2.。

2021-2022学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 直线x −π3=0的倾斜角为( )A. 0B. π3C. π2D. 2π32. 已知平面α的一个法向量为n ⃗ =(2,−2,4),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−2)，则AB 所在直线l 与平面α的位置关系为( )A. l ⊥αB. l ⊂αC. l 与α相交但不垂直D. l//α3. 若数列{2an+1}是等差数列，a 1=1,a 3=−13，则a 5=( )A. −79B. −35C. 35D. 794. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，M 是抛物线上一点，过点M 作MN ⊥l 于N.若△MNF 是边长为2的正三角形，则p =( )A. 14B. 12C. 1D. 25. 在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则下列向量中与B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A. −12a ⃗ +12b ⃗ +c ⃗ B. −12a ⃗ −12b ⃗ +c ⃗ C. 12a ⃗ −12b ⃗ +c ⃗ D. 12a⃗ +12b ⃗ +c ⃗ 6. 椭圆x 24+y 23=1上的点P 到直线x +2y −9=0的最短距离为( )A. √5B. 7√55C. 9√55D. 13√557. 若数列{a n }满足a 2−12a 1<a 3−12a 2<⋯<a n −12a n−1<⋯，则称数列{a n }为“半差递增”数列．已知“半差递增”数列{c n }的前n 项和S n 满足S n +2c n =2t −1(n ∈N ∗)，则实数t 的取值范围是( )A. (−∞,12)B. (−∞,1)C. (12,+∞)D. (1,+∞)8. 已知线段AB 的端点B 在直线l ：y =−x +5上，端点A 在圆C 1：(x +1)2+y 2=4上运动，线段AB 的中点M 的轨迹为曲线C 2，若曲线C 2与圆C 1有两个公共点，则点B 的横坐标的取值范围是( )A. (−1,0)B. (1,4)C. (0,6)D. (−1,5)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线l 与双曲线右支交于点P.若|PF 1|=2|PF 2|，且△PF 1F 2有一个内角为120°，则双曲线的离心率可能是( ) A. √13−12B. 2C. √13+12D. √710. 如图，已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1,AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (t ∈[0,1])，则下列说法正确的有( ) A. CH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. ∀t ∈[0,1]，都有CH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 C. ∃t ∈[0,1]，使得DH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. 若平面α⊥CH ，则直线CD 与平面α所成的角大于π411. 如图1，曲线C ：(x 2+y 2)3=16x 2y 2为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜宿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用．如图2，苜宿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆驶入环道后再自右侧切向汇入主路，四条环形匝道就形成了苜宿叶的形状．给出下列结论正确的是( )A. 曲线C只有两条对称轴B. 曲线C仅经过1个整点(即横纵坐标均为整数的点)C. 曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2D. 过曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为212.已知数列{a n}满足a1=12,a n=12a n−1+λ2n(n≥2,n∈N∗)，其中λ∈{−1,0,1}，下列说法正确的是()A. 当λ=0时，数列{a n}是等比数列B. 当λ=−1时，数列{(−2)n a n}是等差数列C. 当λ=1时，数列{a n−n2n}是常数列D. 数列{a n}总存在最大项三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若a⃗=(1,−1,√2)，则与向量a⃗同方向的单位向量的坐标为______．14.小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支．如图，P为双曲线的顶点，经过测量发现，该双曲线的渐近线相互垂直，AB⊥PC，AB=60cm，PC=20cm，双曲线的焦点位于直线PC上，则该双曲线的焦距为______cm．15.已知数列{a n}满足a n+2=a n+1−a n(n∈N∗)，且a1=2，a2=3，则a2022的值为______．16.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，以F为圆心的圆交线段AB于C，D两点(从上到下依次为A，C，D，B)，若|AC|⋅|BD|≥|FC|⋅|FD|，则该圆的半径r的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知直线l1：mx−(2−m)y−4=0与直线l2：x+y−2=0的交点M在第一、三象限的角平分线上．(1)求实数m的值；(2)若点P在直线l1上且|PM|=√5|PO|，求点P的坐标．218.已知函数f(x)=log√2x，从下列两个条件中选择一个使得数列{a n}成等比数列．条件1：数列{f(a n)}是首项为4，公比为2的等比数列；条件2：数列{f(a n)}是首项为4，公差为2的等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)求数列{f(a n)a n19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD，点F为棱PD的中点，二面角D−FC−B的余弦值为√66．(1)求PD的长；(2)求异面直线BF与PA所成角的余弦值；(3)求直线AF与平面BCF所成角的正弦值．20.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1+a n=4n(n∈N∗)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)是否存在正实数a，使得不等式a1a1+1⋅a2a2+1⋯⋯a na n+1⋅√a n+1<a2−3a对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2=4x 经过点A(1,2)，直线l ：y =kx +b 与抛物线C 交于M ，N 两点． (1)若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线l 的方程；(2)当AM ⊥AN 时，若对任意满足条件的实数k ，都有b =mk +n(m,n 为常数)，求m +2n 的值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√63.点P 是椭圆上的一动点，且P 在第一象限．记△PF 1F 2的面积为S ，当PF 2⊥F 1F 2时，S =2√63． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)如图，PF 1，PF 2的延长线分别交椭圆于点M ，N ，记△MF 1F 2和△NF 1F 2的面积分别为S 1和S 2．(ⅰ)求证：存在常数λ，使得1S 1+1S 2=λS 成立；(ⅱ)求S 2−S 1的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵直线x −π3=0， ∴x =π3，即斜率不存在，∴直线x −π3=0的倾斜角为π2． 故选：C ．根据已知条件，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解． 本题主要考查斜率与倾斜角的关系，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：平面α的一个法向量为n ⃗ =(2,−2,4),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−2)， ∵n ⃗ =−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴n ⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB 所在直线l 与平面α的位置关系为l ⊥α． 故选：A ．由n ⃗ =−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得n ⃗ //AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，由此得到l ⊥α． 本题考查直线与平面的位置关系的判断，考查线面垂直的判定定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】解：因为数列{2an+1}是等差数列，a 1=1,a 3=−13， 所以21+a 1=1，21+a 3=3， 所以该等差数列的公差d =3−12=1，所以21+a 5=1+4d =5，则a 5=−35． 故选：B ．由已知结合等差数列的通项公式可求公差d ，进而可求． 本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：如图所示，△MNF 是边长为2的正三角形， 所以MN =2，所以在Rt △NAF 中，计算|AF|=|NF|sin30°=1， 所以p =1．故选：C ．由图可知，得|NF|=2，再在Rt △NAF 中，计算|AF|=p ，即可得出答案． 本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的相交问题，属于中档题．5.【答案】A【解析】解：平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =c ⃗ +12(−a ⃗ +b ⃗ )=−12a ⃗ +12b ⃗ +c ⃗ ． 故选：A ．在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，根据空间向量的加法合成法则，对向量B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 进行线性表示即可．本题考查了空间向量的加法运算问题，解题时应结合图形进行解答，是基础题目．6.【答案】A【解析】解：由P(x,y)是椭圆x24+y23=1上的动点．可设x=2cosα，y=√3sinα(0≤α≤2π)，由点到直线的距离公式可得d=√3sinα−9|√1+4=|4sin(α+π6)−9|√5，∵4sin(α+π6)∈[−4,4]，∴|4sin(α+π6)−9|∈[5,13]，∴d∈[√5,13√55]，∴最短距离d=√5．故选：A．由点到直线的距离公式可得d=√3sinα−9|√1+4，通过两角和与差的三角函数，结合三角函数的性质可求最小值．本题主要考查了直线与椭圆的相交关系的应用，解题的关键是利用三角函数设出P的坐标(即参数方程)，从而把所求的函数的取值范围或最值转化为求三角函数的值域及最值．7.【答案】A【解析】解：因为S n+2c n=2t−1(n∈N∗)所以当n≥2时，S n−1+2c n−1=2t−1两式相减可得c n+2c n−2c n−1=0，即c n cn−1=23，所以数列{c n}是以公比q=23的等比数列当n=1时，c1=2t−13所以C n=2t−13⋅(23)n−1，则c n−12c n−1=2t−13⋅(23)n−1−2t−16⋅(23)n−2=2t−118⋅(23)n−2，c n+1−12c n=2t−13⋅(23)n−12×2t−13⋅(23)n−1=2t−118⋅(23)n−1，由“半差递增”数列的定义可知，2t−118⋅(23)n−2<2t−118⋅(23)n−1，化简可得2t −1<(2t −1)×23， 解不等式可得t <12，即实数t 的取值范围为(−∞,12)， 故选：A ．根据S n +2c n =2t −1(n ∈N ∗)，利用递推公式求得数列{c n }的通项公式．再根据新定义的意义，代入解不等式即可求得实数t 的取值范围．本题考查数列与不等式的综合，考查学生的综合能力，属于难题．8.【答案】D【解析】解：设线段AB 中点M(x,y)，A(x 1,y 1)，B(x 2,−x 2+5)， 由题意知：2x =x 2+x 1，2y =y 1−x 2+5， ∴x 1=2x −x 2，y 1=2y +x 2−5， ∵点A 在圆(x +1)2+y 2=4上运动， ∴(2x −x 2+1)2+(2y +x 2−5)2=4， ∵线段AB 的中点M 的轨迹方程为(x −x 2−12)2+(y −5−x 22)2=1，即曲线C 2是以(x 2−12,5−x 22)为圆心，以1为半径的圆，若曲线C 2与圆C 1有两个公共点， 则1<|C 1C 2|<3， 即1<√(x 2−12+1)2+(5−x 22)2<3，平方整理得，2<x 22−4x 2+13<18， 即{x 22−4x 2+11>0x 22−4x 2−5<0，解得−1<x 2<5， 故选：D ．设线段AB 中点M(x,y)，A(x 1,y 1)，B(x 2,−x 2+5)，由题意可得x 1=2x −x 2，y 1=2y +x 2−5，代入C 1的方程可得曲线C 2的轨迹方程为圆，若满足曲线C 2与圆C 1有两个公共点，则1<|C 1C 2|<3，列出不等式求解x 2即可得结果．本题考查线段的中点的轨迹方程的求法，两圆的位置关系的判断，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：过F 1的直线l 与双曲线右支交于点P ，所以|PF 1|−|PF 2|=2a ，又|PF 1|=2|PF 2|，所以|PF 1|=4a ，|PF 2|=2a ，当∠PF 2F 1=120°时，由余弦定理有|PF 1|2=|PF 2|2+|F 2F 1|2−2|PF 2|F 2F 1|cos∠PF 2F 1， 所以16a 2=4a 2+4c 2+4ac ，可得e =ca=√13−12， 当∠F 1PF 2=120°时，由余弦定理有|F 2F 1|2=|PF 2|2+|PF 1|2−2|PF 2|PF 1|cos∠PF 1F 2， 所以4c 2=16a 2+4a 2−2×2a ×4a ×(−12)，整理得7a 2=c 2，所以e =ca =√7， 故选：AD ．|PF 1|−|PF 2|=2a ，又|PF 1|=2|PF 2|，所以|PF 1|=4a ，|PF 2|=2a ，分∠PF 2F 1=120°，∠F 1PF 2=120°两种情况，在△PF 1F 2中运用余弦定理可得离心率的值． 本题考查双曲线的性质，以及离心率的求法，属基础题．10.【答案】BC【解析】解：由AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得CH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−t)CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故A 错误；CH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =[(1−t)CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−t)CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故B 正确； 当H 在A 1点时，DH ，B 1C 显然平行，所以DH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故C 正确；平面α⊥CH ，则CH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面α的一个法向量， 以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则H(1,0,t)，C(0,1,0)，D(0,0,0)， 所以CH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,t)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,0)， 设直线CD 与平面α所成的角为θ，则sinθ=|cos <CH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=∣CH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣CH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣×∣∣CD⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=1√2+t 2×1≤13<√22， 所以直线CD 与平面α所成的角小于π4，故D 错误；故选：BC ．由AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得CH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−t)CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可判断A ；由CH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可判断B ；当H 在A 1点时，DH ，B 1C 显然平行，可判断C ；以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，CH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,t)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,0)，sinθ=|cos <CH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >|<√22，可判断D ．本题考查空间向量的线性运算，以及利用向量求线面角的范围，属中档题．11.【答案】BCD【解析】解：根据图形可得，曲线C 有四条对称轴x =0，y =0，y =±x ，即A 错； 由{x 2+y 2=4(x 2+y 2)3=16x 2y 2，可得x 2=y 2=2，即圆x 2+y 2=4与曲线C ：(x 2+y 2)3=16x 2y 2相切于点(√2,√2)，(√2,−√2)，(−√2,√2)，(−√2,−√2)，(x 2+y 2)3=16x 2y 2内切于圆x 2+y 2=4，故曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离的最大值为√2+2=2，即C 正确；又圆x 2+y 2=4位于第一象限的整点只有(1,1)，但(12+12)3=8≠16，所以曲线C 在第一象限不过整点，根据对称性可得，曲线C 在二三四象限也不过整点；又(0,0)显然在曲线(x 2+y 2)3=16x 2y 2上，所以曲线(x 2+y 2)3=16x 2y 2只过一个整点，故B 正确； 设曲线C 上的任一点的坐标为(x,y)，则过该点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积|xy|；由(x 2+y 2)3=16x 2y 2可得16x 2y 2=(x 2+y 2)3≥8|x|3|y|3，当且仅当|x|=|y|=√2时，等号成立，所以|xy|≤2，即D 正确． 故选：BCD ．先由图象，确定A 错；再联立{x 2+y 2=4(x 2+y 2)3=16x 2y 2，确定(x 2+y 2)3=16x 2y 2内切于圆x 2+y 2=4，从而可判断C 正确；考虑圆x 2+y 2=4内位于第一象限的整点，验证是否满足曲线C ，进而可判断B 错；由题意得到曲线C 上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积为|xy|，结合基本不等式，可判断D 正确．求解本题的关键在于，先确定(x 2+y 2)3=16x 2y 2内切于圆x 2+y 2=4；进而即可根据圆的特征，求出曲线C 上的点到原点的距离的最值，以及曲线C 所过整点个数．12.【答案】ACD【解析】解：数列{a n }满足a 1=12,a n =12a n−1+λ2n (n ≥2,n ∈N ∗)，其中λ∈{−1,0,1}， 对于A ，当λ=0时，a n =12a n−1，∵a 1=12≠0， ∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列，故A 正确； 对于B ，当λ=−1时，a n =12a n−1−12n ，2n a n =2n−1a n−1−1， ∴2n a n 2n−1a n−1=−1，∴数列{2n a n }是等差数列，∴数列{(−2)n a n }不是等差数列，故B 错误； λ=1时，a n =12a n−1+12n ，2n a n −2n−1a n−1=1， {2n a n }是等差数列，又2a 1=1，∴2n a n =n,a n =n2n ， 从而a n −n2n =0是常数，故C 正确； 由以上讨论知λ=0时，{a n }最大值是a 1=12， λ=0时，2n a n =1+(n −1)×(−1)=2−n ，a n =2−n 2n，n ≥2时，a n ≤0，∴数列最大值为a 1=12，λ=1时，a n =n2n ，a n+1−a n =n+12n−1−n2n =1−n 2n+1≤0， 即a n+1<a n (n ≥2)，a 2=a 1，{a n }有最大项12，故D 正确． 故选：ACD ．由等比数列的定义判断A ；由等差数列的定义判断BC ；由数列的单调性判断D ． 本题考查命题真假的判断，考查等比数列、等差数列等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】(12,−12,√22)【解析】解：根据题意，设要求向量为e ⃗ ，且e ⃗ =t a ⃗ =(t,−t,√2t)(t >0)，又由e ⃗ 为单位向量，则e ⃗ 2=t 2+t 2+2t 2=1，又由t >0，解可得：t =12， 故要求向量为(12,−12,√22)；故答案为：(12,−12,√22). 根据题意，设要求向量为e ⃗ ，且e ⃗ =t a ⃗ =(t,−t,√2t)，由向量模的计算公式可得t 的值，即可得答案．本题考查空间向量的坐标表示，涉及向量模的计算和向量平行的坐标表示，属于基础题．14.【答案】25√2【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设该双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0).因为渐近线相互垂直，所以a=b．由题意知(a+20)2a2−302a2=1，解得a=b=252，c=25√22，故该双曲线的焦距为25√2cm．故答案为：25√2．建立坐标系，设出双曲线方程，然后利用已知条件转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是基本知识的考查．15.【答案】−1【解析】解：数列{a n}满足a n+2=a n+1−a n(n∈N∗)，且a1=2，a2=3，∴a3=a2−a1=3−2=1，a4=a3−a2=1−3=−2，a5=a4−a3=−2−1=−3，a6=a5−a4=−3−(−2)=−1，a7=a6−a5=−1−(−3)=2，a8=a7−a6=2−(−1)=3，⋅⋅⋅∴{a n}是周期为6的周期数列，∵2022=337×6，∴a2022=a6=−1．故答案为：−1．由数列{a n }满足a n+2=a n+1−a n (n ∈N ∗)，且a 1=2，a 2=3，利用递推思想依次求出数列{a n }的前8项，从而得到{a n }是周期为6的周期数列，由此能求出a 2022的值． 本题考查数列的第2022项的求法，考查数列的递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】(0,2]【解析】解：由抛物线C ：y 2=8x 的焦的方程可得焦点F(2,0)，设以F 为圆心的圆的半径为r ，可知|FC|=|FD|=r ，|AC|=|AF|−r ，|BD|=|BF|−r ，设直线l 的方程为：x =my +2，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则|AF|=x 1+2，|BF|=x 2+2， 联立{x =my +2y 2=8x ，整理可得：y 2−8my −16=0，可得y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−16，x 1+x 2=m(y 1+y 2)+4=8m 2+4，x 1x 2=(y 1y 2)264=4，|AC|⋅|BD|≥|FC|⋅|FD|，即(|AF|−r)⋅(|BF|−r)≥r 2，则r ≤|AF|⋅|BF||AF|+|BF|=(x 1+2)(x 2+2)x 1+x 2+4=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4x 1+x 2+4=4+16m 2+8+48m 2+8=2，当且仅当|AF|=|BF|时取等号，所以0<r ≤2， 故答案为(0,2]．由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，设以F 为圆心的圆的半径为r ，由抛物线和圆的性质可得|FC|=|FD|=r ，|AC|，|BD|用r 表达的代数式，由|AC|⋅|BD|≥|FC|⋅|FD|，可得r 与|AF|，|BF|的关系，设直线l 的方程，与抛物线的方程联立求出两根之和及两根之积，可得r 的取值范围．本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)根据题意，第一、三象限的角平分线为y =x ，则{x +y −2=0y =x，解可得x =y =1，即M 的坐标为(1,1)， 点M 也在直线l 1：mx −(2−m)y −4=0上，则有m −(2−m)−4=2m −6=0， 解可得m =3；(2)根据题意，由(1)的结论，m =3，即直线l 1的方程为3x +y −4=0上， 设P 的坐标为(t,4−3t)，M(1,1)，O(0,0)，若|PM|=√52|PO|，则√1+9×√(t −1)2=√52×√t 2+(4−3t)2，变形可得：t 2−4t +4=0，解可得t =2，即P 的坐标为(2,−2)．【解析】(1)根据题意，求出直线l 2与y =x 的交点坐标，将其代入直线l 1的方程，求出m 的值，即可得答案；(2)根据题意，设P 的坐标为(t,4−3t)，由|PM|=√52|PO|可得关于t 的方程，解可得t 的值，即可得答案．本题考查两点间距离公式，涉及直线与直线的交点，属于基础题．18.【答案】解：(1)若选择条件1：数列{f(a n )}是首项为4，公比为2的等比数列，则f(a n )=4⋅2n−1=2n+1，即log √2a n =2n+1， 可得a n =(√2)2n+1=(212)2n+1=22n ，a n+1a n=22n+122n=22n+1−2n不是常数．若选择条件2：数列{f(a n )}是首项为4，公差为2的等差数列， 则f(a n )=4+2(n −1)=2n +2，即log √2a n =2n +2， 可得a n =(√2)2n+2=(212)2n+2=2n+1，a n+1a n=2n+22n+1=2，数列{a n }成等比数列．∴数列{a n }的通项公式为a n =2n+1； (2)f(a n )a n =2n+22n+1=n+12n，T n =221+322+423+...+n2n−1+n+12n ，12T n=222+323+424+...+n2n +n+12n+1， 两式作差，可得12T n =1+122+123+...+12n −n+12n+1 =1+14×(1−12n−1)1−12−n+12n+1=1+12−12n −n+12n+1=32−12n −n+12n+1，则T n =3−12n−1−n+12n．【解析】(1)分别选择条件1，2，求出a n ，说明选择条件1时，数列{a n }不是等比数列，选择条件2时，数列{a n }是等比数列； (2)求出数列{f(a n )a n}的通项公式，再由错位相减法求数列{f(a n )a n}的前n 项和T n ．本题考查数列递推式，考查对数的运算性质，训练了利用错位相减法求数列的前n 项和，是中档题．19.【答案】解：(1)取AB 中点M ，以D 为坐标原点，分别以DM ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 设FD =a ，则D(0,0,0)，F(0,0,a)，C(0,2,0)，B(√3,1,0)，A(√3,−1,0)，FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−a)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,0)，设平面FBC 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −az =0m ⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −y =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,√3,2√3a )；取平面DFC 的一个法向量为n⃗ =(1,0,0)． 由题意，得|cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=∣m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗∣∣m ⃗⃗⃗ ∣×∣n ⃗⃗ ∣=√1+3+12a 2×1=√66，解得a=√6，因为点F 为棱PD 的中点，所以PD =2√6； (2)BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,√6)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,2√6)， 设异面直线BF 与PA 所成角为θ，则cosθ=|cos <BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√10×√28=√7010； (3)由(1)知平面FBC 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,√3,√2)， 又AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,√6)，设直线AF 与平面BCF 所成角为α， 则sinα=∣AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ∣∣∣AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣×∣m ⃗⃗⃗ ∣=√3√10×√6=√55．【解析】(1)取AB 中点M ，以D 为坐标原点，分别以DM ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设FD =a ，利用平面FBC 与平面DFC 的所成角的余弦值求得a ，可求得PD ；(2)BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,√6)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,2√6)，用向量法可得异面直线BF 与PA 所成角的余弦值；(3)求出平面BCF 的一个法向量及AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再由两向量所成角的余弦值，可得FA 与平面BCF 所成的角的正弦值．本题考查直线与平面平行的判定，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.【答案】解：(1)由a n+1+a n =4n ，假设其变形为a n+1+λ(n +1)+μ=−(a n +λn +μ)，则有{−2λ=4−2μ−λ=0⇒{λ=−2μ=1，所以a n+1−2(n +1)+1=−(a n −2n +1)， 又a 1−2+1=0．所以a n −2n +1=0，即a n =2n −1； (2)由(1)a na n+1=2n−12n，所以a 1a1+1⋅a 2a2+1⋯⋯a na n+1⋅√a n+1=12⋅34⋅56⋯⋯2n−12n⋅√2n +1，令f(n)=12⋅34⋅56⋯⋯2n−12n⋅√2n +1，则f(n +1)=12⋅34⋅56⋯⋯2n−12n⋅2n+12n+2√2n +3，所以f(n+1)f(n)=2n+12n+2√2n+3√2n+1=√4n 2+8n+34n 2+8n+4<1，所以f(n)是递减数列， 所以f(n)max =f(1)=12×√3=√32，所以使得不等式a 1a 1+1⋅a 2a2+1⋯⋯a na n+1⋅√a n+1<a 2−3a 一切正整数n 都成立， 则a2−3a >√32，即a 2−√3a −6>0⇒(a −2√3)(a +√3)>0， 因为a 为正实数，所以a >2√3．【解析】(1)通过构造为等比数列求解； (2)由(1)得a 1a1+1⋅a 2a 2+1⋯⋯a n a n +1⋅√a n+1=12⋅34⋅56⋯⋯2n−12n⋅√2n +1，再研究其单调性，再得到最值，再解不等式即可求解．本题考查数列与不等式的综合，考查学生的综合能力，属于难题．21.【答案】解：(1)因为A(1,2)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以k MN =k OA =2−01−0=2， 则直线l 方程为y =2x +b ，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 联立{y 2=4xy =2x +b可得4x²+(4b −4)x +b²=0，则Δ=(4b −4)²−16b²>0，得b <12，且x 1+x 2=1−b ，x 1x 2=b 24因为MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(x 2−x 1,y 2−y 1)=4(1,2)=(4,8)， 所以x 2−x 1=4，则(x 2−x 1)²=(x 2+x 1)²−4x 2x 1=16， 所以(1−b)²−b²=16，解得b =−152， 所以直线方程为y =2x −152，即4x −2y −15=0；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{y 2=4x y =kx +b 可得k²x²+(2kb −4)x +b²=0，则Δ=(2kb −4)²−4k²b²>0，得kb −1<0， 且x 1+x 2=4−2kb k 2，x 1x 2=b 2k2，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2b =4−2kb k+2b =4k ，y 1y 2=(kx 1+b)(kx 2+b)=k²x 1x 2+kb(x 1+x 2)+b²=4b k，因为AM ⊥AN ，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得(x 1−1)(x 2−1)+(y 1−2)(y 2−2)=0， 即x 1x 2−(x 1+x 2)+1+y 1y 2−2(y 1+y 2)+4=0， 所以5k²+(6b −8)k +b²−4=0， 即(k +b −2)(5k +b +2)=0， 解得b =2−k 或b =−5k −2，所以m =−1，n =2或m =−5，n =−2， 即有m +2n =3或m +2n =−9．【解析】(1)由MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得k MN =k OA =2，则可得直线l 为y =2x +b ，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，然后将直线方程代入抛物线方程中消去y ，再利用根与系数关系，由MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得x 2−x 1=4，三个式子结合可求出b ，从而得到直线方程；(2)将直线方程代入抛物线方程，再利用韦达定理，由AM ⊥AN 可得(x 1−1)(x 2−1)+(y 1−2)(y 2−2)=0，化简后再结合前面的式子可求出b =2−k 或b =−5k −2，从而可求出m ，n 的值，进而求得答案．本题考查直线与抛物线的综合，涉及抛物线中的定值问题，韦达定理的应用，属于中档偏难题．22.【答案】解：(1)联立{e =c a =√63x 2a 2+y2b 2=1， 所以y 2=b 2(1−c 2a 2)=b 23，所以y =√33b ， 所以P(c,√33b)， 所以S △PF 1F 2=12⋅2c ⋅√33b =2√63，即bc =2√2，所以{bc =√2c a =√63b 2=a 2−c 2， 解得a 2=6，b 2=2，c 2=4，所以椭圆E 的方程为x 26+y 22=1．(2)设P(x 0,y 0)，(x 0>0,y 0>0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线PM 与直线PN 的斜率均不为零，因为F 1(−2,0)，F 2(2,0)，设直线PM 的方程为x +2=my ，直线PN 的方程为x −2=my ，联立{x +2=my x 26+y 22=1，得(m 2+3)y 2−4my −2=0， 所以y 0y 1=−2m 2+3，因为x 0+2=my 0，x 026+y 022=1， 所以y 0y 1=−2(x 0+2y 0)2+3=−2y 02x 02+3y 02+4x 0+4=−y 022x 0+5，所以y 1=−y02x 0+5， 由{x −2=ny x 26+y 22=1，得(ny+2)26+y 22=1， 即(n 2+3)y 2+4ny −2=0，所以y 0y 2=−2n 2+3，x 0−2=ny 0，x 026+y 022=1，所以y 0y 2=−2(x 0−2y 0)2=−2y 02x 02+3y 02−4x 0+4=−y 025−2x 0， 所以y 1=−y05−2x 0， 所以S =12⋅|F 1F 2|⋅|y 0|=2y 0，S 1=12⋅|F 1F 2|⋅|x 1|=−2y 1， S 2=12⋅|F 1F 2|⋅|y 2|=−2y 2，所以1S 1+1S 2=−(12y 1+12y 2)=5+2x 02y 0+5−2x 02y 0 (ⅰ)证明：1S 1+1S 2=−(12y 1+12y 2)=5+2x 02y 0+5−2x 02y 0=102y 0=10S ， 所以存在常数λ=10，使得1S 1+1S 2=λS 成立． (ⅱ)S 2−S 1=2(y 1−y 2)=2y 05−2x 0−2y 05+2x 0=8x 0y025−4x 02 =8x 0y 025(x 026+y 022)−4x 0=8x 0y 016x 02+252y 02=8x 06y 0+25y 02x 0， 所以8x 06y 0+25y 02x 0≤2√x 06y 0⋅25y 02x 0=8√35，当且仅当x 0=5√3913，y 0=√1313时，取等号， 所以S 2−S 1的最大值为8√35．【解析】(1)联立{e =c a =√63x 2a 2+y 2b 2=1，得P(c,√33b)，则S △PF 1F 2=12⋅2c ⋅√33b =2√63，即bc =2√2，又b 2=a 2−c 2，解得a 2，b 2，c 2，即可得出答案．(2)设P(x 0,y 0)，(x 0>0,y 0>0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，设直线PM 的方程为x +2=my ，则直线PN 的方程为x −2=my ，联立椭圆的方程，解得y 1，y 2，则S =12⋅|F 1F 2|⋅|y 0|=2y 0，S 1=12⋅|F 1F 2|⋅|x 1|=−2y 1，S 2=12⋅|F 1F 2|⋅|y 2|=−2y 2，进而可得1S 1+1S 2=−(12y1+12y2)=5+2x02y0+5−2x02y0(ⅰ)化简得1S1+1S2=−(12y1+12y2)=5+2x02y0+5−2x02y0=102y0=10S，即可得出答案．(ⅱ)化简得S2−S1=2(y1−y2)=8x06y0+25y02x0，结合基本不等式，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。

2021-2022年高二数学上学期入学考试试题理无答案一填空题.1（必修2)下图是一个正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是( )2．( 9.2 合肥一六八中学高一数学综合检测试卷（B ）)如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的成绩，期中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（1.1解三角形A 卷）在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是( ) A ．1<c <3 B ．2<c <3 C.5<c <3 D ．22<c <34（1.2解三角形B 卷）函数的单调减区间为( ) A ． B ．)(8,8Z k k k ∈⎥⎦⎤⎝⎛+-ππππC ．)(8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛+-ππππ D ．)(83,8Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛++ππππ5.有下列数组排成一排：121321432154321(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),112123123412345如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：121321432154321,,,,,,,,,,,,,,,112123123412345则此数列中的第项是（ ）6．（2.1数列A 卷）已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系31212312n n n a a a a b b b b ++++=，数列的前项和为，则的值为（ ） A. B. C. D.7.关于的方程的一个根比1大，另一个根比1小，则实数的取值范围是（）A ． B. C. D.8（3.2不等式复习B 卷）设表示不超过的最大整数，则关于的不等式的解集是（） A ． B. C. D.9.若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪⎨⎪⎩≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.或10(4.1算法初步 A 卷）计算机中常用十六进制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ABCDEF10进制 012345678910 11 12 13 14 15例如用十六进制表示有D+E ＝1B ，则A ×B=( ) A ．6E B ．7C C ．5F D ．B011（山东高考）执行两次右图所示的程序框图，若第一次 输入的的值为，第二次输入的的值为，则第一次、 第二次输出的的值分别为（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，012已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log )1(4)6()(x x x a x a x f a是上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 二．选择题.13．(浙江高考)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。

2021—2022学年度高二开学分班考试（四）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数1121i,1z z z =-⋅=，则复数2z 的虚部为（ ）A ．12 B ．12- C ．1 D ．1- 2．2tan151tan 15︒-︒的值是（ ）A B C D 3．2sin15cos15︒︒的值是（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2 4．已知ABC 中，::1:1:4A B C =，则::a b c 等于（ ）.A ．1:1:3B ．1:1:2C ．D ．2:2:5．在ABC 中，3AB =，2AC =，1324AD AB AC =+，则直线AD 通过ABC 的（ ）A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心 6．下列说法正确的是（ ）A ．若a b =，则a 、b 的长度相等且方向相同或相反B ．若向量AB 、CD 满足AB CD >，且AB 与CD 同向，则AB CD >C ．若a b ≠，则a 与b 可能是共线向量D ．若非零向量AB 与CD 平行，则A 、B 、C 、D 四点共线7．2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎(COVID -19)疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特效治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人，在排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p (0<p <1)且相互独立，该家庭至少检测了3个人才能确定为“感染高危户”的概率为()f p ，当0p p =时，()f p 最大，则0p =（ ）A ．2B ．12-CD ．1 8．在正三棱柱111ABC A B C -中，12AC AA ==，点M 是线段1BC 的中点，点N 是线段AB 的中点，记直线1A M 与CN 所成角为α，二面角1A BC A --的平面角为β，则（ ）A ．αβ=B ．αβ>C ．αβ<D ．2αβ=二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列命题中不正确的是（ ）A ．两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同B ．若非零向量AB 与CD 共线，则A 、B 、C 、D 四点共线C ．若非零向量a 与b 共线，则a b =D ．四边形ABCD 是平行四边形，则必有AB CD =10．先将曲线()23sin sin 2y x x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向下平移12个单位，得到()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．213g π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()g x 在[]0,π上的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．()g x 的图象关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D ．()g x 的图象可由1cos 2y x =+的图象向右平移23π个单位长度得到 11．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（ ）A ．2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同；B ．支出最高值与支出最低值的比是6：1；C ．第三季度平均收入为50万元；D ．利润最高的月份是2月份12．在正方体1111ABCD A BC D -中，点Q 为线段1AD 上一动点，则（ ）A ．对任意的点Q ，都有1B D CQ ⊥B ．三棱锥1B B CQ -的体积为定值C ．当Q 为1AD 中点时，异面直线1B Q 与BC 所成的角最小D ．当Q 为1AD 中点时，直线1B Q 与平面11BCC B 所成的角最大三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．sin 20cos10cos160sin10-=______．14．瑞云塔是福清著名的历史文化古迹.如图，一研究性小组同学为了估测塔的高度，在塔底D 和A ，B （与塔底D 同一水平面）处进行测量，在点A ，B 处测得塔顶C 的仰角分别为45°，30°，且A ，B 两点相距91m ，由点D 看A ，B 的张角为150°，则瑞云塔的高度CD =______ m15．甲､乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg ，方差为200，乙队体重的平均数为70kg ，方差300，又已知甲､乙的队员人数之比为1：4，那么甲､乙两队全部队员的方差为___________.16．如图，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，G 、H 分别是BC 和AD 上的动点，且EH 与GF 相交于点K ．下列判断中：①直线BD 经过点K ；①EFC EFH S S =；①E 、F 、G 、H 四点共面，且该平面把四面体ABCD 的体积分为相等的两部分．所有正确的序号为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，已知复平面内平行四边形ABCD 中，点A 对应的复数为1-，AB 对应的复数为2+2i ，BC 对应的复数为4-4i .（1）求D 点对应的复数；（2）求平行四边形ABCD 的面积.18．已知函数()()212cos 1sin2cos42f x x x x =-+. （1）求4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）求()f x 的最小正周期：（3）求()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的最大值. 19．已知A 为ABC 的内角，O 为坐标原点，复数cos isin z A A =+（i 为虚数单位），且满足|1|1z -=．（1）求21z z -+；（2）复数z 对应的向量OZ 绕O 逆时针旋转3π得到OZ '，OZ '对应的复数为z '，求z z ⋅'．20．已知点O ，A ，B ，C 的坐标分别为()()()()0,0,1,2,3,4,2,1--.（1）若()+⊥OA tOB AC ，求实数t 的值；（2）是否存在实数t ，使得OA tOB OC +=成立?解释你所得结论的几何意义. 21．为了回馈消费者，某商场准备在假期举行优惠活动，据统计，消费者在该商场的消费金额都不超过800元，活动策划人员准备了两种优惠方案．方案一：消费金额满300元减50元，满600元减120元，只取最高优惠，不重复减免； 方案二：消费金额满400元享受8折优惠．活动策划人员从电脑中存储的最近的消费记录中随机抽取了100位消费者的消费金额（单位：元），整理得到如下频数分布表：（1）分别估计两种方案下消费者参与优惠活动的概率；（2）在消费金额的频数分布表中取每组中间值作为代表，从全部消费者享受的优惠平均值角度分析哪种方案的优惠力度更大．22．棱锥是生活中最常见的空间图形之一，譬如我们熟悉的埃及金字塔，它的形状可视为一个正四棱锥.我国数学家很早就开始研究棱锥问题，公元一世纪左右成书的《九章算术》第五章中的第十二题，计算了正方锥、直方锥（阳马）、直三角锥（鳖臑）的体积，并给出了通用公式.公元三世纪中叶，数学家刘徽在给《九章算术》作的注中，运用极限思想证明了棱锥的体积公式.请你使用学过的相关知识，解决下列问题：如图，正三棱锥S ABC -中，三条侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，侧棱长是3，底面ABC 内一点P 到侧面,,SAB SBC SAC 的距离分别为x ，y ，z .（1）求证：3x y z ++=；（2）若1113x y z++=，试确定点P 在底面ABC 内的位置。