【步步高】2021学年高中数学 第一章 1.1.2四种命题检测试题 新人教A版选修1-1(1)

章末检测一、选择题1． 若集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅2． 已知函数f (x )＝ax 2＋(a 3－a )x ＋1在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是 ( )A ．a ≤ 3B ．－3≤a ≤ 3C ．0<a ≤ 3D ．－3≤a <03． 若f (x )＝ax 2－2(a ＞0)，且f (2)＝2，则a 等于( )A ．1＋22B ．1－22C ．0D ．24． 若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝9x ＋8B ．f (x )＝3x ＋2C ．f (x )＝－3x －4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －45． 已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩(∁I M )＝∅，则M ∪N 等于( )A ．MB ．NC ．ID ．∅6． 已知函数f ：A →B (A 、B 为非空数集)，定义域为M ，值域为N ，则A 、B 、M 、N 的关系是( )A ．M ＝A ，N ＝B B ．M ⊆A ，N ＝BC ．M ＝A ，N ⊆BD ．M ⊆A ，N ⊆B 7． 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |8． 已知函数f (x )＝1x在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B 等于( )A.12B ．－12C ．1D ．－19． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3x >10f f x ＋5 x ≤10，则f (5)的值是( ) A ．24B ．21C ．18D ．16 10．f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(2,5)上是( ) A ．增函数B ．减函数C ．有增有减D ．增减性不确定11．若f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )＝f (x )＋g (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F (x )有( )A ．最小值－8B ．最大值－8C ．最小值－6D ．最小值－412. 在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系的图象可表示为( )二、填空题13．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝______.14．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是________．15．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥ba ，a ＜b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．16．用描述法表示如图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)为________．三、解答题17．设集合A ＝{x |2x 2＋3px ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2＋x ＋q ＝0}，其中p 、q 为常数，x ∈R ，当A ∩B ＝{12}时，求p 、q 的值和A ∪B .18．已知f (x )，g (x )在(a ，b )上是增函数，且a <g (x )<b ，求证：f (g (x ))在(a ，b )上也是增函数．19．函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值． 20．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．21．某公司计划投资A 、B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(注：利润与投资量的单位：万元)．(1)分别将A 、B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？22．已知函数y ＝x ＋t x有如下性质：如果常数t ＞0，那么该函数在(0，t ]上是减函数，在[t ，＋∞)上是增函数．(1)已知f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1，x ∈[0,1]，利用上述性质，求函数f (x )的单调区间和值域；(2)对于(1)中的函数f (x )和函数g (x )＝－x －2a ，若对任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)成立，求实数a 的值．答案1． C 2.D 3.A 4.B 5.A 6.C 7.D 8．A 9.A 10．B 11．D 12．B 13．－2 14．[25，＋∞) 15．(－∞，1] 16．{(x ，y )|－1≤x ≤2，－12≤y ≤1，且xy ≥0}17．解 ∵A ∩B ＝{12}，∴12∈A .∴2×(12)2＋3p ×(12)＋2＝0.∴p ＝－53.∴A ＝{12，2}．又∵A ∩B ＝{12}，∴12∈B .∴2×(12)2＋12＋q ＝0.∴q ＝－1.∴B ＝{12，－1}．∴A ∪B ＝{－1，12，2}．18．证明 设a <x 1<x 2<b ，∵g (x )在(a ，b )上是增函数， ∴g (x 1)<g (x 2)， 且a <g (x 1)<g (x 2)<b ，又∵f (x )在(a ，b )上是增函数， ∴f (g (x 1))<f (g (x 2))，∴f (g (x ))在(a ，b )上也是增函数． 19．解 f (x )＝4(x －a2)2－2a ＋2，①当a2≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0,2]上是增函数．∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2. 由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1± 2. ∵a ≤0，∴a ＝1－ 2. ②当0<a2<2，即0<a <4时，f (x )min ＝f (a2)＝－2a ＋2.由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0,4)，舍去．③当a2≥2，即a ≥4时，函数f (x )在[0,2]上是减函数，f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10. ∵a ≥4，∴a ＝5＋10.综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10. 20．(1)证明 任设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2.∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解 任设1＜x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a ＞0，x 2－x 1＞0，∴要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0＜a ≤1.21．解 (1)设投资x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元，依题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x . 由图1，得f (1)＝0.2，即k 1＝0.2＝15.由图2，得g (4)＝1.6，即k 2×4＝1.6，∴k 2＝45.故f (x )＝15x (x ≥0)，g (x )＝45x (x ≥0)． (2)设B 产品投入x 万元，则A 产品投入10－x 万元，设企业利润为y 万元， 由(1)得y ＝f (10－x )＋g (x )＝－15x ＋45x ＋2(0≤x ≤10)．∵y ＝－15x ＋45x ＋2＝－15(x －2)2＋145，0≤x ≤10.∴当x ＝2，即x ＝4时，y max ＝145＝2.8.因此当A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元． 22．解 (1)y ＝f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1＝2x ＋1＋42x ＋1－8，设u ＝2x ＋1，x ∈[0,1]，1≤u ≤3， 则y ＝u ＋4u－8，u ∈[1,3]．由已知性质得，当1≤u ≤2，即0≤x ≤12时，f (x )单调递减，所以减区间为[0，12]；当2≤u ≤3，即12≤x ≤1时，f (x )单调递增，所以增区间为[12，1]；由f (0)＝－3，f (12)＝－4，f (1)＝－113，得f (x )的值域为[－4，－3]．(2)g (x )＝－x －2a 为减函数，故g (x )∈[－1－2a ，－2a ]，x ∈[0,1]． 由题意，f (x )的值域是g (x )的值域的子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－2a ≤－4－2a ≥－3，∴a ＝32.。

第一章经常使用逻辑用语§1.1 命题及其关系1.1.1 命题课时目标 1.了解命题的概念，会判定一个命题的真假.2.会将一个命题改写成“假设p，那么q”的形式．1．一样地，咱们把用语言、符号或式子表达的，能够判定________的__________叫做命题．其中判定为______的语句叫做真命题，判定为______的语句叫做假命题．2．在数学中，“假设p，那么q”是命题的常见形式，其中p叫做命题的________，q叫做命题的________．一、选择题1．以下语句中是命题的是( )A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin45°＝1C．x2＋2x－1>0D．梯形是不是平面图形呢？2．以下语句中，能作为命题的是( )A．3比5大B．太阳和月亮C．高年级的学生D．x2＋y2＝03．以下命题中，是真命题的是( )A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集B．假设x2＝1，那么x＝1C．空集是任何集合的真子集D．x2－5x＝0的根是自然数4．已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么以下命题：①M的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有P的元素；④M中元素不都是P的元素．其中真命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．45．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是( )A ．那个数能被2整除B ．那个数能被3整除C ．那个数既能被2整除，也能被3整除D ．那个数是6的倍数6．在空间中，以下命题正确的选项是( )A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行7．以下命题：①若xy ＝1，那么x ，y 互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac 2>bc 2，那么a >b .其中真命题的序号是________．8．命题“奇函数的图象关于原点对称”的条件p 是__________________________，结论q 是________________________________．9．以下语句是命题的是________．①求证3是无理数； ②x 2＋4x ＋4≥0；③你是高一的学生吗？④一个正数不是素数确实是合数；⑤若x ∈R ，那么x 2＋4x ＋7>0.三、解答题10．把以下命题改写成“假设p ，那么q ”的形式，并判定真假．(1)偶数能被2整除．(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根．11．设有两个命题：p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3m )x 是减函数，假设这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围． 能力提升12．设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }知足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，那么S ＝{1}；②若m ＝－12，那么14≤l ≤1； ③若l ＝12，那么－22≤m ≤0. 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．313．设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出以下四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，那么α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，那么α∥β；③若α∥β，l ⊂α，那么l ∥β；④若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，那么m ∥n .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．41．判定一个语句是不是为命题的关键是可否判定真假，只有能判定真假的语句才是命题．2．真命题是能够通过推理证明正确的命题，假命题只需举一反例说明即可．3．在判定命题的条件和结论时，能够先将命题改写成“假设p 则q ”的形式，改法不必然唯一．第一章 经常使用逻辑用语§1.1 命题及其关系1．1.1 命题答案知识梳理1．真假 陈述句 真 假2．条件 结论作业设计1．B [A 、D 是疑问句，不是命题，C 中语句不能判定真假．]2．A [判定一个语句是不是命题，关键在于可否判定其真假．“3比5大”是一个假命题．]3．D [A 中方程在实数范围内无解，故是假命题；B 中假设x 2＝1，那么x ＝±1，故B 是假命题；因空集是任何非空集合的真子集，故C 是假命题；因此选D.]4．B [命题②④为真命题．]5．C [命题可改写为：若是一个数是6的倍数，那么那个数既能被2整除，也能被3整除．]6．D7．①④解析 ①④是真命题，②四条边相等的四边形也能够是菱形，③平行四边形不是梯形．8．假设一个函数是奇函数 那个函数的图象关于原点对称9．②④⑤解析 ①③不是命题，①是祈使句，③是疑问句．而②④⑤是命题，其中④是假命题，如正数12既不是素数也不是合数，②⑤是真命题，x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0恒成立，x 2＋4x ＋7＝(x ＋2)2＋3>0恒成立．10．解 (1)假设一个数是偶数，那么那个数能被2整除，真命题．(2)假设m >14，那么mx 2－x ＋1＝0无实数根，真命题． 11．解 假设命题p 为真命题，可知m ≤1；假设命题q 为真命题，那么7－3m >1，即m <2.因此命题p 和q 中有且只有一个是真命题时，有p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤1，m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m <2. 故m 的取值范围是1<m <2.12．D [①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1，∴l ＝1，故①正确．②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥14. 又l ≤1，∴②正确．③l ＝12时，m 2≤12且m ≤0，那么－22≤m ≤0， ∴③正确．]13．B [①由面面垂直知，不正确；②由线面平行判定定理知，缺少m 、n 相交于一点这一条件，故不正确； ③由线面平行判定定理知，正确；④由线面相交、及线面、线线平行分析知，正确．综上所述知，③，④正确．]。

第一章 章末检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下列语句中是命题的是( )A ．梯形是四边形B ．作直线ABC ．x 是整数D ．今天会下雪吗？2．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题3．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．04．设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，那么“x ∈M ，或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x 2＝1的解x ＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若p ：a ∈R ，|a |<1，q ：x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知实数a >1，命题p ：函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，命题q ：|x |<1是x <a 的充分不必要条件，则( )A ．“p 或q ”为真命题B ．“p 且q ”为假命题C ．“綈p 且q ”为真命题D ．“綈p 或綈q ”为真命题10．“a 和b 都不是偶数”的否定形式是( ) A ．a 和b 至少有一个是偶数 B ．a 和b 至多有一个是偶数 C ．a 是偶数，b 不是偶数D ．a 和b 都是偶数11．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－2,2] C ．(－∞，2] D ．(－∞，－2)12．已知命题p ：存在x ∈R ，使tan x ＝22，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且綈q ”是假命题；③命题“綈p 或q ”是真命题；④命题“綈p 或綈q ”是假命题，其中正确的是( )A ．②③B ．①②④二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11．已知α、β是不同的两个平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，命题p ：a 与b 无公共点；命题q ：α∥β，则p 是q 的__________条件．12．命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是__________． 13．若p ：“平行四边形一定是菱形”，则“非p ”为______________________________________________________________________. 14．下列四个命题中①“k ＝1”是“函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π”的充要条件；②“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7相互垂直”的充要条件；③函数y ＝x 2＋4x 2＋3的最小值为2.其中是假命题的为________(将你认为是假命题的序号都填上) 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)正方形是矩形又是菱形； (2)同弧所对的圆周角不相等；(3)方程x 2－x ＋1＝0有两个实根．18．(12分)判断命题“已知a 、x 为实数，如果关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假．19．(12分)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2；q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，若綈p 是綈q 的必要非充分条件，求实数m的取值范围．20．(12分)已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．21.(12分)p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．22．(12分)已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．单元检测卷答案解析单元检测卷答案解析第一章 常用逻辑用语(A)答案1．A 2．A [因为原命题“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆否命题为，“若a ，b 都小于1，则a ＋b <2”显然为真，所以原命题为真；原命题“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题为：“若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2”，是假命题，反例为a ＝1.2，b ＝0.3.]3．C4．A [“x ∈M ，或x ∈P ”不能推出“x ∈M ∩P ”，反之可以．]5．C [①中有“且”；②中没有；③中有“非”；④中有“或”．]6．B [当A ＝170°时，sin 170°＝sin 10°<12，所以“过不去”；但是在△ABC 中，sin A >12⇒30°<A <150°⇒A >30°，即“回得来”．]7．A [a ∈R ，|a |<1⇒a －2<0，充分成立，反之不成立．]8．A [綈p ：|x ＋1|≤2，－3≤x ≤1，綈q ：5x －6≤x 2，即x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3，或x ≤2.∴綈p ⇒綈q ，但綈q ⇒綈p ，故綈p 是綈q 的充分不必要条件．]9．A [命题p ：当a >1时，Δ＝4－4a <0，即x 2＋2x ＋a >0恒成立，故函数y ＝log 12(x2＋2x ＋a )的定义域为R ，即命题p 是真命题；命题q ：当a >1时，由|x |<1，得－1<x <1，即|x |<1是x <a 的充分不必要条件，故命题q 也是真命题．所以命题“p 或q ”是真命题．]10．A [对“a 和b 都不是偶数”的否定为“a 和b 不都不是偶数”，等价于“a 和b 中至少有一个是偶数”．]11．B [注意二次项系数为零也可以．]12．D [∵p 、q 都是真命题，∴①②③④均正确．] 13．必要不充分解析 q ⇒p ，p ⇒q . 14．[－3,0]解析 ax 2－2ax －3≤0恒成立， 当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧aΔ＝4a 2＋12a ≤0得－3≤a <0；∴－3≤a ≤0.15．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形解析 本题考查复合命题“非p ”的形式，p ：“平行四边形一定是菱形”是假命题，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”？若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p ”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题．第二种说法是命题是全称命题的简写形式，应用规则变化即可． 16．①②③解析 ①“k ＝1”可以推出“函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π”，但是函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π，即y ＝cos 2kx ，T ＝2π|2k |＝π，k ＝±1.②“a ＝3”不能推出“直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7相互垂直”，反之垂直推出a ＝25；③函数y ＝x 2＋4x 2＋3＝x 2＋3＋1x 2＋3＝x 2＋3＋1x 2＋3，令x 2＋3＝t ，t ≥3， y min ＝3＋13＝433.17．解 (1)若一个四边形是正方形，则它既是矩形，又是菱形，为真命题．(2)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，为假命题．(3)如果一个方程为x 2－x ＋1＝0，则这个方程有两个实数根，为假命题． 18．解 方法一 (直接法)逆否命题：已知a 、x 为实数，如果a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．判断如下：二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2图象的开口向上，判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2) ＝4a －7.∵a <1，∴4a －7<0.即二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点，∴关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真． 方法二 (先判断原命题的真假)∵a 、x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，∵a ≥74>1，∴原命题为真．又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真． 方法三 (利用集合的包含关系求解)命题p ：关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有非空解集． 命题q ：a ≥1.∴p ：A ＝{a |关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有实数解}＝{a |(2a ＋1)2－4(a2＋2)≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥74，q ：B ＝{a |a ≥1}．∵A ⊆B ，∴“若p ，则q ”为真，∴“若p ，则q ”的逆否命题“若綈q ，则綈p ”为真． 即原命题的逆否命题为真．19．解 綈p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13>2，解得x <－2，或x >10，A ＝{x |x <－2，或x >10}．綈q ：x 2－2x ＋1－m 2>0， 解得x <1－m ，或x >1＋m ， B ＝{x |x <1－m ，或x >1＋m }．∵綈p 是綈q 的必要非充分条件，∴B A ，即{ 1－m ≤－＋m ≥10且等号不能同时成立，⇒m ≥9， ∴m ≥9.20．解 令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2，方程有两个大于1的实数根⇔Δ＝k －2－4k 2≥0－2112k ->f即k <－2.所以其充要条件为k <－2.21．解 对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧aΔ<0⇔0≤a <4；关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根⇔1－4a ≥0⇔a ≤14；如果p 真，且q 假，有0≤a <4，且a >14，∴14<a <4；如果q 真，且p 假，有a <0或a ≥4，且a ≤14，∴a <0. 综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4. 22．解 假设三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0都没有实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝a 2－－4a ＋3Δ2＝a －2－4a2Δ3＝a 2－－2a，即⎩⎪⎨⎪⎧－32<a <12a >13，或a <－1，－2<a <0得－32<a <－1.∴所求实数a 的范围是a ≤－32或a ≥－1.。

《步步高学案导学设计》2021-2022学度高中数学人教A版1-2(配套备课资源)第1章章末检测一、选择题1．下列语句表示的事件中的因素不具有相关关系的是()A．瑞雪兆丰年B．名师出高徒C．吸烟有害健康D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧2．下列结论正确的是()①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回来分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回来分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④3．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系，则在H0成立的情形下，P(K2≥6.635)≈0.010表示的意义是()A．变量X与变量Y有关系的概率为1%B．变量X与变量Y有关系的概率为99.9%C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%D．变量X与变量Y有关系的概率为99%4．下表是某厂由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回来方程是y^＝－0.7x＋a^，则a^等于()A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.255．下列说法：①在残差图中，残差点比较平均地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；②用相关指数能够刻画回来的成效，值越小说明模型的拟合成效越好；③比较两个模型的拟合成效，能够比较残差平方和大小，残差平方和越小的模型拟合成效越好．其中说法正确的是()A．①②B．②③C．①③D．①②③6．若线性回来方程为y^＝2－3.5x，则变量x增加一个单位，变量y 平均()A．减少3.5个单位B．增加2个单位C．增加3.5个单位D．减少2个单位7．依照一位母亲记录亲小孩3～9岁的身高数据，建立亲小孩身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回来方程y^＝7.19x＋73.93，用此方程推测亲小孩10岁的身高，有关叙述正确的是A．身高一定为145.83 cmB．身高大于145.83 cmC．身高小于145.83 cmD．身高在145.83 cm左右8．下列关于残差图的描述错误的是()A．残差图的横坐标能够是编号B．残差图的横坐标能够是说明变量和预报变量C．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小D．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小9．下列是x与y之间的一组数据则y 关于x 的回来方程y ＝b x ＋a ，对应的直线必过点( )A ．(32，4) B ．(32，2) C ．(2,2)D ．(1,2)10．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的实验，测试结果见下表，则在犯错误的概率不超过0.005的前提下推断实验成效与教学措施A.有关 B ．无关 C ．关系不明确D ．以上都不正确二、填空题11．考古学家通过始祖鸟化石标本发觉：其股骨长度x(cm)与肱骨长度y(cm)的线性回来方程为y^ ＝1.197x －3.660，由此估量，当股骨长度为50 c m 时，肱骨长度的估量值为_____ cm.12．许多因素都会阻碍贫穷，教育也许是其中之一．在研究这两个因素的关系时，收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)的数据，建立的线性回来方程为y^ ＝0.8x ＋4.6.斜率的估量值为0.8说明__________．13．下面是一个2×则b －d ＝________.14．某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出x(万元)与公司所获得利润y(万元)的统计资料如下表：则利润y 对科研费用支出x 的线性回来方程为________． 三、解答题15．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情形，随机抽取了100名观众进行调查．下面是依照调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时刻的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时刻不低于40分钟的观众称为“体育迷”． 依照已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？16．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时刻，为此作了4次试验，得到数据如下：(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求y 关于x 的线性回来方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^ ； (3)试推测加工10个零件需要的时刻．17．某校团对“学生性别与是否喜爱韩剧有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜爱韩剧的人数占男生人数的16，女生喜爱韩剧的人数占女生人数的23.若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜爱韩剧和性别有关，则男生至少有多少人？18．某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：(1)假如随机抽查那个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一样的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？说明理由．19．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回来方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请依照12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回来方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^ ；(3)若由线性回来方程得到的估量数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回来方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回来方程是否可靠？答案1．D 2.C 3.D 4.D 5.C 6.A 7.D 8．C 9.A 10.A 11.56.19 12．美国一个地区的成年人受过9年或更少教育的百分比每增加1%，收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右13．8 14.y^ ＝2x ＋2015．解 (1)由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为100×(10×0.020＋10×0.005)＝25. “非体育迷”人数为75，则据题意完成2×2列联表：非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计7525100将2×2列联表的数据代入公式运算：K2＝10030×10－45×15275×25×45×55≈3.030>2.706.因此在犯错误的概率不超过0.10的前提下能够认为“体育迷”与性别有关．16．解 (1)散点图如图所示：(2)x ＝2＋3＋4＋54＝3.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑4i ＝1xiyi ＝2×2.5＋3×3＋4×4＋5×4.5＝52.5， ∑4i ＝1x2i ＝4＋9＋16＋25＝54，∴b ^ ＝52.5－4×3.5×3.554－4×3.52＝0.7，a ^ ＝3.5－0.7×3.5＝1.05，∴所求线性回来方程为y^ ＝0.7x ＋1.05.(3)当x ＝10时，y^ ＝0.7×10＋1.05＝8.05，∴推测加工10个零件需要8.05小时．17．解喜爱韩剧不喜爱韩剧总计男生 x 6 5x 6 x 女生 x 3 x 6 x 2 总计x 2x3x 2若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜爱韩剧和性别有关，则k>3.841， 由k ＝3x 2x 6×x 6－5x 6×x 32x ·x 2·x2·x＝38x>3.841，解得x>10.24，∵x 2，x 6为整数，∴若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜爱韩剧和性别有关，则男生至少有12人．18．解 (1)随机抽查那个班的一名学生，有50种不同的抽查方法，由于积极参加班级工作的学生有18＋6＝24人，因此抽到积极参加工作的学生有24种不同的抽法，因此由古典概型的运算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是P1＝2450＝1225，又因为不太主动参加班级工作且学习积极性一样的学生有19人，因此抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一样的学生的概率是P2＝1950.(2)由K2统计量的运算公式得K2＝50×18×19－6×7224×26×25×25≈11.538，由于11.538>10.828，因此有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系”．19．解 (1)设事件A 表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”，则A 表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”．差不多事件总数为10，事件A 包含的差不多事件数为4.∴P(A )＝410＝25，∴P(A)＝1－P(A )＝35.(2)x ＝12，y ＝27，∑3i ＝1xiyi ＝977，∑3i ＝1x2i ＝434，∴b ^ ＝∑3i ＝1xiyi －3x y ∑3i ＝1x2i －3x 2＝977－3×12×27434－3×122＝2.5， a ^ ＝y －b ^ x ＝27－2.5×12＝－3， ∴y^ ＝2.5x －3.(3)由(2)知：当x＝10时，y^＝22，误差不超过2颗；当x＝8时，y^＝17，误差不超过2颗．故所求得的线性回来方程是可靠的．。

1.1.2四种命题【课时目标】 1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构，会对命题进行转换．1．四种命题的概念：(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的____________________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的命题结构：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q分别表示p和q的否定，四种形式就是：原命题：若p成立，则q成立．即“若p，则q”．逆命题：________________________.即“若q，则p”．否命题：______________________.即“若綈p，则綈q”．逆否命题：__________________.即“若綈q，则綈p”．一、选择题1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是()A．若A∪B≠A，则A⊇BB．若A∩B≠A，则A⊆BC．若A⊆B，则A∩B≠AD．若A⊇B，则A∩B≠A3．对于命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”，下列说法正确的是()A．它的逆命题是真命题B．它的否命题是真命题C．它的逆否命题是假命题D．它的否命题是假命题4．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中的真命题是()A．①②B．②③C．①③D．③④5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．4 B．3 C．2 D．06．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，二、填空题7．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是____________________________；逆命题是_______；否命题是________________________．9．有下列四个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆命题．其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．三、解答题10．命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．11．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．12．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．【能力提升】13．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数14．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．1．对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p则q”的形式后再进行转换．2．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题，否命题和逆否命题．1.1.2四种命题知识梳理1．(1)结论和条件(2)条件的否定和结论的否定(3)结论的否定和条件的否定2．若q成立，则p成立若綈p成立，则綈q成立若綈q成立，则綈p成立作业设计1．B[由a>－3⇒a>－6，但由a>－6 a>－3，故真命题为原命题及原命题的逆否命题，故选B.]2．C[先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．]3．D 4.C5．C[原命题和它的逆否命题为真命题．]6．A[由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]7．若x≤y，则x3≤y3－18．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除9．②③10．解逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题否命题：已知a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．11．解(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．12．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．13．B[命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.] 14．解逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0. 逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．。

学案2命题及其关系、充分条件与必要条件导学目标：1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的彼此关系.2.明白得必要条件、充分条件与充要条件的含义．自主梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，能够判定真假的陈述句叫做命题，其中判定为真的语句叫做真命题，判定为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题一样地，用p和q别离表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q别离表示p和q的否定，于是四种命题的形式确实是原命题：假设p则q(p⇒q)；逆命题：若q则p(q⇒p)；否命题：假设綈p那么綈q(綈p⇒綈q)；逆否命题：假设綈q那么綈p(綈q⇒綈p)．(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假性①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件若p⇒q，那么p叫做q的充分条件；假设q⇒p，那么p叫做q的必要条件；若是p ⇔q，那么p叫做q的充要条件．自我检测1．(2020·湖南)以下命题中的假命题是( )A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0答案C解析关于C选项，当x＝0时，03＝0，因此∀x∈R，x3>0是假命题．2．(2020·陕西)“a>0”是“|a|>0”的( )A．充分没必要要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也没必要要条件答案A解析a>0⇒|a|>0，|a|>0⇒a>0，∴“a>0”是“|a|>0”的充分没必要要条件．3．(2020·浙江)“x>0”是“x≠0”的( )A．充分而没必要要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也没必要要条件答案A解析关于“x>0”⇒“x≠0”，反之不必然成立，因此“x>0”是“x≠0”的充分而没必要要条件．4．假设命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，那么s是p的逆命题t的( ) A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题答案C解析由四种命题逆否关系知，s是p的逆命题t的否命题．5．(2020·宜昌模拟)与命题“假设a∈M，那么b∉M”等价的命题是( )A．假设a∉M，那么b∉MB．假设b∉M，那么a∈MC．假设a∉M，那么b∈MD．假设b∈M，那么a∉M答案D解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，因此只需写出原命题的逆否命题即可．探讨点一四种命题及其彼此关系例1写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判定其真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线通过圆心，并平分弦所对的弧．解题导引给出一个命题，判定其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，若是直接判定命题本身的真假比较困难，那么能够通过判定它的等价命题的真假来确信．解(1)逆命题：假设一个数的平方是非负数，那么那个数是实数．真命题．否命题：假设一个数不是实数，那么它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：假设一个数的平方不是非负数，那么那个数不是实数．真命题．(2)逆命题：假设两个三角形全等，那么这两个三角形等底等高．真命题．否命题：假设两个三角形不等底或不等高，那么这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：假设两个三角形不全等，那么这两个三角形不等底或不等高．假命题．(3)逆命题：假设一条直线通过圆心，且平分弦所对的弧，那么这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：假设一条直线不是弦的垂直平分线，那么这条直线只是圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：假设一条直线不通过圆心或不平分弦所对的弧，那么这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．变式迁移1 有以下四个命题：①“假设x＋y＝0，那么x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“假设q≤1，那么x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．答案①③解析①的逆命题是“假设x，y互为相反数，那么x＋y＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q≤1，那么Δ＝4－4q≥0，因此x2＋2x＋q＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．探讨点二充要条件的判定例2给出以下命题，试别离指出p是q的什么条件．(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．解(1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0；而(x－2)(x－3)＝0x－2＝0.∴p是q的充分没必要要条件．(2)∵两个三角形相似两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p是q的必要不充分条件．(3)∵m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；方程x2－x－m＝0无实根m<－2.∴p是q的充分没必要要条件．(4)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q；而对角线相等的四边形不必然是矩形，∴q p.∴p是q的充分没必要要条件．变式迁移2 (2020·邯郸月考)以下各小题中，p是q的充要条件的是( )①p：m<－2或m>6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；②p ：f －xf x ＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数；③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β；④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A .A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案 D解析 ①q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点⇔q ：Δ＝m 2－4(m ＋3)>0⇔q ：m <－2或m >6⇔p ；②当f (x )＝0时，由q p ；③若α，β＝k π＋π2，k ∈Z 时，显然cos α＝cos β，但tan α≠tan β；④p ：A ∩B ＝A ⇔p ：A ⊆B ⇔q ：∁U A ⊇∁U B .故①④符合题意．探讨点三 充要条件的证明例3 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.解题导引 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．证明 (1)必要性：设方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0，则x 20＋2ax 0＋b 2＝0，x 20＋2cx 0－b 2＝0，两式相减可得x 0＝b 2c －a ，将此式代入x 20＋2ax 0＋b 2＝0，可得b 2＋c 2＝a 2，故∠A ＝90°，(2)充分性：∵∠A ＝90°，∴b 2＋c 2＝a 2，b 2＝a 2－c 2.①将①代入方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，可得x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，即(x ＋a －c )(x ＋a ＋c )＝0.将①代入方程x 2＋2cx －b 2＝0，可得x 2＋2cx ＋c 2－a 2＝0，即(x ＋c －a )(x ＋c ＋a )＝0.故两方程有公共根x ＝－(a ＋c )．因此方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.变式迁移3 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 证明 (1)必要性：∵a ＋b ＝1，∴a ＋b －1＝0.∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.(2)充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.又ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0.∵a 2－ab ＋b 2＝(a －b 2)2＋34b 2>0.∴a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.转化与化归思想的应用例 (12分)已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且m ∈Z .求两方程的根都是整数的充要条件．【答题模板】解 ∵mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，∴m ≠0. [2分] 另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，两方程都要有实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝161－m ≥0，Δ2＝16m 2－44m 2－4m －5≥0，解得m ∈[－54，1]． [6分]∵两根为整数，故和与积也为整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ∈Z4m ∈Z 4m 2－4m －5∈Z ，∴m 为4的约数， [8分]∴m ＝－1或1，当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数，而当m ＝1时，两方程均为整数根，∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1. [12分]【冲破思维障碍】此题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥0.求出m 的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数．【易错点剖析】易忽略一元二次方程那个条件隐含着m ≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数．1．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“若是……，那么……”的形式，当一个命题有大前提时，必需保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性．2．在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p 与q 是不是能够彼此推出的两次判定，同时还要弄清是p 对q 而言，仍是q 对p 而言．还要分清否命题与命题的否定的区别．3．本节表现了转化与化归的数学思想．(总分值：75分)一、选择题(每题5分，共25分)1．(2020·天津模拟)给出以下四个命题：①若ab ≤0，那么a ≤0或b ≤0；②若a >b ，那么am 2>bm 2；③在△ABC 中，假设sin A ＝sin B ，那么A ＝B ；④在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，假设b 2－4ac <0，那么方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④答案 C解析 对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题和逆否命题为假，但逆命题和否命题为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全数为真；对命题④，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全数为假．2．(2020·浙江)设0<x <π2，那么“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( ) A ．充分而没必要要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也没必要要条件答案 B解析 ∵0<x <π2，∴0<sin x <1. ∴x sin x <1⇒x sin 2x <1，而x sin 2x <1x sin x <1.故 选B.3．(2020·北京)“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos 2α＝12”的( ) A ．充分而没必要要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也没必要要条件答案 A解析 由α＝π6＋2k π(k ∈Z )可取得cos 2α＝12. 由cos 2α＝12得2α＝2k π±π3(k ∈Z )． ∴α＝k π±π6(k ∈Z )． 因此cos 2α＝12不必然取得α＝π6＋2k π(k ∈Z )． 4．(2020·威海模拟)关于命题“假设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，那么{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题，以下结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真答案 D解析 此题考查四种命题之间的关系及真假判定．关于原命题：“假设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，那么{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，因此其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“假设{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅，那么抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，能够有a >0，即抛物线的开口能够向上．因此否命题也是假命题．5．(2020·枣庄模拟)集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，那么“A ⊆B ”是“a >5”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件答案 B解析 A ＝{x |－4≤x ≤4}，假设A ⊆B ，那么a >4，a >4a >5，但a >5⇒a >4.应选B.二、填空题(每题4分，共12分)6．“x1>0且x2>0”是“x1＋x2>0且x1x2>0”的________条件．答案充要7．(2020·惠州模拟)已知p：(x－1)(y－2)＝0，q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，那么p是q 的____________条件．答案必要不充分解析由(x－1)(y－2)＝0得x＝1或y＝2，由(x－1)2＋(y－2)2＝0得x＝1且y＝2，因此由q能推出p，由p推不出q, 因此填必要不充分条件．8．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若是p(1)是假命题，p(2)是真命题，那么实数m的取值范围为________．答案[3,8)解析因为p(1)是假命题，因此1＋2－m≤0，解得m≥3；又因为p(2)是真命题，因此4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.三、解答题(共38分)9．(12分)(2020·许昌月考)别离写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判定它们的真假．(1)假设q<1，那么方程x2＋2x＋q＝0有实根；(2)假设ab＝0，那么a＝0或b＝0；(3)假设x2＋y2＝0，那么x、y全为零．解(1)逆命题：假设方程x2＋2x＋q＝0有实根，那么q<1，为假命题．否命题：假设q≥1，那么方程x2＋2x＋q＝0无实根，为假命题．逆否命题：假设方程x2＋2x＋q＝0无实根，那么q≥1，为真命题．(4分)(2)逆命题：假设a＝0或b＝0，那么ab＝0，为真命题．否命题：假设ab≠0，那么a≠0且b≠0，为真命题．逆否命题：假设a ≠0且b ≠0，那么ab ≠0，为真命题．(8分)(3)逆命题：假设x 、y 全为零，那么x 2＋y 2＝0，为真命题． 否命题：假设x 2＋y 2≠0，那么x 、y 不全为零，为真命题． 逆否命题：假设x 、y 不全为零，那么x 2＋y 2≠0，为真命题．(12分)10．(12分)设p ：实数x 知足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 知足x 2－x －6≤0，或x 2＋2x －8>0，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}，(2分) B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8>0} ＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x <－4或x >2}＝{x |x <－4或x ≥－2}．(4分)∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p ，且綈p綈q . 那么{x |綈q }{x |綈p }，(6分)而{x |綈q }＝∁R B ＝{x |－4≤x <－2}，{x |綈p }＝∁R A ＝{x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}，∴{x |－4≤x <－2}{x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}，(10分) 则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2，a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4，a <0.(11分) 综上，可得－23≤a <0或x ≤－4.(12分) 11．(14分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0，且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明 充分性：当q ＝－1时， a 1＝S 1＝p ＋q ＝p －1.(2分)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)． 当n ＝1时也成立．(4分) 于是a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p (n ∈N *)， 即数列{a n }为等比数列．(6分) 必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)． ∵p ≠0，p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p .(10分) ∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，即p p －1p ＋q ＝p ， 即p －1＝p ＋q .∴q ＝－1.(13分) 综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．(14分)。

四种命题(30分钟50分)一、选择题(每题3分,共18分)1.(2021·长春高二检测)命题“假设a∉A,那么b∈B”的否命题是( )A.假设a∉A,那么b∉BB.若a∈A,那么b∉BC.假设b∈B,那么a∉AD.若b∉B,那么a∉A【解析】选B.命题“假设p,那么q”的否命题是“若p,那么q”,“∈”与“∉”互为否定形式.2.以下命题的否命题为“邻补角互补”的是( )A.邻补角不互补B.互补的两个角是邻补角C.不是邻补角的两个角不互补D.不互补的两个角不是邻补角【解题指南】解答此题只需求命题“邻补角互补”的否命题,因此把所给命题的条件与结论都否定,即为所求.【解析】选C.“邻补角互补”与“不是邻补角的两个角不互补”互为否命题.【变式训练】“△ABC中,假设∠C=90°,那么∠B,∠A满是锐角”的否命题为( )A.△ABC中,假设∠C≠90°,那么∠A,∠B全不是锐角B.△ABC中,假设∠C≠90°,那么∠A,∠B不满是锐角C.△ABC中,假设∠C≠90°,那么∠A,∠B中必有一个钝角D.以上均不对【解析】选B.否命题条件与结论别离是原命题的条件与结论的否定,应选B.【误区警示】解答此题易显现选A的错误,致使显现这种错误的缘故是混淆了“满是”的否定是“不满是”,而非“全不是”.3.(2021·烟台高二检测)以下命题中为真命题的是( )A.命题“假设x>y,那么x>|y|”的逆命题B.命题“x>1,那么x2>1”的否命题C.命题“假设x=1,那么x2+x-2=0”的否命题D.命题“假设x2>0,那么x>1”的逆否命题【解析】选A.关于A:逆命题为假设x>|y|,那么x>y,真命题.关于B:否命题为假设x≤1,那么x2≤1,显然此命题为假,比如x=-2命题不成立.关于C:否命题为“假设x≠1,那么x2+x-2≠0”,此命题是假命题,如x=-2命题不成立.关于D:逆否命题为:假设x≤1,那么x2≤0,显然此命题是假命题,应选A.4.关于命题“假设|a|≠|b|,那么a≠b”的表达正确的选项是( )A.命题的逆命题为真命题B.命题的否命题为真命题C.命题的逆否命题为真命题D.以上都正确【解析】选C.命题“假设|a|≠|b|,那么a≠b”的逆命题为“若a≠b,那么|a|≠|b|”,是假命题.命题“假设|a|≠|b|,那么a≠b”的否命题为“假设|a|=|b|,那么a=b”,是假命题.命题“假设|a|≠|b|,那么a≠b”的逆否命题为“若a=b,那么|a|=|b|”,是真命题.5.命题“假设x2+y2=0,那么x=y=0”的逆否命题是( )A.假设x=y=0,那么x2+y2≠0B.假设x,y都不为0,那么x2+y2≠0C.假设x,y中至少有一个不为0,那么x2+y2≠0D.假设x,y中至少有一个不为0,那么x2+y2=0【解析】选C.将“x=y=0”否定得“x,y中至少有一个不为0”,故原命题的逆否命题为“假设x,y 中至少有一个不为0,那么x 2+y 2≠0”,应选C【误区警示】解答此题易显现选B 的错误,致使显现这种错误的缘故是对“x,y 全为0”的否定弄不清楚所致.事实上,x,y 全为0的否定为x,y 中至少有一个不为0.6.命题“若α=π4,那么tan α=1”的逆否命题是( ) A.假设α≠π4,那么tan α≠1 B.若α=π4,那么tan α≠1 C.假设tan α≠1,那么α≠π4 D.假设tan α≠1,那么α=π4【解题指南】由逆否命题的概念知,否定原命题的条件,“α≠π4”作结论;否定原命题的结论,“tan α≠1”作条件.【解析】选C.原命题的逆否命题是“假设tan α≠1,那么α≠π4”,应选C. 二、填空题(每题4分,共12分)7.(2021·九江高二检测)原命题:“设a,b,c ∈R,假设a>b,那么ac 2>bc 2”和它的逆命题,否命题,逆否命题中,真命题的个数是 .【解析】逆命题:假设ac 2>bc 2,那么a>b,真命题.否命题:假设a ≤b,那么ac 2≤bc 2,真命题.逆否命题:假设ac 2≤bc 2,那么a ≤b,假命题.答案:28.(2021·天津高二检测)请写出命题“假设a+b=2,那么a 2+b 2≥2”的否命题: .【解析】依照否命题的形式,原命题的否命题为“假设a+b ≠2,那么a 2+b 2<2”.答案:假设a+b ≠2,那么a 2+b 2<29.“不是等差数列的数列不是常数列”的逆否命题是 命题(填真、假).【解析】命题“不是等差数列的数列不是常数列”的逆否命题为“常数列是等差数列”,是真命题.答案:真三、解答题(每题10分,共20分)10.(2021·武汉高二检测)设命题p:假设m<0,那么关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实根.(1)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题.(2)判定命题p及其逆命题、否命题、逆否命题的真假.(直接写出结论)【解析】(1)p的逆命题:假设关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实根,那么m<0.p的否命题:假设m≥0,那么关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)无实根.p的逆否命题:假设关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)无实根,那么m≥0.(2)命题p及其逆否命题是真命题,命题p的逆命题和否命题是假命题.11.判定以下命题的真假:(1)“假设x∈A∪B,那么x∈B”的逆命题与逆否命题.(2)“假设自然数能被6整除,那么自然数能被2整除”的逆命题.【解析】(1)逆命题:假设x∈B,那么x∈A∪B.依照集合“并”的概念,逆命题为真.逆否命题:假设x∉B,那么x∉A∪B.逆否命题为假.如2∉{1,5}=B,A={2,3},但2∈A∪B.(2)逆命题:假设自然数能被2整除,那么自然数能被6整除.逆命题为假.反例:2,4,14,22等都不能被6整除. (30分钟50分)一、选择题(每题4分,共16分)1.(2021·重庆高二检测)已知直线l1:x+ay+1=0,直线l2:ax+y+2=0,那么命题“假设a=1或a=-1,那么直线l1与l2平行”的否命题为( )A.假设a≠1且a≠-1,那么直线l1与l2不平行B.假设a≠1或a≠-1,那么直线l1与l2不平行C.假设a=1或a=-1,那么直线l1与l2不平行D.假设a≠1或a≠-1,那么直线l1与l2平行【解析】选A.命题“假设A,那么B”的否命题为“若A,那么B”,显然“a=1或a=-1”的否定为“a≠1且a≠-1”,“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”,因此选A.【触类旁通】假设此题中条件不变,那么原命题的逆命题是.【解析】将原命题中,条件与结论互换即可.即逆命题为“假设直线l1与l2平行,那么a=1或a=-1”.答案:假设直线l1与l2平行,那么a=1或a=-12.以下四个命题:①“假设x+y=0,那么x,y互为相反数”的否命题;②“假设a>b,那么a2>b2”的逆否命题;③“假设x≤-3,那么x2-x-6>0”的否命题;④“同位角相等”的逆命题.其中真命题的个数是( )B.1【解析】选B.①否命题:假设x+y≠0,那么x,y不互为相反数,真命题.②逆否命题:假设a2≤b2,那么a≤b,假命题.③否命题:假设x>-3,那么x2-x-6≤0,假命题.④逆命题:相等的两个角是同位角,假命题.3.给出命题:假设函数y=f(x)是幂函数,那么函数y=f(x)的图象只是第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )B.2【解析】选C.逆命题与否命题错误,逆否命题正确,应选C.4.命题“假设-1<x<1,那么x2<1”的逆否命题是( )A.假设x≥1或x≤-1,那么x2≥1B.假设x2<1,那么-1<x<1C.假设x2>1,那么x>1或x<-1D.假设x2≥1,那么x≥1或x≤-1【解析】选D.假设原命题是“假设p,那么q”,那么逆否命题为“若q,那么p”,故此命题的逆否命题是“假设x2≥1,那么x≥1或x≤-1”.二、填空题(每题5分,共10分)5.(2021·广州高二检测)以下四个命题中:①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题;②“假设k>0,那么方程x2+2x-k=0有实根”的逆否命题;③“全等三角形的面积相等”的否命题;④“假设ab≠0,那么a≠0”的否命题.其中真命题的序号是.【解析】①逆命题为“假设一个三角形的三内角均为60°,那么那个三角形为等边三角形”,是真命题;②Δ=4+4k,当k>0时,Δ>0,因此原命题为真命题,其逆否命题是真命题;③不全等的两个三角形面积也有可能相等,因此③是假命题;④否命题为“假设ab=0,那么a=0”,是假命题.综上可知,真命题是①②.答案:①②【变式训练】有以下四个命题,其中真命题是__________.①“假设xy=1,那么x,y互为倒数”的逆命题;②“相似三角形的周长相等”的否命题;③“假设b≤0,那么方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题;④“假设A∪B=B,那么A⊇B”的逆否命题.【解析】①逆命题是:“假设x,y互为倒数,那么xy=1”,是真命题;②逆命题是:“假设两三角形的周长相等,那么它们相似”,是假命题,因此原命题的否命题也是假命题;③由b≤0得Δ=4b2-4(b2+b)≥0,因此③是真命题,其逆否命题也是真命题;④假设A∪B=B,那么A⊆B,因此原命题是假命题,其逆否命题也是假命题,因此④是假命题.综上可知①③为真命题.答案:①③6.(2021·成都高二检测)给出以下三个命题:①假设x2-3x+2=0,那么x=1或x=2;②假设-2≤x<3,那么(x+2)(x-3)≤0;③假设x,y∈N+,x+y是奇数,那么x,y中一个是奇数,一个是偶数,其中逆命题为真命题是.【解析】①③逆命题为真,②逆命题为假.答案:①③三、解答题(每题12分,共24分)7.写出命题:假设x+y=5,那么x=3且y=2的逆命题、否命题与逆否命题,并判定它们的真假.【解析】逆命题:假设x=3且y=2,那么x+y=5,是真命题.否命题:假设x+y≠5,那么x≠3或y≠2,是真命题.逆否命题:假设x≠3或y≠2,那么x+y≠5,是假命题.【变式训练】写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判定其真假.(1)实数的平方是非负数.(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.(3)弦的垂直平分线通过圆心,并平分弦所对的弧.【解析】(1)逆命题:假设一个数的平方是非负数,那么那个数是实数,真命题.否命题:假设一个数不是实数,那么它的平方不是非负数,真命题.逆否命题:假设一个数的平方不是非负数,那么那个数不是实数,真命题.(2)逆命题:假设两个三角形全等,那么这两个三角形等底等高,真命题.否命题:假设两个三角形不等底或不等高,那么这两个三角形不全等,真命题.逆否命题:假设两个三角形不全等,那么这两个三角形不等底或不等高,假命题.(3)逆命题:假设一条直线通过圆心,且平分弦所对的弧,那么这条直线是弦的垂直平分线,真命题.否命题:假设一条直线不是弦的垂直平分线,那么这条直线只是圆心或不平分弦所对的弧,真命题.逆否命题:假设一条直线不通过圆心或不平分弦所对的弧,那么这条直线不是弦的垂直平分线.真命题.8.(2021·苏州高二检测)在公比为q的等比数列{a n}中,前n项的和为S n,假设S m,S m+2,S m+1成等差数列,那么a m,a m+2,a m+1成等差数列.(1)写出那个命题的逆命题.(2)判定公比q 为何值时,逆命题为真?公比q 为何值时,逆命题为假?【解题指南】解答此题第一需依照逆命题的概念正确写出逆命题,然后依照等差数列的性质判定何时为真命题,何时为假命题.【解析】(1)逆命题:在公比为q 的等比数列{a n }中,前n 项和为S n ,假设a m ,a m+2,a m+1成等差数列,那么S m ,S m+2,S m+1成等差数列.(2)由{a n }为等比数列,因此a n ≠0,q ≠0.由a m ,a m+2,a m+1成等差数列,得2a m+2=a m +a m+1,因此2a m ·q 2=a m +a m ·q,因此2q 2-q-1=0.解得q=-12或q=1. 当q=1时,a n =a 1(n=1,2,…),因此S m+2=(m+2)a 1,S m =ma 1,S m+1=(m+1)a 1,因为2(m+2)a 1≠ma 1+(m+1)a 1,即2S m+2≠S m +S m+1,因此S m ,S m+2,S m+1不成等差数列.即q=1时,原命题的逆命题为假命题.当q=-12时,2S m+2=2·a 1(1−q m +2)1−q ,S m+1=a 1(1−q m +1)1−q ,S m =a 1(1−q m )1−q ,因此2S m+2=S m+1+S m ,因此S m ,S m+2,S m+1成等差数列.即q=-12时,原命题的逆命题为真命题.。

习题课一、基础过关1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则( ) A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P2．符合条件{a P⊆{a，b，c}的集合P的个数是( ) A．2 B．3C．4 D．53．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(∁U A)∩B＝{5}，则集合B等于 ( ) A．{1,3} B．{3,5}C．{1,5} D．{1,3,5}4．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是( ) A．M＝PB．M PC．P MD．M与P没有公共元素5．全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{2,3,5}，N＝{4,5}，则∁U(M∪N)等于 ( ) A．{1,3,5} B．{2,4,6}C．{1,5} D．{1,6}6．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范围是________．7．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．(1)求A∩B；(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．8．设A＝{x|x2＋ax＋b＝0}，B＝{x|x2＋cx＋15＝0}，又A∪B＝{3,5}，A∩B＝{3}，求实数a，b，c的值．二、能力提升9．已知集合A＝{x|x＜3或x≥7}，B＝{x|x＜a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为( ) A．a＞3 B．a≥3 C．a≥7 D．a＞710．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1A，x＋1A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为____．11．设U＝R，M＝{x|x≥1}，N＝{x|0≤x<5}，则(∁U M)∪(∁U N)＝________.12．某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A，B，C三道知识题作答情况如下：答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A，B者5人，答错A，C者3人，答错B，C者4人，A，B，C都答错的有1人，问A，B，C都答对的有多少人？三、探究与拓展13．已知集合A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2≤x≤4}．(1)试定义一种新的集合运算Δ，使AΔB＝{x|1<x<2}；(2)按(1)的运算，求BΔA.答案1． B 2．B 3．D 4．B 5．D 6．a ≤27． 解 (1)∵B ＝{x |x ≥2}，∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}．(2)∵C ＝{x |x >－a 2}， B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ，∴－a 2<2，∴a >－4. 8． 解 ∵A ∩B ＝{3}，∴3∈B ，∴32＋3c ＋15＝0，∴c ＝－8.由方程x 2－8x ＋15＝0解得x ＝3或x ＝5，∴B ＝{3,5}．由A ⊆(A ∪B )＝{3,5}知，3∈A,5A (否则5∈A ∩B ，与A ∩B ＝{3}矛盾) 故必有A ＝{3}，∴方程x 2＋ax ＋b ＝0有两相同的根3，由根与系数的关系得3＋3＝－a,3×3＝b ，即a ＝－6，b ＝9，c ＝－8.9． A 10．1 11．{x |x <1或x ≥5}12. 解 由题意，设全班同学为全集U ，画出Venn 图，A 表示答错A的集合，B 表示答错B 的集合，C 表示答错C 的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此A ∪B ∪C 中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A ，B ，C 全对的有50－32＝18(人)．13．解 A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2≤x ≤4}．(1)∵A ΔB ＝{x |1<x <2}，由上图可知A ΔB 中的元素都在A 中但不在B 中，∴定义A ΔB ＝{x |x ∈A ，且x B }．(2)由(1)可知B ΔA ＝{x |x ∈B ，且x A }＝{x |3≤x ≤4}．。

2021年高中数学 第一章单元检测 新人教A 版必修4一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列各对角中，终边相同的是( )．A.32π和2k π－32π(k ∈Z ) B ．－π5和225πC ．－79π和119πD.203π和1229π 解析 ∵119π＝2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π9，故－7π9与11π9的终边相同．答案 C2．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α的值为( )．A ．－32B ．－12C.32D ．12解析 由正弦函数的定义，知sin α＝y ＝－12.答案 B 3．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－196π的值等于( )．A.12B ．－12C.32D ．－32解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－196π＝－sin 196π＝－sin 76π＝sin 16π＝12. 答案 A4．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )．A.π3 B ．2π3C. 3D ．2解析 设圆的半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，即为弧长，利用弧长公式l ＝α·r ，∴3r ＝α·r ，∴α＝ 3. 答案 C5．要想得到函数y ＝sin x 的图象，只需将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象( )．A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向左平移π6个单位长度解析 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3可化为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.要想得到函数y ＝sin x 的图象，只需将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向右平移π6个单位长度．答案 A6．函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4的一个对称中心是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0解析 由题意得3x －π4＝k π2(k ∈Z )，解得x ＝2k ＋1π12(k ∈Z )．当取k ＝－2，x ＝－π4.即选项C 正确． 答案 C7．(xx·云南检测)下列各函数值中符号为负的是( )．A ．sin(－1 000°)B ．cos(－2 200°)C ．tan(－10)D ．sin7π10cos πtan17π9解析 sin(－1 000°)＝sin 80°>0； cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0； tan(－10)＝tan(3π－10)<0； sin 7π10cos πtan 17π9＝－sin7π10tan17π9，sin 7π10>0，tan 17π9<0，故sin 7π10cos πtan17π9>0.故选C.答案 C8．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，则f (x )的图象( )． A ．与g (x )的图象相同B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位，得g (x )的图象D ．向右平移π2个单位，得g (x )的图象解析 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，故将其图象向右平移π2个单位，得y ＝g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2的图象． 答案 D9．如图所示是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的一段，它的一个解析式为( )．A ．y ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4C ．y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3D ．y ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋23π解析 由图象可知，A ＝23，T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝23sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，23代入， 得23＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ，φ－π6＝π2，∴φ＝2π3， ∴y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，故选D.答案 D10．函数y ＝tan(sin x )的值域为( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对解析 ∵－1≤sin x ≤1，∴sin x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.又∵y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，∴tan (－1)≤y ≤tan 1，即y ∈[－tan 1，tan 1]． 答案 C11．(xx·潍坊检测)为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)开始走时，点P 的纵坐标y 与时间t 的函数解析式为( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3 解析 由题意知，函数的周期为T ＝60，∴ω＝2π60＝π30.设函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋φ.∵初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，∴t ＝0时，y ＝12，∴sin φ＝12，∴φ可取π6，∴函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6.故选C.答案 C12．已知函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，以下说法正确的是( )． A ．周期为π4B ．偶函数C ．函数图象的一条对称轴为直线x ＝π3D ．函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6上为减函数解析 该函数的周期T ＝π2；因为f (－x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x －π6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，因此它是非奇非偶函数；函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6上是减函数，但y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6上是增函数，因此只有C 正确．答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上) 13．(xx·广州期末)已知sin α＝35，cos α＝－45，则角α的终边在第________象限．解析 由sin α＝35>0，得角α的终边在第一、二象限；由cos α＝－45<0，得角α的终边在第二、三象限，故角α的终边在第二象限． 答案 二14．已知f (x )＝ax 3＋b sin x ＋1且f (1)＝5，f (－1)的值为________．解析 ∵f (1)＝5，∴a ＋b sin 1＝4， ∴－a －b ·sin 1＝－4，∴f (－1)＝－a －b ·sin 1＋1＝－3. 答案 －315．已知函数f (x )＝3sinπxk的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x 2＋y 2＝k2上，则f (x )的最小正周期为________．解析 T ＝2π⎪⎪⎪⎪⎪⎪πk ＝2|k |.由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫|k |2，3在圆上，∴|k |24＋3＝k 2，∴|k |＝2，∴T ＝4.答案 4 16．有下列说法：①函数y ＝－cos 2x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π2，k ∈Z；③在同一直角坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点；④把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度得到函数y ＝3sin 2x 的图象；⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2在[0，π]上是减函数．其中，正确的说法是________．解析 对于①，y ＝－cos 2x 的最小正周期T ＝2π2＝π，故①对；对于②，因为k ＝0时，α＝0，角α的终边在x 轴上，故②错；对于③，作出y ＝sin x 与y ＝x 的图象，可知两个函数只有(0,0)一个交点，故③错；对于④，y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后，得y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝3sin 2x ，故④对；对于⑤，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，在[0，π]上为增函数，故⑤错． 答案 ①④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值；(2)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值；(3)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．解 (1)∵r ＝x 2＋y 2＝5，∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25. (2)∵r ＝x 2＋y 2＝5|a |，∴当a >0时，r ＝5a ，∴sin α＝－3a 5a ＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－25；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－3a －5a ＝35，cos α＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.(3)当点P 在第一象限时，sin α＝35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2；当点P 在第二象限时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当点P 在第三象限时，sin α＝－35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2；当点P 在第四象限时，sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.18．(本小题满分12分)已知tan α＝3，求下列各式的值：(1)3cos－π－α－sin π＋α3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α；(2)2sin 2α－3sin αcos α－1.解 (1)原式＝－3cos α＋sin α－3sin α－cos α＝－3＋tan α－3tan α－1＝3－3－33－1＝6－5313.(2)原式＝2sin 2α－3sin αcos α－sin 2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α－tan 2α－1tan 2α＋1＝18－9－9－19＋1＝－110.19．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间．(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？解 (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．所以所求的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)变换情况如下：y ＝sin 2x ――――――――→向左平移π12个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋π12―――――→将图象上各点向上平移32个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32.20．(本小题满分12分)交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求： (1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．解 (1)当t ＝0时，E ＝1103，即开始时的电压为110 3 V. (2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为150 s.(3)电压的最大值为220 3 V.当100πt ＋π6＝π2，t ＝1300，即第一次获得最大值的时间为1300s.21．(本小题满分12分)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0≤φ≤π2在x ∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x ＝π时，y max ＝3；当x ＝6π时，y min ＝－3. (1)求此函数的解析式； (2)求此函数的单调递增区间． 解 (1)由题意得A ＝3，12T ＝5π，∴T ＝10π，∴ω＝2πT ＝15.∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋φ. ∵点(π，3)在此函数图象上，∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＋φ＝3. ∴π5＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . ∵0≤φ≤π2，∴φ＝3π10.∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋3π10.(2)当－π2＋2k π≤15x ＋3π10≤π2＋2k π，即－4π＋10k π≤x ≤π＋10k π时，函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋3π10单调递增，所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10k π，π＋10k π](k ∈Z )．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．解 (1)观察图象，得A ＝2，T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－π6×43＝π. ∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．∵函数经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2， ∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1.又∵|φ|<π2，∴φ＝π6， ∴函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)∵0<x <π，∴f (x )＝m 的根的情况，相当于f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6与g (x )＝m 的交点个数情况，且0<x <π，∴在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象．由图可知，当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．∴m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2；当－2<m <1时，此时两交点关于直线x ＝23π对称，两根和为43π；当1<m <2时，此时两交点关于直线x ＝π6对称，两根和为π3.32992 80E0 胠Oq28611 6FC3濃K`33885 845D 葝40582 9E86 麆22807 5917 夗35586 8B02 謂l31652 7BA4 箤20490 500A 倊34331 861B 蘛\。

第2课时 集合的表示一、基础过关1． 集合{x ∈N ＋|x －3<2}用列举法可表示为( ) A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5} 2． 集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( )A ．方程y ＝2x －1B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合3． 将集合⎩⎪⎨⎪⎧ x ，y ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝52x －y ＝1表示成列举法，正确的是( )A ．{2,3}B ．{(2,3)}C ．{(3,2)}D ．(2,3)4． 若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．25． 用列举法表示下列集合：(1)A ＝{x ∈N ||x |≤2}＝________；(2)B ＝{x ∈Z ||x |≤2}＝________；(3)C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4，x ∈Z ，y ∈Z }＝______.6． 下列各组集合中，满足P ＝Q 的有________．(填序号)①P ＝{(1,2)}，Q ＝{(2,1)}；②P ＝{1,2,3}，Q ＝{3,1,2}；③P ＝{(x ，y )|y ＝x －1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝x －1，x ∈R }．7． 用适当的方法表示下列集合．(1)方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；(3)不等式x －2>6的解的集合；(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．8． 已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．二、能力提升9．下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}C．{x＝1} D．{1}10．集合M＝{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R}是( ) A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集C．第四象限内的点集D．第二、四象限内的点集11．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是______．(填序号)①M＝{π}，N＝{3.141 59}；②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；③M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}；④M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}．12．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.三、探究与拓展13．定义集合运算A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和是多少？答案1． B 2.D 3.B 4.C 5．(1){0,1,2} (2){－2，－1,0,1,2} (3){(2,0)，(－2，0)，(0,2)，(0，－2)} 6．②7．解(1)∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，∴解集为{0，－1}；(2){x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}；(3){x|x>8}；(4){1,2,3,4,5,6}．8．解因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}．集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P 是抛物线y＝x2＋3上的点}．9． C 10．D 11．④12．解(1)当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.此时集合A＝{2}．(2)当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有一个实根．只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．13．解当x＝1或2，y＝0时，z＝0；当x＝1，y＝2时，z＝2；当x＝2，y＝2时，z＝4.所以A*B＝{0,2,4}，所以元素之和为0＋2＋4＝6.。