初中中考数学难题

第 1 页 共 11 页 2023年中考数学压轴题
1．如图，二次函数y =−12x 2+32x +2的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．点P 是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P 的横坐标为x ．
（1）写出线段AC ，BC 的长度：AC ＝ √5 ，BC ＝ 2√5 ；
（2）记△BCP 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式；
（3）过点P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，连结AH ，AP ，设AP 与BC 交于点K ，探究：是否存在四边形ACPH 为平行四边形？若存在，请求出
PK AK 的值；若不存在，请说明理由，并
求出PK AK 的最大值．
解：（1）二次函数y =−12x 2+32x +2，
当x ＝0时，y ＝2，
∴C （0，2），
∴OC ＝2，
当y ＝0时，−12x 2+32x +2＝0，
解得：x 1＝4，x 2＝﹣1，
∴A （﹣1，0），B （4，0），
∴OA ＝1，OB ＝4，
由勾股定理得：AC =√22+12=√5，BC =√22+42=2√5；
故答案为：√5，2√5； （4分）
（2）∵B （4，0），C （0，2），
∴直线BC 的解析式为：y =−12x +2，
如图1，过P 作PD ∥y 轴，交直线BC 于D ，
设P （x ，−12x 2+32x +2），则D （x ，−12x +2），。

中考数学20道几何难题经典难题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15度求证：△PBC是正三角形．3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典难题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB 分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．经典难题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF．2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC 交DA延长线于F．求证：AE＝AF．3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求证：PA＝PF．4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．经典难题（四）1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求：∠APB的度数．2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．经典难题（五）1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC 的最小值．3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80度，D、E分别是AB、AC 上的点，∠DCA＝30度，∠EBA＝20度，求∠BED的度数．答案经典难题（一）1、如下图做GH⊥AB，连接EO。

初三数学超难试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的对称轴？A. x=-b/2aB. x=b/2aC. x=a/2bD. x=b/2c答案：A2. 已知等腰三角形的两边长分别为3和6，那么这个三角形的周长是多少？A. 12B. 15C. 18D. 21答案：B3. 在一次函数y=kx+b中，若k>0且b<0，则该函数的图像不经过哪个象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：C4. 一个圆的半径为5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B5. 计算下列二次根式中，哪个是同类二次根式？A. √2和√8B. √3和√12C. √5和√20D. √6和√24答案：C6. 一个数的立方等于8，那么这个数是多少？A. 2B. -2C. 2和-2D. 以上都不对答案：C7. 一个长方体的长、宽、高分别为2cm、3cm、4cm，那么这个长方体的体积是多少？A. 24cm³B. 36cm³C. 48cm³D. 52cm³答案：A8. 已知一个角的余角是30°，那么这个角的度数是多少？A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°答案：A9. 一个数的相反数是-5，那么这个数是多少？A. 5B. -5C. 0D. 10答案：A10. 计算：(1/2)^-1的值是多少？A. 2B. -2C. 1/2D. -1/2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是______。

答案：±52. 一个角的补角是120°，那么这个角的度数是______。

答案：60°3. 一个正数的倒数是1/4，那么这个数是______。

答案：44. 一个三角形的内角和是______。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f(x)的极值点个数。

A. 1个B. 2个C. 3个D. 无限个2. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-1,1)，点C(m,n)在直线y=kx+b上，若△ABC为等边三角形，则k和b的值分别是：A. k=1，b=2B. k=-1，b=4C. k=2，b=1D. k=-2，b=43. 已知等差数列{an}的公差为d，首项为a1，若a1+a2+a3+a4+a5=50，a1+a2+a3+a4+a5+a6=60，则d的值为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，若b1+b2+b3+b4+b5=120，b1+b2+b3+b4+b5+b6=180，则q的值为：A. 2B. 3C. 4D. 55. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2-c^2=2ab，则△ABC的形状是：A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形6. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - 4n + 5，求数列的前10项之和。

A. 210B. 220C. 230D. 2407. 已知等差数列{an}的公差为d，首项为a1，若a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=35，a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=56，则a1和d的值分别是：A. a1=3，d=4B. a1=4，d=3C. a1=5，d=2D. a1=6，d=18. 已知等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，若b1+b2+b3+b4+b5=80，b1+b2+b3+b4+b5+b6=120，则q的值为：A. 2B. 3C. 4D. 59. 在平面直角坐标系中，点A(1,2)，点B(-2,1)，点C(m,n)在直线y=kx+b上，若△ABC为等腰三角形，则k和b的值分别是：A. k=1，b=3B. k=-1，b=2C. k=2，b=1D. k=-2，b=310. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f(x)的零点个数。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，那么第10项an=？A. 29B. 32C. 35D. 38答案：C2. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的根为a和b，则a^2 + b^2的值为？A. 1B. 4C. 9D. 25答案：C3. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，那么∠C的度数为？A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°答案：C4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4，那么f(2)的值为？A. 2B. 4C. 6D. 8答案：D5. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点Q的坐标为？A. (2,3)B. (3,2)C. (3,3)D. (2,2)答案：B6. 若正方体的体积为64立方厘米，那么它的对角线长度为？A. 4厘米B. 6厘米C. 8厘米D. 10厘米答案：C7. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为(1,2)，那么a的值为？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B8. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=40°，那么∠C的度数为？A. 40°B. 50°D. 70°答案：B9. 若直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度为？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A10. 已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，那么第5项an=？A. 18B. 54C. 162D. 486答案：B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

）11. 若等差数列{an}的首项为3，公差为2，那么第n项an=______。

答案：3 + 2(n-1)12. 已知方程x^2 - 4x + 3 = 0的根为a和b，那么ab的值为______。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，那么第10项a10等于：A. 25B. 27C. 29D. 312. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=75°，若AB=8cm，则BC的长度为：A. 4√3 cmB. 8√3 cmC. 16√3 cmD. 4√6 cm3. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1在区间[0, 3]上有极值，则f(x)的极大值点x为：A. 1B. 2C. 3D. 2或34. 已知函数y = log2(x - 1)的图像关于点(2, 1)对称，则该函数的图像上存在一个点P，使得点P到直线y = x的距离为：A. 1B. √2C. 2D. √35. 在直角坐标系中，点A(-3, 2)，点B(1, -4)，则线段AB的中点坐标为：A. (-1, -1)B. (-2, -1)C. (-1, -2)D. (0, -1)6. 已知等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，那么数列的前n项和S_n为：A. 2^n - 1B. 2^n + 1C. 2^n - 2D. 2^n + 27. 若直线y = kx + b与圆(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4相切，则k和b的关系为：A. k^2 + b^2 = 4B. k^2 + b^2 = 16C. k^2 + b^2 = 5D. k^2 + b^2 = 98. 在△ABC中，若AB=AC，∠BAC=120°，则△ABC的外接圆半径R为：A. 2√3B. √3C. √2D. 29. 函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|的最小值为：A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知函数y = e^x - x在x=0处取得极值，则该极值为：A. 1B. 0C. -1D. e二、填空题（每题5分，共50分）11. 若函数y = ax^2 + bx + c在x=1时取得最小值，则a, b, c之间的关系为______。

中考数学中的常见难题解析在中考数学中，有一些常见的难题经常困扰着学生。

本文将对其中的一些难题进行解析，帮助同学们更好地应对这些问题。

一、分数问题分数问题是中考数学中常见的难题之一。

很多同学对分数的四则运算不够熟练，容易出错。

要解决这个问题，首先需要掌握分数的基本运算规则。

例如，两个分数相加时，需要找到它们的公共分母，然后将分子相加，并保持分母不变。

另外，同学们还需要掌握将分数转化为小数或百分数的方法，以及将小数或百分数转化为分数的方法。

二、图形问题图形问题也是中考数学中常见的难题之一。

同学们对于图形的性质和相关知识了解不深，容易在解题过程中迷失方向。

要解决这个问题，同学们需要掌握常见图形的特征和性质，例如矩形的对角线相等、平行四边形的对角线互相平分等。

此外，同学们还需要学会根据已知图形的特征画出几何图形，帮助他们更好地理解和解决问题。

三、方程问题方程问题也是中考数学中常见的难题之一。

同学们在解方程的过程中经常出现代数计算错误和方程变形错误的情况。

要解决这个问题，同学们需要加强对代数计算规则和方程变形法则的掌握，例如加减消元法、倍增法、变形法等。

同时，同学们还需要多做一些方程问题的练习，提高解题能力。

四、几何证明问题几何证明问题是中考数学中常见的难题之一。

同学们对于几何证明的思路和方法不够清晰，容易在证明过程中出现错误。

要解决这个问题，同学们需要掌握几何证明的基本思路，例如利用已知条件引出待证结论、利用图形的对称性等。

此外，同学们还需要多做一些几何证明的练习，提高证明的能力。

总之，中考数学中的常见难题需要同学们掌握一定的解题技巧和方法。

对于分数问题，需要熟练掌握分数的四则运算规则；对于图形问题，需要掌握图形的特征和性质；对于方程问题，需要掌握代数计算和方程变形的方法；对于几何证明问题，需要掌握证明的基本思路。

只有通过大量的练习和巩固，才能在中考数学中取得好成绩。

希望同学们能够认真学习，并且勇于挑战这些难题，取得优异的成绩！。

1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A F GC EBO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ． （初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，l ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤l ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．。

中考七年级数学难题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：中考七年级数学是许多学生心中的一座难题，其中有许多复杂的题目需要认真思考和解决。

在这篇文章中，我们将探讨一些关于中考七年级数学难题的内容，帮助学生更好地应对这些挑战。

中考七年级数学的难题主要集中在几个方面，包括代数、几何和数学运算等。

其中代数是许多学生头疼的问题，因为代数题目往往需要较强的逻辑推理能力和数学思维能力。

有关一元一次方程和一元二次方程的题目，常常考察学生对方程的解法和应用的理解。

解决这些问题，需要学生掌握良好的代数基础知识，能够独立分析问题并找出解决方案。

几何也是中考七年级数学中的一大难题。

几何题目往往需要学生具备良好的图形观察和推理能力，能够理清图形间的关系并得出结论。

对于平行线与垂直线交错的几何图形题目，学生需要正确地应用平行线与垂直线的性质，并能够通过推理找到图形之间的对应关系。

解决几何题目，需要学生具备较强的观察力和逻辑推理能力，能够独立思考问题，找出解决方案。

除了代数和几何，数学运算也是中考七年级数学中的难题之一。

数学运算题目往往需要学生对基础的数学运算进行正确运用，能够灵活运用各种解题方法来解决问题。

对于复杂的计算题目，学生需要掌握好各种运算规则，能够熟练地进行计算，并且在解题过程中注意细节，防止出现错误。

解决数学运算题目，需要学生具备较强的计算能力和逻辑思维能力，能够快速准确地解答问题。

为了帮助学生更好地应对中考七年级数学中的难题，建议学生在日常学习中多加练习，巩固基础知识，培养良好的数学思维能力。

建议学生注重对解题方法的理解和掌握，灵活运用各种解题方法来解决问题，提升解题效率。

建议学生在解题过程中多加思考，通过不断的思考和思考，找出解题的窍门和方法，提高解题的准确性和效率。

中考七年级数学难题是一道难题，需要学生认真对待和努力克服。

希望通过本文的介绍和建议，能够帮助学生更好地应对中考七年级数学中的难题，取得更好的成绩。

经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典难题（二）A P C DB A F G CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典难1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．经典难题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ． （初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：1≤L ＜中考数学经典难题集锦2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a4、如图，△ABC 中，∠ABC＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x+1) = 2f(x)，则x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：由题意得，2(x+1) - 3 = 2(2x - 3)，解得x = 2。

2. 在△ABC中，AB = 5，AC = 6，BC = 7，若点D、E分别在AB、AC上，且AD = 2，AE = 3，则DE的长度为（）A. 2√3B. 3√2C. 4D. 5答案：A解析：由余弦定理可得cos∠BAC = (25 + 36 - 49) / (2×5×6) = 1/5。

由正弦定理可得sin∠BAC = 2√6/5。

在△ADE中，由正弦定理可得DE/ sin∠BAC = AD/ sin∠DAE，即DE = AD × sin∠BAC / sin∠DAE = 2 × 2√6/5 = 2√3。

3. 若方程x^2 - 2(k+1)x + k = 0的解为x1和x2，且x1 + x2 = 2(k+1)，则k 的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 2答案：A解析：由韦达定理可得x1 + x2 = 2(k+1) = 2k + 2，又因为x1 + x2 = 2(k+1)，所以2k + 2 = 2k + 2，即k = -1。

4. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为（）A. (3,2)B. (2,3)C. (1,4)D. (4,1)答案：A解析：点P(2,3)关于直线y=x的对称点坐标为(3,2)。

5. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 3，S10 = 165，则第15项an的值为（）A. 18B. 19C. 20D. 21答案：C解析：由等差数列的前n项和公式可得Sn = n(a1 + an)/2，代入已知条件得165 = 10(3 + an)/2，解得an = 20。

6. 在△ABC中，AB = AC，∠B = 30°，BC = 4，则△ABC的面积S为（）A. 2√3B. 4√3C. 6D. 8答案：A解析：由勾股定理可得AB = AC = 2√3，由正弦定理可得S = 1/2 × AB × AC × sin∠B = 1/2 × 2√3 × 2√3 × sin30° = 2√3。

初中数学中考数学经典难题1. 引言中考是初中学生在数学学科中的重要考试，具有很高的挑战性。

在中考数学中，经典难题是考生必须要面对的。

这些难题既考察了学生的思维逻辑能力，又考察了他们对数学知识的掌握程度。

本文将介绍一些中考数学的经典难题，并提供答案和解析，帮助学生更好地应对这些难题。

2. 题目1：直角三角形的性质题目：已知直角三角形ABC，∠B=90°，AC=5cm，BC=12cm，求∠A和∠C的大小。

解析：根据直角三角形的性质，∠A + ∠C = 90°。

我们可以通过三角形的正弦定理求解此题。

根据正弦定理，我们有：sin(∠A) = AC / BC = 5 / 12所以，∠A = arcsin(5 / 12) ≈ 23.6°根据∠A + ∠C = 90°，我们可以得出，∠C = 90° - ∠A ≈ 66.4°所以，∠A ≈ 23.6°，∠C ≈ 66.4°3. 题目2：解线性方程组题目：解方程组： 2x + 3y = 8 3x - 2y = 5解析：我们可以使用消元法或代入法来解决此题。

让我们使用代入法来解决它。

我们可以将第一个方程写为x = (8 - 3y) / 2，并将其代入第二个方程中。

3(8 - 3y) / 2 - 2y = 5解方程得到：24 - 9y - 4y = 10-13y = -14y = 14 / 13 ≈ 1.08将y的值代入第一个方程中，解出x：2x = 8 - 3(1.08)2x ≈ 4.76x ≈ 2.38所以，方程组的解为x ≈ 2.38，y ≈ 1.08。

4. 题目3：三角形的面积计算题目：已知三角形ABC，AB = 5cm，BC = 8cm，∠B = 60°，求三角形ABC的面积。

解析：我们可以使用正弦定理来求解三角形的面积。

根据正弦定理，我们有：sin(∠A) / AB = sin(∠B) / BCsin(∠A) / 5 = sin(60°) / 8sin(∠A) = 5 * sin(60°) / 8sin(∠A) ≈ 0.72由此，我们可以解出∠A ≈ arcsin(0.72) ≈ 46.3°所以，三角形ABC的面积为(1 / 2) * AB * BC * sin(∠B) = (1 / 2) * 5 * 8 * sin(60°) ≈ 17.32cm²5. 题目4：平方根的求解题目：求解方程x² + 5x + 4 = 0的解。

初三数学题目大全难题初三的小伙伴们呀，今天咱就来唠唠那些让人又爱又恨的数学难题。

一、函数相关难题函数在初三数学里那可是个大头啊。

比如说二次函数的综合题，它就像一个多变的小怪兽。

有时候呢，它会让你求二次函数的解析式，这可不是简单的把数字往公式里一套就行哦。

它可能会给你几个点的坐标，但是这些点的坐标就像是藏在迷宫里一样，你得先在脑海里把二次函数的图像想出来，然后再去分析这些点和函数的关系。

像那种已知顶点坐标和另外一个点坐标求解析式的题，你要是没搞清楚顶点式是怎么回事，那可就真的要被它绕晕啦。

还有二次函数和几何图形结合的题，这就更复杂啦。

二次函数的抛物线可能会和三角形、四边形纠缠在一起。

它会问你什么时候三角形的面积最大呀，或者四边形是特殊四边形时函数的参数是多少。

这时候你就得把几何图形的性质和函数的知识都拿出来，在脑袋里不停地捣鼓，就像厨师在做一道超级复杂的菜肴，各种调料（知识）都要恰到好处才行。

二、几何难题几何难题也是初三数学的大麻烦。

圆的题目就特别让人头疼。

圆里的切线问题，就像两个调皮的小朋友在玩捉迷藏。

你得先找到圆心到切线的距离等于半径这个关键线索。

然后还有圆中的角度问题，圆周角、圆心角那些关系，就像是一张密密麻麻的蜘蛛网，一不小心就会被困在里面。

比如说一个圆里有好多条弦，然后让你求某个圆周角的度数，你得先找出和这个圆周角相关的圆心角或者其他圆周角，这中间要经过好多弯弯绕绕。

三角形的相似问题在初三几何里也不简单。

要判断两个三角形相似，那条件可多了。

有时候是两角对应相等，有时候是三边对应成比例。

可这些条件不会明明白白地摆在你面前呀，你得自己去挖掘。

就像寻宝一样，你得在图形里找那些隐藏的线索，可能是一条小小的平行线，也可能是一个看起来不起眼的角。

三、方程与不等式难题方程和不等式的难题也不少呢。

一元二次方程的根的判别式相关的题目，就像一个神秘的魔法盒。

它会告诉你方程有两个相等的根或者没有实数根，然后让你求方程里的参数。

中考数学难题集锦难题一：甲、乙两个机器同时开始工作。

甲每分钟可以工作4件产品，乙每分钟可以工作6件产品。

请问，甲、乙两个机器同时工作10分钟，能生产多少件产品？解析：甲每分钟可以生产4件产品，那么在10分钟内甲可以生产4x10=40件产品。

同样地，乙每分钟可以生产6件产品，所以在10分钟内乙可以生产6x10=60件产品。

因此，甲、乙两个机器同时工作10分钟，总共可以生产40+60=100件产品。

难题二：若一个角的余弦值等于0.6，那么这个角的弧度值是多少？解析：根据三角函数的定义，余弦值等于邻边长度与斜边长度的比例。

假设该角对应的直角边长为x，斜边长为1。

根据勾股定理，可得到x2+12=1，即x^2=0，所以x=0。

因此，该角的弧度值为0。

难题三：一个立方体的边长为a，体积为V，若将该立方体的体积增加到原来的8倍，边长变为原来的一半，求增加后的体积。

解析：原立方体的体积为V，边长为a。

增加后的立方体边长为a/2，体积为8V。

我们可以通过体积的公式得到方程：(a/2)3=8V。

将等式两边同时开立方，得到a3/8=8V，化简为a^3=64V。

所以，增加后的体积为64V。

难题四：某商场原价为100元的商品打六折促销，然后进行满减活动，满200元减20元。

问若购买者购买该商品2件，实际需要支付的金额是多少？解析：首先，打六折，原价100元的商品会有60元的折扣，所以每件商品的价格为100-60=40元。

购买2件商品的总价为2x40=80元。

然后，根据满减活动，若满200元减20元，则购买者需要支付的金额为总价80元-20元=60元。

难题五：若正方形的边长为x，那么它的对角线长度是多少？解析：正方形的对角线可以看作是直角三角形的斜边。

直角三角形的两条直角边分别为正方形的边长，假设为x。

根据勾股定理，可得对角线的长度为√(x2+x2)=√(2x^2)=x√2。

以上是一些中考数学的难题集锦及其解析。

这些题目涵盖了各个考点，帮助学生通过解题训练提高数学思维和解题能力。

人教版初中数学中考经典好题难题（有答案）2022年初中中考数学难题一．填空题（共2小题）1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=，BC=．第一次将纸片折叠，使点B 与点D重合，折痕与BD交于点O1；O1D的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，…．按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD交于点On，则BO1=_________，BOn=_________．2．如图，在平面直角坐标系某oy中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线Cn（n=1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与某轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C2的顶点坐标为_________；抛物线C8的顶点坐标为_________．二．解答题（共28小题）23．已知：关于某的一元二次方程k某+2某+2﹣k=0（k≥1）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）当k取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数．4．已知：关于某的方程k某+（2k﹣3）某+k﹣3=0．（1）求证：方程总有实数根；2（2）当k取哪些整数时，关于某的方程k某+（2k﹣3）某+k﹣3=0的两个实数根均为负整数？5．在平面直角坐标系中，将直线l：将抛物线C1：沿某轴翻折，得到一条新直线与某轴交于点A，与y轴交于点B，2沿某轴平移，得到一条新抛物线C2与y轴交于点D，与直线AB交于点E、点F．（1）求直线AB的解析式；（2）若线段DF∥某轴，求抛物线C2的解析式；（3）在（2）的条件下，若点F在y轴右侧，过F作FH⊥某轴于点G，与直线l交于点H，一条直线m（m不过△AFH的顶点）与AF交于点M，与FH交于点N，如果直线m既平分△AFH的面积，又平分△AFH的周长，求直线m的解析式．6．已知：关于某的一元二次方程﹣某+（m+4）某﹣4m=0，其中0＜m＜4．（1）求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）；（2）设抛物线y=﹣某+（m+4）某﹣4m与某轴交于A、B两点（A在B的左侧），若点D的坐标为（0，﹣2），且ADBD=10，求抛物线的解析式；（3）已知点E（a，y1）、F（2a，y2）、G（3a，y3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．7．点P为抛物线y=某﹣2m某+m（m为常数，m＞0）上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．（1）当m=2，点P横坐标为4时，求Q点的坐标；（2）设点Q（a，b），用含m、b的代数式表示a；（3）如图，点Q在第一象限内，点D在某轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分∠AQC，AQ=2QC，当QD=m时，求m的值．22228．关于某的一元二次方程某﹣4某+c=0有实数根，且c为正整数．（1）求c的值；（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系某Oy中，抛物线y=某﹣4某+c与某轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为（m，n），当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围．9．如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD=FBFC．22210．如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线．求证：（1）∠EAD=∠EDA．（2）DF∥AC．（3）∠EAC=∠B．11．已知：关于某的一元二次方程（m﹣1）某+（m﹣2）某﹣1=0（m 为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y=（m﹣1）某+（m﹣2）某﹣1总过某轴上的一个固定点；22（3）关于某的一元二次方程（m﹣1）某+（m﹣2）某﹣1=0有两个不相等的整数根，把抛物线y=（m﹣1）某+（m﹣2）某﹣1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．12．已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=_________；（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；222（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H．当BD=4AH+BC时，∠DAC=2∠ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论．2213．已知关于某的方程m某+（3﹣2m）某+（m﹣3）=0，其中m＞0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为某1，某2，其中某1＞某2，若，求y与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式y≤﹣m成立的m的取值范围．14．已知：关于某的一元二次方程某+（n﹣2m）某+m﹣mn=0①（1）求证：方程①有两个实数根；（2）若m﹣n﹣1=0，求证：方程①有一个实数根为1；（3）在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a．当某=2时，关于m的函数y1=n某+am与y2=某+a（n﹣2m）某+m﹣mn的图象交于点A、B （点A在点B的左侧），平行于y轴的直线L与y1、y2的图象分别交于点C、D．当L沿AB由点A平移到点B时，求线段CD的最大值．222215．如图，已知抛物线y=（3﹣m）某+2（m﹣3）某+4m﹣m的顶点A 在双曲线y=上，直线y=m某+b经过点A，与y轴交于点B，与某轴交于点C．（1）确定直线AB的解析式；（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与某轴交于点D，与y轴交于点E，求in∠BDE的值；（3）过点B作某轴的平行线与双曲线交于点G，点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6．设点N在直线BG上，请直接写出使得∠AMB+∠ANB=45°的点N的坐标．216．如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C在⊙O上，CF⊥OC，且CF=BF．（1）证明BF是⊙O的切线；（2）设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求∠MCF的大小．17．如图1，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为p．（1）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，则p=_________；（2）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则p的取值范围是_________．小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将△ABC以AC边为轴翻折一次得△AB1C，再将△AB1C以B1C为轴翻折一次得△A1B1C，如图2所示．则由轴对称的性质可知，DF+FE1+E1D2=p，根据两点之间线段最短，可得p≥DD2．老师听了后说：“你的想法很好，但DD2的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果．”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”．请参考他们的想法，写出你的答案．18．已知关于某的方程某﹣（m﹣3）某+m﹣4=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围；2（3）设抛物线y=某﹣（m﹣3）某+m﹣4与y轴交于点M，若抛物线与某轴的一个交点关于直线y=﹣某的对称点恰好是点M，求m的值．19．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=．点D在边AC上（不与A，C重合），连接BD，F为BD中点．（1）若过点D作DE⊥AB于E，连接CF、EF、CE，如图1．设CF=kEF，则k=_________；（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE﹣DE=2CF；（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．20．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C 是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是_________；②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是_________．21．已知：关于某的一元一次方程k某=某+2①的根为正实数，二次函数y=a某﹣b某+kc（c≠0）的图象与某轴一个交点的横坐标为1．（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；（2）求代数式的值；22（3）求证：关于某的一元二次方程a某﹣b某+c=0②必有两个不相等的实数根．22．已知抛物线经过点A（0，4）、B（1，4）、C（3，2），与某轴正半轴交于点D．（1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；（2）在某轴上求一点E，使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；（3）在（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF∥BC，与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E′FG．设P（某，0），△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与某的函数关系式及自变量某的取值范围．23．已知二次函数y=a某+b某+c的图象分别经过点（0，3），（3，0），（﹣2，﹣5）．求：（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的最值；（3）若设这个二次函数图象与某轴交于点C，D（点C在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使△ACB是等腰三角形，求出点B的坐标．24．根据所给的图形解答下列问题：（1）如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，把△ABD绕点A旋转，并拼接成一个与△ABC面积相等的正方形，请你在图中完成这个作图；（2）如图2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，请你设计一种与（1）不同的方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形，画出利用这个三角形得到的正方形；（3）设计一种方法把图3中的矩形ABCD拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形，请你依据此矩形画出正形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形ABCD的面积的结论．225．例．如图①，平面直角坐标系某Oy中有点B（2，3）和C（5，4），求△OBC的面积．解：过点B作BD⊥某轴于D，过点C作CE⊥某轴于E．依题意，可得S△OBC=S梯形BDEC+S△OBD﹣S△OCE==某（3+4）某（5﹣2）+某2某3﹣某5某4=3.5．∴△OBC的面积为3.5．（1）如图②，若B（某1，y1）、C（某2，y2）均为第一象限的点，O、B、C三点不在同一条直线上．仿照例题的解法，求△OBC的面积（用含某1、某2、y1、y2的代数式表示）；（2）如图③，若三个点的坐标分别为A（2，5），B（7，7），C（9，1），求四边形OABC的面积．26．阅读：①按照某种规律移动一个平面图形的所有点，得到一个新图形称为原图形的像．如果原图形每一个点只对应像的一个点，且像的每一个点也只对应原图形的一个点，这样的运动称为几何变换．特别地，当新图形与原图形的形状大小都不改变时，我们称这样的几何变换为正交变换．问题1：我们学习过的平移、_________、_________变换都是正交变换．②如果一个图形绕着一个点（旋转中心）旋转n°（0＜n≤360）后，像又回到原图形占据的空间（重合），则称该变换为该图形的n度旋转变换．特别地，具有180旋转变换的图形称为中心对称图形．例如，图A中奔驰车标示意图具有120°，240°，360°的旋转变换．图B的几何图形具有180°的旋转变换，所以它是中心对称图形．问题2：图C和图D中的两个几何图形具有n度旋转变换，请分别写出n的最小值．答：（图C）_________；答：（图D）_________．问题3：如果将图C和图D的旋转中心重合，组合成一个新的平面图形，它具有n度旋转变换，则n的最小值为_________．问题4：请你在图E中画出一个具有180°旋转变换的正多边形．（要求以O为旋转中心，顶点在直线与圆的交点上）27．已知：点P为线段AB上的动点（与A、B两点不重合）．在同一平面内，把线段AP、BP分别折成△CDP、△EFP，其中∠CDP=∠EFP=90°，且D、P、F三点共线，如图所示．（1）若△CDP、△EFP均为等腰三角形，且DF=2，求AB的长；（2）若AB=12，tan∠C=，且以C、D、P为顶点的三角形和以E、F、P为顶点的三角形相似，求四边形CDFE的面积的最小值．28．在平面直角坐标系某Oy中，已知直线y=﹣某+交某轴于点C，交y轴于点A．等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合，如图A所示．把三角板绕着点O顺时针旋转，旋转角度为α（0°＜α＜180°），使B点恰好落在AC上的B'处，如图B所示．（1）求图A中的点B的坐标；（2）求α的值；2（3）若二次函数y=m某+3某的图象经过（1）中的点B，判断点B′是否在这条抛物线上，并说明理由．29．已知：如图，AC是⊙O的直径，AB是弦，MN是过点A的直线，AB等于半径长．（1）若∠BAC=2∠BAN，求证：MN是⊙O的切线．（2）在（1）成立的条件下，当点E是等边三角形．的中点时，在AN上截取AD=AB，连接BD、BE、DE，求证：△BED是30．在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆形的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B、C两点．如果用带刻度的直尺测量圆形容器的直径，发现直尺的长度不够．（1）写出此图中相等的线段．（2）请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法．（写出主要解题过程）2022年初中难题数学组卷参考答案与试题解析一．填空题（共2小题）1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=，BC=．第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1；O1D的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，…．按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD交于点On，则BO1=2，BOn=．考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质。

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知等差数列{an}中，a1=3，公差d=2，那么第10项a10等于：A. 23B. 25C. 27D. 292. 下列函数中，定义域为全体实数的是：A. y = √(x^2 - 1)B. y = x / (x - 1)C. y = x^2 - 2x + 1D. y = log2(x + 1)3. 在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=75°，那么sinC的值为：A. √3 / 2B. 1 / 2C. √3 / 4D. 1 / 44. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，那么f'(x) =？A. 6x^2 - 6x + 4B. 6x^2 - 6x - 4C. 6x^2 - 3x + 4D. 6x^2 - 3x - 45. 下列方程中，解为x = 1的是：A. x^2 - 2x - 3 = 0B. x^2 + 2x - 3 = 0C. x^2 - 4x + 3 = 0D. x^2 + 4x + 3 = 06. 已知等比数列{bn}中，b1=2，公比q=3，那么第5项b5等于：A. 162B. 54C. 18D. 67. 下列函数中，在定义域内单调递减的是：A. y = 2^xB. y = 3^xC. y = (1/2)^xD. y = (1/3)^x8. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于y轴的对称点坐标为：A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (2, 3)D. (-2, -3)9. 已知复数z = 3 + 4i，那么|z|等于：A. 5B. 7C. 9D. 1110. 在等差数列{an}中，若a1=1，d=2，那么an+1 + an+2 + an+3的值为：A. 6n + 9B. 6n + 12C. 6n + 15D. 6n + 18二、填空题（每小题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}中，a1=5，公差d=3，那么第7项a7等于______。