反比例函数

数学中的反比例函数反比例函数在数学中是一类特殊的函数，其数学表达式为y = k/x，其中k是常数，x和y是函数的自变量和因变量。

1. 反比例函数的定义和性质反比例函数是指当x和y满足y = k/x时，函数y与x成反比例关系。

其中k是常数，反比例函数的定义域为除0以外的所有实数。

反比例函数的一些重要性质如下：- 当x趋近于正无穷大或负无穷大时，y趋近于0，这也是反比例函数的特点之一。

- 当x>0时，y>0；当x<0时，y<0。

反比例函数的值域也是除0以外的所有实数。

- 反比例函数的图像是通过原点的双曲线，其中无穷远点（即x和y 无穷大的点）对称。

2. 反比例函数的图像和变化趋势反比例函数的图像通常是一个双曲线，其形状取决于常数k的值。

当k>0时，双曲线开口朝上；当k<0时，双曲线开口朝下。

反比例函数的变化趋势可以通过观察其图像得到。

当x增大时，y会减小，反之亦然。

同时，当x趋近于0时，y趋近于无穷大。

3. 反比例函数的应用举例反比例函数在实际生活中有很多应用。

以下是一些常见的应用举例。

- 电阻和电流的关系：欧姆定律中，电流与电阻成反比例关系。

当电阻增大时，电流减小；反之亦然。

- 速度和时间的关系：在匀速运动中，速度和时间成反比例关系。

当时间增加时，速度减小；反之亦然。

- 工作人员数量和完成任务所需时间的关系：在一项任务中，完成任务所需时间与工作人员数量成反比例关系。

当工作人员数量增加时，完成任务所需时间减小。

4. 反比例函数的求解方法求解反比例函数的关键是求解常数k的值。

一种常见的方法是利用给定的数据点，通过代入x和y的值，得到k的值。

举例说明，假设有一组数据点(2, 6)和(4, 3)，我们可以代入x和y的值，得到以下方程：6 = k/23 = k/4通过求解这个方程组，可以得到k的值为12。

于是反比例函数的数学表达式为y = 12/x。

5. 反比例函数与其他函数的比较反比例函数与直线函数、指数函数和多项式函数等其他函数有着不同的特点和性质。

第十七章 反比例函数一、基础知识1. 定义：一般地，形如xk y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。

x ky =还可以写成kxy =1-2. 反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1.⑵比例系数0≠k⑶自变量x 的取值为一切非零实数。

⑷函数y 的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序）③ 连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。

⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。

45. 点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系。

7. 反比例函数的应用二、例题【例1】如果函数222-+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数xk y =，（0≠k ）即kx y =1-（0≠k ）又在第二，四象限内，则0<k 可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得：⎩⎨⎧<-=-+01222k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧<=-=0211k k k 或 1-=∴k1-=∴k 时函数222-+=k k kx y 为xy 1-=【例2】在反比例函数x y 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。

数学反比例函数知识点大全反比例函数知识点反比例函数定义一般地，如果两个变量某、y之间的关系可以表示成y=k/某(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是某的反比例函数。

因为y=k/某是一个分式，所以自变量某的取值范围是某≠0。

而y=k/某有时也被写成某y=k或y=k·某^(-1)。

反比例函数图像性质反比例函数的图像为双曲线。

1.当k>0时，反比例函数图像经过一，三象限，每一象限内，从左往右，y随某的增大而减小。

2.当k<0时，反比例函数图像经过二，四象限，每一象限内，从左往右，y随某的增大而增大。

反比例函数图像是中心对称图形，对称中心是原点;反比例函数的图像也是轴对称图形，其对称轴为y=某和y=-某;反比例函数图像上的点关于坐标原点对称。

知识点1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。

2.对于双曲线y=k/某，若在分母上加减任意一个实数m(即y=k/某(某±m)m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移m个单位。

(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移)反比例性质1规律：反比函数与一次函数(与正比例函数相交，交点关于原点对称)相交，求线段数量关系时，切记“原点O到两交点的距离是相等的”若给出反比函数解析式，那么最终求得的结果的过程肯定要转化成关于“k”的几何意义。

2规律：一次函数与反比函数相交且两函数解析式都未知，此时一次函数所在直线与交点分别于某轴，y轴做垂线的交点所连接的线段是相互平行的，同时一次函数与反比函数的交点到一次函数与某轴，y轴的交点的距离是相等的。

3规律：题目中给出线段比例和四边形的面积求k问题，利用同底等高三角形面积与高之间的关系，面积与k之间的关系。

求出k(此时不用具体求出点坐标)。

4规律：有中点时利用中点坐标公式，再根据反比函数上任何一点处的几何意义都相同的思想转化出面积问题。

5规律：若反比例函数图像经过多个点，那么在这几点处的几何意义是相同的。

反比例函数函数
反比例函数是一类重要的函数，在数学、物理、工程学等领域中被广泛应用。

本文将对反比例函数进行详细介绍。

一、定义
反比例函数是指一个函数，其与另一个函数的乘积为常数。

换言之，若存在常数k，使得对于任意的x和y，有xy=k，则函数y=k/x被称为反比例函数。

可以将反比例函数表示为y=k/x，其中x不等于0，k为常数。

在该函数的定义域内，当x越大，y越小；当x越小，y越大。

图像通常呈现出一条直线，经过原点，斜率为k。

二、性质
1、定义域：反比例函数的定义域为所有非零的实数。

2、值域：反比例函数的值域为所有的实数。

3、对称性：反比例函数在坐标轴对称。

4、单调性：反比例函数在其定义域内单调递减或单调递增，并且没有极值点。

5、渐进线：反比例函数有两条渐进线y=0和x=0。

6、图像特征：反比例函数的图像在坐标系中表现为一条经过原点的倾斜直线，斜率为常数k。

三、应用
反比例函数在实际应用中有广泛的用途，以下列举几个例子：
1、电阻电容电路中，反比例函数可以用来表示电容充电或放电的速度，以及电阻消耗电能的速度。

2、人工智能中，反比例函数可以用来描述输入信息和输出结果之间的联系。

3、经济学中，反比例函数可以用来描述市场需求和价格的关系。

4、测量学中，反比例函数可以用来表示两物体之间的距离和反应时间之间的关系。

总之，反比例函数是一种重要的函数形式，在科学技术和社会各个领域中都有广泛的应用。

通过深入理解其性质和特点，可以更好地理解其应用，并为实际问题的解决提供帮助。

反比例函数是指如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数，k≠0，x≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。

反比例函数的图像是以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图象中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）反比例函数形如y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数,叫做反比例函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.反比例函数的图像为双曲线.当K＞0时,反比例函数图象经过一,三象限,是减函数当K＜0时,反比例函数图象经过二,四象限,是增函数反比例函数的定义定义：形如函数y=k/x(k为常数且k≠0)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数的性质函数y=k/x 称为反比例函数，其中k≠0，其中X是自变量，1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y 随x的增大而减小;当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

3.x的取值范围是：x≠0;y的取值范围是：y≠0。

4..因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

但随着x无限增大或是无限减少，函数值无限趋近于0，故图像无限接近于x轴5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x(即第一三，二四象限角平分线)，对称中心是坐标原点。

反比例函数的一般形式一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。

其中，x是自变量，y是函数。

由于x在分母上，故取x≠0的一切实数，看函数y的取值范围，因为k≠0，且x≠0，所以函数值y也不可能为0。

反比例函数概念与性质反比例函数的概念与性质一、反比例函数的概念1.反比例函数可以写成y=k/x的形式，其中自变量x的指数为-1.在解决有关自变量指数问题时，应特别注意系数。

2.反比例函数也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。

3.反比例函数的自变量不能为0，故函数图象与x轴、y轴无交点。

二、反比例函数的图象1.在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）。

2.反比例函数的图象是双曲线。

随着k的增大，图象的弯曲度越小，曲线越平直；随着k的减小，图象的弯曲度越大。

3.反比例函数的图象与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线。

当k>0时，图象的两支分别位于第一、第三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两支分别位于第二、第四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。

4.反比例函数的图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在另一支上。

5.反比例函数的k值的几何意义是：如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B 点，则矩形PBOA的面积是k；如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥XXX的延长线于C，则三角形PQC的面积也是k。

6.反比例函数的增减性需要将两个分支分别讨论，不能一概而论。

7.直线y=k与双曲线y=k/x的关系：当k>0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称；当k=0时，两图象有一个公共点O；当k<0时，两图象没有交点。

8.反比例函数与一次函数的联系：当k=0时，反比例函数变为一次函数y=0.求反比例函数的解析式的方法主要有三种：待定系数法、反比例函数k的几何意义、实际问题。

四、反比例函数解析式的确定一、反比例函数的定义：反比例函数是指函数表达式为y=k/x的函数，其中k为非零常数。

反比例函数计算公式
1、y＝k／x 其中X是自变量，Y是X的函数
2、y=k/x=k·1/x
3、xy=k
4、y=k·x^-1
5、① k ≠ 0 ②一般情况下，自变量 x 的取值范围是 x ≠ 0 的一切实数③函数 y 的取值范围也是一切非零实数 .
两种有关联的量，一种量随另一种量变化而变化，但这两种量的积一定是个常数，这时，这两种量是成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

一般用来x的变化规律来表示y的变化规律。

反比例量涵盖三个量，一个定量和两个变量。

研究两个变量的膨胀(或减少)之间的关系。

一个量的变化导致另一个量的相反变化。

这两个量是成反比的，它们的关系是成反比的。

形如 y／x＝k（一定）（k不等于0）的函数叫做反比例函数，k叫做反比例系数。

(一定)，这是求反比例的公式。

用字母表示反比例的关系式k（一定）=yx。

反比例，指的是两种有关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，假设这两种量中相对应的两个数的乘积一定，既然如此那，他们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。

比例（proportion）是一个数学术语，表示两个或多个比相等的式子。

在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积，叫做比例的基本性质。

知识点梳理：1.定义：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系表示成y ＝xk（k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数。

例如y ＝50x ; y ＝- 8x ; y ＝m 2+1x(m 为常数)等。

提示：（1）y ＝k x也可以写作y=kx -1的形式或xy=k 的形式（k 为常数且k ≠0）或者xy-k=0的形式；（2）反比例函数的自变量x 不能为0；（3）k=xy 是反比例函数的另一种表示形式，即两变量的积是一个常数。

2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

有两条对称轴：直线y=x 和 y=-x 。

对称中心是：原点。

（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．反比例函数图象的画法——描点法：⑴ 列表——自变量取值应以0（但（x ≠0）为中心，向两边取三对（或三对以上）互为相反数的数，再求出对应的y 的值；⑵ 描点——先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找； ⑶ 连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。

小注：⑴ 这两支曲线通常称为双曲线。

⑵ 这两支曲线关于原点对称。

⑶ 反比例函数的图象与x 轴、y 轴没有公共点。

3.性质:当k ＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小；当k ＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

知识点：如图1，设点P （a ，b ）是双曲线上任意一点，作PA ⊥x 轴于A 点，PB ⊥y轴于B 点，则矩形PBOA 的面积是（三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC ⊥PA 的延长线于C ，则有三角形PQC 的面积为．图1 图2 5．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．1·一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可表示成y ＝kx （K 为常数，K ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。

反比例函数总结反比例函数是数学中的一种特殊类型的函数，也是一种常见的函数关系，可用来描述某些实际问题中的变化规律。

本文将对反比例函数进行总结，并探讨其应用。

一、什么是反比例函数？反比例函数是指当自变量x的值不同时，因变量y的值与x的乘积保持不变的函数关系。

一般形式为y = k/x，其中k为常数。

反比例函数的图像通常为一个开口朝上或者朝下的双曲线。

二、反比例函数的性质1. 定义域和值域反比例函数的定义域为除去x=0的所有实数，值域为除去y=0的所有实数。

这是因为当x等于0时，反比例函数会出现分母为0的情况，因此无定义。

2. 变化规律反比例函数的图像呈现出特殊的变化规律。

当x的值增大时，y 的值降低；反之，当x的值减小时，y的值增加。

这意味着随着自变量的变化，因变量的变化与自变量的乘积保持不变。

3. 渐近线反比例函数的图像通常会有两条直线，分别称为垂直渐近线和水平渐近线。

垂直渐近线与y轴平行，水平渐近线与x轴平行。

它们是因为在定义域和值域的边界上，x和y的取值趋近于无穷大或无穷小。

三、反比例函数的应用1. 物理学中的应用反比例函数经常出现在物理学的许多问题中。

例如，牛顿的万有引力定律中，两个物体之间的引力就是反比例函数关系，引力的大小与两个物体质量的乘积成反比。

此外，电阻和电流之间、速度和时间之间等关系也可以用反比例函数来描述。

2. 经济学中的应用在经济学中，供给和需求的变化关系也常常可以用反比例函数来表示。

供给和需求的平衡可以通过反比例函数来描述，当价格上升时，需求减少，供给增加。

因此，反比例函数在价格弹性的分析中也起到很大的作用。

3. 生物学中的应用反比例函数也可以在生物学中找到应用。

例如，光照强度与植物的生长速度关系可以用反比例函数来描述。

光照强度越大，植物的生长速度越慢；反之，光照强度越小，植物的生长速度越快。

四、反比例函数的解题方法在解题过程中，常常需要求解反比例函数中的未知数。

一般来说，可以通过构建方程和利用已知条件来求解。

反比例函数公式1. 什么是反比例函数反比例函数是数学中的一种函数关系，也被称为倒数函数。

在数学中，两个变量之间如果满足一个变量增加，而另一个变量减少的关系，就可以表示为反比例函数。

反比例函数的一般形式表示为：y = k/x其中，y表示函数的值，x表示自变量的值，而k是常数。

2. 反比例函数的图像反比例函数的图像是一个双曲线，其中，曲线的渐近线为x 轴和y轴。

当x趋近于零时，y趋向于无穷大；当x趋近于无穷大时，y趋向于零。

反比例函数的图像有一个特点，即图像在原点处对称。

我们以一个简单的例子来说明反比例函数的图像。

假设 k = 1，我们可以得到以下函数：y = 1/x我们可以通过绘制函数的表格或利用计算器来得到函数的图像。

下表是一些x和对应y的值：x y-3-0.33-2-0.5-1-11/221120.530.33绘制这些点后，我们可以看到图像呈现出一个双曲线，其中曲线趋近于x轴和y轴。

该图像经过原点并在x轴和y轴间对称。

3. 反比例函数的性质3.1 定义域和值域反比例函数的定义域为除零之外的所有实数。

也就是说，对于任意非零的x，可以找到对应的y值。

值域是全体非零的实数。

3.2 零点和渐近线反比例函数的零点在x轴上，即当x为非零实数时，函数的值为零。

而渐近线是指图像趋向于的线，反比例函数有两条渐近线，分别是x轴和y轴。

3.3 单调性反比例函数在定义域上是单调递减或单调递增的。

当k为负值时，函数单调递减；当k为正值时，函数单调递增。

3.4 对称性反比例函数在原点处对称。

也就是说，如果点(x,y)在图像上，那么点(-x,-y)也在图像上。

4. 反比例函数的应用反比例函数在实际中有着广泛的应用。

以下是几个常见的应用场景：4.1 电阻电流关系在电路中，电阻和电流之间满足反比例关系。

根据欧姆定律，电流和电阻之间的关系可以表示为：I = V/R其中，I代表电流，V代表电压，R代表电阻。

根据反比例函数的公式，我们可以发现电阻和电流之间的关系是反比例函数关系。

反比例函数常用知识点总结一、反比例函数的定义反比例函数也叫做倒数函数，通常用y=k/x表示，其中k为非零常数。

这种函数的图像是一个双曲线，具有对称轴。

二、反比例函数的性质1. 反比例函数的定义域和值域反比例函数的定义域为x≠0，值域为y≠0。

2. 反比例函数的奇偶性反比例函数通常不具有奇偶性。

3. 反比例函数的单调性反比例函数在定义域内单调递减或递增。

4. 反比例函数的渐近线反比例函数的图像有两条渐近线，分别是x轴和y轴。

5. 反比例函数的对称性反比例函数的图像关于原点对称。

6. 反比例函数的零点和极限反比例函数有唯一的零点，即x=±√k。

当x→0时，y→±∞。

三、反比例函数的图像1. 反比例函数的基本图像反比例函数的基本图像是一个双曲线，具有对称轴。

2. 反比例函数的平移和缩放改变k的值可以使反比例函数的图像进行平移和缩放。

3. 反比例函数的特殊情况当k为正数时，反比例函数的图像在第一和第三象限。

当k为负数时，反比例函数的图像在第二和第四象限。

四、反比例函数的应用1. 反比例函数在物理学中的应用反比例函数可以用来描述两个物理量之间的关系，比如牛顿定律中的万有引力定律就是一个反比例函数。

2. 反比例函数在经济学中的应用反比例函数可以用来描述供求关系，比如需求曲线和供给曲线都是反比例函数。

3. 反比例函数在工程学中的应用反比例函数可以用来描述工程中的一些量与距离的关系，比如声音的传播距离与声音的强度之间的关系。

五、反比例函数的解题方法1. 求反比例函数的定义域和值域根据函数的定义，可以求出反比例函数的定义域和值域。

2. 求反比例函数的零点和极限根据函数的性质，可以求出反比例函数的零点和极限。

3. 求反比例函数的图像可以根据函数的性质和图形变换的知识，画出反比例函数的图像。

4. 求反比例函数的应用问题可以根据反比例函数在物理学、经济学和工程学中的应用问题，解决实际问题。

六、反比例函数的常见错误1. 关于定义域和值域的错误很多学生容易忽略反比例函数的定义域和值域，导致在解题过程中出现错误。

反比例函数的表达式
反比例函数表达式是：x是自变量，y是因变量，y是x的函数。

反比例函数的三种表达形式分别是y等于x除以k、xy等于k、x等于k除以x，其中x是自变量，y是因变量，y是x 的函数，k为反比例系数，因为y等于k除以x是一个分式，所以自变量x的取值范围是x 不等于0。

反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，图象中每一象限的每一条曲线会无限接近X轴或Y轴，但不会与坐标轴相交，通常自变量的取值范围是不等于0的一切实数，且因变量也不能等于0。

反比例函数知识点总结反比例函数知识点归纳知识点1 反比例函数的定义反比例函数是指形如 y = k/x（k为常数，k≠0）的函数。

其中，自变量x的取值范围为x≠的一切实数，而函数值y的取值范围为y≠0.知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数只有一个待定系数k，因此只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，有两个分支，分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，与原点对称。

由于自变量x≠，函数值y≠，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点。

画反比例函数的图像应该先列表，再描点，最后用光滑的曲线连接。

知识点4 反比例函数的性质反比例函数的图像位置与函数值的增减情况与k的符号有关。

当k>0时，函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小；当k<0时，函数图像的两个分支分别在二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大。

反比例函数的图像位置和函数的增减性由反比例函数系数k的符号决定。

在每个象限内，当k>0时，y随x的增大而减小；当k0.反比例函数y=k/x中，k的几何意义可以通过双曲线上任一点P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线，得到矩形OEPF的面积S=k=xy=x*y=PF*PE。

在反比例函数y=k/x中，k越大，双曲线y=k/x越小，离坐标原点越远；k越小，双曲线y=k/x越大，离坐标原点越近。

双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=-x。

练题：1、反比例函数是y=k/x，其中k≠0.2、函数y1=kx和y2=1/2x的图象如下所示，自变量x的取值范围相同的是第四象限。

3、函数y=m/x和y=mx-m(m≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是第一象限和第三象限。

4、反比例函数y=k/x的图象的两个分支分别位于第一象限和第三象限。

反比例函数知识要点1. 反比例函数的概念： 一般地，函数x k y =（k 是常数，且k ≠0）叫做反比例函数。

注意：（1）常数K 称为反比例系数，K 是非零常数；（2）解析式有三种表达式： ①xk y =（k ≠0）；②xy=k （k ≠0）；③1-=kx y （k ≠0） 2.反比例函数的图像： 3.反比例函数xk y =（k ≠0）的性质： （1）当K ＞0时，图像的两个分支分别在第一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小；（2）当K ＜0时，图像的两个分支分别在第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大；（3）反比例函数的图像：①关于原点成中心对称；②关于直线x y =成轴对称；③关于直线x y -=成轴对称；4. 反比例函数面积的基本模型：①如图，过双曲线x k y =上任意一点P(X ，y)，作x 轴（或y 轴）的垂线，则S ∆OMN=2|K |; ②如图，过双曲线x k y =上任意一点P(X ，y)，作x 轴、y 轴的垂线，则S 矩形AOBP=|K|；反比例函数 xk y =（k 是常数，且k ≠0） K 的符号K ＞0K ＜0 图像（双曲线）这两条曲线只能无限接近于两坐标轴， 不能与其相交。

基础知识检测（一）填空1. 当m= 时，函数y=()的变化范围是时，函数值是反比例函数。

当y x m m 1-x 3-12≤≤+- . 2. 写出一个反比例函数，当x （x ＞0）增大时，y 反而减小，此函数的解析式是 ；已知反比例函数xk y -=4，当k 时，函数图像位于第一、三象限；当k 时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

3. 在函数y=xa 12--(a 为常数)的图像上有三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），且x1＜x2＜0＜x3，则函数y1，y2，y3的关系是 。

4. 已知反比例函数x k y =（k ≠0）的图像经过P(1,3)点，则反比例函数的解析式为 。

片y~ —一般地，函数X（k是常数，k M0）叫做反比例函数，自变量x的取值范围是X M0的一切实数，函数值的取值范围也是一切非零实数。

注：（1）因为分母不能为零，所以反比例函数函数的自变量X不能为零，同样y也不能为零；”二占二上丄二比V」._1x x y ~ &（2）由…^，所以反比例函数可以写成的形式，自变量x的次数为-1 ；ky- — ^xy-k（3 ）在反比例函数中，两个变量成反比例关系，即，因此判定两个变量是否成反比例关系，应看是否能写成反比例函数的形式，即两个变量的积是不是一个常数。

表达式：X是自变量，y是因变量，y是X的函数k L1y = - = k-—x xxy =ky = k x~｝（即*涔于嗦啲订炭方）丫二 '悄常数目K丸，xrf）>X若歹=土此0寸比例系数为:-rtjc n自变量的取值范围：①在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；②函数y的取值范围也是任意非零实数。

反比例函数性质：①反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式；②反比例函数表达式中，常数（也叫比例系数）心0是反比例函数定义的一个重要组成部分；③反比例函数 ___ 二（k是常数，k M0）的自变量x的取值范围是不等式0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数。

如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xoy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），ky =_过点F的反比例函数'（k >0，x >0 ）与OA边交于点E，过点F作FC ±x轴于点C，连结EF、OF .(1 )若S求反比例函数的解析式;(2)在(1 )的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由；(3)AB边上是否存在点F，使得EF丄AE ?若存在，请求出BF: FA的值；若不存在，请说明理由.解：(1)设F(x,y) , (x>0,y>0) , ®0OC=x, CF=y ,:— xy= >/3 ,即xy=2^/3 o .*.k=2*73 o•••反比例函数解析式为丫 =巫 (x>0)oX(2 )该圆与y轴相离，理由如下：过点E作EH丄x轴，垂足为H ,过点E作EG丄y轴，垂足为G ,在ZkAOB中f 0A=AB=4 r zAOB二zABO二zA=60°r 设OH=m t贝•]tanZAOB = —— = fOH.-.EH=5/3 m , OE=2m o・・.E坐标为（m ,的m ）,•••E在反比例”匹图象上，.・.忌=衣。