圆锥曲线最典型基本知识点和例题

目录圆锥曲线十大题型全归纳题型一弦的垂直平分线问题 (2)题型二动弦过定点的问题 (3)题型三过已知曲线上定点的弦的问题 (4)题型四共线向量问题 (5)题型五面积问题 (7)题型六弦或弦长为定值、最值问题 (10)题型七直线问题 (14)题型八轨迹问题 (16)题型九对称问题 (19)题型十存在性问题 (21)圆锥曲线题型全归纳题型一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

题型二：动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

（I ）求椭圆的方程；（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。

(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，求直线PQ 的斜率。

题型四：共线向量问题1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围.2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，离心率为5.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-.题型五：面积问题例题1、已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。

圆锥曲线一．弦长问题弦长公式直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：2121AB k x x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++- 或12211AB y y k =+- 例：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．练习：(2015·湖南)已知抛物线C 1 ：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点．C 1 与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向． (1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．二．中点弦问题公式法：若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 例：已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 练习：已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________．点差法（中点弦问题） 设()11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13422=+y x 的弦AB 中点则有 1342121=+y x ，1342222=+y x ；两式相减得()()03422212221=-+-y yx x⇒()()()()3421212121y y y y x x x x +--=+-⇒AB k =ba 43-例：设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线． (1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．三．范围问题解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．例：(2015·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433. (1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．练习：已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．四．最值问题处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．命题点1利用三角函数有界性求最值例2过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是()A．2 B. 2 C．4 D．2 2命题点2数形结合利用几何性质求最值例3(2015·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_____________．命题点3转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值例4(2014·湖南)如图，O为坐标原点，椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：x2a2－y2b2＝1的左，右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝32，且|F2F4|＝3－1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．练习：(1)已知焦点为F的抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为________．(2)(2014·北京)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.①求椭圆C的离心率；②设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．。

圆锥曲线与方程知识要点一、椭圆方程. 1、椭圆的定义：平面内与两个定点尸卜F 2,点P 满足IP 用+1尸/2∣=2α>2∣,则点P 的轨迹是 平面内与两个定点尸八F 2,点尸满足IP 居|+|Pq=2z=∣FE ∣,则点尸的轨迹是 平面内与两个定点尸I 、F 2,点P 满足IPFJ+1PKI=2〃<忻八|，则点P 的轨迹是 2X 2V 2若户是椭圆：-τ+J=I 上的点为焦点，若NF1P 户产氏则AT//2的面积为ab3、点与椭圆、直线与椭圆的位置关系9 2⑴点Pa0,比)与椭圆E+g=1(α>b>0)的位置关系：①点尸在椭圆上O;②点P 在椭圆内部=;③点P 在椭圆外部Q.(2)直线尸履+〃?与椭圆，+方=1(α>Z>O)的位置关系判断方法:消y 得一个一元二次方程是： _____________________________________________________v（3）弦长公式：设直线方程为），=履+加（%0）,椭圆方程为/+方=1（α>b>0）或方+∕=1（α>b>0）,直线与椭圆的两个交点为A（X1，yι）,3（X2，）力则∣A8∣=N（为一7）2+（小一”）2,Λ∖AB∖=7（X1X2）2+（如一g）2=<1+F∙d（X1-X2）2=y∣I+*7（X1+切）4_¥1囚，或HB1=d（i>1⅛2）+（上_1）2=[]+、•'（%_"）2=^1+.XJ（>1+>2）2_领/其中，即+“2,汨M 或“+”，V”的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或X后得到关于X或y的一元二次方程得到.2 2（4）直线/：y=Ax+m与椭圆：二+与=1（α>/?>0）的两个交点为Aa1，y）,8（如力），a'b~弦A8的中点M（X0，州），则2=（用X0,州表示）二、双曲线方程.1、双曲线的定义：平面内与两个定点尸I、F2,点尸满足归/JTPgh2々<囚尸21则点尸的轨迹是平面内与两个定点尸卜尸2，点尸满足仍PJTPW=2α>巴川，则点P的轨迹是平面内与两个定点尸1、尸2，点P满足归尸]|-|尸/』=2〃=|尸尸小则点P的轨迹是21等轴双曲线：双曲线“2_,2=±『称为等轴双曲线，其渐近线方程为,离心率《=2 2（2）共渐近线的双曲线系方程：二-1?=”之0°）的渐近线方程为_________________a~Zr如果双曲线的渐近线为±±2=0时，它的双曲线方程可设为 ____________________ .ab(3)从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于.3、直线与双曲线的位置关系r2V2(1)一般地，设直线/：y=kxΛ-m……①双曲线C：^-p=1(α>O,bX))……②把①代入②得关于X的一元二次方程为.①当〃一"仆=O时，直线/与双曲线的渐近线,直线与双曲线C.②当/一/炉和时，/>0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线:/=0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线：/<0=直线与双曲线公共点,此时称直线与双曲线.注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点.AB的中点M(xo>h)，则A=(用必，yo表示)三、抛物线方程.1、抛物线的定义平面内与一个定点尸和一条定直线/(不经过点F)的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫做抛物线的,直线/叫做抛物线的.思考1：平面内与一个定点F和一条定直线/(/经过点F),点的轨迹是2、抛物线的性质:3、抛物线的焦点弦的性质1.如图，A8是抛物线y2=2pMp>0)过焦点尸的一条弦，设Aa∣,》)、8(及，工)，AB的中点MX°，并)，相应的准线为/.(1)以AB为直径的圆必与准线/的位置关系是:(2)HB1=(焦点弦长用中点M的坐标表示)；(3)若直线AB的倾斜角为α,则∣A8∣=(焦点弦长用倾斜角为α表示)；如当α=90。

圆锥曲线知识点总结（一）——椭圆2、典型题型题型1：椭圆的定义的应用例1、命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之和常数）,0(2 a a PB PA ；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的 （ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分且必要条件 D 、既不充分也不必要条件 规律总结：变式训练1、已知两定点21F F 、，且1021 F F ,动点P 分别满足下列条件时的轨迹是什么？（1）1021 PF PF （2）1621 PF PF （3）621 PF PF变式训练2、已知动圆P 过定点A （-3,0），并且在定圆B ：64)3(22y x 的内部与定圆相切，则动圆的圆心P 的轨迹是（ ）A 、线段B 、直线C 、圆D 、椭圆变式训练3、已知椭圆1162522 y x 上一点P 到某一焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为 。

变式训练4、椭圆1162522 y x 的左右焦点分别为21F F 、，经过右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，则三角形AB 1F 的周长为 。

题型2：求椭圆的标准方程（方法 ） 例2、求满足下列条件下的椭圆的标准方程（1）满足方程22)2(y x +22)2(y x =10的点的轨迹。

（2）以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P （3,0）；（3）两个焦点的坐标分别为（-4,0）和（4,0），且椭圆经过点（5,0）；（4）焦点在y 轴上，且经过两个点（0,2）和（1,0）；（5）焦点在坐标轴上，且经过点A （3，-2）和B （-23，1）；（6）与椭圆92x +42y =36有共同焦点，且经过点（2，-3）；（7）在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8。

规律与方法：题型3：椭圆标准方程的形式特征例3、设曲线方程为15222 my m x ，求曲线为椭圆时，m 的取值范围是 。

变式训练1：已知方程192522 m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 。

圆锥曲线的几何性质例题和知识点总结圆锥曲线是数学中非常重要的一部分，包括椭圆、双曲线和抛物线。

它们具有独特的几何性质，通过一些例题来理解这些性质会更加直观和深入。

一、椭圆的几何性质1、定义平面内到两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）的距离之和等于常数（大于\（｜F_1F_2|＼））的点的轨迹叫做椭圆。

2、标准方程焦点在\（x\）轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2}＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴，＼（b\）为短半轴，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。

焦点在\（y\）轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2}＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。

3、几何性质（1）范围：对于焦点在\（x\）轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leqa\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在\（y\）轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。

（2）对称性：椭圆关于\（x\）轴、＼（y\）轴和原点对称。

（3）顶点：焦点在\（x\）轴上的椭圆，顶点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在\（y\）轴上的椭圆，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。

（4）离心率：＼（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），离心率反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近\（0\），椭圆越圆；＼（e\）越接近\（1\），椭圆越扁。

例题：已知椭圆方程为\（＼frac{x^2}｛16} ＋＼frac{y^2}｛9} ＝1\），求其长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率。

解：因为\（a^2 ＝ 16\），所以\（a ＝ 4\）；＼（b^2 ＝ 9\），所以\（b ＝ 3\）；＼（c^2 ＝ a^2 b^2 ＝ 16 9 ＝ 7\），所以\（c ＝＼sqrt{7}＼）。

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。

两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔{0),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。

二、圆：1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED --半径是2422F E D -+。

配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E );③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。

圆锥曲线一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上标准方程)0(12222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a b x a y 图 形顶 点 ),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A -- ),0(),,0()0,(),0,(2121a B a B b A b A -- 对称轴 x 轴，y 轴；短轴为b 2，长轴为a 2焦 点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F -焦 距 )0(2||21>=c c F F 222b a c -=离心率)10(<<=e ace （离心率越大，椭圆越扁） 通 径 22b a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常用结论：（1）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=（2）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ二、双曲线：xO F 1 F 2 P y A 2 B 2 B 1xO F 1F 2 Py A 2A 1B 1B 2 A 1（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。

圆锥曲线的知识点、结论、易错点、真题(⼀)椭圆及其标准⽅程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平⾯内动点与两定点1F 、2F 的距离的和⼤于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和⼩于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .2.椭圆的标准⽅程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+bx a y （a ＞b ＞0）.3.椭圆的标准⽅程判别⽅法：判别焦点在哪个轴只要看分母的⼤⼩：如果2x 项的分母⼤于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.4.求椭圆的标准⽅程的⽅法：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准⽅程后，运⽤待定系数法求解. (⼆)椭圆的简单⼏何性质1. 椭圆的⼏何性质：设椭圆⽅程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）.⑴范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形⾥.⑵对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中⼼对称.椭圆的对称中⼼叫做椭圆的中⼼. ⑶顶点：有四个1A （-a，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷离⼼率：椭圆的焦距与长轴长的⽐ace =叫做椭圆的离⼼率.它的值表⽰椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第⼆定义⑴定义：平⾯内动点M 与⼀个顶点的距离和它到⼀条定直线的距离的⽐是常数ace =（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵准线：根据椭圆的对称性，12222=+by a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的⽅程为c a x 2±=.对于椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0）的准线⽅程，只要把x 换成y 就可以了，即c a y 2±=.3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意⼀点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设1F （-c ，0），2F （c ，0）分别为椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右两焦点，M （x ，y ）是椭圆上任⼀点，则两条焦半径长分别为ex a MF +=1，ex a MF -=2.椭圆中涉及焦半径时运⽤焦半径知识解题往往⽐较简便.椭圆的四个主要元素a 、b 、c 、e 中有2a =2b +2c 、ac e =两个关系，因此确定椭圆的标准⽅程只需两个独⽴条件.4.椭圆的参数⽅程椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数⽅程为cos sin x a y b θθ=??=?（θ为参数）.说明: ⑴这⾥参数θ叫做椭圆的离⼼⾓.椭圆上点P 的离⼼⾓θ与直线OP 的倾斜⾓α不同：θαtan tan ab=；⑵椭圆的参数⽅程可以由⽅程12222=+by a x 与三⾓恒等式1sin cos 22=+θθ相⽐较⽽得到，所以椭圆的参数⽅程的实质是三⾓代换. 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数⽅程是cos sin x a y b θθ=??=?. 5.椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b+>. 6. 椭圆的切线⽅程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上⼀点00(,)P x y 处的切线⽅程是00221x x y y a b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外⼀点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦⽅程是00221x x y y a b +=.（3）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c +=(三)双曲线及其标准⽅程1.双曲线的定义：平⾯内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （⼩于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这⼀条件可以⽤“三⾓形的两边之差⼩于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则⽆轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的⼀个分⽀，⼜若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另⼀⽀.⽽双曲线是由两个分⽀组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准⽅程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这⾥222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这⾥的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准⽅程判别⽅法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不⼀定⼤于b ，因此不能像椭圆那样，通过⽐较分母的⼤⼩来判断焦点在哪⼀条坐标轴上.4.求双曲线的标准⽅程，应注意两个问题：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准⽅程后，运⽤待定系数法求解.(四)双曲线的简单⼏何性质1.双曲线12222=-by a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离⼼率a c e =＞1，离⼼率e 越⼤，双曲线的开⼝越⼤.2. 双曲线12222=-by a x 的渐近线⽅程为x a b y ±=或表⽰为02222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线⽅程是x nmy ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的⽅程具有以下形式：k y n x m =-2222，其中k 是⼀个不为零的常数.3.双曲线的第⼆定义：平⾯内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的⽐是⼀个⼤于1的常数（离⼼率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-by a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线⽅程分别是ca x 2-=和c a x 2=.双曲线22221(0,0)x y ab a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.4.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ?-<. 5.双曲线的⽅程与渐近线⽅程的关系(1）若双曲线⽅程为12222=-by a x ?渐近线⽅程：22220x y a b -=?x a by ±=.(2)若渐近线⽅程为x a by ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.6. 双曲线的切线⽅程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上⼀点00(,)P x y 处的切线⽅程是00221x x y y a b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外⼀点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦⽅程是00221x x y y a b -=.（3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=.(五)抛物线的标准⽅程和⼏何性质1．抛物线的定义：平⾯内到⼀定点（F ）和⼀条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。

圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。

方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。

方程22Ax By C+=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。

（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由x 2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

（2）双曲线：由x 2,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx圆锥曲线⼀、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（⼤于| F1 F2 |）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意： 2a | F1F2 | 表⽰椭圆；2a | F1F2|表⽰线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质：中⼼在原点，焦点在x 轴上中⼼在原点，焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) （离⼼率越⼤，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常⽤结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（⼩于| F1F2 | ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表⽰双曲线的⼀⽀。

圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备： 1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2）与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ 2121yy k x x -=-②点0(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =③夹角公式：直线111222::l y k x b l y k x b =+=+ 夹角为α， 则2121tan 1k k k k α-=+（3）弦长公式直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离①AB =12AB x =-=③12AB y =-（4）两条直线的位置关系 （Ⅰ）111222::l y k x b l y k x b =+=+①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且（Ⅱ）11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=①1212120l l A A B B ⊥⇔+=② 1212211221//0l l A B A B AC A C ⇔≠-=0且-或111222A B C A B C =≠者（2220A B C ≠） 两平行线距离公式1122::l y kx b l y kx b =+⎧⎨=+⎩ 距离1221d k =+ 1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=⎧⎨++=⎩ 距离1222d A B =+ 二、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F 1,F 2的距离之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（0<e<1） 1．到两定点F 1,F 2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F 1F 2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（e>1） 与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：({M ｜｜MF 1+｜MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜2a}. 点集：{M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜.=±2a,｜F 2F 2｜＞2a}.点集{M ｜ ｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}.图形方程标准方程 12222=+b y a x (b a >>0) 12222=-b y a x (a>0,b>0) px y 22=参数方程为离心角）参数θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x 为离心角）参数θθθ(tan sec ⎩⎨⎧==b y a x ⎩⎨⎧==pt y pt x 222(t 为参数) 范围 ─a ≤x ≤a ，─b ≤y ≤b |x| ≥ a ，y ∈R x ≥0 中心原点O （0，0） 原点O （0，0）顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0)对称轴 x 轴，y 轴； 长轴长2a,短轴长2bx 轴，y 轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x 轴焦点 F 1(c,0), F 2(─c,0) F 1(c,0), F 2(─c,0))0,2(p F 准 线x=±ca 2准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=±ca 2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-2p 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.【备注1】双曲线：⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e .⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222by a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-by a x . ⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 如果双曲线的渐近线为0=±bya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλb y a x .【备注2】抛物线：（1）抛物线2y =2px(p>0)的焦点坐标是(2p ,0)，准线方程x=-2p ，开口向右；抛物线2y =-2px(p>0)的焦点坐标是(-2p ,0)，准线方程x=2p ，开口向左；抛物线2x =2py(p>0)的焦点坐标是(0,2p )，准线方程y=-2p ，开口向上；抛物线2x =-2py （p>0）的焦点坐标是（0,-2p ），准线方程y=2p，开口向下. （2）抛物线2y =2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离20p x MF +=；抛物线2y =-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离02x pMF -=（3）设抛物线的标准方程为2y =2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p ，顶点到准线的距离2p ，焦点到准线的距离为p.（4）已知过抛物线2y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则线段AB 称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB =21x x ++p 或α2sin 2p AB =(α为直线AB 的倾斜角)，221p y y -=，2,41221p x AF p x x +==(AF 叫做焦半径).椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

高考数学圆锥曲线典型例题(必考)9.1 椭 圆典例精析题型一 求椭圆的标准方程【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )；(2)在求椭圆中的a 、b 、c 时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1，C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x ，y ).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上，也不在抛物线C 2上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆C 1的方程为 . x 212＋y 26＝1.题型二 椭圆的几何性质的运用【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)e 的取值范围是[12，1).(2)21F PF S ＝12mn sin 60°＝33b 2，【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2，|PF 1|≥a －c . 【变式训练2】已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一点，Q ，R 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝14和圆(x －4)2＋y 2＝14上的点，则|PQ |＋|PR |的最小值是 .【解析】最小值为9.题型三 有关椭圆的综合问题【例3】(2010全国新课标)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列.(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程.(1) 22.(2)为x 218＋y 29＝1.【变式训练3】已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，两焦点为F 1，F 2，抛物线以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若|PF 1||PF 2|＝e ，则e 的值是( )A.32B.33C.22D.63【解析】选B 题型思 有关椭圆与直线综合问题【例4】【2012高考浙江理21】如图，椭圆C ：2222+1x y a b =(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程． .【变式训练4】【2012高考广东理20】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e=23，且椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由． 总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a 、 b 的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )求解.2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.练习1（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF u u u u r=( )A. 2B. 2C.3D. 3 选A.2（2009浙江文）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =u u u r u u u r，则椭圆的离心率是（ ） A 32 C ．13 D ．12【答案】D3.（2009江西卷理）过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率为 A ．22 B ．33 C ．12D ．13 【答案】B 4.【2012高考新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） ()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C5【2012高考四川理15】椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________。

圆锥曲线的几何性质例题和知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。

它们具有独特的几何性质，在数学和物理学等领域都有广泛的应用。

下面我们将通过一些例题来深入理解圆锥曲线的几何性质，并对相关知识点进行总结。

一、椭圆的几何性质椭圆的标准方程为：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为长半轴，＄b$为短半轴，＄c$为半焦距，满足$c^2 ＝ a^2 b^2$。

1、范围椭圆位于直线$x ＝＼pm a$和$y ＝＼pm b$所围成的矩形内。

2、对称性椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。

3、顶点椭圆的顶点坐标为$（＼pm a, 0)＄和$（0, ＼pm b)＄。

4、离心率离心率$e ＝＼frac{c}｛a}＄，反映了椭圆的扁平程度，＄0 ＜ e ＜1$，＄e$越接近 0，椭圆越接近于圆；＄e$越接近 1，椭圆越扁平。

例题 1：已知椭圆方程为$＼frac{x^2}｛9} ＋＼frac{y^2}｛4} ＝ 1$，求其顶点坐标、离心率和焦点坐标。

解：由方程可知，＄a ＝ 3$，＄b ＝ 2$，则$c ＝＼sqrt{a^2 b^2}＝＼sqrt{5}＄。

顶点坐标为$（＼pm 3, 0)＄和$（0, ＼pm 2)＄。

离心率$e ＝＼frac{c}｛a} ＝＼frac{＼sqrt{5}｝｛3}＄。

焦点坐标为$（＼pm ＼sqrt{5}， 0)＄。

二、双曲线的几何性质双曲线的标准方程为：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ 0$，＄b ＞ 0$），其中$a$为实半轴，＄b$为虚半轴，＄c$为半焦距，满足$c^2 ＝ a^2 ＋ b^2$。

1、范围双曲线在$x ＼leq a$或$x ＼geq a$上取值。

2、对称性双曲线关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。

3、顶点双曲线的顶点坐标为$（＼pm a, 0)＄。

圆锥曲线与方程一、轨迹方程求法:1.求曲线方程的一般步骤:①建系，②设动点，③限制条件，④代入，⑤化简．简记为：建、设、限、代、化．2.求曲线方程的关键是找关系列等式，常见方法为直译法和代入法(相关点法)．二、圆锥曲线的定义与性质：1.椭圆定义的理解:当||||||2121F F PF PF =+时，点P 的轨迹是 ； 当||||||2121F F PF PF <+时，点P 的轨迹是 ． 2.双曲线定义的理解：(1)若没有“绝对值”，则动点的轨迹是 ． 当|MF 1|－|MF 2|＝2a 时，曲线仅表示焦点 所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点 所对应的一支． (2)当2a ＝|F 1F 2|时，则动点的轨迹是 ； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹 ； 当2a ＝0时，动点的轨迹是 ． 3.双曲线定义的理解：(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线． (2)注意：定点F 不在定直线l 上，否则动点M 的轨迹不是抛物线，而是过点F 垂直于直线l 的一条直线．三、圆锥曲线知识要点：1.(1)椭圆上点到焦点最大值为 ，最小值为 . (2)椭圆焦点三角形周长问题：2.直线与椭圆的位置关系通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，对解的个数进行讨论．通常消去方程组中的一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程．(1)Δ＞0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点； (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点； (3)Δ＜0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点． 3.直线与双曲线的位置关系一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m(m ≠0)，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1，联立、化简，得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx－a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±b a 时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线l 与双曲线交于一点.(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±b a 时，Δ＝(－2a 2mk)2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2).若Δ>0⇒l 与C 有两个公共点，此时相交. 若Δ＝0⇒l 与C 有一个公共点，相切. 若Δ<0⇒l 与C 无公共点，相离. 4.直线与抛物线的的位置关系要解决直线与抛物线的位置关系问题，可把直线方程与抛物线方程联立，消去y(或消去x)得出关于x(或关于y)的一个方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，其中二次项系数A 有可能为0，此时直线与抛物线有一个交点．当二次项系数A ≠0时，Δ＝B 2－4AC. 若Δ＜0，则直线与抛物线没有公共点； 若Δ＝0，则直线与抛物线有且只有一个公共点； 若Δ＞0，则直线与抛物线有两个不同的公共点．5.弦长问题通常将直线方程与圆锥曲线方程联立，得到关于x(或y)的一元二次方程，然后求出根与系数的关系，再求弦长，从而绕过求直线与圆锥曲线的交点坐标．若直线y ＝kx ＋b 与圆锥曲线交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，则|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2， 或|AB|＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2. 6.中点弦问题(点差法)(1)利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b2＝1. ②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.(2)问：直线与双曲线相交于两点时，其中点弦所在直线斜率如何表示？(3)问：直线与抛物线相交于两点时，其中点弦所在直线斜率如何表示？7.抛物线的焦半径和焦点弦问题(1)以AB 为直径的圆必与准线相切． (2)|AB|＝2(x 0＋p2)(焦点弦长与中点关系)．(3)|AB|＝x 1＋x 2＋p(焦点弦长与端点关系). (4)若直线AB 的倾斜角为α，则|AB|＝2psin 2α. (5)A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1x 2＝p 24， y 1y 2＝－p 2.(6)1|AF|＋1|FB|＝2p. (7)抛物线焦点弦所在直线方程可设为2p my x +=.圆锥曲线练习一、选择题1．抛物线y＝2x2的焦点坐标是( )A.10,2⎛⎫⎪⎝⎭B.12⎛⎫⎪⎝⎭， C.10,8⎛⎫⎪⎝⎭D.18⎛⎫⎪⎝⎭，2．已知双曲线22221x ya b-=(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )A．2 32 D. 3 23．设椭圆22221x ya b+= (a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为( )A.22143x y+= B.2213xy+= C.2212xy+= D.2214xy+=4．设P是双曲线22219x ya-= (a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝( )A．1或5 B．6 C．7 D．85．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过点C(－4,0)作抛物线的两条切线CA，CB，A，B为切点，若直线AB经过抛物线y2＝2px的焦点，△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是( ) A．y2＝4x B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝－8x6．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是( )A．y2＝254x B．y2＝454x C．x2＝－452y D．x2＝－454y7.我们把由半椭圆22221x ya b+= (x≥0)与半椭圆22221y xb c+=(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为( ) 7，3 1 C．5,3 D．5,48．设双曲线C：22xa－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e的取值范围为( )A.2⎛⎝ B ．，＋∞) C. 2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ D. 2⎛ ⎝∪，＋∞)9．(多项选择)θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆10.(多项选择)已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为( )A.22110084x y += B. 221259x y += C.22184100x y += D. 221259y x += 11．(多项选择)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则( )A ．|AB |＝12 B ．OA OB ⋅＝－2716C ．y A y B ＝－3D ．x A x B ＝3 12．(多项选择)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( ) A.12 B ．2 C. 32 D. 23二、填空题13．以双曲线221412x y -=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________． 14．已知二次曲线2214x y m +=，当m ∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是______． 15．抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线221169x y -=渐近线的距离为________，双曲线右焦点到抛物线准线的距离为________．16．设F 1，F 2分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________． 三、解答题17．命题p ：方程22126x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：方程22111x y m m +=+-表示双曲线．(1)若命题p 为真命题，求m 的取值范围； (2)若命题q 为假命题，求m 的取值范围．18．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22221x ya b-= (a>0，b>0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P362⎛⎝，，求抛物线的方程和双曲线的方程．19．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4.(1)求t，p的值；(2)如图所示，设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且OA OB⋅＝5(其中O为坐标原点)．求证直线AB必过定点，并求出该定点的坐标．20．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1,0)，抛物线E：x2＝2py的焦点为M.(1)若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程；(2)若直线MF与抛物线C交于A，B两点，求△OAB的面积．21．给定椭圆C：22221x ya b+= (a＞b＞0)，称圆心在原点O22a b+的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆的离心率e 6x2＋y2＝4.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2，交“准圆”于点M，N.当点P 为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，上顶点为B ，直线l ：y ＝12x 与椭圆E 交于C ，D 两点，且△BCD 的面积为2．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点P 是椭圆E 上一点，过点P 引直线m ，其倾斜角与直线l 的倾斜角互补．若直线m 与椭圆E 相交，另一交点为Q ，且直线m 与x ，y 轴分别交于M ，N ，求证：QM 2＋QN 2为定值．23．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，A 、B 为椭圆的左、右顶点，点P 为椭圆上异于A 、B 的动点，且直线P A 、PB 的斜率之积为－12．(1)求椭圆C 的方程；(2)若动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，试问：在x 轴上是否存在两个定点，使得这两个定点到直线l 的距离之积为4？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由．24．已知椭圆22221x y a b+= (a >b >0)的离心率e ＝63A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)已知定点E (－1,0)，若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点，请说明理由．圆锥曲线练习参考答案1．【答案】C【解析】抛物线的标准方程为x 2＝12y ，焦点在y 轴上，∴焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭. 2．【答案】C 【解析】由题可知y ＝b a x 与y ＝－b a x 互相垂直，可得－b a ·ba＝－1，则a ＝b .由离心率的计算公式，可得e 2＝22c a ＝222a b a +＝2，e ＝2.3．【答案】A【解析】∵|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，∴a ＝2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，∴b ＝3.∴椭圆的方程为22143x y +=. 4．【答案】C【解析】双曲线22219x y a -=的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，故a ＝2.又P 是双曲线上一点，故||PF 1|－|PF 2||＝4，而|PF 1|＝3，则|PF 2|＝7. 5．【答案】D【解析】由抛物线的对称性知A ,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，B ,2p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则S △CAB ＝1422p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭×2p ＝24，解得p ＝4，直线AB 的方程为x ＝2，所以所求抛物线的标准方程为y 2＝－8x . 6．【答案】C【解析】如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p ×40，即2p ＝452，所以所求抛物线方程为y 2＝452x .虽然选项中没有y 2＝452x ，但C 中的2p ＝452符合题意． 7.【答案】A【解析】∵|OF 2|＝22b c -＝12，|OF 0|＝c ＝3|OF 2|＝32，∴b ＝1，∴a2＝b 2＋c 2＝1＋34＝74，得a ＝72.8．【答案】D【解析】由2221,1x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1－a 2≠0⇒a 2≠1，且此时Δ＝4a 2(2－a 2)>0⇒a 2<2，所以a 2∈(0,1)∪(1,2)．另一方面e，则a 2＝211e -，从而e∈⎝∪，＋∞)． 9．【答案】ABD【解析】由于θ∈R ，对sin θ的值举例代入判断．sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆． 10.【答案】BD【解析】因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以210,4,a c =⎧⎨=⎩解得a ＝5，b 2＝25－16＝9.所以当椭圆焦点在x 轴时，椭圆方程为221259x y +=；当椭圆焦点在y 轴时，椭圆方程为221259y x +=. 11．【答案】AB【解析】抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F 304⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以AB 所在的直线方程为y34x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将y34x ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入y 2＝3x ，整理得x 2－212x ＋916＝0. 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由根与系数的关系得x A ＋x B ＝212，x A x B ＝916，故D 错误，22A B y y ＝3x A ·3x B ＝9x A x B ＝8116，∴y 1y 2＝－94，故C 错误． OA OB ⋅＝x A x B ＋y A y B ＝916－94＝－2716，故B 正确． 由抛物线的定义可得|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，故选A 、B. 12．【答案】AC【解析】设圆锥曲线的离心率为e ，由|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，知①若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，得e ＝1212||||||F F PF PF +＝342+＝12；②若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，得e ＝1212||||||F F PF PF -＝342-＝32.综上，所求的离心率为12或32.故选A 、C. 13．【答案】2211612x y += 【解析】双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．14．【答案】56⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】∵m ∈[－2，－1]，∴曲线方程化为2214x y m-=-，曲线为双曲线， ∴e ＝4.∵m ∈[－2，－1]，∴2≤e ≤215．【答案】657 【解析】抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，双曲线221169x y -=的一条渐近线方程为y ＝34x ，即3x －4y ＝0，则点F (2,0)到渐近线3x －4y ＝0＝65.双曲线右焦点的坐标为(5,0)，抛物线的准线方程为x ＝－2，所以双曲线右焦点到抛物线准线的距离为7.16．【答案】15【解析】由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于点P (图略)，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝1015. 17．【解析】(1)根据题意，得60,20,(6)2,m m m m -<⎧⎪>⎨⎪-->⎩解得0＜m ＜2，故命题p 为真命题时，m 的取值范围为(0,2)．(2)若命题q 为真命题，则(m ＋1)(m －1)＜0，解得－1＜m ＜1，故命题q 为假命题时，m 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．18．【解析】依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，∵点P 32⎛ ⎝在抛物线上，∴6＝2p ×32.∴p ＝2， ∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上，∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点P 32⎛ ⎝在双曲线上，∴229614a b-=， 解方程组222219614a b a b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 得221434a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2298a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ (舍去)． ∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1. 19．【解析】(1)由已知得3＋2p ＝4，∴p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，代入可解得t ＝±(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋n ，A 211,4y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 222,4y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由2,4x my n y x=+⎧⎨=⎩得y 2－4my －4n ＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n .由OA OB ⋅＝5，得212()16y y ＋y 1y 2＝5，∴y 1y 2＝－20或y 1y 2＝4(舍去)．即－4n ＝－20，∴n ＝5，∴直线AB 过定点(5,0)．20．【解析】(1)因为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1,0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M ，所以p ＝2，M (0，1)．①当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝0，满足题意．②当直线l 的斜率存在时，设方程为y ＝kx ＋1，代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.当k ＝0时，x ＝14，满足题意，直线l 的方程为y ＝1；当k ≠0时，令Δ＝(2k －4)2－4k 2＝0，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.综上，直线l 的方程为x ＝0或y ＝1或y ＝x ＋1. (2)结合(1)知抛物线C 的方程为y 2＝4x ，直线MF 的方程为y ＝－x ＋1.联立24,1y x y x ⎧=⎨=-+⎩得y 2＋4y －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝，所以S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝. 21．【解析】(1)由准圆方程为x 2＋y 2＝4，得a 2＋b 2＝4，椭圆的离心率e ＝c aab ＝1， ∴椭圆的标准方程：23x ＋y 2＝1. (2)∵准圆x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为P (0，2)，设过点P (0,2)且与椭圆相切的直线为y ＝kx ＋2， 联立，得222,1,3y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理，得 (1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0.∵直线y ＝kx ＋2与椭圆相切，∴Δ＝144k 2－4×9(1＋3k 2)＝0，解得k ＝±1，∴l 1，l 2的方程为y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2.∵k 1l ＝1，k 2l ＝－1，∴k 1l ·k 2l ＝－1，则1l ⊥2l .22．【解析】 (1)由e ＝c a ＝32，得c 2＝34a 2，b 2＝14a 2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 2＋4y 2＝a 2得D ⎝⎛⎭⎫22a ，24a ， 所以CD ＝2⎝⎛⎭⎫22a 2＋⎝⎛⎭⎫24a 2＝102a ， 又上顶点B ⎝⎛⎭⎫0，a 2到直线l 的距离为d ＝a 5， 所以△BCD 的面积为S ＝12CD ·d ＝12×102a ×a 5＝24a 2＝2， 解得a 2＝4，即椭圆的方程为x 24＋y 2＝1． (2)法一 设Q (x 1，y 1)，则x 214＋y 21＝1，因为直线m 与直线l 的倾斜角互补，所以k m ＝－k 1＝－12， 所以直线m 的方程为y －y 1＝－12(x －x 1)， 令y ＝0，得M (x 1＋2y 1，0)；令x ＝0，得N ⎝⎛⎭⎫0，12x 1＋y 1． 所以QM 2＋QN 2＝(2y 1)2＋y 21＋x 21＋⎝⎛⎭⎫12x 12＝54x 21＋5y 21＝5⎝⎛⎭⎫x 214＋y 21＝5． 法二 设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1，因为直线m 与直线l 的倾斜角互补，所以k m ＝－k l ＝－12， 所以直线m 的方程为y －y 0＝－12(x －x 0)， 令y ＝0，得M (x 0＋2y 0，0)；令x ＝0，得N ⎝⎛⎭⎫0，12x 0＋y 0． 联立⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝－12（x －x 0）消去x ， 得8y 2－4y (x 0＋2y 0)＋(x 0＋2y 0)2－4＝0，解得Q ⎝⎛⎭⎫2y 0，12x 0， 所以QM 2＋QN 2＝x 20＋14x 20＋4y 20＋y 20＝5⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝5． 23．【解析】(1)A (－a ，0)，B (a ，0)，设P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 204＝1， 依题意y 0x 0＋a ·y 0x 0－a＝－12，得a 2＝8， ∴椭圆标准方程为x 28＋y 24＝1． (2)①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋p ，代入椭圆方程得 (1＋2k 2)x 2＋4kpx ＋2p 2－8＝0，因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝16k 2p 2－4(1＋ 2k 2)(2p 2－8)＝8(4＋8k 2－p 2)＝0，即4＋8k 2＝p 2．设x 轴上存在两个定点(s ，0)，(t ，0)，使得这两个定点到直线l 的距离之积为4， 则|ks ＋p |k 2＋1·|kt ＋p |k 2＋1＝|k 2st ＋kp （s ＋t ）＋p 2|k 2＋1＝4． 即 (st ＋ 4)k ＋p (s ＋t )＝0(*)，或(st ＋ 12)k 2＋(s ＋t )kp ＋8＝0 (**)由(*)恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧st ＋4＝0，s ＋t ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝2，t ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－2，t ＝2(**)不恒成立． ②当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝±22时，定点(－2，0)、F 2(2，0)到直线l 的距离之积(22－2)(22＋2)＝4．综上，存在两个定点(2，0)、(－2，0)，使得这两个定点到直线l 的距离之积为定值4．24．【解析】(1)直线AB 的方程为：bx －ay －ab ＝0.依题意2ca⎧=⎪⎪⎨=1ab⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆方程为23x＋y2＝1.(2)假设存在这样的k值，由222,330,y kxx y=+⎧⎨+-=⎩得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0.∴Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0.解得k＞1或k＜－1.①设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则12212212,13913kx xkx xk⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩②而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4.要使以CD为直径的圆过点E(－1,0)，当且仅当CE⊥DE时成立，则121211y yx x⋅++＝－1.即y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0.∴(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0.③将②式代入③整理解得k＝76.经验证k＝76使①成立．综上可知，存在k＝76，使得以CD为直径的圆过点E.。