2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之十六空间直线、平面的位置关系及简单几何体(大纲文科专用)

2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之专题(一)A[专题一 函数的性质](时间：45分钟)一、填空题1．函数f(x)＝log a2＋2(2x ＋1)的单调增区间是________．2．已知函数y ＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值等于________． 3．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则满足f (log 18x )＞0的x 的取值范围是________．4．函数f (x )在定义域R 上不是常数函数，且f (x )满足条件：对任意x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )，f (1＋x )＝－f (x )，则f (x )是________(填序号)．①奇函数但非偶函数；②偶函数但非奇函数；③既是奇函数又是偶函数；④是非奇非偶函数．5．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________．6．设函数f (x )＝x (x －1)2，x >0，若0<a ≤1，记f (x )在(0，a ]上的最大值为F (a )，则函数G (a )＝F (a )a的最小值为________． 二、解答题7．已知函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)(a ∈R )．(1)当a ＝1时，求函数f (x )的最值；(2)求函数f (x )的单调区间．8．已知函数f (x )＝2x＋a ln x ，a ∈R . (1)若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝x ＋2，求a 的值；(2)求函数f (x )在区间(0，e]上的最小值．。

2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之专题(二十三)[专题二十三 直线与圆中定点、定值问题](时间：45分钟)一、填空题1．若直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点________．2．已知直线kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若点M 在圆C 上，且有OM →＝OA →＋OB →(O 为坐标原点)，则实数k ＝________.3．圆x 2＋y 2＋2x －6y －15＝0与直线(1＋3m)x ＋(3－2m)y ＋4m －17＝0的位置关系是________．4．设直线系M ：x cos θ＋(y －2)sin θ＝1(0≤θ≤2π)，若点P 到该直线系距离为定值，则点P 的坐标为________．5．直线x ＋2y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，O 为原点，则OA →·OB →＝________.6．对于任意θ∈R ，直线x cos θ＋y sin θ＝2一定与以原点为圆心的圆相切，则该圆方程为________．7．过圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，△AOB 被圆分成四部分(如图23－1)，若这四部分图形面积满足S I ＋S IV ＝S II ＋S III ，则直线AB 有________条．2012二轮精品提分必练8．在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点，下列命题中正确的是________．(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点；③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充分必要条件是k 与b 都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线．二、解答题9．已知圆C 方程为x 2＋y 2－8mx －(6m ＋2)y ＋6m ＋1＝0(m ∈R ，m ≠0)．(1)证明圆C 恒过一定点M ，并求此定点M 的坐标；(2)判断直线4x ＋3y －3＝0与圆C 的位置关系，并证明你的结论．。

空间中的垂直关系 【考点导读】 1．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关问题。

2．线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于利用转化思想。

【基础练习】 1．“直线垂直于平面内的无数条直线”是“”的 必要 条件。

2．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是 平行或相交 。

3．已知是两个平面，直线若以①，②，③中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确命题的个数是 2 个。

4．在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。

5．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是 平行、相交或在另一个平面内 。

6．在正方体中，写出过顶点A的一个平面__AB1D1_____，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。

【范例导析】 例1．如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD, PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F. （1）证明PA//平面EDB； （2）证明PB⊥平面EFD； 解析： 证明：（1）连结AC,AC交BD于O,连结EO. ∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点 在中,EO是中位线,∴PA // EO 而平面EDB且平面EDB, 所以,PA // 平面EDB （2）∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD,∴ ∵PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线, ∴. ① 同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC. ∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC. 而平面PDC,∴. ② 由①和②推得平面PBC. 而平面PBC,∴ 又且,所以PB⊥平面EFD. 例2．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点， 求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ； （3）平面DEA ⊥平面ECA。

2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之专题(十四)A[第14讲 直线与圆、简单的线性规划](时间：10分钟＋25分钟)2012二轮精品提分必练1．直线3x ＋3y ＋2＝0的倾斜角是( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为( )A ．y ＝－13＋13B ．y ＝－13x ＋1 C ．y ＝3x －3 D ．y ＝13x ＋1 3．函数f (x )＝(x －2010)(x ＋2011)的图象与x 轴、y 轴有三个交点，有一个圆恰好通过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，20102009 C.⎝⎛⎭⎫0，20112010 D.⎝⎛⎭⎫0，12 4．已知圆C 1∶(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝12012二轮精品提分必练1．直线l 1，l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7，则l 2的斜率是( )A.7 B ．－77C.77D ．－7 2．已知等边△ABC 的两个顶点A (0,0)，B (4,0)，且第三个顶点在第四象限，则BC 边所在的直线方程是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－3(x －4)C ．y ＝3(x －4)D ．y ＝3(x ＋4)3. 已知M 1(6,2)和M 2(1,7)，直线y ＝mx －7与线段M 1M 2的交点分有向线段M 1M 2→的比为3∶2，则m 的值为( )A ．－32B ．－23 C.14D ．4 4．已知⊙O 的半径为1，PA ，PB 为其两条切线，A ，B 为两切点，则PA →·PB →的最小值为( )A ．－2B ．2C ．3－2 2D ．22－35．若直线y ＝－x ＋a 与曲线y ＝||1－x 2有三个交点，则a 的取值范围是( )。

2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之专题(十六)[第16讲 直线与圆锥曲线](时间：10分钟＋35分钟)2012二轮精品提分必练1．中心在原点，焦点坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2＝0截得的弦的中点的横坐标为12，则椭圆方程为( ) A .2x 225＋2y 275＝1 B .2x 275＋2y 225＝1 C .x 225＋y 275＝1 D .x 275＋y 225＝1 2．对任意实数a ，直线y ＝ax －3a ＋2所经过的定点是( )A ．(2,3)B ．(3,2)C ．(－2,3)D ．(3，－2)3．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋b(k ≠0)交于A 、B 两点，且此两点的横坐标分别为x 1，x 2，直线与x 轴交点的横坐标是x 3，则恒有( )A ．x 3＝x 1＋x 2B ．x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3C ．x 1＋x 2＋x 3＝0D ．x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝04．双曲线16y 2－m 2x 2＝1(m ＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离是15，则m 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．42012二轮精品提分必练 1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m ＞1 B ．m ＞1且m ≠3C ．m ＞3D ．m ＞0且m ≠32．如图16－1，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若||BC ＝2||BF ，且||AF ＝3，2012二轮精品提分必练则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝32x B ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x 3．已知直线y ＝12x 与双曲线x 29－y 241交于A 、B 两点，P 为双曲线上不同于A 、B 的点，当直线PA ，PB 的斜率k PA ，k PB 存在时，k PA ·k PB ＝( )A.49B.12C.23D ．与P 点位置有关。

空间中的平行关系【考点导读】1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。

2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。

3．要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。

【基础练习】1．若b a 、为异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是 异面或相交 。

2．给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线.其中假．命题的个数是 4 个。

3．对于任意的直线l 与平面a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l 垂直 。

4. m 和n 是分别在两个互相垂直的面α、β内的两条直线，α与β交于l ，m 和n 与l 既不垂直，也不平行，那么m 和n 的位置关系是 既不可能垂直，也不可能平行 。

5. 已知a 、b 、c 是三条不重合的直线，α、β、r 是三个不重合的平面，下面六个命题： ①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ；②a ∥r ，b ∥r ⇒a ∥b ；③α∥c ，β∥c ⇒α∥β； ④α∥r ，β∥r ⇒α∥β；⑤a ∥c ，α∥c ⇒a ∥α；⑥a ∥r ，α∥r ⇒a ∥α． 其中正确的命题是 ①④ 。

【范例导析】例1. 空间四边形ABCD 中，P 、Q 、R 分别AB 、AD 、CD 的中点，平面PQR 交BC 于S , 求证：四边形P QRS 为平行四边形。

证明：∵PQ 为AB 、AD 中点 ∴PQ//BD又PQ ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ∴ PQ//平面BCD 又平面PQR ∩平面BCD ＝RS , PQ ⊂平面RQR ∴ PQ//RS ∵R 为DC 中点,∴ S 为BC 中点,∴PQ// RS 且PQ= RS ∴ PQRS 为平行四边形点评：灵活运用线面平行的判定定理和性质定理,“线线平行”与“线面平行”的转化是证平行关系的常用方法。

2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之专题(十一)A
[专题十一 平面向量的坐标运算及数量积]
(时间：45分钟)
一、填空题
1．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |2＝1，则a 与b 夹角为________．
2．已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为________．
3．已知两个非零向量a 与b ，定义a b ＝|a ||b |sin θ，其中θ为a 与b 的夹角，若a ＋b ＝(－3,6)，a －b ＝(－3,2)，则a b ＝________.
4．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的
动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________．
5．如图11－1所示，正六边形ABCDEF 中，P 点在△CDE 内部(包括边界)，AP →＝αAB →＋
βAF →，则α＋β的取值范围是________．
2012二轮精品提分必练
6．如图11－2，在正方形ABCD 中，已知AB ＝2，M 为BC 中点．若N 为正方形内(含
边界)任意一点，则AM →·AN →的最大值是________．
二、解答题
7．(1)已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，求|c |的最大值；
(2)已知向量OA →＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，OB →＝(－sin β，cos β)，其中O 为坐标原点，若|B A
→|≥2|OB →|对任意实数α、β都成立，求实数λ的取值范围．。

题组一共线、共面问题高考数学提分秘籍必练篇空间、直线、平面之间的位置关系1.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1到于点M，则下列结论正确的是( )A．A、M、O三点共线B．A、M、O、A1不共面C．A、M、C、O不共面D．B、B1、O、M共面解析：连结A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A、M、O三点共线．答案：A2．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有________．解析：①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面内．②中可能有直线和平面平行．③中直线最多可确定3个平面．④同①.答案：①④3．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB、BC、AD、DC分别与平面α相交于点E、G、H、F.求证：E、F、G、H四点共线(在同一条直线上)．证明：∵AB∥CD，∴AB、CD确定一个平面β.又∵AB∩α＝E，AB⊂β，∴E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F、G、H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E、F、G、H四点必定共线．题组二异面直线4.在四棱台ABCD－A1B1C1D1DD1与BB1所在直线是( ) A．相交直线 B．平行直线C. 不垂直的异面直线 D．互相垂直的异面直线解析：四棱台可看作是由四棱锥截得的，因此DD1与BB1所在直线是相交的．答案：A5．正方体AC1中，E、F分别是线段BC、C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )A．相交 B．异面C．平行 D．垂直解析：如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．答案：A6．(文)如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是( )A．EF与BB1垂直 B．EF与BD垂直C．EF与CD异面 D．EF与A1C1异面解析：设AB的中点为E1，BC的中点为F1，则EF∥E1F1，而E1F1⊥BD，E1F1⊥BB1∴EF⊥BB1，EF⊥BD，∴A、B项正确．又由EF∥E1F1知EF∥平面ABCD∴EF与CD异面，C项正确．∴易知EF∥A1C1，D项错误．答案：D(理)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1 与BD所成的角为________．解析：取A1C1的中点D1，连结B1D1，由于D是AC的中点，∴B1D1∥BD，∴∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角．连结AD1，设AB＝a，则AA1＝2a，∴AB1＝3a，B1D1＝32a，AD1＝14a2＋2a2＝32a.∴cos∠AB1D1＝3a2＋34a2－94a22×3a×32a＝12，∴∠AB1D1＝60°.答案：60°7．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点．求异面直线A1E与GF所成角的大小．解：连结B1G，EG，由于E、G分别是DD1和CC1的中点，∴EG綊C1D1，而C1D1綊A1B1，∴EG綊A1B1，∴四边形EGB1A1是平行四边形．∴A1E∥B1G，从而∠B1GF为异面直线所成角，连结B1F，则FG＝3，B1G＝2，B1F＝5，由FG2＋B1G2＝B1F2，∴∠B1GF＝90°，即异面直线A 1E 与GF 所成的角为90°. 题组三 综合问题8.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为( )解析：到定点B 的距离等于到直线A 1B 1的距离，所以动点P 的轨迹是以B 为焦点，以A 1B 1为准线的过A 的抛物线的一部分．答案：C9．如图所示，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，E 是PC 的中点．(1)(文)求证AE 与PB 是异面直线．(理)求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值；(2)求三棱锥A －EBC 的体积．解：(1)(文)证明：假设AE 与PB 共面，设平面为α， ∵A ∈α，B ∈α，E ∈α，∴平面α即为平面ABE ，∴P ∈平面ABE ，这与P ∉平面ABE 矛盾，所以AE 与PB 是异面直线．(理)取BC 的中点F ，连结EF 、AF ，则EF ∥PB ，所以∠AEF 或其补角就是异面直线AE 和PB 所成角． ∵∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，PA ⊥平面ABC ， ∴AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2；cos∠AEF ＝2＋2－32×2×2＝14， 所以异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14. (2)因为E 是PC 中点，所以E 到平面ABC 的距离为12PA ＝1， V A －EBC ＝V E －ABC ＝13×(12×2×2×32)×1＝33.。

专题限时集训(七)空间点、线、面的位置关系1．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是()A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥βA[对于A选项，显然正确．对于B选项，直线l可能在平面β内或直线l 平行于平面β，故B选项是假命题．对于C选项，两个平面可能相交，故C选项是假命题．对于D选项，直线l可能在平面β内，也可能平行于β，故D选项是假命题．]2.将正方体的纸盒展开如图，直线AB，CD在原正方体的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交成60°角D．异面且成60°角D[如图，直线AB，CD异面．因为CE∥AB，所以∠ECD即为异面直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠ECD＝60°.]3．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABCD[因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD．又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB．又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD⊂平面ADC，CD⊂平面ADC，故AB⊥平面ADC．又AB⊂平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC．]4．已知E，F分别是三棱锥P-ABC的棱AP，BC的中点，AB＝6，PC＝6，EF＝33，则异面直线AB与PC所成的角为()A．120°B．45°C．30°D．60°D[设AC的中点为G，连接GF，EG(图略)，因为E，F分别是三棱锥P-ABC 的棱AP，BC的中点，PC＝6，AB＝6，所以EG∥PC，GF∥AB，EG＝3，GF＝3，在△EFG中，EF＝33，所以cos∠EGF＝9＋9－272×3×3＝－12，所以∠EGF＝120°，所以异面直线AB与PC所成的角为60°.]5.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB．则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.正确的为________(把所有正确的序号都填上)．①④[由P A⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得P A⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，P A∩AB＝A，得AE⊥平面P AB，∵PB⊂平面P AB，∴PB⊥AE，∴①正确；由正六边形的性质计算可得P A＝AD，故△P AD是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45°，∴④正确．]6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为BC，AD的中点，将四边形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE⊥平面ABEF，则BD＝________，异面直线BD与CF所成角的余弦值为________．63010[如图，连接DE交FC于O，取BE的中点G ，连接OG，CG，则OG∥BD且OG＝12BD，所以∠COG为异面直线BD与CF所成的角或其补角．因为正方形ABCD的边长为2，则CE＝BE＝1，CF＝DE＝CD2＋CE2＝5，所以CO＝12CF＝52.易得BE⊥平面CDFE，所以BE⊥DE，所以BD＝DE2＋BE2＝6，所以OG＝12BD＝62.易知CE⊥平面ABEF，所以CE⊥BE，又GE＝12BE＝12，所以CG＝CE2＋GE2＝52.在△COG中，由余弦定理得，cos∠COG＝OC2＋OG2－CG22OC·OG＝⎝⎛⎭⎪⎫522＋⎝⎛⎭⎪⎫622－⎝⎛⎭⎪⎫5222×52×62＝3010，所以异面直线BD与CF所成角的余弦值为3010.]7.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，O1是A1C1的中点，E是BC的中点．证明：(1)平面O1AB⊥平面B1EC1；(2)C1E∥平面O1AB．[证明](1)∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，∴BB1⊥AB，AB⊥BC，又BB1∩BC＝B，且BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，即AB⊥平面B1EC1.因为AB ⊂平面O 1AB ， 所以平面O 1AB ⊥平面B 1EC 1.(2)取AB 中点F ，连接O 1F ，AC ，EF ，则EF ∥AC ，EF ＝12AC ，O 1C 1∥12AC ，O 1C 1＝12AC ， 所以EF ∥O 1C 1，且EF ＝O 1C 1.∴四边形EFO 1C 1是平行四边形，∴O 1F ∥C 1E ， ∵O 1F ⊂平面O 1AB ，且C 1E ⊄平面O 1AB ， ∴C 1E ∥平面O 1AB ．8.在四棱锥P -ABCD 中，平面P AC ⊥平面ABCD ，且有AB ∥DC ，AC ＝CD ＝DA ＝12AB ．(1)证明：BC ⊥P A ；(2)若P A ＝PC ＝22AC ＝2，Q 在线段PB 上，满足PQ ＝2QB ，求三棱锥P -ACQ 的体积．[解] (1)证明：不妨设AB ＝2a ，则AC ＝CD ＝DA ＝a ， 由△ACD 是等边三角形，可得∠ACD ＝π3， ∵AB ∥DC ，∴∠CAB ＝π3. 由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos π3＝3a 2， 即BC ＝3a ，∴BC 2＋AC 2＝AB 2.∴∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ． 又平面P AC ⊥平面ABCD ， 平面P AC ∩平面ABCD ＝AC ， BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面P AC ， ∵P A ⊂平面P AC ，∴BC ⊥P A ．(2)依题意得，P A ⊥PC ，BC ＝2 3. V P -ACQ ＝V Q -P AC ＝23V B -P AC ＝23×13S △P AC ×BC ＝23×13×12×2×2×23＝439. 9.如图，已知三棱锥P -ABC 的平面展开图中，四边形ABCD 为边长等于2的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥P -ABC 中．(1)证明：平面P AC ⊥平面ABC ； (2)求三棱锥P -ABC 的表面积和体积． [解] (1)设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .由题意，得P A ＝PB ＝PC ＝2，PO ＝1，AO ＝BO ＝CO ＝1.因为在△P AC 中，P A ＝PC ，O 为AC 的中点，所以PO ⊥AC ．因为在△POB 中，PO ＝1，OB ＝1，PB ＝2， PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB ．因为AC ∩OB ＝O ，AC ，OB ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ， 因为PO ⊂平面P AC ，所以平面P AC ⊥平面ABC ．(2)三棱锥P -ABC 的表面积S ＝2×12×2×2＋2×34×()22 ＝2＋3， 由(1)知，PO ⊥平面ABC ，所以三棱锥P -ABC 的体积为V ＝13S △ABC ×PO ＝13×12×2×2×1＝13.10.已知四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是直角梯形，AD ⊥DC ，AB ＝1，AD ＝DC ＝2，AA 1＝2，且AA 1⊥平面ABCD ，F 为A 1B 1的中点．(1)在图中画出一个过BC 1且与AF 平行的平面(要求写出作法)； (2)求四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的表面积．[解] (1)在平面CDD 1C 1中，过D 作DP ∥AF ，交C 1D 1于P ，在平面CDD 1C 1中，过C 1作C 1E ∥DP ，交CD 于E ，连接BE ，此时AF ∥C 1E ，∴过BC 1且与AF 平行的平面为平面BEC 1.(2)∵四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是直角梯形，AD⊥DC，AB＝1，AD＝DC＝2，AA1＝2，且AA1⊥平面ABCD，∴四棱柱ABCD-A1B1C1D1的表面积为：S＝2S梯形ABCD＋S矩形ABB1A1＋S矩形ADD1A1＋S矩形DCC1D1＋S矩形BCC1B1＝2×1＋22×2＋1×2＋2×2＋2×2＋22＋12×2＝16＋2 5.。

点、直线、平面之间的位置关系立体几何中点.直线.平面之间的位置关系是高考命题的重点和热点，其中线面垂直的判定和性质几乎年年出现，面面垂直的性质和判定定理也是高考的一个热点，同时各平行的判定和性质也仍会被关注，考题以选择.填空.解答题的形式出现，属中档或中高档题，难度一般控制在0.50~0.75之间.考试要求 （1）理解空间点.直线.平面位置关系的定义；（2）理解线线平行，线面平行，面面平行的判定及性质定理，能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题；（3）理解线线垂直，线面垂直，面面垂直的判定及性质定理，能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题.题型一 线面关系判断例1 已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是＿＿＿＿＿＿.点拨：考虑全面,准确地将题中符号.文字.图形三种语言进行转化和变换，借助模型.根据线面位置关系的有关定理逐个进行分析判断．学科网解析：正确命题的序号是①.③.因为对于①，由于两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直，因此①正确；对于②，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但不能确定它们平行，因此②是错误的；对于③，因为直线n 可能位于平面α内，因此③是错误的；对于④，因为两条平行线中一条垂直一个平面,则另一条也垂直于跟它平行的平面,④是正确的.易错点：对于③考虑不全面：认为两直线平行，其中一条直线平行一 个平面，那么另一条直线也平行这个平面，因此③是正确的.变式与引申1.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是学科网A ．若,,//m n m n αβ⊥⊥，则//αβB ．若//,//,//,m n αβαβ则//m nC ．若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥D ．若//,//,//,m n m n αβ则//αβ题型二 空间的平行关系例2 已知：如图5-2-1，正四棱锥ABCD P -中，M 、N 分别为PA 、BD 上的点，且有MP AM NB DN ::=.求证：直线MN //平面PBC点拨：证明线面平行的一般思路和方法是使用判定定理，在平面内“找”一条与已知直线平行的直线， 为了作平行直线，还需要转化为先作平面，即过所证直线作一平面，使这一平面与所证平面相交，并且交线与所证直线平行.可采用构造三角形，利用三角形中位线定理及其推广作平行线,也中通过构造平行四边形，利用平行四边形的对边平行来作平行线，还可以使用面面平行的性质定理来证.证明:方法1连AN 并延长交BC 于Q .连接PQ ,P B C D M N P 图5-2-1如图5-2-2,由正四棱锥的性质，有AD //BC .由此可证明AND ∆～QNB ∆.则NB DN NQ AN ::=.由已知：MP AM NQ AN MP AM NB DN ::,::=∴= PQ MN //∴.又⊂PQ 平面⊄MN PBC ,平面PBC ，//MN ∴平面PBC .方法2作AB ME //交PB 于E ，作DC NF //交BC 于F ，连EF ，如图5-2-3 //,::.ME AB ME AB PM PA ∴= ① BD NB DC NF DC NF ::,//=∴ ② 由已知,::NB DN MP AM =可得BD NB PA PM ::=再由①②可得DC NF AB ME ::=.由正四棱锥的性质，有DC AB =.所以，NF ME =.由AB ME //，NF 得ME DC AB DC NF //,//,//.则四边形MNFE 为平行四边形，所以.//EF MN 又EF ⊂平面,PBC ⊄MN 平面PBC .所以//MN 平面PBC.易错点：利用已知条件MP AM NB DN ::=出错，不能准确得出所需结论.变式与引申2.如图图5-2-5：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60,ABC PA ∠=︒⊥平面ABCD ，C AB C DMNP 图5-2-3F E点,M N 分别为,BC PA 的中点，且2==AB PA .(1) 证明：BC ⊥平面AMN ；(2)求三棱锥AMC N -的体积；(3)在线段PD 上是否存在一点E ，使得//NM 平面ACE ；若存在，求出PE 的长；若不存在，说明理由.题型三 空间的垂直关系例3 如图5-2-6，弧AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为弧AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED,FB=a 5（1）证明：EB ⊥FD（2）求点B 到平面FED 的距离.点拨 设法证明⊥BE 平面FBD 即可（1）证明 ： ∵点E 为AC 的中点，且,AB BC AC =为直径 ∴EB AC ⊥FC BED ⊥平面，且B E ∈平面∴FC BE ⊥ ∵FC∩AC=C ∴BE⊥平面FBD ∵FD∈平面FBD∴EB⊥FD（2）解：∵FC BED ⊥平面，且B D B E ⊂平面 ∴FC BD ⊥又∵BC DC =，∴FD FB == ∴3221112253323F EBD FED a V S EB a a a a -==-= ,EB BDF FB BDF ⊥⊂平面且平面 a a a EB FB EF 652222=+=+=∴a a a BD EB ED BD EB 542222=+=+=∴⊥222221)26()5(621a a a S FED =-⋅⋅=∴∆ 则点B 到平面FED 的距离a S V d FED EBD F 2121431==∆- 易错点 利用等体积法求距离时，容易出错.变式与引申3.如图5-2-7，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°，2AB ＝BC ＝BB 1＝a ，且A 1C ∩AC 1＝D ，BC 1∩B 1C ＝E ，截面ABC 1与截面A 1B 1C 交于DE ，(1)求证：A 1B 1⊥平面BB 1C 1C(2)求证：A 1C ⊥BC 1(3)求证：DE ⊥平面BB 1C 1C题型四 综合运用例4如图5-2-8是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的左视图.俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.(1)求出该几何体的体积.(2)若N 是BC 的中点，求证：//AN 平面CME ；(3)求证：平面BDE ⊥平面BCD .点拨(1)先对应求出各边，(2)找线线平行，(3)找线面垂直解：(1)由题意可知：四棱锥ACDE B -中，平面ABC ⊥平面ACDE ，AC AB ⊥所以，⊥AB 平面ACDE ，又4,2====CD AE AB AC ，则四棱锥ACDE B -的体积为：4222)24(3131=⨯⨯+⨯=⋅=AB S V ACDE (2)连接MN ，则,//,//CD AE CD MN 又CD AE MN 21==，所以四边形ANME 为平行四边形，EM AN //∴ ⊄AN 平面CME ,⊂EM 平面CME ,所以，//AN 平面CME ；图5-2-7(3)AB AC = ,N 是BC 的中点,BC AN ⊥，又平面⊥ABC 平面BCD ⊥∴AN 平面BCD由(2)知：EM AN //⊥∴EM 平面BCD 又⊂EM 平面BDE 所以，平面BDE ⊥平面BCD .易错点 容易求错相应边的值，很难找出线面垂直.变式与引申4 .一个多面体的直观图和三视图如图5-2-9所示，其中M.N 分别是A B.AC 的中点，G 是DF 上的一动点.（1）求证：;AC GN ⊥（2）当FG=GD 时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP//平面FMC,并给出证明.本节主要考查 （1）线线，线面，面面平行的判定与性质定理；线线，线面，面面垂直的判定与性质定理以及这些知识的综合应用（2）技能技巧；（3）数形结合，转化化归的应用以及观察能力，归纳能力，空间想象能力，运算求解能力等基本数学能力.点 评（1）平行关系是立体几何中的重点，也是高考中常考热点，在解决线面，面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意转化的方向总是受题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”.（2）证明线面平行可以使用线面平行的判定定理，也可以使用面面平行的性质定理.在证明过程中，画辅助线构造几何图形往往是必不可少的步骤，构造时应紧密结合已知条件和平面几何的有关知识，主要是两条直线平行的判定定理，可以从以下两种情况进行考虑.①用线面平行的判定定理来证：构造一个三角形.或一个平行四边形，使其一边在所证的平面内，利用相关的定理.性质证明两直线平行.②用面面平行的性质定理来证：构造一个平面图形，往往是三角形，使三角形的一边为所证的直线，证明这个三角形另两边与所证的平面平行.（3）垂直关系是立体几何中的必考点，无论是线面垂直还是面面垂直，都源于线线的垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件下手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所以证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”.（4）解决空间直线与平面平行与垂直的相关问题，特别要注意下面的转化关系：线线平行（垂直） −−−→←−−−判定性质 线面平行（垂直）−−−→←−−−判定性质面面平行（垂直） （5）对于平行与垂直关系，应根据本节的各种概念，定理多的特点进行复习，重在理清各种定理的特征和关系，总结规律，重视通性通法，培养计算能力和应用能力.习题5－21． 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号是 ．（写出所有真命题的序号） 2．（2011年高考江苏卷）如图5-2-10，在四棱锥ABCDP -中，平面PAD⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E.F 分别是AP.AD 的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD ；（2）平面BEF⊥平面PAD3．如图5-2-11，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP =AB ，BP =BC =2，E ，F 分别是PB ,PC的中点.(1)证明：EF ∥平面PAD ；(2)求三棱锥E —ABC 的体积V.4．如图5-2-12，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，4,2,901===︒=∠AA BC AC ACB .E.F 分别是棱CC 1.AB 中点.（1）求证：1BB CF ⊥；（2）求四棱锥A —ECBB 1的体积；（3）判断直线CF 和平面AEB 1的位置关系，并加以证明.5．如图5-2-13已知直角梯形ABCD 中,//AB CD ,,1,2,1AB BC AB BC CD ⊥===过A 作AE CD ⊥,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将ADE ∆沿AE 折叠,使得DE EC ⊥.（1）求证：BC CDE ⊥面；（2）求证：//FG BCD 面；（3）在线段AE 上找一点R ,使得面BDR ⊥面DCB ,并说明理由.【答案】变式与引申1. C提示：对于//αβ，结合,//,m n αβ⊥则可推得m n ⊥．答案C ．2. (1) 证明：如图5-2-1，因为ABCD 为菱形，所以AB=BC ，又60ABC ∠=，所以AB=BC=AC ，又M 为BC 中点，所以BC AM ⊥ 而PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD,所以PA BC ⊥又PA AM A =，所以BC ⊥平面AMN（2）解：因为11122AMC S AM CM ∆=⋅== 又PA ⊥底面,ABCD 2,PA = 所以1AN =所以，三棱锥N AMC -的体积31=V AMC S AN ∆⋅113==(3) 解：存在，取PD 中点E ，连结NE ，EC,AE,因为N ，E 分别为PA ，PD 中点，所以AD NE 21//又在菱形ABCD 中，1//2CM AD 所以MC NE //，即MCEN 是平行四边形 所以， EC NM //，又⊂EC 平面ACE ，⊄NM 平面ACE 所以MN //平面ACE ，即在PD 上存在一点E ，使得//NM 平面ACE ，此时12PE PD ==. 3. 证明：(1)∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴侧面与底面垂直，即平面A 1B 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，又∵AB ⊥BC ，∴A 1B 1⊥B 1C 1，从而A 1B 1⊥平面BB 1C 1C .(2)由题设可知四边形BB 1C 1C 为正方形，∴BC 1⊥B 1C ，又由(1)可知A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ，而BC 1平面BB 1C 1C ，∴A 1B 1⊥BC 1，又∵A 1B 1∩B 1C ＝B 1，且A 1B 1平面A 1B 1C ，B 1C 平面A 1B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C ，而A 1C 平面A 1B 1C ，∴BC 1⊥A 1C .(3)∵直三棱柱的侧面均为矩形，而D 、E 分别为所在侧面对角线的交点，∴D 为A 1C 的中点，E 为B 1C 的中点，∴DE ∥A 1B 1，而由(1)知，A 1B 1⊥平面BB 1C 1C .∴DE ⊥平面BB 1C 1C .4 .证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF 中AD⊥DF,DF=AD=DC(1)连接DB ，可知B 、N 、D 共线，且AC⊥DN 又FD⊥AD FD⊥CD，∴FD⊥面ABCD∴FD⊥AC ∴AC⊥面FDN FDN GN 面⊂ ∴GN⊥AC（2）点P 在A 点处下证：取DC 中点S ，连接AS 、GS 、GA G 是DF 的中点，∴GS//FC,AS//CM∴面GSA//面FMC GSA GA 面⊂ ∴GA//面FMC 即GP//面FMC习题5-21. （1）（2）提示：（3）条件不充分，推导不出结论（4）少了两“相交”二字2．证明：（1）在△PAD 中，因为E.F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF//PD.又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF//平面PCD.（2）连结DB ，因为AB=AD ，∠BAD=60°，所以△ABD 为正三角形，因为F 是AD 的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD ， 所以BF⊥平面PAD.又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF⊥平面PAD. 3.解：(1)如图5-2-2，在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC . 又BC ∥AD ,∴EF ∥AD ,又∵AD ⊄平面PAD ,E F ⊄平面PAD ,∴EF ∥平面PAD .(2)连接AE ,AC,EC ,过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ,则BG ⊥平面ABCD ,且EG =12PA . 在△PAB 中，AD =AB ,∠PAB °,BP =2,∴AP =ABEG. ∴S △ABC =12AB ·BC =12∴V E-AB C =13S △ABC ·EG =1313. 4.证明：（1）如图5-2-3, 三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直棱柱，⊥∴1BB 平面ABC ，又⊂CF 平面ABC ， 1BB CF ⊥∴（2）解： 三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直棱柱，⊥∴1BB 平面ABC ，又⊂AC 平面ABC 1BB AC ⊥∴ ︒=∠90ACB BC AC ⊥∴.1B BC BB =⋂⊥∴AC 平面ECBB 1 AC S V SCBB ECBB A ⋅=∴-1131 E 是棱CC 1的中点，2211==∴AA EC 62)42(21)(2111+⨯+⨯=⋅+=∴BC BB EC S ECBB .426313111=⨯⨯=⋅=∴-AC S V ECBB ECBB A （3）解：CF//平面AEB 1，证明如下：取AB 1的中点G ，联结EG ，FG G F , 分别是棱AB 、AB 1中点.21,//11BB FG BB FG =∴图5-2-2 图5-2-3又.21,//11BB EC BB EC = EC FG EC FG =∴,//∴四边形FGEC 是平行四边形 .//EG CF ∴ 又⊄CF 平面AEB ，⊂EG 平面AEB 1，//CF ∴平面AEB 1 5.解：如图5-2-4（1）证明：由已知得：,DE AE DE EC ⊥⊥, DE ABCE ∴⊥面 DE BC ∴⊥, BC CE ⊥又,BC DCE ∴⊥面（2）证明：取AB 中点H ，连接GH ,FH ,//GH BD ∴， //FH BC , //GH BCD ∴面， //FH BCD 面 //FHG BCD ∴面面, //GF BCD ∴面（3）分析可知，R 点满足3AR RE =时，BDR BDC ⊥面面 证明：取BD 中点Q ，连结DR 、BR 、CR 、CQ 、RQ容易计算2,222CD BD CR DR CQ ===== 在BDR中52BR DRBD ===可知RQ =,∴在CRQ 中,222CQ RQ CR += ,∴CQ RQ ⊥又在CBD 中,,CD CB Q BD CQ BD =∴⊥为中点, CQ BDR ∴⊥面, BDC BDR ∴⊥面面A B C D E G F 图5-2-4。

【高频考点解读】1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．【热点题型】题型一平面基本性质的应用例1如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．【提分秘籍】公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．【举一反三】如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 可得GH 綊12AD.又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC.∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 ∵BE 綊12AF ，G 是FA 的中点，∴BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面． 题型二 判断空间两直线的位置关系例2、(1)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是( )A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行(2)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)答案(1)D(2)②④【提分秘籍】空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．【举一反三】如图，已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线．证明方法一(反证法)假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立，∴AD 和BC 是异面直线．方法二 (直接证法)∵a ∩c ＝P ，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C ∉平面α，B ∈平面α，BC ⊄平面α，AD ⊂平面α，B ∉AD ， ∴AD 和BC 是异面直线．题型三 求两条异面直线所成的角例3、空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小．解 取AC 的中点G ，连接EG 、FG ， 则EG 綊12AB ，FG 綊12CD ，由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF(或它的补角)为EF 与AB 所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB 与CD 所成的角．∵AB 与CD 所成的角为30°，∴∠EGF ＝30°或150°.由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝75°； 当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝15°. 故EF 与AB 所成的角为15°或75°. 【提分秘籍】(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．【举一反三】(1)已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A.16B.36C.13D.33(2)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案(1)B (2)C因为OE ＝OF ，所以CO ⊥EF. 又EO ＝12EF ＝14BD ＝12，所以cos ∠FEC ＝EO CE ＝123＝36.(2)如图，可补成一个正方体， ∴AC 1∥BD 1.∴BA 1与AC 1所成角的大小为∠A 1BD 1. 又易知△A 1BD 1为正三角形， ∴∠A 1BD 1＝60°.即BA1与AC 1成60°的角．【高考风向标】1.【2015高考广东，文18】（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．（1）证明：C//B 平面D P A ； （2）证明：C D B ⊥P ；（3）求点C 到平面D P A 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3． 【解析】（1）因为四边形CD AB 是长方形，所以C//D B A ，因为C B ⊄平面D P A ，D A ⊂平面D P A ，所以C//B 平面D P A（2）因为四边形CD AB 是长方形，所以C CD B ⊥，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DCP 平面CD CD AB =，C B ⊂平面CD AB ，所以C B ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以C D B ⊥P2.【2015高考山东，文18】 如图，三棱台DEF ABC -中，2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点.（I ）求证：//BD 平面FGH ；（II ）若CF BC AB BC ⊥⊥，，求证：平面BCD ⊥平面EGH .【答案】证明见解析 【解析】（I ）证法一：连接,.DG CD 设CD GF M ⋂=,连接MH ，在三棱台DEF ABC -中，2AB DE G =，分别为AC 的中点，可得//,DF GC DF GC =，所以四边形DFCG 是平行四边形，则M 为CD 的中点，又H 是BC 的中点，所以//HM BD ,又HM ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ，所以//BD 平面FGH .证法二：在三棱台DEF ABC -中，由2,BC EF H =为BC 的中点， 可得//,,BH EF BH EF =所以HBEF 为平行四边形，可得//.BE HF 在ABC ∆中，G H ，分别为AC BC ，的中点， 所以//,GH AB 又GH HF H ⋂=， 所以平面//FGH 平面ABED ， 因为BD ⊂平面ABED ， 所以//BD 平面FGH .(II)证明：连接HE .因为G H ，分别为AC BC ，的中点，所以//,GH AB 由,AB BC ⊥得GH BC ⊥，又H 为BC 的中点，所以//,,EF HC EF HC =因此四边形EFCH 是平行四边形，所以//.CF HE又CF BC ⊥，所以HE BC ⊥.又,HE GH ⊂平面EGH ，HE GH H ⋂=，所以BC ⊥平面EGH ， 又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面.EGH1．（2014·辽宁卷）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 【答案】B【解析】由题可知，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 平行、相交或异面，所以A 错误；若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，故B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错误．若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊥α或n 与a 相交，故D 错误．2．（2014·福建卷）在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD.将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图1-5所示．(1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．图1-5【解析】解：(1)证明：∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD∩平面BCD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ，AB ⊥BD ，∴AB ⊥平面BCD.又CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD. (2)过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD.由(1)知AB ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥BE ，AB ⊥BD. 以B 为坐标原点，分别以BE →，BD →，BA →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)．依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M ⎝⎛⎭⎫0，12，12. 则BC →＝(1，1，0)，BM →＝⎝⎛⎭⎫0，12，12，AD →＝(0，1，－1)． 设平面MBC 的法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n·BC →＝0，n·BM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝0，12y 0＋12z 0＝0， 取z 0＝1，得平面MBC 的一个法向量n ＝(1，－1，1)． 设直线AD 与平面MBC 所成角为θ， 则sin θ＝||cos 〈n ，AD →〉＝|n·AD →||n|·|AD →|＝63. 即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63. 3．（2014·新课标全国卷Ⅱ）直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110B.25C.3010D.22 【答案】C4．（2014·四川卷）三棱锥A - BCD 及其侧视图、俯视图如图1-4所示．设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN ⊥NP.(1)证明：P 是线段BC 的中点；(2)求二面角A - NP - M的余弦值．图1-4【解析】解：(1)如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.由侧视图及俯视图知，△ABD，△BCD为正三角形，所以AO⊥BD，OC⊥BD.因为AO，OC⊂平面AOC，且AO∩OC＝O，所以BD⊥平面AOC.又因为AC⊂平面AOC，所以BD⊥AC.取BO的中点H，连接NH，PH.又M，N，H分别为线段AD，AB，BO的中点，所以MN∥BD，NH∥AO，因为AO⊥BD，所以NH⊥BD.因为MN⊥NP，所以NP⊥BD.因为NH，NP⊂平面NHP，且NH∩NP＝N，所以BD⊥平面NHP.又因为HP⊂平面NHP，所以BD⊥HP.又OC⊥BD，HP⊂平面BCD，OC⊂平面BCD，所以HP∥OC.因为H为BO的中点，所以P为BC的中点．(2)方法一：如图所示，作NQ⊥AC于Q，连接MQ.由(1)知，NP∥AC，所以NQ⊥NP.因为MN⊥NP，所以∠MNQ为二面角A - NP - M的一个平面角．由(1)知，△ABD ，△BCD 为边长为2的正三角形，所以AO ＝OC ＝ 3. 由俯视图可知，AO ⊥平面BCD.因为OC ⊂平面BCD ，所以AO ⊥OC ，因此在等腰直角△AOC 中，AC ＝ 6. 作BR ⊥AC 于R因为在△ABC 中，AB ＝BC ，所以R 为AC 的中点，所以BR ＝AB 2－⎝⎛⎭⎫AC 22＝102. 因为在平面ABC 内，NQ ⊥AC ，BR ⊥AC ， 所以NQ ∥BR.又因为N 为AB 的中点，所以Q 为AR 的中点， 所以NQ ＝BR 2＝104.同理，可得MQ ＝104. 故△MNQ 为等腰三角形， 所以在等腰△MNQ 中， cos ∠MNQ ＝MN 2NQ ＝BD 4NQ ＝105.故二面角A - NP - M 的余弦值是105. 方法二：由俯视图及(1)可知，AO ⊥平面BCD. 因为OC ，OB ⊂平面BCD ，所以AO ⊥OC ，AO ⊥OB. 又OC ⊥OB ，所以直线OA ，OB ，OC 两两垂直．如图所示，以O 为坐标原点，以OB ，OC ，OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz.则A(0，0，3)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，D(－1，0，0)． 因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点， 又由(1)知，P 为线段BC 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫－12，0，32，N ⎝⎛⎭⎫12，0，32，P ⎝⎛⎭⎫12，32，0，于是AB ＝(1，0，－3)，BC ＝(－1，3，0)，MN ＝(1，0，0)，NP ＝⎝⎛⎭⎫0，32，－32. 设平面ABC 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥AB ，n 1⊥BC ，得⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB ＝0，n 1·BC ＝0，即 ⎩⎨⎧（x 1，y 1，z 1）·（1，0，－3）＝0，（x 1，y 1，z 1）·（－1，3，0）＝0， 从而⎩⎨⎧x 1－3z 1＝0，－x 1＋3y 1＝0.取z 1＝1，则x 1＝3，y 1＝1，所以n 1＝(3，1，1)． 设平面MNP 的一个法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由，⎩⎪⎨⎪⎧n 2⊥MN ，n 2⊥NP ，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·MN ＝0，n 2·NP ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧（x 2，y 2，z 2）·（1，0，0）＝0，（x 2，y 2，z 2）·⎝⎛⎭⎫0，32，－32＝0， 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，32y 2－32z 2＝0.取z 2＝1，则y 2＝1，x 2＝0，所以n 2＝(0，1，1)．设二面角A - NP - M 的大小为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（3，1，1）·（0，1，1）5×2＝105. 故二面角A-NP-M 的余弦值是105. 【高考押题】1．在下列命题中，不是公理的是( )A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案 A解析选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．2．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α答案 B解析方法一若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错．3．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是()A．(0，2) B．(0，3) C．(1，2) D．(1，3)答案 A解析此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a的棱长一定大于0且小于 2.故选A.4．四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与PA 所成角的余弦值为( )A.255B.55C.45D.35答案 B解析 因为四边形ABCD 为正方形，故CD ∥AB ，则CD 与PA 所成的角即为AB 与PA 所成的角，即为∠PAB.在△PAB 内，PB ＝PA ＝5，AB ＝2，利用余弦定理可知cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22×PA×AB ＝5＋4－52×5×2＝55，故选B.5．设P 表示一个点，a 、b 表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①P ∈a ，P ∈α⇒a ⊂α； ②a∩b ＝P ，b ⊂β⇒a ⊂β；③a ∥b ，a ⊂α，P ∈b ，P ∈α⇒b ⊂α； ④α∩β＝b ，P ∈α，P ∈β⇒P ∈b. A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 答案 D6．如图所示，平面α，β，γ两两相交，a ，b ，c 为三条交线，且a ∥b ，则a 与c ，b 与c 的位置关系是________．答案 a ∥b ∥c解析 ∵a ∥b ，a ⊂α，b ⊄α，∴b ∥α. 又∵b ⊂β，α∩β＝c ，∴b ∥c. ∴a ∥b ∥c.7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．答案 4解析 EF 与正方体左、右两侧面均平行．所以与EF 相交的侧面有4个．8．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对．答案 24解析 正方体如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线为面对角线，以AC 为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A′B ，BC′，A′D ，C′D ，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有12×42＝24(对)．9．如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝2∶1，CG ∶GD ＝3∶1，过E 、F 、G 的平面交AD 于点H.(1)求AH∶HD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点．10．如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求四棱锥O －ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值的大小． 解 (1)由已知可求得，正方形ABCD 的面积S ＝4， 所以，四棱锥O －ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83.(2)连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE ， 则∠EMD 为异面直线OC 与MD 所成的角(或其补角)， 由已知，可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5， ∵(2)2＋(3)2＝(5)2， ∴△DEM 为直角三角形， ∴tan ∠EMD ＝DE EM ＝23＝63.。

EDB 1 平面的性质与直线的位置关系【考点导读】1．掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线的各种位置关系，能够根据图形想象它们之间的位置关系。

2．掌握两条直线之间的平行与垂直的有关问题，并能进行解决和证明相关问题。

3．理解反证法证明的思路，会用反证法进行相关问题的证明。

【基础练习】1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是 （3） 。

（1）∵αα∈∈B A ,，∴α∈AB ． （2）∵βα∈∈a a ,，∴a =βα ． （3）∵α⊂∈a a A ,，∴A α∈． （4）∵α⊂∉a a A ,，∴α∉A ． 2．下列推断中，错误的是 （4） 。

（1）ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,（2）βα∈∈C B A C B A ,,,,,，A,B,C 不共线βα,⇒重合 （3）AB B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,, （4）αα∉⇒∈⊄A l A l ,3．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×” （1）空间三点可以确定一个平面 （ ）（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ） （3）两条直线可以确定一个平面（ ）（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ） （5）两条相交直线可以确定一个平面（ ） （6）三条平行直线可以确定三个平面（ ） （7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ） （8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ） ⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×4．如右图，点E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，则过点E 与直线AB 和11B C 都相交的直线的条数是： 1 条5．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60º角； ④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 ③④ 。

专题限时集训(六)[第6讲 解三角形](时间：10分钟＋35分钟)2012二轮精品提分必练1．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，|AC →|＝2|AB →|＝2|AD →|＝4，则|BD →|＝( )A. 3 B ．2 C. 6 D ．32．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶4∶30，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定3．在△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝3，c ＝8，B ＝60°，则sin A 的值是( )A.316B.314C.3316D.33144．海上有A 、B 、C 三个小岛，测得A 、B 两岛相距10 n mile ，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B 、C 两岛间的距离是( )A ．5 6 n mileB ．5 2 n mileC ．5 3 n mileD ．5 n mile2012二轮精品提分必练1．△ABC 的外接圆半径R 和△ABC 的面积都等于1，则sin A sin B sin C ＝( )A.14B.32C.34D.122．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos2B ＝( )A ．－12 B.12C ．－1D ．1 2012二轮精品提分必练 A.12小时 B.13小时 C.53小时 D.73小时 4．若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是( ) A ．(1，2) B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(1,2)5．在△ABC 中，C 为钝角，AB BC ＝32，sin A ＝13，则角C ＝________，sin B ＝________. 6．如图6－2，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离为________．2012二轮精品提分必练图6－22012二轮精品提分必练。