2019届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第2讲同角三角函数基本关系及诱导公式课件文新人教版

2019年高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式增分练1．[xx·洛阳模拟]下列各数中与sinxx°的值最接近的是( ) A.12 B.32 C ．－12D ．－32答案 C解析 xx°＝5×360°＋180°＋39°， ∴sinxx°＝－sin39°和－sin30°接近．选C.2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3 答案 D解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.3．[xx·华师附中月考]已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.45 B ．－45C.35 D ．－35答案 B解析 tan(α－π)＝34⇒tan α＝34.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45. 4．已知f (α)＝π－απ－α－π－αα，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－31π3的值为( ) A.12 B ．－13C ．－12D.13答案 C解析 ∵f (α)＝sin α·cos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝－cos π3＝－12. 5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为( )A.13 B ．－13C ．－223D.223答案 B解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋π12＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13.选B. 6．已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1的值为( ) A ．0 B.95 C.43 D.53答案 B解析 sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.故选B. 7．[xx·福建泉州模拟]已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2答案 A解析 因为1－sin 2α＝cos 2α，cos α≠0,1－sin α≠0，所以(1＋sin α)(1－sin α)＝cos αcos α，所以1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，所以cos α1－sin α＝－12，即cos αsin α－1＝12.故选A.8．已知角α的终边上一点P (3a,4a )(a <0)，则cos ()540°－α的值是________．答案 35解析 c os(540°－α)＝cos(180°－α)＝－cos α.因为a <0，所以r ＝－5a ，所以cos α＝－35，所以cos(540°－α)＝－cos α＝35.9．[xx·北京东城模拟]已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.答案 －125解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－513，cos θ＝1213(舍)．故tan θ＝－125.10．[xx·淮北模拟]sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3的值是________． 答案 －334解析 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ( －π－π3 )＝ ⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334. 1．[xx·湖北荆州联考]若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵△ABC 是锐角三角形，则A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ＞0，B ＞π2－A ＞0，∴sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，sin B ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A ，∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0， ∴点P 在第二象限．选B.2．[xx·新乡模拟]若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin θcos θ＝3716，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74D.34答案 D解析 ∵sin θcos θ＝3716，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝8＋378，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝8－378，∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴sin θ＋cos θ＝3＋74 ①，sin θ－cos θ＝3－74 ②，联立①②得，sin θ＝34.3．已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值为________．答案 －1713解析 因为cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角， sin(75°＋α)＝－1－cos2＋α＝－1213.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°) ＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α) ＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α) ＝－513－1213＝－1713.4．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°. 解 原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan 945° ＝－sin120°·cos210°＋cos300°·(－sin330°)＋tan225° ＝(－sin60°)·(－cos30°)＋cos60°·sin30°＋tan45°＝32×32＋12×12＋1＝2. 5．[xx·南京检测]已知f (α)＝π－απ－α⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解 (1)f (α)＝π－απ－α⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－π－α＝sin αcos α－sin αsin αsin α＝－cos α.(2)因为α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，sin α＝－15.所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.所以f (α)＝－cos α＝265.2019年高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词讲义分析解读江苏高考近五年没有考查本部分知识,在复习时主要要理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,会写含有全称量词与存在量词的命题的否定.五年高考考点一简单的逻辑联结词(xx湖南改编,5,5分)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是(填序号).答案②③考点二全称量词与存在量词1.(xx课标Ⅰ改编,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为.答案∀n∈N,n2≤2n2.(xx山东,12,5分)若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.答案 13.(xx重庆理改编,2,5分)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为.答案存在x0∈R,使得<04.(xx四川理改编,4,5分)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则¬p 为.答案∃x∈A,2x∉B三年模拟A组xx模拟·基础题组考点一简单的逻辑联结词1.(苏教选2—1,一,2,变式)若命题p:0是偶数,命题q:2是3的约数,则下列命题中为真的是.①p且q;②p或q;③ ;④p且q.答案②2.(苏教选2—1,一,2,变式)若p、q是两个命题,且“p或q”的否定是真命题,则p、q的真假性是. 答案p假q假3.(苏教选2—1,一,2,变式)对于命题p、q,若p且q为真命题,则下列四个命题:①p或q是真命题;②p且q是真命题;③p且q是假命题;④p或q是假命题.其中真命题是.答案①③考点二全称量词与存在量词4.(xx江苏南通中学测试)若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是.答案(2,+∞)5.(xx江苏南京溧水中学质检,2)命题“∀x∈R,x2+2x+5>0”的否定是.答案∃x0∈R,+2x0+5≤06.(xx江苏苏州期中,2)若命题p:∃x∈R,使x2+ax+1<0,则p: .答案∀x∈R,x2+ax+1≥0B组xx模拟·提升题组(满分:30分时间:15分钟)一、填空题(每小题5分,共15分)1.(xx江苏南京师大附中期初调研,8)已知命题p:∃x∈R,x2+2x+a≤0是真命题,则实数a的取值范围是.答案(-∞,1]2.(xx江苏前黄中学第二次学情调研,8)已知下列四个命题,其中真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).(1)命题“∃x∈R,x2+x+1>0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1<0”;(2)命题“在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B”的逆命题为真命题;(3)“f '(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处取得极值”的充分不必要条件;(4)直线y=x+b不能作为函数f(x)=图象的切线.答案(2)(4)3.(xx江苏泰州一模,5)若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是.答案(2,+∞)二、解答题(共15分)4.(xx江苏盐城期中,15)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0;q:实数x满足<0.(1)若a=1,且p∨q为真,求实数x的取值范围;(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.解析(1)由x2-4ax+3a2<0,得(x-3a)(x-a)<0,因为a>0,所以a<x<3a,当a=1时,1<x<3,即p为真时,实数x的取值范围是1<x<3.<0等价于(x-2)(x-3)<0,解得2<x<3,即q为真时,实数x的取值范围是2<x<3.若p∨q为真,则实数x的取值范围是1<x<3.(2)p是q的必要不充分条件等价于q⇒p且p⇒/ q,则有或所以实数a的取值范围是1≤a≤2.C组xx模拟·方法题组方法1 含有逻辑联结词的命题的真假判断1.若命题p:不等式4x+6>0的解集为,命题q:关于x的不等式(x-4)(x-6)<0的解集为{x|4<x<6},则“p且q”“p 或q”“ ”形式的命题中的真命题是.答案p或q,p且q2.分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“ ”形式的命题的真假.(1)p:6<6,q:6=6;(2)p:梯形的对角线相等,q:梯形的对角线互相平分;(3)p:函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点,q:不等式x2+x+2<0无解;(4)p:函数y=cos x是周期函数,q:函数y=cos x是奇函数.解析(1)∵p为假命题,q为真命题,∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为真命题.(2)∵p为假命题,q为假命题,∴p∧q为假命题,p∨q为假命题,p为真命题.(3)∵p为真命题,q为真命题,∴p∧q为真命题,p∨q为真命题,p为假命题.(4)∵p为真命题,q为假命题,∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为假命题.方法2 全称(存在性)命题真假的判定3.下列命题中的真命题的个数是.①∃x∈R,使得sin x+cos x=;②∃x∈(-∞,0),2x<3x;③∀x∈(0,π),sin x>cos x.答案04.已知命题p:∃x∈R,使tan x=1,命题q:∀x∈R,x2>0.下面结论正确的是.①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧ ”是假命题;③命题“ ∨q”是真命题;④命题“ ∧ ”是假命题.答案④方法3 全称(存在性)命题的否定5.(xx江苏姜堰中学高三期中)命题“∀x∈,sin x>0”的否定是.答案∃x∈,sin x≤06.命题“任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是.答案存在x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤37.判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并写出它们的否定:(1)p:对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立;(2)p:∃x∈R,x2+2x+5>0.解析(1)由于命题中含有全称量词“任意的”,因而是全称命题;又由于“任意的”的否定为“存在一个”,因此,p:存在一个x∈R,使x2+x+1≠0成立.(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x,即命题中含有存在量词“存在一个”,因而是存在性命题;又由于“存在一个”的否定为“任意一个”,因此,p:∀x∈R,x2+2x+5≤0.方法4 与逻辑联结词、全称(存在性)命题有关的参数问题8.(xx江苏盐城高三(上)期中)命题“∃x∈R,使x2-ax+1<0”是真命题,则a的取值范围是.答案(-∞,-2)∪(2,+∞)9.已知p:函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,q:4x2+4(m-2)x+1>0恒成立.若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围.解析若函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,则-≤-1,∴m≥2,即p:m≥2;若4x2+4(m-2)x+1>0恒成立,则Δ=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3,即q:1<m<3.因为p或q为真,p且q为假,所以p、q一真一假,当p真q假时,解得m≥3.当p假q真时,解得1<m<2.综上可知,m的取值范围是{m|m≥3或1<m<2}.。

第二讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： sin 2x ＋cos 2x ＝1 . (2)商数关系： sin xcos x ＝tan x .知识点二 三角函数的诱导公式重要结论1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x ＝tan x·cos x，tan 2x ＋1＝1cos 2x，(sinx ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x 等．2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·π2＋α(k∈Z)中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·π2＋α(k∈Z)中，将α看成锐角时k·π2＋α(k∈Z)所在的象限．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × )(2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin (kπ－α)＝13(k ∈Z)，则sin α＝13.( × )[解析] (1)根据同角三角函数的基本关系式知当α，β为同角时才正确．(2)cos α≠0时才成立．(3)根据诱导公式知α为任意角．(4)当k 为奇数和偶数时，sin α的值不同．题组二 走进教材2．(必修4P 22B 组T3改编)已知tan α＝12，则sin α－cos α3sin α＋2cos α＝( A )A ．－17B ．17C ．－7D ．7[解析] sin α－cos α3sin α＋2cos α＝tan α－13tan α＋2＝12－13×12＋2＝－17.故选A.3．(必修4P 22B 组T2改编)化简cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－co s α1＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫π<α<3π2得( A )A ．sin α＋cos α－2B ．2－sin α－cos αC ．sin α－cos αD ．cos α－sin α[解析] 原式＝cos α1－sin α2cos 2α＋sin α1－cos α2sin 2α，∵π<α<32π，∴cos α<0，sin α<0.∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2.4．(必修4P 29B 组T2改编)若sin(π＋α)＝－12，则sin(7π－α)＝ 12 ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝ 12 . [解析] 由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝12，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝12.题组三 走向高考5．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( D )A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．2＋ 3[解析] 由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝33＋11－33＝2＋3，故选D.另：tan 225°＝tan 75°>tan 60°＝3，∴选D.6．(2015·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( D )A.125B ．－125C ．512D ．－512[解析] 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.7．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( A )A ．－79B ．－29C ．29D ．79[解析] 将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79，故选A.考点突破·互动探究考点一 同角三角函数的基本关系式——师生共研 例1 (1)已知α为第三象限角，cos α＝－817，则tan α＝( D )A ．－815B ．815C ．－158D ．158(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 －5 .(3)若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 －3 .[解析] (1)因为α是第三象限角，cos α＝－817，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝－1517，故tan α＝sin αcos α＝158.选D.(2)由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. (3)由角α的终边落在第三象限， 得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－c os α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.名师点拨(1)已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时，主要是利用公式sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α求解，解题时，要注意角所在的象限．并由此确定根号前的正、负号，若不能确定角所在象限要分类讨论．(2)遇sin α，cos α的齐次式常“弦化切”，如：asin α＋bcos αcsin α＋dcos α＝atan α＋b ctan α＋d ；sin αcos α＝sin αcos α1＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α； sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－21＋tan 2α. 〔变式训练1〕(1)若α是第二象限角，tan α＝－512，则sin α＝( C )A.15 B ．－15C ．513D ．－513(2)已知α是第二象限角，化简1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α＝ 23. (3)(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 31010 .[解析] (1)∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512.∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－125sin α2＝1，∴sin α＝±513.又α为第二象限角，∴sin α＝513，故选C.(2)解法一：原式＝1－cos 2α1＋cos 2α－sin 4α1－cos 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α ＝sin 2α1＋cos 2α－sin 2αsin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α ＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α ＝2cos 2α3cos 2α＝23. 解法二：∵1－cos 4α－sin 4α＝1－(cos 2α＋sin 2α)2＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2αcos 2α， ∴原式＝2sin 2αcos 2α1－cos 2α＋sin 2αcos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α ＝2sin 2αcos 2α1－cos 4α－sin 4α＋cos 2αsin 2α ＝2sin 2αcos 2α3sin 2αcos 2α＝23. (3)由tan α＝2得sin α＝2cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝55×22＋255×22＝31010. 考点二 诱导公式及其应用——多维探究 角度1 利用诱导公式化简三角函数式例2 (1)化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 22π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝ －1sin α .(2)化简1－2sin 10°sin 100°cos 80°－1－sin 2170°＝ －1 . [解析] (1)原式＝cos α－cos αtan 2αsin α－sin α－sin α＝－cos 2α·sin 2αcos 2αsin 3α＝－1sin α. (2)∵cos 10°>sin10°，∴原式＝1－2sin 10°cos 10°sin 10°－cos 10°＝sin 210°－2sin 10°cos 10°＋cos 210°sin 10°－cos 10°＝|sin 10°－cos 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°－cos 10°－sin 10°＝－1.角度2 “换元法”的应用例3 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是 0 .[解析] 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0. 名师点拨(1)诱导公式的两个应用方向与原则：①求值：化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导公式解题，常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，互补关系有π3＋α与2π3－α；π4＋α与3π4－α等．〔变式训练2〕(1)(角度1)已知f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α.①化简f(α)；②若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f(α)的值． (2)(角度2)(2021·唐山模拟)已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ －74 ，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 34 .[解析] (1)①f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α＝－sin α·cos α·－cos α－cos α·sin α＝－cos α.②因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α，所以sin α＝－15. 又α是第三角限的角， 所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.所以f(α)＝265.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， 因为α为钝角， 所以34π<π4＋α<54π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α<0.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－74.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34.名师讲坛·素养提升sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系例4 (2021·北京东城模拟)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝ －125. [解析] 解法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513，tan θ＝sin θcos θ＝－125.解法二：同解法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169，弦化切，得 tan θtan 2θ＋1＝－60169，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512. 又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin θ>|cos θ|，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θcos θ＝|tan θ|>1，∴tan θ＝－125.解法三：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin 2θ＋cos 2θ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－513，cos θ＝1213.(舍去)故tan θ＝－125.名师点拨sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系为(sin x ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x ，(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ，(sin x ＋cos x)2＋(sin x －cos x)2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值． 〔变式训练3〕(1)(2021·山东师大附中模拟)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( C ) A.75 B ．725 C ．257D ．2425(2)若1sin α＋1cos α＝3，则s in αcos α＝( A )A ．－13B ．13C ．－13或1D ．13或－1 [解析] (1)解法一：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝125，∴sin αcos α＝－1225，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝75.∴1cos 2α－sin 2α＝1cos α－sin αcos α＋sin α＝257，故选C. 解法二：由解法一知⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝45，sin α＝－35.∴tan α＝sin αcos α＝－34.∴1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α ＝1＋9161－916＝257，故选C.(2)由1sin α＋1cos α＝3，可得sin α＋cos α＝3sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcosα＝3sin 2αcos 2α，解得sin αcos α＝－13或sin αcos α＝1.由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1，故选A.。

高三数学一轮复习——同角三角函数基本关系式及诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式概念方法微思考1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？ 提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号．2．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示 所有诱导公式均可看作k ·π2±α(k ∈Z )和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k 是奇数还是偶数．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( × )题组二 教材改编 2．若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝ . 答案 －12解析 ∵π2<α<π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－255，∴tan α＝sin αcos α＝－12.3．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为 ．答案 3解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.4．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ． 答案 －sin 2α解析 原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题组三 易错自纠5．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为 ． 答案 －23解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴sin θ－cos θ＝－23. 6．若sin(π＋α)＝－12，则sin(7π－α)＝ ；cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝ . 答案 12 12解析 由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝12，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝12，cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝12.同角三角函数基本关系式的应用1．已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α等于( )A ．－513 B.513 C ．－125 D.125答案 C解析 因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan α＝sin αcos α＝－125. 2．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 ．答案 －105解析 由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1， 得109cos 2α＝1， 所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. 3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 ．答案 －3。

第三章三角函数、解三角形同角三角函数的基本关系与诱导公式教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源Ml谋梳理严1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2a +cos2a =1(«GR)；(2)商数关系：tan a =订—A：eZ2.六组诱导公式k兀“亍土a仗已Z)"的三角函数记忆口诀“奇变偶不对于角变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时, 正弦变余弦,余弦变正弦;当吃为偶数时，函数名不变”.“符号看象限”是指“在久的三角函数值前面加上当。

为锐角时原函数值的符号”.匿0【做二微〕,贝0 sin x = 2 .、JI解得sin x= -1±^52因为一lWsinxWl, 所以 smx=―— 1.已知 tanx=smx+y^| 解析：因为 tanx=sin x+~ ,所以 tanx=cosx, \ /丿 所以 sinx=cos 2x,所以 sinL+sin x —1=0,2.tan 690°的值为—3 解析：tan 690° =tan(—30' =tan(—30° )=—tan 30°3 +2X360° )3 •3.已知cos12=T解析：因为cos 13’角a是第二象限角、则tan(2 —a)角a是第二象限角，故sin a =12 0所以tan 12故tan（2 兀—a）=—tan12要會厂1.必明辨的2个易错点(1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.(2)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.2.必会的3种方法(三角函数求值与化简的常用方法)⑴弦切互化法：主要利用公式tan a化成正、余弦.⑵和积转换法：利用(sin 0 ±cos 0)2=l±2sin "cos &的关系进行变形、转化.l=sin2e +cos2e =cos2 ^(1+tan2 0)=:(3)巧用“F啲变换( 又因为n,3兀、解析：因为tana=2,所以汨^=2,所以sina=2cos a. 又 sin 2a+cos 2a=l, 所以(2cos a)2+cos 2a=l, 所以 cos 2a=1.已知么丘,tan a =2,贝J cos a =所以COS… M t 2sin a —cos3・若tan a =2,则sin 育囲2sin a —cos a 2tan a —1 sin a +2cos a tan a +2 2X2-1 3 2+24-2.若 sin 0 •cos1 … .cos 0 “ 亠= a刃则5 〃+赢「万的值疋―:解析：tan .cos sin £_sin 0 cos 0 cos i +sin0 _ 0 cos hn=2-；的值为 _____解析:典例剖析▼考点突破*考点一三角函数的诱导公式「茲 sin (k n +a) , cos (k n +a) ,⑶已知*sin Q + cos。

第二讲 同角三角函数【基础扫描】同角三角函数的基本关系(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即sin αcos α＝tan_α⎝ ⎛⎭⎪⎫其中α≠k π＋π2（k ∈Z ）. 【知识运用】考点一：利用同角三角函数求值【例1】(1)已知sin α＝1213，并且α是第二象限角，求cos α和tan α.(2)已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．【变1】1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ． －1213 B ．－513 C.513 D.2132．已知tan α＝34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则cos α＝( )A ．±45 B.45 C ．－45 D.35 3．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin α＝________，tan α＝________．考点二：弦的齐次问题【例2】已知tan α＝3，求下列各式的值．① 4sin α－cos α3sin α＋5cos α；②sin 2α－2sin α·cos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α；③34sin 2a ＋12cos 2α.【变2】1．已知2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π.求：(1)tan α；(2)2sin α－3cos α4sin α－9cos α.2.已知tan α＝2，求4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α的值．考点三： sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的应用【例3】已知sin α＋cos α＝－13，0＜α＜π.(1)求sin αcos α的值；(2)求sin α－cos α的值．【变3】1．(1)若sin θ－cos θ＝2，则tan θ＋1tan θ＝________． (2)已知sin αcos α＝18，且π4＜α＜π2，则cos α－sin α＝________．2．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2 3.．已知0＜θ＜π，且sin θ－cos θ＝15，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．【强化练习】 一、单选题1．设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若1sin 3θ=，则cos θ=（ ） A. 3 B. 232．已知错误！未找到引用源。

第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝( ) A ．－45B.45C.35D ．－35解析：选B.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45. 2．(2016·哈尔滨模拟)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：选D.因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， 所以－sin θ＝－3cos θ， 所以tan θ＝ 3.因为|θ|<π2，所以θ＝π3.3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A.223B ．－223C.13D ．－13解析：选D.cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.4．(2016·石家庄一模)已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( )A ．－1－k 2B.1－k 2C ．±1－k 2D ．－k解析：选A.由cos α＝k ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得sin α＝1－k 2，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－1－k 2，故选A.5．(2016·郑州一模)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )的两根，则sin θ－cos θ等于( ) A.1－32B.1＋32C. 3 D ．－ 3解析：选B.因为sin θ，cos θ是方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )的两根， 所以sin θ＋cos θ＝1－32，sin θcos θ＝m2.可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 即2－32＝1＋m ，所以m ＝－32. 因为θ为第二象限角，所以sin θ＞0，cos θ＜0，即sin θ－cos θ＞0. 因为(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θ·cos θ＝4－234－2m ＝1－32＋3＝2＋32， 所以sin θ－cos θ＝2＋32＝1＋32. 6．(2016·太原模拟)已知sin α＋cos α＝2，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则tan α＝( )A ．－1B ．－22C.22D ．1解析：选D.由sin α＋cos α＝2得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝2，即2sinαcos α＝1，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以cos α≠0，所以2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝1，解得tan α＝1，故选D.7．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）＝________.解析：原式＝cos αsin α－cos α＋sin α（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.答案：08．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝________．解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)，故sin θcos θ＝310，所以sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310.答案：3109．sin 43π·cos 56π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π的值是________． 解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334. 答案：－33410．设函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，若f (x )＝2f ′(x )，则sin 2x －sin 2xcos 2x ＝________．解析：因为f (x )＝sin x ＋cos x ， 所以f ′(x )＝cos x －sin x ，所以sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )， 即3sin x ＝cos x ，得tan x ＝13，于是sin 2x －sin 2x cos 2x ＝sin 2x －2sin x cos x cos 2x ＝tan 2x －2tan x ＝19－23＝－59.答案：－5911．已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．解：因为sin α＝255＞0，所以α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. (1)当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55，原式＝1sin αcos α＝52.(2)当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 原式＝1sin αcos α＝－52.12. 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．解：由已知得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，两式平方相加得2cos 2A ＝1. 即cos A ＝22或cos A ＝－22. (1)当cos A ＝22时，cos B ＝32， 又角A 、B 是三角形的内角，所以A ＝π4，B ＝π6，所以C ＝π－(A ＋B )＝7π12.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又角A 、B 是三角形的内角， 所以A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.1．(2016·武汉联考)若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cosA )在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选B.因为△ABC 是锐角三角形，则A ＋B >π2，所以A >π2－B >0，B >π2－A >0，所以sin A >sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，sin B >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A ， 所以cos B －sin A <0，sin B －cos A >0，所以点P 在第二象限．2．(2016·南昌高三摸底)设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则cos θ＝________． 解析：因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，所以tan θ＋tanπ41－tan θ tanπ4＝12，即tan θ＋11－tan θ＝12，所以tan θ＝－13. 因为θ为第二象限角，所以sin θ＞0，cos θ＜0，所以1－cos 2θcos θ＝－13，解得cos θ＝－31010.答案：310103．已知sin α＝1－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋β，求sin 2α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＋1的取值范围．解：因为sin α＝1－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝1－cos β， 所以cos β＝1－sin α.因为－1≤cos β≤1，所以－1≤1－sin α≤1，0≤sin α≤2， 又－1≤sin α≤1，所以sin α∈[0，1]．所以sin 2α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＋1＝sin 2α＋cos β＋1＝sin 2α－sin α＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α－122＋74.(*) 又sin α∈[0，1]，所以当sin α＝12时，(*)式取得最小值74；当sin α＝1或sin α＝0时，(*)式取得最大值2，故所求范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，2. 4．已知f (x )＝cos 2（n π＋x ）·sin 2（n π－x ）cos 2[（2n ＋1）π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2（2k π＋x ）·sin 2（2k π－x ）cos 2[（2×2k ＋1）π－x ]＝cos 2x ·sin 2（－x ）cos 2（π－x ） ＝cos 2x ·（－sin x ）2（－cos x ）2＝sin 2x (n ＝2k ，k ∈Z )；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[（2k ＋1）π＋x ]·sin 2[（2k ＋1）π－x ]cos 2{[2×（2k ＋1）＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋（π＋x ）]·sin 2[2k π＋（π－x ）]cos 2[2×（2k ＋1）π＋（π－x ）] ＝cos 2（π＋x ）·sin 2（π－x ）cos 2（π－x ）＝（－cos x ）2sin 2x （－cos x ）2＝sin 2x (n ＝2k ＋1，k ∈Z )． 综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016＝sin 2π2 016＋sin 21 007π2 016 ＝sin 2π2 016＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 016 ＝sin2π2 016＋cos 2π2 016＝1.。