第2章_连续系统数值积分法的时域数字仿真

⋯ 0 ⋯ ⋱ ⋯ ⋯
0 x1 0 0 0 x2 0 ⋮ ⋮ ⋅ ⋮ + ⋮ ⋅u 0 1 xn−1 0 −a2 −a1 xn bm
0 ] x x x x
（3.2.3）
Y(s)－－输出量y(t)的拉氏变换，U(s)－－输入量u(t)的拉氏变换 于是系统的传递函数描述形式为：
Y ( s ) b0 s m + b1 s m −1 + ⋯ + b m −1 s + b m G (s) = = U (s) s n + a 1 s n −1 + ⋯ + a n − 1 s + a n
3.
状态空间表达式 状态是指能完全描述系统行为的最小一组变量，用向量 x 表示，它将复杂系统化为一阶线性方程组，再运用矩阵理 论，借助数字计算机获取其解。 线性定常系统状态空间表达式的一般形式为： ɺ x = Ax + Bu （3.2.4） y = Cx + Du （3.2.5） 式（3.2.4）是由 n 个一阶微分方程组成，称为状态方程； 式（3.2.5）由 m 个线性代数方程组成，称为输出方程。 x 为由 n 个状态变量作为分量构成的 n×1 维矩阵（状态向量） u 为 r×1 维输入向量； y 为 m×1 维输出向量；
（3.2.9）
而系统的输出方程
y = x 1 ，写成矩阵形式，即：
1 2 3 4
y
= [1
0
⋯
（3.2.10）
由式（3.2.9）和（3.2.10）构成的系统状态空间表达式可 简写为： ɺ x = Ax + Bu （3.2.11）
y = Байду номын сангаасx
包含输入量 u 的导数项的微分方程 若系统微分方程中包含输入量 u 的导数项，如式（3.2.1） 所示，则为了在状态方程中不出现导数项，可以选取如下 的 n 个变量为状态变量。 x1 = y − β 0 u x = y − β u − β u = x − β u ɺ ɺ ɺ1 0 1 1 2 （3.2.12） ɺɺ ɺ ɺ y x3 = ɺɺ − β 0 u − β 1u − β 2 u = x2 − β 2u ⋮ ɺ ɺ x n = y ( n −1) − β 0 u ( n −1) − β 1u ( n − 2 ) − ⋯ − β n − 2 u − β n −1u = x n −1 − β n −1u
比如：力学中著名的范德波方程：
ɺɺ − ε (1 − x 2 ) x + x = 0 ɺ x
三、集中参数和分布参数系统 集中参数系统表征系统特性时，将它分解为有限个元素， 用它的元素间的相互关联作成模型。 分布参数系统是根据在空间分布的无限个微小部分建立模 型，用偏微分方程描述，通常用中心差分法来研究（利用 中心差分公式将空间变量x离散化，结果将偏微分方程变为 微分方程组）。 四、确定和随机系统 确定系统是指具有确定性的数学模型，输出和输入有完全 确定的函数关系。
d n y (t ) d n −1 y ( t ) dy ( t ) + a1 + ⋯ + a n −1 + a n y (t ) n n −1 dt dt dt （3.2.1） m m −1 d u (t ) d u (t ) du ( t ) = b0 + b1 + ⋯ + b m −1 + bm u (t ) m m −1 dt dt dt
第二节
连续系统的数学模型
连续系统的数学模型通常可用以下几种形式表示：连续时 间模型、离散时间模型和连续－－离散混合模型。第三种 模型是一种仿真实验模型，我们先不提，前两种模型形式 又分别有这样几种形式： 一、连续时间模型 连续时间模型 1. 微分方程 一个连续系统由输入和输出可以表示成高阶微分方程：
2.
1)
微分方程化为状态空间表达式 状态空间表达式有两种建立方法：从系统的机理出发建立状 态空间表达式和从已知系统的高阶微分方程或传递函数求相 应的状态空间表达式。后者也称为“实现问题”。 不含输入量 u 导数项的微分方程 假定一个连续系统用微分方程描述为： （3.2.6） ɺ y ( n ) + a 1 y ( n −1 ) + ⋯ + a n −1 y + a n y = b m u 选取 y(t) 及其各阶导数为状态变量，即取：
非线性方程没有一般形式的封闭解，因此在解这类 方程 时引入了“等效”的方法，将非线性简化为线性。 具体做法是：假定变量对某一工作状态的偏离很小，那么 将非线性环节在这点附近按泰勒级数展开，将高于一次项 的导数项忽略掉，就成了线性系统。 实际上，任何系统都是非线性的，上述方法只适用于符合 条件的系统。
4.
线性结构图 结构图是系统中每个元件的功能和信号流向的图解表示， 它比较直观，并且可以通过结构图变换很容易写出整个系 统的传递函数或状态空间表达式。 非线性结构图 在一个线性系统中加入若干个非线性环节，就组成了非线 性结构图，可以用来表征非线性系统。如图所示：
u +
−
5.
非线性 环节
线性 环节
y
ai ， i b
2.
传递函数 假设 y 及 u 的各阶导数的初值为零，对式（3.2.2）两边取拉 普拉斯变换得：
( s + a1 s
n m
n −1
+ ⋯ + a n − 1 s + a n )Y ( s )
m −1
= ( b 0 s + b1 s
+ ⋯ + b m −1 s + b m )U ( s )
这个一阶微分方程组就是以状态变量 x1 , x 2 , ⋯ , x n 表示的系统状态方程，写为矩阵方程形式，即：
ɺ 1 x1 0 x 0 ɺ2 0 ⋮ = ⋮ ⋮ ɺ 0 xn−1 0 xn −an −an−1 ɺ
A 为 n×n 维的系统矩阵，表示系统内部各状态变量之间 的关联情况，由控制对象的参数决定； B 为 n×r 维的输入矩阵，表示输入对每个状态变量的作 用情况； C 为 m×n 维的输出矩阵，表示输出与每个状态变量之间 的关系； D 为 m×r 维的前馈矩阵 ,表示输入对输出的直接传递关 m r , 系，一般情况D＝0。 对于单输入－－单输出系统，输入量 u 及输出量 y 均为标 量，B 为列向量，C 为行向量，D 为标量。 状态空间表达式是在状态空间描述系统的，反映了系统的 内部特性，所以称其为“内部模型”。 现代控制理论分析和设计系统的主要方法 适用于多变量系统、时变系统、非线性系统的研究
线性系统通常分两种： ɺ 线性定常系统：系数为常数。如： y + 线性时变系统：系数为时间的函数。如：
ay = u
ɺɺ + p ( t ) y + q ( t ) y = f ( t ) ɺ y
非线性系统用非线性微分方程描述，不能应用叠加定理。 求解过程非常复杂，一般不存在解析解，只能借助数值计 算方法求出数值解。
W(z) 称为系统的 Z 函数。
3.
离散状态空间表达式 x [( k + 1 ) T ] = Ax ( kT ) + Bu ( kT ) y ( kT ) = Cx ( kT ) + Du ( kT ) 初始向量：x（0） 为简单起见，在上述方程中一般省略T ，或认为 T 等于一 个单位时间。
4.
传递函数是古典控制理论研究的主要工具 微分方程和传递函数是用系统的输入和输出之间的关系来 描述系统的，表示了系统的外部特征，所以称其为“外部 模型”。 微分方程是在时域内研究，传递函数是在 S 域（复域）内 研究，二者可以相互转换，但存在很多局限性。当系统具 有多个输入和输出，以及系统参数随时间变化（多变量、 时变）时，研究起来就比较困难。
二、线性和非线性系统 根据表征系统动态特性的数学方程是线性还是非线性的， 如果微分方程的系数是常数或仅仅是自变量的函数，就称 为线性微分方程，用以描述线性系统。 线性系统最重要的特性之一是可以应用叠加定理。 （两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等于两个 作用函数单独作用的响应之和）
1) 2)
，式中 T 为采样周期， 输出变量的初始条件为 ： y ( 0 ), y (T ), ⋯ y [( n − 1)T ] Z 函数 对上式差分方程两边取 Z 变换，并设 y ，u 及其各阶差分的 初始值均为零，可得：
( m ≤ n)
2.
b 0 z m + b1 z m − 1 + ⋯ + b m − 1 z + b m Y (z) W (z) = = U (z) z n + a 1 z n −1 + ⋯ + a n −1 z + a n
第三章 连续系统的数值积分法数字仿真
在研究动力学系统的动态特性时，最基本的方法是：认识 其物理本质。即了解系统的本质，然后根据获得的信息或 条件推导它的数学模型，研究它的运动规律。针对这些数 学模型，我们采用各种分析方法和工具来对系统进行分析 和综合。
1)
2)
在推导数学模型过程中应注意以下两点： 必须在模型的简化和准确性之间做出折衷的考虑； 根据系统的使用条件，忽略次要因素，采用适当的简化模 型。（要求次要因素对系统输出影响很小） 例如：弹簧振子在低频和高频状态下的影响。 实际系统常常是由非线性方程来描述。 即使对于所谓的线性系统来说，也只是在一定的范围内保 持线性关系。例如：物理系统中的阻尼器。
二、离散时间模型 1. 差分方程 一个连续系统由输入和输出可以表示成高阶微分方程：
y[(k + n)T ] + a1 y[(k + n −1)T ] +⋯an−1 y[(k +1)T ] + an y(kT) = b0u[(k + m)T ] + b1u[(k + m −1)T ] +⋯+ bm−1u[(k +1)T ] + bmu(kT)