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2019届高三数学上学期11月联考试题 文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}022>-=x x x A ，{}33<<-=x x B ，则（ ）A ．∅=⋂B A B ．R B A =⋃C ．A B ⊆D ．B A ⊆2. 记复数z 的虚部为Im()z ，已知复数5221iz i i =--（i 为虚数单位），则Im()z 为( ) A ．2 B ．-3 C ．3i - D ．3 3.以下有关命题的说法错误的是( )A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠,则2320x x -+≠”B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题:p x ∃∈R ，使得210x x ++<，则:p x ⌝∀∈R ，则210x x ++≥ 4．若0sin 3cos =-θθ，则=-)4tan(πθ（ ） A ．21-B ．2-C ．21D ．25． 设有直线m 、n 和平面α、β．下列四个命题中，正确的是 （ ）A ．若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB ．若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α6．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．1819 B ．1920 C ．2021 D ．1207.下列命题正确的是（ ）A.若0,1<>>c b a ，则ccb a > B.若,b a >则22b a > C.11,000=+∈∃x x R x D.若0,0>>b a 且1=+b a ，则ba 11+的最小值为4. 8．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（ ）A ．有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．有一条对称轴6x π=C ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 9. 函数错误!未找到引用源。
2020届湖北省武汉市高三上学期11月综合测试(二)数学（理）试题一、单选题 1．已知131iz i-=+，则z =（ ）A B ．2C D ．3【答案】C【解析】由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解． 【详解】 解：由已知(13)(1)2412(1)(1)2i i iz i i i ----===--+-，所以||z == 故选：C. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 2．已知集合(){}22,|1,,A x y xy x y R =+=∈，(){},|1,B x y y x x R ==-∈，则A B =（ ）A ．{}0,1B ．(){}0,1-C ．(){}1,0D ．()(){}0,1,1,0-【答案】D【解析】联立集合,A B 中的方程，解方程组即可. 【详解】解：由已知2211x y y x ⎧+=⎨=-⎩，解得：01x y =⎧⎨=-⎩或10x y =⎧⎨=⎩，故选：D. 【点睛】本题考查集合的交集，关键是要列方程组求解公共解.3．各项为正数的等比数列{}n a 中，若32a =，则212225log log log a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】利用对数的运算法则，将原式化成()2125log a a a ，再利用等比数列性质，对真数计算后即可求出． 【详解】解：各项为正数的等比数列{}n a 中，且32a =， 则()()51234515243332a a a a a a a a a a a ===，所以()21222521252log log log log log 325a a a a a a ++⋅⋅⋅+===，故选：D. 【点睛】本题是在对数运算性质的背景下考查数列的性质，考查了计算能力，是基础题. 4．中国古代数学成就甚大，在世界科技史上占有重要的地位.“算经十书”是汉、唐千余年间陆续出现的10部数学著作，包括《周髀算经》、《九章算术》、……、《缀术》等，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书.某中学图书馆全部收藏了这10部著作，其中4部是古汉语本，6部是现代译本，若某学生要从中选择2部作为课外读物，至少有一部是现代译本的概率是（ ） A ．1315B ．23C ．815D ．13【答案】A【解析】求出从10部著作中选择2部古汉语本的方法数，即2部都不是现代译本的方法数，由对立事件的概率计算公式，可得结论． 【详解】解：从10部著作中选择2部著作的方法数为21045C =（种），2部都不是现代译本的方法数为246C =（种），由对立事件的概率计算公式得至少有一部是现代译本的概率14561315P =-=． 故选：A ． 【点睛】本题考查概率的计算，考查组合知识，属于基础题．5．已知平面向量()3,1a =，(1,b =-，则a 、b 的夹角θ=（ ）A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30°【答案】A【解析】利用向量的夹角公式直接求解即可. 【详解】解：3cos ||||31a b a b θ⋅-===+因为[0,]θπ∈， 所以150θ=︒， 故选：A. 【点睛】本题考查向量夹角的坐标运算，是基础题.6．已知函数()321,02log ,0x x f x x a x ⎧+≤=⎨+>⎩，若()()15f f -=，则a =（ ）A ．3B ．9C ．27D ．81【答案】B【解析】先求出3(1)2f -=，在代入3()2log f x x a =+，解方程求出a .【详解】解：由已知13(1)212f --=+=， ()()331()3l 5g 2o a f f f +∴-===，解得：9a =，故选：B. 【点睛】本题考查已知分段函数的函数值求参数的值，是基础题. 7．“(),4k k Z παπ=+∈”是“tan 26πα⎛⎫-=⎪⎝⎭的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由tan 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭α，即可判断出结论. 【详解】解：由tan 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2,63k k Z ππαπ-=+∈，解得,42k k Z ππα=+∈， ()|,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭()|,42k k Z ππαα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，(),4k k Z παπ=+∈”是“tan 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出角的大小，是解决本题的关键，是基础题.8．下列命题：①若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变； ②在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高； ③设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()2P p ξ>=，则()1202P p ξ-<<=-；④对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大.其中正确的命题序号是（ ） A ．①② B ．①②③C ．①③④D ．②③④【答案】B【解析】由方差的定义和性质可判断①；由残差点分布区域特点可判断②；由正态分布的特点可判断③；由随机变量的观测值的大小可判断④. 【详解】解：①若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，由方差的计算公式可得样本的方差不变，故正确；②在残差图，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，故正确； ③设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()2P p ξ>=，则()2P p ξ<-=，()1202P p ξ-<<=-，故正确； ④对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越大，判断“X 与Y 有关系”的把握越大，故错误. 故选：B ．【点睛】本题考查随机变量的关系和数字特征、模型的拟合度和正态分布特点，考查判断能力和运算能力，属于基础题．9．函数3()1x x f x e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数()f x 的解析式,结合特殊值法即可判断选项. 【详解】因为()31xx f x e =- 定义域为0x ≠,所以排除A 选项当x →+∞时, 10x e ->且30x >,所以()0f x >;分母e 1x -增长的速度大于分子中3x 的增长速度,所以()0f x →,排除选项D当x →-∞时,分母10x e -<,分子30x <,所以()0f x >,排除选项B 综上,故选C 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数的图像,属于基础题.解决有关函数图像这一类题目,一般从三个方面入手研究图像:（1）分析函数的单调性;（2）分析函数的奇偶性;（3）特殊值法检验,特殊值法包括具体取值与极限取值.10．在空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取点E 、F 、G 、H ，若直线EF 、GH 相交于点P ，则（ ） A ．点P 必在直线AC 上 B ．点P 必在直线BD 上 C ．点P 必在平面ABD 内 D ．点P 必在平面BCD 内【答案】A【解析】根据平面的基本性质公理，利用两个平面的公共点在两平面的公共直线上来判断即可. 【详解】 解：∵EF 在面ABC 上，而GH 在面ADC 上， 且EF 、GH 能相交于点P ， ∴P 在面ABC 与面ADC 的交线上， ∵AC 是面ABC 与面ADC 的交线， 所以点P 必在直线AC 上． 故选：A ． 【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 11．设函数()2sin f x x x =-，等差数列{}n a 的公差为2018π，若()()120192020f a f a +=，则{}n a 的前2019项的和2019S =（ ）A ．20182019⨯B ．10042019⨯C ．10102019⨯D ．5052019⨯【答案】D【解析】先通过()()120192020f a f a +=，代入()2sin f x x x =-，计算可得12019a a +的值，然后直接用等差数列的前n 项和公式求2019S . 【详解】解：由已知()()1201911201920192sin 2sin f a f a a a a a +=-+-120191122sin sin (20191)2018a a a a π⎛⎫=+--+-⋅ ⎪⎝⎭()120191122sin sin a a a a π=+--+12019222020a a =+= 120191010a a ∴+=()120192019201920191010505201922a a S +⨯===⨯，故选：D. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式，关键是求出12019a a +的值，考查了计算能力，是中档题.12．过双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>左焦点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆与C 的渐近线相切，则C 的离心率为（ ）A 1B CD ．12【答案】C【解析】先求出当x c =-时，y 的值，再利用以MN 为直径的圆与C 的渐近线相切，建立方程，由此可得双曲线的离心率． 【详解】解：由题意，当x c =-时，2by a=±，则以MN 为直径的圆的圆心为(,0)c -，半径为2b a，又双曲线C 的渐近线为b y x a =±，由于双曲线具有对称性，选取by x a=来计算即可， 因为以MN 为直径的圆与C 的渐近线相切，2b a=，又222+=a b c ,解得a b =，c e aa∴=== 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．二、填空题13．曲线()2xy x e =+在点()0,2处的切线方程为______.【答案】320x y -+=【解析】对()f x 进行求导，求出'()f x 在0x =处的值即为切线的斜率，利用点斜式即可求出切线方程． 【详解】解：由已知()'3xy x e =+，则'00|33x y e ===，所以切线方程为32y x =+，即320x y -+=， 故答案为：320x y -+= 【点睛】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程，要求切线方程，首先求出切线的斜率，利用了导数与斜率的关系，此题是一道基础题． 14．621(2)x x-的展开式中的常数项为______。
湖北省武汉市高三上学期11月调研考试（数学文）.11.15一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1，0，1，2，3}，则M ∩N ＝A ．{0，1，2}B ．{－1，0，1，2}C ．{－1，0，2，3}D ．{0，1，2，3}2．已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝ A ．－2 B ．0 C ．1 D ．23．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是4．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差5．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则→OP ＋→OQ ＝A ．→OHB ．→OGC ．→EOD ．→FO6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)（ω＞0，－π2＜φ＜π2）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是 A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π37．给定两个命题p ，q ．若﹁p 是q 的必要而不充分条件，则p 是﹁q 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)．若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝A ．14B ．12C ．1D ．2 9．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1 10．设函数f (x )＝x 3－4x ＋a ，0＜a ＜2．若f (x )的三个零点为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则A ．x 1＞－1B ．x 2＜0C ．x 2＞0D ．x 3＞2二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．设z ＝(2－i)2（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ．12．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＞0”发生的概率为 ．13．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ．14．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于．15．为组织好“市九运会”，组委会征集了800名志愿者，现对他们的年龄抽样统计后，得到如图所示的频率分布直方图，但是年龄在[25，30)内的数据不慎丢失，依据此图可得：（Ⅰ）年龄在[25，30)内对应小长方形的高度为；（Ⅱ）这800名志愿者中年龄在[25，35)内的人数为．16．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，则P到各顶点的距离的不同取值有个．17．挪威数学家阿贝尔曾经根据阶梯形图形的两种不同分割（如下图），利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋a n b n＝L1(b1－b2)＋L2(b2－b3)＋L3(b3－b4)＋…＋L n－1(b n－1－b n)＋L n b n，其中L1＝a1，则（Ⅰ）L3＝；（Ⅱ）L n＝．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本小题满分12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若sin A sin C＝3－14，求C．19．（本小题满分12分）在等差数列{a n}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n＋b n}是首项为1，公比为c的等比数列，求数列{b n}的前n项和S n．20．（本小题满分13分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．（Ⅰ）证明：AD⊥C1E；（Ⅱ）当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1-A1B1E的体积．21．（本小题满分14分）设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R．（Ⅰ）求f(x)的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当a＞ln2－1且x＞0时，e x＞x2－2ax＋1．22．（本小题满分14分）已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C 相交于点D ，E ，求→AD ·→EB 的最小值．武汉市高三11月调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．A 2．A 3．D 4．C 5．D6．A 7．A 8．B 9．D 10．C二、填空题11．5 12．23 13．132114．45 15．（Ⅰ）0.04；（Ⅱ）440 16．4 17．（Ⅰ）a 1＋a 2＋a 3；（Ⅱ）a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n三、解答题18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac ．由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12， 因此B ＝120°．……………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C＝12＋2×3－14＝32， 故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°．…………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋7d ＝－23，2a 1＋9d ＝－29．解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝－3． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2．…………………………………………4分 （Ⅱ）∵数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，∴a n ＋b n ＝c n －1，即－3n ＋2＋b n ＝c n －1，∴b n ＝3n －2＋c n －1．∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)＝n (3n －1)2＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)． 当c ＝1时，S n ＝n (3n －1)2＋n ＝3n 2＋n 2； 当c ≠1时，S n ＝n (3n －1)2＋1－c n1－c．……………………………………………12分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ． ①又在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，而AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥BB 1． ②由①，②得AD ⊥平面BB 1C 1C ．由点E 在棱BB 1上运动，得C 1E ⊂平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥C 1E ．………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）∵AC ∥A 1C 1，∴∠A 1C 1E 是异面直线AC ，C 1E 所成的角，由题设，∠A 1C 1E ＝60°．∵∠B 1A 1C 1＝∠BAC ＝90°，∴A 1C 1⊥A 1B 1，又AA 1⊥A 1C 1，从而A 1C 1⊥平面A 1ABB 1，于是A 1C 1⊥A 1E ．故C 1E ＝A 1C 1cos60°＝22，又B 1C 1＝A 1C 12＋A 1B 12＝2， ∴B 1E ＝C 1E 2－B 1C 12＝2．从而V 三棱锥C 1-A 1B 1E ＝13S △A 1B 1E ×A 1C 1＝13×12×2×2×2＝23．…………………13分 21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R ．令f ′(x )＝0，得x ＝ln2．于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，ln2) ln2 (ln2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋f (x ) 单调递减↘ 2(1－ln2＋a ) 单调递增↗故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f (x )在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f (ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a )．……………6分（Ⅱ）设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ．于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ．由（Ⅰ）知，当a ＞ln2－1时，g ′(x )的最小值为g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a )＞0． 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )＞0，∴g (x )在R 内单调递增．于是当a ＞ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0．即e x －x 2＋2ax －1＞0，故e x ＞x 2－2ax ＋1．……………………………………14分22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1，化简，得y 2＝2x ＋2|x |．当x ≥0时，y 2＝4x ；当x ＜0时，y ＝0．∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x （x ≥0）和y ＝0（x ＜0）．………………6分 （Ⅱ）由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ．得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1． ∵l 1⊥l 2，∴l 2的斜率为－1k． 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1．故→AD ·→EB ＝(→AF ＋→FD )·(→EF ＋→FB )＝→AF ·→EF ＋→AF ·→FB ＋→FD ·→EF ＋→FD ·→FB＝|→AF ||→FB |＋|→FD ||→EF |＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋(2＋4k 2)＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4(k 2＋1k 2)≥8＋4×2k 2·1k2＝16． 当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，→AD ·→EB 取最小值16．………………………14分。
湖北省武汉市数学高三上学期文数11月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高三上·漳州期末) 已知集合A={0，1，m}，B={x|0＜x＜2}，若A∩B={1，m}，则m的取值范围是（）A . （0，1）B . （1，2）C . （0，1）∪（1，2）D . （0，2）2. （2分）是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）若直线2mx+y+6=0与直线（m﹣3）x﹣y+7=0平行，则m的值为（）A . -1B . 1C . 1或﹣1D . 34. （2分） (2019高一下·慈溪期中) 在正项等比数列中，若，且，则数列的前项和是（）A .D .5. （2分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值构成的集合是（）A .B .C .D .6. （2分）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为（）A . 5πB . πC . 20πD . 4π7. （2分） (2017高二下·牡丹江期末) 设，， ,则，，的大小关系是（）A .D .8. （2分） (2017高一上·南昌月考) 已知角的终边经过点，则的值是（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高二上·双流期中) 焦点在x轴上的椭圆的离心率e= ，F ， A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值为（）A . 4B . 6C . 8D . 1010. （2分） (2020高一下·昆山期中) 已知，点P在x轴上，且使得取最小值，则点P的坐标为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高二上·吉安月考) 若圆与两条直线和都有公共点，则的范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一上·包头月考) 函数的值域是（）A . RB .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高三上·丰台期末) 已知，，则 ________．14. （1分）设数列{an}的前n项和为Sn ，关于数列{an}有下列四个结论：①若数列{an}既是等差数列又是等比数列，则Sn=na1；②若Sn=2n﹣1 ，则数列{an}是等比数列；③若Sn=an2+bn（a，b∈R），则数列{an}是等差数列；④若Sn=an（a∈R），则数列{an}既是等差数列又是等比数列．其中正确结论的序号是________．15. （1分） (2016高一下·赣榆期中) 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________．16. （1分） (2019高二下·温州期中) 函数在区间上的最大值是________；最小值是________.三、解答题 (共7题；共67分)17. （10分）(2019·天津) 设是等差数列，是等比数列.已知.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足其中 .（i）求数列的通项公式；（ii）求 .18. （15分）(2018·台州模拟) 如图，四边形是直角梯形，，又，直线与直线所成的角为．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．19. （10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且4sinAsinC﹣4cos2=﹣2．求角B的大小20. （10分）正方形中心为G（﹣1，0），一边所在直线的斜率为3，且此正方形的面积为14.4，求此正方形各边所在的直线方程．21. （10分） (2016高二下·大庆期末) 已知函数f（x）= x2+lnx（其中a≠0）（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）＜﹣恒成立，试求实数a的取值范围．22. （2分）在平面直角坐标系中，已知圆，圆 .（1）在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆与圆的极坐标方程及两圆交点的极坐标；（2）求圆与圆的公共弦的参数方程.23. （10分）(2016·中山模拟) 已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共67分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。
2020届湖北省武汉市部分学校高三上学期起点质量监测数学（文）试题一、单选题 1．设11iz i+=-，则z =（ ） A ．0 B ．1C 5D ．3【答案】B【解析】根据复数除法运算法则化简复数，利用模长定义求得结果. 【详解】()()()2111i z i i i +==-+Q 1z ∴=本题正确选项：B 【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.2．已知集合{}2|20A x x x =--≤，{}1B x =>-，则AB =（ ）A ．{}|12x x -<<B ．{}|12x x x <->或 C ．{}|12x x -<≤ D ．{}|12x x x ≤-≥或【答案】C【解析】解出集合A ，根据交集的定义得到结果. 【详解】()(){}{}21012A x x x x x =-+≤=-≤≤ {}12A B x x ∴⋂=-<≤本题正确选项：C 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.3．已知双曲线222:116x y E m-=的离心率为54，则双曲线E 的焦距为（）A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】D【解析】通过离心率和a 的值可以求出c ，进而 可以求出焦距。
【详解】有已知可得54c a =，又4a =，5c ∴=，∴焦距210c =，故选：D 。
【点睛】本题考查双曲线特征量的计算，是一道基础题。
4．已知α，β是两个不重合的平面，直线a α⊂，:p a β，:q αβ，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】通过面面平行的判定定理以及面面平行的性质，可以得到:p a β不能推出:q αβ，:q αβ可以推出:p a β。
【详解】一个面上有两相交直线都和另一个面平行，则这两个面平行，所以:p aβ不能推出:q αβ。
两个平面平行，其中一个面上的任何一条直线都和另一个平面平行，所以:q αβ可以推出:p aβ，所以p 是q 的必要不充分条件，故选：B 。
2024～2025学年度高三十一月数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}11A x x =-<<，{}02B x x =≤≤,则A B = （）A.{}12x x -<<B.{}12x x -<≤C.{}01x x ≤< D.{}02x x ≤≤2.已知复数z 在复平面内对应的点为（2，-1），则4izz =-（）A.1i+ B.3i+ C.1i- D.3i-3.若0a b >>，0c <，则下列结论正确的是（）A.ac bc> B.a c b c+<+ C.11a b< D.a c b c -<-4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知774721S a =-，则3a =（）A.-2B.-1C.1D.25.若向量()2,5AB = ，(),1AC m m =+，且A ，B ，C 三点共线，则m =（）A.23-B.23C.32-D.326.已知πcos 410θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.43310+ B.34310+ C.43310- D.34310-7.定义在R 上的奇函数()f x 在()0,+∞上单调递增，且103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()202f x x ≤-的解集为（）A.)13⎛⎤-⋃+∞⎥⎝⎦B.(11,,033⎡⎫⎡-∞-⎪⎢⎢⎣⎭⎣C.{})103⎛⎤-+∞⎥⎝⎦D.(11,,0,33⎡⎤⎡-∞-⎢⎥⎢⎣⎦⎣8.已知椭圆1C ：()2211221110x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()2222222210,0x y a b a b -=>>有相同的焦点1F ，2F ，若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且1222F F PF =，设1C 与2C 的离心率分别为1e ,2e ，则21e e -的取值范围是（）A.1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
数学（文）试题(考试用时：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若集合M ＝{x |log 2x ＜1}，集合N ＝{x |x 2－1≤0}，则M ∩N ＝( ) A ．{x |1≤x ＜2} B ．{x |－1≤x ＜2} C ．{x |－1＜x ≤1} D ．{x |0＜x ≤1}2．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差3．已知实数a ，b 满足(a ＋i)(1－i)＝3＋b i(i 为虚数单位)，记z ＝a ＋b i ，z 的虚部为Im(z )，z 是z 的共轭复数，则()z zIm ＝( )A ．－2－iB ．－1＋2iC ．2＋iD ．－1－2i4．已知[x ]表示不超过x 的最大整数，比如：[0.4]＝0，[－0.6]＝－1.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2.4，则输出z 的值为( )A ．1.2B ．0.6C ．0.4D ．－0.45．已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的最小值为－2，最小正周期为π，f(0)＝1，则f(x)在区间[0，π]上的单调递减区间为()A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0πB.⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππC.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,32D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π和⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,32 6．已知P(x0，y0)是双曲线C：x22－y2＝1上的一点，F1、F2分别是双曲线C 的左、右焦点．若PF1→·PF2→≥0，则x0的取值范围是()A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-362,362B.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-362,362C.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤⎝⎛-∞-,362362, D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞-,362362,7．已知实数x，y满足⎩⎨⎧y≥1，y≥2x－1，x＋y≤3，则z＝3x＋y＋1()A．有最大值203B．有最小值203C．有最大值8，最小值203D．有最大值8，最小值58．已知()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sinπxxf，g(x)＝2f(x)＋f′(x)，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,2π上任取一个实数x，则g(x)的值不小于6的概率为()A.16 B.38 C.14 D.18 9．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是()10．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，ab＝cos Acos B，A＝π6，BC边上的中线长为4，则△ABC的面积S为()A.837 B.1637 C.487 D.247 11．已知函数f(x)＝|x＋1－m|的图象与函数g(x)的图象关于y轴对称，若函数f(x)与函数g(x)在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减，则实数m的取值范围是()A．[0,2] B．[2,3]C.[)+∞⎥⎦⎤⎝⎛∞-,421, D．[4，＋∞)12．若椭圆的中心为原点，是椭圆的焦点，过F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，且MN 的中点为，则椭圆的离心率为A ．12B ．2C ．3D ．6第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知OA →＝(－1，3)，|OB →|＝3，∠AOB ＝π3，OC →＝13OA →＋19OB →，则OB →·OC→＝________.14．已知sin 2α－2＝2cos 2α，则sin 2α＋sin 2α＝________.15．在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未被污损，即9,10,11,1，那么这组数据的方差s 2可能的最大值是________．16．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的四点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC .若SA ＝AB ＝1，BC ＝2，则球O 的表面积为________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＋a 7＝－9，S 9＝－992.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝12S n，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＞－34.18．(本小题满分12分)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意 不满意男顾客40 10女顾客30 20（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82819．(本小题满分12分)如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF＝2BE＝2，EF＝3.(1)证明：平面ACF⊥平面BEFD.(2)若cos∠BAD＝15，求几何体ABCDEF的体积．20．(本小题满分12分)设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）证明：．21．(本小题满分12分)已知函数f（x）=2sin x-x cos x-x，f ′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22ty ＝22t ＋42(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cos 2πθρ.(1)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x ＋a |＋2a ，a ∈R.(1)若对任意的x ∈R ，f (x )都满足f (x )＝f (3－x )，求f (x )＋4＜0的解集； (2)若存在x ∈R ，使得f (x )≤|2x ＋1|＋a 成立，求实数a 的取值范围．答案解析1．解析：选D.由题意得，M ＝(0,2)，N ＝[－1,1]，故M ∩N ＝(0,1]，选D. 2．解析：选D.由众数、平均数、中位数、标准差的定义知：A 样本中各数据都加2后，只有标准差不改变，故选D.3．解析：选 A.由(a ＋i)(1－i)＝3＋b i ，得a ＋1＋(1－a )i ＝3＋b i ，则⎩⎨⎧a ＋1＝3，1－a ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，所以z ＝2－i ，则z Imz＝2＋i－1＝－2－i. 4．解析：选D.输入x ＝2.4，则y ＝2.4，x ＝[2.4]－1＝1＞0，∴x ＝y2＝1.2；y ＝1.2，x ＝[1.2]－1＝0，∴x ＝y2＝0.6；y ＝0.6，x ＝[0.6]－1＝－1＜0，则输出z 的值为：z ＝x ＋y ＝－1＋0.6＝－0.4，故选D.5．解析：选B.由函数f (x )的最小值为－2，A ＞0，得A ＝2.∵f (x )的最小正周期T ＝π，ω＞0，∴ω＝2πT ＝2.又f (0)＝1，∴2sin φ＝1，即sin φ＝12.又|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2kπ(k ∈Z)，得f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π.又x ∈[0，π]，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23π上是减函数，故选B. 6．解析：选C.由双曲线方程可求出F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴PF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，PF 2→＝(3－x 0，－y 0)，∴PF 1→·PF 2→＝(－3－x 0，－y 0)(3－x 0，－y 0)≥0，即x 2－3＋y 20≥0.∵点P (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即y 20＝x 202－1，∴x 20－3＋x 202－1≥0，∴x 0≥263或x 0≤－263，故选C. 7．解析：选A.作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线3x ＋y ＝0，平移该直线，由图可得z ＝3x ＋y ＋1在A 处取得最大值，由⎩⎨⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝43，y＝53.A⎝⎛⎭⎪⎫43，53⇒z max＝3×43＋53＋1＝203.8．解析：选C.由题意，g(x)＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫2x＋π3＋2cos⎝⎛⎭⎪⎫2x＋π3＝22sin⎝⎛⎭⎪⎫2x＋7π12，当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，2x＋7π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，7π12，又当2x＋7π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π12，即x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，0时，g(x)≥6，则所求概率为0－⎝⎛⎭⎪⎫－π80－⎝⎛⎭⎪⎫－π2＝14.9．解析：选D.在A图中分别连接PS，QR，易证PS∥QR，∴P，Q，R，S共面；在C图中分别连接PQ，RS，易证PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面；在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；D图中PS与QR为异面直线，∴四点不共面，故选D.10．解析：选B.由a cos B＝b cos A及正弦定理得sin A cos B＝sin B cos A，所以sin(A－B)＝0，故B＝A＝π6，c＝3a，由余弦定理得16＝c2＋⎝⎛⎭⎪⎫a22－2c·a2 cosπ6，得a＝877，c＝8217，S＝12ac sin B＝1637.11．解析：选A.易知g(x)＝|－x＋1－m|，即g(x)＝|x－1＋m|.当f(x)与g(x)在区间[1,2]上同时单调递增时，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图1所示，易知⎩⎨⎧m－1≤1，1－m≤1，解得0≤m≤2；当函数y＝f(x)在[1,2]上单调递减时，函数f(x)与g(x)的图象如图2所示，此时函数y＝g(x)在区间[1,2]上不可能单调递减．综上所述，0≤m ≤2，即实数m 的取值范围为[0,2]，故选A.12．解析：选C.13．解析：∵OA →＝(－1，3)，∴|OA →|＝－12＋32＝2.∴OB →·OC →＝OB →·⎝⎛⎭⎪⎫13OA →＋19OB →＝13OA →·OB →＋19OB →2＝13×|OA →|×|OB →|cos π3＋19×32＝13×2×3×12＋19×32＝2.答案：214．解析：由sin 2α－2＝2cos 2α得sin 2α＝2＋2cos 2α，即2sin αcos α＝4cos 2α，即cos α＝0或tan α＝2.当cos α＝0时，sin 2α＋sin 2α＝1；当tan α＝2时，sin 2α＋sin 2α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85.综上，sin 2α＋sin 2α＝1或85. 答案：1或8515．解析：由题意可设两个被污损的数据分别为10＋a ，b (a ，b ∈Z,0≤a ≤9)，则10＋a ＋b ＋9＋10＋11＝50，即a ＋b ＝10，a ＝10－b ，所以s 2＝15[(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(10＋a －10)2＋(b －10)2]＝15[2＋a 2＋(b －10)2]＝25(1＋a 2)≤25×(1＋92)＝32.8. 答案：32.816．解析：由SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC 可知，四棱锥S ABC 的外接球就是以SA ，AB ，BC 为棱的长方体的外接球，故球的直径为长方体的体对角线长12＋12＋22＝2，即球的半径r ＝1，所以球的表面积S ＝4πr 2＝4π.答案：4π17．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则由已知条件可得：⎩⎨⎧2a 1＋6d ＝－99a 1＋36d ＝－992，解得⎩⎨⎧a 1＝－32，d ＝－1.(4分)于是可求得a n ＝－2n ＋12.(6分) (2)证明：由(1)知，S n ＝－n n ＋22，故b n ＝－1nn ＋2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，(8分) 故T n ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n －⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14＋15＋…＋1n ＋2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2，(10分) 又因为32－1n ＋1－1n ＋2＜32，所以T n ＞－34.(12分)18．解：（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8． 女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）22100(40203010) 4.76250507030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯． 由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.19．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥AC .又BD ∩BE ＝B ，(2分)∴AC ⊥平面BEFD .又AC ⊂平面ACF ，∴平面ACF ⊥平面BEFD .(4分)(2)设AC 与BD 的交点为O ，AB ＝a (a ＞0)，由(1)得AC ⊥平面BEFD ，∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥BD ，∵DF ∥BE ，∴DF ⊥BD ，∴BD 2＝EF 2－(DF －BE )2＝8，∴BD ＝22，(6分)∴S 四边形BEFD ＝12(BE ＋DF )·BD ＝32，(7分)∵cos ∠BAD ＝15，∴BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝85a 2＝8，∴a ＝5，(9分)∴OA 2＝AB 2－OB 2＝3，∴OA ＝3，(10分) ∴V ABCDEF ＝2V A BEFD ＝23S 四边形BEFD ·OA ＝2 6.(12分)20．解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）． 所以直线BM 的方程为y =或．（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ． 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0． 由得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为．①将，及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM =∠ABN ．综上，∠ABM =∠ABN ．21．解：（1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=.当π(0,)2x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫=>=- ⎪⎝⎭，故()g x 在(0,π)存在唯一零点.所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =，可得a ≤0.由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减. 又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x . 又当0,[0,π]a x ∈时，ax ≤0，故()f x ax . 因此，a 的取值范围是(,0]-∞.22．解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋42＝0. 曲线C 的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋222＝1.(2分)圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22到直线x －y ＋42＝0的距离d ＝|52|2＝5＞1，∴直线l 与曲线C 的位置关系是相离．(4分)(2)设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋cos θ，－22＋sin θ，(θ为MC 与x 轴正半轴所成的角)(6分)则x ＋y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵0≤θ＜2π，∴x ＋y ∈[－2，2]．(10分) 23．解：(1)因为f (x )＝f (3－x )，x ∈R ，所以f (x )的图象关于直线x ＝32对称，又f (x )＝2|x ＋a 2|＋2a 的图象关于直线x ＝－a 2对称，所以－a 2＝32，得a ＝－3，(2分)所以f (x )＋4＜0，即|2x －3|＜2，所以－2＜2x －3＜2，12＜x ＜52，故f (x )＋4＜0的解集为{x |12＜x ＜52}．(5分)(2)由题意知f (x )≤|2x ＋1|＋a 等价于|2x ＋a |－|2x ＋1|＋a ≤0，记g (x )＝|2x ＋a |－|2x ＋1|＋a ，当a ＜1时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－12，－4x －1，－12＜x ＜－a2，2a －1，x ≥－12a ，因为存在x ∈R ，使得f (x )≤|2x ＋1|＋a 成立，等价于g (x )min ＝2a －1≤0，所以a ≤12；(7分)当a ＝1时，得1≤0，不成立；(8分)当a ＞1时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－a2，4x ＋2a ＋1，－a 2＜x ＜－12，2a －1，x ≥－12，因为存在x ∈R ，使得f (x )≤|2x ＋1|＋a 成立，等价于g (x )min ＝1≤0，矛盾．(9分)综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.(10分)。
绝密★启用前2020届湖北省武汉市高三上学期11月综合测试(二)数学（文）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．已知131iz i-=+，则z =（ ）A B ．2CD ．3答案：C由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解． 解：解：由已知(13)(1)2412(1)(1)2i i iz i i i ----===--+-，所以||z == 故选：C. 点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 2．已知集合()(){}0,1,2,4A =,{}(,)|1,B x y y x x R ==+∈,则A B =I( )A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．(){}0,1答案：D根据交集的运算，即可求出结果. 解：()(){}{}(){}0,1,2,(40|1=,,)1,x y B y x R A x =+∈=I I .故选：D. 点评：本题考查了集合的交集运算，属于基础题.3．“()3k k Z παπ=+∈”是“tan 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C根据特殊角的正切函数值，可知()tan ,666k k Z πππααπ⎛⎫-=⇔-=+∈ ⎪⎝⎭，根据充分必要条件的判断，即可求出结果. 解：由题意可知，()()tan ,63663k k Z k k Z ππππααπαπ⎛⎫-=⇔-=+∈⇔=+∈ ⎪⎝⎭,，所以“()3k k Z παπ=+∈”是“tan 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭”的充分必要条件. 故选：C. 点评：本题主要考查特殊角的三角函数值和充分必要条件的判断，属于基础题.4．国庆阅兵中，某兵种甲、乙、丙三个方阵按一定的次序通过主席台，若先后次序是随机的，则甲先于乙、丙通过的概率为（ ） A ．16B ．23C ．12D ．13答案：D先求出甲、乙、丙三个方阵按一定次序通过主席台的所有可能的次序，再确定出甲先于乙、丙通过主席台的所有可能的次序，由此可求概率． 解：用（甲，乙，丙）表示甲第一，乙第二，丙第三的次序，则所有可能的次序有（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）共6种，其中甲先于乙、丙通过的有（甲，乙，丙），（甲，丙，乙）两种，故所求概率为P 2163==． 故选：D . 点评：本题考查等可能事件的概率，解题的关键是利用列举法确定基本事件的种数，属于基础题．5．等比数列{}n a 中，198a =，23q =，198n S =，则n =( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案：A根据等比数列的前n 项和可得9218319=2813nnS ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解方程，即可求出结果.解：由题意可知，()192118319==21813nn na q S q⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得3n =.故选：A. 点评：本题主要考查等比数列的前n 项和公式()()1111n n a q S q q-=≠-，的应用，属于基础题.6．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线的斜率为12，则该双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D答案：D试题分析：因为双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线的斜率为12，所以12b a =，所以该双曲线的离心率2c e a ======，故选D ． 【考点】1、双曲线的渐近线；2、双曲线的离心率．7．已知函数()321,02log ,0x x f x x a x ⎧+≤=⎨+>⎩，若()()15f f -=，则a =（ ）A ．3B ．9C ．27D ．81答案：B先求出3(1)2f -=，在代入3()2log f x x a =+，解方程求出a .解：解：由已知13(1)212f --=+=， ()()331()3l 5g 2o a f f f +∴-===，解得：9a =， 故选：B. 点评：本题考查已知分段函数的函数值求参数的值，是基础题. 8．函数()ln ||1y x x =-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．答案：A根据奇偶性的定义，可判断函数()f x 是奇函数；然后再分段判断当()1x ∈+∞，时，()'0f x >，函数()f x 单调递增；当()01x ∈，时，()'0f x <，函数()f x 单调递减；结合选项，即可求出结果. 解：设()()()ln ||10f x x x x =-≠，，则()()()ln ||1f x x x f x -=---=-，所以()f x 是奇函数；当0x >时，()()ln 1f x x x =-，所以()n 'l f x x =，所以当()1x ∈+∞，时，()'0f x >，函数()f x 单调递增；当()01x ∈，时，()'0f x <，函数()f x 单调递减；结合选项可知，函数()ln ||1y x x =-的图象大致是A. 故选：A. 点评：本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的应用，考查了数形结合能力，属于基础题. 9．已知()sin cos 6f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则函数6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既非奇函数也非偶函数答案：B根据正弦和余弦两角和的公式对函数6y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭化简，可得3co 6s y f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，由此即可判断结果.解：由题意可知，sin cos 3cos 636y f x x x x π⎛⎫⎛⎫=++= ππ⎛⎫⎪ ⎪=++ ⎝⎭⎝⎝⎭⎪⎭，所以函数6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数.故选：B. 点评：本题主要考查正弦和余弦两角和的公式的应用，和余弦函数的性质，属于基础题. 10．在空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取点E 、F 、G 、H ，若直线EF 、GH 相交于点P ，则（ ） A ．点P 必在直线AC 上 B ．点P 必在直线BD 上 C ．点P 必在平面ABD 内 D ．点P 必在平面BCD 内答案：A根据平面的基本性质公理，利用两个平面的公共点在两平面的公共直线上来判断即可. 解： 解：∵EF 在面ABC 上，而GH 在面ADC 上， 且EF 、GH 能相交于点P ， ∴P 在面ABC 与面ADC 的交线上， ∵AC 是面ABC 与面ADC 的交线， 所以点P 必在直线AC 上． 故选：A ． 点评：本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 11．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin()2A Ca b B C +=+，则B =( ) A ．30︒ B ．60︒C ．120︒D ．150︒答案：B由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求1sin 22B =，即可求解B 的值. 解：根据题意()sin sin 2A Ca b B C +=+，且A B C π++=， ∴sin sin 22A C Bπ+-=，()()sin sin sin B C A A π+=-=， 由正弦定理得sin sin sin sin 2BA B A π-=， 因为0A π<<，故sin 0A >，即cos sin 2sin cos 222B B BB ==，∵0B π<<，022B π<<，∴1sin 22B =，即302B =︒，60B =︒. 故选:B. 点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，同时考查了三角恒等变换，属于中档题. 12．对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()'f x 是函数()y f x =的导数，()f x "是()'f x 的导数，若方程()0f x "=有实数解0x ，则称点()()0,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122018(201920192019g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭)A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019答案：C分析：对已知函数求两次导数可得图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，即()()12f x f x +-=，利用倒序相加法即可得到结论.详解：函数()3211533212g x x x x =-+-，函数的导数()2'3g x x x =-+，()'21g x x =-，由()0'0g x =得0210x -=， 解得012x =，而112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故函数()g x 关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，()()12g x g x ∴+-=，故设122018...201920192019g g g m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则201820171...201920192019g g g m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相加得220182m ⨯=，则2018m =，故选C.点睛：本题主要考查初等函数的求导公式，正确理解“拐点”并利用“拐点”求出函数的对称中心是解决本题的关键，求和的过程中使用了倒序相加法，属于难题.二、填空题13．已知平面向量(1,)a b m ==-r r，若a b ⊥r r ，则m =___________.根据a b ⊥r r，可得0a b ⋅=r r ，再根据平面向量数量积的坐标运算，即可求出过.解：因为a b ⊥r r，所以0a b ⋅=r r ，即(1,)0m m =⋅-，所以m .点评：本题主要考查了平面向量垂直的数量积公式的应用，以及平面向量的数量积坐标运算，属于基础题.14．曲线()2xy x e =+在点()0,2处的切线方程为______.答案：320x y -+=对()f x 进行求导，求出'()f x 在0x =处的值即为切线的斜率，利用点斜式即可求出切线方程． 解：解：由已知()'3xy x e =+，则'00|33x y e ===，所以切线方程为32y x =+，即320x y -+=， 故答案为：320x y -+= 点评：此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程，要求切线方程，首先求出切线的斜率，利用了导数与斜率的关系，此题是一道基础题．15．已知抛物线C ：216y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =u u u v u u u v，则FQ =______.答案：6求得直线PF 的方程，与216y x =联立可得2x =，利用FQ d =可求．解：解：设Q 到l 的距离为d ，则FQ d =，4FP FQ =u u u r u u u r Q ，||3PQ d ∴=，∴直线PF 的斜率为=-，(4,0)F Q ，∴直线PF 的方程为4)y x =--， 与216y x =联立可得2x =，||246FQ d ∴==+=．故答案为：6． 点评：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题． 16．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的外接球表面积为_____________. 答案：163π 由圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，由此作出圆锥的外接球的草图，根据勾股定理即可求出外接球半径，然后再根据球的表面积公式，即可求出结果． 解：设圆锥的底面半径为r ，由于圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为2π， 所以底面半径1r =，圆锥的高为3，所以圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，； 作出圆锥的外接球O 的草图，如下：则13PO =，设外接球O 的半径为R ，则1=1OP OM R O M ==，,在1t OO M R ∆中，22211OM OO MO =+，所以)22231R R=+，解得33R =， 所以圆锥的外接球表面积为2223164=4=3R ππ⨯π⎝⎭．故答案为：163π. 点评：本题考查了空间几何体的外接球的表面积求法，考查空间想象能力，属于中档题.三、解答题17．设{}n a 是等差数列，510a =,且12310,8,6a a a +++成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，且1n nb S =,求数列{}n b 的前n 项和为n T . 答案：（1）2n a n =（2）111nT n =-+ （1）利用等差数列和等比数列的的通项公式，即可求出结果； （2）由等差数列的前n 项和可得2n S n n =+，所以111n b n n =-+，采用裂项相消法求和，即可求出结果. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,Q 12310,8,6a a a +++成等比数列,∴()()()22138106a a a +=++,即2(183)(204)(162)d d d -=--, 解得2d =,∴5(5)102(5)2n a a n d n n =+-=+-=.（2）由（1）知2n a n =,∴2(22)2n n n S n n +==+, ∴111(1)1n b n n n n ==-++,∴111111111112233411n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L , ∴数列{}n b 的前n 项和为111n T n =-+ 点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于基础题. 18．为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某车间内举行生产比赛，由甲､乙两组内各随机选取5名技工，在单位时间生产同一种零件，其生产的合格零件数的茎叶图如下：已知两组所选技工生产的合格零件的平均数均为10. （1）分别求出,m n 的值；（2）分别求出甲､乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差2s 甲和2s 乙,并由此估计两组技工的生产水平；（3）若单位时间内生产的合格零件个数不小于平均数的技工即为“生产能手”，根据以上数据，能否认为该车间50%以上的技工都是生产能手？ (注：方差()()()2222121s n x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦,其中x 为数据12,,,n x x x ⋯的平均数).答案：（1）8m =,3n =.（2）答案见解析（3）答案见解析（1）根据两组所选技工生产的合格零件的平均数均为10，即可求出m ,n ；（2）根据方差公式，即可求出22s =甲,25.2s =乙,可得22S S <甲乙,根据方差的含义，即可确定结果；（3）因为两组技工单位时间内生产的合格零件个数不小于10的有6个,可得其频率为30.55>，根据题意，即可求出结果. 解：（1）由910111250m ++++= 可得8m =,由7810121050n +++++= 可得3n =,∴8m =,3n =.（2）因为222221(108)(109)(1011)(1012)25s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦甲, 222221(107)(108)(1012)(1013) 5.25s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦乙, 因为22S S <甲乙,所以估计两组技工的平均水平一致,而甲组技工的生产水平的稳定性要较乙组更好一些.（3）因为两组技工单位时间内生产的合格零件个数不小于10的有6个,其频率为30.55>, 所以可以估计该车间50%以上的技工都是生产能手. 点评：本题主要考查了茎叶图、方差以及古典概型的概念，属于基础题. 19．在四棱柱1111ABCD A B C D -中,已知底面ABCD 是边长为2的菱形,且11A AB A AD ∠=∠.（1）证明:BD ⊥平面1A AC ;（2）若60BAD ∠=︒,1tan 4A AC ∠=,且该四棱柱的体积为12,求1AA 的长.答案：（1）答案见解析（251（1）设AC 与BD 的交点为O ,连接1A O ,由题意根据三角形全等，可得11A B A D =,又O 是BD 的中点,可得1AO BD ⊥,又BD AC ⊥，根据线面垂直的判定定理，即可证明结果；（2）过1A 作1A E AC ⊥,由线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，可证明1A E ⊥平面ABCD ,根据棱柱的体积，可得123A E =,再根据1tan 4A AC ∠=，可得3AE =,再由勾股定理即可求出结果. 解：（1）设AC 与BD 的交点为O ,连接1A O ,Q AB AD =,11A AB A AD ∠=∠,11AA AA =,∴11A AB A AD ∆≅∆, ∴11A B A D =,又O Q 是BD 的中点,所以1AO BD ⊥, 另由BD AC ⊥且1AC AO O =I , ∴BD ⊥平面1 A AC .（2）过1A 作1A E AC ⊥,由（1）知BD ⊥平面1 A AC ,且1A E ⊂平面1 A AC ,∴1A E BD ⊥,而AC BD O =I , ∴1A E ⊥平面ABCD ,Q 60BAD ∠=︒,所以棱形ABCD 的面积3S =∴棱柱的体积112312V S A E A E =⋅==, 即123A E =又1tan 4A AC ∠=,∴3AE =,∴13511242AA =+=. 点评：本题主要考查了线面垂直的定义和判定定理的应用，属于中档题. 20．已知函数()ln ,xf x e m x m R =-⋅∈.（1）设1x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性;（2）若4m e =,证明()f x 有且仅有两个不同的零点.(参考数据:15.15e e ≈) 答案：（1）答案见解析（2）答案见解析（1）根据极值的概念，可得m e =,根据导数在函数单调性中的应用，即可求出结果； （2）因为4m e =，所以()130f e '=-<,()2(2)0f e e '=->,可知在()1,2内存在0x ,使得()00f x '=,()f x 在()00,x 上单调递减,在()0,x +∞上单调递增,又根据零点存在定理，可知在12(1,2),(2,3)x x ∈∈,使得()()120f x f x ==,即可证明结果. 解：（1）因为()x mf x e x'=-,1x =是()f x 的极值点, 所以()110f e m '=-=,解得m e =,即()xe f x e x'=-, 又因为xy e =与ey x=-在()0,∞+上单调递增, 所以当01x <<时,()0f x '<;当1x >时,()0f x '>, 即()f x 在()0,1上单调递减,在()0,∞+上单调递增.（2）因为当4m e =时,()4xef x e x'=-在()0,∞+上单调递增, 因为()1430f e e e '=-=-<,()242(2)02e f e e e '=-=->, 所以存在()01,2x ∈,使得()00f x '=,即()f x 在()00,x 上单调递减,在()0,x +∞上单调递增,另由()10f e =>,()()224ln 2(4ln 2)ln ln160ef e e e e e e =-=-=-<,而()32(3)4ln34ln30f e e c e =-⋅=->,所存在12(1,2),(2,3)x x ∈∈,使得()()120f x f x ==, 即()f x 有且仅有两个不同的零点 点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题，属于中档题．21．在直角坐标系xOy 中,已知12F F 、分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点,C 的离心率是12,直线:l y kx m =+与C 相交于M N 、两点. （1）当l 经过1F 且212MF F F ⊥时,求k 的值;（2）记直线OM ON 、的斜率分别为12k k 、,若1234k k ⋅=-,试求MON ∆的面积. 答案：（1）34±（22 （1）因为212MF F F ⊥,根据椭圆方程可得2,b M c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭,再根据斜率公式和离心力即可求出斜率k 的值；（2）根据离心率，化简整理可得椭圆C 为2223412x y c +=，联立方程组2223412x y c y kx m⎧+=⎨=+⎩,化简得()()22223484120k x kmx m c +++-=,根据韦达定理以及1234k k ⋅=-，化简可得222234m c k=+,然后再根据121||2AOB S x x m ∆=-⨯，利用韦达定理，即可求出结果. 解：（1）因为212MF F F ⊥,所以设()0,M c y ,代入22221x y a b+=中,解得20b y a =±,即2,b M c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭,而()1,0F c -,所以22221322224b b ac a c a k c ac ac c a ±-⎛⎫==±=±=±⨯-=±⎪⎝⎭. （2）因为222a b c =+,且12c a =, 故2a c =,b =,设椭圆C 为2223412x y c +=,()()1122,,,M x y N x y ,联立方程组2223412x y c y kx m ⎧+=⎨=+⎩,化简得()()22223484120kxkmx m c +++-=,()()22222644344120k m k m c ∆=-⨯+->,化简得222234m c k c <+,所以122834km x x k +=-+,2212241234m c x x k -=+,故()()222222121212212122212121231234124k x x km x x m km x x m y y m k c k k k x x x x x x m c +++++-===+==--,化简得2222243m k c c =+,即222234m c k=+,显然满足>0∆, 又121||||||2AOB S x x m m m ∆=-⨯==||m =22222||3434m m k k===++. 点评：本题主要考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()1cos sin x a y a θθ⎧=+⎨=⎩（0a >，θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为21cos ρθ=-.（1）求1C 的普通方程与2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有四个公共点，求a 的取值范围.答案：（1）曲线1C 的普通方程为()222x a y a -+=，曲线2C 的直角坐标方程为244y x =+；（2）()4,+∞.（1）直接消参可得1C 的普通方程，利用公式ρ=cos x ρθ=可得2C 的直角坐标方程；（2）联立1C 与2C 的方程，根据判别式和根与系数的关系，列不等式可得a 的取值范围. 解：（1）由cos x a a θ-=，sin y a θ=，两边平方得()222x a y a -+=， 故曲线1C 的普通方程为()222x a y a -+=，又由ρ=cos x ρθ=，代入cos 2ρρθ-=2x =+，当2x ≥-时两边平方，并整理得244y x =+， 故曲线2C 的直角坐标方程为244y x =+.（2）联立1C 与2C 的方程得()24240x a x +-+=，因为0a >，要使1C 与2C 有且仅有四个公共点， 则方程()24240x a x +-+=有两个大于0的正根，所以()224042160a a ->⎧⎪⎨∆=-->⎪⎩，解得24a a >⎧⎨>⎩，即a 的取值范围为()4,+∞. 点评：本题考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的互化，考查曲线交点问题，是基础题.23．已知函数()53f x x x =-+-. （1）求函数()f x 的最小值m ；（2）若正实数a ，b 满足224ba m +=，证明：122ab +≥.答案：（1）2；（2）详见解析.（1）根据绝对值不等式||a b a b +≥-便可得出532x x -+-≥，从而即可得函数()f x 的最小值；（2）将2m =代入，将222124b a a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开整理，利用基本不等式即可求其最小值，进而可得12a b+的最小值. 解：解：（1）()()()53532f x x x x x =-+-≥---=， 所以函数()f x 的最小值2m =；（2）由（1）知2224b a +=，因为22212144a b a b ab ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，所以222222144114424b a a b ab a b ab ⎛⎫⎛⎫++=⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222144224a b a bb a b a ⎛⎫=⨯++++ ⎪⎝⎭， 因为2222424a b b a+≥，44a b b a +≥（当且仅当2b a =时取等号）， 所以()212124242a b ⎛⎫+≥⨯++= ⎪⎝⎭（当且仅当2b a =时取等号），即122a b+≥（当且仅当2b a =时取等号）， 当2b a =，2224b a +=时，解得1a =，2b =，即122a b+≥（当且仅当1a =，2b =时取等号）. 点评：本题考查绝对值不等式公式||a b a b +≥-以及基本不等式的应用，是中档题.。
