下载文档原格式
观课有感郑毓信（南京大学哲学系）笔者近期应邀参加了浙江省教育学会小学数学教学分会于湖州召开的第七届年会。
这次会议共组织了6堂课进行观摩交流，受到了与会者的普遍好评。
由于时间的限制，笔者未能观摩全部的课程，从而就不可能对这次会议作出全面评价。
以下只是以所看到的两堂课的内容为背景提出自己关于小学数学课程改革的两点想法。
一在先前的一篇相关文章“课程改革2005——论促进数学课程改革的深入发展”中，笔者曾表达了这样的观点：随着课程改革的逐步展开我们应当不断发展和深化自己的认识，特别是，这更应被看成数学课程改革深入发展的关键所在，即是应当由较为重视形式的改变（即如对于某些新的教学形式，如合作学习与学生主动探究等，的积极提倡）转向更为重视相关的实质问题，并应通过积极的教学实践与深入的理论研究从而才能取得切实的进步。
也正是在这样的意义上，笔者以为，这次会议所组织的几堂观摩课就应得到充分的肯定，因为，除去“普通人上普通课”、而不是刻意地去制造某些“样板课”这一基本的指导思想以外，这次会议更有意识地围绕一些对于课程改革的深入发展具有普遍意义的重要问题进行了积极探索。
例如，会议所组织的前三堂观摩课就都突出了这样一个主题，即是在课程改革这一新形势下应当如何应用“学生预习”这一传统的教学方法，而这显然应当被看成课程改革深入发展的一个重要课题，即是如何在这一新形势下很好地去继承和发扬我国优秀的数学教学传统，包括像“自学-辅导”等这样一些经由长期教学实践与理论总结而逐步发展起来的数学教学方法或教学模式。
另外，还应提及的是，这三堂课的主要内容又都可以被归结为抽象概念的学习（“垂直与平行”；“圆的认识”；“圆周率与圆的周长”），而这又应被看成数学课程改革深入发展所必须解决的一个“难点（问题）”，即是如何才能帮助学生很好地理解与掌握各个较为抽象的数学概念，特别是，由于数学概念的学习主要地是一种文化继承、而非独立创新的过程，因此，这里的关键就在于如何很好地去处理“文化继承”与“学生主动的意义建构”这两者的关系，因为，所说的“文化继承”显然不应被理解成概念学习只能是一个被动的接受过程，恰恰相反，我们应当努力帮助学生较好地去理解相关的抽象概念，而这事实上也就是一个意义建构（更为准确地说，应是社会建构）的过程。
郑毓信数学教育的20个问题（摘自小学教学2014年第5期）问题1、我们究竟应当如何认识与处理“情境设置”与“数学化”之间的关系？数学教学中“去情境”的主要手段是什么？问题2、在积极鼓励学生主动探究的同时，教师应如何发挥指导作用？数学教师在这方面的“基本功”（能力）是什么？问题3、好的“合作学习”应当满足的基本要求是什么？从数学教学的角度看，我们应当如何实现这些要求？数学教学在这方面是否有其一定的特殊性？问题4、应当如何认识“动手实践”与数学认识发展之间的关系，特别是，“活动的内化”的真正含义与有效途径是什么？问题5、应当如何看待数学教学方法的改革？在这一问题上我们是否应当允许乃至积极提倡教学方法的多元化？问题6、教师专业成长的主要途径是什么？教师专业成长是否可以单纯地依靠所谓的“理念先行”与“专家引领”（更为一般地说，就是理论学习）得以实现？问题7、这是否也是一种失误：数学教学只讲“算法多样化”，却忽视必要的优化；只强调“过程的教育，却忽视相应的“结果”?问题8、教育领域中比较研究的主要价值是什么？问题9、我们应如何看待所谓的“中国数学教育（学）传统”？问题10、由教学方法的改革转向教学模式的研究能否被看成真正的进步？我们又该如何看待所说的“模式潮”，包括各个在当前最为流行的教学模式？我们又如何才能促进教学模式研究的深入发展？问题11、关于“以学为中心”的若干思考（一）①我们在教学中是否应当特别重视“先学后教”这一个时间顺序，以至于在任何情况下都不应加以违背？②为了确保“以学为主”，我们又是否应对每一堂课中教师的讲课时间作出硬性规定，比如不能超过10分钟或15分钟。
③为了切实强化“学生议论”这样一个环节，对教师中课桌的排列方式我们是否也应作出必要调整，比如由常见的“一行行”变为“之字形”：作为摆在教室中间，教师四周都是黑板？问题12、关于“以学为中心”的若干思考（二）①“凡是学生能够学会的，教师就不应当教”，这样的说法是否真有道理？②“学生自主学习（探究）”是否也有一定的局限性？在突出强调“学生自主学习”的同时，教师又应如何去发挥指导作用？③“以学为中心”对于教师的专业成长有哪些新的含义与要求？问题13、关于“以学为中心”的若干思考（三）①现实中我们应当如何处理学生的“课前学习（研究）”与“努力减轻学生负担”这两者之间的矛盾？②要求学生“自主阅读“如何才能防止由“讲灌”变成“书灌”？我们又如何去进行“导学”才不至于使之成为束缚学生思想的桎梏？③“尝试教学”是否应当特别强调“尝试与成功”与“尝试与错误”作出明确的区分？④教学中如何才能很好地发挥“学生议论、讨论”的作用？⑤我们又应如何防止或解决由于采取“以学为中心”这样一种教学模式而造成学生间“两极分化”的加剧。
南京之行——走近大师城关中心小学周明芳我怀揣着仰慕之心，带着取经之意，更带着一名小学教师的教育梦想来到第16届‚现代与经典‛全国小学数学教学观摩研讨会，这是中国最具影响力的教育盛会之一。
研讨会汇集了几个省市的专家和名师共13位，他们的讲座和所带来的课对于我们这些学习者来说就是丰富的盛宴，三天的学习很快结束了，我想我们每一个去学习的人都有不同的但很大的收获。
对于我个人，我认为这届的现代与经典举办的非常有意义，非常有必要，因为它不仅让我感受到了大师的风采，而且充实了更多的理论知识，更让我开阔了视野，解放了思想，打动了内心。
无论是专家的讲座，还是名师们的讲课从听课，都让我有所感动和收获，有着许多不能用言语表达的收获。
下面就来谈谈我的几点体会：一、专家的讲座，改变了教育观念，提高了理论水平作为一名年轻教师，我有了一定的理论知识和工作经验，但既不够系统也不够丰富。
通过老师深入浅出的讲授，感觉豁然开朗，许多问题从理论上找到了依据，对原来在教学中觉得不好解决的课题找到了切入点,感觉收获很大。
南京大学数学博士生导师郑毓信的《课程标准（2011）的‚另类‛解读》，他从以下几个方面进行了解读：（一）背景与基本立场；(二)两点具体的思考；(三)对于一线教师的具体建议——关于‚数学活动经验‛的教学及关于‚数学思维‛的教学；(四)聚焦‚核心概念‛。
通过郑教授这课标的另类解读让我知道了教学不能是只流于形式，不是专家怎么样说我们就跟着怎么样做，我们也要有自己独特的想法，要深入的去了解，吸其精华，去其糟粕，必须有批判的精神。
同时他强调了如何落实新课标对于我们一线教师确实是非常重要的，他还对十个核心概念进行了细致的解读，他让我们的教学应该由‚深藏不露‛逐步过渡到‚画龙点睛‛；由‚点到为止‛逐步过渡到‚清楚表述‛；由‚教师示范‛逐步过渡到‚主要促进学生的自我总结与自觉应用‛他的这几点建议确实值得我们这些一线教师采纳。
接下来就是数学王子张齐华老师的《孩子的问题哪去了？》，他幽默、精炼的语言，抑扬顿挫，充满激情，使每个听课老师如沐春风，听了他的报告让我感觉到他不愧为数学王子的称号。
杭州学习汇报这次杭州“千课万人”之行，最让我记忆犹新的一句话是：好的数学不但要传授知识，而且要启迪智慧，更要滋润生命。
——华应龙最让我记忆深刻的是黄爱华老师的“大问题教学”的开场。
你总是心太软，心太软，独自一个人讲课到铃响，你任劳任怨地分析那课文，可知道学生心里真勉强。
你总是心太软，心太软，把所有问题都自己讲，教学总是简单，交流太难，不是你的，就不要多讲。
铃响了，你还努力在讲，你还要讲几分钟吗？你这样讲解到底累不累？明知学生心里在埋怨，只不过想好好讲透课，可惜学生无法给你满分。
多余的牺牲，你不懂心痛，你应该不会只想做个“讲师”，噢，算了吧，就这样忘了吧，该放就放，再讲也没有用，！傻傻等待，学生学会依赖，你总该为学生想想未来!光看还不算，黄老师还让我们全体在场者和着音乐一起唱。
这不得不说是一个极具亲和力的开场。
我也借鉴一下，活跃一下气氛吧！这次杭州“千课万人”活动整体可以用一个“大”字来形容。
第一是“大气”，全国五湖四海的老师们怀抱着一颗提升自我的热切之心，不远万里来到杭州，而组委会也是以无数数学界大咖所执教的高品质精品课回报。
第二是“大容量”，短短四天时间，光白天我们就可以欣赏并学习到33节好课和6场报告会，晚上则是以论坛形式进行，直到十点。
这次活动每天都有一个活动专题及相对应的课程安排。
第一天的主题是：经历知识形成过程，体会数学核心概念。
第一堂课的执教者徐长青老师凭借其独特的个人魅力以及幽默睿智的教学语言，使得学生们在一个又一个极富创意与连接性的游戏中不知不觉地收获知识。
记得曾经有位数学名师如是评价徐长青老师：我老婆是个超铁杆韩剧爱好者，但是自从看了徐老师的视频课，她再也不看韩剧了。
确实，这次徐老师所执教的《重叠问题》堪称此次活动的开门红，让学生和老师们从开始一直笑到了结束。
课堂从《理发师的困惑》入手，激起了学生的学习兴趣。
记得我也曾试过以“两对父子为何只有三个人”作为导入，现在一对比，才知道不管是从情景设置，还是从提问以及教学语言方面，我都做得太不够。
□专 稿□美国《数学课程标准(2000)》简介南京大学哲学系 郑毓信 日前,国内一些刊物同时刊出了《关于我国数学课程标准研制的初步设想》(本刊在1999年第5期刊出).这是一项很有意义的工作,相信必然会对我国数学教育事业的深入发展产生持久和深远的影响.作为一种积极的反响,笔者愿对美国数学教师全国委员会(NCTM)近期发表的新的数学课程标准———《学校数学的原则和标准》(讨论稿)(以下简称为《课程标准(2000)》)作一介绍,希望能起到一定的借鉴和启示作用.与《关于我国数学课程标准研制的初步设想》不同,美国的《课程标准(2000)》并非一个完全创新的工作.因为,美国数学教师全国委员会在10年前已颁布了它的第一个数学课程标准———《学校数学课程和评估的标准》(以下简记为《课程标准(1989)》);另外,除去这一标准外,美国数学教师全国委员会曾于1991年和1995年分别发表了它的两个姐妹篇:《数学教学的职业标准》和《学校数学的评估标准》,后者就构成了制订这一新的课程标准的直接基础,或者说,新的课程标准即是代表了对于《课程标准(1989)》的一种自觉“反思和再思考”.美国数学教师全国委员会之所以始终坚持课程标准的制订和修改,主要是为了“保证质量、指明目标、促进变化”.而且,由过去10年的实践看,尽管对《课程标准(1989)》存在多种不同的评价或看法,更有人提出了十分尖锐的批评(详可见另文《世纪之交的美国数学教育》,载《数学教育的现代发展》,江苏教育出版社,1999年).但是,这又是各方面的一个共同意见———认为《课程标准(1989)》对于促进美国的数学教育发挥了十分重要的作用,特别是,这不仅使得整个“数学教育共同体”(包括数学家、数学教育工作者和广大的数学教师)集中于数学教育的各个基本问题,而且也使数学教育成为一般民众共同关注的一个热点.显然,这就清楚地表明了制订国家数学课程标准的重要性;当然,由《课程标准(1989)》到《课程标准(2000)》的发展,则又表明科学的“国家数学课程标准”的制订并非是一个一劳永逸的简单过程,而是必然有一个不断改进和发展的过程.总的来看,《课程标准(2000)》应当说仍然坚持了《课程标准(1989)》的基本立场,即认为学校数学教育应使所有的学生、而不只是少数人在数学上达到高标准.特别是,新的课程标准仍然坚持了如下的5个目标,即我们应使学生:(1)学会认识数学的价值;(2)对自己的数学能力具有信心;(3)具有数学地解决问题的能力;(4)学会数学地交流;(5)学会数学地推理.但是,在坚持上述基本立场的同时,《课程标准(2000)》与《课程标准(1989)》相比,无论内容或表述形式都有了较大的变化.之所以出现这样的变化,其首要的目的是为了对旧的课程标准所暴露出来的一些弊病作出纠正.例如,新的课程标准明确地提出了这样一点,即应“对基本技能和概念学习的作用作出更为明确的论述”.另外,在过去10年中所出现的一些现象也引起了新的课程标准编写者们的高度重视.例如,在过去的这些年中,曾出现了关于《课程标准(1989)》的多种不同解释,从而就使得相应的教学实践出现了一些不应有的现象,如人们把课程标准中所列举的“应予淡化的论题(Topics to Receive Decreased Attention)”不适当地解释成了应把这些论题从学校数学课程中完全舍去.最后,社会的进步也促使人们不断地去对数学课程标准作出必要的发展和改进.以下我们围绕新的课程标准的主要特点与“指导性原则”和“活动的标准”对《课程标准(2000)》作简要的介绍.一、《课程标准(2000)》的主要特点第一,重点突出.新的课程标准在整体上是围绕以下两个问题展开的:(1)为了使所有的学生实现数学上的高水准,相应的教学设计应是什么样的?(2)在整个学习过程(从学前到十二年级)中,学生应当并且可能掌握哪些数学内容和能力?具体地说,新的课程标准共给出了10个标准,其中5个是关于数学内容的,包括“数和运算”,“模式、函数和代数”,“几何与空间感”,“度量”和“数据分析、统计与概率”;另外5个则是关于数学活动的(原文为process,但从上下文看,译为“活动”似较为恰当),包括“问题解决”、“推理与证明”、“交流”、“联系”和“表述”.依据各个年级组(新的课程标准将学生的全部学习过程分为“由学前到二年级”、“由三年级到五年级”、“由六年级到八年级”和“由九年级到十二年级”这样四个年级组)对这些标准作出具体说明,即就构成了《课程标准(2000)》的主要内容.《课程标准(2000)》明确指出,文件中关于数学课程标准的论述并非包罗一切,无所遗漏;恰恰相反,其中所论及的只是若干对数学教学设计特别重要的因素.一般地说,这事实上也就体现了新的课程标准编写者们的一个主要意图,即不应过分强调标准的规范性,而应给各级数学教育工作者(教材编写者、课程设计者、学区管理人员、数学教师、考核设计者等)的创造性活动留下充分的空间或余地.如果说上述的标准构成了新的课程标准的核心,那么,关于教学设计的若干原则就为所说的标准提供了必要的理论支持(可参见图1).具体地说,《课程标准(2000)》共提出了6个原则:平等性原则、关于课程的原则、关于教学的原则、关于学习的原则、关于评估的原则和技术性原则(关于这些原则的具体内容见以下介绍).第二,高度的一致性.首先,与先前的做法不同,美国的数学教师全国委员会这次将“课程标准”、“教师标准”和“评估标准”这三者有机地统一了起来.考虑到现实中评估的改革严重滞后于整个数学教育的改革,这一新的做法无疑有利于这样一种观念的养成,即评估的改革也应被看作整体性的数学教育改革的一个有机组成成分.其次,更为重要的是,《课程标准(2000)》的主要内容全是围绕上述的10个标准展开的,也即是就各个年级组具体地指明了所应达到的深度和广度以及相对于不同年级的不同重点.显然,这不仅较好地体现了整个课程的连续性,而且也清楚地表明了课程(与学生学习过程)的发展性和阶段性.例如,就“推理与证明”这一标准而言,《课程标准(2000)》对各个不同的年级组提出了如下的不同要求:在学前到二年级组,我们应帮助学生学会应用具体模型对自己的结论作出说明;在三到五年级组,学生应能通过观察和实验作出预言并对此作出论证;在九到十二年级组,学生则应掌握较为复杂的论证过程.由下表我们可看出《课程标准(2000)》的基本结构和主要内容:序言(第一章)指导性原则(第二章)课程标准(第三章)学前到二年级(第四章) 三到五年级(第五章)六到八年级(第六章) 九到十二年级(第七章)结论(第八章) 第三,较强的针对性.正如上面所提及的,针对已有的教学实践所暴露出来的弊病以及由于社会进步所造成的新的局面,《课程标准(2000)》与原来的课程标准相比包括了不少必要的修正或补充.例如,在现有的教学设计中可以看到这样的倾向,即某些方案只是注意了教法的问题,而未能对学生的学习过程给予足够的重视.与这种做法相对立,新的课程标准明确地提出了关于数学活动的5项标准,这在一定程度可以看成是克服上述错误倾向的一种自觉努力;另外,更为一般地说,新的课程标准不仅明确提出了什么是学生所应达到的,而且也指明了什么是学生所能达到的,后者显然也立足于对学生学习过程的深入研究.再例如,技术的进步无疑为数学教育的深入发展提供了新的挑战和机遇,特别是计算机技术的迅速发展和普及,不仅为我们搞好数学教学提供了新的更为有效的手段,而且也必然会导致教学内容与学习方式的重要变化.正是基于这样的认识,与先前的课程标准相比,新的课程标准更加突出了技术的作用,并增加了“技术性原则”这样一条指导性原则.另外,值得提及的是,新的课程标准去掉了“离散数学”这样一个论题,这不仅是因为离散数学的重要性现已得到了普遍的认同,而且是因为在已有的实践中我们可看到这样的现象,即人们很容易把离散数学看成是与传统教学内容完全不相干的一个新的分支.正是基于这样的认识,在新的课程标准中,离散数学的有关内容大部分就被整合到了其他的内容之中.例如,在数系、代数和几何的学习中,算法的发展、应用和分析就都占据了一个十分重要的位置.第四,必要的基础.以下几点即可说是为新的课程标准提供了必要的基础.其一,数学教育的理论研究.特别是,这就为科学地确定在各个特定水平学生能够达到怎样的水准提供了重要的依据.其二,专家(包括数学家和数学教育家)的判断,包括数学上的考虑、社会的需要、公众的期望等.显然,这就为具体地确定什么是学生所应达到的标准提供了必要的基础.其三,已有的实践.这不仅包括反面的教训,而且包括成功的实例.这些实例的重要性就在于,与抽象的理论相比,具体的事例有着更大的说服力.显然,从这样的角度去分析,新的课程标准与《课程标准(1989)》相比就可说是代表了一个真正的进步.这就是说,如果没有这些新的思考,而只是惟一地着眼于如何去纠正《课程标准(1989)》的弊病,那么,新的课程标准的制订充其量就只是一种修补性的工作.二、六项指导性原则在总体上说,所说的指导原则就是为数学教学设计的各个环节(包括课程设计、教法设计、考核设计等)提供必要的指导.第一,平等性原则.是指数学教学设计应当促进所有学生的数学学习.显然,这一原则集中地体现了上述的基本立场,即数学教育应使所有的学生、而不只是少数人在数学上达到高标准.也正是在这样的意义上,《课程标准(2000)》提出,平等性是与高标准直接相关的.另外,针对美国的现实情况,新的课程标准提出应当努力消除以下的不平等现象,即女性、少数民族和来自贫困家庭的儿童往往不能得到应有的数学教育.文中指出,实现上述目标的关键就在于:第一,应当改变不正确的传统观念,相信一切学生都可以学好数学;第二,应对这些儿童提供更多的支持.第二,关于课程的原则.这是指数学教学设计应当突出重要的和有意义的数学,并设计出协调的和综合的数学课程.那么,究竟什么样的数学是重要的呢?对此《课程标准(2000)》提出了这样几条标准:第一,从数学本身看;第二,从数学在数学以外的应用看;第三,从认知发展的角度看,即相关的题材是否有利于调动学生的学习积极性,或能使他们更为清楚地认识数学的意义.另外,所谓课程的协调性和综合性则分别是指,课程中的各个部分应密切相关,而不应是互不相干的;整个课程应在各个对立环节之间实现较好的平衡,即如程序性知识与概念性知识的平衡,既能帮助学生掌握具体的数学知识和技能,又能帮助学生了解数学的本质和应用,等等.第三,关于教学的原则.这主要是指数学教学设计的实施依赖于有能力的教师.作为这一原则的具体阐述,《课程标准(2000)》突出地强调了教学活动的创造性,如教师应当根据总的教学目标和学生的情况决定具体的教学任务,并能很好地指导学生的课堂讨论,等等.特殊地,这种关于教学活动创造性的明确肯定,显然也就与对于《课程标准(1989)》的以下批评构成了直接的对立:《课程标准(1989)》过分地强调了某些教学形式(如小组学习等),而未能给教师留下充分的自主权.作为实现上述目标的关键,《课程标准(2000)》提出,教师应善于对数学、学习活动的本质及已有的实践作出自觉的分析与反思;另外,有关方面也应为教师在业务上的不断提高提供更大的帮助.第四,关于学习的原则.这是指数学教学设计应使学生理解数学和应用数学.显然,这一原则表明了这样的观点,即数学学习是与理解和应用密切相关的.另外,就理解而言,《课程标准(2000)》提出,这既与学生已有的知识和经验有关,即主要是一个整合(同化与顺应)的过程;同时又是一个文化继承的行为,也即是这样的一个过程:学习者逐步成为了数学共同体的一员.容易看出,以上的观点即是建构主义(特别是社会建构主义)学习观的直接反映.《课程标准(2000)》明确提出了这样的观点,数学学习未必是一件乐事,也需要艰苦的工作,后者又以全身心的投入为必要的前提.应当指出后一观点也有着很强的针对性,因为,过分强调学生的兴趣也是前些年的数学实践的暴露出来的一个错误倾向.《课程标准(2000)》还提出了这样的目标:数学教学应当努力提高学生的学习能力,即使学生成为“自主的学习者”.第五,关于评估的原则.这一原则是指数学教学设计应当包括评估以指导、强化和评价学生的数学学习,并为教师提供必要的信息.《课程标准(2000)》指出,以下两点可以被看成评估工作的实际出发点:对什么进行评估?为什么要进行评估?另外,为了作好评估,我们则应注意评估方法的适当性并对所获得的信息作出仔细的分析.因为,这是一个基本的事实,即存在有多种不同的评估方法,如选择性问题、建构性问题、非常规性问题、课题研究、观察、谈话和学习日记等,而且,这些方法又有着不同的适用范围;另外,就所获得的信息的分析而言,我们则又应当特别注意结论的一致性.最后,《课程标准(2000)》指出,适当的评估不仅对于改进教学有着十分重要的作用,而且对于学生的成长也有很大的好处,特别是,这能促使学生主动地承担起责任,并进一步增强学习的自主性.第六,技术性原则.这是指数学教学设计应当利用现代技术帮助学生理解数学,并为他们进入技术性不断增强的社会做好准备.事实上,技术,特别是计算机技术的迅速发展,即可说是最为清楚地表明了社会进步的迅速性.例如,在今天,对于大多数美国学生来说,计算机和网络已经成为日常生活的一个部分,在教学中更已出现了多媒体教学和远程教学这样一些新的教学方法或手段.显然,面对这样的现实,明确地提出“数学教学应当为学生们进入技术性不断增强的社会做好准备”不仅十分恰当,而且也是完全必要的.另外,就现代技术在数学教学中的应用而言,一个关键的问题就在于,我们不仅应当清楚地认识现代技术为数学教学所提供的新的前景,如学生能够积极地去从事数学的探索,并真正从事实际生活中数学问题的分析,从而也就能够更好地领会数学的意义;我们也应清醒地看到这种应用所可能造成的消极后果,如若只是满足于观察和实验就可能使学生认识不到证明的必要性,对于计算器的依赖则又可能极大地削弱学生的计算能力.也正是在这样的意义上,《课程标准(2000)》提出,我们应当区分对于现代技术“好的应用”和“坏的应用”.显然,这是一个十分重要的问题.三、活动的标准如前所述,《课程标准(2000)》中给出了两类不同的标准,即所谓“内容的标准”和“活动的标准”.两者的区别可以大致描述如下:前者具体指明了什么是学生应当知道的,后者则是指明了实现上述目标的具体途径,特别是,如何才能达到或加强数学的理解;另外,从更深入的层次看,这里的“活动的标准”又是与通常所说的“数学能力”(包括数学思维能力)直接相联系的.由于“内容的标准”是人们较为熟悉的,以下我们就着重对《课程标准(2000)》中所给出的5个“活动的标准”(标准6～标准10)作以介绍.标准6.问题解决.这是指,我们应帮助学生通过问题解决获得数学知识;养成表述、抽象、一般化这样的思维习惯;能应用多种解题策略解决问题;并能对解题过程中的思维活动作出调节和反思.《课程标准(2000)》指出,问题解决不仅关系到了数学教育的一个主要目标,即应努力提高学生解决问题的能力,而且也是学生学习数学的一种重要手段,即可通过问题解决获得新的知识.显然,从后一角度去分析,以下就是一个不适当的看法,即认为只有当学生具备了“足够的知识”时,才可以为其提供解决问题的机会.另外,突出数学的思维习惯,则清楚地表明了这样一种认识,即我们不能满足于解答的获得,而应积极地去从事进一步的工作,如对结论加以推广,探究不同的解题方法,等等.应当指出,这事实上就代表了对于“问题解决”这一始于80年代的数学教育改革运动的自觉反思(可参见另文《关于大众数学的反思》,《数学教育学报》,1994年第5期).标准7.推理与证明.这是指,我们应帮助学生认识到推理和证明是数学的一个十分重要的成分;让学生进行猜测并对此进行考察;逐步学会数学论证和证明,并能对各种论证和证明的方法作出适当的选择和应用.一般地说,以下即是这方面最为重要的一个思想,即推理和证明应被看成数学的一个有机组成成分,而并非是一个外加的部分,特别地,这即是达到真正理解的重要一环.因而,对于推理和证明的学习就贯穿于全部的学习过程之中.其次,我们又应看到推理与证明的学习是一个逐步深入的过程,其中必然包含着由简单到复杂,由非形式到形式化的发展过程;最后,为了帮助学生很好地发展这方面的才能,一个特别重要的环节就在于,教师应当努力创造一个好的学习环境,在其中,大胆表述和积极的批评能得到大力的提倡.标准8.交流.这是指,我们应帮助学生学会对自己的数学思想进行组织和澄清;并能清楚地、前后一致地表达自己的数学思想;能通过对其他人的思维和策略的考察扩展自己的数学知识,并能学会使用精确的数学语言.由以上内容可以看出,这一标准事实上包括了两个方面,即通过交流去学习数学,以及学会数学地交流.特殊地,对自己的数学思想进行组织和澄清即可被看成交流的第一步,而这就清楚地表明了交流对于数学学习的特殊意义,因为,组织和澄清就是一个反思的过程,从而不仅会导致更深刻的理解,而且也会促使学生对先前的思想作出必要的修正与改进.另外,对其他人的思维和策略进行考察无疑有助于学生学会批判地思维,而且,从更深入的层次看,这更反映了这样一种认识,数学是一种群体的活动.值得指出的是,《课程标准(2000)》对“数学地写”(与“数学地谈论”一样,这也是数学交流的一个重要方面)在数学学习中的作用作了较为具体的分析.标准9.联系.这是指,我们应当帮助学生认识不同数学思想的内在联系,并能对此加以应用;理解数学思想如何彼此相关从而构成了一个协调的整体;并能在数学以外的情景中辨认、学习和应用数学.由此可见,所说的联系包括了两个方面的含义,即数学内部的联系与数学与数学以外的联系.就前者而言,一个核心的思想就在于,我们应帮助学生清楚地认识到数学是一个整体,而这事实上也就应当被看成数学思维的一个重要内容.另外,就数学的学习而言,知识的相关性则又明显地表现于以下的事实,即已有的知识为新的学习活动提供了必要的基础,新的学习则不仅加深了已有的认识,并构成了已有知识的一种推广和发展.《课程标准(2000)》强调指出,我们应当善于利用数学的内在联系加深理解和解决问题.标准10.表述.这是指,我们应当帮助学生创造和应用适当的表述以对数学思想进行组织、记录和交流;逐步掌握各种表述方法,从而能有目的地、熟练地、恰当地加以应用;能利用表述对物理的、社会的和数学的现象作出模型和解释.《课程标准(2000)》指出,表述直接关系到了学生对于数学概念的理解、交流和应用,特别是,就数学模型的建构而言,这不仅是“数学化”思想的具体体现,而且也直接关系到了数学是“模式的科学”这样一个本质特性.另外,这方面的一个基本事实就在于:同一数学对象或关系可能有多种不同的表述方法(如函数关系的公式表示法、图象表示法和表格表示法),它们适用于不同的目的或场合,从而,我们就应注意帮助学生作到对各种表述方法的恰当和熟练的应用.。
核心概念与小学数学教学（上）郑毓信【期刊名称】《湖南教育（下旬刊）》【年(卷),期】2015(000)005【总页数】6页(P22-27)【作者】郑毓信【作者单位】【正文语种】中文1.新一轮数学课程改革实施以来，人们对核心概念应当说不再感到陌生。
无论是实验版《数学课程标准》（以下简称实验版课标）还是2011年版的《数学课程标准》（以下简称新课标），都采用了这样一个表述方式，尽管相关内容有所发展或调整。
以下就是实验版课标所采用的6个核心概念：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力。
新课标则扩展到了10个：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。
就核心概念的学习和理解而言，当然应当首先思考这样一个问题：新课标究竟为什么要引入核心概念，或者说，新课标中明确提出核心概念究竟有什么作用？以下就是相关的论述。
“核心概念的设计与课程目标的实现、对课程内容实质的理解以及教学的重点难点的把握有密切关系。
”[1]这也就是指，我们应当围绕核心概念理解课程的具体内容并组织教学，这也可被看成落实课程目标的主要途径和基本保证。
“核心概念体现数学内容的本质。
核心概念本质上体现了数学的基本思想，反映了数学内容的本质特征以及数学思维方式。
”[1]“核心概念对深入理解和掌握相关数学知识不可缺少，也是学生是否能够把握数学思想、数学的思维和恰当地运用数学知识与方法解决问题的重要标志。
理解和落实核心概念是数学教学中始终应当把握的一条主线。
”[1]“核心概念提出的目标之一，就是在具体的课程内容与课程的总体目标之间建立起联系。
通过把握这些核心概念，实现数学课程目标。
”[1]但是，从理论的角度分析，应当说仍然存在一些明显的问题，以下就主要围绕新课标对此作出具体分析。
第一，词语的意义有待说明或澄清，特别是，我们应当如何理解这样一些词语，包括它们的具体含义和区别：感悟、意识、观念、直观、能力、思想等。
郑毓信数学教育哲学郑毓信数学教育哲学郑毓信是中国著名的数学家和教育家，他对数学教育有着独特而深刻的理解和见解。
他认为，数学教育应该注重培养学生的数学思维能力和创新精神，而不仅仅是灌输知识和解题技巧。
首先，郑毓信强调数学教育的生动性。
他认为，教师应该通过丰富多样的教学方法和活动，激发学生对数学的兴趣和热爱。
他主张引入一些生动、有趣的数学问题和游戏，让学生在玩中学、在乐中悟，提高他们对数学的学习积极性和主动性。
他还倡导利用实际问题和生活中的情境进行数学教学，让学生能够将数学知识与实际应用相结合，增强他们解决问题的能力。
其次，郑毓信强调数学教育的全面性。
他认为，数学教育不仅仅要培养学生的计算能力，还应该注重培养他们的逻辑思维能力、问题解决能力和创新能力。
他主张数学教育要注重启发式教学和探究式学习，让学生能够通过自主探索和发现，从而建立起数学知识的系统框架。
同时，他还强调数学教育要培养学生的数学思考习惯和数学思维方式，使他们能够独立思考、善于发现问题和解决问题的方法。
最后，郑毓信强调数学教育的指导意义。
他认为，数学教育不仅仅是为了让学生掌握数学知识，更重要的是培养学生的数学素养和数学能力。
他认为数学是一种重要的思维方式和方法论，它不仅可以帮助学生解决数学问题，还可以帮助他们解决其他学科和现实生活中的问题。
他主张数学教育要培养学生的数学思维习惯和数学思维方式，使他们成为具有创新能力和解决问题能力的终身学习者。
总之，郑毓信的数学教育哲学强调数学教育的生动性、全面性和指导意义。
他认为，数学教育应该注重培养学生的数学思维能力和创新精神，通过丰富多样的教学方法和活动激发学生的学习兴趣和主动性。
他主张数学教育要注重启发式教学和探究式学习，通过培养学生的逻辑思维能力、问题解决能力和创新能力，使他们能够更好地应对未来的挑战。
《数学课程标准(2011)》的“另类解读”
郑毓信
【期刊名称】《数学教育学报》
【年(卷),期】2013(022)001
【摘要】《数学课程标准(2011)》中关于“基本思想”与“基本活动经验”的提倡有不少理论问题需要深入研究；从实践的角度看,又应更加强调“理论的实践性解读”与“教学实践的理论性反思”.特别是,“数学思想,不应求全,而应求用”；相对于数学思想的严格层次区分,又应更加重视具体与抽象、特殊与一般之间的辩证运动.另外,与唯一地强调学生对于活动的参与相对照,应当更加重视这些活动教学涵义的分析；并注意研究如何能够促进学生由“经历”向“获得”的重要转化.最后,以“数感”与“符号意识”为例对如何更好地去理解与落实所谓的“核心概念”进行具体分析.
【总页数】7页(P1-7)
【作者】郑毓信
【作者单位】南京大学哲学系,江苏南京210093
【正文语种】中文
【中图分类】G521
【相关文献】
1.《数学课程标准(2011)》的“另类解读”(下) [J], 郑毓信
2.《数学课程标准（2011）》的“另类解读”（上） [J], 郑毓信;
3.《数学课程标准（2011）》的“另类解读”（下） [J], 郑毓信;
4.团队共研,结伴行远——南宁市“小学数学课程标准(2011年版)核心概念解读”课例研讨活动的策划与实施 [J], 肖炜清;陈强;
5.《数学课程标准(2011)》的“另类解读”(上) [J], 郑毓信
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
郑毓信：《数学课程标准(2011)》的“另类解读”友情提醒：郑教授的文章有四部分：一、研究的基本立场二、聚焦“数学(基本)思想”三、“数学基本活动经验”——困惑与思考四、关于“核心概念”的若干思考友情提醒：这篇文章信息量大，知识范围广，只有定下心来，慢慢看，一次一次看，一部分一部分反复看才能有收获，这样的收获足以让你对课标和数学教学的认识上升几个层次。
《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称“新课标”) ［1］的颁布引发了广泛的“解读热”，这里强调“另类解读”主要反映了这样一种认识：不同声音的存在有利于人们的独立思考，从而就可切实避免各种片面性的理解或认识上的误区．文章集中于“四基”与“核心概念”等宏观方面，主要目标则是希望能给读者，特别是一线教师一定启示，从而促进中国数学教育事业的健康发展．一、研究的基本立场这是众多关于“新课标”的解读文章或专门报告的一个共同特点，即是对于一些新的理论思想的突出强调，特别是由“双基”到“四基”、由“双能”到“四能”的发展，以及10个“核心概念”．大家还可听到很多肯定性的评价．“无疑，‘四基’是对‘双基’与时俱进的发展，是在数学教育目标认识上的一个进步．”［２］“《标准》中将基本思想、基本活动经验与基础知识、基本技能并列为‘四基’，可以说是对课程目标全面认识的重大进展．”［３］这些论述也许有一定道理；但这又是过去十多年课改实践的一个重要教训，即是应当防止盲目的乐观情绪，特别是各种简单化的理解，乃至不自觉地形成了一个新的时髦潮流．恰恰相反，教育工作者应当不断增强自身在这一方面的自觉性．就当前而言，首先就应思考：什么应是解读“新课标”的主要背景?一个现成的回答显然在于：新旧课标的对照．但是，究竟又应如何去从事新旧课标的对照比较?以下是一些不应被忽视的方面：第一，在突出强调新旧课标不同之处的同时，也应高度重视两者的共同点．例如，以下的论述就可被看成从一个特定角度表明了后一方面工作的重要性：“课程标准从《实验稿》到((2011版》，我们当然应该关注修订了什么，但更要关注课程标准坚持了什么……因为十年间对于数学课程标准的批评有很多是带有方向性、整体性的，在这种情况下关注课程标准中哪些没有变就显然更有意义”［４］更为一般地说，这并直接关系到了教育工作的连续性，特别是，如何才能彻底纠正以下的长期弊病：“中国数学教育积累得太少，否定得太多．一谈改革，就否定以前的一切，老是否定自己，没有积累．”［５］也正是从同一角度去分析，教育工作者更应高度重视深圳市南山区的以下经验：“只要对学生和教师有益处的改革，就一定要坚持做，做就一定做细做实做到底．”这也就是指，“对细部的关注……用细节来表达价值观．这或许也是中国课改的一个新的起点吧．”［６］第二，正因为“十年间对于数学课程标准的批评有很多是带有方向性、整体性的”，因此，也应十分关注这些批评意见究竟有多少得到了采纳?或者说，“新课标’’在这些方面究竟有了怎样的变化或发展?由以下一些论述即可获得这方面的直接启示：“认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方法．”“学生获得知识，必须建立在自己思考的基础上，可以通过接受学习的方式，也可以通过自主探索等方式．”又，“课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系……要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系”．“教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系……”［１］上面的分析也为以下问题提供了直接的解答：何者应当被看成课程改革深入发展、包括“课程标准”修订工作的主要依据?是过去十多年课改实践的总结与反思，更应切实抓好以下两个关键：（1）发现问题，正视问题，解决问题，不断前进；（2）发扬成绩，真正“做细做实做深”.就一线教师而言，以下建议，同样可被看成过去十多年的课改实践给予人们的重要启示：第一，“立足专业成长，关注基本问题”；第二，与唯一强调理论的指导性作用相对照，更应提倡关于教学工作的这样一个新的定位：“反思性实践”，也即应当更加重视积极的教学实践与认真的总结与反思最后，就“新课标”的学习与贯彻而言，教育工作者又应特别重视“理论的实践性解读”和“教学实践的理论性反思”，它们并可被看成理论与教学实践之间辩证关系的具体体现．以下就围绕“数学基本思想”、“基本活动经验”以及若干“核心概念”对此作出具体论述.二、聚焦“数学(基本)思想”“新课标”在这方面的一些明显问题：第一，由于“《课标》没有展开阐述‘数学的基本思想’有哪些内涵和外延，这就给研究者留下了讨论的空间，而且由于它过去并没有被充分讨论过，所以可能仁者见仁，知者见智，不同的学者可能会有不完全一样的说法”.［９］第二，除去“数学思想“以外，“新课标”中还多次提到了“数学思考”和“数学思维”，从而进一步增加了理解的困难．当然，在此还有这样一个密切相关的概念：“数学思想方法”．第三，由于对“数学(基本)思想”的强调与先前关于“三维目标“的提倡有很大的一致性，因此，就应更为深入地去思考：究竟什么是提倡“数学基本思想“的真正新意?显然，对于后一问题可以立即作出如下解答：这主要在于对“数学抽象的思想”、“数学推理的思想”、“数学模型的思想”，这样3个基本思想的突出强调，以及关于“数学基本思想”、“(一般)数学思想”与“数学思想方法”的层次区分．例如，由“数学抽象的思想”派生出来的有：分类的思想，集合的思想，“变中有不变’’的思想，符号表示的思想，对应的思想，有限与无限的思想，等等.“由‘数学推理的思想’派生出来的有：归纳的思想，演绎的思想，公理化思想，数形结合的思想，转换化归的思想，联想类比的思想，普遍联系的思想，逐步逼近的思想，代换的思想，特殊与一般的思想，等等.”另外，“在用数学思想解决具体问题时，对某一类问题反复推敲，会逐渐形成某一类程序化的操作，就构成了‘数学方法，数学方法也是具有层次的．”［９］面对这样的论述，一线教师应当如何去做?容易想到，这正是这方面的传统立场：认真学习，深刻领会，全面贯彻……但是，这种立场是否也有一定的局限性?为了促进读者的深入思考，可以首先提及这样两个事实：第一，作为“数学思想”的具体分析，应当说存在多种不同的观点.例如，以下就是这方面较有影响的一些著作：L.克莱因的《古今数学思想》(上海科学技术出版社，1978)；张奠宙、朱成杰的《现代数学思想讲话》(江苏教育出版社，1991)；袁小明的《数学思想史概论》(广西教育出版社，1992)．由大致的浏览和比较又可发现：尽管它们都集中于所谓的”重大数学思想”，但相关论述与上述关于“基本思想”的分析则有很大不同；而且，尽管这3者的具体观点并不完全一致，它们又都突出地强调了数学思想的历史性、发展性和变化性．在此还可特别提及日本著名数学家、数学教育家米山国藏的著作《数学的精神、思想和方法》(四川教育出版社，1986)，因为，后者似乎也突出地强调了数学思想的层次区分：他称为数学的“精神”、“思想”与“方法”．但由简单的比较可以看出，后者的具体内容也与上面所提到的观点有很大不同．如米山国藏所提到的“数学精神”就有7种：(1)应用化的精神；(2)扩张化、一般化的精神；(3)绸织化、系统化的精神；(4)致力于发明发现的精神；(5)统一建设的精神；(6)严密化的精神；(7)“思维的经济化”的精神．他提到的“重要的数学思想”则包括：(1)数学的本质在于思考的充分自由；(2)传统思想与数学进步的关系；(3)极限思想；(4)“不定义的术语组“和”不证明的命题组“的思想；(5)集合及群的思想；(6)其它新思想；(7)高维空间的思想；(8)超穷数的思想：(9)数学家头脑中的空间；(10)数学的神秘性和数学的美．综上可见，面对多种不同的理论主张，研究者的确应认真地去思考究竟应当如何去做?第二，这也是过去十多年课改实践给予人们的又一重要教训，即是应当清楚地认识“理念先行，专家引领”这样一种“由上至下”的运作模式的局限性．因为，如果缺乏足够自觉性的话，就很可能造成严重的消极后果，对此例如由课改初期在教学方法改革上所出现的形式主义倾向就可清楚地看出．以下则是国际上的相关发展：“就研究工作而言，仅仅在一些年前仍然充满着居高临下这样一种基调，但现在已经发生了根本性的变化，即已转变成了对于教师的平等性立场这样一种自觉的定位．当前研究者常常强调他们的研究是与教师一起做出的、而不是关于教师的研究，强调走进教室倾听教师并与教师一起思考、而不是告诉教师去做什么，强调支持教师与学习者发展自己的能力、而不是力图去改变他们．”［１０］由此可见，研究者确实应当从根本上对理论与实践(专家与教师)之间的关系作出新的认识．更为具体地说，在明确倡导“反思性实践”这样一种关于教学工作新定位的同时，又应清楚地看到，强调实践与反思并非是指教育工作者完全不用重视理论(包括“新课标”)的学习，而是应当积极提倡“理论的实践性解读”．以下就是“理论的实践性解读”的一个基本意义：注意分析理论的现实意义，也即应当深入地去思考相关的理论主张对于改进教学究竟有什么新的启示?就目前的论题而言，这也就是指，强调“数学基本思想”对于教师改进教学究竟有什么新的启示?另外，作为“理论的实践性解读”，又应努力做到“学以致用”，也即始终集中于这样一个问题：教学中应当如何去做才能真正促进学生的相关发展?以下就从这一角度对一线教师提出一些具体建议：(1)求全或求用?这就是指，无论是数学思想的学习还是教学，其关键不在于无一遗漏地去列举出各个数学思想(包括基本思想、一般思想和思想方法)，而是应当更加关注如何能够针对具体的知识内容“由隐及显”地去揭示出其中所蕴涵的数学思想，并以此来带动具体知识内容的教学．应当强调的是，这可被看成教学工作创造性质的一个重要表现，也即是一种“再创造”的工作；另外，只有以思想方法的分析带动具体知识内容的教学，数学课才能“教活”、“教懂”、“教深”，也即不仅能让学生看到真正的数学活动，切实体现教学工作所应有的“鲜活性和质感性”，也能帮助学生很好地掌握相应的数学知识，包括深层次的数学思想与方法．(2)层次区分或辩证运动?相对于严格的层次区分，应更加重视自己的独立思考，重视特殊与一般之间的辩证关系．这也就是指，教育工作者不仅应当十分重视数学思想的应用，而且也应通过具体与抽象、特殊与一般之间的辩证运动不断深化自己的认识．例如，如果研究者所采用的是“化归的思想“这样一个词语，这主要就是指这样一个普遍性的思想：数学中往往可以通过将新的、较为复杂和困难的问题转化成已经得到解决的、较为简单和容易的问题来解决问题．与此相对照，如果所强调的是“化归的方法”，则就意味着研究者己将关注点转移到了如何能够实现所说的转化，例如，所谓的“分割法”、“映射法”、“求变法”等就都是这样的实例．再则，所谓“化归法的核心思想”则代表了相反方向上的运动，也即由具体方法重新上升到了一般性的思想，包括“联系的思想”、“变化的思想”等．(3)就当前而言，又应特别强调这样几点：第一，清楚认识“广度”与“深度”之间的辩证关系．如果说“数学思想”主要反映认识的深度，那么，就只有从较为广泛的角度去进行分析，也即十分重视视角的广度，才能真正达到较大的深度，也即准确地揭示出相关知识内容中所蕴涵的数学思想．(这里所提到的“深度”与“广度”正是中国旅美学者马立平女士所提出的关于“数学知识的深刻理解”的两个主要内涵(另一相关的维度是“连通度”［１１］)．马立平提出，后者并可被看成中国(小学)数学教师与美国同行相比的主要优点．由此可见，对于数学思想的很好掌握也关系到了中国数学教育传统的继承与发展．)例如，只有将自然数、小数与分数的运算联系起来加以考察，才能很好地理解到，这些内容集中地体现了以下一些数学思想：(1)逆运算的思想；(2)不断扩展的思想：(3)类比与化归的思想：(4)算法化的思想；(5)客体化与结构化的思想．第二，高度关注教学活动的可接受性．相对于具体的数学知识和技能而言，数学思想特别是那些较为抽象的数学思想的学习显然需要更长的时间，且主要是一个潜移默化的过程．因此，教师应当充分尊重学生的认知发展水平，并能有针对性地采取较为恰当的方法，即如由“深藏不露”逐步过渡到“画龙点睛”，由“点到为止”逐步过渡到“清楚表述”，由“教师示范”逐步过渡到“主要促进学生的自我总结与自觉应用”，等等．第三，这是教育工作者当前所面临的一项紧迫任务．即，如何能够通过积极的教学实践与认真的总结与反思，切实做好数学思想的清楚界定与合理定位．事实上，这即可被看成上述关于数学思想的历史性、发展性和变化性的一个直接结论，又由于个体的发展往往重复种族发展的历史．因此，与笼统地去提倡所谓的“数学基本思想”相比较，就应更加重视数学思想的“清楚界定”与“合理定位”，也即应当依据学生的认知发展水平，对于基础教育各个阶段究竟应当帮助学生掌握哪些数学思想作出更为具体和深入的分析．显然，也只有这样，“数学基本思想”才不会蜕变成为空洞的教条，这方面的教育目标也才能真正得到落实．三、“数学基本活动经验”——困惑与思考对于“基本活动经验”《小学数学教与学》编辑部曾有过这样一个评论：“相对于原来的‘双基’而言，基本活动经验显得更为‘虚幻’，无论是理论内涵还是实际的培养策略都不易把握．”这一评论并无不当之处，因为，从理论的角度看，这一概念确有很多问题需要人们更为深入地去进行思考：第一，这里所说的“活动”究竟是指具体的操作性活动、还是应当将思维活动也包括在内，乃至主要集中于思维活动?在这方面并可看到一些不同的“解读”：“数学活动经验，专指对具体、形象的事物进行具体操作所获得的经验，以区别于广义的数学思维所获得的经验．”［１２］又，“基本活动经验……其核心是如何思考的经验，最终帮助学生建立自己的数学现实和数学学习的现实，学会运用数学的思维方式进行思考．”［３］另外，按照后一解读，又可提出这样一个问题：数学教育是否真有必要专门引入“帮助学生获得基本活动经验”这样一个目标，还是可以将此直接归属于“帮助学生学会数学地思维”?第二，对于数学教育中的所说的“活动”是否应与真正的数学(研究)活动加以明确区分?以下论述可以被看成对此提供了具体的解答：“‘数学活动’……是数学教学的有机组成部分．教师的课堂讲授、学生的课堂学习，是最主要的‘数学活动’．”［９］但是，按照这样的解读，所谓的“活动经验”与一般意义上的“学习经验”就不再有任何区别，那么，为什么要专门地引入“数学活动经验”这样一个教育目标呢?更为一般地说，究竟什么是数学教育中所谓的“数学活动”的基本内涵与主要特征?第三，是否应当特别强调对于活动的直接参与，还是应当将“间接参与”也包括在内?(如果突出“经验”这样一个字眼，这就是指，在此所指的究竟是“直接经验”、还是应当同时包括所谓的“间接经验”?)显然，当前的主流观点认为应当将“间接参与”也包括在内；但是，按照这样的理解，“过程性目标”的实现无疑就将大打折扣，或者说，这将成为这方面教学工作所面临的一个重大挑战，即如何能够帮助学生通过“间接参与”获得以“感受”、“经历”和“体验”等为主要特征的“活动经验”?第四，由于(感性)经验具有明显的局限性，因此，应认真地去思考：在强调帮助学生获得“基本活动经验”的同时，教学中是否也应清楚地指明经验的局限性，从而帮助学生很好地认识超越经验的必要性?当然，如果将思维活动也包括在内，就应进一步去思考数学思维活动经验是否也有其一定的局限性?由于“经验的局限性”事实上已经成为一种“常识”：“我想，我们是否应更多地思考如何‘对经验的改造’，将经验改造为科学，而不是成为孩子们创新思维的绊脚石”，在当前就应注意防止这样一种倾向，即由于盲目追随时髦而造成“常识的迷失”．第五，是否应特别强调关于“基本活动经验”与“一般活动经验”的区分，这究竟是一种绝对的区分，还是只具有相对的意义?什么是这两者的具体涵义?由以下的“平民解读”或许就可获得这方面的直接启示：“简单地说，‘基本’是相对的，如我们上楼梯，当你上到第二层时，第一层是基本的；你上到第二层，想上第三层时，这第二层便变成基本的了．”［１３］进而，正如先前关于“数学思想”的分析，研究者在此显然也面临着“清楚界定”与“合理定位”这样一个任务．第六，更为重要的是，数学教育为什么应当特别重视“帮助学生获得基本活动经验”，乃至将此列为数学教育的基本目标之一?作为上述问题的具体解答，显然应当提到以下的观点：“教学不仅要教给学生知识，更要帮助学生形成智慧．知识的主要载体是书本，智慧则形成于经验的过程中，形成于经历的活动中”；从而，为了帮助学生形成智慧，就应更加重视过程，更加重视学生对于活动的直接参与［１２］．但是，这里应更为深入地思考：数学教学中希望学生形成的究竟是一种什么样的智慧，是简单的经验积累，还是别的什么智慧?在此还可通过“数学思想”与“数学活动经验”的简单比较来进行分析，这就是指，数学的“活动经验”是否与“数学思想”一样具有超出数学本身的普遍意义，从而即使对于大多数将来未必会从事任何与数学直接相关工作的学生仍可起到积极的作用?容易想到，这事实上也正是任一诸如“学数学、做数学”这样的主张所应认真思考的问题．当然，与纯粹的理论分析相比较，研究者在此也应更加重视“理论的实践性解读”，包括通过积极的教学实践与认真的总结与反思对相关理论作出必要的检验与改进．另外，就认识的不断深入而言，又应特别强调“教学实践的理论性反思”，这也就是指，研究者应当努力超越各个具体的教学活动，并从更为一般的角度去进行总结与反思．即如揭示出具有较大普遍性的问题，引出具有较大普遍意义的结论，等等．以下就是这方面的一个实例，即是“关于获得数学活动经验的3点认识“：(1)经验在经历中获得．(2)经历了≠获得了．(3)经验，并非总是亲历所得［１４］．从“教学实践的理论性反思”这一角度去分析，应特别强调这样两点：(1)教学不仅应当让学生有所收获，更应注意分析学生所获得的究竟是什么．因为，这正是这方面不应被忽视的一个事实：人们经由(数学)活动所获得的未必是数学的活动经验，也可能与数学完全无关．以下就是国际上相关研究的一个直接结论：儿童完全可能“通过操作对概念进行运算，但却不知道自己在做什么”；这也就是指，尽管“旁观者确实可以将它解释为数学，因为他熟悉数学，也了解实验过程中儿童的活动是什么意思，可是儿童并不知道．”［１５］由此可见，不应唯一地强调学生对于活动的参与，而应更加重视对这些活动教学涵义的分析．也即应当从数学和数学学习的角度深入分析这些活动的教学意义，并通过自己的教学使学生也能十分清楚和明白．(2)如何促进学生由“经历”向“获得”的重要转化．更为一般地说，这显然也关系到这样一个问题，即是数学学习中不应“为动手而动手”，而应更加重视对于操作层面的必要超越，努力实现“活动的内化”．但是，究竟什么是这里所说的“活动的内化”的具体涵义呢?对于自己所提出的这一概念，瑞士著名心理学家、哲学家皮亚杰曾作过这样的解释：这主要是指这样一种思维活动，即是辨识出“动作的可以予以一般化的特征”．由此可见，“活动的内化”事实上就是一种建构的活动，也即如何能由具体的活动抽象出相应的模式(图式化)．从而，数学教学所应主要关注的就并非活动经验的简单积累，而应更加重视如何能够帮助学生实现相应的思维发展，后者又不可能通过反复的实践简单地得以实现(“熟能生巧”)，而主要是一种反思性的活动，也即是以已有的东西(活动或运演)作为直接的对象，并就主要表现为由较低层次向更高层次的发展．(也正是在这样的意义上，才可谈及数学抽象与一般自然科学中的抽象活动的重要区别，并称之为“自反抽象”．)依据上面的分析，可以很好地理解以下一些论述：“只要儿童没能对自己的活动进行反思，他就达不到高一级的层次．”［１５］又，“数学化一个重要的方面就是反思自己的活动．从而促使改变看问题的角度．”“数学化和反思是互相紧密联系的．事实上我认为反思存在于数学化的各个方面．”［１６］。
