【配套K12】2018高中数学(人教B版)必修五学案：第三章 3.5.2 简单线性规划 Word版含

数学人教B 必修5第三章3.2 均值不等式1．探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义．2．会用均值不等式解决简单的问题．3．掌握运用均值不等式a ＋b2≥ab 求最值的常用方法及需注意的问题．1．重要不等式：对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2____2ab ，当且仅当______时，等号成立．(1)重要不等式成立的条件是a ，b ∈R .它既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此应用范围较广；(2)等号成立的条件是当且仅当a ＝b ，即当a ＝b 时，等号成立；反之，等号成立时有a ＝b .【做一做1】不等式a ＋1≥2a (a ＞0)中等号成立的条件是( )． A ．a ＝2 B ．a ＝1C ．a ＝12 D ．a ＝02．(1)均值不等式：如果a ，b ∈R ＋，那么__________，当且仅当______时，等号成立．也叫基本不等式．(2)对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的______，数ab 叫做a ，b 的________，故基本不等式用语言叙述是____________________________________．公式变形：(1)a ＋b ≥2ab ，ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ＋)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)a ＋1a ≥2(a ∈R ＋)，当且仅当a ＝1时，等号成立．(3)a b ＋ba ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 【做一做2－1】若x ＞0，则x ＋2x的最小值为________．【做一做2－2】已知0＜x ＜13，则函数y ＝x (1－3x )的最大值是__________．3．已知x ，y 都为正数，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当______时，积xy 取得最大值________． (2)若xy ＝P (积为定值)，则当______时，和x ＋y 取得最小值________．(1)应用上述性质时注意三点：①各项或各因式均为正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．(2)应用上述时，有时需先配凑成和或积为定值的情况，再应用． 【做一做3】已知x ，y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．一、使用均值不等式求最值的注意事项剖析：(1)a ，b 都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x ＜0时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x ×1x＝2，所以函数f (x )的最小值是2.由于f (－2)＝－2＋1－2＝－52＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x ＜0时，不能直接用均值不等式求f (x )＝x ＋1x 的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－x ＋1－x≥2(－x )×1－x＝2，此时有f (x )≤－2.因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．(2)ab 与a ＋b 有一个是定值，即当ab 是定值时，可以求a ＋b 的最值；当a ＋b 是定值时，可以求ab 的最值．如果ab 和a ＋b 都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x＞1时，函数f (x )＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数f (x )的最小值是2x x －1.由于2xx －1是一个与x 有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab 与a ＋b 有一个是定值．其实，当x ＞1时，有x －1＞0，则函数f (x )＝x ＋1x －1＝[(x －1)＋1x －1]＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3.因此，当ab 与a ＋b 没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．(3)等号能够成立，即存在正数a ，b 使均值不等式两边相等，也就是存在正数a ，b 使得ab ＝a ＋b 2.如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x ×1x ＝2，所以函数f (x )的最小值是2.很明显x ＋1x中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x ＝1x ，即x ＝1，而函数的定义域是x ≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x 是增函数，函数f (x )的最小值是f (2)＝2＋12＝52.因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．二、教材中的“思考与讨论”均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab 的关系如何？请对此进行讨论．剖析：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2ab 中，a ，b ∈R ＋.(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)． (3)证明的方法都是作差比较法． (4)都可以用来求最值．题型一 利用均值不等式比较大小【例1】已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，试比较a 2＋b 2＋c 2，ab ＋bc ＋ca ，13的大小．分析：变形利用不等式找出a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小，结合条件a ＋b ＋c ＝1再找两代数式与13的关系，从而确定它们的大小．反思：要想运用均值不等式，必须把题目中的条件或要解决的问题“化归”到不等式的形式并让其符合运用不等式的条件．化归的方法是把题目中给的条件配凑变形，或利用一些基本公式和一些常见的代换进行变形．题型二 利用均值不等式求最值【例2】已知x ，y ∈(0，＋∞)，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．分析：1x ＋1y →(1x ＋1y )·1→(1x ＋1y)(2x ＋y )→利用均值不等式求解反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“＝”是否成立．题型三 利用均值不等式证明不等式【例3】已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .分析：注意到a ＋b ＋c ＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式．反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝”必须同时取到．题型四 利用均值不等式解恒成立问题【例4】已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，求正实数a 的最小值．分析：反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．题型五 易错辨析【例5】已知0＜x ＜1，求f (x )＝2＋log 5x ＋5log 5x的最值． 错解：f (x )＝2＋log 5x ＋5log 5x≥2＋2log 5x ·5log 5x＝2＋25，∴f (x )的最小值为2＋2 5.错因分析：a ＋b ≥2ab 的前提条件是a ，b ∈R ＋，∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴5log 5x ＜0.∴不能直接使用均值不等式．【例6】求f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1的最小值．错解：因为f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1≥2＋1＝3，所以f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1的最小值为3.错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程x 2＋3＝1x 2＋3无解，所以等号不成立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值．1对于任意实数a ，b ，下列不等式一定成立的是( )．A ．a ＋b ≥2abB ．a ＋b2≥abC ．a 2＋b 2≥2abD ．b a ＋ab≥22已知a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝4，那么ab ( )． A ．有最大值2，有最小值－2 B ．有最大值2，但无最小值 C ．有最小值2，但无最大值 D ．有最大值2，有最小值03设x ，y 为正数，则(x ＋y )(1x ＋4y )的最小值为( )．A ．6B ．9C ．12D ．154若x ＞3，那么当x ＝________时，y ＝x ＋1x －3取最小值________．5已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案： 基础知识·梳理 1．≥ a ＝b 【做一做1】B2．(1)a ＋b 2≥ab a ＝b (2)算术平均值 几何平均值 两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值【做一做2－1】22 x ＞0⇒x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时，等号成立．【做一做2－2】112 ∵0＜x ＜13，∴1－3x ＞0.∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13[3x ＋(1－3x )2]2＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴x ＝16时，函数取得最大值112.3．(1)x ＝y 14S 2 (2)x ＝y 2P【做一做3】(1)215 (2)2254(1)当xy ＝15时，x ＋y ≥2xy ＝215，当且仅当x ＝y ＝15时，等号成立．所以x ＋y 的最小值为215；(2)当x ＋y ＝15时，xy ≤x ＋y 2＝152，所以xy ≤2254，当且仅当x ＝y ＝152时，等号成立．所以xy 的最大值为2254.典型例题·领悟【例1】解：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc .① ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋ac ＋bc .②①式两边分别加上a 2＋b 2＋c 2，得 3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13.由②式，得3(ab ＋bc ＋ca )≤a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝(a ＋b ＋c )2＝1，∴ab ＋bc ＋ca ≤13.综上，知a 2＋b 2＋c 2≥13≥ab ＋bc ＋ca .【例2】解：1x ＋1y ＝(1x ＋1y )(2x ＋y )＝2＋2x y ＋y x ＋1＝3＋2x y ＋y x ≥3＋22x y ·yx＝3＋22，当且仅当2x y ＝yx，即⎩⎪⎨⎪⎧y x ＝22x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋2，y ＝22＋2时等号成立．∴1x ＋1y的最小值为3＋2 2. 【例3】证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )． 又∵a ，b ，c 都是正实数， ∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c 2≥ac ＞0.∴(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )8≥abc .∴(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．【例4】解：∵(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ＋y x ＋axy，又x ＞0，y ＞0，a ＞0， ∴y x ＋ax y ≥2y x ·ax y＝2a ， ∴1＋a ＋y x ＋axy≥1＋a ＋2a ，∴要使(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需1＋a ＋2a ≥9恒成立即可．∴(a ＋1)2≥9，即a ＋1≥3，∴a ≥4， ∴正实数a 的最小值为4.【例5】正解：∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴(－log 5x )＋(－5log 5x )≥2(－log 5x )·(－5log 5x )＝2 5.∴log 5x ＋5log 5x≤－2 5.∴f (x )≤2－2 5.当且仅当log 5x ＝5log 5x，即x ＝5－5时，等号成立，此时f (x )有最大值2－2 5.【例6】正解：f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1. 令t ＝x 2＋3(t ≥3)， 则原函数变为f (x )＝t ＋1t ＋1，在区间[3，＋∞)上是增函数．所以当t ＝3时，f (x )＝t ＋1t ＋1取得最小值433＋1.所以当t ＝3，即x ＝0时，f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1取得最小值433＋1.随堂练习·巩固1．C 均值不等式要考虑正负情况，如果a ，b 不能保证是正值，则选项A ，B ，D 都不一定成立，只有选项C 对任意实数恒成立．2．A 这里没有限制a ，b 的正负，则由a 2＋b 2＝4，a 2＋b 2≥2|ab |，得|ab |≤2，所以－2≤ab ≤2，可知ab 的最大值为2，最小值为－2.3．B 因为x ，y 为正数，所以(x ＋y )(1x ＋4y )＝1＋4＋y x ＋4xy≥9，当且仅当y ＝2x 时，等号成立，故选B.4．4 5 y ＝x ＋1x －3＝x －3＋1x －3＋3≥2(x －3)×1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时，y 取最小值5. 5．116因为x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1， 所以xy ＝14x ·4y ≤14(x ＋4y 2)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即x ＝12，y ＝18时，等号成立．所以xy 的最大值为116.。

1．三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．(1)利用正弦定理讨论：若已知a、b、A，由正弦定理asin A＝bsin B，得sin B＝b sin Aa.若sin B>1，无解；若sin B＝1，一解；若sin B<1，如果a≥b，一解；如果a<b，两解．(2)利用余弦定理讨论：已知a、b、A.由余弦定理a2＝c2＋b2－2cb cos A，即c2－(2b cos A)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解．2．三角形形状的判定方法判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a＝2R sin A，a2＋b2－c2＝2ab cos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：sin A ＝sin B ⇔A ＝B ；sin(A －B )＝0⇔A ＝B ；sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如：sin A ＝a2R(R 为△ABC 外接圆半径)，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc 等，通过代数恒等变换求出三条边之间的关系进行判断． 3．解三角形应用题的基本思路解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的要求.题型一 利用正、余弦定理解三角形 解三角形的一般方法是：(1)已知两角和一边，如已知A 、B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a 、b . (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a 、b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a 、b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a 、b 、c ，可应用余弦定理求A 、B 、C .例1 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，设a ，b ，c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和c b ＝12＋3，求A 和tan B 的值．解 由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因此A ＝60°.在△ABC 中，C ＝180°－A －B ＝120°－B . 由已知条件，应用正弦定理 12＋3＝c b ＝sin C sin B ＝sin (120°－B )sin B＝sin 120°cos B －cos 120°sin B sin B ＝32tan B ＋12，从而tan B ＝12.跟踪演练1 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，求AD 的长度． 解 在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，由余弦定理， 得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，∴sin C ＝12.在△ADC 中，由正弦定理得，AD sin C ＝ACsin ∠ADC， ∴AD ＝222×12＝ 2. 题型二 与解三角形有关的综合问题该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等．例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，△ABC 的面积S ＝103，c ＝7. (1)求角C ； (2)求a ，b 的值．解 (1)∵(2a －b )cos C ＝c cos B ， ∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ， 2sin A cos C －sin B cos C ＝cos B sin C ， 即2sin A cos C ＝sin(B ＋C )， ∴2sin A cos C ＝sin A .∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3.(2)由S ＝12ab sin C ＝103，C ＝π3，得ab ＝40.①由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即c 2＝(a ＋b )2－2ab ⎝⎛⎭⎫1＋cos π3， ∴72＝(a ＋b )2－2×40×⎝⎛⎭⎫1＋12. ∴a ＋b ＝13.②由①②得a ＝8，b ＝5或a ＝5，b ＝8.跟踪演练2 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cosB 2＝255，求△ABC 的面积S . 解 因为cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35，所以sin B ＝45.所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－B ＝sin 3π4cos B －cos 3π4sin B ＝7210. 由正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.题型三 正、余弦定理在实际中的应用 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．例3 如图，一辆汽车从O 点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O 点南偏东方向距O 点500千米且与海岸距离为300千米的海上M 处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中，并求快艇以最小速度行驶时的方向与OM 所成的角．解 设快艇从M 处以v 千米/时的速度出发，沿MN 方向航行，t 小时后与汽车相遇． 在△MON 中，OM ＝500千米，ON ＝100t 千米， MN ＝v t 千米， 设∠MON ＝α，由题意，知sin α＝35，则cos α＝45.由余弦定理，知MN 2＝OM 2＋ON 2－2OM ·ON cos α， 即v 2t 2＝5002＋1002t 2－2×500×100t ×45.整理，得v 2＝(500×1t －80)2＋3 600.当1t ＝80500，即t ＝254时，v 2min ＝3 600. ∴v min ＝60，即快艇至少必须以60千米/时的速度行驶， 此时MN ＝60×254＝15×25(千米)，MQ ＝300千米．设∠MNO ＝β，则sin β＝30015×25＝45.∴α＋β＝90°，即MN 与OM 垂直．∴快艇至少必须以60千米/时的速度行驶，以最小速度行驶时的方向与OM 所成的角为直角． 跟踪演练3 甲船在A 处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？解 设甲、乙两船经t 小时后相距最近，且分别到达P 、Q 两处，因乙船到达A 处需2小时．①当0≤t ＜2时，在△APQ 中，AP ＝8t 海里，AQ ＝(20－10t )海里， 所以PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AP ·AQ cos 120°＝ (20－10t )2＋(8t )2－2(20－10t )×8t ×⎝⎛⎭⎫－12 ＝84t 2－240t ＋400 ＝221t 2－60t ＋100(海里)．②当t ＝2时，PQ ＝8×2＝16.③当t >2时，在△APQ 中，AP ＝8t 海里，AQ ＝(10t －20)海里， ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ·AP cos 60°＝221t 2－60t ＋100(海里)．综合①②③知，PQ ＝221t 2－60t ＋100 海里(t ≥0)．当且仅当t ＝3021＝107时，PQ 最小．答 甲、乙两船行驶107小时后，相距最近．题型四 函数与方程思想的应用与函数思想相联系的就是方程思想．所谓方程思想，就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决，所设的未知数沟通了变量之间的联系．方程可以看作未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁．本章在利用正、余弦定理求角或边长时，往往渗透着函数与方程思想．例4 在△ABC 中，已知A >B >C ，且A ＝2C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长． 解 由正弦定理得a sin A ＝csin C ，∵A ＝2C ，∴a sin 2C ＝csin C，∴a ＝2c cos C . 又∵a ＋c ＝8，∴cos C ＝8－c2c ，①由余弦定理及a ＋c ＝8，得 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋42－c 28a＝(8－c )2＋42－c 28(8－c )＝10－2c 8－c .②由①②知8－c 2c ＝10－2c 8－c ，整理得5c 2－36c ＋64＝0.∴c ＝165或c ＝4(舍去)．∴a ＝8－c ＝245.故a ＝245，c ＝165.跟踪演练4 已知函数f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值． 解 (1)∵f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin(2x －π6)－1，∴函数f (x )的最小值是－2，最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)由题意得f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，∴sin(2C －π6)＝1，∵0<C <π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3，∵m ∥n ，∴12＝sin Asin B ，由正弦定理得，a b ＝12，①由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即3＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝2.1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B等价于a>b等价于sin A>sin B.2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．。

3．4 不等式的实际应用[学习目标] 1.能根据实际情境建立不等式模型，并能用相关知识作出解答.2.掌握一元二次不等式与均值不等式在实际问题中的应用．[知识链接]下列各命题正确的有________．(1)(x －1)(2－x )≤0的解集是{x |1≤x ≤2}； (2)x 2< 9的解集是{x |－3<x <3}； (3)(x －1)2≤0的解集是 {1}； (4)x －1x －3>0的解集是{x |x <1或x >3}； (5)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是全体实数的条件是a >0且Δ＝b 2－4ac <0. 答案 (2)(3)(4)解析 对于(1), (x －1)(2－x )≤0⇔(x －1)(x －2)≥0，所以解集是{x |x ≥2或x ≤1 }，故不正确；(2)，(3)显然正确；对于(4)，x －1x －3>0⇔(x －1)(x －3)>0，所以解集是{x |x <1或x >3}；对于(5)，当a ＝b ＝0且c >0也满足题意，故不正确． [预习导引]1．解不等式的应用题解有关不等式的应用题，首先要选用合适的字母表示题中的未知数，再由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)，然后解所列出的不等式(组)，最后再结合问题的实际意义写出答案．2．一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即： k ≥f (x )恒成立⇔k ≥f (x )max ；k ≤f (x )恒成立⇔k ≤f (x )min .要点一 利用比较法解决实际生活问题例1 某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案如下，其中p >q >0，解 设商品原价为a ，设按甲、乙、丙三种方案两次提价后价格分别为N 甲、N 乙、N 丙，则 N 甲＝a (1＋p %)(1＋q %)， N 乙＝a (1＋q %)(1＋p %)，N 丙＝a [1＋12(p ＋q )%][1＋12(p ＋q )%]＝a (1＋p ＋q 200)2.显然甲、乙两种方案最终价格是一致的，因此，只需比较a (1＋p ＋q 200)2与a (1＋p %)(1＋q %)的大小．N 甲－N 丙＝a [1＋p 100＋q 100＋pq1002－1－p ＋q 100－(p ＋q )22002]＝a 2002(2pq －p 2－q 2) ＝－a2002(p －q )2<0.∴N 丙>N 甲，∴按丙方案提价比甲、乙方案提价幅度大．规律方法 一般说来，谁优、谁劣、谁省，哪一种方案更好，涉及比较的应用题，常常作差比较得出正确结论．跟踪演练1 有一批货物的成本为A 元，如果本月初出售，可获利100元，然后可将本利都存入银行．已知银行的月利息为2%，如果下月初出售，可获利120元，但货物贮存要付5元保管费，试问是本月初还是下月初出售好？并说明理由． 解 若本月初出售到下月初获利为m 元，下月初出售获利为n 元． 则m ＝100＋(100＋A )·2% ＝102＋0.02A .n ＝120－5＝115，故n －m ＝13－0.02A ，令n －m ＝0，得A ＝650. ①当A ＝650元时，本月初、下月初出售获利相同． ②当A >650元时，n －m <0即n <m ，本月初出售好． ③当A <650元时，n >m ，下月初出售好． 要点二 均值定理在实际生活中的应用例2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时) 解 (1)由题意知，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当x ＝200，v ＝0； 当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60 (0≤x ≤20)，13(200－x ) (20<x ≤200).(2)根据题意，由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x (0≤x ≤20)，13x (200－x ) (20<x ≤200).当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，∴当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20<x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13[x ＋(200－x )2]2＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立． ∴当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003.综上可知，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．规律方法 (1)求最值或者求取值范围问题，首先考虑建立函数关系，通过函数的方法来求．均值不等式也是求最值的重要方法，尤其是出现和与积的形式，把所求的量放在不等式中去考查．(2)建立函数时一定要注意函数的定义域，定义域是函数的三要素之一，不能忽视．在利用均值不等式解题时，要注意“一正、二定、三相等”，若取等号时的自变量的值取不到，此时应考虑用函数的单调性．跟踪演练2 某单位决定投资3 200元建一长方体仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元． (1)仓库底面积S (m 2)的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 解 (1)设铁栅长为x m ，一侧砖墙长为y m ，则有S ＝xy . 由题意得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200. 由均值不等式，得 3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0. ∵S ＋16>0，∴S －10≤0，∴S ≤100. ∴S 的最大允许值是100 m 2.(2)取得此最大值的条件是40x ＝90y ，而xy ＝100，由此求得x ＝15，即铁栅的长应是15 m.要点三 一元二次不等式在生活中的应用例3 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000×(1＋0.6x )(0＜x ＜1)， 整理得y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0＜x ＜1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧y －(12－10)×10 000>0，0<x <1， 即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x >0，0<x <1， 解得0＜x ＜13，所以投入成本增加的比例应在(0，13)范围内．规律方法 不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键． 跟踪演练3 在一个限速40 km /h 以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离S m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：S 甲＝0.1x ＋0.01x 2，S 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问超速行驶谁应负主要责任． 解 由题意列出不等式S 甲＝0.1x ＋0.01x 2>12，解得x <－40，或x >30. S 乙＝0.05x ＋0.005x 2>10. 解得x <－50，或x >40.由于x >0，从而得x 甲>30 km /h ，x 乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任． 要点四 不等式的恒成立问题例4 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围． (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0.若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.∴－4<m ≤0.故实数m 的取值范围是(－4,0]．(2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立． 就要使m (x －12)2＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m (x －12)2＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在x ∈[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0. 综上所述：实数m 的取值范围是(－∞，67)．方法二 当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立， 即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立． ∵x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34>0，又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6(x －12)2＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67 即可．故实数m 的取值范围是(－∞，67)．规律方法 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种：(1)首先考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式；(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解．跟踪演练4 当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R? 解 ①当a 2－1＝0时，a ＝1或－1. 若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0，即x <12，不合题意，舍去．②当a 2－1≠0时，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝[－(a －1)]2＋4(a 2－1)<0.解得－35<a <1.综上a 的取值范围是(－35，1]．1．某工厂第一年产量为A ，第二年增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( ) A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2 C ．x >a ＋b 2D ．x ≥a ＋b2答案 B解析 由题意知A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )， 即x ＝(1＋a )(1＋b )－1≤1＋a ＋1＋b 2－1＝a ＋b2.2．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 答案 C解析 y －25x ＝－0.1x 2－5x ＋3 000≤0，∴x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里． 答案 5解析 设仓库到车站距离为x 公里，则y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x 且 k 1＝20，k 2＝45，则两项费用之和S ＝20x ＋45x ≥8(万元)，当且仅当20x ＝45x .即x ＝5公里时，两项费用之和最小为8万元．4．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x 件与单价P 元之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C ＝500＋30x 元，该厂日产量多大时，每天获利不少于1 300元？ 解 由题意得(160－2x )x －(500＋30x )≥1 300， 化简得x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x ≤45.答 该厂每天产量在20件至45件之间时，每天获利不少于1 300元.1．解不等式实际应用题的解题思路实际问题―――――――――→建模审题、抽象概括、转化数学问题―――→建模推理演算数学模型答案――→验证实际问题结论 2．建立一元二次不等式模型求解实际问题 操作步骤为：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； (3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解． 3．应用均值不等式解决实际问题(1)理解题意，设出变量(必要时可画出示意图帮助理解)； (2)建立相应的等量或不等量关系，把实际问题抽象为数学问题； (3)对建立起来的关系式进行整理、变形，使之能应用均值不等式求最值； (4)回扣实际问题，写出准确答案．。

3.5.2　简单线性规划(一)学习目标　1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．思考　已知x，y满足条件Error!①该不等式组所表示的平面区域如图，求2x＋3y②的最大值．以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念．知识点一　线性约束条件在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的____次不等式，故又称线性约束条件．知识点二　目标函数在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数．因为它是关于变量x、y的____次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数．知识点三　线性规划问题一般地，在线性约束条件下求________________的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．知识点四　可行解、可行域和最优解满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解．在上述问题的图中，阴影部分叫________，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个__________，其中能使②式取最大值的可行解称为____________．类型一　最优解问题命题角度1　唯一最优解例1　已知x，y满足约束条件Error!该不等式组所表示的平面区域如图，求2x＋3y的最大值．反思与感悟　(1)图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤：①确定线性约束条件，线性目标函数；②作图——画出可行域；③平移——平移目标函数对应的直线z＝ax＋by，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置；④求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．跟踪训练1　已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围．命题角度2　最优解不唯一例2　已知x，y满足约束条件Error!若目标函数z＝ax＋y的最大值有无数个最优解，求实数a的值．反思与感悟　当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区域的一段边界(实线)重合，则此边界上所有点均为最优解．跟踪训练2　给出平面可行域(如图)，若使目标函数z ＝ax ＋y 取最大值的最优解有无穷多个，则a 等于( )A. B. C ．4 D.143553类型二　生活中的线性规划问题例3　营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪，1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 各多少kg?将已知数据列成下表：食物/kg 碳水化合物/kg蛋白质/kg 脂肪/kg A 0.1050.070.14B0.1050.140.07反思与感悟　(1)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)在y 轴上的截距是关于z 的正比例函数，其单调zb 性取决于b 的正负．当b >0时，截距越大，z 就越大；当b <0时，截距越小，z 就越大．zb zb (2)最优解和目标函数与边界函数的斜率大小有关．跟踪训练3　某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为________．体积重量利润货物(m 3/箱)(50 kg/箱)(百元/箱)甲5220乙4510托运限制24131．若变量x ，y 满足约束条件Error!则x ＋2y 的最大值是( )A ．－B ．0 C. D.5253522．设变量x ，y 满足约束条件Error!则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．6 B ．7 C ．8 D ．233．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．14．已知实数x 、y 满足约束条件Error!则z ＝2x ＋4y 的最大值为________．1．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ；(3)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．3．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．答案精析问题导学知识点一一知识点二一知识点三线性目标函数知识点四可行域　可行解　最优解题型探究类型一命题角度1例1　解　设区域内任一点P (x ，y )，z ＝2x ＋3y ，则y ＝－x ＋，23z3这是斜率为定值－，在y 轴上的截距为的直线，如图．23z3由图可以看出，当直线y ＝－x ＋经过直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4,2)时，截距的值最大，23z3z3此时2x ＋3y ＝14.跟踪训练1　解　作出二元一次不等式组Error!所表示的平面区域(如图)即为可行域．设z ＝2x －3y ，变形得y ＝x －z ，2313则得到斜率为，且随z 变化的一组平行直线．23－z 是直线在y 轴上的截距，13当直线截距最大时，z 的值最小，由图可知，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最小．解方程组Error!得A 的坐标为(2,3)，∴z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点B 时，截距最小，即z 最大．解方程组Error!得B 的坐标为(2，－1)．∴z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7.∴－5≤2x －3y ≤7，即2x －3y 的取值范围是[－5,7]．命题角度2例2　解　约束条件所表示的平面区域如图，由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .当a ＝0时，最优解只有一个，过A (1,1)时取得最大值；当a ＞0时，当y ＝－ax ＋z 与x ＋y ＝2重合时，最优解有无数个，此时a ＝1；当a ＜0时，当y ＝－ax ＋z 与x －y ＝0重合时，最优解有无数个，此时a ＝－1.综上，a ＝1或a ＝－1.跟踪训练2　B 类型二例3　解　设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z ，那么Error!⇒Error!目标函数为z ＝28x ＋21y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域，把目标函数z ＝28x ＋21y 变形为y ＝－x ＋，43z21它表示斜率为－，且随z 变化的一组平行直线，43是直线在y 轴上的截距，当截距最小时，z 的值最小．z21如图可见，当直线z ＝28x ＋21y 经过可行域上的点M 时，截距最小，即z 最小．解方程组Error!得M 点的坐标为.(17，47)所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A kg ，食17物B kg.47跟踪训练3　4,1解析　设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x ，y ，则Error!目标函数z＝20x＋10y，画出可行域如图．由Error!得A(4,1)．易知当直线z＝20x＋10y平移经过点A时，z取得最大值，即甲、乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时，可获得最大利润．当堂训练1．C　2.B　3.A　4.8。

学必求其心得，业必贵于专精学习目标1。

理解均值不等式的内容及证明。

2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小。

3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．知识点一算术平均值与几何平均值思考如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b,过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP,PB。

如何用a,b表示PO,PQ的长度?梳理一般地,对于正数a,b，错误!为a，b的________平均值,错误!为a，b的________平均值．两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即错误!≤错误!。

其几何意义如上图中的|PO|≥｜PQ|。

知识点二均值不等式及其常见推论思考如何证明不等式错误!≤错误!（a〉0，b〉0)?梳理错误!≤错误!(a〉0，b〉0)．当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论:(1）ab≤(错误!）2≤错误!(a，b∈R);（2)错误!＋错误!≥2（a，b同号);（3）当ab>0时，错误!＋错误!≥2；(4）a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca（a，b，c∈R）．类型一常见推论的证明例1证明不等式a2＋b2≥2ab（a，b∈R)．引申探究证明不等式(错误!）2≤错误!（a，b∈R)．反思与感悟(1）本例证明的不等式成立的条件是a，b∈R,与均值不等式不同．（2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练1已知a,b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc ＋ca.类型二用均值不等式证明不等式例2已知x、y都是正数．求证：（1）错误!＋错误!≥2;（2)(x＋y）(x2＋y2）(x3＋y3)≥8x3y3。

反思与感悟在(1)的证明中把错误!,错误!分别看作均值不等式中的a，b从而能够应用均值不等式；在（2)中三次利用了均值不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号．跟踪训练2已知a、b、c都是正实数，求证:(a＋b）（b＋c）·(c＋a）≥8abc.类型三用均值不等式比大小例3某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，a，b，x均大于零，则(）A．x＝错误!B．x≤错误!C．x＞错误!D．x≥错误!反思与感悟均值不等式错误!≥错误!一端为和，一端为积,使用均值不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3设a＞b＞1，P＝错误!，Q＝错误!，R＝lg 错误!，则P,Q，R的大小关系是()A．R＜P＜Q B．P＜Q＜RC．Q＜P＜R D．P＜R＜Q1．已知a〉0，b>0，则错误!＋错误!＋2错误!的最小值是（）A．2 B．2错误!C．4 D．52．若0〈a〈b,则下列不等式一定成立的是()A．a>错误!〉错误!>b B．b〉错误!〉错误!〉aC．b>错误!〉错误!〉a D．b〉a>错误!〉错误!3．设a、b是实数，且a＋b＝3,则2a＋2b的最小值是（)A．6 B．42C．2错误!D．84．设a〉0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1〉a；②错误!错误!≥4；③（a＋b)错误!≥4；④a2＋9>6a。

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3.2 均值不等式1。

了解均值不等式的证明过程.2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(重点、难点)3.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题.（重点）［基础·初探]教材整理1 均值不等式阅读教材P69~P71,完成下列问题。

1.重要不等式如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”).2。

均值不等式错误!≤错误!（1)均值不等式成立的条件：a>0，b>0;(2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号。

3。

算术平均数与几何平均数(1）设a〉0，b>0,则a，b的算术平均数为错误!，几何平均数为错误!；（2)均值不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.判断(正确的打“√",错误的打“×”）（1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab均成立.( ）（2）若a≠0,则a＋错误!≥2错误!＝4.（)（3）若a〉0,b>0，则ab≤错误!错误!。

( )（4)两个不等式a2＋b2≥2ab与错误!≥错误!成立的条件是相同的。

( ）（5）若ab＝1，a>0，b〉0，则a＋b的最小值为2.( )【解析】(1）×。

3.1.2 不等式的性质[学习目标] 1.掌握不等式的性质.2.能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较，解不等式(组)和不等式证明．[知识链接]下面关于不等式的几个命题正确的有________． (1)若a >b ，则a ＋c >b ＋c ； (2)若a >b ，则ac >bc ；(3)不等式2x ＋6>0的解集为(－3，＋∞)； (4)不等式－2x <3解集为(－∞，－32)．答案 (1)(3)解析 对于(2)，当c ≤0时，不成立；(4)中不等式的解集为(－32，＋∞)．[预习导引] 不等式的性质(1)对称性：如果a >b ，那么b <a ；如果b <a ，那么a >b . (2)传递性：如果a >b ，且b >c ，则a >c . (3)加法法则：如果a >b ，则a ＋c >b ＋c .推论1：(移项法则)不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．推论2：如果a >b ，c >d ，则a ＋c >b ＋d .即：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向． (4)乘法法则：如果a >b ，c >0，则ac >bc ；如果a >b ，c <0，则ac <bc ； 推论1：如果a >b >0，c >d >0，则ac >bd .更一般的结论：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．推论2：如果a >b >0，则a n >b n (n ∈N ＋，n >1)． 推论3：如果a >b >0，则na >nb (n ∈N ＋，n >1).要点一 利用不等式的性质判断命题真假 例1 判断下列命题的真假： (1)若a >b ，则ac <bc ； (2)若ac 2>bc 2，则a >b ； (3)若a <b <0，则a 2>ab >b 2； (4)若a <b <0，则b a >ab.解 (1)由于c 的正、负或是否为零未知，因而判断ac 与bc 的大小缺乏依据．故该命题是假命题．(2)由ac 2>bc 2知c ≠0，c 2>0，所以a >b ，该命题为真命题．(3)由⎩⎨⎧ a <b ，a <0⇒a 2>ab ；又⎩⎨⎧a <b ，b <0⇒ab >b 2.所以a 2>ab >b 2，故该命题为真命题．(4)由a <b <0⇒－a >－b >0⇒a 2>b 2⇒a 2ab >b 2ab ，即a b >ba ，故该命题是假命题．规律方法 要判断命题是真命题，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，应熟练掌握不等式的性质及其推论的条件和结论，若判断命题是假命题只需举一反例即可．跟踪演练1 下列命题中正确的个数是( ) ①若a >b ，b ≠0，则ab >1；②若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >d ； ③若a >b ，且ac >bd ，则c >d . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 A解析 ①若a ＝2，b ＝－1，则不符合；②取a ＝10，b ＝2，c ＝1，d ＝3，虽然满足a >b 且a ＋c >b ＋d ，但不满足c >d ，故错． ③当a ＝－2，b ＝－3，取c ＝－1，d ＝2，则不成立．要点二 利用不等式性质证明简单不等式 例2 已知a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e a －c >e b －d. 证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∵a >b >0，∴a －c >b －d >0， ∴0<1a －c <1b －d .又∵e <0，∴e a －c >e b －d. 规律方法 利用不等式性质证明简单的不等式的实质就是根据性质把不等式进行变形，要注意不等式性质成立的条件，如果不能直接由不等式性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式性质进行转化．跟踪演练2 若a >b >0，c <d <0，求证：a d <bc . 证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又a >b >0，∴－ac >－bd >0，∴ac <bd . 又c <0，d <0， ∴cd >0.∴ac cd <bd cd ，即a d <b c .要点三 应用不等式性质求取值范围例3 已知－6<a <8,2<b <3，分别求2a ＋b ，a －b ，ab 的取值范围． 解 ∵－6<a <8,2<b <3，∴－12<2a <16， ∴－10<2a ＋b <19.又∵－3<－b <－2，∴－9<a －b <6. 又13<1b <12， 当0≤a <8时，0≤ab <4； 当－6<a <0时，－3<ab <0.∴－3<ab<4.规律方法 解决此类问题，要注意题设中的条件，充分利用已知求解，否则易出错．同时在变换过程中要准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的情况，同时，要特别注意同向不等式相乘的条件为同为正．跟踪演练3 已知－π2≤α<β ≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．解 ∵－π2≤α<β≤π2，∴－π4≤α2<π4，－π4<β2≤π4.上面两式相加得：－π2<α＋β2<π2.∵－π4<β2≤π4，∴－π4≤－β2<π4，∴－π2≤α－β2<π2.又知α<β，∴α－β<0，故－π2≤α－β2<0.1．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b答案 C解析 由a ＋b >0知a >－b ，∴－a <b <0.又b <0， ∴－b >0，∴a >－b >b >－a .2．已知a >b ，不等式：①a 2>b 2；②1a >1b ；③1a －b >1a 成立的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 A解析 由题意可令a ＝1，b ＝－1，此时①不对，③中，此时a －b ＝2，此时有1a －b <1a，故③不对，令a ＝－1，b ＝－2，此时②不对，故选A. 3．已知a ，b ，c ，d ∈R 且ab >0，－c a >－db ，则( ) A ．bc <ad B ．bc >ad C.a c >b d D.a c <bd答案 A解析 ∵ab >0，∴在－c a >－db 两侧乘ab 不变号，即－bc >－ad ，即bc <ad . 4．若α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，那么2α－β3的范围是________．答案 (－π6，π)解析 α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)，β∈(0，π2)，∴－β3∈(－π6，0)，∴－π6<2α－β3<π.1．不等式的性质(1)不等式的性质有很多是不可逆的，特别对同向不等式，只有同向不等式才可以相加，但不能相减，而且性质不可逆．只有同向且是正项的不等式才能相乘，且性质不可逆．(2)不等式的性质是解(证)不等式的基础，要依据不等式的性质进行推导，不能自己“制造”性质运算．2. 在利用不等式的性质进行证明、判断或者推理过程中，要注意性质成立的条件，不能出现同向不等式相减、相除的情况，要特别注意同向不等式相乘的条件为同为正．。

第三章 不等式1 实数大小比较的方法知多少实数比较大小是一种常见题型，解题思路较多，广泛灵活多变，下面结合例子介绍几种比较大小的方法供同学们学习时参考． 1．利用作差法比较实数大小方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差——变形——判断差的符号——得出结论．比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解法和配方法．例1 已知a <b <c ，试比较a 2b ＋b 2c ＋c 2a 与ab 2＋bc 2＋ca 2的大小． 解 a 2b ＋b 2c ＋c 2a －(ab 2＋bc 2＋ca 2) ＝(a 2b －ab 2)＋(b 2c －bc 2)＋(c 2a －ca 2) ＝ab (a －b )＋bc (b －c )＋ca (c －a )＝ab (a －b )＋bc [(b －a )＋(a －c )]＋ca (c －a ) ＝ab (a －b )＋bc (b －a )＋bc (a －c )＋ca (c －a ) ＝b (a －b )(a －c )＋c (a －c )(b －a ) ＝(a －b )(a －c )(b －c )．∵a <b <c ，∴a －b <0，a －c <0，b －c <0， ∴(a －b )(a －c )(b －c )<0. ∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a <ab 2＋bc 2＋ca 2. 2．利用作商法比较实数大小方法链接：作商比较法比较两个实数的大小，依据如下： (1)若a ，b 都是正数，则a >b ⇔a b>1；a <b ⇔a b <1；a ＝b ⇔ab＝1.(2)若a ，b 都是负数，则a >b ⇔ab<1.a <b ⇔a b >1；a ＝b ⇔ab＝1.作商比较法的基本步骤：①作商；②变形；③与1比较大小；④下结论．例2 设a >0，b >0，且a ≠b ，试比较a a b b ，a b b a，(ab )a ＋b2三者的大小．解a ab b aba ＋b 2＝aa －a ＋b 2·bb －a ＋b 2＝a a －b 2·b b －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2. 当a >b >0时，a b>1，a －b >0，a －b2>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 0＝1，∴a a b b >(ab )a ＋b 2.当0<a <b 时，0<ab<1，a －b <0，a －b2<0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ba －b 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 0＝1，∴a a b b >(ab )a ＋b 2.所以，不论a >b >0还是0<a <b ，总有a a b b>(ab )a ＋b2.同理，(ab )a ＋b2>a b b a.综上所述，a a b b>(ab )a ＋b2>a b b a.3．构造中间值比较实数大小方法链接：由传递性知a >b ，b >c ⇒a >c ，所以当两个数直接比较不容易时，我们可以找一个适当的中间值为媒介来间接地比较．例3 设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >cD ．b >c >a解析 a ＝log 3π>log 33＝1，∴a >1.b ＝log 23＝12log 23<12log 24＝1，∴b <1.c ＝log 32＝12log 32<1，∴a >b ，a >c .又b ＝log 23＝12log 23>12，c ＝log 32＝12log 32<12，∴b >c ，∴a >b >c . 答案 A4．特殊值法比较实数大小方法链接：一些比较实数大小的客观性题目，先通过恰当地选取符合题目要求的一组特例，从而确定出问题的答案．这种取特殊值法往往能避重就轻，避繁从简，快速获得问题的解．一些解答题，也可以先通过特例为解答论证提供方向．例4 若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12解析 特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38，a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38.∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2. (注：本题还可以利用作差法比较大小，此答略) 答案 A5．利用函数单调性比较实数大小方法链接：有些代数式的大小比较很难直接利用不等式性质完成，可以考虑构建函数，借助函数的单调性加以判断．例5 当0<a <b <1时，下列不等式中正确的是( ) A ．(1－a )1b>(1－a )bB ．(1＋a )a >(1＋b )bC ．(1－a )b>(1－a )b2D ．(1－a )a>(1－b )b解析 对于A ，∵0<a <b <1，∴函数y ＝(1－a )x为R 上的单调递减函数，∵1b >b ，∴(1－a )1b<(1－a )b，A 错误；对于B ，∵函数y ＝(1＋a )x为R 上的单调递增函数， ∴(1＋a )a<(1＋a )b.又函数y ＝x b 在(0，＋∞)上为单调递增函数， ∴(1＋a )b<(1＋b )b，从而(1＋a )a<(1＋b )b，B 错误；对于C ，∵函数y ＝(1－a )x为R 上的单调减函数，且b >b2，∴(1－a )b<(1－a )b2，C 错误；对于D ，∵函数y ＝(1－a )x为R 上的单调减函数，且a <b ，∴(1－a )a>(1－a )b.又函数y ＝x b为(0，＋∞)上的单调递增函数，且1－a >1－b >0，从而(1－a )b>(1－b )b， 所以(1－a )a>(1－b )b，D 正确，故选D. 答案 D6．借助函数的图象比较实数大小方法链接：借助函数的图象比较实数大小，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何含义，善于构造函数图象，从图象上找出问题的结论．例6 设a 、b 、c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析 由函数y ＝2x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝log 2x ，y ＝log 12x 的图象(如图所示)知0<a <b <1<c ，故选A.答案 A2 解含参不等式的利器——分类讨论解含参数的一元二次不等式，要把握分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数与0的关系；其次根据根是否存在，即根据Δ的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小关系进行讨论．分类时要保证“不重不漏”，按同一标准进行划分后，不等式的解集的表达式是确定的． 1．对判别式“Δ”进行讨论当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时，需要对判别式“Δ”进行讨论． 例1 解关于x 的不等式x 2＋ax ＋1>0(a ∈R )． 解 对于方程x 2＋ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4，(1)当Δ>0，即a >2或a <－2时，方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等实根，x 1＝－a －a 2－42，x 2＝－a ＋a 2－42，且x 1<x 2，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <－a －a 2－42或x >－a ＋a 2－42； (2)当Δ＝0，即a ＝±2时，①若a ＝2，则原不等式的解集为{x |x ≠－1}，②若a ＝－2，则原不等式的解集为{x |x ≠1}；(3)当Δ<0，即－2<a <2时，方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根，结合二次函数y ＝x 2＋ax ＋1的图象，易知此时原不等式的解集为R . 2．对方程的解的大小进行讨论当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程一定有两个解，但不知道两个解的大小时，需要对解的大小进行讨论．例2 解关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1>0(a ∈R ，且a ≠0)．解 原不等式可变形为(x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0，易求得方程(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个解分别为x 1＝a和x 2＝1a，所以(1)当a >1a，即a ∈(－1,0)∪(1，＋∞)时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1a或x >a ； (2)当a ＝1a，即a ＝±1时，①若a ＝1，则原不等式的解集为{x |x ≠1}， ②若a ＝－1，则原不等式的解集为{x |x ≠－1}；(3)当a <1a，即a ∈(－∞，－1)∪(0,1)时， 原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <a 或x >1a .3．对二次项系数进行讨论当含参数的不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二次项系数进行讨论；其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小进行讨论． 例3 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 原不等式可变形为ax 2＋(a －2)x －2≥0. (1)当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≤－1}．(2)当a ≠0时，原不等式可变形为(ax －2)(x ＋1)≥0，方程(ax －2)(x ＋1)＝0的解为x 1＝2a，x 2＝－1.①当a >0时，2a>－1，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a或x ≤－1；②当a <0时，a ．当－2<a <0时，2a<－1，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ≤x ≤－1； b ．当a ＝－2时，原不等式的解集为{x |x ＝－1}； c ．当a <－2时，2a>－1，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a . 综上，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，原不等式的解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a .4．对含参数的分式不等式转化后再讨论对含有参数的分式不等式，利用不等式的同解原理等价转化为一元二次不等式的形式后，再按照上面的方法分类讨论，逐类求解． 例4 解不等式x －k x ＋3x ＋2<x ＋1 (k ∈R )．解 原不等式⇔kx ＋3k ＋2x ＋2>0⇔(x ＋2)(kx ＋3k ＋2)>0.当k ＝0时，原不等式解集为{x |x >－2}； 当k >0时，(kx ＋3k ＋2)(x ＋2)>0，变形为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3k ＋2k (x ＋2)>0， 因为3k ＋2k ＝3＋2k>3>2，所以－3k ＋2k<－2.所以x <－3k ＋2k或x >－2.故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－2或x <－3k ＋2k ； 当k <0时，原不等式⇔(x ＋2)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3k ＋2k <0，由于(－2)－⎝⎛⎭⎪⎫－3k ＋2k ＝k ＋2k.所以当－2<k <0时，k ＋2k <0，－2<－3k ＋2k， 不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ； 当k ＝－2时，－3k ＋2k＝－2，原不等式⇔(x ＋2)2<0，不等式的解集为∅； 当k <－2时，k ＋2k >0，－2>－3k ＋2k. 不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2. 综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x >－2}；当k >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3k ＋2k 或x >－2； 当－2<k <0时，不等式的解集为{x |－2<x <－3k ＋2k}；当k ＝－2时，不等式的解集为∅；当k <－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k<x <－2. 回顾与提升 含有参数的一元二次不等式，问题看似简单，但因为含有参数，便大大增加了问题的复杂程度．分类讨论是解决这类问题的主要方法，确定分类讨论的标准时，要着重处理好以下三点：①讨论的“时刻”，即在什么时候才开始进行讨论．要求转化必到位，过早或过晚讨论都会使问题更加复杂化．②讨论的“点”，即以哪个量为标准进行讨论．若把握不好这一类，问题就不能顺利解决． ③考虑要周到，即讨论对象的各种情况都要加以分析，给出结论.3 一元二次不等式恒成立问题的求解策略含参数的一元二次不等式恒成立问题是高中阶段最简单、最常见的恒成立问题，是研究恒成立问题的典型素材，也是近几年高考考查的热点之一．下面结合例子，介绍几种常用的求解策略：1．利用一元二次不等式的判别式求解 代数式ax 2＋bx ＋c >0的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0.例1 已知不等式kx 2＋kx ＋6x 2＋x ＋2>2对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围．解 ∵x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74>0. ∴原不等式等价于kx 2＋kx ＋6>2x 2＋2x ＋4， 即(k －2)x 2＋(k －2)x ＋2>0. 当k ＝2时，2>0，结论显然成立； 当k ≠2时，k 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，Δ＝k －22－4×2k －2<0，解得2<k <10.综上所述，k 的取值范围是2≤k <10.2．转化为二次函数在闭区间上的最值问题求解一般地，f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立；f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立．例2 已知不等式sin 2x －2a sin x ＋a 2－2a ＋2>0对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． 解 设f (x )＝sin 2x －2a sin x ＋a 2－2a ＋2， 则f (x )＝(sin x －a )2＋2－2a .当a <－1时，f (x )在sin x ＝－1时取到最小值，且f (x )min ＝a 2＋3，a 2＋3>0显然成立；∴a <－1；当－1≤a ≤1时，f (x )在sin x ＝a 时取到最小值，且f (x )min ＝2－2a ，由2－2a >0，解得a <1， ∵－1≤a ≤1，∴－1≤a <1；当a >1时，f (x )在sin x ＝1时取到最小值，且f (x )min ＝a 2－4a ＋3，由a 2－4a ＋3>0，解得a <1或a >3，∵a >1，∴a >3.综上所述，a 的取值范围为a <1或a >3. 3．利用直线型函数图象的保号性求解函数f (x )＝kx ＋b ，x ∈[α，β]的图象是一条线段，此线段恒在x 轴上方的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧f α>0，f β>0；此线段恒在x轴下方的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧fα<0，f β<0；此线段与x 轴有交点的等价条件是f (α)·f (β)≤0.例3 已知当x ∈[0,1]时，不等式2m －1<x (m 2－1)恒成立，试求m 的取值范围．解 设f (x )＝(m 2－1)x ＋(1－2m )，则原不等式恒成立 ⇔f (x )>0，x ∈[0,1]恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0，f1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－2m >0，m 2－2m >0⇔m <0.4．分离参数后，利用均值不等式求解如果直接求参数的取值范围比较困难，而且参数容易从式子中分离出来，可以考虑分离参数后，再利用等价条件f (x )≥a ⇔a ≤f (x )min 或f (x )≤a ⇔a ≥f (x )max 求解．例4 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3，当x ∈[－1,1]时，不等式f (x )>a 恒成立，求a 的取值范围．解 不等式f (x )>a ⇔x 2＋ax ＋3>a ⇔x 2＋3>a (1－x )，x ∈[－1,1]．∵－1≤x ≤1，∴0≤1－x ≤2.当x ＝1时，1－x ＝0，x 2＋3>a (1－x )对一切a ∈R 恒成立；当x ≠1时，0<1－x ≤2，则a <x 2＋31－x .∵x 2＋31－x＝1－x 2－21－x ＋41－x＝(1－x )＋41－x－2≥21－x ·41－x－2＝2，当且仅当1－x ＝41－x，即x ＝－1时，取到等号．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋31－x min＝2.从而a <2. 综上所述，a 的取值范围为a <2.4 求最优解为整点的方法处理实际问题中的最优解时，有时需满足x ，y ∈N ，这种最优解称为整点最优解，下面举例探讨整点最优解的方法． 一、平移法在可行域内找整点最优解，一般采用平移法，即打网格，描整点，平移直线，找出最优解．先按“平移法”求出非整点最优解及最值，再调整最值，最后筛选出整点最优解．例1 某中学准备组织学生去“鸟巢”参观．参观期间，校车每天至少要运送480名学生．该中学后勤有7辆小巴、4辆大巴，其中小巴能载16人、大巴能载32人．已知每辆客车每天往返次数小巴为5次、大巴为3次，每次运输成本小巴为48元，大巴为60元．请问每天应派出小巴、大巴各多少辆，才能使总费用最少？分析可以填表理解题意．这样便于列约束条件和目标函数．辆数载人数往返次数每次成本大巴小巴解设每天派出小巴x辆、大巴y辆，总运费为z元，则⎩⎪⎨⎪⎧5×16x＋3×32y≥480，0≤x≤7，0≤y≤4，x，y∈N，目标函数z＝240x＋180y.作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分的整点．作出直线l：240x＋180y＝0，即4x＋3y＝0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使其在y轴上的截距最小．观察图形，可知当直线l经过点B(2,4)时，满足上述要求．此时，z＝240x＋180y取得最小值，即当x＝2，y＝4时，z min＝240×2＋180×4＝1 200(元)．答派2辆小巴、4辆大巴总费用最少．点评用平移法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f(x，y)＝t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网格法”先作出可行域中的各整点．二、检验法由于作图难免有误差，所以仅靠图象不一定能准确而迅速地找到最优解，此时可将若干个可能解逐一检验．例2 现有一根长4 000 mm的条形高新材料，需要将其截成长分别为518 mm与698 mm的甲、乙两种零件毛坯，求高新材料的最大利用率．解 设甲种毛坯截x 根，乙种毛坯截y 根，高新材料的利用率为P ，则线性约束条件为518x ＋698y ≤4 000，其中x 、y ∈N ，目标函数为P ＝518x ＋698y4 000×100%，可行域是图中阴影部分的整点，目标函数表示与直线518x ＋698y ＝4 000平行的直线系．所以使P 取得最大值的最优解是阴影内最靠近直线518x ＋698y ＝4 000的整点坐标．如图可得点(0,5)，(1,4)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,2)，(6,1)，(7,0)都可能是最优解，逐一代入目标函数，可知当x ＝5，y ＝2时，P max ＝99.65%.答 当甲种毛坯截5根，乙种毛坯截2根，高新材料的利用率最大，且最大为99.65%. 点评 解线性规划问题作图时应尽可能精确，但考虑到作图时必然会有误差，假如图上的最优解并不十分明显时，不妨将几个有可能是最优解的坐标都求出来，然后逐一进行检验，确定整点最优解．5 例析以线性规划为载体的交汇问题1．线性规划与函数交汇例1 设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]解析 作二元一次不等式组的可行域如图所示， 由题意得A (1,9)，C (3,8)．当y ＝a x过A (1,9)时，a 取最大值，此时a ＝9；当y ＝a x 过C (3,8)时，a 取最小值，此时a ＝2，∴2≤a ≤9.答案 C点评 准确作出可行域，熟知指数函数y ＝a x的图象特征是解决本题的关键． 2．线性规划与概率交汇例2 两人约定下午4点到5点在某一公园见面，他们事先约定先到者等候另一个人20分钟，过时就离去．请问这两个人能见面的概率有多大？解 用x 、y 分别表示两人到公园的时间，若两人能见面，则有|x －y |≤20，又0≤x ≤60,0≤y ≤60，即有⎩⎪⎨⎪⎧x －y －20≤0，x －y ＋20≥0，0≤x ≤60，0≤y ≤60，作出点(x ，y )的可行域如图所示中阴影部分．由图知，两人能见面的概率为阴影部分的面积比大正方形的面积，所以所求概率为P ＝602－40×40602＝59. 点评 这是一道几何概型的题目，关键在于确定两人能见面的时间区域，利用线性规划的思想简洁、直观、明了．3．线性规划与一元二次方程交汇例3 已知方程x 2＋(2＋a )x ＋1＋a ＋b ＝0的两根为x 1、x 2，且0<x 1<1<x 2，则ba的取值范围是__________．解析 令f (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋1＋a ＋b ，并且0<x 1<1<x 2，则由题意知函数f (x )在(0,1)及(1，＋∞)内各有一个零点，得⎩⎪⎨⎪⎧f0>0，f 1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1>0，2a ＋b ＋4<0.作出可行域，如图所示．而令k ＝ba，则表示可行域内的点与原点连线的斜率． 设M (x 0，y 0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＋1＝0，2x 0＋y 0＋4＝0，得M (－3,2)，k OM ＝－23，结合图可知－2<k <－23.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23 点评 本题以一元二次方程的根的取值范围为背景，并通过与二次函数的联系转化为关于a 、b 的线性约束条件来求解．其中理解ba表示可行域内的点与原点连线的斜率是解题的关键．4．线性规划与圆交汇例4 若{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≥0，3－x ≥0，x ＋y ≥0}⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2(m >0)}，求实数m 的取值范围．解 设A ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≥0，3－x ≥0，x ＋y ≥0}B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2 (m >0)}，则集合A 表示的区域为图中阴影部分，集合B 表示以坐标原点为圆心，m 为半径的圆及其内部，由A ⊆B 得，m ≥|PO |， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0，3－x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，即P (3,4)， ∴|PO |＝5，即m ≥5.点评 集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2(m >0)}的几何含义是以原点(0,0)为圆心，m 为半径的圆及其内部区域．5．线性规划与平面向量交汇例5 已知O 为坐标原点，定点A (3,4)，动点P (x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ＋1≥x ，x ＋y ≤3，则向量OP →在OA →上的射影的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，75B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，95C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，95 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，115 解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ＋1≥x ，x ＋y ≤3所表示的平面区域，如图所示．向量OP →在向量OA →上的射影为|OP →|cos∠AOP ＝|OP →|·OP →·OA →|OP →|·|OA →|＝OP →·OA →|OA →|＝3x ＋4y 5.令z ＝3x ＋4y ，易知直线3x ＋4y ＝z 过点G (1,0)时，z min ＝3； 直线3x ＋4y ＝z 过点N (1,2)时，z max ＝11. ∴⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋4y 5min ＝35，⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4y 5max ＝115.故选D. 答案 D点评 向量OP →在OA →上的射影为|OP →|·cos〈OP →，OA →〉＝|OP →|·OP →·OA →|OP →|·|OA →|＝OP →·OA →|OA →|＝3x ＋4y 5.清楚这一点对解答本题至关重要．6 运用均值不等式求最值的7种常见技巧在利用均值不等式求最大值或最小值时，为满足“一正、二定、三相等”的条件，需要作一些适当的变形，用到一些变换的技巧，下面举例说明． 1．凑和为定值例1 若a ，b ，c >0，且2a ＋b ＋c ＝6，则a (a ＋b ＋c )＋bc 的最大值为( ) A.34 B. 3 C.32D ．2分析 注意a (a ＋b ＋c )＋bc ＝(a ＋b )(a ＋c )，而2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )，从而沟通了问题与已知的联系，然后利用均值不等式求最值． 解析 ∵a (a ＋b ＋c )＋bc ＝a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝(a 2＋ac )＋(ab ＋bc )＝a (a ＋c )＋b (a ＋c ) ＝(a ＋b )(a ＋c )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b ＋a ＋c 22＝⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋b ＋c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32.当且仅当a ＋b ＝a ＋c ＝62时，取“＝”， ∴a (a ＋b ＋c )＋bc 的最大值为32.故选C.答案 C 2．凑积为定值例2 设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1a a －b －10ac ＋25c 2的最小值是( )A ．2B ．4C ．2 5D ．5 分析 注意到2a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2＝a 2－ab ＋1aa －b ＋ab ＋1ab＋a 2－10ac ＋25c 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤aa －b ＋1a a －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ＋(a －5c )2，然后分别利用均值不等式和平方数的性质求最值．由于代数式比较复杂，要注意等号取到的条件． 解析 ∵a >b >c >0， ∴原式＝a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2＋a 2＝a 2－ab ＋1aa －b＋ab ＋1ab＋(a －5c )2≥2＋2＋0＝4，当且仅当a (a －b )＝1，ab ＝1，a －5c ＝0时取等号．即当a ＝2，b ＝22，c ＝25时，所求式的最小值为4. 答案 B 3．化负为正例3 已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值．分析 因为4x －5<0，所以要先“调整”符号，又(4x －2)·14x －5不是常数，所以对4x －2要添项“配凑”． 解 ∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立， 故当x ＝1时，y max ＝1. 4．和积互“化”例4 若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则2x ＋y 的最小值是________． 分析 可以利用均值不等式的变形形式ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22进行和或积的代换，这种代换目的是消除等式两端的差异，属不等量代换，带有放缩的性质． 解析 方法一 ∵x >0，y >0， ∴xy ＝12·(2x )·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22，∴2x ＋y ＋6＝(2x ＋y )＋6≤18(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2－8(2x ＋y )－48≥0， 令2x ＋y ＝t ，t >0，则t 2－8t －48≥0， ∴(t －12)(t ＋4)≥0， ∴t ≥12，即2x ＋y ≥12.方法二 由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22xy －6≥0， ∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0. 又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18. ∴xy 的最小值为18， ∵2x ＋y ＝xy －6， ∴2x ＋y 的最小值为12. 答案 12 5．消元法例5 若正实数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的最小值为________．分析 从ab ＝a ＋b ＋3中解出b ，即用a 的代数式表示b ，则ab 可以用a 来表示，再求关于a 的代数式的最值即可．解析 ∵ab ＝a ＋b ＋3， ∴b ＝a ＋3a －1. ∵a >0，b >0， ∴a ＋3a －1>0，∴a >1. ∴ab ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋3a －1＝a 2＋3a a －1＝a －12＋5a －1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5. ∵a >1， ∴a －1＋4a －1≥2a －1·4a －1＝4，当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时，取等号， 此时b ＝3，∴ab ≥9.∴ab 的最小值为9. 答案 9 6．平方法例6 若x >0，y >0，且2x 2＋y 23＝8，求x 6＋2y 2的最大值．分析 仔细观察题目已知式中x 与y 都是二次的，而所求式中x 是一次的，而且还带根号，初看让人感觉无处着手，但是如果把x 6＋2y 2平方，则豁然开朗，思路就在眼前了．解 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 23≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2＋1＋y 2322＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫922.当2x 2＝1＋y 23，即x ＝32，y ＝422时，等号成立．故x 6＋2y 2的最大值为932.7．换元法例7 某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)为50<x ≤80时，每天售出的件数为P ＝105x －402，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？解 设销售价格为每件x 元(50<x ≤80)，每天获得的利润为y 元， 则y ＝(x －50)·P ＝105x －50x －402.令x －50＝t ， ∴y ＝105tt ＋102＝105tt 2＋20t ＋100＝105t ＋100t＋20≤10520＋20＝2 500.当且仅当t ＝10，即x ＝60时，y max ＝2 500. 答 销售价格每件应定为60元．7 不等式易错备忘录1．多次非同解变形，导致所求范围扩大而致错例1 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的范围是( ) A ．[3,12] B ．(3,12) C ．(5,10)D ．[5,10][错解] 由于f (－2)＝4a －2b ，要求f (－2)的范围，可先求a 与b 的范围．由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2 ①2≤a ＋b ≤4 ②两式相加得32≤a ≤3，又－2≤b －a ≤－1 ③②式与③式相加得0≤b ≤32.∴6≤4a ≤12，－3≤－2b ≤0. ∴3≤4a －2b ≤12.即3≤f (－2)≤12.故选A 项．[点拨] 这种解法看似正确，实则使f (－2)的范围扩大了，事实上，这里f (－2)最小值不可能取到3，最大值也不可能是12.由上述解题过程可知，当a ＝32且b ＝32时才能使4a －2b ＝3，而此时a －b ＝0，不满足①式．同理可验证4a －2b 也不能等于12.出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来作变形，是非同解变形．以上解法为了求a ，b 的范围，多次应用了这一性质，使所求范围扩大了．[正解] 方法一 ∵⎩⎪⎨⎪⎧f－1＝a －b f 1＝a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f 1＋f －1]b ＝12[f1－f －1]，∴f (－2)＝4a －2b ＝2[f (1)＋f (－1)]－[f (1)－f (－1)] ＝3f (－1)＋f (1)．∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4. ∴5≤f (－2)≤10，故选D 项． 方法二 数形结合法 在坐标平面aOb 上，作出直线a ＋b ＝2，a ＋b ＝4，a －b ＝1，a －b ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧2≤a ＋b ≤41≤a －b ≤2表示平面上的阴影部分(包括边界)，如图所示： 令m ＝4a －2b ，则b ＝2a －m2.显然m 为直线系4a －2b ＝m 在b 轴上截距2倍的相反数．当直线b ＝2a －m 2过阴影部分中点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，m 取最小值5；过点C (3,1)时，m 取最大值10. ∴f (－2)∈[5,10]，选D 项．温馨点评 利用不等式的变换求取值范围时，要使变换符合等价性.像此类题一般是运用待定系数法或线性规划中最优解方法求解.切勿像误区中解法那样先求a 、b 的范围，再求f －2的范围，这样求出的范围会扩大.2．混淆“定义域为R ”与“值域为R ”的区别而致错例2 若函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，求a 的取值范围． [错解1] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴ax 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >04－4a 2<0，∴a >1.[错解2] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴代数式ax 2－2x ＋a 能取遍一切正值． ∴Δ＝4－4a 2≥0，∴－1≤a ≤1.[点拨] 上述解法1把值域为R 误解为定义域为R ；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a <0时，代数式ax 2－2x ＋a 不可能取到所有正数，从而也是错误的． [正解] 当a ＝0时，y ＝lg(－2x )值域为R ，a ＝0适合．当a ≠0时，ax 2－2x ＋a ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 为使y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，代数式ax 2－2x ＋a 应取到所有正数．所以a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0a －1a≤0，解得0<a ≤1.综上所述，0≤a ≤1.3．忽略截距与目标函数值的关系而致错例3 设E 为平面上以A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z ＝4x －3y 的最大值与最小值． [错解]把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z . 根据条件画出图形如图所示，当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最大值； 当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最小值． ∴z min ＝4×(－1)－3×(－6)＝14；z max ＝4×(－3)－3×2＝－18.[点拨] 直线y ＝43x －13z 的截距是－13z ，当截距－13z 最大即过点C 时，目标函数值z 最小；而当截距－13z 最小即过点B 时，目标函数值z 最大．此处容易出错． [正解] 把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z . 当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最大值； 当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最小值． ∴z min ＝4×(－3)－3×2＝－18；z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14.温馨点评 由目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)，得y ＝－a b x ＋z b .直线y ＝－a b x ＋z b 在y 轴上的截距为z b .当b >0时，目标函数值与直线在y 轴上的截距同步达到最大值和最小值；当b <0时，情形正好相反．4．最优整数解判断不准而致错例4 设变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ≤10，x ＋4y ≤11，x ∈Z ，y ∈Z ，x >0，y >0，求S ＝5x ＋4y 的最大值．[错解] 依约束条件画出可行域如图阴影部分所示，如先不考虑x 、y 为整数的条件，则当直线5x ＋4y ＝S 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫95，2310时， S ＝5x ＋4y 取最大值，S max ＝18 15.因为x 、y 为整数，所以当直线5x ＋4y ＝t 平行移动时，从点A 起通过的可行域中的整点是C (1,2)，此时S max ＝13.[点拨] 上述错误是把C (1,2)作为可行域内唯一整点，其实还有整点(0,2)，(2,1)，(2,2)，此时S ＝14才是最大值．[正解] 在可行域内靠近5x ＋4y ＝1815的整点有(0,2)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，分别验证可得(2,2)为最优解，此时，S max ＝2×5＋2×4＝18. 温馨点评 求最优整数解时，要结合可行域，对所有可能的整数解逐一检验，不要漏掉解.5．忽略等号成立的条件而致错例5 已知m 2＋n 2＝a ，x 2＋y 2＝b (a 、b 为大于0的常数且a ≠b )，求mx ＋ny 的最大值．[错解] ∵mx ≤m 2＋x 22，ny ≤n 2＋y 22， ∴mx ＋ny ≤m 2＋x 22＋n 2＋y 22 ＝m 2＋n 2＋x 2＋y 22＝a ＋b 2.当且仅当m ＝x ，n ＝y 时取“＝”．[点拨] 如果m ＝x ，n ＝y ，则会有m 2＋n 2＝x 2＋y 2＝a ＝b ，这与条件“a ≠b ”矛盾，如果m ＝x ，n ＝y 中有一个不成立，则“＝”取不到，则不满足使用均值不等式的条件．[正解] 利用三角代换可避免上述问题． ∵m 2＋n 2＝a ，∴设⎩⎨⎧ m ＝a cos αn ＝a sin α (α∈[0,2π))， ∵x 2＋y 2＝b ，∴设⎩⎨⎧ x ＝b cos βy ＝b sin β(β∈[0,2π))，∴mx ＋ny ＝ab cos αcos β＋ab sin αsin β ＝ab (cos αcos β＋sin αsin β)＝ab cos(α－β)≤ab ，∴(mx ＋ny )max ＝ab ，当且仅当cos(α－β)＝1，α＝β时取“＝”．6．两次利用均值不等式而致错例6 已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y的最小值． [错解] 因为x >0，y >0，且x ＋2y ＝1， 1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (x ＋2y )≥21x ·1y ×22xy ＝4 2. 所以1x ＋1y的最小值为4 2. [点拨] 上述解答是错误的，错因是连续两次使用均值不等式，忽视了等号成立的一致性．[正解] 因为x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，所以1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2y y ＝1＋2＋2y x ＋x y≥3＋22y x ·x y＝3＋2 2. 当且仅当2y x ＝x y且x ＋2y ＝1， 即x ＝2－1，y ＝1－22时，取得等号． 所以1x ＋1y的最小值为3＋2 2. 温馨点评 在多次使用均值不等式时，一定要注意等号成立的条件是否相同.。