下载文档原格式
解二次函数的方法解二次函数的方法有以下几种：1. 因式分解法：对于形如y = ax^2 + bx + c的二次函数，当a≠0时，可以尝试以因式分解的方式将其拆解成两个一次函数的乘积形式。
具体步骤如下：- 将二次项ax^2分解成两个一次函数的乘积形式，即找到两个数m和n，使得：m*n = a 且m + n = b；- 根据上述分解结果，将二次函数y = ax^2 + bx + c写成因式乘积形式，即y = (mx + p)(nx + q)；- 求解得到m、n、p、q的值，得到最终的因式分解结果。
2. 完全平方公式法：通过完全平方公式，可以将二次函数表示成一个平方项加上一个常数的形式。
具体步骤如下：- 将二次函数y = ax^2 + bx + c变形成y = a(x-h)^2 + k的形式；- 根据变形后的形式可得，h = -b/(2a)，k = c - b^2/(4a)；- 根据上述求得的h和k的值，将二次函数写成完全平方的形式。
3. 配方法：对于一般形如y = ax^2 + bx + c的二次函数，当a≠0时，可以通过配方法来解。
具体步骤如下：- 首先将二次函数的二次项系数a提取出来，并将方程变形为y = a(x^2 + (b/a)x) + c；- 进一步变形为y = a(x^2 + (b/a)x + b^2/(4a^2)) + c - b^2/(4a)；- 再次变形为y = a(x + b/(2a))^2 + (4ac - b^2)/(4a)；- 根据上述变形，可以将二次函数表示为(x + b/(2a))^2的形式，并求出平移向量及其他信息。
4. 求根公式法：对于一般形如y = ax^2 + bx + c的二次函数，可以通过求根公式来解。
求根公式是利用一元二次方程的求根公式，得到二次函数的根的表达式。
一元二次方程的求根公式为：x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a) ；根据上述公式，可以求得二次函数的根的值。
函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
二、 抛物线上动点5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线（a ≠0）与轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；32++=bx ax y x(2) 设抛物线的对称轴与轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标----①C 为顶点时，以C 为圆心CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，②M 为顶点时，以M 为圆心MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，③P 为顶点时，线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P 。
二次函数解题思路十大技巧二次函数解题技巧：二次函数有点难，求点坐标是关键。
一求函数解析式，再求面积带线段。
动点问题难解决，坐标垂线走在前。
三角相似莫相忘，勾股方程解疑难。
二次函数解题思路技巧1.平移：二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a值不变。
顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式。
2.轴对称：此图形变换包括x轴对称和关于y轴对称两种方式。
二次函数图像关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数。
顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。
二次函数图像关于y轴对称的图像，其形状和开口方向都不变，因此a值不变。
但是顶点位置会改变，只要根据关于y轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。
熟悉几个特殊型二次函数的图象及性质1 、通过描点，观察 y=ax2 、 y=ax2 + k 、 y=a ( x + h ) 2 图象的形状及位置，熟悉各自图象的基本特征，反之根据抛物线的特征能迅速确定它是哪一种解析式。
.2 、理解图象的平移口诀“加上减下，加左减右”。
“y=ax2 → y=a ( x + h ) 2 + k ”“加上减下”是针对 k 而言的，“加左减右”是针对 h 而言的。
.总之，如果两个二次函数的“二次项系数”相同，则它们的抛物线形状相同，由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质上是顶点的平移，如果抛物线是一般“形式”，应先化为顶点式再平移。
3 、通过描点“画图”、图象平移，理解并明确解析式的特征与图象的特征是完全相对应的，我们在解题时要做到胸中有图，看到函数就能在头脑中反映出它的图象的基本特征；。
数学二次函数解题技能总结就是把一个时段的学习、工作或其完成情形进行一次全面系统的总结，它能使我们及时找出毛病并改正，快快来写一份总结吧。
那么如何把总结写出新花样呢?这里给大家分享一些关于数学二次函数解题技能，方便大家学习。
初中数学二次函数知识点总结1、定义与定义表达式一样地，自变量x和因变量y之间存在以下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a 0时，开口方向向上，a 0时，开口方向向下,iai还可以决定开口大小,iai越大开口就越小,iai 越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
2、二次函数的三种表达式一样式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点p(h，k)]交点式：y=a(x-x)(x-x ) [仅限于与x轴有交点a(x，0)和b(x，0)的抛物线]注：在3种情势的相互转化中，有以下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2a3、二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
4、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯独的交点为抛物线的顶点p。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点p，坐标为：p ( -b/2a，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，p在y轴上;当δ= b^2-4ac=0时，p在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a 0时，抛物线向上开口;当a 0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab 0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab 0)，对称轴在y轴右。
求二次函数解析式的三种基本方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x+h)2+k (a ≠0)，其中点(-h,k)为顶点，对称轴为直线x=-h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．练习：1、已知一个二次函数的图象经过（－1，8），（1，2），（2，5）三点。
求这个函数的解析式.2、已知四点A （1，2），B （0，6），C （－2，20），D （－1，12），试问是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点？如果存在，请求出它的关系式；如果不存在，说明理由。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式.练习1、已知抛物线的顶点坐标为)1,2(，与y轴交于点)5,0(，求这条抛物线的解析式.2、已知二次函数图象的对称轴是x=-3，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是(-1，0)，求这个二次函数的解析式.3、已知二次函数的对称轴是直线x＝1，图象上最低点P的纵坐标为-8，图象经过点(-2，10)，求这个函数的解析式．例3、如图，已知两点A（－8，0），（2，0），以AB为直径的半圆与y轴正半轴交于点C（0、4）。
求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。
二次函数知识点、易错点、解题技巧第一部分知识点总结第二部分学习口诀二次函数图像与性质口诀二次函数抛物线，图象对称是关键; 开口、顶点和交点，它们确定图象限;开口、大小由a断，c与Y轴来相见，b的符号较特别，符号与a 相关联;顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要，一般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见。
若求对称轴位置，符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。
第三部分易错分析函数是初中数学知识的主线，而二次函数是这条主线上的高潮.我们通过探索二次函数与方程的关系，让我们领悟到事物之间相互联系的辨证关系.我们能够利用二次函数解决实际问题，培养数学建模的能力.【知识结构】【知识梳理】3、性质注意：二次函数的性质要结合图象，认真理解，灵活应用，不要死记硬背．4、二次函数与一元二次方程的关系【易错点剖析】一、忽略二次项系数不等于0二、忽略隐含条件三、忽略数形结合思想方法的应用四、求顶点坐标时混淆符号五、忽视根的判别式的作用第四部分巧选解析式二次函数解析式的确定是中考的高频考点，在压轴题的第一问就难倒了不少小伙伴。
那么如何巧选表达式来确定二次函数的解析式呢？【小试牛刀】【几种特殊情况】第五步法动态最值专题第六部分解题技巧学好函数还是有诀窍的，要结合图像说性质，结合性质画图像，正所谓数形结合，函数无敌!第七部分变式13解在初中三年数学学习中，二次函数一直是重难点，正是因为很多学生都没学会，因此让出题老师们钻了空子，在中考中最喜欢出二次函数的题，不管是选择，填空还是大题压轴题。
老师最喜欢给学生出难题，可是学生们就该叫苦不迭了，趁着中考前这段时间，多复习这一类知识，再做一个巩固加深印象。
以二次函数进行考查的题目，命题形式都是比较固定的，一般都是给一个含有字母系数的二次函数，通过给出条件确定解析式，然后讨论交点问题，往往看着简单的题目，最不容易做出来，出题稍微有点变化，学生就看不出来。
数学二次函数解题技巧大全众所周知，二次函数的函数式是y = ax2 + bx + c，观察其函数式非常的简单，而与其对应的抛物线图像却比较容易发生变形。
下面是小编为大家整理的关于初中数学二次函数解题技巧，希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!1初中数学二次函数解题技巧画出图示教形结合。
函数是表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量"。
函数自产生就和图形结下了不解之缘。
其实，我们现在研究函数也要依据函数的图像，由图像看性质、由性质看图像，无论是函数概念还是性质的教学都离不开图像，都需要图像的支撑，因为函数和它的图像是分不开的一个整体。
所以函数知识的教学中，教师一定要帮助学生养成未解题，先作图的习惯，函数概念教学中，教师可以借助于几何画板，图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作通过计算机演绎各种函数的变化过程，使学生从直观状态下，发现函数的各种性质，并且，强烈的视觉效果引发的学习积极性，可以使记忆保持得更持久。
函数概念的教学过程中，在教学方式的选择上除了重点之处教师必不可少地讲解之外，而对于学生容易认识不清的地方，教师可以创设适当的情境后，让学生采用合作学习的方式，进行充分的交流与讨论，凸现出问题，以便能及时发现学生思想上的错误认识，澄清是非，帮助学生更好地学习和理解函数。
关注函数模型解题。
在利用数学解答实际问题的教学中，我们在进行行之有效的训练，并掌握各种类型问题的基础上，应及时总结应用问题与数学问题的联系，归纳其归属哪类问题。
例如现实生活中，广泛存在的用料最省，造价最低，利润最大等最优化问题归于函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法解决。
当然初中学生现有的水平还很低，但可以通过与生活的结合，让学生充分领会到函数在实践中的作用，就能激发学生的学习兴趣，对以后的数学学习会有一个好的导向。
教师在学科融合过程中，应该处理好特定学科领域知识之间的整合，对几类知识进行再组织，从教育规律出发对学科内容进行的融合，旨在解决如何教的问题。
二次函数的解析式三种方法二次函数是一种常见的函数类型，在数学学习中，学生们需要对其进行深入的了解和掌握，以便于解决与二次函数相关的问题。
本文将介绍三种求解二次函数的解析式的方法，包括公式法、顶点法和描点法。
每种方法的步骤和注意事项都将被详细介绍。
一、公式法公式法是一种求解二次函数解析式的基本方法。
二次函数的标准形式可以表示为 y = ax²+bx+c，其中 a、b、c 都是实数常数，而 x 是自变量。
一个常见的二次函数的例子为y = x²。
1. 求取 a、b、c 的值在使用公式法求解二次函数的解析式之前，需要先计算出二次函数中的 a、b、c 值。
通常情况下，这些值可以从已知的条件中直接得到。
如果已知二次函数经过点 (2,4) 和 (−1,3)，则可以根据这些坐标计算出 a、b、c的值。
可以得到两个方程：4 = a(2)²+b(2)+c3 = a(−1)²+b(−1)+c然后，可以将这些方程化简为：4 = 4a+2b+c3 = a−b+c接下来，可以使用代数法或消元法来求解 a、b、c 的值。
可以将第二个方程中的 a解出来，然后带入第一个方程中，得到：a = 2b−14 = 8b−4+2b+cc = −8b+8可以得到二次函数的解析式为：y = (2b−1)x²+bx+8−8b2. 使用公式法求解二次函数一旦确定了二次函数中的 a、b、c 值，可以使用公式法求解二次函数的解析式。
具体而言，可以使用以下公式：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)这个公式可以得到二次函数的解析式中的两个根。
如果二次函数的解析式没有实数根，则说明这个二次函数不存在。
在上面的例子中，可以将 a、b、c 的值带入到公式中，得到：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)x = (-b ± √(b²-4(2b−1)(8−8b)))/(2(2b−1))根据这个公式，可以得到二次函数的解析式的两个实数根，也就是二次函数与 x 轴相交的点。
解二次函数的三种方法一、根据二次函数函数表示式求解方法二次函数函数表示式是$y = ax^2 + bx + c$，其中a，b，c都是常数。
以此公式求一般二次函数的几何意义主要包括：判断拐点、确定单调性（即函数的上下单调性，对称轴，极值）和计算函数的极限值：（1）判断拐点可以用一元二次函数的判别式来判断拐点，它的形式为：$D = b^2 - 4ac$，如果$D>0$，则这个函数有唯一的拐点，即$(-b \pm \sqrt{D})/2a$；如果$D=0$，则这个函数有一个重拐点，即$(-b \pm \sqrt{D})/2a$；如果$D<0$，则这个函数没有拐点。
（2）确定单调性即确定函数$y=ax^2+bx+c$在任意一点上的单调性，主要就是通过求a的取值来判断：当a>0时，此函数是一个开口向上的抛物线，即在a>0的任一x处的函数值都大于其附近的函数值，此时此二次函数是单调递增的；（3）确定对称轴由于一元二次函数$y=ax^2+bx+c$有关于$x$轴的对称性，因此我们可以求出它的对称轴。
其斜率为：$m=-b/2a$，求出斜率之后，根据斜率公式可以得到对称轴的方程为：$y+b/2a=ax^2$，即$x = -b/2a，y = -b/4a$。
（4）确定极值在求极值之前，首先需要找到函数的极值点，要找到极值点首先要求求导，函数$y=ax^2+bx+c$的一阶导数为：$y'=2ax+b$，称$2ax+b=0$为导函数的根，即为求极值点。
它的极值值可以通过函数的表达式替换形式求得，即用$2ax+b=0$的根代替$x$求函数$y=ax^2+bx+c$的值就是该函数的极值。
（5）计算函数的极限一元二次函数的极限的形式为：$\lim\limits_{x \to-\infty}ax^2+bx+c=+\infty$，$\lim\limits_{x \to+\infty}ax^2+bx+c = +\infty$，可以根据极限的运算规则去计算极限。
求二次函数解析式的三种基本方法在九年级复习后期，学生面临的一大难点便是二次函数相关知识，对待与二次函数有关的题解可谓是谈虎色变，但是二次函数是初中数学中的重要内容，也蕴涵着一种重要的数学思想方法。
它由数、式、方程（二次方程）到二次函数，贯穿了整个初中代数。
纵观近几年的中考试卷可以发现，二次函数始终是中考命题中的重点与热点，一方面是考查二次函数中学生对基础知识的掌握程度，另一方面以其新颖独特的综合试题引导学生探究和创新。
在此我就以二次函数中求解析式这一小块内容提供几种常见的基本解法，方便同学们在学习中进行参考：一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时，可选用y=ax2+bx+c（a≠0）求解。
我们称y=ax2+bx+c（a≠0）为一般式（三点式）。
例：二次函数图象经过A（1，3）、B（-1，5）、C（2，-1）三点，求此二次函数的解析式。
分析：因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。
所以将已知三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c （a≠0）构成三元一次方程组，解方程组得a、b、c的值，即可求二次函数解析式。
二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时，可选用y=a（x+m）2+k （a≠0）求解。
我们称y=a（x+m）2+k （a≠0）为顶点式（配方式）。
例：若二次函数图像的顶点坐标为（-2，3），且过点（-3，5），求此二次函数的解析式。
分析：由于顶点式中要确定a、m、k的值，而已知顶点坐标即已知了-m、k 的值。
用顶点式只要确定a的值就可以求二次函数解析式。
若已知这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、c的值的，不妨让学生尝试一下加深印象。
总之，要求一个二次函数的解析式，可以根据不同的已知条件选择恰当的解题方法，使计算过程简单化，达到迅速解题的目的。
当然，也只有在平时的练习中对基本解法的适用情况做到心中有数，才能在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法，提高解题能力。
2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：二次函数（4）方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程20(0,0)ax bx c a ++=≠∆>有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a b k +<-<,或0)(2=k f 且22122k a bk k <-<+若0a = ， ()23f x x =- ，显然在[]1,1-上没有零点， 所以 0a ≠令()248382440a a a a ∆=++=++= 得a =当a =时， ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上； 当()()()()11150f f a a -=--< 即 15a << 时，()y f x =也恰有一个零点在[]1,1-上；当()y f x =在[]1,1-上有两个零点时， 则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩ 或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩解得5a ≥或a <因此a 的取值范围是 1a > 或a ≤；二次函数专题2()2,f x x ax a R =--∈两根12,x x 小于2，求a 的取值范围 a<1 两根12,x x 大于2，求a 的取值范围 a φ∈两根一个比2大，一个比2小，求a 的取值范围 a>1两根在（-2，3）内，求a 的取值范围 713a -<<两根1211x x <-<<，求a 的取值范围 -1<a<1有且只有一个实根在（-2，1）内，求a 的取值范围1(2)(1)0(2)02(1)01222a a f f f f ⇔-<-=-<<-=<<1或且或且-21a ≠-方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a b k +<-<,或0)(2=k f 且22122k a bk k <-<+.7.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a bx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=；[]q p a bx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.(2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a bx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.8.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .9.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.例1已知函数()221f x ax x a =-+-（a 为实常数），（1）若1a =，求()f x 的单调区间； （2）若0a >，设()f x 在区间[]1,2的最小值为()g a ，求()g a 的表达式；（3）设()()f x h x x =，若函数()h x 在区间[]1,2上是增函数，求实数a 的取值范围．解析：(1)1=a ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++≥+-=⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+-=+-=0,43)21(0,43)21(0,10,11||)(22222x x x x x x x x x x x x x f∴)(x f 的单调增区间为(+∞,21)，(-21,0) )(x f 的单调减区间为(-21,-∞)，(21,0) (2)由于0>a ，当x ∈[1,2]时，1412)21(12)(22--+-=-+-=a a a x a a x ax x f101210<<a 即21>a 为增函数在]2,1[)(x f 23)1()(-==a f a g 202211≤≤a 即,2141时≤≤a 1412)21()(--==a a a f a g30 221>a 即410<<a 时 上是减函数在]2,1[)(x f 36)2()(-==a f a g 综上可得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<<-=21,232141,1412410,36)(a a a a a a a a g(3)112)(--+=x a ax x h 在区间[1,2]上任取1x 、2x ，且21x x <则2121212121()()(1)(1)a a h x h x ax ax x x ---=+--+-)]12([)12)((2121122112---=---=a x ax x x x x x x a a x x (*)∵上是增函数在]2,1[)(x h ∴0)()(12>-x h x h∴(*)可转化为0)12(21>--a x ax 对任意1x 、都成立且212]2,1[x x x <∈ 即 1221->a x ax 10 当上式显然成立时,0=a20 0>aa a x x 1221->由4121<<x x 得 112≤-a a 解得10≤<a 30 0<aa a x x 1221-<412≥-a a 得021<≤-a所以实数a 的取值范围是]1,21[-例2设函数f(x)＝x2－2tx ＋2，其中t ∈R ．(1)若t ＝1，求函数f(x)在区间[0，4]上的取值范围；(2)若t ＝1，且对任意的x ∈[a ，a ＋2]，都有f(x)≤5，求实数a 的取值范围． (3)若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f(x1)－f(x2)|≤8，求t 的取值范围．解 因为f(x)＝x2－2tx ＋2＝(x －t)2＋2－t2，所以f(x)在区间(－∞，t]上单调减，在区间[t ，∞)上单调增，且对任意的x ∈R ，都有f(t ＋x)＝f(t －x)， (1)若t ＝1，则f(x)＝(x －1)2＋1．①当x ∈[0，1]时．f(x)单调减，从而最大值f(0)＝2，最小值f(1)＝1． 所以f(x)的取值范围为[1，2]；②当x ∈[1，4]时．f(x)单调增，从而最大值f(4)＝10，最小值f(1)＝1． 所以f(x)的取值范围为[1，10]； 所以f(x)在区间[0，4]上的取值范围为[1，10]． ……………………………3分(2)“对任意的x ∈[a ，a ＋2]，都有f(x)≤5”等价于“在区间[a ，a ＋2]上，[f(x)]max ≤5”． 若t ＝1，则f(x)＝(x －1)2＋1，所以f(x)在区间(－∞，1]上单调减，在区间[1，∞)上单调增． 当1≤a ＋1，即a ≥0时，由[f(x)]max ＝f(a ＋2)＝(a ＋1)2＋1≤5，得 －3≤a ≤1，从而 0≤a ≤1．当1＞a ＋1，即a ＜0时，由[f(x)]max ＝f(a)＝(a －1)2＋1≤5，得－1≤a ≤3，从而 －1≤a ＜0． 综上，a 的取值范围为区间[－1，1]． ……………………………6分 (3)设函数f(x)在区间[0，4]上的最大值为M ，最小值为m ，所以“对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f(x1)－f(x2)|≤8”等价于“M －m ≤8”． ①当t ≤0时，M ＝f(4)＝18－8t ，m ＝f(0)＝2． 由M －m ＝18－8t －2＝16－8t ≤8，得t ≥1． 从而 t ∈∅．②当0＜t ≤2时，M ＝f(4)＝18－8t ，m ＝f(t)＝2－t2． 由M －m ＝18－8t －(2－t2)＝t2－8t ＋16＝(t －4)2≤8，得 4－22≤t ≤4＋22．从而 4－22≤t ≤2．③当2＜t ≤4时，M ＝f(0)＝2，m ＝f(t)＝2－t2． 由M －m ＝2－(2－t2)＝t2≤8，得－22≤t ≤22． 从而 2＜t ≤22．④当t ＞4时，M ＝f(0)＝2，m ＝f(4)＝18－8t ． 由M －m ＝2－(18－8t)＝8t －16≤8，得t ≤3． 从而 t ∈∅．综上，a 的取值范围为区间[4－22，22]． ……………………………10分 例3已知()y f x =定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22f x x x =-．（1）求0x <时，()f x 的解析式；（2）问是否存在这样的正数,a b ，当[],x a b ∈时，()()g x f x =，且()g x 的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦？若存在，求出所有的,a b 的值，若不存在，请说明理由． 解：（1）设0x <，则0x ->，于是()22f x x x -=--，又()f x 为奇函数，所以()()22f x f x x x =--=+，即0x <时，()22f x x x =+；（2）分下述三种情况：①01a b <<≤，那么11a >，而当0x ≥时，()f x 的最大值为1，故此时不可能使()()g x f x =．②若01a b <<<，此时若()()g x f x =，则()g x 的最大值为()()111g f ==，得1a =，这与01a b <<<矛盾；③若1a b ≤<，因为1x ≥时，()f x是单调减函数，此时若()()22g x f x x x ==-，于是有()()221212g b b b b g a a a a ⎧==-+⎪⎪⎨⎪==-+⎪⎩()()()()22110110a a a b b b ⎧---=⎪⇔⎨---=⎪⎩，考虑到1a b ≤<，解得1a =，b =综上所述1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩例4已知二次函数满足条件，及．（1）求函数的解析式；（2）在区间[]1,1-上，的图像恒在的图像上方，试确定实数m 的取值范围； 解：（1）令∴二次函数图像的对称轴为．∴可令二次函数的解析式为．由∴二次函数的解析式为另解：⑴ 设，则与已知条件比较得：解之得，又，…………8分（2）在上恒成立在上恒成立令，则在上单调递减 ∴．11)()2f x x +-=()y f x 2x m +,1)0()1(0)0(1(0==∴=-=f f f f x ，，则21=x h x a y +-)221(,4313)1(1)0(===-=h a f f ，得，又可知2213()()124f x x x x =-+=-+2(0)x ax bx c a ++≠221)()[1)(1)]()2f x f x a b x c ax bx c ax a b +-=+++-++=++22,0a a b =⎧⎨+=⎩1,1a b==-(0)1c =2()1f x x x ∴=-+2x m +>+ 231x x m -+>2()31g x x =-+]1,1⎡-⎣min (1)1,1g m ==-∴<-例5已知函数()()()2log 41,x f x kx k =++∈R 是偶函数.（1）求k 的值；（2）设函数()24log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，其中0.a >若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，求a 的取值范围解：（1）∵2()log (41)()xf x kx k =++∈R 是偶函数， ∴2()log (41)()xf x kx f x --=+-=对任意x R ∈，恒成立 2分 即：22log (41)2log (41)x x x kx kx +--=++恒成立，∴1k =- 5分 （2）由于0a >，所以24()log (2)3x g x a a =⋅-定义域为24(log ,)3+∞，也就是满足423x >7分∵函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，∴方程224log (41)log (2)3x x x a a +-=⋅-在24(log ,)3+∞上只有一解即：方程414223x xxa a +=⋅-在24(log ,)3+∞上只有一解 9分令2,xt =则43t >，因而等价于关于t 的方程24(1)103a t at ---=（*）在4(,)3+∞上只有一解 10分 当1a =时，解得34(,)43t =-∉+∞，不合题意； 11分当01a <<时，记24()(1)13h t a t at =---，其图象的对称轴203(1)a t a =<-∴函数24()(1)13h t a t at =---在(0,)+∞上递减，而(0)1h =-∴方程（*）在4(,)3+∞无解 13分当1a >时，记24()(1)13h t a t at =---，其图象的对称轴203(1)a t a =>-所以，只需4()03h <，即1616(1)1099a a ---<，此恒成立∴此时a 的范围为1a > 15分 综上所述，所求a 的取值范围为1a > 16分巩固练1．定义在R 上的奇函数)(x f 有三个零点321,,x x x ，则下列关系中正确的是（B ）A ．0321>x x x B ．0321=x x x C ．0321<x x x D ．以上三种关系都可能成立2．二次函数c bc ax x f ++=2)(是偶函数，它有两个零点21,x x ，则21x x +=0． 3．函数1log 2-=x y 的零点有（D ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．若函数m y x -=--12有零点，则实数m 的取值范围是]1,0(．5．已知函数12)(++=a ax x f ，当]1,1[-∈x 时，)(x f 的值有正也有负，则实数a 的取值范围是311-<<-a ．6．已知关于x 的方程0532=+-a x x 的一根大于-2而小于0，另一根大于1而小于3，求实数a 的值．解：设a x x x f +-=53)(2，则0)3(,0)0(,0)2(><>-f f f 同时成立，解得012<<-a ．7.对于函数,)(2n mx x x f ++=若,0)(,0)(<>b f a f 则函数)(x f 在区间),(b a 内( ) A. 一定有零点 B. 一定没有零点C. 可能有两个零点D. 至多有一个零点8.若函数在区间(2, 4)内有零点,则下列说法正确的是 ( D ) A. 在区间(2, 3)内有零点 B 在区间(3, 4)内有零点C. 在区间(2, 3)或(3, 4)内有零点D. 在区间(2, 3]或(3, 4)内有零点9.函数132)(3+-=x x x f 的零点个数是 ( D ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3二次函数练习题 2012-5-31 班级_______ 姓名________1、在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致是( )2、二次函数的图象过（－1，5），（1，1）和（3，5）三个点，则二次函数的关系式为（ ）A. y x x =--+222B.y x x =-+222 C. y x x =-+221 D. y x x =--2223、 方程01632=-+x x x 的实根的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44、2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是2x =，且经过点(30)P ，．则a b c ++的值为 ( )Ａ．1- Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．25、“04<<-k ”是函数12--=kx kx y 恒为负的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分且必要条件 （D ）既不充分又不必要条件 6、函数()2f x x px q=++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是（ ）A ()()()110f f f <-<B ()()()011f f f <-<C ()()()101f f f <<-D ()()()101f f f -<<7、已知函数()223f x x x =-+在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( ) A ．[)1,+∞ B ．[]0,2 C ．[]1,2 D ．(),2-∞8、已知函数f(x)＝x2+2(m-1)x+2m+6,若f(x)＝0有两个实根,且一个比2大,一个比2小,则m 的取值范围为( )A.(-∞,-1］B.(-∞,-1)C.(-1,+∞)D.［-1,+∞)二、填空题：9、b a ax x x f +++=222)(，当)(x f 在区间]1,(-∞上为减函数时，a 的取值范围为____________；若R x ∈时，恒有0)(≥x f ，则b 的取值范围是_______________；若)(x f 是偶函数时，则必有____________。
