朝阳区2019-2020学年度第一学期高三期中质量检测数学试卷

2019-2020年高中数学 第一章 单元检测卷（B ）新人教A 版必修1一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列各组对象中不能构成集合的是( )A ．北京尼赏文化传播有限公司的全体员工B ．xx 年全国经济百强县C ．xx 年全国“五一”劳动奖章获得者D ．美国NBA 的篮球明星2．能表示直线x ＋y ＝2与直线x －y ＝4的公共点的集合是( )A ．x ＝3，y ＝－1B ．(3，－1)C ．{3，－1}D ．{(3，－1)}3．设全集U ＝R ，集合A ＝{x ||x |≤3}，B ＝{x |x <－2或x >5}，那么如图所示的阴影部分所表示的集合为( )A ．[－3,5)B ．[－2,3]C ．[－3，－2)D ．(－∞，3]∪[5，＋∞)4．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x >1}，则集合A ∩∁U B 等于( )A ．{x |1<x <2}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x <1}D ．{x |0<x ≤1}5．若集合A 、B 、C 满足A ∩B ＝A ，B ∪C ＝C ，则A 与C 之间的关系是( )A ．ACB ．CAC ．A ⊆CD ．C ⊆A6．已知f (x )、g (x )为实数函数，且M ＝{x |f (x )＝0}，N ＝{x |g (x )＝0}，则方程[f (x )]2＋[g (x )]2＝0的解集是( )A ．MB ．NC ．M ∩ND ．M ∪N7．满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－32x ＋y ＝6的解集的正确表示方法为( ) A ．{1,4} B ．{4,1}C ．{(1,4)}D ．{x ＝1，y ＝4}9．已知集合A ＝{0,2,3}，B ＝{x |x ＝a ·b ，a ，b ∈A }，则集合B 的子集的个数是( )A ．4个B ．8个C ．15个D ．16个10．集合M 由正整数的平方组成，即M ＝{1,4,9,16,25，…}，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的．M 对下列运算封闭的是( )A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法11．设集合M ＝{x |－1≤x <2}，N ＝{x |x －k ≤0}，若M ∩N ≠∅，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[－1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．[－1,2]12．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合运算：P *Q ＝{z |z ＝ab (a ＋b )，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,1}，Q ＝{2,3}，则P *Q 中元素之和是( )A ．0B ．6C．12二、填空题(13．设集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且A⊇B，则实数k的取值范围为________．14．定义两个数集A，B之间的距离是|x－y|min(其中x∈A，y∈B)．若A＝{y|y＝x2－1，x ∈Z}，B＝{y|y＝5x，x∈Z}，则数集A，B之间的距离为______________．15．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x组成的集合为____________．16．若A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，B⊆A，则实数m的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－5x＋q＝0，x∈U}，求q的值及∁U A. 18．(12分)已知全集U＝R，集合M＝{x|x≤3}，N＝{x|x<1}，求M∪N，(∁U M)∩N，(∁U M)∪(∁U N)．19．(12分)已知全集U＝{x∈P|－1≤x≤2}，集合A＝{x|0≤x<2}、集合B＝{x|－0.1<x≤1}．(1)若P＝R，求∁U A中最大元素m与∁U B中最小元素n的差m－n的值；(2)若P＝Z，证明：(∁U B)∪A＝U.20．(12分)已知全集U＝{|a－1|，(a－2)(a－1)，4,6}；(1)若∁U(∁U B)＝{0,1}，求实数a的值；(2)若∁U A＝{3,4}，求实数a的值．21．(12分)设集合A＝{x∈R|2x－8＝0}，B＝{x∈R|x2－2(m＋1)x＋m2＝0}．(1)若m＝4，求A∪B；(2)若B⊆A，求实数m的取值范围．22．(12分)已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R ，x ∈R }．(1)若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个元素；(2)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．第一章 集 合(B)1．D [根据集合中元素的确定性来判断是否构成集合．因为A 、B 、C 中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而D 中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA 球员是否是篮球明星，故不能构成集合．]2．D [选项A 不是集合的表示方法；选项B 代表点的坐标，也不是集合的表示；选项C 是表示了集合，但里面的元素是3和－1，而两条直线的公共点是一个坐标，表示由这样的点构成的集合应把点的坐标放在集合中．]3．B [化简集合A ，得A ＝{x |－3≤x ≤3}，集合B ＝{x |x <－2或x >5}，所以A ∩B ＝{x |－3≤x <－2}，阴影部分为∁A (A ∩B )，即为{x |－2≤x ≤3}．]4．D [因为∁U B ＝{x |x ≤1}，所以A ∩∁U B ＝{x |0<x ≤1}．]5．C [∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，∵B ∪C ＝C ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C ，故选C.]6．C [若[f (x )]2＋[g (x )]2＝0，则f (x )＝0且g (x )＝0，故[f (x )]2＋[g (x )]2＝0的解集是M ∩N .]7．B 8.C9．A [B ＝{0,6}，子集的个数为22＝4个．]10．C [设a 、b 表示任意两个正整数，则a 2、b 2的和不一定属于M ，如12＋22＝5∉M ；a 2、b 2的差也不一定属于M ，如12－22＝－3∉M ；a 2、b 2的商也不一定属于M ，如1222＝14∉M ；因为a 、b 表示任意两个正整数，a 2·b 2＝(ab )2，ab 为正整数，所以(ab )2属于M ，即a 2、b 2的积属于M .故选C.]11．B12．D [∵P ＝{0,1}，Q ＝{2,3}，a ∈P ，b ∈Q ，故对a ，b 的取值分类讨论．当a ＝0时，z ＝0；当a ＝1，b ＝2时，z ＝6；当a ＝1，b ＝3时，z ＝12.综上可知：P *Q ＝{0,6,12}，元素之和为18.]13．[－1，12] 解析 由题意，∴实数k 的取值范围为[－1，12]． 14．0解析 集合A 表示函数y ＝x 2－1的值域，由于x ∈Z ，所以y 的值为－1,0,3,8,15,24，….集合B 表示函数y ＝5x 的值域，由于x ∈Z ，所以y 的值为0,5,10,15，….因此15∈A ∩B .所以|x －y |min ＝|15－15|＝0.15．{－3,2}解析 ∵2∈M ，∴3x 2＋3x －4＝2或x 2＋x －4＝2，解得x ＝－2,1，－3,2，经检验知，只有－3和2符合集合中元素的互异性，故所求的集合为{－3,2}．16．[－1，＋∞)解析 ∵B ⊆A ，当B ＝∅时，得2m －1>m ＋1，∴m >2，当B ≠∅时，解得－1≤m ≤2.综上所述，m 的取值范围为m ≥－1.17．解 设方程x 2－5x ＋q ＝0的两根为x 1、x 2，∵x ∈U ，x 1＋x 2＝5，∴q ＝x 1x 2＝1×4＝4或q ＝x 1·x 2＝2×3＝6.当q ＝4时，A ＝{x |x 2－5x ＋4＝0}＝{1,4}，∴∁U A ＝{2,3,5}；当q ＝6时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，∴∁U A ＝{1,4,5}．18．解 由题意得M ∪N ＝{x |x ≤3}，∁U M ＝{x |x >3}，∁U N ＝{x |x ≥1}，则(∁U M )∩N ＝{x |x >3}∩{x |x <1}＝∅，(∁U M )∪(∁U N )＝{x |x >3}∪{x |x ≥1}＝{x |x ≥1}．19．(1)解 ∁U A ＝{x |－1≤x <0，或x ＝2}，∴m ＝2，又∁U B ＝{x |－1≤x ≤0.1，或1<x ≤2}，∴n ＝－1，∴m －n ＝2－(－1)＝3；(2)证明 ∵P ＝Z ，∴U ＝{－1,0,1,2}，A ＝{0,1}，B ＝{0,1}，∴∁U B ＝{－1,2}，从而(∁U B )∪A ＝U .20．解 (1)∵∁U (∁U B )＝B ＝{0,1}，且B ⊆U ，∴|a －1|＝0，且(a －2)(a －1)＝1；或|a －1|＝1，且(a －2)(a －1)＝0；第一种情况显然不可能，在第二种情况中由|a －1|＝1得a ＝0或a ＝2，而a ＝2适合(a －2)(a －1)＝0，∴所求a 的值是2；(2)依题意知|a －1|＝3，或(a －2)(a －1)＝3，若|a －1|＝3，则a ＝4或a ＝－2；若(a －2)(a －1)＝3，则a ＝3±132， 经检验知a ＝4时，(4－2)(4－1)＝6，与集合中元素的互异性相矛盾，∴所求的a 的值是－2，或3±132. 21．解 (1)当m ＝4时，A ＝{x ∈R|2x －8＝0}＝{4}，B ＝{x ∈R|x 2－10x ＋16＝0}＝{2,8}， ∴A ∪B ＝{2,4,8}．(2)若B ⊆A ，则B ＝∅或B ＝A .当B ＝∅时，有Δ＝[－2(m ＋1)]2－4m 2＝4(2m ＋1)<0，得m <－12； 当B ＝A 时，有Δ＝[－2(m ＋1)]2－4m 2＝4(2m ＋1)＝0，且－－2m ＋12＝4，解得m 不存在． 故实数m 的取值范围为(－∞，－12)．22．解 A 中元素x 即为方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ∈R ，x ∈R)的解．(1)∵A 中只有一个元素，∴ax 2＋2x ＋1＝0只有一解．当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0，解得x ＝－12符合题意； 当a ≠0且Δ＝4－4a ＝0即a ＝1时，方程的解x 1＝x 2＝－1，此时A 中也只有一元素－1.综上可得：当a ＝0时，A 中的元素为－12；当a ＝1时，A 中的元素为－1. (2)若A 中只有一个元素，由(1)知a ＝0或a ＝1，若A 中没有元素，即方程ax 2＋2x ＋1＝0无解，解得a >1，综上可得：a >1或a ＝0或a ＝1..。

北京市朝阳区2019—2020学年度第一学期高三年级期中质量检测物理试卷 2019．11（考试时间90分钟 满分100分）一、本题共14小题，每小题3分，共42分。

在每小题列出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．下列说法正确的是A ．汽车速度越大越难停下，表明物体的速度越大其惯性越大B ．汽车转弯时速度方向改变，表明其惯性也随之改变C ．被抛出的小球尽管速度的大小和方向都改变了，但其惯性不变D ．物体保持匀速直线运动或静止状态时，一定不受其它外力的作用 2．下列说法正确的是A ．做直线运动的质点，其加速度一定保持不变B ．做匀加速直线运动的质点，其加速度一定随时间均匀增加C ．做平抛运动的质点，其速度和加速度都随时间改变D ．做匀速圆周运动的质点，其速度和加速度都随时间改变3．飞机起飞后在某段时间内斜向上加速直线飞行，用F 表示此时空气对飞机的作用力，下列关于F 的示意图正确的是4．下列说法正确的是A ．由公式v ＝ωr 可知，人造地球卫星的轨道半径越大则其速度越大 B．由公式v C ．地球同步卫星在其圆形轨道上运行时的速度大于7.9km/sD ．地球同步卫星在其圆形轨道上运行时的角速度小于地球自转的角速度5．如图所示，城市里很多立交桥的桥面可近似看成圆弧面。

某汽车以恒定速率依次通过桥上同一竖直平面内圆弧上的A 、B 、C 三点（B 点最高，A 、C 等高）。

则汽车 A ．通过A 点时所受合力大于通过B 点时所受合力 B ．通过B 点时对桥面的压力小于其自身重力 C ．通过B 点时受重力、支持力和向心力的作用 D ．通过C 点时所受合力沿圆弧切线向下FFFFABCDABC6．如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平面上，质量分别为3m 和m 的物块A 、B 通过细线跨过滑轮相连。

现在A 上放一小物体，系统仍能保持静止。

细线质量、滑轮的摩擦都不计。

则 A ．细线的拉力增大 B ．A 所受的合力增大 C ．A 对斜面的压力增大 D ．斜面对A 的摩擦力不变7．小明乘坐竖直电梯经过1min 可达顶楼，已知电梯在t =0时由静止开始上升，取竖直向上为正方向，该电梯的加速度a 随时间t 的变化图像如图所示。

2019-2020学年高三上学期9月质量检测数学试题一、单选题1．设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则 A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈ B ．对任意实数a ，（2,1）A ∉ C ．当且仅当a <0时,（2,1）A ∉ D ．当且仅当32a ≤ 时,（2,1）A ∉ 【答案】D【解析】分析：求出(2,1)A ∈及(2,1)A ∉所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.详解：若(2,1)A ∈，则32a >且0a ≥，即若(2,1)A ∈，则32a >， 此命题的逆否命题为：若32a ≤，则有(2,1)A ∉，故选D.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据,p q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设{|()},{|()}A x p x B x q x ==，若A B ⊆，则p q ⇒；若A B =，则p q =，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.2．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +. 【详解】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C. 【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．3．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2,2,2,1PD AD CD AB ====，由勾股定理可知：22,22,3,5PA PC PB BC ====，则在四棱锥中，直角三角形有：,,PAD PCD PAB ∆∆∆共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.4．设的边AB 上一定点0P 满足014P B AB =u u u r u u u r，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则（ ）A ．2ABC π∠=B ．2BAC π∠=C ．AB AC =D ．AC BC =【答案】D【解析】设||4AB =u u u r，则0||1P B =u u u r ，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得2||(1)||0PB a PB a -++≥u u u r u u u r恒成立，只需△22(1)4(1)0a a a =+-=-≤即可，由此能求出ABC ∆是等腰三角形，AC BC =．【详解】设||4AB =u u u r，则0||1P B =u u u r ，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ， 在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得，2||||||(1)||PB PC PH PB PB a PB ⋅=⋅=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，00P B PC a ⋅=-u u u r u u u r ， 于是00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r恒成立，整理得2||(1)||0PB a PB a -++≥u u u r u u u r恒成立，只需△22(1)4(1)0a a a =+-=-≤即可，于是1a =，因此2HB =，即H 是AB 的中点，故ABC ∆是等腰三角形， 所以AC BC =． 故选：D.【点睛】本题考查平面向量的运算、向量的模及向量的数量积的概念、向量运算的几何意义的应用，考查利用向量解决简单的几何问题的能力.二、填空题5．已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A I B=_____【答案】{0，1}【解析】根据集合的交运算进行计算即可． 【详解】222,x x <∴-<<Q ，因此A I B ={}(){}2,0,1,22,20,1-⋂-=故答案为：{}0,1 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集的定义是解决本题的关键．比较基础．6．若函数()1f x =，()g x =，则()()f x g x +=__________．【答案】1(01)x ≤≤【解析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得()(),f x g x 定义域，取交集得到()()f x g x +的定义域，将()(),f x g x 解析式相加可得所求结果.【详解】Q ()f x 定义域为：{}0x x ≥；()g x 定义域为：{}01x x ≤≤()()f x g x ∴+的定义域为{}01x x ≤≤()())1101f x g x x ∴+==≤≤故答案为：)101x +≤≤ 【点睛】本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失.7．在()721x -的二项展开式中,第四项的系数为__________. 【答案】560-【解析】利用二项展开式的通项公式，求得第四项的系数. 【详解】二项展开式中，第四项的系数为()334721560C ⋅⋅-=-.故答案为：560- 【点睛】本小题主要考查二项展开式通项公式的运用，属于基础题.8．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________． 【答案】3.10【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为3.10点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.9．已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是 ． 【答案】【解析】试题分析：由已知沿圆锥体的母线把侧面展开后得到的扇形的弧长为，从而其母线长为，从而圆锥体的表面积为；故答案为：【考点】圆锥体的表面积．10．已知直线()1:3260l x k y -++=与直线()2:2320l kx k y +-+=,记3D k=()223k k -+-，则D =0是直线1l 与直线2l 平行的__________(选填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”)条件. 【答案】必要非充分【解析】解0D =求得k 的值.由此12l l //求得k 的值.由此判断出充分、必要条件. 【详解】令0D =得()()232320,890k k k k k -++=+-=，解得9k=-或1k =.当12l l //时，()()323203260k k k k ⎧-++=⎨⨯-≠⎩，解得9k =-.故D =0是直线1l 与直线2l 平行的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分 【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件，考查行列式的计算，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.11．设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】23【解析】根据题意()f x 取最大值4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据余弦函数取最大值条件解得ω的表达式，进而确定其最小值. 【详解】 因为()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以()f x 取最大值4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以22π()8()463k k Z k k Z ωωππ-=∈∴=+∈，，因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.【点睛】函数cos()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 （1）max min =+y A B y A B =-，. （2）周期2π.T ω=（3）由π()x k k Z ωϕ+=∈求对称轴，最大值对应自变量满足2π()x k k ωϕ+=∈Z ，最小值对应自变量满足+2()x k k ωϕππ+=∈Z ， （4）由22()22k x k k πππωϕπ-+≤+≤+∈Z 求增区间；由322()22k x k k πππωϕπ+≤+≤+∈Z 求减区间.12．若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y−x 的最小值是__________． 【答案】3 【解析】【详解】分析：作可行域，根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法. 详解：作可行域，如图， 平移直线2z y x =-，由图可知直线2z y x =-过点A(1,2)时，z 取最小值3.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.13．能说明“若()()0f x f ＞对任意的(]02x ∈，都成立,则()f x 在(]02，上是增函数”为假命题的一个函数是_________.【答案】()232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】根据题目所给命题为假命题，构造函数()f x 在区间(]02，满足条件“()()0f x f >对任意的(]02x ∈，都成立”且不是增函数. 【详解】由于原命题是假命题，故存在“()()0f x f >对任意的(]02x ∈，都成立”且不是增函数. 设()f x 为二次函数，则()f x 在(]02，必须是先增后减，此时只需二次函数对称轴满足122b a <-<，且二次项系数0a <即可.如()232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.故答案为：()232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（答案不唯一） 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和最值，考查二次函数的性质，属于基础题.14．已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=＞＞，双曲线2222:1x y N m n -=，若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M 的焦距与长轴长的比值为________.1【解析】根据正六边形的性质以及椭圆的定义求得2a ，由此求得椭圆M 的焦距与长轴长的比值（也即离心率） 【详解】由正六边形的性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，根据椭圆的定义可知2c a +=，所以椭圆M 的焦距与长轴长的比值为212ca ==.1. 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查正六边形的几何性质，属于基础题.15．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值. 详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16．在实数集R 中,我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似地,我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“＞”.定义如下:对于任意两个复数：()111222121212z a bi z a b i a a b b R z z =+=+∈，，，，，＞当且仅当“12a a ＞”或“12a a =”且“12b b ＞”.按上述定义的关系“＞”，给出以下四个命题: ①若12z z ＞,则12z z ＞； ②若1223z z z z ＞，＞，则13z z ＞；③若12z z ＞,则对于任意12z C z z z z ∈++，＞； ④对于复数0z ＞,若12z z ＞,则12zz zz ＞. 其中所有真命题的序号为______________. 【答案】②③【解析】根据新定义“序”的关系，对四个命题逐一分析，由此判断出真命题的序号. 【详解】对于①，由于12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”. 当121,2a a =-=-，满足12a a >但12z z <，所以①错误.对于②，根据“序”的关系的定义可知，复数的“序”有传递性，所以②正确. 对于③，设z c di =+，由12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”，可得“12a c a c +>+”或“12a c a c +=+且12b d b d +>+”，即12z z z z +>+成立，所以③正确.对于④，当123,2,2z i z i z i ===时，126,4zz zz =-=-，12zz zz <，故④错误. 故答案为：②③ 【点睛】本小题主要考查新定义复数“序”的关系的理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.三、解答题17．已知函数()21sin cos cos 2f x x x x =+-. (1)求()f x 的最小正周期和单调递减区间；(2)若()f x 在区间[]0m ，上恰好有十个零点,求正数m 的最小值. 【答案】（1）最小正周期为π，递减区间为π5ππ,π,88k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）39π8. 【解析】（1）利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x 解析式，进而求得()f x 的最小正周期和的单调减区间.（1）令()0f x =求得函数()f x 的零点，结合()f x 在区间[]0m ，上恰好有十个零点，求得m 的最小值. 【详解】 （1）()112πsin 2cos 2sin 22224f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.由ππ3π2π22π242k x k +≤+≤+，解得π5πππ88k x k +≤≤+，所以()f x 的递减区间为π5ππ,π,88k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）令()0f x =，即πsin 204x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()πππ2π,428k x k x k Z +==-∈.由于[]0,x m ∈内，()f x 恰有十个零点，故由()ππ28k x k Z =-∈得k 取1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，恰好10个零点.当10k =时，39π8x =.所以正数m 的最小值为39π8. 【点睛】本小题主要考查利用二倍角公式、降次公式和辅助角公式进行三角恒等变换，考查三角函数最小正周期、单调区间的求法，考查三角函数零点问题，属于中档题.18．如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．【答案】（1）310 20（2）5【解析】分析：（1）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求得向量1,BP ACu u u v u u u u v的夹角，再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果；（2）利用平面的方向量的求法列方程组解得平面1AQC的一个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果.详解：如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{}1,,OB OC OOu u u v u u u v u u u u v为基底，建立空间直角坐标系O−xyz．因为AB=AA1=2，所以()()()()()()1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,2,3,0,2,0,1,2A B C A B C--．（1）因为P为A1B1的中点，所以31,22P⎫-⎪⎪⎝⎭，从而()131,2,0,2,22BP AC⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭u u u v u u u u v，故11114310,20522BP ACcosBP ACBP AC⋅-+===⨯⋅u u u v u u u u vu u u v u u u u vu u u v u u u u v．因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为31020．（2）因为Q为BC的中点，所以31,02Q⎫⎪⎪⎝⎭，因此3,02AQ ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u v ，()()110,2,2,0,0,2AC CC ==u u u u v u u u u v ．设n =（x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u u u u v即30,22220.x y y z +=⎨⎪+=⎩不妨取)1,1n =-，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111sin ,CC n cosCC n CC nθ⋅====⋅u u u u v u u u u v u u u u v ，所以直线CC 1与平面AQC 1点睛：本题考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19．已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r，求证：11λμ+为定值．【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1） (2)证明过程见解析 【解析】【详解】分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l 的斜率的取值范围，最后根据P A ，PB 与y 轴相交，舍去k=3，（2）先设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与抛物线联立，根据韦达定理可得12224k x x k -+=-，1221x x k =．再由=QM QO λu u u u v u u u v ，=QN QO μu u u v u u u v得=1M y λ-，1N y μ=-．利用直线P A ，PB 的方程分别得点M ，N 的纵坐标，代入化简11λμ+可得结论.详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2），所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）．由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得()222410k x k x +-+=． 依题意()2224410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1． 又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3． 所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k=． 直线P A 的方程为()112211y y x x --=--． 令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-．由=QM QO λu u u u v u u u v ，=QN QO μu u u v u u u v得=1M y λ-，1N y μ=-．所以()()()2212121212122224211111111=21111111M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+-+--+=+=+=⋅=⋅------． 所以11λμ+为定值．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.20．数列{}n a ,定义{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列,其中()*1n n n a a a n N+∆=-∈.(1)若2n a n n =-,试断{}n a ∆是否是等差数列,并说明理由；(2)若111,2,2nnn n n n a a a a b -=∆-==，证明{}n b 是等差数列,并求数列{}n a 的通项公式； (3)对(2)中的数列{}n a ,是否存在等差数列{}n c ,使得1212nn n n n n c C c C c C a ++⋯+=对一切*n N ∈都成立,若存在,求出数列{}n c 的通项公式；若不存在,请说明理由.【答案】（1）{}n a ∆是等差数列，理由见解析；（2）证明见解析，12n n a n -=⋅；（3）存在，且n c n =.【解析】（1）通过计算112,2n n a a a +∆∆∆-==证得{}n a ∆是等差数列.（2）根据1n n n a a a +∆=-，2n n n a a ∆-=得到122n n n a a +=+，利用凑配法证得{}n b 是等差数列,并求得数列{}n a 的通项公式.（3）先求得12,c c ，由此求得n c n =，再利用组合数公式，证得n c n =符合要求. 【详解】（1）由于2n a n n =-，所以()()22111n n n a a n a n n n +=-=+-+-+∆2n =，所以()12122n n a n a n +-=+-∆=∆，且2112a a a =-=∆.所以{}n a ∆是首项为2，公差为2的等差数列.（2）由于1n n n a a a +∆=-，2n n n a a ∆-=，所以12n n n n a a a +--=，即122nn n a a +=+，两边除以12n +得111111111,,22222222n n n n n n n n a a a a a ++++=+-==，所以{}nb 是首项为12，公差为12的等差数列，故12n b n =，即11,222n n n na n a n -==⋅. （3）存在，且n c n =符合题意.依题意1212nn n n n n c C c C c C a ++⋯+=.当1n =时，111c a ==；当2n =时，122222C c C a +=，即2224,2c c +==，而{}n c 是等差数列，故只能n c n =.下证n c n=符合题意.由于n c n =，所以根据组合数公式有1212nn n n nc C c C c C ++⋯+1221n n n n C C n C +⋅+⋯+⋅=⋅()01211111n n n n n n C C C C -----=++++L 12n n n a -=⋅=符合题意. 【点睛】本小题主要考查等差数列的证明，考查等差数列通项公式，考查组合数公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21．设n 为正整数，集合A =(){}12{|,,,,0,1,1,2,,}n k t t t t k n αα=∈=L L ．对于集合A 中的任意元素()12,,,n x x x α=L 和()12,,,n y y y β=L ，记 M （αβ，）=()()()1111222212n n n n x y x y x y x y x y x y ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦L ．（Ⅰ）当n =3时，若()1,1,0α=，()0,1,1β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值； （Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由． 【答案】(1)2,1;(2) 最大值为4;(3)【解析】【详解】 （Ⅰ），。

2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（ ）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分 考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（ ）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分） 又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩　. 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分） 在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分） （2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分） （2）由，且当时，， 当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即， 即在区间上恒成立，（11分） 令，∵ ，∴ ， 在上单调递增，∴ ， 解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中） （1）求；（2）求数列的通项公式； （3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ， 推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分） （3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分） 由于右边大于，则，即， 考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分） 当时，，代入（**）式得，解得； 当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。

2019-2020学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合2{|4}A x Z x =∈<，{1B =-，2}，则(A B = )A ．{1}-B ．{1-，2}C ．{1-，0，1，2}D ．{2-，1-，0，1，2}2．已知(,)2παπ∈，且3sin 5α=，则tan (α= )A ．34B ．43 C ．34-D ．43-3．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是( ) A ．3y x =-B ．sin()y x =-C ．2log ||y x =D ．22x x y -=-4．关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论： ①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间(,)2ππ上单调递减．其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③5．已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是( ) A ．若αβ⊥，则//m β B ．若αβ⊥，则m β⊥ C ．若//m β，则//αβD ．若m β⊥，则αβ⊥6．已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(0,)2B ．1(2，1)C ．(1,2)D ．(2,)+∞7．已知*{}()n a n N ∈为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设1F ，2F 为椭圆22:195x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限．若△12MF F 为等腰三角形，则点M 的横坐标为( )A ．32B C ． D ．32-9．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC +=，则||AP 的取值范围是( )A ．1(,1]2B ．1[,1]2C ．,1]D ．[] 10．已知集合A ，B 满足： （ⅰ）AB Q =，AB =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x Q ∈且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y Q ∈且21y y >，则2y B ∈． 给出以下命题：①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数． 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．已知向量(1,1)a =-，(3,)b m =，且//a b ，则m = ．12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ，最长棱的长度为 ．13．已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为 ．14．已知a ，b 是实数，给出下列四个论断：①a b >；②11a b<；③0a >；④0b >． 以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题： ．15．已知函数21,,()(,x a x x a f x a x x a e -⎧<⎪=⎨⎪⎩…为常数）．若1(1)2f -=，则a = ；若函数()f x 存在最大值，则a 的取值范围是 ．16．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足5730002(t N N N -=表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的 ；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在 年到5730年之间．（参考数据：2log 3 1.6≈，2log 5 2.3)≈三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．（13分）在ABC ∆中，AB =P 在BC 边上，且60APC ∠=︒，2BP =． （Ⅰ）求AP 的值；（Ⅱ）若1PC =，求sin ACP ∠的值．18．（13分）已知*{}()n a n N ∈是各项均为正数的等比数列，116a =，322332a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设23log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求n S 的最大值．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，//AD BC ，CD AD ⊥，2BC CD ==，4AD =． （Ⅰ）求证：//CE 平面PAB ； （Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）直线AB 上是否存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ？若存在，求出AQAB的值；若不存在，说明理由．20．（13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过两点(1,)P ，(Q ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点)F ，求||||AB FE 的最大值．21．已知函数()(0)lnxf x a x a=>+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）当1a =时，证明：1()2x f x -…； （Ⅲ）判断()f x 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．22．（13分）已知无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：*n N ∀∈，1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，1||||n n n c a b +=-．记{||n n d max a =，||n b ，||}({n c max x ，y ，}z 表示3个实数x ，y ，z 中的最大值）．（Ⅰ）若11a =，22b =，33c =，求1b ，1c 的可能值； （Ⅱ）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（Ⅲ）设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，{}n b ，{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．2019-2020学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合2{|4}A x Z x =∈<，{1B =-，2}，则(A B = )A ．{1}-B ．{1-，2}C ．{1-，0，1，2}D ．{2-，1-，0，1，2} 【解答】解：集合2{|4}{1A x Z x =∈<=-，0，1}，{1B =-，2}， {1AB ∴=-，0，1，2}．故选：C ．2．已知(,)2παπ∈，且3sin 5α=，则tan (α= )A ．34B ．43 C ．34-D ．43-【解答】解：已知3sin 5α=， 根据22sin cos 1αα+= 解得：4cos 5α=±由于：(,)2παπ∈所以：4cos 5α=-则sin 3tan cos 4ααα==- 故选：C ．3．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是( ) A ．3y x =-B ．sin()y x =-C ．2log ||y x =D ．22x x y -=-【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，3y x =-，是奇函数在区间(0,1)上单调递减，不符合题意；对于B ，sin()sin y x x =-=-，是奇函数在区间(0,1)上单调递减，不符合题意； 对于C ，2log ||y x =，有()()f x f x -=，是偶函数不是奇函数，不符合题意；对于D ，22x x y -=-，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增，符合题意； 故选：D ．4．关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论： ①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2；③函数()f x 在区间(,)2ππ上单调递减．其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【解答】解：函数()sin cos )4f x x x x π=+=+，所以函数的周期为：2π，所以①正确；②不正确； 函数的单调减区间为：[24k ππ+，2]k ππ+，k Z ∈，所以函数()f x 在区间(,)2ππ上单调递减．正确； 故选：B ．5．已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是( ) A ．若αβ⊥，则//m β B ．若αβ⊥，则m β⊥ C ．若//m β，则//αβD ．若m β⊥，则αβ⊥【解答】解：对于选项A ：若αβ⊥，则//m β也可能m β⊥，故错误． 对于选项B ：若αβ⊥，则m β⊥也可能//m β，故错误． 对于选项C ：若//m β，则//αβ也可能α与β相交，故错误．对于选项D ，直线m α⊂，m β⊥，则αβ⊥是面面垂直的判定，故正确． 故选：D ．6．已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(0,)2B ．1(2，1)C ．(1,2)D ．(2,)+∞【解答】解：令()0f x =得，1|2|kx x -=-， 设11y kx =-，2|2|y x =-，画出这两个函数的图象， 如右图，黑色曲线为1y 的图象，红线为2y 的图象，且12y 的图象恒过(0,1)-，要使()f x 有两个零点，则1y 和2y 的图象有两个交点， 当1k =时，1y x =（红线）与2y 图象的右侧(1)x >平行， 此时，两图象只有一个交点，12PA k =， 因此，要使1y 和2y 的图象有两个交点，则112k <<， 故选：B ．7．已知*{}()n a n N ∈为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：{}n a 为等比数列，由12a a >，不能说明{}n a 为递减数列，如数列：1，12-，14；反之，由{}n a 为递减数列，得12a a >．∴ “12a a >”是“{}n a 为递减数列”的必要而不充分条件．故选：B ．8．设1F ，2F 为椭圆22:195x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限．若△12MF F 为等腰三角形，则点M 的横坐标为( )A ．32B C ． D ．32-【解答】解：设(,)M m n ，0m <，0n >，椭圆22:195x y C +=中3a =，b =，2c =， 椭圆的左准线方程为：292a x c =-=-，23c e a ==， 由于M 为C 上一点且在第二象限，可得12||||MF MF <， △12MF F 为等腰三角形，可得2||24MF c ==，1||2MF =， 由椭圆的第二定义，可得292()32m =⨯+，解得32m =-， 故选：D ．9．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC +=，则||AP 的取值范围是( )A ．1(,1]2B ．1[,1]2C ．,1]D ．[] 【解答】解：以BC 的中点O 为原点，过O 垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图直角坐标系则(1,0)B -，(1,0)C ，设(,0)P x ，(,)A a b ，||1x …，由1OA =，221a b +=， 则由()1AP AB AC +=，得(x a -，)(b a --，1)2b -=，化简12ax =， 所以2222222||()2AP x a b x ax a b x =-+=-++=， 由221a b +=，因为1a ≠±，所以||1a <，所以11|||2|2x a =>，所以||||AP x =的取值范围为1(2，1]，故选：A ．10．已知集合A ，B 满足：（ⅰ）AB Q =，AB =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x Q ∈且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y Q ∈且21y y >，则2y B ∈． 给出以下命题：①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数． 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④【解答】解：：由（ⅰ）AB Q =，AB =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x Q ∈且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y Q ∈且21y y >，则2y B ∈． 可判断集合A 中的元素都小于集合B 中的元素，若集合A 的元素没有最大数，则必然存在一个数x ，使得1x A ∀∈，1x x <； 如果x 是有理数，则x B ∈，且1y B ∀∈，1y x …，则B 有最小数为x ； 如果x 是无理数，则x B ∉，且1y B ∀∈，1y x >，则B 没有最小数； 故②正确；若集合A 的元素有最大数，则必然存在一个有理数x ，使得1x A ∀∈，1x x …； 1y B ∀∈，1y x >，则B 没有最小数；故③正确； 故选：B ．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．已知向量(1,1)a =-，(3,)b m =，且//a b ，则m = 3- ． 【解答】解：//a b ，30m ∴+=， 3m ∴=-．故答案为：3-．12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为6，最长棱的长度为 ．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥P ABC -，底面三角形ABC 为等腰直角三角形， 1AB BC ==，90ABC ∠=︒，高1PO =，则111111326P ABC V -=⨯⨯⨯⨯=；最长棱长为PB ==故答案为：16． 13．已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为【解答】解：||||OA OB =；又AOB ∆为等腰直角三角形；所以2AB =，则三角形AOB 斜边上的高为1； 即圆心O 到直线的距离为1；∴1d ==，即||a =故答案为：a =；14．已知a ，b 是实数，给出下列四个论断：①a b >；②11a b<；③0a >；④0b >． 以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题： 若a b >，0b >，则a b<．（答案不唯一） ． 【解答】解：①a b >；②11a b<；③0a >；④0b >． 以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：若a ，b 满足a b >，0b >，则11a b<，即由①④⇒②． （答案不唯一）．故答案为：由a ，b 满足：a b >，0b >，则11a b<． 15．已知函数21,,()(,x a x x a f x a x x a e -⎧<⎪=⎨⎪⎩…为常数）．若1(1)2f -=，则a = 2 ；若函数()f x 存在最大值，则a 的取值范围是 ． 【解答】解：（1）①1a >-时，1(1)2f a -==，12a ∴=， ②1a -…时，2211(1)2f e e ---==-≠， 12a ∴=． （2）111()x x xxe e ---'=， 1x x y e-∴=在(,1)-∞递增，在(1,)+∞递减；又0a >时2y ax =在(,0)-∞递减，()f x ∴不会存在最大值． 0a =时，()f x 的最大值即1x x y e -=的最大值； 0a <时，()f x 的最大值即1x x y e-=的最大值；故答案为：(-∞，0]．16．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足5730002(tN N N -=表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的 2；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在 年到5730年之间．（参考数据：2log 3 1.6≈，2log 5 2.3)≈【解答】解：生物体内碳14的量N 与死亡年数t 之间的函数关系式为：573002tN N -=；5730t =时，10022N N N -==； 所以每经过5730年衰减为原来的12； 由于良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35， ∴573013225t-剟； 两边同时取以2为底的对数，得： 221(log 3log 5)0.75730t---=-剟 40115730t ∴剟；故推测良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间． 故答案为：12，4011． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（13分）在ABC ∆中，AB =P 在BC 边上，且60APC ∠=︒，2BP =． （Ⅰ）求AP 的值；（Ⅱ）若1PC =，求sin ACP ∠的值．【解答】解：（Ⅰ）因为60APC ∠=︒，所以120APB ∠=︒．在ABP ∆中，AB =，120APB ∠=︒，2BP =，由余弦定理2222cos AB AP BP AP BP APB =+-∠，得22240AP AP +-=．所以4AP =．（Ⅱ）在APC ∆中，4AP =，1PC =，60APC ∠=︒，由余弦定理2222cos AC AP PC AP PC APC =+-∠，得AC =由正弦定理sin sin AP ACACP APC=∠∠，得4sin ACP =∠所以sin ACP ∠=． 18．（13分）已知*{}()n a n N ∈是各项均为正数的等比数列，116a =，322332a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设23log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求n S 的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，因为116a =，322332a a +=， 所以22320q q +-=． 解得2q =-（舍去）或12q =． 因此{}n a 的通项公式为15116()22n n n a --=⨯=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得23(5)log 2153n b n n =-=-，当2n …时，13n n b b --=-， 故{}n b 是首项为112b =，公差为3-的单调递减等差数列． 则21312(1)(3)(9)22n S n n n n n =+--=--．又50b =，所以数列{}n b 的前4项为正数，所以当4n =或5时，n S 取得最大值，且最大值为4530S S ==．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，//AD BC ，CD AD ⊥，2BC CD ==，4AD =． （Ⅰ）求证：//CE 平面PAB ； （Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）直线AB 上是否存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ？若存在，求出AQAB的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）如图，取PA中点F，连结EF，BF．因为E为PD中点，4AD=，所以//EF AD，122EF AD==．又因为//BC AD，2BC=，所以//EF BC，EF BC=，所以四边形EFBC为平行四边形．所以//CE BF．又因为CE⊂/平面PAB，BF⊂平面PAB，所以//CE平面PAB．（Ⅱ）取AD中点O，连结OP，OB．因为PAD∆为等边三角形，所以PO OD⊥．又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⋂平面ABCD AD=，所以PO⊥平面ABCD．因为//OD BC，2OD BC==，所以四边形BCDO为平行四边形．因为CD AD⊥，所以OB OD⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz-，则(0,2,0),(2,0,0),(2,2,0),A B C E P -．所以(2,4,0),AC AE ==．设平面ACE 的一个法向量为1(n x =，y ，)z ， 则110,0,n AC n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩即240,30.x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令2x =-，则1(2,1,n =-．显然，平面ACD 的一个法向量为2(0n =，0，1)，所以1212123cos ,||||2n n n n n n -<>===． 由题知，二面角E AC D --为锐角， 所以二面角E AC D --（Ⅲ）直线AB 上存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ．理由如下： 设AQ AB λ=．因为(2,2,0)AB =，(0,2,PA =--，所以(2,2,0)AQ AB λλλ==，(2,22,PQ PA AQ λλ=+=--． 因为PQ ⊂/平面ACE ，所以//PQ 平面ACE 当且仅当10PQ n =． 即(2,22,(2,1,3)0λλ----=，解得2λ=． 所以直线AB 上存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ，此时2AQAB=．20．（13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过两点(1,)P，(Q ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点)F ，求||||AB FE 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(1,)P，(Q ，所以22111,2a ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的标准方程为2212x y +=，（Ⅱ）由题易知直线l 的斜率不为0，设:1l x ty =+，由221,1,2x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210t y ty ++-=，显然△0>． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则12122221,22t y y y y t t --+==++．又12|||AB y y =-． 以FP为直径的圆的圆心坐标为，半径为r =， 故圆心到直线l的距离为d ==．所以2||81FEt ===+所以122|||||AB FE y y =-=因为211t +…，所以221(1)21t t +++…，即221114(1)21t t ++++…． 所以||||21AB FE =…．当0t =时，直线与椭圆有交点，满足题意，且||||1AB FE =， 所以||||AB FE 的最大值为1． 21．已知函数()(0)lnxf x a x a=>+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）当1a =时，证明：1()2x f x -…； （Ⅲ）判断()f x 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．【解答】解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21()()a lnx x f x x a -++'=+． （Ⅰ）因为f （1）0=，1(1)1f a '=+， 所以曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为10(1)1y x a -=-+， 即(1)10x a y -+-=；（Ⅱ）证明：当1a =时，()1lnxf x x =+． 欲证1()2x f x -…， 即证112lnx x x -+…， 即证2210lnx x -+…． 令2()21h x lnx x =-+， 则22(1)(1)()2x x h x x x x--+'=-=． 当x 变化时，()h x '，()h x 变化情况如下表：所以函数()h x 的最大值为h （1）0=，故()0h x …． 所以1()2x f x -…； （Ⅲ）函数()f x 在定义域内不是单调函数．理由如下： 令()1ag x lnx x=-++，因为221()0a x ag x x x x+'=--=-<，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减． 注意到g （1）10a =+>． 且11111()1(1)0a a a a a g e lne a e e ++++=-++=-<．所以存在1(1,)a m e +∈，使得()0g m =．当(0,)x m ∈时，()0g x >，从而()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)m 上单调递增； 当(,)x m ∈+∞时，()0g x <，从而()0f x '<，所以函数()f x 在(,)m +∞上单调递减． 故函数()f x 在定义域内不是单调函数．22．（13分）已知无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：*n N ∀∈，1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，1||||n n n c a b +=-．记{||n n d max a =，||n b ，||}({n c max x ，y ，}z 表示3个实数x ，y ，z 中的最大值）．（Ⅰ）若11a =，22b =，33c =，求1b ，1c 的可能值； （Ⅱ）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（Ⅲ）设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，{}n b ，{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0． 【解答】解：（Ⅰ）由211||||b c a =-，得1||12c -=，所以13c =±； 由322||||c a b =-，得2||23a -=，所以25a =±，又2111||||||33a b c b =-=--…，故25a =，1||8b =，18b =±．所以1b ，1c 的所有可能值为18b =，13c =；18b =，13c =-；18b =-，13c =；18b =-，13c =-． （Ⅱ）若11a =，12b =，记1c x =，则22||a x =-，2||1b x =-，21c =-，232||,0||1,1,1||2,|||1|1||1,||2,x x d x a x x x -<⎧⎪=<=--⎨⎪-⎩………，31|2|||b x =--，3|2||||||1|c x x =---，当0||1x <…时，3||a x =-，3||1b x =-，31c =，31d =，由32d d =，得||1x =，不符合；当1||2x <…时，3||2a x =-，3||1b x =-，332||c x =-，32||,1|| 1.5,||1,1.5||2,x x d x x -<⎧=⎨-<⎩……由32d d =，得||1x =，符合；当||2x …时，3||2a x =-，33||b x =-，31c =-，31,2||3,||2,||3,x d x x <⎧=⎨-⎩…… 由32d d =，得||2x =，符合；综上，1c 的所有取值是2-，1-，1，2．（Ⅲ）先证明“存在正整数3k …，使k a ，k b ，k c 中至少有一个为0”． 假设对任意正整数3k …，k a ，k b ，k c 都不为0， 由1a ，1b ，1c 是非零整数，且1||a ，1||b ，1||c 互不相等，得*1d N ∈，*2d N ∈．若对任意3k …，k a ，k b ，k c 都不为0，则*k d N ∈， 即对任意1k …，*k d N ∈． 当1k …时，1||||||||{||k k k k a b c max b +=-<，||}k k c d …，1||||||||k k k k b c a d +=-<，1||||||||k k k k c a b d +=-<，所以，11{||k k d max a ++=，1||k b +，1||}k k c d +<． 所以，{}k d 严格单调递减， 由2d 为有限正整数，所以，必存在正整数3m …，使得0m d …，矛盾． 所以，存在正整数3k …，使k a ，k b ，k c 中至少有一个为0． 不妨设0k a =，且10a ≠，20a ≠，⋯，10k a -≠， 则11||||k k b c --=，且111||||||k k k b c a ---=≠， 否则，若111||||||k k k b c a ---==，因为1110k k k a b c ---++=，则必有1110k k k a b c ---===，矛盾．于是，11||||0k k k b c a --=-≠，11||||0k k k c a b --=-≠，且k k b c =-， 所以，10k a +=，1||k k b c +=，1||||k k k c b c +=-=-，依次递推，即有：对n k ∀…，0n a =，1||n k b c +=，1||n k c c +=-，且||0k c ≠， 此时有且仅有一个数列{}n a 自第k 项起各项均为0． 综上，结论成立．。

北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学本试卷共5页.共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上•在试 卷上作答无效。

第I 卷(选择题共40分)-S 选择题：本大题共8小题■每小题5分.共40分•在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1. 设集合Λ = {x ∖r<a}. B = {—3,0∙l ∙5}・若集合A∩B 有且仅有2个元索.则实数α 的取值范围为(A) (-3,+∞)(B) (0> 1](C) [l ∙+α□)2. 若复数Z = 注.则在复平面内N 对应的点位于I-TI(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限3. 在厶ABC 中.若 α=6, A=60o, 3 = 75°,则 C =(A) 4(B) 2√2(C) 2√3(D) 2^4. 设且兀y≠0,则下列不等式中一定成立的是(A)丄>丄(B)InlJrl >ln∣y 丨(C) 2-工<2-，CD) j ∙2>^25. 已知直线T Jry Jr2=0与圆τ ÷j∕2+2jc~2y jra = 0有公共点，则实数"的取值范围为(A) ( — 8. θ](B) [θ∙+oo)(C) [0, 2)(D) (—8, 2)2020. I(D) Eb 5)(D)第四象限6・设三个向b. c互不共线•则∙+b+c=(Γ是^以Iah ∖b∖, ICl为边长的三角形存在"的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.紫砂壶是中国特冇的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正徳年间.紫砂壶的壶型众多•经典的有西施壶.掇球壶、石瓢壶.潘壶等•其中.石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)・下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位cm),那么该壶的容量约为(A)IOO cm5(B)200 cm3(C)300 cm3(D)400 cn√&已知函数∕Q)=√TTΓ+4 若存在区间O M].使得函数/Q)在区间DZ 上的值域为[α + l,6 + l],则实数〃的取值范围为(A) (-l,+oo) (B) (一 1. 0] (C) (一 +，+8) (D)( —斗，0]4 4第JI 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题■每小题5分，共3。

北京市朝阳区2019-2020学年高一（上）期末数学试卷选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2} 2．已知命题p：∀x＜﹣1，x2＞1，则￢p是（）A．∃x＜﹣1，x2≤1B．∀x≥﹣1，x2＞1C．∀x＜﹣1，x2＞1D．∃x≤﹣1，x2≤1 3．下列命题是真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则4．函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π5．已知函数f（x）在区间（0，+∞）上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f（x）只可能是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sin x+2C．f（x）＝ln（x2﹣x+1）D．f（x）＝6．已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E2 8．已知函数f（x）＝x+﹣a（a∈R），g（x）＝﹣x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f（x）与g（x）的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜﹣3}B．{a|a＞﹣3}C．{a|a＝﹣3}D．{a|﹣3＜a＜4} 9．已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c10．已知正整数x1，x2，…，x10满足当i＜j（i，j∈N*）时，x i＜x j，且x12+x22+…+x102≤2020，则x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为（）A．19B．20C．21D．22二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分.11．（5分）计算sin330°＝．12．（5分）若集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝log2x，在x轴上取两点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），设线段AB的中点为C，过A，B，C作x轴的垂线，与函数f（x）的图象分别交于A1，B1，C1，则点C1在线段A1B1中点M的．（横线上填“上方”或者“下方”）14．（5分）给出下列命题：①函数是偶函数；②函数f（x）＝tan2x在上单调递增；③直线x＝是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确的命题的序号是．15．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，则实数a的取值范围是．16．（5分）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin（ωx+φ），x∈[0，+∞）表示，其中A＞0，ω＞0．如图，平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为α，则点A的坐标是，从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B （x，y），动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为．三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（14分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；18．（18分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求tan2α和f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．19．（18分）已知函数f（x）＝（x≠a）．（Ⅰ）若2f（1）＝﹣f（﹣1），求a的值；（Ⅱ）若a＝2，用函数单调性定义证明f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ）设g（x）＝xf（x）﹣3，若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，求实数a的取值范围．20．（20分）已知函数f（x）＝log2（x+a）（a＞0）．当点M（x，y）在函数y＝g（x）图象上运动时，对应的点M'（3x，2y）在函数y＝f（x）图象上运动，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的相关函数．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜1；（Ⅱ）对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（0，1）．当a＝1时，求|F（x）|的最大值2019-2020学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【分析】先分别求出集合A，B，再由并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}＝{x∈Z|0≤x≤2}＝{0，1，2}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知命题p：∀x＜﹣1，x2＞1，则￢p是（）A．∃x＜﹣1，x2≤1B．∀x≥﹣1，x2＞1C．∀x＜﹣1，x2＞1D．∃x≤﹣1，x2≤1【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定为：∃x＜﹣1，x2≤1，故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．3．（5分）下列命题是真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则【分析】利用不等式的基本性质，判断选项的正误即可．【解答】解：对于A，若a＞b＞0，则ac2＞bc2，c＝0时，A不成立；对于B，若a＞b，则a2＞b2，反例a＝0，b＝﹣2，所以B不成立；对于C，若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2，反例a＝﹣4，b＝﹣1，所以C不成立；对于D，若a＜b＜0，则，成立；故选：D．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，不等式的基本性质的应用，是基本知识的考查．4．（5分）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【分析】利用二倍角的余弦公式求得y＝cos2x，再根据y＝A cos（ωx+φ）的周期等于T ＝，可得结论．【解答】解：∵函数y＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，∴函数的周期为T＝＝π，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的余弦公式，利用了y＝A sin （ωx+φ）的周期等于T＝，属于基础题．5．（5分）已知函数f（x）在区间（0，+∞）上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f（x）只可能是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sin x+2C．f（x）＝ln（x2﹣x+1）D．f（x）＝【分析】结合基本初等函数的性质分别求解选项中函数的值域即可判断．【解答】解：∵x＞0，根据幂函数的性质可知，y＝＞0，不符合题意，∵﹣1≤sin x≤1，∴2+sin x＞0恒成立，故选项B不符合题意，C：∵x2﹣x+1＝，而f（x）＝ln（x2﹣x+1），故值域中不恒为正数，符合题意，D：当x＞0时，f（x）＝2x﹣1＞0恒成立，不符合题意，故选：C．【点评】本题主要考查了基本初等函数的值域的求解，属于基础试题．6．（5分）已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先化简命题，再讨论充要性．【解答】解：由a，b，c∈R，知：∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，∴“a＝b＝c”⇒“a2+b2+c2＝ab+ac+bc”，“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”⇒“a，b，c不全相等”．“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E2【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：根据题意得：lgE1＝4.8+1.5×9 ①，lgE2＝4.8+1.5×7 ②，①﹣②得lgE1﹣lgE2＝3，lg（）＝3，所以，即E1＝1000E2，故选：C．【点评】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键．8．（5分）已知函数f（x）＝x+﹣a（a∈R），g（x）＝﹣x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f（x）与g（x）的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜﹣3}B．{a|a＞﹣3}C．{a|a＝﹣3}D．{a|﹣3＜a＜4}【分析】作出函数f（x）与函数g（x）的图象，数形结合即可判断出a的取值范围【解答】解：在同一坐标系中作出函数f（x）与g（x）的示意图如图：因为f（x）＝x+﹣a≥2﹣a＝4﹣a（x＞0），当且仅当x＝2时取等号，而g（x）的对称轴为x＝2，最大值为7，根据条件可知0＜4﹣a＜7，解得﹣3＜a＜4，故选：D．【点评】本题考查函数图象交点问题，涉及对勾函数图象在第一象限的画法，二次函数最值等知识点，属于中档题．9．（5分）已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c 的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】因为三个实数a，b，c都大于1，所以lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，原等式可化为lgalg+lgblg＝0，分别分析选项的a，b，c的大小关系即可判断出结果．【解答】解：∵三个实数a，b，c都大于1，∴lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，∵（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，∴（lga）2﹣lgalgb+lgblgc﹣lgalgb＝0，∴lga（lga﹣lgb）+lgb（lgc﹣lga）＝0，∴lgalg+lgblg＝0，对于A选项：若a＝b＝c，则lg＝0，lg＝0，满足题意；对于B选项：若a＞b＞c，则，0＜＜1，∴lg＞0，lg＜0，满足题意；对于C选项：若b＞c＞a，则0＜＜1，＞1，∴lg＜0，lg＞0，满足题意；对于D选项：若b＞a＞c，则0＜＜1，0＜＜1，∴lg＜0，lg＜0，∴lgalg+lgblg ＜0，不满足题意；故选：D．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是中档题．10．（5分）已知正整数x1，x2，…，x10满足当i＜j（i，j∈N*）时，x i＜x j，且x12+x22+…+x102≤2020，则x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为（）A．19B．20C．21D．22【分析】要使x9﹣（x1+x2+x3+x4）取得最大值，结合题意，则需前8项最小，第9项最大，则第10项为第9项加1，由此建立不等式，求出第9项的最大值，进而得解．【解答】解：依题意，要使x9﹣（x1+x2+x3+x4）取得最大值，则x i＝i（i＝1，2，3，4，5，6，7，8），且x10＝x9+1，故，即，又2×292+2×29﹣1815＝﹣75＜0，2×302+2×30﹣1815＝45＞0，故x9的最大值为29，∴x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为29﹣（1+2+3+4）＝19．故选：A．【点评】本题考查代数式最大值的求法，考查逻辑推理能力及创新意识，属于中档题．二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分.11．（5分）计算sin330°＝﹣．【分析】所求式子中的角变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．【解答】解：sin330°＝sin（360°﹣30°）＝﹣sin30°＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．12．（5分）若集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则实数a的取值范围是[﹣2，2]．【分析】根据集合A的意义，利用△≤0求出实数a的取值范围．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则不等式x2﹣ax+2＜0无解，所以△＝（﹣a）2﹣4×1×2≤0，解得﹣2≤a≤2，所以实数a的取值范围是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．13．（5分）已知函数f（x）＝log2x，在x轴上取两点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），设线段AB的中点为C，过A，B，C作x轴的垂线，与函数f（x）的图象分别交于A1，B1，C1，则点C1在线段A1B1中点M的上方．（横线上填“上方”或者“下方”）【分析】求出点C1，M的纵坐标，作差后利用基本不等式即可比较大小，进而得出结论．【解答】解：依题意，A1（x1，log2x1），B1（x2，log2x2），则，则＝，故点C1在线段A1B1中点M的上方．故答案为：上方．【点评】本题考查对数运算及基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题．14．（5分）给出下列命题：①函数是偶函数；②函数f（x）＝tan2x在上单调递增；③直线x＝是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确的命题的序号是①②③．【分析】利用三函数的奇偶性、单调性、对称轴、图象的平移等性质直接求解．【解答】解：在①中，函数＝cos2x是偶函数，故①正确；在②中，∵y＝tan x在（﹣，）上单调递增，∴函数f（x）＝tan2x在上单调递增，故②正确；在③中，函数图象的对称轴方程为：2x+＝kπ+，k∈Z，即x＝，k＝0时，x＝，∴直线x＝是函数图象的一条对称轴，故③正确；在④中，将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos（2x+）的图象，故④错误．故答案为：①②③．【点评】本题考查命题真假的判断，考查三函数的奇偶性、单调性、对称轴、图象的平移等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是（﹣1，1）．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，则实数a 的取值范围是{a|a≥0或a≤﹣1}．【分析】先求出对称点的坐标，再求出第二问的对立面，即可求解．【解答】解：因为点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是（﹣1，1）；A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，其对立面是A和A'中两个点的横纵坐标都满足不等式组，可得：且⇒a＜0且﹣1＜a＜2⇒﹣1＜a＜0故满足条件的a的取值范围是{a|a≥0或a≤﹣1}．故答案为：（﹣1，1），{a|a≥0或a≤﹣1}．【点评】本题主要考查对称点的求法以及二元一次不等式组和平面区域之间的关系，属于基础题．16．（5分）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin（ωx+φ），x∈[0，+∞）表示，其中A＞0，ω＞0．如图，平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为α，则点A的坐标是A（r cosα，r sinα），从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t 秒转动到点B（x，y），动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝r sin（ωt+α）．【分析】由任意角三角函数的定义，A（r cosα，r sinα），根据题意∠BOx＝ωt+α，进而可得点C的纵坐标y与时间t的函数关系式．【解答】解：由任意角三角函数的定义，A（r cosα，r sinα），若从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B（x，y），则∠BOx＝ωt+α，点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝r sin（ωt+α）．故答案为：A（r cosα，r sinα），y＝r sin（ωt+α）．【点评】本题考查任意角三角函数的定义，三角函数解析式，属于中档题．三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（14分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；【分析】（Ⅰ）容易求出A＝{x|﹣1≤x≤6}，然后进行补集的运算即可；（Ⅱ）根据A∪B＝A可得出B⊆A，从而可讨论B是否为空集：B＝∅时，m+1＞2m﹣1；B≠∅时，，解出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）A＝{x|﹣1≤x≤6}，∴∁R A＝{x|x＜﹣1或x＞6}，（Ⅱ）∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴①B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；②B≠∅时，，解得，∴实数m的取值范围为．【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集、补集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18．（18分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求tan2α和f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数的定义的应用和函数的关系式的应用求出结果．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅲ）利用函数的定义域的应用求出函数的值域和最小值．【解答】解：（Ⅰ）若点在角α的终边上，所以，，故，所以tan2α＝＝＝．f（α）＝＝2．（Ⅱ）由于函数f（x）＝sin2x﹣2＝．所以函数的最小正周期为．（Ⅲ）由于，所以，所以当x＝时，函数的最小值为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的定义的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．（18分）已知函数f（x）＝（x≠a）．（Ⅰ）若2f（1）＝﹣f（﹣1），求a的值；（Ⅱ）若a＝2，用函数单调性定义证明f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ）设g（x）＝xf（x）﹣3，若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由已知，建立关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）将a＝2代入，利用取值，作差，变形，判号，作结论的步骤证明即可；（Ⅲ）问题转化为h（x）＝2x2﹣3x+3a在（0，1）上有唯一零点，由二次函数的零点分布问题解决．【解答】解：（Ⅰ）由2f（1）＝﹣f（﹣1）得，，解得a＝﹣3；（Ⅱ）当a＝2时，，设x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，则，∵x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，（x1﹣2）（x2﹣2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ），若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，即h（x）＝2x2﹣3x+3a在（0，1）上有唯一零点（x＝a不是函数h（x）的零点），且二次函数h（x）＝2x2﹣3x+3a的对称轴为，若函数h（x）在（0，1）上有唯一零点，依题意，①当h（0）h（1）＜0时，3a（3a﹣1）＜0，解得；②当△＝0时，9﹣24a＝0，解得，则方程h（x）＝0的根为，符合题意；③当h（1）＝0时，解得，则此时h（x）＝2x2﹣3x+1的两个零点为，符合题意．综上所述，实数a的取值范围为．【点评】本题考查函数单调性的证明及二次函数的零点分布问题，考查推理论证及运算求解能力，属于中档题．20．（20分）已知函数f（x）＝log2（x+a）（a＞0）．当点M（x，y）在函数y＝g（x）图象上运动时，对应的点M'（3x，2y）在函数y＝f（x）图象上运动，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的相关函数．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜1；（Ⅱ）对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（0，1）．当a＝1时，求|F（x）|的最大值【分析】（Ⅰ）利用对数函数的性质可得，解出即可；（Ⅱ）根据题意，求得，依题意，在（0，1）上恒成立，由此得解；（Ⅲ）结合（Ⅱ）可知，，则只需求出的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，则，解得﹣a＜x＜2﹣a，∴所求不等式的解集为（﹣a，2﹣a）；（Ⅱ）由题意，2y＝log2（3x+a），即f（x）的相关函数为，∵对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，∴当x∈（0，1）时，恒成立，由x+a＞0，3x+a＞0，a＞0得，∴在此条件下，即x∈（0，1）时，恒成立，即（x+a）2＜3x+a，即x2+（2a﹣3）x+a2﹣a＜0在（0，1）上恒成立，∴，解得0＜a≤1，故实数a的取值范围为（0，1]．（Ⅲ）当a＝1时，由（Ⅱ）知在区间（0，1）上，f（x）＜g（x），∴，令，则，令μ＝3x+1（1＜μ＜4），则，∴，当且仅当“”时取等号，∴|F（x）|的最大值为．【点评】本题考查对数函数的图象及性质，考查换元思想的运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．。

北京一零一中学2019～2020学年度高一第一学期期中考试数学试题一、选择题(本大题共8小题)1.方程－x2－5x＋6＝0的解集为()A. B. C. D.2.“x＞2”是“x2＞4”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.下列函数中,在区间(1,＋∞)上为增函数的是()A. B. C. D.4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x＞0时,f(x)＝x2,则f(－)＝()A. B. C. D.5.设函数f(x)＝4x＋－1(x＜0),则f(x)()A.有最大值3B.有最小值3C.有最小值D.有最大值6.若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上恰有一个零点,则a的值可以是()A. B.0 C. D.37.已知函数f(x)＝是R上的减函数,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.8.设函数f(x)在(－∞,＋∞)上有意义,且对于任意的x,y∈R,有|f(x)－f(y)|＜|x－y|并且函数f(x＋1)的对称中心是(－1,0),若函数g(x)－f(x)＝x,则不等式g(2x－x2)＋g(x－2)＜0的解集是()A. B.C.,D.二、解答题(本大题共11小题,共80.0分)9.已知x1,x2是方程x2＋2x－5＝0的两根,则x12＋2x1＋x1x2的值为______.10.已知方程ax2＋bx＋1＝0的两个根分别为,3,则不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为______.(结果用区间表示)11.命题“∀x＞0,x2＋2x－3＞0”的否定是______.12.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋2,则f(1)＋g(1)的值等于______.13.若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a,a＋2]上的最小值为4,则实数a的取值集合为______.14.已知函数(1)若a＝0,则函数f(x)的零点有______个；(2)若f(x)≤f(1)对任意的实数x都成立,则实数a的取值范围是______.15.设集合A＝{x2,x－1},B＝{x－5,1－x,9}.(1)若x＝－3,求A∩B；(2)若A∩B＝{9},求A∪B.16.已知函数.(1)求定义域,并判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(1)＋f(2)＝0,证明函数f(x)在(0,＋∞)上的单调性,并求函数f(x)在区间[1,4]上的最值.17.一元二次方程x2－mx＋m2＋m－1＝0有两实根x1,x2.(1)求m的取值范围；(2)求x1•x2的最值；(3)如果,求m的取值范围.18.某住宅小区为了使居民有一个优雅舒适的生活环境,计划建一个八边形的休闲小区,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域.现计划在正方形MNPQ上建花坛,造价为4200元/平方米,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价为210元/平方米,再在四个空角上铺草坪,造价为80元/平方米.(1)设总造价为S元,AD的边长为x米,DQ的边长为y米,试建立S关于x的函数关系式；(2)计划至少要投入多少元,才能建造这个休闲小区.19.已知函数f(x)＝x2＋bx＋c,其中b,c∈R.(Ⅰ)当f(x)的图象关于直线x＝1对称时,b＝______；(Ⅱ)如果f(x)在区间[－1,1]不是单调函数,证明：对任意x∈R,都有f(x)＞c－1；(Ⅲ)如果f(x)在区间(0,1)上有两个不同的零点.求c2＋(1＋b)c的取值范围.答案和解析1.【参考答案】A【试题分析】解：∵－x2－5x＋6＝0,∴x2＋5x－6＝0,∴(x＋6)(x－1)＝0,∴x＝－6或1,方程－x2－5x＋6＝0的解集为{－6,1}.故选：A.因式分解法求解一元二次方程.本题属于简单题,解一元二次方程时注意观察方程特征,本题采用因式分解法会快速精准解题.2.【参考答案】B【试题分析】解：由x2＞4,解得x＞2,或x＜－2.∴“x＞2”是“x2＞4”的充分不必要条件.故选：B.由x2＞4,解得x＞2,或x＜－2.即可判断出结论.本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 3.【参考答案】D【试题分析】解：由一次函数的性质可知,y＝－3x－1在区间(1,＋∞)上为减函数,故A错误；由反比例函数的性质可知,y＝在区间(1,＋∞)上为减函数,由二次函数的性质可知,y＝x2－4x＋5在(－∞,2)上单调递减,在(2,＋∞)上单调递增,故C错误；由一次函数的性质及图象的变换可知,y＝|x－1|＋2在(1,＋∞)上单调递增.故选：D.结合一次函数,二次函数及反比例函数的图象及图象变换分别进行判断即可.本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断,属于基础试题.4.【参考答案】A【试题分析】解：根据题意,f(x)满足x＞0时,f(x)＝x2,则f()＝()2＝,又由函数f(x)为奇函数,则f(－)＝－f()＝－；故选：A.根据题意,由函数的解析式可得f()的值,结合函数的奇偶性可得f(－)＝－f(),即可得答案.本题考查函数奇偶性的性质以及应用,关键是掌握函数奇偶性的定义,属于基础题.5.【参考答案】D【试题分析】解：当x＜0时,f(x)＝4x＋－1＝－[(－4x)＋]－1.当且仅当－4x＝－,即x＝－时上式取“＝”.∴f(x)有最大值为－5.故选：D.直接利用基本不等式求得函数f(x)＝4x＋－1(x＜0)的最值得答案.本题考查利用基本不等式求函数的最值,是基础题.6.【参考答案】A【试题分析】解：由f(x)＝x＋＝0可得,a＝－x2,由函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上恰有一个零点,可知a＝－x2在(1,2)只有一个零点,当x∈(1,2)时,y＝－x2∈(－4,－1),∴－4＜a＜－1,结合选项可知,A符合题意.故选：A.由已知可转化为a＝－x2在(1,2)只有一个零点,然后结合二次函数的性质可求a的范围.本题主要考查了函数零点的简单应用,体现了转化思想的应用.7.【参考答案】B【试题分析】解：因为f(x)为R上的减函数,所以x≤1时,f(x)递减,即a－3＜0①,x＞1时,f(x)递减,即a＞0②,且(a－3)×1＋5≥2a③,联立①②③解得,0＜a≤2.故选：B.由f(x)为R上的减函数可知,x≤1及x＞1时,f(x)均递减,且(a－3)×1＋5≥2a,由此可求a的取值范围.本题考查函数单调性的性质,本题结合图象分析更为容易.8.【参考答案】A【试题分析】解：由函数f(x＋1)的对称中心是(－1,0),可得f(x)的图象关于(0,0)对称即f(x)为奇函数,∴f(－x)＝－f(x),∵g(x)－f(x)＝x,∴g(x)＝f(x)＋x,∴g(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－g(x),∵对于任意的x,y∈R,有|f(x)－f(y)|＜|x－y|,∴|g(x)－g(y)－(x－y)|＜|x－y|,∴,即||＜1,∴0＜＜2,即g′(x)＞0,∴g(x)单调递增,∵g(2x－x2)＋g(x－2)＜0,∴g(2x－x2)＜－g(x－2)＝g(2－x),∴2x－x2＜2－x,整理可得,x2－3x＋2＞0,解可得,x＞2或x＜1,故选：A.由已知可知f(x)为奇函数,从而可得g－x)也为奇函数,然后结合|f(x)－f(y)|＜|x－y|,及导数的定义可知g′(x)＞0,从而可知g(x)单调递增,结合单调性及奇函数的定义可求.本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性求解不等式,解题的关键是结合导数的定义判断出函数g(x)的单调性.9.【参考答案】0【试题分析】解：∵x1,x2是方程x2＋2x－5＝0的两根,则x12＋2x1－5＝0,x1x2＝－5.∴x12＋2x1＋x1x2＝5－5＝0.故答案为：0.本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、方程的根,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.10.【参考答案】(－,3)【试题分析】解：由已知方程ax2＋bx＋1＝0的两个根分别为,3,∴－＋3＝－,(－)×3＝；解得：a＝－,b＝.∴不等式ax2＋bx＋1＞0对应的二次函数开口向下,且对应方程的根为：－和3.∴所求不等式的解集为(－,3).故答案为：(－,3).由已知条件以及根与系数的关系求出a,b的值,再根据不等式的解集与对应方程的根之间的关系即可求解. 本题主要考查了一元二次不等式的应用,以及根与系数的关系,同时考查了分析求解的能力和计算能力,属于基础题.11.【参考答案】∃x0＞0,x02＋2x0－3≤0【试题分析】解：命题为全称命题,则命题“∀x＞0,x2＋2x－3＞0”的否定是为∃x0＞0,x02＋2x0－3≤0,故答案为：∃x0＞0,x02＋2x0－3≤0.根据含有量词的命题的否定即可得到结论.本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.12.【参考答案】2【试题分析】解：f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,∴f(－x)＝f(x),g(－x)＝－g(x),∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋2,∴f(－x)＋g(－x)＝x3＋x2＋2,则f(1)＋g(1)＝－1＋1＋2＝2.故答案为：2由已知可得f(－x)＝f(x),g(－x)＝－g(x),结合f(x)－g(x)＝x3＋x2＋2,可得f(－x)＋g(－x)＝x3＋x2＋2,代入x＝－1即可求解.本题主要考查了利用奇函数及偶函数的定义求解函数值,属于基础试题.13.【参考答案】{－3,3}【试题分析】解：因为函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2,所以对称轴为x＝1,顶点坐标为(1,0).令x2－2x＋1＝4得：x2－2x－3＝0,解得：x＝－1或3,所以a＋2＝－1或a＝3,即：a＝－3或3.故答案为：{－3,3}根据函数解析式求出对称轴和顶点坐标,画出函数图象,即可求出a的值.本题主要考察二次函数的图象,以及利用图象求最值问题.14.【参考答案】2 0＜a≤1【试题分析】解：(1)当a＝0时,如图,由图可知,f(x)有2个零点.(2)①当a≥0时,f(x)＝,如图,A(1,0),当x＝a在A点左侧时,总能满足f(x)≤f(1),此时0＜a≤1；当x＝a在A点右侧时,不满足,②当a＜0时,f(x)＝,如图,,此时,无论a取何值均不能满足f(x)≤f(1).综上0＜a≤1.故答案为：2；0＜a≤1.(2)分别画出a≥0时和a＜0时函数示意图,数形结合可得a取值范围.本题考查函数零点及函数恒成立问题,数形结合数关键,属于中档题.15.【参考答案】解：(1)x＝－3时,A＝{9,－4},B＝{－8,4,9},∴A∩B＝{9}；(2)∵A∩B＝{9},∴9∈A,∴x2＝9,或x－1＝9,解得x＝±3或10,x＝3时,不满足集合B中元素的互异性,∴x＝－3或10,由(1)知,x＝－3时,A∪B＝{－8,－4,4,9},x＝10时,A＝{100,9},B＝{5,－9,9},∴A∪B＝{－9,5,9,100}.【试题分析】(1)x＝－3时,可求出A＝{9,－4},B＝{－8,4,9},然后进行交集的运算即可；(2)根据A∩B＝{9}即可得出x2＝9或x－1＝9,再根据集合元素的互异性即可求出x＝－3或10,从而x＝－3时,求出集合A,B,然后求出A∪B；x＝10时,求出集合A,B,然后求出A∪B即可.本题考查了列举法的定义,交集、并集的定义及运算,元素与集合的关系,考查了计算能力,属于基础题. 16.【参考答案】解：(1)由题意可得,x≠0,∵f(－x)＝－ax＋＝－f(x),∴f(x)为奇函数；(2)由f(1)＋f(2)＝a－2＋2a－1＝0,∴a＝1,f(x)＝x－,设0＜x1＜x2,则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＝(x1－x2)(1＋),∵0＜x1＜x2,∴x1－x2＜0,1＋＞0,∴(x1－x2)(1＋)＜0,即f(x1)＜f(x2),∴f(x)在(0,＋∞)上的单调递增,∴函数f(x)在区间[1,4]上的最大值f(4)＝,f(1)＝－1.【试题分析】(1)由题意可得,x≠0,然后检验f(－x)与f(x)的关系即可判断；(2)由f(1)＋f(2)＝a－2＋2a－1＝0,代入可求a,然后结合单调性的定义即可判断单调性,再由单调性可证函数f(x)在区间[1,4]上的最大值f(4),f(1).即可求解.本题主要考查了函数奇偶性的判断及函数单调性的定义在单调性判断中的应用,属于函数性质的简单应用.17.【参考答案】解：(1)∵一元二次方程x2－mx＋m2＋m－1＝0有两实根x1,x2.∴△＝(－m)2－4(m2＋m－1)≥0,从而解得：－2.(2)∵一元二次方程x2－mx＋m2＋m－1＝0有两实根x1,x2.∴由根与系数关系得：,又由(1)得：－2,∴,从而,x1•x2最小值为,最大值为1.(3)∵一元二次方程x2－mx＋m2＋m－1＝0有两实根x1,x2.∴由根与系数关系得：,∴＝,从而解得：,又由(1)得：－2,∴.【试题分析】(1)一元二次方程有两实根,则判别式△≥0；(2)利用根与系数的关系求得两根之积,从而化简求最值；(3)利用公式得到|x1－x2|的表达式从而解不等式求m.本题考点是一元二次方程根与系数的关系,考查用根与系数的关系将根的特征转化为不等式组求解参数范围,本题解法是解决元二次方程根与系数的关系一个基本方法,应好好体会其转化技巧.18.【参考答案】解：(1)由题意,有AM＝,由AM＞0,有 0＜x＜10；则S＝4200x2＋210(200－x2)＋80×2×；S＝4200x2＋42000－210x2＋＝4000x2＋＋38000；∴S关于x的函数关系式：S＝4000x2＋＋38000,(0＜x＜10 )；(2)S＝4000x2＋＋38000≥2＋38000＝118000；当且仅当4000x2＝时,即x＝时,∈(0,10),S有最小值；∴当x＝米时,S min＝118000元.故计划至少要投入118000元,才能建造这个休闲小区.【试题分析】(1)根据由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域,四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米得出AM的函数表达式,最后建立建立S与x的函数关系即得；(2)利用基本不等式求出(1)中函数S的最小值,并求得当x取何值时,函数S的最小值即可.本题主要考查了函数模型的选择与应用、基本不等式等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.19.【参考答案】－2【试题分析】解：(Ⅰ)函数f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝－,由f(x)的图象关于直线x＝1对称,可得－＝1,解得b＝－2,故答案为：－2.(Ⅱ)证明：由f(x)在[－1,1]上不单调,可得－1＜－＜1,即－2＜b＜2,对任意的x∈R,f(x)≥f(－)＝－＋c＝c－,由－2＜b＜2,可得f(x)≥c－＞c－1；(Ⅲ)f(x)在区间(0,1)上有两个不同的零点,设为r,s,(r≠s),r,s∈(,1),可设f(x)＝(x－r)(x－s),由c2＋(1＋b)c＝c(1＋b＋c)＝f(0)f(1)＝rs(1－r)(1－s),且0＜rs(1－r)(1－s)＜[]2•[]2＝,则c2＋(1＋b)c∈(0,).(Ⅰ)求得f(x)的对称轴,由题意可得b的方程,解方程可得b；(Ⅱ)由题意可得－1＜－＜1,即－2＜b＜2,运用f(x)的最小值,结合不等式的性质,即可得证；(Ⅲ)f(x)在区间(0,1)上有两个不同的零点,设为r,s,(r≠s),r,s∈(,1),可设f(x)＝(x－r)(x－s),将c2＋(1＋b)c写为f(0)f(1),再改为r,s的式子,运用基本不等式即可得到所求范围.本题考查二次函数的单调性和对称性的应用,考查函数零点问题的解法,注意运用转化思想,以及基本不等式和不等式的性质,考查运算能力,属于中档题.。

北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷（理工类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用并集定义直接求解．【详解】集合A＝{x∈N|1≤x≤3}＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴A∪B＝{1，2，3，4，5}．故选：D．【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.设复数满足，则=A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】由（1﹣i）z＝2i，得z，∴|z|．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的=A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件跳出循环，确定输出S的值【详解】模拟程序的运行，可得S＝12，n＝1执行循环体，S＝10，n＝2不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝6，n＝3不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝0，n＝4不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝﹣8，n＝5满足条件S+n≤0，退出循环，输出S的值为﹣8．故选：A．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.在平面直角坐标系中，过三点的圆被轴截得的弦长为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用待定系数法求出圆的一般方程，令y＝0可得：x2﹣4x＝0，由此即可得到圆被轴截得的弦长.【详解】根据题意，设过A、B、C的圆为圆M，其方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，又由A（4，4），B（4，0），C（0，4），则有，解可得：D＝﹣4，E＝﹣4，F＝0，即圆M的方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0，令y＝0可得：x2﹣4x＝0，解可得：x1＝0，x2＝4，即圆与x轴的交点的坐标为（0，0），（4，0），则圆被x轴截得的弦长为4；故选：A．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及待定系数法求圆的方程，关键是求出圆的方程．5.将函数的图象向右平移个单位后，图象经过点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数平移变换的规律得到向右平移φ（φ＞0）个单位长度的解析式，将点带入求解即可．【详解】将函数y＝sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，可得y＝sin2（x﹣φ）＝sin（2x﹣2φ），图象过点，∴sin（2φ），即2φ2kπ，或2kπ，k∈Z，即φ 或，k ∈Z ，∵φ＞0，∴φ的最小值为． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，考查计算能力，属于基础题． 6.设为实数，则是 “”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 由“x ＜0”易得“”，反过来，由“”可得出“x ＜0”，从而得出“x ＜0”是“”的充分必要条件．【详解】若x ＜0，﹣x ＞0，则：；∴“x ＜0“是““的充分条件；若，则；解得x ＜0； ∴“x ＜0“是““的必要条件；综上得，“x ＜0”是“”的充分必要条件．故选：C ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件． 7.对任意实数，都有（且），则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得a＞1且a≤e x+3对任意实数x都成立，根据指数函数的性质即可求出．【详解】∵log a（e x+3）≥1＝log a a，∴a＞1且a≤e x+3对任意实数x都成立，又e x+3＞3，∴1＜a≤3，故选：B【点睛】本题考查了对数的运算性质和函数恒成立的问题，属于中档题．8.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正八面体与大小正方体的关系，即可得到结果.【详解】正方体C1各面中心为顶点的凸多面体C2为正八面体，它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，该正方形对角线长等于正方体的棱长，所以它的棱长a2；以C2各个面的中心为顶点的正方体为图形C3是正方体，正方体C3面对角线长等于C2棱长的，（正三角形中心到对边的距离等于高的），因此对角线为，所以a，3故选：【点睛】本题考查组合体的特征，抓住两个组合体主元素的关系是解题的关键，考查空间想象能力，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.已知数列为等差数列，为其前项的和.若，，则_______.【答案】【解析】【分析】运用等差数列的前n项和公式可解决此问题．【详解】根据题意得，2＝6，∴＝3 又＝7，∴2d＝7﹣3＝4，∴d＝2，＝1，∴S＝55+20＝25，5故答案为：25．【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式的应用．10.已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则____________.【答案】【解析】【分析】以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，分别求出的坐标，由数量积的坐标运算得答案．【详解】如图，以A为坐标原点，以AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（4，2），C（7，0），D（3，﹣2），∴，，∴7×1+0×4＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，合理构建坐标系是解题的关键，是基础的计算题．11.如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为_______________．【答案】【解析】【分析】由三视图还原几何体，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB⊥侧面ACB，AB＝4，PO＝OC＝2，由此即可得到结果．【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面PAB⊥侧面ACB，AB＝4，PO＝OC＝2．侧面PAC与PBC为全等的等边三角形．则该三棱锥的体积为V＝．故答案为：．【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原原几何体，考查空间想象能力及运算能力，是中档题．12.过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，则__________________.【答案】【解析】【分析】设直线AB的倾斜家为锐角θ，由|AF|＝4|BF|，可解出cosθ的值，进而得出sinθ的值，然后利用抛物线的焦点弦长公式计算出线段AB的长，再利用|CD|＝|AB|sinθ可计算出答案．【详解】设直线AB的倾斜角为θ，并设θ为锐角，由于|AF|＝4|BF|，则有，解得，则，由抛物线的焦点弦长公式可得，因此，．故答案为：5．【点睛】本题考查抛物线的性质，解决本题的关键在于灵活利用抛物线的焦点弦长公式，属于中等题．13.2018年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠.国际象棋中骑士的移动规则是沿着3×2格或2×3格的对角移动.在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题：在格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？图（一）给出了骑士的一种走法，它从图上标1的方格内出发，依次经过标2,3,4,5,6,,到达标64的方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内.如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，_____（填“能”或“不能”）走回到标50的方格内.若骑士限制在图（二）中的3×4=12格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2,3,4,5,6,,到达右下角标12的方格内，分析图（二）中A处所标的数应为____.【答案】(1). 能(2).【解析】【分析】根据题意，画出路线图，解判断是否能，再根据题意，结合题目中的数字，即可求出A处的数字．【详解】如图所示：如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，能走回到标50的方格内，如图所示：使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2，3，4，5，6，…，到达右下角标12的方格，且路线是唯一的，故A处应该为8，故答案为：能，8【点睛】本题考查了合情推理的问题，考查了转化与化归思想，整体和部分的思想，属于中档题14.如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】设等腰三角形底角为，阴影面积为，根据正弦函数的图象与性质即可得到结果.【详解】设等腰三角形底角为，则等腰三角形底边长为高为，阴影面积为：,当时，阴影面积的最大值为故答案为：【点睛】本题考查平面图形的面积问题，考查三角函数的图象与性质，解题关键用等腰三角形底角为表示等腰三角形的底边与高.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.在中，已知，（1）求的长；（2）求边上的中线的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用同角关系得到，结合正弦定理即可得到的长；（2）在中求出，结合余弦定理即可得到边上的中线的长. 【详解】解：（1）由，，所以.由正弦定理得，，即.（2）在中，.由余弦定理得，,所以.所以.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查推理及运算能力，属于中档题.16.某日A,B,C三个城市18个销售点的小麦价格如下表：（1）甲以B市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格.记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为，求的分布列及数学期望；（2）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大.请你对A,B,C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）.【答案】（1）分布列见解析，期望为1（2）C,A,B【解析】【分析】(1)由题意可得的可能取值为0，1，2.求出相应的概率值，即可得到的分布列及数学期望；（2）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C，A，B．【详解】解：（1）B市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500.所以中位数为2500，所以甲的购买价格为2500.C市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，故的可能取值为0，1，2.，，.所以分布列为所以数学期望.（2）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为：C,A,B【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.17.如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面；（2）当侧面是正方形，且时，（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）点在点处时，有【解析】【分析】（1）取中点，证明四边形是平行四边形，可得从而得证；（2）（ⅰ）先证明平面以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可得到二面角的大小；（ⅱ）假设在线段上存在点，使得. 设，则.利用垂直关系，建立的方程，解之即可.【详解】证明：（1）取中点，连，连.在△中，因为分别是中点，所以，且.在平行四边形中，因为是的中点，所以，且.所以，且.所以四边形是平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为侧面是正方形，所以.又因为平面平面，且平面平面，所以平面.所以.又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则，.（ⅰ）设平面的一个法向量为.由得即令，所以.又因为平面，所以是平面的一个法向量.所以.由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为.（ⅱ）假设在线段上存在点，使得.设，则.因为，又，所以.所以.故点在点处时，有【点睛】本题考查向量法求二面角大小、线面平行的证明，考查满足线面垂直的点的位置的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档题．18.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）当时，讨论的单调性；（Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，当时，求得，得出函数的单调性，进而求解函数的极值；（Ⅱ）由，由，得或，分类讨论，即可得到函数的单调区间；（Ⅲ）由（1）和（2），分当和，分类讨论，分别求得函数的单调性和极值，即可得出相应的结论，进而得到结论.【详解】解：（Ⅰ）当时：，令解得，又因为当，，函数为减函数；当，，函数为增函数.所以，的极小值为.（Ⅱ）.当时，由，得或.(ⅰ)若，则.故在上单调递增；（ⅱ）若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.(ⅲ)若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.（Ⅲ）（1）当时，，令，得.因为当时，，当时，，所以此时在区间上有且只有一个零点.（2）当时：（ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知在上单调递增，且，，此时在区间上有且只有一个零点.（ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合，又，只需讨论的符号：当时，，在区间上有且只有一个零点；当时，，函数在区间上无零点.(ⅲ)当时，由（Ⅱ）的单调性结合，，，此时在区间上有且只有一个零点.综上所述，.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.19.过椭圆W:的左焦点作直线交椭圆于两点，其中，另一条过的直线交椭圆于两点（不与重合），且点不与点重合.过作轴的垂线分别交直线，于,.（Ⅰ）求点坐标和直线的方程；（Ⅱ）求证：.【答案】（Ⅰ），的方程为（Ⅱ）详见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立方程组，即可求解B点坐标；（Ⅱ）设，，的方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，求得，，进而得出点的纵坐标，化简即可证得，得到证明.【详解】（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立,由可求.（Ⅱ）当与轴垂直时，两点与,两点重合，由椭圆的对称性，.当不与轴垂直时，设，，的方程为（）.由消去，整理得.则，.由已知，，则直线的方程为，令，得点的纵坐标.把代入得.由已知，，则直线的方程为,令，得点的纵坐标.把代入得.把，代入到中，=.即，即..【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.已知是由正整数组成的无穷数列，对任意，满足如下两个条件：①是的倍数；②.（1）若，，写出满足条件的所有的值；（2）求证：当时，；（3）求所有可能取值中的最大值.【答案】（1）（2）见解析（3）85【解析】【分析】（1）根据满足的两个条件即可得到满足条件的所有的值；（2）由，对于任意的，有. 当时，成立，即成立；若存在使，由反证法可得矛盾；（3）由（2）知，因为且是的倍数，可得所有可能取值中的最大值.【详解】（1）的值可取.（2）由，对于任意的，有.当时，，即，即.则成立.因为是的倍数，所以当时，有成立.若存在使，依以上所证，这样的的个数是有限的，设其中最大的为.则,成立，因为是的倍数，故.由,得.因此当时，.（3）由上问知，因为且是的倍数，所以满足下面的不等式：，. 则,, ,,,,,,,,当时，这个数列符合条件.故所求的最大值为85.【点睛】本题考查了数列的有关知识，考查了逻辑推理能力，综合性较强.。

2019-2020学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合A＝{x∈Z|x2<4}，B＝{−1, 2}，则A∪B＝（）A.{−1}B.{−1, 2}C.{−1, 0, 1, 2}D.{−2, −1, 0, 1, 2}【答案】C【考点】并集及其运算【解析】先求出集合A，再利用并集定义直接求解．【解答】∵集合A＝{x∈Z|x2<4}＝{−1, 0, 1}，B＝{−1, 2}，∴A∪B＝{−1, 0, 1, 2}．2. 已知α∈(π2,π)，且sinα=35，则tanα＝（）A.3 4B.43C.−34D.−43【答案】C【考点】同角三角函数间的基本关系【解析】首先根据三角函数的恒等变换关系式sin2α+cos2α＝1，求出cosα，进一步利用角的范围和tanα=sinαcosα求出结果．【解答】已知sinα=35，根据sin2α+cos2α＝1解得：cosα=±45由于：α∈(π2,π)所以：cosα=−45则tanα=sinαcosα=−343. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0, 1)上单调递增的是（）A.y＝−x3B.y＝sin(−x)C.y＝log2|x|D.y＝2x−2−x【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析选项：对于A，y＝−x3，是奇函数在区间(0, 1)上单调递减，不符合题意；对于B，y＝sin(−x)＝−sinx，是奇函数在区间(0, 1)上单调递减，不符合题意；对于C，y＝log2|x|，有f(−x)＝f(x)，是偶函数不是奇函数，不符合题意；对于D，y＝2x−2−x，既是奇函数又在区间(0, 1)上单调递增，符合题意；4. 关于函数f(x)＝sinx+cosx有下述三个结论：①函数f(x)的最小正周期为2π；②函数f(x)的最大值为2；③函数f(x)在区间(π2,π)上单调递减．其中，所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求解函数的周期，最值以及判断函数的单调性，找出正确结论即可．【解答】函数f(x)＝sinx+cosx=√2sin(x+π4)，所以函数的周期为：2π，所以①正确；函数的最大值为：√2，所以②不正确；函数的单调减区间为：[2kπ+π4, 2kπ+π]，k∈Z，所以函数f(x)在区间(π2,π)上单调递减．正确；5. 已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A.若α⊥β，则m // βB.若α⊥β，则m⊥βC.若m // β，则α // βD.若m⊥β，则α⊥β【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果．【解答】对于选项A：若α⊥β，则m // β也可能m⊥β，故错误．对于选项B：若α⊥β，则m⊥β也可能m // β，故错误．对于选项C：若m // β，则α // β也可能α与β相交，故错误．对于选项D ，直线m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β是面面垂直的判定，故正确．6. 已知函数f(x)＝|x −2|−kx +1恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.(0, 12) B.(12, 1)C.(1, 2)D.(2, +∞) 【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】先构造两函数y 1＝kx −1，y 2＝|x −2|，问题等价为y 1和y 2的图象有两个交点，再数形结合得出k 的范围． 【解答】令f(x)＝0得，kx −1＝|x −2|，设y 1＝kx −1，y 2＝|x −2|，画出这两个函数的图象， 如右图，黑色曲线为y 1的图象，红线为y 2的图象， 且y 12的图象恒过(0, −1)，要使f(x)有两个零点，则y 1和y 2的图象有两个交点， 当k ＝1时，y 1＝x （红线）与y 2图象的右侧(x >1)平行， 此时，两图象只有一个交点，k PA =12，因此，要使y 1和y 2的图象有两个交点，则12<k <1，7. 已知{a n }(n ∈N ∗)为等比数列，则“a 1>a 2”是“{a n }为递减数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】举例说明不充分，由递减数列的概念说明必要． 【解答】解：{a n }为等比数列，由a 1>a 2，不能说明{a n }为递减数列，如数列：1，−12，14； 反之，由{a n }为递减数列，得a 1>a 2．∴ “a 1>a 2”是“{a n }为递减数列”的必要而不充分条件． 故选B .8. 设F 1，F 2为椭圆C:x 29+y 25=1的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则点M 的横坐标为（ ） A.32 B.√152C.−√152D.−32【答案】D【考点】椭圆的离心率 【解析】设M(m, n)，m <0，n >0，求得椭圆的a ，b ，c ，e ，由于M 为C 上一点且在第二象限，可得|MF 1|<|MF 2|，△MF 1F 2为等腰三角形，|MF 1|＝2c ，运用椭圆的第二定义，可得所求点的横坐标． 【解答】设M(m, n)，m <0，n >0，椭圆C:x 29+y 25=1中a ＝3，b =√5，c ＝2，椭圆的左准线方程为：x =−a 2c=−92，e =ca =23，由于M 为C 上一点且在第二象限，可得|MF 1|<|MF 2|， △MF 1F 2为等腰三角形，可得|MF 2|＝2c ＝4，|MF 1|＝2， 由椭圆的第二定义，可得2=23×(92+m)，解得m =−32，9. 在△ABC 中，∠BAC ＝90∘，BC ＝2，点P 在BC 边上，且AP →⋅(AB →+AC →)=1，则|AP →|的取值范围是（ ） A.(12,1]B.[12,1]C.(√22,1]D.[√22,1]【答案】 A【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】以BC 的中点O 为原点，过O 垂直于BC 的直线为y 轴，建立直角坐标系，利用向量的坐标法，求出ax =12，|AP →|=|x|，根据题意求出x 的范围，代入即可． 【解答】以BC 的中点O 为原点，过O 垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图直角坐标系则B(−1, 0)，C(1, 0)，设P(x, 0)，A(a, b)，|x|≤1，由OA ＝1，a 2+b 2＝1， 则由AP →⋅(AB →+AC →)=1，得(x −a, −b)(−a, −b)=12，化简ax =12， 所以|AP →|2=(x −a)2+b 2＝x 2−2ax +a 2+b 2＝x 2，由a2+b2＝1，因为a≠±1，所以|a|<1，所以|x|=1|2a|>12，, 1]，所以|AP→|=|x|的取值范围为(1210. 已知集合A，B满足：(ⅰ)A∪B＝Q，A∩B＝⌀；(ⅱ)∀x1∈A，若x2∈Q且x2<x1，则x2∈A；(ⅲ)∀y1∈B，若y2∈Q且y2>y1，则y2∈B．给出以下命题：①若集合A中没有最大数，则集合B中有最小数；②若集合A中没有最大数，则集合B中可能没有最小数；③若集合A中有最大数，则集合B中没有最小数；④若集合A中有最大数，则集合B中可能有最小数．其中，所有正确结论的序号是（）A.①③B.②③C.③④D.①④【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据集合中元素的特点进行判断A，B的关系．【解答】：由(ⅰ)A∪B＝Q，A∩B＝⌀；(ⅱ)∀x1∈A，若x2∈Q且x2<x1，则x2∈A；(ⅲ)∀y1∈B，若y2∈Q且y2>y1，则y2∈B．可判断集合A中的元素都小于集合B中的元素，若集合A的元素没有最大数，则必然存在一个数x，使得∀x1∈A，x1<x；如果x是有理数，则x∈B，且∀y1∈B，y1≥x，则B有最小数为x；如果x是无理数，则x∉B，且∀y1∈B，y1>x，则B没有最小数；故②正确；若集合A的元素有最大数，则必然存在一个有理数x，使得∀x1∈A，x1≤x；∀y1∈B，y1>x，则B没有最小数；故③正确；二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．已知向量a→=(1, −1)，b→=(3, m)，且a→ // b→，则m＝________．【答案】−3【考点】平行向量（共线）【解析】根据a→∥b→即可得出m+3＝0，解出m即可．【解答】∵a→∥b→，∴m+3＝0，∴m＝−(3)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为________，最长棱的长度为________．【答案】16,√3【考点】由三视图求体积【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥P−ABC，底面三角形ABC为等腰直角三角形，再由棱锥体积公式求体积，由勾股定理求最长棱长．【解答】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥P−ABC，底面三角形ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝1，∠ABC＝90∘，高PO＝1，则V P−ABC=13×12×1×1×1=16；最长棱长为PB=√12+12+12=√3．已知直线x−2y+a＝0与圆O:x2+y2＝2相交于A，B两点（O为坐标原点），且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为________±√5．【答案】a=±√5；【考点】直线与圆的位置关系【解析】△AOB为等腰直角三角形，则AB边上的高为1，即圆心O到直线的距离为1，用点到直线的距离公式可求a；【解答】∵|OA|=|OB|=√2；又△AOB为等腰直角三角形；所以AB＝2，则三角形AOB斜边上的高为1；即圆心O到直线的距离为1；∴d=√1+22=1，即|a|=√5；已知a，b是实数，给出下列四个论断：①a>b；②1a <1b；③a>0；④b>0．以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：________>________，________>0，则1a <1b．（答案不唯一）．【答案】若a,b,b【考点】不等式的基本性质【解析】利用不等式的基本性质可得由①④⇒②．（答案不唯一）．【解答】①a>b；②1a <1b；③a>0；④b>(0)以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：若a，b满足a>b，b>0，则1a <1b，即由①④⇒②．（答案不唯一）．已知函数f(x)={ax2,x<a,xe x−1,x≥a（a为常数）．若f(−1)=12，则a＝________；若函数f(x)存在最大值，则a的取值范围是________．【答案】12,(−∞, 0]【考点】分段函数的应用【解析】本题（1）利用分段函数求值分类讨论a的取值后分别代入每一段函数中求值；（2）结合二次函数以及xe x−1的函数的图象特点分析求解．【解答】又∵a>0时y＝ax2在(−∞, 0)递减，∴f(x)不会存在最大值．a＝0时，f(x)的最大值即y=xe x−1的最大值（1）a<0时，f(x)的最大值即y=xe x−1的最大值（2）故答案为：(−∞, 0]．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足N=N⋅2−t5730（N 0表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的 12 ；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：log 23≈1.6，log 25≈2.3） 【答案】 4011 【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】根据生物体内碳14的质量N 与死亡年数t 之间的函数关系式，t ＝5730代入，得N =N 02，故每经过5730年衰减为原来的一半；利用碳14的残余量约占原来的12至35，建立不等式，即可推算良渚古城的年代． 【解答】∵ 生物体内碳14的量N 与死亡年数t 之间的函数关系式为：N =N 0⋅2−t5730； t ＝5730时，N =N 0⋅2−1=N 02；所以每经过5730年衰减为原来的12；由于良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35， ∴ 12≤2−t5730≤35；两边同时取以2为底的对数，得： −1≤−t5730≤(log 23−log 25)＝−0.7∴ 4011≤t ≤5730；故推测良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．在△ABC 中，AB ＝2√7，点P 在BC 边上，且∠APC ＝60∘，BP ＝2． (Ⅰ)求AP 的值；(Ⅱ)若PC ＝1，求sin∠ACP 的值． 【答案】（1）因为∠APC ＝60∘，所以∠APB ＝120∘．在△ABP 中，AB ＝2√7，∠APB ＝120∘，BP ＝2，由余弦定理AB 2＝AP 2+BP 2−2AP ⋅BPcos∠APB ，得AP 2+2AP −24＝（0） 所以AP ＝（4）（2）在△APC 中，AP ＝4，PC ＝1，∠APC ＝60∘，由余弦定理AC 2＝AP 2+PC 2−2AP ⋅PCcos∠APC ，得AC =√13． 由正弦定理APsin∠ACP =ACsin∠APC ，得4sin∠ACP =√13sin60， 所以sin∠ACP =2√3913．【考点】余弦定理解三角形正弦定理【解析】(Ⅰ)在△ABP中，利用余弦定理转化求解AP的值；(Ⅱ)在△APC中，利用余弦定理求出AC，然后利用正弦定理求sin∠ACP的值．【解答】（1）因为∠APC＝60∘，所以∠APB＝120∘．在△ABP中，AB＝2√7，∠APB＝120∘，BP＝2，由余弦定理AB2＝AP2+BP2−2AP⋅BPcos∠APB，得AP2+2AP−24＝（0）所以AP＝（4）（2）在△APC中，AP＝4，PC＝1，∠APC＝60∘，由余弦定理AC2＝AP2+PC2−2AP⋅PCcos∠APC，得AC=√13．由正弦定理APsin∠ACP =ACsin∠APC，得4sin∠ACP=√13sin60，所以sin∠ACP=2√3913．已知{a n}(n∈N∗)是各项均为正数的等比数列，a1＝16，2a3+3a2＝32．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n＝3log2a n，求数列{b n}的前n项和S n，并求S n的最大值．【答案】（1）设{a n}的公比为q，因为a1＝16，2a3+3a2＝32，所以2q2+3q−2＝（0）解得q＝−2（舍去）或q=12．因此{a n}的通项公式为a n=16×(12)n−1=25−n．（2）由(Ⅰ)得b n＝3(5−n)log22＝15−3n，当n≥2时，b n−b n−1＝−3，故{b n}是首项为b1＝12，公差为−3的单调递减等差数列．则S n=12n+12n(n−1)(−3)=−32(n2−9n)．又b5＝0，所以数列{b n}的前4项为正数，所以当n＝4或5时，S n取得最大值，且最大值为S4＝S5＝3(0)【考点】数列的求和【解析】(Ⅰ)直接利用已知条件求出数列的通项公式．(Ⅱ)直接利用数列的通项公式求出数列的和，进一步利用关系式求出最值．【解答】（1）设{a n}的公比为q，因为a1＝16，2a3+3a2＝32，所以2q2+3q−2＝（0）解得q＝−2（舍去）或q=12．因此{a n}的通项公式为a n=16×(12)n−1=25−n．（2）由(Ⅰ)得b n＝3(5−n)log22＝15−3n，当n≥2时，b n−b n−1＝−3，故{b n}是首项为b1＝12，公差为−3的单调递减等差数列．则S n=12n+12n(n−1)(−3)=−32(n2−9n)．又b5＝0，所以数列{b n}的前4项为正数，所以当n＝4或5时，S n取得最大值，且最大值为S4＝S5＝3(0)如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E 为PD的中点，AD // BC，CD⊥AD，BC＝CD＝2，AD＝4．(Ⅰ)求证：CE // 平面PAB；(Ⅱ)求二面角E−AC−D的余弦值；(Ⅲ)直线AB上是否存在点Q，使得PQ // 平面ACE？若存在，求出AQAB的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）如图，取PA中点F，连结EF，BF．因为E为PD中点，AD＝4，所以EF // AD，EF=12AD=2．又因为BC // AD，BC＝2，所以EF // BC，EF＝BC，所以四边形EFBC为平行四边形．所以CE // BF．又因为CE平面PAB，BF⊂平面PAB，所以CE // 平面PAB．（2）取AD中点O，连结OP，OB．因为△PAD为等边三角形，所以PO⊥OD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD．因为OD // BC，OD＝BC＝2，所以四边形BCDO为平行四边形．因为CD ⊥AD ，所以OB ⊥OD ． 如图建立空间直角坐标系O −xyz ，则A(0,−2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1,√3),P(0,0,2√3)． 所以AC →=(2,4,0),AE →=(0,3,√3)． 设平面ACE 的一个法向量为n 1→=(x, y, z)，则{n 1→⋅AC →=0,n 1→⋅AE →=0, 即{2x +4y =0,3y +√3z =0. 令x ＝−2，则n 1→=(−2,1,−√3)．显然，平面ACD 的一个法向量为n 2→=(0, 0, 1)， 所以cos <n 1→,n 2→>=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√322=−√64． 由题知，二面角E −AC −D 为锐角， 所以二面角E −AC −D 的余弦值为√64．(Ⅲ)直线AB 上存在点Q ，使得PQ // 平面ACE ．理由如下： 设AQ →=λAB →．因为AB →=(2,2,0)，PA →=(0,−2,−2√3)，所以AQ →=λAB →=(2λ,2λ,0)，PQ →=PA →+AQ →=(2λ,2λ−2,−2√3)．因为PQ 平面ACE ，所以PQ // 平面ACE 当且仅当PQ →⋅n 1→=0． 即(2λ,2λ−2,−2√3)⋅(−2,1,−√3)=0，解得λ＝（2） 所以直线AB 上存在点Q ，使得PQ // 平面ACE ，此时AQAB =2．【考点】直线与平面平行二面角的平面角及求法 【解析】(Ⅰ)取PA 中点F ，连结EF ，BF ．推出EF // AD ，证明CE // BF ．利用直线与平面平行的判断定理证明CE // 平面PAB ．(Ⅱ)取AD 中点O ，连结OP ，OB ．说明PO ⊥OD ．推出PO ⊥平面ABCD ．得到OB ⊥OD ．建立空间直角坐标系O −xyz ，求出平面ACE 的一个法向量，平面ACD 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角E −AC −D 的余弦值．(Ⅲ)直线AB 上存在点Q ，使得PQ // 平面ACE ．设AQ →=λAB →．通过PQ // 平面ACE 当且仅当PQ →⋅n 1=0．转化求解即可． 【解答】（1）如图，取PA 中点F ，连结EF ，BF ．因为E 为PD 中点，AD ＝4， 所以EF // AD ，EF =12AD =2．又因为BC // AD ，BC ＝2， 所以EF // BC ，EF ＝BC ，所以四边形EFBC 为平行四边形． 所以CE // BF ．又因为CE 平面PAB ，BF ⊂平面PAB ， 所以CE // 平面PAB ．（2）取AD 中点O ，连结OP ，OB ．因为△PAD 为等边三角形，所以PO ⊥OD ． 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．因为OD // BC ，OD ＝BC ＝2， 所以四边形BCDO 为平行四边形． 因为CD ⊥AD ，所以OB ⊥OD ． 如图建立空间直角坐标系O −xyz ，则A(0,−2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1,√3),P(0,0,2√3)． 所以AC →=(2,4,0),AE →=(0,3,√3)． 设平面ACE 的一个法向量为n 1→=(x, y, z)，则{n 1→⋅AC →=0,n 1→⋅AE →=0, 即{2x +4y =0,3y +√3z =0. 令x ＝−2，则n 1→=(−2,1,−√3)．显然，平面ACD 的一个法向量为n 2→=(0, 0, 1)， 所以cos <n 1→,n 2→>=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√32√2=−√64． 由题知，二面角E −AC −D 为锐角， 所以二面角E −AC −D 的余弦值为√64．(Ⅲ)直线AB 上存在点Q ，使得PQ // 平面ACE ．理由如下： 设AQ →=λAB →．因为AB →=(2,2,0)，PA →=(0,−2,−2√3)，所以AQ →=λAB →=(2λ,2λ,0)，PQ →=PA →+AQ →=(2λ,2λ−2,−2√3)．因为PQ 平面ACE ，所以PQ // 平面ACE 当且仅当PQ →⋅n 1→=0． 即(2λ,2λ−2,−2√3)⋅(−2,1,−√3)=0，解得λ＝（2） 所以直线AB 上存在点Q ，使得PQ // 平面ACE ，此时AQAB =2．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过两点P(1,√22)，Q(−√2,0)． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），求|AB|⋅|FE|的最大值． 【答案】 （1）因为椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P(1,√22)，Q(−√2,0)，所以{a =√2,1a2+12b2=1,得{a =√2,b =1, 故椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1，（2）由题易知直线l 的斜率不为0，设l:x ＝ty +1， 由{x =ty +1,x 22+y 2=1, 得(t 2+2)y 2+2ty −1＝0，显然△>(0) 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则y 1+y 2=−2t t +2,y 1y 2=−1t +2． 又|AB|=√1+t 2|y 1−y 2|．以FP 为直径的圆的圆心坐标为(1,√24)，半径为r =√24，故圆心到直线l 的距离为d =|1−√24t−1|√1+t 2=|√24t|√1+t 2．所以|FE|=2√r 2−d 2=2√18−18⋅t 2t 2+1=√22√1t 2+1． 所以|AB|⋅|FE|=√22|y 1−y 2|=√22√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√22√4t 2(t 2+2)2+4t 2+2=√22√8t 2+8(t 2+2)2=2√t 2+1(t 2+2)2=2√1(t 2+1)+1t 2+1+2，因为t 2+1≥1，所以(t 2+1)+1t 2+1≥2，即1(t 2+1)+1t 2+1+2≤14．所以|AB|⋅|FE|≤2√14=1．当t ＝0时，直线与椭圆有交点，满足题意，且|AB|⋅|FE|＝1， 所以|AB|⋅|FE|的最大值为（1） 【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】(Ⅰ)将两点的坐标代入求出a ，b 的值即可；(Ⅱ)设直线方程为x ＝ty +1，与椭圆方程联立，利用根与系数关系表示出|AB|，根据条件可以求出以FP 为直径的圆的圆心坐标为(1,√24)，半径为r =√24，故圆心到直线l 的距离为d =|1−√24t−1|√1+t2=|√24t|√1+t 2．进而表示出|EF|，因为|AB|⋅|FE|=√22|y 1−y 2|，结合基本不等式即可求出范围．【解答】 （1）因为椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P(1,√22)，Q(−√2,0)， 所以{a =√2,1a+12b=1, 得{a =√2,b =1, 故椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1，（2）由题易知直线l 的斜率不为0，设l:x ＝ty +1， 由{x =ty +1,x 22+y 2=1, 得(t 2+2)y 2+2ty −1＝0，显然△>(0) 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则y 1+y 2=−2t t 2+2,y 1y 2=−1t 2+2． 又|AB|=√1+t 2|y 1−y 2|．以FP 为直径的圆的圆心坐标为(1,√24)，半径为r =√24，故圆心到直线l 的距离为d =|1−√24t−1|2=|√24t|2．所以|FE|=2√r 2−d 2=2√18−18⋅t 2t +1=√22√1t +1． 所以|AB|⋅|FE|=√22|y 1−y 2|=√22√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√22√4t 2(t 2+2)2+4t 2+2=√22√8t 2+8(t 2+2)2=2√t 2+1(t 2+2)2=2√1(t 2+1)+1t 2+1+2，因为t 2+1≥1，所以(t 2+1)+1t 2+1≥2，即1(t 2+1)+1t 2+1+2≤14．所以|AB|⋅|FE|≤2√14=1．当t＝0时，直线与椭圆有交点，满足题意，且|AB|⋅|FE|＝1，所以|AB|⋅|FE|的最大值为（1）已知函数f(x)=lnxx+a(a>0)．(Ⅰ)求曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；(Ⅱ)当a＝1时，证明：f(x)≤x−12；(Ⅲ)判断f(x)在定义域内是否为单调函数，并说明理由．【答案】函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=−lnx+ax+1(x+a)2．（1）因为f(1)＝0，f′(1)=1a+1，所以曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−0=1a+1(x−1)，即x−(a+1)y−1＝0；（2）证明：当a＝1时，f(x)=lnxx+1．欲证f(x)≤x−12，即证lnxx+1≤x−12，即证2lnx−x2+1≤(0)令ℎ(x)＝2lnx−x2+1，则ℎ(x)=2x −2x=−2(x−1)(x+1)x．当x变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)变化情况如下表：所以函数ℎ(x)的最大值为ℎ(1)＝0，故ℎ(x)≤(0)所以f(x)≤x−12；(Ⅲ)函数f(x)在定义域内不是单调函数．理由如下：令g(x)=−lnx+ax+1，因为g′(x)=−1x −ax2=−x+ax2<0，所以g(x)在(0, +∞)上单调递减．注意到g(1)＝a+1>(0)且g(e a+1)=−lne a+1+ae a+1+1=a(1e a+1−1)<0．所以存在m∈(1, e a+1)，使得g(m)＝（0）当x∈(0, m)时，g(x)>0，从而f′(x)>0，所以函数f(x)在(0, m)上单调递增；当x∈(m, +∞)时，g(x)<0，从而f′(x)<0，所以函数f(x)在(m, +∞)上单调递减．故函数f(x)在定义域内不是单调函数．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可；(Ⅱ)代入a的值，问题转化为证明2lnx−x2+1≤(0)令ℎ(x)＝2lnx−x2+1，根据函数的单调性证明即可；(Ⅲ)令g(x)=−lnx+ax+1，求出函数的导数，判断函数是否单调即可．【解答】函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=−lnx+ax+1(x+a)2．（1）因为f(1)＝0，f′(1)=1a+1，所以曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−0=1a+1(x−1)，即x−(a+1)y−1＝0；（2）证明：当a＝1时，f(x)=lnxx+1．欲证f(x)≤x−12，即证lnxx+1≤x−12，即证2lnx−x2+1≤(0)令ℎ(x)＝2lnx−x2+1，则ℎ(x)=2x −2x=−2(x−1)(x+1)x．当x变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)变化情况如下表：所以函数ℎ(x)的最大值为ℎ(1)＝0，故ℎ(x)≤(0)所以f(x)≤x−12；(Ⅲ)函数f(x)在定义域内不是单调函数．理由如下：令g(x)=−lnx+ax+1，因为g′(x)=−1x −ax2=−x+ax2<0，所以g(x)在(0, +∞)上单调递减．注意到g(1)＝a+1>(0)且g(e a+1)=−lne a+1+ae a+1+1=a(1e a+1−1)<0．所以存在m ∈(1, e a+1)，使得g(m)＝（0）当x ∈(0, m)时，g(x)>0，从而f ′(x)>0，所以函数f(x)在(0, m)上单调递增；当x ∈(m, +∞)时，g(x)<0，从而f ′(x)<0，所以函数f(x)在(m, +∞)上单调递减． 故函数f(x)在定义域内不是单调函数．已知无穷数列{a n }，{b n }，{c n }满足：∀n ∈N ∗，a n+1＝|b n |−|c n |，b n+1＝|c n |−|a n |，c n+1＝|a n |−|b n |．记d n ＝max{|a n |, |b n |, |c n |}（max{x, y, z}表示3个实数x ，y ，z 中的最大值）．(Ⅰ)若a 1＝1，b 2＝2，c 3＝3，求b 1，c 1的可能值； (Ⅱ)若a 1＝1，b 1＝2，求满足d 2＝d 3的c 1的所有值；(Ⅲ)设a 1，b 1，c 1是非零整数，且|a 1|，|b 1|，|c 1|互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{a n }，{b n }，{c n }中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0． 【答案】（1）由b 2＝|c 1|−|a 1|，得|c 1|−1＝2，所以c 1＝±3； 由c 3＝|a 2|−|b 2|，得|a 2|−2＝3，所以a 2＝±5，又a 2＝|b 1|−|c 1|＝|b 1|−3≥−3，故a 2＝5，|b 1|＝8，b 1＝±(8)所以b 1，c 1的所有可能值为b 1＝8，c 1＝3；b 1＝8，c 1＝−3；b 1＝−8，c 1＝3；b 1＝−8，c 1＝−(3)（2）若a 1＝1，b 1＝2，记c 1＝x ，则a 2＝2−|x|，b 2＝|x|−1，c 2＝−1，d 2={2−|x|,0≤|x|<1,1,1≤|x|<2,|x|−1,|x|≥2, a 3＝||x|−1|−1，b 3＝1−|2−|x||，c 3＝|2−|x||−||x|−1|，当0≤|x|<1时，a 3＝−|x|，b 3＝|x|−1，c 3＝1，d 3＝1，由d 3＝d 2，得|x|＝1，不符合；当1≤|x|<2时，a 3＝|x|−2，b 3＝|x|−1，c 3＝3−2|x|，d 3={2−|x|,1≤|x|<1.5,|x|−1,1.5≤|x|<2, 由d 3＝d 2，得|x|＝1，符合；当|x|≥2时，a 3＝|x|−2，b 3＝3−|x|，c 3＝−1，d 3={1,2≤|x|<3,|x|−2,|x|≥3,由d 3＝d 2，得|x|＝2，符合；综上，c 1的所有取值是−2，−1，1，（2）(Ⅲ)先证明“存在正整数k ≥3，使a k ，b k ，c k 中至少有一个为0”． 假设对任意正整数k ≥3，a k ，b k ，c k 都不为0，由a 1，b 1，c 1是非零整数，且|a 1|，|b 1|，|c 1|互不相等，得d 1∈N ∗，d 2∈N ∗． 若对任意k ≥3，a k ，b k ，c k 都不为0，则d k ∈N ∗， 即对任意k ≥1，d k ∈N ∗．当k ≥1时，|a k+1|＝||b k |−|c k ||<max{|b k |, |c k |}≤d k ，|b k+1|＝||c k |−|a k ||<d k ，|c k+1|＝||a k |−|b k ||<d k ，所以，d k+1＝max{|a k+1|, |b k+1|, |c k+1|}<d k ． 所以，{d k }严格单调递减， 由d 2为有限正整数，所以，必存在正整数m ≥3，使得d m ≤0，矛盾．所以，存在正整数k ≥3，使a k ，b k ，c k 中至少有一个为（0） 不妨设a k ＝0，且a 1≠0，a 2≠0，…，a k−1≠0， 则|b k−1|＝|c k−1|，且|b k−1|＝|c k−1|≠|a k−1|，否则，若|b k−1|＝|c k−1|＝|a k−1|，因为a k−1+b k−1+c k−1＝0，则必有a k−1＝b k−1＝c k−1＝0，矛盾． 于是，b k ＝|c k−1|−|a k−1|≠0，c k ＝|a k−1|−|b k−1|≠0，且b k ＝−c k ， 所以，a k+1＝0，b k+1＝|c k |，c k+1＝−|b k |＝−|c k |，依次递推，即有：对∀n ≥k ，a n ＝0，b n+1＝|c k |，c n+1＝−|c k |，且|c k |≠0， 此时有且仅有一个数列{a n }自第k 项起各项均为（0） 综上，结论成立． 【考点】 数列的应用 【解析】（I ）由b 2＝|c 1|−|a 1|，c 3＝|a 2|−|b 2|，a 2＝|b 1|−|c 1|得出即可；(II)求出分段函数d 2，d 3，再分类讨论，求出c 1的所有值；(III)先证明存在正整数k ≥3，使a k ，b k ，c k 中至少有一个为0，再得出对∀n ≥k ，a n ＝0，b n+1＝|c k |，c n+1＝−|c k |，且|c k |≠0，所以有且仅有一个数列{a n }自第k 项起各项均为（0） 【解答】（1）由b 2＝|c 1|−|a 1|，得|c 1|−1＝2，所以c 1＝±3； 由c 3＝|a 2|−|b 2|，得|a 2|−2＝3，所以a 2＝±5，又a 2＝|b 1|−|c 1|＝|b 1|−3≥−3，故a 2＝5，|b 1|＝8，b 1＝±(8)所以b 1，c 1的所有可能值为b 1＝8，c 1＝3；b 1＝8，c 1＝−3；b 1＝−8，c 1＝3；b 1＝−8，c 1＝−(3)（2）若a 1＝1，b 1＝2，记c 1＝x ，则a 2＝2−|x|，b 2＝|x|−1，c 2＝−1，d 2={2−|x|,0≤|x|<1,1,1≤|x|<2,|x|−1,|x|≥2, a 3＝||x|−1|−1，b 3＝1−|2−|x||，c 3＝|2−|x||−||x|−1|，当0≤|x|<1时，a 3＝−|x|，b 3＝|x|−1，c 3＝1，d 3＝1，由d 3＝d 2，得|x|＝1，不符合；当1≤|x|<2时，a 3＝|x|−2，b 3＝|x|−1，c 3＝3−2|x|，d 3={2−|x|,1≤|x|<1.5,|x|−1,1.5≤|x|<2, 由d 3＝d 2，得|x|＝1，符合；当|x|≥2时，a 3＝|x|−2，b 3＝3−|x|，c 3＝−1，d 3={1,2≤|x|<3,|x|−2,|x|≥3,由d 3＝d 2，得|x|＝2，符合；综上，c 1的所有取值是−2，−1，1，（2）(Ⅲ)先证明“存在正整数k ≥3，使a k ，b k ，c k 中至少有一个为0”． 假设对任意正整数k ≥3，a k ，b k ，c k 都不为0，由a 1，b 1，c 1是非零整数，且|a 1|，|b 1|，|c 1|互不相等，得d 1∈N ∗，d 2∈N ∗． 若对任意k ≥3，a k ，b k ，c k 都不为0，则d k ∈N ∗， 即对任意k ≥1，d k ∈N ∗．当k ≥1时，|a k+1|＝||b k |−|c k ||<max{|b k |, |c k |}≤d k ，|b k+1|＝||c k |−|a k ||<d k ，|c k+1|＝||a k |−|b k ||<d k ，所以，d k+1＝max{|a k+1|, |b k+1|, |c k+1|}<d k ． 所以，{d k }严格单调递减， 由d 2为有限正整数，所以，必存在正整数m ≥3，使得d m ≤0，矛盾．所以，存在正整数k≥3，使a k，b k，c k中至少有一个为（0）不妨设a k＝0，且a1≠0，a2≠0，…，a k−1≠0，则|b k−1|＝|c k−1|，且|b k−1|＝|c k−1|≠|a k−1|，否则，若|b k−1|＝|c k−1|＝|a k−1|，因为a k−1+b k−1+c k−1＝0，则必有a k−1＝b k−1＝c k−1＝0，矛盾．于是，b k＝|c k−1|−|a k−1|≠0，c k＝|a k−1|−|b k−1|≠0，且b k＝−c k，所以，a k+1＝0，b k+1＝|c k|，c k+1＝−|b k|＝−|c k|，依次递推，即有：对∀n≥k，a n＝0，b n+1＝|c k|，c n+1＝−|c k|，且|c k|≠0，此时有且仅有一个数列{a n}自第k项起各项均为（0）综上，结论成立．。