八年级数学上册第十五章二次根式15.1二次根式第2课时二次根式的性质习题课件新版冀教版

当 x<－1 时，原式＝－(x＋1)－(x－2)＝－x－1－x＋2＝－2x＋1； 当－1≤x<2 时，原式＝(x＋1)－(x－2)＝x＋1－x＋2＝3； 当 x≥2 时，原式＝(x＋1)＋(x－2)＝x＋1＋x－2＝2x－1.
精彩一题 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月11日星期五2022/3/112022/3/112022/3/11
D.－ 32＝－3
6．(2019·四川凉山州)下列各式正确的是( B )
A．2a2＋3a2＝5a4 B．a2·a＝a3
C．(a2)3＝a5
D. a2＝a
7．(2019·河北唐山滦南县月考)若 （x－2）2＝2－x，则 x 的取
值范围是( D )
A．x＞2
B．x≥2
C．x＜2
D．x≤2
8. a·b＝__a_·__b_(a≥0，b≥0)； ___a_÷__b__)(a≥0，b＞0)．
第十五章 二次根式
15.1 二次根式 第2课时 二次根式的性质
提示：点击 进入习题
1 本身；平方 2A 3 x≥4 4 ≥0；≤0；－a；|a| 5A
6B
答案显示
7D
8
a· b；
a； b
a÷ b
9D
10 B
提示：点击 进入习题
11 D
12
(1)整数；整式 (2)开得尽方；因式
13 B
14 D
15 见习题
16 见习题 17 3a－3b. 18 见习题
答案显示
1．( a)2＝a(a≥0)反映了一个非负数的算术平方根的平方等于它 __本__身____；反之，任何一个非负数都等于它的算术平方根的 __平__方____．

•
4.第 五 节 讲 只 要细 心观察 就能获 得更多 的知识 。从植 物妈妈 的办法 中，学 生能感 受到大 自然的 有趣， 生发了 解更多 植物知 识的愿 望，培 养留心 观察身 边事物 的习惯 。
•
5.根 据 诗 歌 内 容， 课文中 配有相 应的插 图，形 象地描 绘了三 种植物 传播种 子的方 法，同 时告诉 小读者 植物传 播种子 的方法 有很多 ，仔细 观察就 能得到 更多的 知识。
2、（ 1）若a-5 b2 0，求 a、b的值； （2）若2x3y5 x2y30， 求x、y的值 .
a 0（a0）的应用
湘教版（2012）初中数学八年级上册5 .1.1二 次根式 课件
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小小挑战赛
1、一小组同学向另一组同学发起挑战，发战组成 员共出一道题（此题必须自己会做），挑战组解答 2、解答错误，发战组给出正确答案加一分并向下 一组同学挑战 3、解答正确，由挑战组加一分并向另外一组同学 发起挑战
x 1
只有当被开方数是非负实数时，二次根 式才在实数范围内有意义.
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探究一：
( 2)2 2 ( a ) 2 a (a 0)
二次根式的性1:质
2 a a (a 0).
3
—2——
由于1.22 1.44， 因此 1.44 1.2， 即 1.22 1.2
——— ………………..
a 根据上面 ，当 的 a结 0时 ， 果 你猜 ：测a2———
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3.为要使二次根式
x2 2x 1 有意义，x应取
B. x<1
D. x=-1
（D ）
A. x>1
C. x=1 4.等式
a2 4 a 2
a 2 成立的条件是（
B.a≥2 D.-2≤a<2
B ）
A.a≥2或a≤-2 C.a≥-2
5.计算：
1 3
解：
2 ; 2

2
第十五章 二次根式
15.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
导入新课
复习引入
1.什么叫二次根式？ 一般地，把形如 a a 0 的式子叫做二次根式，a称为二
次根式的被开方数（式），“
”称为二次根号.
2.我们已经学过哪些二次根式的相关性质？ 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
一个非负数的平方的算术平方根等
2
=
3

5 2
= 5 2
2
2

0.04
=
2
0.04
我们可以换得到:
a
a , ( a 0)
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
典例精析
例2 计算：
2 3 1 5 ; 2 4 3 ; 3 2 解： 3 3 1 5 5; 2
第十五章 二次根式
15.1 二次根式
第1课时 二次根式的相关概念及应用
导入新课
复习引入
平方根的性质是什么？
（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数； （2）0只有两平方根，是0本身； （3）负数没有平方根.
讲授新课
一 二次根式的概念

解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数含有分母． (2)是最简二次根式．
知3－讲
(3)不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母)． (4)不是最简二次根式，因为被开方数24x中含有能开得尽
方的因数4，4＝22. (5)不是最简二次根式，因为x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x＋9)＝
x(x＋3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式． (6)不是最简二次根式，因为分母中有二次根式．
y3 4 y2 4xy x2
y3 2y x2 y2y x y.
知1－练
2 若 ab a b 成立，则( B )
A．a≥0，b≥0
B．a≥0，b≤0
C．ab≥0
D．ab≤1
3 若 x 3 x 2 x 3 x 2, 则x的取值范围
A. 10
B. 8
C. 6
D. 2
知识方 法要点 积的算术 平方根
知识总结
关键总结
注意事项
ab
a
b (a≥0，b≥0)
a，b必须均为非 负数
商的算术 平方根
a a (a≥0，b＞0) bb
注意性质中b≠0
的条件
一是被开方数中
最简二 次根式
二次根式的被开方式中都不含 不能含有开的尽
分母，并且也都不含能开得尽 方的因数或因式,
是( B )
A．x≥－3
B．x≥2
C．x＞－3
D．x＞2
知2－导
知识点 2
a a a 0，b 0
bb
1. 4与 4 是否相等? 99
2.当a≥0，b＞0时，对
25与 25 呢? 49 49 a 和 a 的关系提出你的猜想， bb

1
化简:
(1) 125；
(2)
7 14 ;
(3) m 3 n5 (m 0);
(5)
(4) 0.49 x 5 y 6 ( y＞0)；
2
a
2
b
2
a
2
4
b
3
2

2
(ab＞0)；
1 (6) 4 y 4 xy x y y＞ x . 2
知3－导
归
纳
一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那
么，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
5 6 9 2 如 3 6, 4 5, , , 都是最简二次根式. 4 2 二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的
(4) 0.49 x y 0.7
5 6 2
x y
2 2 3 2
2
x
0.7
2
x y
2 2 3
x 0.7 x 2 y 3 x .
（来自《点拨》）
冀教版八年级数学上册
知1－练
(5)
a b a b a b a b a
式，化简时要先分解因式．
（来自《点拨》）
冀教版八年级数学上册
知1－练
解： (1) 125 25 5 25 5 5 5.
(2)
7 14
7 14 2 7 2 2 7 2 7 2.
(3) m 3 n5 m 2 n4 mn m 2 n4 mn mn2 mn .
第十五章
二次根式

1
2
1
2
2
2
2
2 与其他的二次根式不同
被开方数中不含能开 得尽方的因数或因式
2
2
被开方数不含分母
最简二次根式
2 2
特点归纳如下： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
定义：我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简 二次根式．
最简二次根式
练一练：
下列根式是最简二次根式的是( C )
二次根式的性质
归纳： 1.被开方数一定是积的形式，不能出现 a2 b2 a2 b2 的错误． 2.若积的因数或因式不是非负数，应将其化为非负数，再运用性质进
行化简；如 4a3 4 a2 a 4 a2 a 2a a，这里隐
含条件a≤0，易错误得出结果 2a a . 3.最后要检验开出来的数(式)及留在根号内的数(式)，要保证它们都是
非负数．
二次根式的性质
练一练：
若 ab a b 成立，则( B )
A．a≥0，b≥0
B．a≥0，b≤0
C．ab≥0
D．ab≤1
二次根式的性质
问题2
4与 4 是否相等?
99
25与 25 呢?当a≥0，b≥0时，对 a和 a
49 49
bb
的关系提出你的猜想，并说明理由.
事实上， a a 理由如下：因为当a≥0，b＞0时，
例 化简：(1)
75； 8
(2) 40.5.
解：(1) 75 150 25 6 5 6 .
8 16
16
4
(2) 40.5 81 162 162 81 2 9 2 .
24
4
2
2
二次根式的性质

S
为____________.
如图所示，已知正方形的面积为b-3，则 b-3
正方形的边长是 b 3 .
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a2 2 500
S
π
b3
表示一些正数的算术平方根;
一般地，形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式;
a叫做被开方数.
开动你的脑筋，你一定行！
请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 a (a 0)
（2） 4a 2b3 4 • a 2 • b3
2•a • b2 •b
2a b2 b
2ab b.
想一想： (4) (9) (4) (9)
成立吗？为什么？
ab a • b (a 0, b 0)
所以 (4) (9)
36 6.
(2) 6,
(m≤0),
(6) a2 1 ,
(3) 12, (5) xy (，x,y 异号)， (7) 3 5.
注意：在实数范围内,负数没有平方根
【跟踪训练】
判断下列代数式中哪些是二次根式.
⑴
1，
2
(3) a 2 2a 2 ，
(5) m 32 .
⑵ 16,
(4) x x 0,
【例题】
【例2】求下列二次根式中字母的取值范围：
13
通过本课时的学习，需要我们掌握： （1）二次根式的概念. （2）根号内字母的取值范围. （3）二次根式的值.
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而 是我们怎么知道什么.
——毕达哥拉斯
7 二次根式
1.理解最简二次根式的定义. 2.会利用积的算术平方根的性质化简二次根式. 3.理解商的算术平方根的性质，能够应用二次根式的性质
1 a 1.

北师大版八年级上册二次根式 经典课件
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2.已知a，b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1, 你能求出a及 a+b 的值吗？
【解析】依题意知：2b-1≥0，1-2b ≥0,所以b= 12,把 b= 1 2代入原式，得a=1,所以a+b=1+12 =32 .
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要点归纳 二次根式的混合运算，一般先将二
次根式转化为最简二次根式，再灵活运 用乘法公式等知识来简化计算.
北师大版八年级上册二次根式 经典课件
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二次根式的化简求值
问题：化简
1 a
b
ab ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？
解法一：
(1)3 2 2 3;
(2) 12 3 5;
(3)( 5 1)2;
(4)( 13 3)( 13 3);
解： (1)原式= 3 2 2 3 6 6;
(2)原式= 12 3 5 36 5 6 5 1; (3)原式= ( 5)2 2 5 12 5 2 5 1 6 2 5;
如图所示，已知正方形的面积为b-3，则
正方形的边长是 b . 3
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a2 2 500
S π
b3
表示一些正数的算术平方根;
一般地，形如 a （a≥0)的式子叫做二次根式;
a叫做被开方数.
北师大版八年级上册二次根式 经典课件
核心归纳
一般地，形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式. 1. 表示a的算术平方根； 2. a可以是数,也可以是式； 3. 形式上含有二次根号 ；
(3) 12, (5) xy (，x,y 异号)， (7) 3 5.

知1－讲
(1)∵
3
64的根指数是3，∴
是二次根式． x2 1
3
64不是二次根式．
(2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0， ∴ (3)当－5a≥0，即a≤0时， 当a＞0时，－5a＜0，则 ∴ 不一定是二次根式． 5a
是二次根式； 5a
不是二次根式． 5a
(4)
a＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的代数式，不
第十五章
二次根式
15.1
二次根式
第1课时
二次根式的认识
1
课堂讲解
二次根式的定义 二次根式的“双重”非负性

a 0，a 0

二次根式

a
2
与 a 2的性质
2
课时流程
逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升
如图，架在消防车上的云梯AB长为15m， AD∶BD ＝1 ∶ 0.6，云梯底部离地面的距离为2m.你能求出云梯 的顶端离地面的距离AE吗?
a 4
2
是二次根式；
2
a 4 不是二次根式．
∴
不一定是二次根式．
知1－讲
(7)∵x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0， ∴ 是二次根式． x2 2 x 2
x 是二次根式．
(8)∵|x|≥0，∴
知1－讲
总
结
二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根 式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同 时具备二次根式的两个特征：
y 3
2
0, x y 1 0,
所以y＋3＝0，x＋y－1＝0， 解得y＝－3，x＝4，所以x－y＝7.故选C．
知2－讲

4．若 44＝2 a， 54＝3 b，则 a＋b 的值为( B )
A．13
B．17
C．24
D．40
5．0.5 的算术平方根等于( C )
A．2 B. 2
2
1
C. 2
D.2
6．下列各式计算正确的是( C )
A.
32＝
3 2
C.
34＝
3 2
B. 82＝ 2
D.
9ab＝
a 3b
*7.若 1－a2a＝ 1a－a，则 a 的取值范围是( D ) A．a≤0 B．a<0 C．a>0 D．0<a≤1
【点拨】由题意得1－a≥0且a＞0，解得0＜ a≤1.此题容易忽略1－a≥0这个条件．
8．【中考·达州】下列判断正确的是( D ) 5－1
A. 2 <0.5
B．若 ab＝0，则 a＝b＝0
C.
ab＝
a b
D．3a 可以表示边长为 a 的等边三角形的周长
9．【中考·山西】下列二次根式是最简二次根
式的是( D )
解：得到第一步所依据的公式是 ab＝ ab(a≥0，b＞0)．
பைடு நூலகம்
(2)得到第二步所依据的公式是什么？ 解：得到第二步所依据的公式是 a2＝|a|.
(3)得到第三步所依据的公式是什么？ 得 到 第 三 步 所 依 据 的 公 式 是 |a| ＝ －a（a＜0）， a（a≥0）.
18．老师在讲解“二次根式的性质”时，在黑板上写下了下面的 一道题作为练习：已知 7＝a， 70＝b，用含有 a，b 的代
JJ版八年级上
第十五章 二次根式
15.1 二次根式 第2课时 二次根式的性质
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