二元一次方程组与一次函数

二元一次方程组与一次函数一、定义和性质：ax + by = cdx + ey = f其中a、b、c、d、e、f是已知的实数，且a和d不同时为0。

在二元一次方程组中，有以下性质：1.若方程组中的两个方程的系数比例相同，则这个方程组无解或有无数多个解。

2.三个线性方程的组合也仍然是满足二元一次方程组性质的。

二、解法：1.消元法：通过将一个方程的任意倍数加到另一个方程上，消去一个未知数的项，从而得到一个关于另一个未知数的一次方程。

根据得到的方程解出一个未知数的值，再带入到另一个方程中求得另一个未知数的值。

2.代入法：将一个方程的一个未知数表达式代入到另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的方程。

根据这个方程解出一个未知数的值，再带入到另一个方程中求得另一个未知数的值。

3.矩阵法：将方程组的系数和常数项构成矩阵，然后通过矩阵的运算方法（如行列式、逆矩阵等）求解未知数。

解方程组的关键是找到合适的方法和技巧。

对于一些特殊的方程组，还可以利用几何方法进行解答。

三、二元一次方程组与一次函数的关系：从形式上看，二元一次方程组和一次函数都是关于未知数的一次方程。

一次函数是变量的对应关系，而二元一次方程组是未知数之间的关系。

将二元一次方程组写成矩阵形式为：..[ab][x]=[c][de][y][f]可以将这个方程组解释为从二维平面上的两条直线的交点。

其中x和y分别是直线的横坐标和纵坐标，a、b、c、d、e、f是直线的特征系数。

而一次函数可以看作是二维平面上一条直线，其斜率m和常数项c与二元一次方程组的系数有关。

对于方程组中的第一个方程ax + by = c，其可以表示为 y = (-a/b)x + c/b，其中(-a/b)表达了直线的斜率m，c/b表达了直线的截距c。

因此，一次函数和二元一次方程组在形式上和几何意义上都有相似之处，但是在概念上有明显的区别。

总结：本文从定义、性质、解法以及与一次函数的关系等几个方面进行了对二元一次方程组的介绍。

一次函数与二元一次方程我们知道一次函数的解析式就是一个二元一次方程，而任何一个二元一次方程都可以化为一次函数解析式的形式，如：y ＝2x ＋3是一次函数解析式，也是一个二元一次方程；而2x －y ＝－3是二元一次方程，不是函数解析式，但可以将其化为y ＝2x ＋3，即为一次函数解析式。

因此一次函数与二元一次方程是既有区别又有联系。

区别在于：(1)二元一次方程有两个未知数，而一次函数则有两个变量；(2)二元一次方程用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系.联系在于：(1)在直角坐标系中分别描出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上.(2)在一次函数图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程.由于二元一次方程可以转化为一次函数，在直角坐标系中可以画出函数的图象，所以将方程组中的两个方程都化为一次函数，再在同一直角坐标系中画两个一次函数图象，它们的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.这种将二元一次方程组转化为一次函数，通过画函数图像确定交点坐标，从而解出方程组的方法，我们称为二元一次方程组的图象解法。

用此方法解二元一次方程组一般有下列几个步骤：(1)将相应的二元一次方程改写成一次函数的解析式；(2)在同一直角坐标系内作出这两个一次函数的图象；(3)观察图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解.我们可以总结为“画直线、找交点、确定解”。

例 用作图象的方法解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+.1,523y x y x 解：①由3x ＋2y ＝5，得y ＝－2523+x ，由x ＋y ＝1，得y ＝－x ＋1.②在同一直角坐标系内作出一次函数y ＝－2523+x 的图象L 1和y ＝－x ＋1的图象L 2， ③如图1，观察图象，得L 1、L 2的交点为(3，－2)，即二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+.1,523y x y x 的解是⎩⎨⎧-==.2,3y xL 2 图1评注：(1)第一步变形时，要保证移向第一步变形时，要保证移项变号；(2)作图必须非常准确，因为图形的偏差会导致我们获得方程组解的偏差，甚至导致错解。

二元一次方程与一次函数的关系1.掌握二元一次方程组与一次函数的关系。

2.利用二元一次方程组确定一次函数的解析式。

教学建议：教师演变如何将一次函数变为二元一次方程。

分析二元一次方程组与一次函数的关系。

知识概述1、二元一次方程与一次函数的关系任何一个二元一次方程都可化成一次函数表达式的形式.一个二元一次方程的解有无数个，以一个二元一次方程的所有的解为坐标的点组成的图象与这个二元一次方程化成的一次函数的图象相同，是一条直线，如二元一次方程x－y＝2有无数个解，以这无数个解为坐标的点组成的图象就是一次函数y＝x－2的图象．一般地，以二元一次方程ax＋by＝c的解为坐标的点组成的图象与一次函数的图象相同.2、二元一次方程组与一次函数的关系一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标．即二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数的图象的交点；反之两个一次函数的图象的交点坐标可以当作二元一次方程组的解.3、利用二元一次方程组确定一次函数的表达式（1）待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法．（2）利用二元一次方程组确定一次函数的表达式是求一次函数表达式的主要方法，其一般步骤如下：①设出函数表达式：y＝kx＋b；②把已知条件代入，得到关于k，b的方程组；③解方程组，求出k，b的值；④写出其表达式．注意：待定系数法的步骤可总结为“设、代、解、写”．二、典型例题讲解例1、已知直线y＝x与y＝－2x＋1相交，则其交点坐标为__________．解析：由题意可知两条直线的交点坐标是方程组的解，解此方程组，得所以两条直线的交点坐标为．答案：规律总结：（1）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．（2）如果方程组无解，那么两图象无交点，反之，如果两图象无交点，那么方程组无解．例2、如图所示，一次函数的图象经过A（2，4）和B（0，2）两点，且与x轴交于C点．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求三角形AOC的面积．分析：设定表达式，将A，B两点的坐标代入得方程组可求解．在直角坐标系中求三角形的面积，一般选择比较特殊的线段作为底，如x轴、y轴上的线段或平行于x轴、y轴的线段．解：（1）设一次函数表达式为y＝kx＋b，因为函数图象经过点A（2，4），B（0，2），则有解得所以该一次函数的表达式为y＝x＋2．（2）令y＝0，则由y＝x＋2，得x＝－2，则点C的坐标为（－2，0），所以OC＝|－2|＝2．过点A作AD⊥x轴于点D，则AD＝4，所以三角形AOC的面积为．方法归纳：确定一次函数y＝kx＋b（k≠0）的表达式，只要确定k，b的值即可．一般需要两个点的坐标，把两个点的坐标分别代入y＝kx＋b中，列出关于k，b的二元一次方程组，使问题得到解决．此法对于正比例函数y＝kx（k≠0）仍适用，不同的是确定正比例函数表达式只需一个点的坐标就可以解决．例3、用作图象的方法解方程组分析：用图象法解二元一次方程组的关键是要作出两个二元一次方程表示的函数的图象，找出它们的交点.解：由2x－3y＋3＝0得由5x－3y－6＝0得.在同一直角坐标系中作出直线和的图象，如图所示，得交点（3，3）所以方程组例4、一次函数y＝kx＋b的自变量x的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，则这个函数的解析式为____________.分析：本题分两种情况讨论：①当k＞0时，y随x的增大而增大，则有：当x＝－3，y＝－5；当x＝6时，y＝－2，把它们代入y＝kx＋b中可得∴∴函数解析式为y＝x－4．②当k<O时则随x的增大而减小，则有：当x＝－3时，y＝－2；当x＝6时，y＝－5，把它们代入y ＝kx＋b中可得∴∴函数解析式为y＝－x－3.∴函数解析式为y＝x－4，或y＝－x－3.答案：y＝x－4或y＝－x－3.说明：本题充分体现了分类讨论思想，方程思想在一次函数中的应用，切忌考虑问题不全面.1、直线y＝2x＋b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x＋b＝0的解是（）A．x＝2 B．x＝4C．x＝8 D．x＝102、如图，过点Q（0，3.5）的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是（）A．3x－2y＋3.5＝0 B．3x－2y－3.5＝0C．3x－2y＋7＝0 D．3x＋2y－7＝03、已知一次函数的图象都经过A（－2，0），且与y轴分别交于B、C两点，那么△ABC的面积是（）A．2 B．3C．4 D．64、小艳用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l1，l2，如图所示，她解的这个方程组是（）A．B．C． D．5、如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象，下列说法：①买2件时，甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家合算；③买3件时，买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为2元，其中正确的说法是（）A．①②B．②③④C．②③D．①②③6、已知方程组没有解，则一次函数y＝2－x与的图象必定（）A．重合B．平行C．相交D．无法判断7、如图，若点P（m，n）的坐标可以通过解关于x、y的方程组求得，则m和n的值最可能为（）A．m＝－，n＝0 B．m＝－3，n＝－2C．m＝－3，n＝4 D．m＝－，n＝28、在同一直角坐标系中，直线l1：y＝（k－2）x＋k和l2：y＝kx的位置可能是（）A．B．C．D．答案：ADCAD BCB9、如图，在同一直角坐标系内作出的一次函数y1，y2的图象l1，l2，则两条直线l1，l2的交点坐标可以看做方程组_________的解．答案：解：由图可知：直线l1过（2，3），（0，－1），因此直线l1的函数解析式为：y＝2x－1；直线l2过（2，3），（0，1），因此直线l2的函数解析式为：y＝x＋1；因此所求的二元一次方程组为．10、已知y是x的一次函数，下表给出了部分对应值，则m的值是_____________.x －1 2 5y 5 －1 m答案：－7解：设该一次函数的解析式为y＝kx＋b．由题意得解得故m的值是－7．【巩固练习】1、已知一次函数y＝3x－2k与y＝x＋k交点的纵坐标为6，求这两个函数图象与x轴、y轴的交点坐标．解：根据题意可列方程组解得所以其中一个一次函数表达式为，当x ＝0时，，所以与y轴的交点坐标为；当y＝0时，，所以与x轴的交点坐标为．另一个一次函数表达式为，所以与y轴交点坐标为；当y＝0时，，所以与x轴交点坐标为．所以一次函数与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为．一次函数与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为．2、如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P（1，b）．（1）求b的值；（2）不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解；（3）直线l2：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．解：（1）∵P（1，b）在直线y＝x＋1上，∴当x＝1时，b＝1＋1＝2．（2）（3）直线y＝nx＋m也经过点P．理由：因为点P（1，2）在直线y＝mx＋n上，所以m＋n＝2，即2＝n×1＋m，这说明直线y＝nx＋m也经过点P．3、请你根据图中图象所提供的信息解答下面问题：（1）分别写出a1、a2中变量y随x变化而变化的情况：（2）求出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件．解：（1）a1：y随x的增大而增大，a2：y随x的增大而减小；（2）直线a1经过点（0，－1）与（1，1），设它的解析式为：y＝kx＋b；得：解得：k＝2，b＝－1即它的解析式是：y＝2x－1．同理可求直线a2的解析式是，则所求的方程组是4、（南通）用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（）A、B、C、D、分析：由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组．解：设经过图象上的点的坐标（0，－1）和（1，1）的解析式为y＝kx＋b，将（0，－1）和（1，1）坐标代入得方程组解得所以经过（0，－1）和（1，1）的直线的解析式为y＝2x－1，同理求得另一条直线的解析式是y＝－x＋2，因此所解的二元一次方程组是．故选D．点评：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．5、（上海中考节选并改编）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系如图所示．求y关于x的函数表达式，并写出它的自变量的取值范围．解：设y与x的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0），由图象过点（10，10），（50，6），得所以y关于x的函数表达式为．6、通过电脑拨号上“因特网”的费用是由电话费和上网费两部分组成.以前我市通过“黄冈热线”上“因特网”的费用为电话费0.18元/3min，上网费为7.2元/小时.后根据信息产业部调整“因特网”资费的要求，自1999年3月1日起，我市上“因特网”的费用调整为电话费0.22元/3min，上网费为每月不超过60h，按4元/小时计算，超过60h部分，按8元/小时计算.（1）根据调整后的规定，将每月上“因特网”的费用y（元）表示为上网时间x(h)的函数；（2）资费调整前，网民晓刚在其家庭经济预算中，一直有一笔70h的上网费用支出，“因特网”资费调整后，晓刚要想不超过其家庭经济预算中的上网费用支出，他现在每月至多可上网多少小时？（3）从资费调整前后的角度分析，比较我市网民上网费用的支出情况.解：（1）当0≤x≤60时，当x＞60时，y＝60×4＋4.4x＋(x－60)×8＝12.4x－240.即调整后，每月上“因特网”的费用y与上网时间t的函数关系是：（2）资费调整前，上网70h所需费用为(3.6＋7.2)×70＝756(元).资费调整后，若上网60h，则所需费用为8.4×60＝504(元).因为756>504元，所以晓刚现在上网时间超过60h.由12.4x－240≤756，解得x≤80.32所以现在晓刚每月至多可上网约80.32h.（3）设调整前所需费用为y1(元)，调整后所需费用为y2(元).则y1＝10.8x，当0≤x≤60时，y2＝8.4x，10.8x＞8.4x，故y1＞y2；当x＞60时，y2＝12.4x－240，当y1＝y2时，11/ 11。

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二元一次方程（组）与一次函数（基础）【学习目标】1.理解二元一次方程与一次函数的关系；2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；3.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.【要点梳理】【高清课堂：391660 一次函数与一次方程（组），知识要点】要点一、二元一次方程与一次函数的关系1.任何一个二元一次方程(0,)ax by c a b c +=≠、为常数都可以变形为-(0,)a c y x a b c b b=+≠、为常数即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.2.我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程5x y +=我们列举出它的几组整数解有0,5;x y =⎧⎨=⎩5,0;x y =⎧⎨=⎩2,3x y =⎧⎨=⎩，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数y ＝5+-x 的图像上，反过来，在一次函数x y -=5的图像上任取一点，它的坐标也适合方程5x y +=.要点诠释：1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同.要点二、二元一次方程组与一次函数1. 二元一次方程组与一次函数每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.要点诠释：1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数5y x =-与21y x =-图象的交点为(2，3)，则23x y =⎧⎨=⎩就是二元一次方程组521x y x y +=⎧⎨-=⎩的解. 2.当二元一次方程组无解时，方程组中两方程未知数的系数对应成比例，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数35y x =-与31y x =+的图象就平行，反之也成立.3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.2. 图像法解二元一次方程组求二元一次方程组的解，可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标（即二元一次方程组的图像解法.）所以，解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种.要点诠释：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.要点三、用二元一次方程组确定一次函数表达式待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.利用待定系数法解决问题的步骤：1.确定所求问题含有待定系数解析式.2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程.3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.【典型例题】类型一、二元一次方程与一次函数1、一次函数的图象如图所示，则与此一次函数对应的二元一次方程为（）A．x﹣3y=3 B．x+3y=3 C．3x﹣y=1 D．3x+y=1【答案】A【解析】直线过点（3，0），（0，﹣1）．代入y=kx+b，得到二元一次方程组解方程组得到．∴一次函数解析式为，移向，并将系数化为1得到所对应的二元一次方程x﹣3y=3．【总结升华】每个二元一次方程都对应一个一次函数，因此当求出一次函数的解析式时即也就求出了相应二元一次方程.举一反三：【变式】已知3=x ，2-=y 和0=x ，1=y 是二元一次方程03=++by ax 的两个解，则一次函数b ax y +=的解析式为（ ）A.、32--=x y B 、x y = C.、3+-=x y D 、 33--=x y【答案】D类型二、二元一次方程组与一次函数2、（2016•临清市二模）如图，已知函数y=ax +b 和y=kx 的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组的解是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由图可知：两个一次函数的交点坐标为（﹣3，1）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【答案】C.【解析】解：函数y=ax +b 和y=kx 的图象交于点P （﹣3，1），即x=﹣3，y=1同时满足两个一次函数的解析式．所以关于x ，y 的方程组的解是．【总结升华】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．举一反三：【变式】（2015春•昌乐）在教学活动中我们知道，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，如图，已知直线y=ax ﹣6过点P （﹣4，﹣2），则关于x 、y 的方程组的解是 ．【答案与解析】解：∵x=﹣4时，y=x=﹣2，∴点P（﹣4，﹣2）在直线y=x上，∴方程组的解为．故答案为．3、（2014•东莞模拟）在同一坐标系中画出函数y=2x+1和y=﹣2x+1的图象，并利用图象写出二元一次方程组的解．【思路点拨】利用两点法作出两直线的图象，交点坐标即为方程组的解．【答案与解析】解：如图，两直线的交点坐标为（0，1），所以，方程组的解是．【总结升华】用一次函数图象解方程是解二元一次方程组的又一解法，反映了一次函数与二元一次方程组之间的联系，能直观地看到怎样用图形来表示方程组的解.类型三、用二元一次方程组确定一次函数表达式4、某游泳池内现存水1890（m3），已知该游泳池的排水速度是灌水速度的2倍．假设在换水时需要经历“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”的过程，其中游泳池内剩余的水量y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系如图所示．根据图象解答下列问题：（1）根据图中提供的信息，求排水的速度及清洗该游泳池所用的时间；（2）求灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式，写出函数的定义域．【思路点拨】（1）由图象可知，该游泳池5个小时排水1890（m3），根据速度公式求出即可，求出灌水的速度和时间即可求出清洗该游泳池所用的时间；（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b．将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b求出即可．【答案与解析】解：（1）∵由图象可知，该游泳池5个小时排水1890（m3），∴该游泳池排水的速度是1890÷5=378（m3/h），由题意得该游泳池灌水的速度是378×=189（m3/h），由此得灌水1890m3需要的时间是1890÷189=10（h），∴清洗该游泳池所用的时间是21﹣5﹣10=6（h），（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b．将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b，得，解得：k=189，b=﹣2079，即灌水过程中的y（m3）与时间t（h）之间的函数关系式是y=189t﹣2079，（11＜t≤21）．【总结升华】本题考查了一次函数的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．举一反三：【变式】为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm 40.0 37.0桌子高度ycm 75.0 70.2（1）请确定y与x的函数关系式？（2）现有一把高39cm的椅子和一张高为78.2的课桌，它们是否配套？为什么？【答案】解：（1）设y=kx+b．根据题意得．解得．∴y=1.6x+11；（2）椅子和课桌不配套．∵当x=39时，y=1.6×39+11=73.4≠78.2，∴椅子和课桌不配套．。