河北冀州中学2018届高三上学期期中考试(数学理A卷)试题Word版含答案
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2023-2024学年河北省衡水市冀州中学高三(上)期中数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列表示图中的阴影部分的是( )A .(A ∪C )∩(B ∪C ) B .(A ∪B )∩(A ∪C ) C .(A ∪B )∪(B ∪C )D .(A ∪B )∩C2.若复数z =1+i 2023(i 为虚数单位),则复数z 在复平面上对应的点所在的象限为( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.已知非零向量a →,b →满足|a →|=2|b →|,且(a →−b →)⊥b →,则a →与b →的夹角为( ) A .π6B .π3C .2π3D .5π64.函数f(x)=x 2log 42+x2−x的大致图象是( )A .B .C .D .5.将函数y =cos (2x +4π5)的图象上各点向右平行移动π2个单位长度,再把横坐标缩短为原来的一半,纵坐标伸长为原来的4倍,则所得到的图象的函数解析式是( ) A .y =4cos(4x −π5)B .y =4sin(4x +π5)C .y =4cos(4x −4π5) D .y =4sin(4x +4π5)6.已知数列{a n }的首项为1,D 是△ABC 边BC 所在直线上一点,且AC →=3(a n +1)AD →−(a n+1−2)AB →,则数列{a n }的通项公式为( ) A .3n ﹣2 B .3n +1﹣2 C .5×(−3)n−1−14D .5×(−3)n −147.已知正方形ABCD 的边长为2,将△ACD 沿AC 翻折到△ACD ′的位置,得到四面体D ′﹣ABC ,在翻折过程中,点D ′始终位于△ABC 所在平面的同一侧,且BD ′的最小值为√2,则点D 的运动轨迹的长度为( ) A .πB .2πC .2√2π3D .4√2π38.已知三角形ABC 中,BC =3,角A 的平分线交BC 于点D ,若BDDC =12,则三角形ABC 面积的最大值为( ) A .1B .2C .3D .4二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.下列命题中正确的是( )A .若a >0,b >0,a +b =1,则a 2+b 2≥12B .命题:“∀x ≥0,x 2≥0”的否定是“∃x <0,x 2<0”C .已知函数f (2x +1)的定义域为[﹣1,1],则函数f (x )的定义域为[﹣1,3]D .若函数f(√x −1)=x −3√x ,则f (x )=x 2﹣x ﹣2(x ≥﹣1)10.已知A ,B 是函数f(x)=tan(3x +π6)的图象与直线y =3的两个交点,则下列结论正确的是( )A .|AB|min =π3B .f (x )的定义域为{x ∈R|x ≠3kπ+3π2,k ∈Z} C .f (x )在区间(0,π6)单调递增D .f (x )的图象的对称中心为点(kπ6−π18,0),k ∈Z 11.已知数列{a n }的前n 项的和为S n ,S 1=4,S 2=8,4S n =S n +1+4S n ﹣1(n ≥2),则下列说法正确的是( ) A .S 4=32B .{a n +1﹣2a n }是等比数列C .a n ={4,n =12n+1−4,n ≥2D .a n ={4,n =12n,n ≥212.设函数f (x )的定义域为R ,且满足f (x )=f (2﹣x ),f (x )=﹣f (x +2),当x ∈(0,1]时,f (x )=e x ﹣2x ﹣1,则( ) A .f (x )是奇函数 B .f (2023)=e ﹣3C .f (x )的值域是[1﹣2ln 2,2ln 2﹣1]D .方程f (x )=3﹣e 在区间[0,2024]内恰有1518个实数解 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知等差数列{a n }满足a 1=4,a 3+a 5=a 42+1,则a 7= .14.已知函数f (x )的定义域为(﹣∞,+∞),y =f (x )+e x 为偶函数,y =f (x )﹣2e x 为奇函数,则f (x )的最小值为 .15.在三棱锥A ﹣BCD 中,∠ABD =∠ABC =60°,BC =BD =2,AB =4,则三棱锥A ﹣BCD 外接球的表面积为 .16.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知c =4,C =60°,BD →=DC →2+DA →,则DA →⋅DB→的最大值为 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知数列{a n }为等比数列,在数列{b n }中,b 1=2,b 2=4,且a n +1=a n (b n +1﹣b n ). (1)求数列{b n }的通项公式;(2)若a 1=1,c n =a n +b n ,求数列{c n }的前n 项和S n . 18.(12分)已知α∈(0,π),sinα+cosα=√62,且cos α<sin α.(1)求角α的大小;(2)已知函数f (x )=sin2x +2sin 2(x +α),若f (x )在区间(0,m )上有极大值,无极小值,求m 的取值范围.19.(12分)已知函数f(x)=−2a 2lnx +12x 2+ax(a ∈R).(1)当a =1时,求曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程; (2)讨论函数f (x )的单调性.20.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=√2,a n >0,a n +1•(S n +1+S n )=2. (1)求S n ;(2)求1S 1+S 2+1S 2+S 3+⋯+1S n +S n+1.21.(12分)如图,有一景区的平面图是一个半圆形,其中O 为圆心,直径AB 的长为2km ,C ,D 两点在半圆弧上,且BC =CD ,设∠COB =θ. (1)当θ=π6时,求四边形ABCD 的面积;(2)若要在景区内铺设一条由线段AB ,BC ,CD 和DA 组成的观光道路,则当θ为何值时,观光道路的总长l 最长,并求出l 的最大值.22.(12分)已知函数f (x )=sin 3x cos x ,f ′(x )为f (x )的导函数. (1)求f (x )在(0,2π)上的极值;(2)设n ∈N *,求证:sin 2x •sin 22x •sin 24x …sin 22nx ≤3n4n .2023-2024学年河北省衡水市冀州中学高三(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列表示图中的阴影部分的是( )A .(A ∪C )∩(B ∪C ) B .(A ∪B )∩(A ∪C ) C .(A ∪B )∪(B ∪C )D .(A ∪B )∩C解:图中阴影部分表示元素满足:是C 中的元素,或者是A 与B 的公共元素, 故可以表示为C ∪(A ∩B ), 也可以表示为:(A ∪C )∩(B ∪C ), 结合选项可知应为:(A ∪C )∩(B ∪C ). 故选:A .2.若复数z =1+i 2023(i 为虚数单位),则复数z 在复平面上对应的点所在的象限为( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解:因为z =1+i 2023=1﹣i ,所以z =1+i 在复平面上对应的点为(1,1),该点在第一象限. 故选:A .3.已知非零向量a →,b →满足|a →|=2|b →|,且(a →−b →)⊥b →,则a →与b →的夹角为( ) A .π6B .π3C .2π3D .5π6解:∵(a →−b →)⊥b →,∴(a →−b →)⋅b →=a →⋅b →−b →2=|a|→|b|→cos <a →,b →>−b →2=0, ∴cos <a →,b →>=|b|→2|a|→|b|→=|b|→22|b|→2=12,∵<a →,b →>∈[0,π],∴<a →,b →>=π3.故选:B . 4.函数f(x)=x 2log 42+x2−x的大致图象是( )A .B .C .D . 解:方法一:因为2+x2−x >0,即(x +2)•(x ﹣2)<0,所以﹣2<x <2,所以函数f(x)=x 2log 42+x2−x的定义域为(﹣2,2),关于原点对称, 又f(−x)=(−x)2log 42−x2+x=−f(x),所以函数f (x )是奇函数,其图象关于原点对称, 故排除B ,C ; 当x ∈(0,2)时,2+x 2−x>1,即log 42+x2−x >0,因此f (x )>0,故排除A .故选:D .方法二:由方法一,知函数f (x )是奇函数,其图象关于原点对称,故排除B ,C ; 又f(1)=12log 23>0,所以排除A .故选:D . 5.将函数y =cos (2x +4π5)的图象上各点向右平行移动π2个单位长度,再把横坐标缩短为原来的一半,纵坐标伸长为原来的4倍,则所得到的图象的函数解析式是( ) A .y =4cos(4x −π5)B .y =4sin(4x +π5)C .y =4cos(4x −4π5) D .y =4sin(4x +4π5) 解:由题意函数y =cos(2x +4π5)的图象上各点向右平移π2个单位长度,得到y =cos(2x −π+4π5)=cos(2x −π5),再把横坐标缩短为原来的一半,得到y =cos(4x −π5),再把纵坐标伸长为原来的4倍,得到y =4cos(4x −π5),考察四个选项知,A 是正确的 故选:A .6.已知数列{a n }的首项为1,D 是△ABC 边BC 所在直线上一点,且AC →=3(a n +1)AD →−(a n+1−2)AB →,则数列{a n }的通项公式为( ) A .3n ﹣2 B .3n +1﹣2 C .5×(−3)n−1−14D .5×(−3)n −14解:依题意,由B ,C ,D 三点共线,可得3(a n +1)﹣(a n +1﹣2)=1,化简整理,可得a n +1=3a n +4, 两边同时加2,可得a n +1+2=3a n +4+2=3(a n +2), ∵a 1+2=3,∴数列{a n +2}是以3为首项,3为公比的等比数列, ∴a n +2=3×3n−1=3n , ∴a n =3n −2,n ∈N *. 故选:A .7.已知正方形ABCD 的边长为2,将△ACD 沿AC 翻折到△ACD ′的位置,得到四面体D ′﹣ABC ,在翻折过程中,点D ′始终位于△ABC 所在平面的同一侧,且BD ′的最小值为√2,则点D 的运动轨迹的长度为( ) A .πB .2πC .2√2π3D .4√2π3解:设方形ABCD 对角线AC 与BD 交于O ,由题意,翻折后BD ′=√2时,△OD ′B 为边长为√2的等边三角形,此时∠D ′OB =π3,若继续翻折BD ′<√2,如下图示BD ′=√2,所以点D 的运动轨迹是以O 为圆心,√2为半径的圆心角为2π3的圆弧,所以点D的运动轨迹的长度为2π3×√2=2√2π3.故选:C.8.已知三角形ABC中,BC=3,角A的平分线交BC于点D,若BDDC=12,则三角形ABC面积的最大值为()A.1B.2C.3D.4解:因为角A的平分线交BC于点D,若BDDC=12,由角平分线的性质可得ABAC=BDDC=12,设AB=x,则AC=2x,BC=3,由余弦定理可得cos A=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=5x2−94x2,所以sin A=√(4x2)2−(5x2−9)24x2=√−9x4+90x2−814x2=3√−x4+10x2−94x2,所以S△ABC=12AB•AC•sin A=12•2x2•3√−x4+10x2−94x2=34•√−x4+10x2−9=34•√−(x2−5)2+16≤34•√16=3,当x2=5时,即x=√5时取等号.所以三角形ABC面积的最大值为3.故选:C.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列命题中正确的是()A.若a>0,b>0,a+b=1,则a2+b2≥12B.命题:“∀x≥0,x2≥0”的否定是“∃x<0,x2<0”C.已知函数f(2x+1)的定义域为[﹣1,1],则函数f(x)的定义域为[﹣1,3]D.若函数f(√x−1)=x−3√x,则f(x)=x2﹣x﹣2(x≥﹣1)解:对于A,由a>0,b>0,a+b=1,得b=1﹣a,且0<a<1,则a2+b2=a2+(1−a)2=2a2−2a+1=2(a−12)2+12,0<a<1,所以当a=12时,a2+b2取到最小值12,所以a2+b2≥12,故A正确;对于B,“∀x≥0,x2≥0”的否定是“∃x≥0,x2<0”,故B错误;对于C,f(2x+1)的定义域为[﹣1,1],设t=2x+1,当x∈[﹣1,1]时,t∈[﹣1,3],故f(x)的定义域为[﹣1,3],C正确;对于D ,令t =√x −1,则√x =t +1,t ≥﹣1,由f(√x −1)=x −3√x ,得f (t )=(t +1)2﹣3(t +1)=t 2﹣t ﹣2,t ≥﹣1, 所以函数f (x )的表达式为f (x )=x 2﹣x ﹣2,x ≥﹣1,D 正确. 故选:ACD .10.已知A ,B 是函数f(x)=tan(3x +π6)的图象与直线y =3的两个交点,则下列结论正确的是( )A .|AB|min =π3B .f (x )的定义域为{x ∈R|x ≠3kπ+3π2,k ∈Z} C .f (x )在区间(0,π6)单调递增D .f (x )的图象的对称中心为点(kπ6−π18,0),k ∈Z 解:因为A ,B 是函数f(x)=tan(3x +π6)的图象与直线y =3的交点,所以|AB |的最小值为函数f (x )的最小正周期,T =π3,所以|AB|min =π3,故A 正确;令3x +π6≠π2+kπ,k ∈Z ,解得x ≠π9+kπ3,k ∈Z ,所以f (x )的定义域为{x ∈R|x ≠π9+kπ3,k ∈Z},故B 错;因为x ∈(0,π6),所以3x +π6∈(π6,2π3),因为函数y =tan x 在(π6,2π3)上不单调,所以函数f (x )在(0,π6)上不单调,故C 错;令3x +π6=kπ2,k ∈Z ,解得x =−π18+kπ6,k ∈Z ,所以f (x )的对称中心为点(−π18+kπ6,0),k ∈Z ,故D 正确. 故选:AD .11.已知数列{a n }的前n 项的和为S n ,S 1=4,S 2=8,4S n =S n +1+4S n ﹣1(n ≥2),则下列说法正确的是( ) A .S 4=32B .{a n +1﹣2a n }是等比数列C .a n ={4,n =12n+1−4,n ≥2D .a n ={4,n =12n ,n ≥2解:由题意可知S 3=4S 2﹣4S 1=16,所以S 4=4S 3﹣4S 2=32,故A 正确; 因为a 3﹣2a 2=S 3﹣S 2﹣2(S 2﹣S 1)=S 3﹣3S 2+2S 1=0, 所以{a n +1﹣2a n }不能是等比数列,故B 错误;因为4S n =S n +1+4S n ﹣1(n ≥2),即S n +1=4S n ﹣4S n ﹣1(n ≥2),所以S n+1−2S n =21(S n −2S n−1)=22(S n−1−2S n−2)=⋯=2n (S 2﹣2S 1)=0, 所以S n +1﹣2S n =0,即S n+1S n=2,又因为S 2S 1=84=2,所以{S n }是以2为首项,4为公比的等比数列,所以S n =4×2n−1=2n+1,所以a 1=S 1=4,a n =S n −S n−1=2n+1−2n =2n (n ≥2), 即a n ={4,n =12n ,n ≥2,故选项C 错误;D 正确.故选:AD .12.设函数f (x )的定义域为R ,且满足f (x )=f (2﹣x ),f (x )=﹣f (x +2),当x ∈(0,1]时,f (x )=e x ﹣2x ﹣1,则( ) A .f (x )是奇函数 B .f (2023)=e ﹣3C .f (x )的值域是[1﹣2ln 2,2ln 2﹣1]D .方程f (x )=3﹣e 在区间[0,2024]内恰有1518个实数解解:函数f (x )的定义域为R ,关于原点对称,因为f (x )=f (2﹣x ),所以f (﹣x )=f (x +2), 又因为f (x +2)=﹣f (x ),所以f (﹣x )=﹣f (x ),所以f (x )是奇函数,A 正确; 由f (x )=﹣f (x +2),得f (x +4)=﹣f (x +2)=f (x ),所以f (x )以4为周期,因为f (2023)=f (4×506﹣1)=f (﹣1)=﹣f (1)=3﹣e ,所以f (2023)=3﹣e ,故B 错误; 因为当x ∈(0,1]时,f (x )=e x ﹣2x ﹣1,所以f ′(x )=e x ﹣2, 当0<x <ln 2时,f ′(x )<0,当ln 2<x ≤1时,f ′(x )>0, 所以f (x )在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,1)上单调递增,所以f (x )min =f (ln 2)=1﹣2ln 2,又f (1)=e ﹣3<0,所以f (x )∈[1﹣2ln 2,0). 因为f (x )为奇函数,所以当x ∈[﹣1,0]时,f (x )∈[0,2ln 2﹣1],因为f (x )的图象关于直线x =1对称,所以当x ∈[﹣1,3]时,f (x )∈[1﹣2ln 2,2ln 2﹣1], 因为f (x )的周期为4,所以当x ∈R 时,f (x )∈[1﹣2ln 2,2ln 2﹣1],故C 正确; 方程f (x )=3﹣e 的解的个数,即y =f (x )的图象与y =3﹣e 的图象交点个数. 因为y =f (x )的周期为4,且当x ∈[0,4]时,y =f (x )与y =3﹣e 有3个交点, 所以当x ∈[0,2024]时,y =f (x )与y =3﹣e 有20244×3=1518个交点,故D 正确.故选:ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知等差数列{a n}满足a1=4,a3+a5=a42+1,则a7=﹣2.解:在等差数列{a n}中,∵等差数列{a n}满足a1=4,a3+a5=a42+1,又a3+a5=2a4,∴a42−2a4+1=0,解得a4=1,又a1=4,而a1+a7=2a4,解得a7=﹣2.故答案为:﹣2.14.已知函数f(x)的定义域为(﹣∞,+∞),y=f(x)+e x为偶函数,y=f(x)﹣2e x为奇函数,则f(x)的最小值为√3.解:y=f(x)+e x是偶函数,所以f(﹣x)+e﹣x=f(x)+e x,y=f(x)﹣2e x是奇函数,所以f(﹣x)﹣2e﹣x=﹣f(x)+2e x,两式联立解得f(x)=12e x+32e−x,由基本不等式得f(x)=12e x+32e−x≥12×2√e x⋅3e−x=√3,当且仅当e x=3e﹣x,即x=ln√3时,等号成立,因此f(x)的最小值是√3.故答案为:√3.15.在三棱锥A﹣BCD中,∠ABD=∠ABC=60°,BC=BD=2,AB=4,则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为16 π.解:由∠ABD=∠ABC=60°,BC=BD=2,AB=4,根据余弦定理可得 AC =AD =2√3, 则 AC ⊥BC ,AD ⊥BD ,取AB 中点O ,则OA =OB =OC =OD , 则三棱锥A ﹣BCD 外接球的直径为AB =4, 故三棱锥A ﹣BCD 外接球的表面积为4π⋅(AB 2)2=16π. 故答案为:16π.16.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知c =4,C =60°,BD →=DC→2+DA →,则DA →⋅DB→的最大值为 −8825. 解:由题意,BD →=DC →2+DA →=32DC →+CA →=−32CD →+CA →,BD →=BC →+CD →,消去BD →得:CD →=25(CA →+CB →),因为DA →⋅DB →=(DC →+CA →)⋅(DC →+CB →)=(35CA →−25CB →)⋅(35CB →−25CA →)=−625(a 2+b 2)+1325abcos60°,由cos60°=a 2+b 2−162ab,得a 2+b 2=ab +16≥2ab ,当且仅当a =b 时等号成立,所以0<ab ≤16, 所以原式=−625(16+ab)+1350ab =150ab −9625≤−8825. 故答案为:−8825.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知数列{a n }为等比数列,在数列{b n }中,b 1=2,b 2=4,且a n +1=a n (b n +1﹣b n ). (1)求数列{b n }的通项公式;(2)若a 1=1,c n =a n +b n ,求数列{c n }的前n 项和S n . 解:(1)设数列{a n }的公比为q , 由a n +1=a n (b n +1﹣b n ),知b n +1﹣b n =a n+1a n=q ,为常数,所以数列{b n }是等差数列,设其公差为d , 由b 1=2,b 2=4,知d =2,所以b n =2+(n ﹣1)×2=2n ,且q =2, 故数列{b n }的通项公式为b n =2n . (2)由(1)知a n+1a n=2,若a 1=1,则a n =2•2n ﹣1=2n , 所以c n =a n +b n =2n +2n ,所以S n =(21+2)+(22+4)+(23+6)+…+(2n+2n )=(21+22+23+ (2))+(2+4+6+…+2n )=2−2n⋅21−2+n(2+2n)2=2n +1﹣2+n 2+n . 18.(12分)已知α∈(0,π),sinα+cosα=√62,且cos α<sin α.(1)求角α的大小;(2)已知函数f (x )=sin2x +2sin 2(x +α),若f (x )在区间(0,m )上有极大值,无极小值,求m 的取值范围.解:(1)因为sinα+cosα=√62,所以(sinα+cosα)2=1+sin2α=32,则sin2α=12,因为α∈(0,π), 所以2α∈(0,2π), 则2α=π6或2α=5π6,解得α=π12或α=5π12, 因为cos α<sin α, 所以α=5π12; (2)由(1)知f(x)=sin2x +2sin 2(x +5π12)=sin2x +1−cos(2x +5π6) =32sin2x +√32cos2x +1=√3sin(2x +π6)+1, 当x ∈(0,m )时,2x +π6∈(π6,2m +π6),因为f(x)在区间(0,m)上有极大(最大)值,无极小(最小)值,所以π2<2m+π6≤3π2,解得π6<m≤2π3,则m的取值范围为(π6,2π3].19.(12分)已知函数f(x)=−2a2lnx+12x2+ax(a∈R).(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.解:(1)当a=1时,f(x)=−2lnx+12x2+x,f′(x)=−2x+x+1,f′(1)=−2+1+1=0,f(1)=32,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=3 2.(2)f′(x)=x2+ax−2a2x=(x+2a)(x−a)x,①当a=0时,f′(x)=x>0,所以函数在(0,+∞)上单调递增;②当a>0时,令f′(x)=0,则x1=﹣2a(舍)或x2=a,f′(x)<0,0<x<a,当x∈(0,a)时,函数f(x)单调递减;f′(x)>0,x>a,当x∈(a,+∞)时,函数f(x)单调递增.③当a<0时,令f′(x)=0,则x1=﹣2a或x2=a(舍),f′(x)<0,0<x<﹣2a,当x∈(0,﹣2a)时,函数f(x)单调递减;f′(x)>0,x>﹣2a,当x∈(﹣2a,+∞)时,函数f(x)单调递增.综上所述:当a=0时,函数在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,函数f(x)在(0,a)上单调递减,函数f(x)在(a,+∞)上单调递增;当a<0时,函数f(x)在(0,﹣2a)上单调递减,函数f(x)在(﹣2a,+∞)上单调递增.20.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=√2,a n>0,a n+1•(S n+1+S n)=2.(1)求S n;(2)求1S1+S2+1S2+S3+⋯+1S n+S n+1.解:(1)a1=√2,a n>0,a n+1•(S n+1+S n)=2,可得(S n+1﹣S n)(S n+1+S n)=2,可得S n+12﹣S n2=2,即数列{S n2}为首项为2,公差为2的等差数列,可得S n2=2+2(n﹣1)=2n,由a n>0,可得S n=√2n;(2)1S n+S n+1=√2n+√2(n+1)=√22(√n+√n+1)=√22(√n+1−√n),即有1S1+S2+1S2+S3+⋯+1S n+S n+1=√22(√2−1+√3−√2+2−√3+⋯+√n+1−√n)=√22(√n+1−1).21.(12分)如图,有一景区的平面图是一个半圆形,其中O为圆心,直径AB的长为2km,C,D两点在半圆弧上,且BC=CD,设∠COB=θ.(1)当θ=π6时,求四边形ABCD的面积;(2)若要在景区内铺设一条由线段AB,BC,CD和DA组成的观光道路,则当θ为何值时,观光道路的总长l最长,并求出l的最大值.解:(1)连结OD,则∠COD=π6,∠AOD=2π3,所以四边形ABCD的面积为S四边形ABCD=S四边形OBCD+S△AOB=2×12×1×1×sinπ6+12×1×1×sin2π3=2+√34(km2);(2)由题意,在△BOC中,∠OBC=π−θ2,由正弦定理得BCsinθ=OBsinπ−θ2=1cosθ2,所以BC=CD=sinθcosθ2=2sinθ2,同理在△AOD中,∠OAD=θ,∠DOA=π﹣2θ,由正弦定理得DAsin(π−2θ)=ODsinθ,所以DA=sin2θsinθ=2cosθ,所以l=2+4sin θ2+2cosθ=2+4sinθ2+2(1−2sin2θ2),0<θ<π2;令t =sin θ2(0<t <√22),所以l =2+4t +2(1−2t 2)=4+4t −4t 2=−4(t −12)2+5,当t =12时,即θ=π3,l 的最大值为5.22.(12分)已知函数f (x )=sin 3x cos x ,f ′(x )为f (x )的导函数. (1)求f (x )在(0,2π)上的极值;(2)设n ∈N *,求证:sin 2x •sin 22x •sin 24x …sin 22nx ≤3n4n .解:(1)已知函数f (x )=sin 3x cos x ,因为f (x +π)=sin 3(x +π)cos (x +π)=sin 3x cos x =f (x ) 所以π是函数f (x )的周期,可得f ′(x )=3sin 2x cos 2x ﹣sin 4x =sin 2x (4cos 2x ﹣1), 当0<x <π3时,f ′(x )>0,f (x )单调递增;当π3<x <2π3时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当2π3<x <π时,f ′(x )>0,f (x )单调递增,所以f (x )在(0,π)上的极小值为−3√316,极大值为3√316, 由周期性可知函数f (x )在(π,2π)上的极小值为−3√316,极大值为3√316, 且函数f (x )在(2π3,π)上单调递增,(π,4π3)上单调递增, 因为f (x )是基本初等函数,一定连续, 所以x =π不是f (x )的极值点, 故f (x )在(0,2π)上的极小值为−3√316,极大值为3√316; (2)证明:易知f (0)=0,由(1)知f(x)=sin 3xcosx =12sin 2xsin2x ∈[−3√316,3√316],所以0≤|sin 2xsin2x|≤3√38,则|sin2x⋅sin22x⋅sin24x⋯sin22n x|=|(sin3x⋅sin32x⋅sin34x⋯sin32n x)2 3|=[|sinx||sin2xsin2x|⋯|sin22n x|]23≤(|sinx|×3√38×⋯×|sin22n x|)23≤[(3√38)n]23=(34)n=3n4n,故sin2x⋅sin22x⋅sin24x⋯⋯sin22n x≤3n4n成立.。
2017-2018学年一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1、已知3(,)32y M x y x ⎧-⎫==⎨⎬-⎩⎭,{(,)|20}N x y ax y a =++=且M N =∅,则a =( )A .6-或2-B .6-C .2或6-D .2【答案】A考点:1、集合的表示方法;2、集合的交集. 2、下列有关的说法错误的是( )A .“若2320x x -+=,则1x =”的逆否为:“若1x ≠,则2320x x -+≠” B .“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件 C .若p q ∧为假,则p 、q 均为假D .对于:p x R ∃∈,使得210x x ++<.则:p x R ⌝∀∈,均有210x x ++≥ 【答案】C【解析】试题分析:“若2320x x -+=,则1x =” 的逆否为“若1,x ≠则2320x x -+≠” 故A 为真;“1x =” 是“2320x x -+=” 的充分不必要条件,故B 为真;若p q Λ为假,则p 、q 存在至少一个假,但p 、q 不一定均为假,故C 为假;:,p x R ∃∈使得210,x x ++<则非:,p x R ∀∈均有210,x x ++≥故D 为真.故选C .考点:1、四种;2、充要条件.3、已知复数Z =,Z 是Z 的共轭复数,则Z Z ⋅=( ) A .12B .14C .4D .1【答案】D 【解析】试题分析:()()()11443ii z i i i ----====-++-,∴2.1,z z i=-=故选 D.考点:1、复数代数形式的乘除运算;2、共轭复数.4、已知向量(2,8)a b +=-,(8,16)a b -=-,则a 与b 夹角的余弦值为( ) A.6365B .6365-C .6365±D .513【答案】B考点:1、向量的坐标表示;2、求两个向量的数量积.5、如图,设D 是途中边长分别为1和2的矩形区域,E 是D 内位于函数1(0)y x x=>图象下方的阴影部分区域,则阴影部分E 的面积为( ) A .ln 2B .1ln 2-C .2ln 2-D .1ln 2+【答案】D 【解析】试题分析:由题意,阴影部分E 由两部分组成,因为函数1(0),y x x=>当2y =时,1,2x =所以阴影部分E 的面积为1111221121ln 1ln 2,2dx x x ⨯+=+=+⎰故选D .考点:利用定积分在曲边形的面积.6、设函数3()4f x x x a =-+(02)a <<有三个零点1x 、2x 、3x ,且123x x x <<,则下列结论正确的是( ) A .11x >- B .20x <C .201x <<D .32x >【答案】C考点:1、利用导数研究函数单调性;2、零点的分布. 7、函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图示,则将()y f x =的图象向 右平移6π个单位后,得到图象解析式为( ) A .sin 2y x = B .cos y x =C .sin(2)3y x π=+D .sin(2)6y x π=-【答案】D考点:1、三角函数()y Asin ωϕ=+的图象变换;2、三角函数的图象和性质. 8、已知函数2()cos()f n n n π=,且()(1)n a f n f n =++,则123100a a a a ++++=( )A .0B .100-C .100D .10200【答案】B 【解析】试题分析:()()()()222n c o s n fn n n n π⎧-⎪==⎨⎪⎩为奇数n 为偶数()21,nn =-由()()1n a f n f n =++()()()()()1222211111n n n n n n n +⎡⎤=-+-+=--+⎣⎦()()1121n n +=-+得123100...a a a a ++++=()()()3579...502100,+-++-+=⨯-=-故选B.考点:1、分段函数的解析式求法及其图象;2、数列求和.9、ABC ∆的外接圆的圆心为O ,半径为1,2AO AB AC =+且OA AB =,则向量BA 在向量BC 方向上的投影为( )A .12B .2C .12-D .2-【答案】A 【解析】 试题分析2,AO AB AC =+20,OA AB AC ∴++=0,OA AB OA AC ∴+++=OB OC ∴=-,,,O B C ∴共线,C B 为直径,AB AC∴⊥,OA AB =1,OA AB ∴==可得2,BC =()1,BA BC BA AC AB BA AC BA AB ∴=-=-=∴向量BA 在向量BC 方向上的投影为BA BC BC=12,故选A. 考点:1、向量的概念及几何意义;2、向量的运算. 10、 定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0,()(1)(2),0,x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩则(2015)f 的值为( ) A .1- B .0C .1D .2【答案】 C考点:1、分段函数的应用;2、函数的单调性.11、已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为l ,点1(,2)n n a a +在l 上,且11a =,则8a =( ) A .72-B .4-C .92-D .52-【答案】D 【解析】 试题分析:()()22288,f x f x x x =--+-()()1211,f f ∴=-()11,f ∴=()()'2'228,f x f x x =---+()()'12'16,f f ∴=-+()'12,f ∴=根据导数的几何意义可得,曲线()y f x =在点()()1,1f处的切线斜率()'12,k f ==∴过()1,1的切线方程为:()121y x -=-即21,y x =-所以1(,2)n n a a +满足1221n n a a +=-,即{}n a 是以11a =为首项,公差12d =-的等差数列,8a =117()2+⨯-=52-,故选D. 考点:1、利用导数求切线斜率;2、等差数列的通项.【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线方程及等差数列求通项,属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率,主要体现在以下几个方面:① 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=;② 已知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=;③ 已知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.本题是根据①求出切线方程后,再利用等差数列求通项的.12、 已知函数13()ln 144f x x x x=-+-,2()24g x x bx =-+,若对任意1(0,2)x ∈,存在2[1,2]x ∈,使12()()f x g x ≥,则实数b 的取值范围是( ) A .17(2,]8B .[1,)+∞C .17[,)8+∞D . [2,)+∞【答案】C考点:1、利用导数求最值;2、二次函数在闭区间上的最值.【方法点睛】本题主要考查利用导数求最值及二次函数在闭区间上的最值,属于难题. 二次函数()2y f x ax bx c ==++(0)a >在区间[],m n 上的最小值的讨论方法:① 当2bm a-≤时, ()()min ;f x f m =② 当2bn a-≥时,()()m i n;f x f n =③2bm n a<-< 时,()m i n()2bf x f a=-.本题讨论()g x 的最小值时就是按这种思路进行的. 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每题5分,满分20分.)13、过函数32()325f x x x x =-++图像上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围【答案】30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭考点:1、利用导数研究曲线上某点处切线方程;2、已知斜率围求倾斜角的范围. 14、 如图,将全体正整数排成一个三角形数阵:根据以上排列规律,数阵中第n (3)n ≥行的从左至右的第3个数是 .【答案】262n n -+【解析】试题分析:前n 1-行共有123...++++1n -=(1)2n n -(3)n ≥个数,所以第3个数是 ()216322n n n n --++=.故答案为262n n -+.考点:1、合情推理与演绎推理;2等差数列求和.15、已知函数()y f x =是定义在R 上的增函数,函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称,若对任意的,x y R ∈,不等式22(621)(8)0f x x f y y +++-<恒成立,则【答案】()3,7考点:1、函数的奇偶性及函数的单调性;2、圆的几何性质.【思路点睛】本题主要考查函数的奇偶性、函数的单调性、圆的几何性质,属于难题。
河北省冀州中学2007-2008学年度高三数学上学期期中考试试题(理科)考试时间120分钟 试题分数150分一、选择题1.计算:2(2)(1)12i i i+-=-A .-2B .2C .2iD .-2i2.设集合M ={}0x x m -≤,{|21,}x N y y x R ==-∈,若M∩N =φ,则实数m 的取值范围是 A .1-≥mB .1->mC . 1-<mD .1-≤m3.若函数)(x g 的图象与函数2()(2)(2)f x x x =-≤的图象关于直线0x y -=对称,则()g x =A2)x ≥-B.20)x ≥ C2)x ≤ D.20)x ≥4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若4518a a =-,则8S 等于A .72B .54C .36D .185.若122()log ,();(),,2a bf x x A f B f C f a b a b ab +====+为正实数,则A ,G , H 的大小关系为 A .C ≥B ≥AB .A≥C ≥BC .A≥B ≥CD .B ≥C ≥A6.不等式(0x -的解集为 A .),1[∞+B .}2{),1[-∞+C .)1,2[-D .),2[∞+-7.如果把直线x -2y +λ=0向左平移1个单位,直向下平移2个单位,使圆22240x y x y ++-=与它相切,则实数λ的值是A.-13或13B.13或-3C.13或3D.-13或-38.已知A 、B 、C 是△ABC 的三个顶点,ABC CA BC CB AB AC AB AB ∆⋅+⋅+⋅=则,2为A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .既非等腰又非直角三角形9.定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数(),(0,)f x +∞在上为增函数,当0x >时,()f x 的图象如图所示. 则不等式[()()]0x f x f x --<的解集是( )A .(-3,0)∪(3,+∞)B .(-∞,-3)∪(0,3)C .(-∞,-3)∪(3,+∞)D .(-3,0)∪(0,3)10.若直线1y kx =+与圆2240x y kx my +++-=交于M 、N 两点,并且M 、N 关于直线0x y +=对称,则不等式组1000kx y kx my y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是A .41B .21C .1D .211.若曲线4()f x x x =-在点P 处的切线平行于直线30x y -=,则点P 的坐标为A .(1,-3)B .(1,5)C .(1,0)D .(-1,2)12.非零向量,OA a OB b ==,若点B 关于OA 所在直线的对称点为1B ,则向量1OB 为 A .2()||a b a ba - B .2ab -C .22()||a b a b a - D .22()||a b ab a - 二、填空题13.正奇数集合{1,3,5,…},现在由小到大按第n 组有(2n -1)个奇数进行分组: {1},{3,5,7},{9,11,13,15,17},…(第一组) (第二组) (第三组)则2007位于第 组中.14.集合A={(,x y ) |224x y +=},B={(,x y )|222(3)(4)x y r -+-=其中0r >},若A ∩B 中有且仅有一个元素,则r 的值是 . 15.给出下列命题:①过一点与已知曲线相切的直线有且只有一条。
河北冀州中学2017-2018学年上学期第一次月考 高三年级数学(往理)试题考试时间 120分钟 试题分数 150分一、选择题:(本题共12小题,每题5分,共60分,在每题给出的四个选项中只有一项是符合要求的) 1、已知集合A ,B 均为全集{}1,2,3,4U =的子集,且{}()4U C A B = ,{}1,2B = , 则U A C B = ( ) A .{3}B .{4}C .{3,4}D .∅2、已知p :∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0,则⌝p 是( ) A. ∃x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 B.∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 C. ∃x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 D. ∀x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<03、已知集合A{x| 2x -3x +2=0,x ∈R } , B={x|0<x <5,x ∈N },则满足条件 A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 44、函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值 分别是 ( ) A .2,3π-B .2,6π-C .4,6π-D .4,3π5、0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件6、设P 和Q 是两个集合,定义集合P Q +={|x x P ∈或x Q ∈且x P Q ∉ }若{}2|340P x x x =--≤, {}22|log (215)Q x y x x ==--,那么P Q +等于( )A.[]1,4-B.(,1][4,)-∞-+∞C.(3,5)-D.(,3)[1,4](5,)-∞--+∞7、设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos C +c cos B =a sin A ,则△ABC 的形状为( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不确定8.函数y =sin(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0且|φ|<π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,2π3上单调递减,且函数值从1减小到-1,那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )A.12B.22C.32 D.6+249、在△ABC 中,A =120°,b =1sin sin sin b c aB C A ----=( )A.2393 B .393C .27D .4710、已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6=-33,则cos x +cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π3的值是( )A .-233B .-1C .±233D .±111、在△ABC 中,222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-,则A 的取值范围是 ( )A.(0,]6πB.[,)6ππC.(0,]3πD.[,)3ππ 12、在△ABC 中,①若B =60 ,a =10,b =7,则该三角形有且有两解;②若三角形的三边的比是3:5:7,则此三角形的最大角为120 ;③若△ABC 为锐角三角形,且三边长分别为2,3,x .则x x <<数是 ( )A.0B.1C.2D.3二、填空题:(共4小题,每小题5分,共20分)13. 若集合{x|ax 2+2x +1=0}与集合{x 2-1=0}的元素个数相同,则实数a 的取值集合为__________.14.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______. 15.下列四个:①0x R ∃∈使00sin cos 2x x +=②对1,sin 2sin x R x x∀∈+≥;③对0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭,1tan 2tan x x +≥;④0x R ∃∈,使00sin cos x x +=其中正确的序号为________. 16. 在ABC ∆中,tan2sin 2A BC +=,若1AB =,则ABC ∆周长的取值范围 三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本题10分)已知向量,0)a x = ,(0,sin )b x =记函数2()()f x a b x =++ .求:(I)求函数()f x 的最小值及取得小值时x 的集合; (II)函数()f x 的单调递增区间.18.(本题12分)已知实数0a >,p :x R ∃∈,|sin |x a >有解;q :3,44x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,2sin sin 10x a x +-≥. (1) 写出q ⌝;(2) 若p 且q 为真, 求实数a 的取值范围.19. (本小题满分12分) 集合{}|23100A x x x =--≤, 集合{}|121B x m x m =+≤≤-.(1) 若B ÍA ,求实数m 的取值范围;(2) 当x ∈R 时,没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,求实数m 的取值范围. 20.(本小题满分12分)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,设S 为△ABC 的面积,满足)(222-+43=b c a S . (Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若3=b ,设x A =,c a y 2+13=)(-,求函数)(x f y =的解析式和最大值.21.(本小题满分12分)如图,在等腰直角三角形OPQ ∆中,90OPQ ∠=︒,OP =点M 在线段PQ 上.(1)若OM =求PM 的长;(2)若点N 在线段MQ 上,且30MON ∠=︒,问:当POM ∠取何值时, OMN ∆的面积最小?并求出面积的最小值.22.(本小题满分12分)函数f (x )=1-2a -2a cos x -2sin 2x 的最小值为g (a )(a ∈R). (1)求g (a );(2)若g (a )=12,求a 及此时f (x )的最大值.高三往届数学月一参考答案一、选择题:A 卷 A C D A B D B A C B C CB 卷C A B B AD C B D C A C二、填空题:13、{}0,1 14、、(3)(4) 16、(2,3] 三、解答题:17、解:(Ⅰ)x x f 2sin 3)()(2++=b a212cos 2cos 222x x x x =++=++=2)6π2sin(2++x , (3分) 当且仅当23ππ26π2+=+k x ,即32ππ+=k x )(Z ∈k 时,()0f x =min ,此时x 的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x π,32π| (6分) (Ⅱ)由)(2ππ26π22ππ2Z ∈+≤+≤k k x k -,所以)(6ππ3ππZ ∈+≤≤k k x k -, 所以函数()f x 的单调递增区间为)](6ππ,3ππ[Z ∈+k k k - (10分)18、解:(1) Øq :$x ∈⎣⎡⎦⎤π4,3π4,sin 2x +asinx -1<0; (2分)(2) p 且q 为真,则p 、q 同时为真,由于实数a>0,则 p :0<a<1; (4分)q :x ∈⎣⎡⎦⎤π4,3π4时,sinx ∈⎣⎡⎦⎤22,1,则由sin 2x +asinx -1≥0得a ≥1sinx -sinx ,令t =sinx ,则t ∈⎣⎡⎦⎤22,1, (8分) 函数f(t)=1t -t 在区间(0,+∞)上为减函数,则当t ∈⎣⎡⎦⎤22,1时,f(t)=1t -t ≤f ⎝⎛⎭⎫22=22,要使a ≥1sinx -sinx 在x ∈⎣⎡⎤π4,3π4上恒成立,则a ≥22. (10分)综上可知,22≤a<1. (12分)19、解:(1) 当m +1>2m -1即m <2时,B =Æ满足B ÍA ; (2分)当m +1≤2m -1即m ≥2时,要使B ÍA 成立,则⎩⎪⎨⎪⎧m +1≥-2,2m -1≤5,解得2≤m ≤3.综上所述,当m ≤3时有B Í A. (6分)(2) 因为x ∈R ,且A ={x|-2≤x ≤5},B ={x|m +1≤x ≤2m -1},又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,则① 若B =Æ,即m +1>2m -1,得m <2时满足条件; (8分)② 若B ≠Æ,则要满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤2m -1,m +1>5,解得m >4;或⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤2m -1,2m -1<-2,无解.综上所述,实数m 的取值范围为m <2或m >4. (12分) 20解:(Ⅰ)由已知及三角形面积公式和余弦定理得B ac B ac cos sin 2⋅43=21 ∴3=B t a n ,又)(π,0∈B ……4分 所以3=πB ……5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知3=πB ,△ABC 的内角和π=++C B A ,又0>0>C A ,得32<<0πA . …6分 由正弦定理,知xx A B b a sin sin sin sin sin 2=33==, )s i n (s i n s i n x C B b c -322==π…8分 所以c a y 2+13=)(-)32sin(4sin 1-32x x -+=π)(x x cos 32sin 32+= ))(sin(32<<04+62=ππx x ……10分当2=4+ππx ,即4=πx 时,y 取得最大值62 ……12分21、解:(Ⅰ)在OMP ∆中,45OPM ∠=︒,OM =OP =,由余弦定理得,2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒, 得2430MP MP -+=,解得1MP =或3MP =. (4分) (Ⅱ)设POM α∠=,060α︒≤≤︒, 在OMP ∆中,由正弦定理,得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠, 所以()sin 45sin 45OP OM α︒=︒+, 同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+ (6分)故1sin 2OMN S OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠ ()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+ ()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒=====(10分)因为060α︒≤≤︒,30230150α︒≤+︒≤︒,所以当30α=︒时()sin 230α+︒的最大值为1,此时OMN ∆的面积取到最小值.即230POM ∠=︒时,OMN ∆的面积的最小值为8-(12分)22.(1) f (x )=1-2a -2a cos x -2sin 2x =1-2a -2a cos x -2(1-cos 2x )=2cos 2x -2a cos x -(2a +1)=2⎝⎛⎭⎪⎫cos x -a 22-a 22-2a -1.这里-1≤cos x ≤1. (2分)①若-1≤a 2≤1,即-2≤a ≤2,则当cos x =a 2时,f (x )min =-a 22-2a -1②若a 2>1,则当cos x =1时,f (x )min =1-4a ; ③若a2<-1,则当cos x =-1时,f (x )min =1.因此g (a )=⎩⎪⎨⎪⎧1 (a <-2)-a22-2a -1 (-2≤a ≤2)1-4a (a >2)(8分).(2)∵g (a )=12.∴①若a >2,则有1-4a =12,得a =18,矛盾;②若-2≤a ≤2,则有-a 22-2a -1=12,即a 2+4a +3=0,∴a =-1或a =-3(舍). ∴g (a )=12时,a =-1. 此时f (x )=2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x +122+12,当cos x =1时,f (x )取得最大值为5. (12分)。
试卷类型:A卷 冀州市中学 2011—2012学年度上学期期中 高三年级应届数学试题(理) 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分). 1.复数=( ) A.-3-4i B.-3+4iC.3-4i D.3+4i.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值是 ()A.8B.6C.4D.3 的图像, 只需把函数 的图像( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度 4、如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,俯视图是半径为1的半圆,则该几何体的体积是 ( ) A.... O5下列命题错误的是( ) A对于命题,使得,则为:,均有 B命题“若,则”的逆否命题为“若, 则” C若为假命题,则均为假命题 D “”是“”的充分不必要条件 .若函数在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是( ) A.[1,+∞) B.[1,)C.[1,2) D.[,2).等差数列{}的前n项和为,若=2,=10,则等于( ) A.12 B.18C.24 D.42 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC=,D、E分别是AC1和BB1的中点,则直线DE与平面BB1C1C所成的角为 ( ) A. B. C. D. 9.对实数和,定义运算“”:设函, .若函数的图象与轴恰有两个公共点,则的取值范围是. . . . 在内有极小值,则实数的取值范围是 A. B. C. D. 11.已知函数,则( ) A.函数最小值是-1,最大值是0B.函数最小值是-4,无最大值 C.函数无最小值,最大值是0D.函数最小值是-4,最大值是0 的定义域为,且,为的导函数,函数的图象如右图所示.若正数,满足,则的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
将正确答案写在答题纸上。
河北省冀州中学上学期高三数学理科期中考试卷新课标 人教版考试时间 120 分钟试题分数 150 分命题人:方明申一、选择题:在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项切合题目要求的,请把正确答案的代号涂在答题卡上(每题5 分,共 60 分)1.已知 M{ y | yx1} ,N {( x, y) | x 2y 2 1} ,则会合 MN 中元素的个数是A . 0B . 1C . 2D .不确立2.已知函数 f (x) x sinx ,若 A, B 是锐角三角形两个内角,则A .A >C >B B .A >B >C C .B >C >AD .C >B >A11.设 p :1<1,q :|x| > 1,则 p 是 q 的xA .充足不用要条件B .必需不充足条件C .充要条件D.既不充足也不用要条件12.在股票买卖过程中,常常用到两种曲线,一种是即市价钱曲线y f (x) ,另一种是均匀价钱曲线 yg(x) ( 如 3 = f (2) 是指开始买卖后2 个小时的即时 价钱为3 元 ; 3 = g 表示 2个小时内的均匀价钱为 3元 ).以下图给出的四(2)A. f ( sin A)f ( sin B) C . f ( cos A) f ( sin B)3. 已知当 x, y R +时, f ( xy)f ( x)且 f ( x 1 x 2 x 2006 ) 8 , 则 f ( x 12 )B . f (cos A) f (cos B) D. f (cos A)f (sin B)f ( y) , 若 x 1, x 2 , x 2006 R,f ( x 22 )f ( x 20062 ) 的值为个图像,此中实线表示 y f ( x) ,虚线表示 y g( x) ,此中可能正确的选项是y y y yA.4B.8C.16D.324.设全集 U =R , A { x | x 24}, B { x | log x 7 log 3 7}, 则 A ( U B)是. { x | x2}. { x | x2或x 3} C . { x | x 3}. { x | 2 x 3}A BD5.AD 、 BE 分别为△ ABC 的边 BC 、 AC 上的中线,且 ADa , BEb ,那么 BC 为 A . 2 a4b B . 2 a2b C . 2a4b D .— 2a4 b3 33 333336.已知 f ( x) 3sin(2x) ,则以下不等式正确的选项是3A . f (3) > f (1)> f (2)B . f (1) > f (2) > f (3)C . f (3) > f (2) > f (1)D. f (1) > f (3) > f (2)7.向量 a ( x, y), b (x 2 , y 2 ), c (1,1),d (2,2), 若 a cb d1, 则这样的向量 a 有A .1 个B .2 个C .多个 2 个D . 0 个8.“ 1 x 2 > 1y 2 ”是“ | x || y | ”的A .充足不用要条件B .必需不充足条件C .充要条件D .既不充足也不用要条件9.函数 ya sin x3a cos x 的图象与 | y| =2 的图象在 [-3 , 2] 上3有且只有两个不一样的公共点,则A .| a | ≥1B .| a | >1C . | a | ≥2D .| a | > 210.已知△ ABC 中, sinB = 2 ,tanC = 3,则54AxBxCxDx二、填空题:本大题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分,把答案填在答题纸相应题号的横线上13.定义域为 R 的函数 f ( x)lg | x2 |, x 2,若对于 x 的方程 f 2 ( x) bf ( x) c 01 , x 2恰有 5 个不一样的实数解 x 1 , x 2, x 3 , x 4 , x 5 ,则 f ( x 1x 2 x 3 x 4 x 5 ) 等于14.设 i , j 是平面直角坐标系内 x 轴、 y 轴正方向上的单位向量,且AB4i 2 j ,AC 3i 4 j 则△ ABC 的面积等于y15.已知周期函数 f ( x) 的定义域为 R ,其函数图像以下图,则函数的分析式及其定义域为116.在△ ABC 中,若 sin A3, cos B5 , - 1O 1x513-则 cosC .三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤把答案写在答题纸相应题号的矩形框内。
河北冀州中学2018—2018学年度上学期期中考试高二数学试题(理)命题人 何秋岭一、选择题(每小题 5分,共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上)1、直线y =2与直线x +y -2=0的夹角是 ( )(A)4π (B)3π (C)2π (D)43π2、设直线 ax +by +c =0的倾斜角为α,且sin α+cos α=0,则a,b 满足( )A .1=+b aB .1=-b aC .0=+b aD .0=-b a3、 圆0422=-+x y x 在点P (1,3)处的切线方程为 ( ) (A )-+y x 32=0 (B )-+y x 34=0 (C )+-y x 34=0 (D )+-y x 32=04、设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为x y 21±=,则该双曲线的离心率e =( )(A) 5 (B) 5 (C)25(D)455、在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有 ( )A.1条B.2条C.3条D.4 6、若()2,1P -为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点,则直线AB 的方程为( )A .30x y --=;B .230x y +-=;C .10x y +-=;D .250x y --=7、已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称,则圆C 的方程为 ( )A .1)1(22=++y xB .122=+y xC .1)1(22=++y xD .1)1(22=-+y x8、若椭圆2211312x y +=上一点PP 到左准线的距离是A .12B .132C .392 D .213( )9、设z =x -y , 式中变量x 和y 满足条件3020x y x y +-≥⎧⎨-≥⎩, 则z 的最小值为 ( )(A) 1 (B) -1 (C) 3 (D) -310、直线L 经过点A(2,1),B ()21,m ,那么L 的倾斜角的取值范围是 ( )A .[0,π] B.[0,4π] ∪(2π,π) C.[0, 4π] D.[0, 4π]∪[2π,π) 11、设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( )A .]21,21[- B .[-2,2] C .[-1,1] D .[-4,4]12、若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合,则双曲线的离心率为 (A)2 (B)22 (C) 4 (D)24 ( )二、填空题(每小题4分,共16分)13、若m,n 满足m +3n=0,则直线mx +6y +n=0必过一个定点,这个定点的坐标是______. 14、设点P(x,y)是第一象限的点,且点P 在直线3x+2y=6上移动,则xy 的最大值是________. 15x b =+有解,则实数b 的范围是_________. 16、已知直线L 1:ax -y +2a=0, L 2 :(2a -1)x +ay +a=0互相垂直,则a 的值是___________.注意:将填空题的答案填在下页试卷上!填空题答案:13、_______________ 14、______________15、_______________ 16、______________三、解答题(6个小题,共74分)17.(12分)已知直线l 过点P (2,3),且和两平行直线 13470l x y +-=、23480l x y ++=分别相交于A 、B 两点,如果23=AB ,求直线l 的方程。
河北省冀州中学高三数学上学期期中考试一试卷A 卷理旧人教版考试时间 120 分钟试题分数 150 分I 卷(选择题共 60 分)一、选择题(共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分。
在每题给出的四个选项中只有一个是切合题目要求的)1. 复数 i在复平面内的对应点到原点的距离为()1 iA .1B . 2C .1D .2222. 已知函数 y2 sin x 的定义域为 [ a, b] ,值域为 [ - 2,1] ,则 b a 的值不行能是 ()A.5B.C.7D. 2663.已知“命题 p :( x m)2 3(xm) ”是“命题 q : x 23x 4 0 ”建立的必需不充足条件,则实数 m 的取值范围为()A . m 1或 m7B. m 1或 m 7C . 7m 1D. 7m 14.设函数 f(x)=(x210x+ c 1 )( 210x+ c 2 )( 210x+ c 3 )( 210x+ c 4 )( x 2x x x10x+ c 5 ),设会合 M={x|f(x)=0}={ x 1 , x 2 , , x 9 }N , 设 c 1c 2c3c 4c 5 , 则 c 1c 5 为()A .20B 。
18C 。
16D 。
145. 已知 i 与 j 为相互垂直的单位向量,a i 2 j ,b ij 且 a 与 b 的夹角为锐角,则实数的取值范围是()A . (, 2)( 2,1)B . (1,)C . ( 2,2) (2,) D . (, 1)223326、若存在过点 (1,0) 的直线与曲线y x 3 和 yax 2 15 x 9 都相切,则 a 等于()4A . 1或-25B. 1或21C.7或-25 D.7或 76444 644ABCD 中 , AB BD 0 ,且224 0 , 沿 BD 折成直二面角7. 在平行四边形2AB BDA BDC ,则三棱锥 ABCD 的外接球的表面积是( )A.16πB. 8 πC. 4 πD. 2 π8. 已知双曲线x2y2 1 (a>0,b>0)的两个焦点为F1、 F2,点A在双曲线第一象限的a2b2图象上,若△AF1 F2的面积为1,且tan AF1F21, tan AF2 F1 2 ,则双曲线方程为2A. 5x 2y21B. 12 x2 3 y211235C.3x212 y21D. x 25y2153129.过正方体ABCD A1BC D与棱1 1 1的极点 A 作直线l,使lAB, AD, AA1所成的角都相等,这样的直线l 能够作()A.1条 B .2条 C .3条D. 4 条x- x2的图像大概是()10.函数y=211。
考试时间150分钟 试题分数120分一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、已知3(,)32y M x y x ⎧-⎫==⎨⎬-⎩⎭,{(,)|20}N x y ax y a =++=且M N =∅,则a =( )A .6-或2-B .6-C .2或6-D .22、下列有关命题的说法错误的是( )A .命题“若2320x x -+=,则1x =”的逆否命题为:“若1x ≠,则2320x x -+≠” B .“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件 C .若p q ∧为假命题,则p 、q 均为假命题D .对于命题:p x R ∃∈,使得210x x ++<.则:p x R ⌝∀∈,均有210x x ++≥3、已知复数Z =,Z 是Z 的共轭复数,则Z Z ⋅=( ) A .12B .14C .4D .14、已知向量(2,8)a b +=-,(8,16)a b -=-,则a 与b 夹角的余弦值为( ) A .6365B .6365-C .6365±D .5135、如图,设D 是途中边长分别为1和2的矩形区域,E 是D 内位于函数1(0)y x x=>图象下方的阴影部分区域,则阴影部分E 的面积为( ) A .ln 2 B .1ln 2- C .2ln 2- D .1ln 2+6、设函数3()4f x x x a =-+(02)a <<有三个零点1x 、2x 、3x ,且123x x x <<,则下列结论正确的是( ) A .11x >-B .20x <C .201x <<D .32x >7、函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图示,则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后,得到图象解析式为( ) A .sin 2y x =B .cos y x =C .sin(2)3y x π=+ D .sin(2)6y x π=-8、已知函数2()cos()f n n n π=,且()(1)n a f n f n =++,则12310a a a a ++++=( )A .0B .100-C .100D .102009、ABC ∆的外接圆的圆心为O ,半径为1,2AO AB AC =+且OA AB =,则向量BA 在向量BC 方向上的投影为( )A .12BC .12-D.10、定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0,()(1)(2),0,x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩则(2015)f 的值为( ) A .1-B .0C .1D .211、已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为l ,点1(,2)n n a a +在l 上,且11a =,则8a =( ) A .72-B .4-C .92-D .52-12、已知函数13()ln 144f x x x x=-+-,2()24g x x bx =-+,若对任意1(0,2)x ∈,存在2[1,2]x ∈,使12()()f x g x ≥,则实数b 的取值范围是( )A .17(2,]8B .[1,)+∞C .17[,)8+∞D .[2,)+∞二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13、过函数32()325f x x x x =-++图像上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围是 .14、如图,将全体正整数排成一个三角形数阵:根据以上排列规律,数阵中第n (3)n ≥行的从左至右的第3个数是 .15、已知函数()y f x =是定义在R 上的增函数,函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称,若对任意的,x y R ∈,不等式22(621)(8)0f x x f y y +++-<恒成立,则范围是 .16、在下列命题中,正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).①函数()(0)af x x x x=+>的最小值为 ②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+,则()f x 一定为偶函数; ③定义在R 上的函数()f x 既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则(1)(4)(7)0f f f ++=;④已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠,则0a b c ++=是()f x 有极值的必要不充分条件;⑤已知函数()sin f x x x =-,若0a b +>,则()()0f a f b +>.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,共70分 17、(本小题满分10分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若(2)cos cos a c B b C -=. (1)求角B 的大小;(2)若3a =,ABC ∆BA AC ⋅的值.18、(本小题满分12分)已知函数2()sin cosf x x x xωωω=⋅(0)ω>,直线1x x=,2x x=是()y f x=图象的任意两条对称轴,且12||x x-的最小值为4π.(1)求()f x的表达式;(2)将函数()f x的图象向右平移8π个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数()y g x=的图象,若关于x的方程()0g x k+=,在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.19、(本小题满分12分)已知单调递增的等比数列{}na满足:23428a a a++=,且32a+是2a,4a的等差中项.(1)求数列{}na的通项公式;(2)若2l o gn n nb a a=,12n ns b b b=+++,求12500nns n+-⋅+<成立的正整数n的最小值.20、(本小题满分12分)已知数列{}na的前n项和为nS*()n N∈,且满足21n na S n+=+.(1)求证:数列{2}na-是等比数列,并求数列{}na的通项公式;(2)求证:21223111112223nn na a a a a a++++<.21、(本小题满分12分)设函数2()ln(1)f x x b x=++,其中0b≠.(1)当12b>时,判断函数()f x在定义域上的单调性;(2)求函数()f x 的极值点. 22、(本小题满分12分)已知函数()ln()x f x e a =+(a 为常数)是实数集R 上的奇函数. (1)求实数a 的值;(2)讨论关于x 的方程2ln ()(2)x f x x ex m =-+的根的个数;(3)证明:2222222ln(21)ln(31)ln(1)21232(1)n n n n n -----+++<+*(,2)n N n ∈≥.河北冀州中学2015年—2016年上学期期中考试高三年级数学答案(理)一、选择题:A 卷:ACDBD CDBAC DC B 卷:CCADB DCDBD BA二、填空题:13、3[0,)[,)24πππ 14、262n n -+ 15、(3,7) 16、②③⑤三、解答题:17、解(1)∵(2)c o s c o s a c B b C -=,由正弦定理得:(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=,∴2sin cos sin cos cos sin sin()sin A B C B C B B C A =+=+=∵0A π<<,∴s i n 0A > ∴2cos 1B =,1cos 2B =又0B π<< ∴3B π=;……………………5分(2)方法一:∵3a =,ABC ∆13sin 23c π⨯= ∴2c =,22223223cos 73b π=+-⨯⨯=,即b =cos A ==∴cos()2()114BA AC bc A π⋅=-=-=-.…………………………10分 方法二:2()BA AC BA BC BA BA BC BA⋅=-=⋅-221,232BA B C =⋅⋅.……………………10分 18、解(1)11()sin 2sin 2sin(2)223f x x x x x πωωωω===+,由题意知,最小正周期242T ππ=⨯=,222T πππωω===,∴2ω=,∴()sin(4)3f x x π=+…………6分(2)将()f x 的图象向右平移8π个单位后,得到sin(4)6y x π=-的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到sin(2)6y x π=-的图象.∴()sin(2)6g x x π=-…………………………9分令26x t π-=,∵02x π≤≤,∴566t ππ-≤≤,()0g x k +=,在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解,即函数()y g x =与y k =-在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一哥交点,由正弦函数的图像可知1122k -≤-<或1k -=, ∴1122k -<≤或1k =-………………………………12分20、解:(1)∵21n n a S n +=+,令1n =,得123a =,132a =.……………………1分 ∵21n n a S n +=+,∴112(1)1n n a S n --+=-+,*(2,)n n N ≥∈ 两式相减,得122n n a a --=,整理1112n n a a -=+……………………………………2分 112(2)2n n a a --=-,(2)n ≥…………………………………………………………4分∴数列{2}n a -是首项为1122a -=-,公比为12的等比数列………………………5分 ∴12()2nn a -=-,∴122n n a =-…………………………………………………… 6分 (2)(方法一)∵1121212111121121212(21)(21)2121222n n n nn n n n n n n n n a a +++++++++===-------⋅⋅……8分 ∴212231111222n n n a a a a a a ++++233412111111()()()212121212121n n ++=-+-++-------………10分 21113213n +=-<- …………………………………………………………12分 (方法二)令111121122222n nn n n n n b a a ++==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111122222n n n +=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()211121212n n n +++=⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ()()1121221121212121n n n n n +++++==----- ∴12233412111111212121212121n n n b b b +++++=-+-++-------211321n +=--∵21021n +>- ∴21113213n +-<- ∴21223111112223n n n a a a a a a ++++<21、(1)2()ln(1)f x x b x =++的定义域为(1,)-+∞,222()211b x x b f x x x x ++'=+=++, 令2()22g x x x b =++,则()g x 在1(1,)2--上递减,1(,)2-+∞上递增;∴min 11()022g x g b ⎛⎫=-=-+> ⎪⎝⎭; 从而2()220g x x x b =++>在(1,)-+∞上恒成立,∴()0f x '>;即当12b >时,()f x 在(1,)-+∞上单调递增; (2)①当12b ≥时,由(1)知函数没有极值点;②当12b <时,解()0f x '=得两个不同的解,1x =2x =;若0b <,由于11x =<-,2x =;∴()f x 在(1,)-+∞上有唯一的极小值点212x -=;若102b <<时,1112x -=>-,212x -=;∴()f x 在1x =2x =取得极小值;综上所述,当0b <时,()f x 在(1,)-+∞上有唯一的极小值点2x =;当102b <<时,()f x 有极大值点1x =2x =; 当12b ≥时,函数没有极值点. 22、(1)∵()()f x f x -=- ∴ln()ln()x xe a e a -+=-+.∴1xxe a e a-+=+,化为()0x xa a e e -++=,解得0a =. (2)方程2ln ()(2)x f x x ex m =-+,即2ln (2)x x x ex m =-+22ln ()xx e m e x⇔=-+- 令ln ()x h x x=,22()()g x x e m e =-+-.∴21ln ()xh x x -'=∴()h x 在(0,)e 单调递增;在(,)e +∞上单调递减,∴max1()()h x h e e==.()g x 为二次函数在(0,)e 上单调递减,在(,)e +∞上单调递增,∴2min ()g x m e =-. 故①当21m e e ->,即21m e e >+时,无解; ②当21m e e -=,即21m e e =+时,有一解;③当21m e e -<,即21m e e<+时,有二解.(3)证明:由(2)知当21m e e=+时,2()()1g x x e =-+,∴2min ()1g x m e =-=,此时min max ()()g x h x >恒成立,∴min ()()1h x g x <=,即ln 1xx<,化为ln x x <恒成立, ∴当2n ≥时,有22ln(1)1n n -<-,∴22222ln(1)111n n n n n --<=-, ∴222222ln(21)ln(31)ln(1)23n n ---+++222111(1)23n n ⎛⎫<--+++⎪⎝⎭111(1)2334(1)n n n ⎛⎫<--+++⎪⨯⨯+⎝⎭111111(1)23341n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11(1)21n n ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭2212(1)n n n --=+.。
试卷类型A 河北冀州中学2018—2018学年度上学期期中考试高三年级文科数学试题考试时间120分钟 试题分数150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1、设集合{}1,2,3,4,5U =, U A {}1,3,5=,{}2,3,5B =,则 U ()A B = A 、{}1 B 、{}2 C 、{}2,3,4,5 D 、{}1,3,4,52、设函数()(0,1)x f x a a a =>≠,若122009()8f x x x +++=,则122009(2)(2)(2)f x f x f x ⨯⨯⨯的值等于 A 、8 B 、16 C 、32 D 、643、设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是A 、),3()1,3(+∞⋃-B 、),2()1,3(+∞⋃-C 、),3()1,1(+∞⋃-D 、)3,1()3,(⋃--∞4、在下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是A 、y =-x 2B 、y =x 3-xC 、y =x1+|x | D 、y =x 2sin x5、ABC ∆中,BC 上有一点D ,已知2133AD AB AC =+,则有A 、CAD BAD ∠<∠B 、CAD BAD ∠>∠C 、||||BD DC > D 、||||BD DC < 6、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1234、2、a a a 成等差数列.若11a =,则4S = A 、7 B 、8 C 、15 D 、167、如图,正方形ABCD 的顶点2(0,)2A ,2(,0)2B ,顶点CD 、位于第一象限,直线:(02)l x t t =≤≤将正方形ABCD 分成两部分,记位于直线l 左侧阴影部分的面积为()f t ,则函数()S f t =的图象大致是8、将函数cos()3y x π=-的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移6π个单位,所得函数图象的一条对称轴为A 、9x π=B 、8x π=C 、2x π=D 、x π=9、如图表示函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,2A πϕ><)的图象,则()f x =A 、sin()6x π+B 、sin()3x π+ C 、sin(2)3x π- D 、sin()23x π-10、设A 、B 是锐角三角形的两个内角,则直线0cos sin =-B y A x 的倾斜角A 、大于135°B 、大于90°且小于135°C 、大于45°且小于90°D 、小于45°11、若函数2y ax =+的图象与函数124by x =-的图象关于直线y x =对称,则log a b 的值是A 、12-B 、12C 、1D 、212、抛物线214y x =的准线与双曲线等22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形面积等于 A 、33 B 、23 C 、2 D 、3第Ⅱ卷 (非选择题)二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。
试卷类型:A 卷河北冀州中学2018届高三上学期期中考试(数学理A 卷)试题考试时间 120分钟 试题分数 150一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.选项填涂在答题卡上。
1. 下列函数中,与函数13y x-=定义域相同的函数为 ( )A.x y sin 1=B. xx y ln = C.x x y sin = D. x y xe = 2.已知i 为虚数单位,a 为实数,复数(2i)(1+i)z a =-在复平面内对应的点为M ,则“a =1”是“点M 在第四象限”的 ( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件3.下列命题中,真命题是 ( )A. 00,0x x R e∃∈≤ B. 2,2x x R x ∀∈> C. 0a b +=的充要条件是ab=1-D. 若,x y ∈R ,且2,x y +>则,x y 至少有一个大于14.已知函数log (1)3,a y x =-+(01)a a >≠且的图像恒过点P ,若角α的终边经过点P , 则2sin sin2αα-的值等于( ) A.133 B.135 C. 133- D. 135-5. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中π0,2A ϕ><xx 2sin )=的图象,则只需将()f x 的图象A .向右平移π6个长度单位B .向右平移π12C .向左平移π6个长度单位D .向左平移π126..如果函数()221x x af x a -=⋅+是奇函数,则函数()y f x =的值域是 ( ) A .[,]11- B .(,]11-C .(,)11-D .(,1)(1,)-∞-⋃+∞7.在如下程序框图中,已知0()xf x xe =,则输出的是 ( )A .2009x x e xe +B .2008x xe xe +xC . 2007x x e xe +D .2008x e x +8。
若方程lg(2)1x x +=的实根在区间(,1)()k k k Z +∈上, 则k =( ) A. 2- B. 1 C. 2-或1 D 。
09.已知向量(4,6),(3,5),,//,OA OB OC OA AC OB OC ==⊥=且向量( )32(,)77A - B 24(,)721- C 32(,)77- D 24(,)721-10.已知函数2()2sin ()21,4f x x x x R π=+--∈,若函数()()h x f x α=+的图像关于点(,0)3π-对称,且(0,)απ∈,则α= ( ) A .3π B 。
4π C 。
2π D 。
8π11. 已知钝角三角形ABC 的最长边的长为2,其余两边长为b a ,则集合},|),{(b y a x y x P ===所表示的平面图形的面积是 ( ) A. 2 B .4 C. 2-π D. 24-π12.方程sin xk x= (0)k >有且仅有两个不同的实数解,θφ()θφ>, 则以下有关两根关系的结论正确的是A .sin cos φφθ=B .sin cos φφθ=-C .cos sin φθθ=D .sin sin θθφ=- 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 13、函数211tan )(x x x f -+-=的定义域为_____14.设等比数列{}n a 的前n 项积为n T (*n N ∈),已知1120m m m a a a -+⋅-=,且21128m T -= 则m =15.如图,由两条曲线224,x y x y -=-=及直线1-=y 所围成的图形的面积为16 .已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≥+=.20,log ,2,43)21()(2x x x x f x ,若函数k x f x g -=)()(有两个不同的零点,则实数k 的取值范围是三、解答题:(共6个题,17题10分,其余每题12分,共70分)17. 在直角三角形ABC 中,D 是斜边BC 上的一点,AB=AD ,CAD α∠=,ABC β∠=,(1)求sin α+cos 2β的值; (2)若求β的值18.(本小题12分)已知各项都不相等的等差数列{}n a 的前6项和为60,且6a 为1a 和21a 的等比中项。
⑴求数列{}n a 的通项公式。
⑵若数列{}n b 满足1n n n b b a +-=*()n N ∈,且13b =,求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 19.(本小题满分12分)已知函数 3()32f x x ax =-+(a 其中为常数)有极大值18(Ⅰ) 求a 的值;(Ⅱ)若曲线()y f x =过原点的切线与函数()ln g x b x =-的图像有两个交点,试求b 的取值范围.20.在平面直角坐标系xoy 中,已知点)1,1(-A ,P 是动点,且POA ∆的三边所在直线 的斜率满足PA OA OP k k k =+ (1)求点P 的轨迹C 的方程(2)若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点,且PQ OA λ=,直线OP 与QA 交于点M , 问:是否存在点P ,使得∆PQA 和∆PAM 的面积满足PAM PQA S S ∆∆=2 ?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由。
21.已知()ln f x x x =,2()3g x x ax =-+-. ⑴ 求函数()f x 在[],2t t +(0)t >上的最小值;⑵ 对一切(0,)x ∈+∞,2()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围; ⑶ 证明对一切(0,)x ∈+∞,都有12ln x x e ex>-成立. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.(本小题满分10分) 《选修4—1:几何证明选讲》如图,A ,B ,C ,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与BC 的 延长线交于E 点,且EC=ED . (I )证明:CD//AB ;(II )延长CD 到F ,延长DC 到G ,使得EF=EG ,证明:A ,B ,G ,F 四点共圆.23.(本小题满分10分)《选修4-4:坐标系与参数方程》在直接坐标系xOy 中,直线l 的方程为40x y -+=,曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩ (α为参数) (I )已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为(4,)2π,判断点P 与直线l 的位置关系;(II )设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.24.(本小题满分10分)《选修4-5:不等式选讲》 已知函数()25f x x x =---.(I )证明:3()3f x -≤≤;(II )求不等式2()815f x x x ≥-+的解集.高三年级数学试题(理)答案A 卷: CADC A DBC BCCB B 卷: ACDC ADBC BCBC 13. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,4π 14. 4 15.43 16.)1,43(17.(1)由00180290βα-+=,sin cos2sin cos(90)0αβαα+=++= 所以……6分(2)在△ACD 中由正弦定理得0:sin(180):sin AC DC βα=-,又∵AC =∴sin βα=,又sin cos 20αβ+=∴22sin 10ββ--= 又∵02πβ<<,∴sin 3πββ== …………12分 18.解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d (0d ≠),则()()1211161560,205,a d a a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩解得12,5,d a =⎧⎨=⎩ ∴23n a n =+......4分 (Ⅱ)由1n n n b b a +-=, ∴11n n n b b a ---=()*2,n n ≥∈N ,()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+1211n n a a a b --=++++ ()()()11432n n n n =--++=+.[来源:学优高考网GkStK]当1n =时,13b =符合上式。
∴()2n b n n =+()*n ∈N . .........................................8分∴()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭111111123242n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭ ()()21311352212412n nn n n n +⎛⎫=--= ⎪++++⎝⎭. ..........12分19、解:(Ⅰ) ∵2()33f x x a '=-,又函数()f x 有极大值∴令()0f x '>,得x <x >∴()f x在(,)-∞+∞上递增,在(上递减∴()=(18f x f =极大值,得4a = ………………4分(Ⅱ)设切点3000(,122)x x x -+,则切线斜率200()312k f x x ==- 所以切线方程为320000122(312)()y x x x x x -+-=--将原点坐标代入得01x =,所以9k =- 切线方程为9y x =-由9ln y xy b x=-⎧⎨=-⎩得ln 90x x b --=设()ln 9h x x x b =--,则1()9h x x'=- ………………8分 令1()90h x x '=->,得109x << 所以()h x 在1(0,)9上递增,在1(,)9+∞上递减1()=()ln919h x h b =---最大值若ln 90x x b --=,则()0h x >最大值,得ln 91b <-- ……12分20.解:(1)设点(,)P x y 为所求轨迹上的任意一点,则由OP OA PA k k k +=,得1111y y x x -+=-+, 整理得轨迹的方程为2(0y x x =≠且1)x ≠- --------4分(没有注明限制条件给2分)(2)设221122(,),(,)P x x Q x x ,由PQ OA λ=,可知直线PQ ∥OA则PQOA k k = ,故2221211x x x x -=--,即211x x =--, ∴直线OP 的方程为1y x x =,①直线QA 的斜率为2111(1)1211x x x ---=----+,∴直线QA 的方程为11(2)(1)y x x -=--+, 即11(2)1y x x x =-+--,② 联立①②得 12x =-,∴点M 的横坐标为定值12x =-由2PQA PAM s s ∆∆=,得到2QA AM =,因为PQ ∥OA ,所以2OP OM =, 由2PO OM =,得11x =,∴P 的坐标为(1,1) ……………………………………12分21.解:⑴ '()ln 1f x x =+,当1(0,)x e ∈,'()0f x <,()f x 单调递减,当1(,)x e∈+∞,'()0f x >,()f x 单调递增.① 102t t e<<+<,t 无解;② 102t t e <<<+,即10t e <<时,min 11()()f x f e e==-;③ 12t t e ≤<+,即1t e≥时,()f x 在[,2]t t +上单调递增,min ()()ln f x f t t t ==;所以min 110()1ln t e ef x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩, ,…………………………………………4分⑵ 22ln 3x x x ax ≥-+-,则32l n a x x x ≤++,设3()2l n (0)hx x x x x =++>,则2(3)(1)'()x x h x x +-=,(0,1)x ∈,'()0h x <,()h x 单调递增,(1,)x ∈+∞,'()0h x >,()h x 单调递减,所以min ()(1)4h x h ==,因为对一切(0,)x ∈+∞,2()()f x g x ≥恒成立,所以min ()4a h x ≤=; ……………………………8分⑶ 问题等价于证明2ln ((0,))x x x x x e e>-∈+∞,由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -,当且仅当1x e =时取到,设2()((0,))x x m x x e e =-∈+∞,则1'()x x m x e -=,易得max 1()(1)m x m e==-,当且仅当1x =时取到,从而对一切(0,x ∈+∞,都有12ln x x e ex>-成立. …………………………………………12分说明:第一问考查单调和分类讨论的思想,第二问是通过转化与化归思想解决()h x 的最小值问题,第三问有一定的难度,如果直接化成12ln 0x x e ex -+>来解决,对12()ln xp x x e ex =-+求导将无法得到极值点,通过将原不等式化归成2ln x x x x e e>-,分别求()f x 的最小值和()m x 的最大值来研究,则不难获得证明. 22、(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 解:(I )因为EC=ED ,所以∠EDC=∠ECD.因为A ,B ,C ,D 四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA ,所以CD//AB. …………5分(II )由(I )知,AE=BE ,因为EF=FG ,故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC.连结AF ,BG ,则△EFA ≌△EGB ,故∠FAE=∠GBE , 又CD//AB ,∠EDC=∠ECD ,所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180°.故A ,B ,G ,F 四点共圆 …………10分 23、(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 解:(I )把极坐标系下的点P (4,)2π化为直角坐标,得P (0,4)因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程40x y -+=, 所以点P 在直线l 上, …………5分(II )因为点Q 在曲线C 上,故可设点Q的坐标为,sin )αα, 从而点Q 到直线l 的距离为,d=2cos()4πα++=)6πα=++由此得,当cos()16πα+=-时,d分24、解:(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲(I ) ()25f x x x =---3,227,2,53,5x x x x -≤⎧⎪=-<⎨⎪≥⎩当25x <<时,3273x -<-< , 所以3()3f x -≤≤ …………5分 (II )由(I )可知, 当2x ≤时,2()815f x x x ≥-+的解集为空集;当25x <<时,2()815f x x x ≥-+的解集为{x∣55}x <当5x ≥时,2()815f x x x ≥-+的解集为{x ∣56}x ≤≤综上,不等式2()815f x x x ≥-+的解集为{x∣56}x ≤ ……10分。