二次函数与实际问题 喷泉问题、体育问题

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题11 二次函数的实际应用—喷水问题考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021九上·和平期末）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（ ）A．9m4B．19m8C．39m16D．45m16【答案】A【完整解答】解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，∴设这段抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3．∵该抛物线过点（3，0），∴0=a（3-1）2+3，解得：a=-34．∴y=-34（x-1）2+3．∵当x=0时，y=-34（0-1）2+3=-34+3=94，∴水管应长94 m．故答案为：A【分析】由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，可设顶点式为y=a（x-1）2+3，将（3，0）代入解析式中求出a值即得解析式，再求出x=0时的y值即可.2．（2分）（2021九上·长兴月考）学校卫生间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.小丽经过测量发现：洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD，洗手液瓶子的底面直径GH＝12cm，D，H与喷嘴位置点B三点共线.当小丽按住顶部A下压至如图②位置时，洗手液从喷口B流出（此时喷嘴位置点B距台面的距离为16cm），路线近似呈抛物线状，小丽在距离台面15cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为4cm，若小丽不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是16cm.根据小丽测量所得数据，可得洗手液喷出时的抛物线函数解析式的二次项系数是（ ）A．﹣118B．118C．﹣116D．116【答案】C【完整解答】解：根据题意：GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，根据题意，OH＝6，B（6，16），Q（10，15），设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+16，把Q（10，15）代入解析式得：15＝a（10﹣6）2+16，解得：a＝﹣116，故答案为：C.【分析】如图以GH 所在直线为x 轴，GH 的垂直平分线所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B 为抛物线顶点，共线的三点B 、D 、H 所在直线为抛物线的对称轴，然后写出顶点B 及Q 的坐标，利用顶点式求出抛物线解析式即可.3．（2分）（2021九上·青县月考）如图，水从山坡下的水管的小孔喷出，喷洒在山坡上，已知山坡AB ：OB=1：2，若把小孔处设为原点，喷出的水柱的路线近似地用函数y=−12x 2+4x 来刻画，下列结论错误的是（ ） A ．山坡可以用正比例函数 12y x = 来刻画B ．若水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米C ．水柱落到斜面时距O 点的距离为7米D ．水柱距O 点水平距离超过4米呈下降趋势【答案】C【完整解答】解：A.∵山坡AB ：OB=1：2，∴斜坡可以用正比例函数y=12 x 刻画，不符合题意；B.当y=1.875时，即− 12x 2+4x=1.875，解得：x 1=0.5，x 2=7.5，∴若水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米，不符合题意；C.解方程组 212142y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 得， 1100x y =⎧⎨=⎩ ， 22772x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ，∴当小球落在斜坡上时，它离O 点的水平距离是7m ，符合题意；D.∵y=− 12 x 2+4x=- 12（x-4）2+8，则抛物线的对称轴为x=4，∴当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势，不符合题意；故答案为：C ．【分析】根据二次函数的图象与性质对每个选项一一判断即可。

二次函数的实际应用-喷水问题一、单选题1.如图，用水管从某栋建筑物2.25m高的窗口A 处向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是（）A. 2.5米B. 3米C. 3.5米D. 4米2.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A. 4米B. 3米C. 2米D. 1米3.如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面403A. 2mB. 3mC. 4mD. 5m4.学校卫生间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.小丽经过测量发现：洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD，洗手液瓶子的底面直径GH＝12cm，D，H与喷嘴位置点B三点共线.当小丽按住顶部A下压至如图②位置时，洗手液从喷口B流出（此时喷嘴位置点B距台面的距离为16cm），路线近似呈抛物线状，小丽在距离台面15cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为4cm，若小丽不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是16cm.根据小丽测量所得数据，可得洗手液喷出时的抛物线函数解析式的二次项系数是（）A. ﹣118 B.118 C. ﹣116 D.1165.如图所示的是跳水运动员10 m跳台跳水的运动轨迹，运动员从10 m高A处的跳台上跳出，运动轨迹成抛物线状（抛物线所在平面与跳台墙面垂直）.若运动员的最高点M离墙1 m，离水面y=(−2a)2−4a=4a2−4a=4a(a−1)>0m，则运动员落水点B离墙的距离OB是（）A. 2 mB. 3 mC. 4 mD. 5 m6.如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（）A. 水流运行轨迹满足函数y＝﹣140x2﹣x+1B. 水流喷射的最远水平距离是40米C. 喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米D. 若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌7.某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，一条水流的高度h（单位：m）与水流运动时间t（单位：s）之间的关系式为h=30t﹣5t2，那么水流从抛出至回落到地面所需要的时间是（）A. 6sB. 4sC. 3sD. 2s8.广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y=−32x2+6x(0≤x≤4)，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（）A. 1米B. 2米C. 5米D. 6米9.如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（）A. 0.55米B. 1130米 C. 1330米 D. 0.4米10.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA,O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=−x2+2x+3，则下列结论错误的是（）A. 柱子OA的高度为3mB. 喷出的水流距柱子1m处达到最大高度C. 喷出的水流距水平面的最大高度是3mD. 水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外二、填空题11.图1是一种360°自动旋转农业灌溉摇臂喷枪.点P为喷水口，水雾喷出的路径可以近似看作抛物线y=−150x2+34x+c的一部分（如图2），已知OPOQ=120，则喷洒半径OQ为米（喷枪长度忽略不计）；现有一块四边形ABCD农出，它的四个顶点A,B,C,D恰好在⊙O上（如图3），BD=25√15米，cos∠C=14.焊接一个底座支架可升高喷水口，如果喷水口上升时，水雾喷出的形状与原来相同，要使喷水区域覆盖整块四边形ABCD农田，那么喷水口点P应至少升高米.12.某游乐园要建一个圆形喷水池，在喷水池的中心安装一个大的喷水头，高度为103m，喷出的水柱沿抛物线轨迹运动（如图），在离中心水平距离4m处达到最高，高度为6m，之后落在水池边缘，那么这个喷水池的直径AB为________m.13.某圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流，如图②所示，其上的水珠的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y=－x2＋4x＋94，那么圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在水池外．14.如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为6m，则水管的长度OA是m.15.飞机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数表达式是s=60t-1.5t2，则飞机着陆后滑行直到停下来滑行了________米．16.从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y=−2x2+4x+ 1，喷出水珠的最大高度是m.17.体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下(如图1).如果曲线APB表示的是落点B离点O最远的一条水流(如图2)，水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式是y=−x2+4x+94(x>0)，那么圆形水池的半径至少为________米时，才能使喷出的水流不至于落在池外.18.某圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流，如图②所示，其上的水珠的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y=－x2＋4x＋94，那么圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在水池外．19.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=−2x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是米；20.滕州市政府大楼前广场有一喷水池，喷出水的路径是一条抛物线，如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空号总划出的曲线是抛物线y=﹣x2+6x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是________ 米．三、解答题21.如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25m，喷出水流的运动路线是抛物线．水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m．求水流的落地点C到水枪底部B的距离．22.要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？23.如图所示，公园要造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面距离最大，高度2.25m.若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外?答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】二次函数的实际应用-喷水问题【解析】【解答】由题意可得，抛物线的顶点坐标为（1，3），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+3，即2.25=a（0-1）2+3，解得a=-0.75，∴y= −34（x-1）2+3，当y=0时，−34（x-1）2+3=0，解得，x1=-1，x2=3，∴点B的坐标为（3，0），∴OB=3，答：水流下落点B离墙距离OB的长度是3米．故答案为：B．【分析】根据题意求出抛物线的解析式，从而求出点B的坐标进行解答即可。

2023年中考数学重难点专题复习-喷水问题（实际问题与二次函数）一、解答题1．如图，小区中央公园要修建一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰好在水面的中心，OA＝1.25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计水流在离OA距离为1米处达到距水面的最大高度2.25米，如图建立坐标系．（1）求水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数关系式（不要求写取值范围）（2）若不计其他因素，则水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？（3）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流距水面的最大高度就达到多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？（4）在直线OB上有一点D（靠点B一侧），BD＝0.5米，竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让水落入桶内，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.2米（圆柱形桶的厚度忽略不计）①如果竖直摆放5个圆柱形桶时，水能不能落入桶内？①直接写出当竖直摆放圆柱形桶多少个时，水可以落入桶内？2．如图1，已知水龙头喷水的初始速度v0可以分解为横向初始速度v x和纵向初始速度v y，θ是水龙头的仰角，且v02=v x2+v y2．图2是一个建在斜坡上的花圃场地的截面示意图，水龙头的喷射点A在山坡的坡顶上（喷射点离地面高度忽略不计），坡顶的铅直高度OA为15米，山坡的坡比为13．离开水龙头后的水（看成点）获得初始速度v0米/秒后的运动路径可以看作是抛物线，点M是运动过程中的某一位置．忽略空气阻力，实验表明：M与A的高度之差d（米）与喷出时间t（秒）的关系为d=v y t-5t2；M与A的水平距离为v x t米．已知该水流的初始速度v0为15米/秒，水龙头的仰角θ为53°．（1）求水流的横向初始速度v x和纵向初始速度v y；（2）用含t的代数式表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围）；（3）水流在山坡上的落点C离喷射点A的水平距离是多少米？若要使水流恰好喷射到坡脚B处的小树，在相同仰角下，则需要把喷射点A沿坡面AB方向移动多少米？（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）3．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为()2y a x h k=-+，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．4．某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米，下面的表中记录了d与h的五组数据：根据上述信息，解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；(2)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m=______；(3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为1.5米，那么公园应将水管露出湖面的高度(喷水头忽略不计)至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由(结果保留一位小数)．5．（1）先化简，再求值：22111x xx x----，其中x=2015．（2）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC，点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面的距离为2米，OC=8米．①请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（需要画出你建立的直角坐标系）①为了安全美观，现需要在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省时的点P？请写出找法．（无需证明）（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）6．某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；(3)求h关于d的函数表达式；(4)公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米，工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．7．如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l 的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H 离地竖直高度为h （单位：m ）．如图①，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图像，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG ，其水平宽度3m DE =，竖直高度为EF 的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A 离喷水口的水平距离为2m ，高出喷水口0.5m ，灌溉车到l 的距离OD 为d （单位：m ）．若当1.5m h =，0.5m EF =时，解答下列问题．(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC ． (2)下边缘抛物线与x 轴的正半轴交点B 的坐标为________．(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d 的取值范围．8．如图，斜坡AB 长10米，按图中的直角坐标系可用5y =+表示，点A ，B 分别在x 轴和y 轴上，且30OAB ︒∠=．在坡上的A 处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B 处，抛物线可用213y x bx c =-++表示．（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）； （2）求水柱离坡面AB 的最大高度；（3）在斜坡上距离A 点2米的C 处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？9．游乐园新建的一种新型水上滑道如图，其中线段PA 表示距离水面（x 轴）高度为5m 的平台（点P 在y 轴上）.滑道AB 可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD 可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B 为二次函数BCD 的顶点，且点B 到水面的距离2BE m =，点B 到y 轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C 时，与水面的距离3m 2CG =，与点B 的水平距离2m CF =.（1）求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围； （2）求整条滑道ABCD 的水平距离；（3）若小明站在平台上相距y 轴1m 的点M 处，用水枪朝正前方向下“扫射”，水枪出水口N 距离平台3m 2，喷出的水流成抛物线形，设这条抛物线的二次项系数为p ，若水流最终落在滑道BCD 上（包括B 、D 两点），直接写出p 的取值范围.10．某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d 米的地点，水柱距离湖面高度为h 米．请解决以下问题：(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为 米（精确到0.1）； (3)公园增设了新的游玩项目，购置了宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．11．某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置OA （如图）喷水能力最强，水流从A 处喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度()y m 与水平距离()x m 之间符合二次函数关系式27 34y x x=-++()0x>．（1）求水流喷出的最大高度是多少米？此时最高处离喷水装置OA的水平距离为多少米？（2）现若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其他因素，花盆需至少离喷水装置OA多少米外，才不会被喷出的水流击中？12．如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x，水流的最高点到地面的距离记为y．y与x的几组对应值如下表：(1)该喷枪的出水口到地面的距离为________m；(2)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y与x的函数图像；(3)结合（2）中的图像，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为8m时，水流的最高点到地面的距离为________m（精确到1m）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为________m（精确到1m）13．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线．如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离．14．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C．高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．（1）求水柱所在抛物线的函数解析式；（2）求水管AB的长．15．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌底部的距离）是1米，当喷射出的水流距离喷灌架水平距离为20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．(1)求水流运行轨迹满足的函数关系式；(2)若将喷灌向后移动5米，通过计算说明是否可避开对这棵石榴树的喷灌？(3)设喷射水流与坡面OA之间的铅直高度为h，求h的表达式，并求出x为何值时，h有最大值，h最大值是多少？16．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为()21566y x =--+．（1）求雕塑高OA ．（2）求落水点C ，D 之间的距离．（3）若需要在OD 上的点E 处竖立雕塑EF ，10m OE =， 1.8m,EF EF OD =⊥．问：顶部F 是否会碰到水柱？请通过计算说明．参考答案：1．（1）y ＝﹣（x ﹣1）2+2.25；（2）半径至少为2.5m ；（3）水流最大高度应达729196m ；（4）①水不能落入桶内，①当竖直摆放圆柱形桶7，8，9，10时，水可以落入桶内. 2．（1）水流的横向初始速度v x 是9米/秒，纵向初始速度v y 是12米/秒；（2）y=-2581x +43x+15；（3）水流在山坡上的落点C 离喷射点A 的水平距离是27米，需要把喷射点A 沿坡面AB方向移动3．(1)()20.15 3.2y x =--+ (2)2或6m 4．(1)11 (2)1.5(3)公园应将水管露出湖面的高度(喷水头忽略不计)至少调节到1.6米才能符合要求5．（1）2014.（2）22. 6．(1)11； (2)4米 (3)h =-d 2+2d+3(4)水枪高度调节到5米以上7．(1)()21228y x =--+，喷出水的最大射程OC 为6m (2)()2,0(3)21d ≤≤8．（1）2153y x =-+；（2）254米；（3）水柱能越过树 9．（1）10y x=，25x ≤≤；（2）7m ；（3）91332128p -≤≤-. 10．(111 (2)6.7(3)游船有被喷泉淋到的危险11．（1）水流喷出的最大高度是4米，此时的水平距离为32米；（2）花盆需至少离喷水装置OA 3.5米外，才不会被喷出的水流击中.12．(1)1 (2)22 (3)3，1813．水流的落地点C 到水枪底部B 的距离为2.5m ． 14．（1）y ＝﹣34（x ﹣1）2+3（0≤x ≤3）；（2）2.25m 15．(1)21140y x x =-++ (2)可避开对这棵石榴树的喷灌(3)当x ＝18时，h 有最大值，最大值为9.1m 16．（1）11m 6；（2）22米；（3）不会。

2024-2025学年第22章二次函数专题02 实际应用问题常考题型汇总（原卷版）一．选择题1．如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且BD⊥OC，垂足为点D，OA＝2m．若BD＝6m，OD＝2m，则OC的长为（）A．4m B．5m C．D．第1题第2题2．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（）A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m3．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度为（）A．13米B．14米C．15米D．16米第3题第4题4．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（）A．小球的飞行高度不能达到15m B．小球的飞行高度可以达到25mC．小球从飞出到落地要用时4s D．小球飞出1s时的飞行高度为10m5．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C 距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为（）米．A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.66．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，下列对方程20t﹣5t2＝15的两根t1＝1与t2＝3的解释正确的是（）A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升C．小球从飞出到落地要用4s D．小球的飞行高度可以达到25m7．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（）元．A．50 B．90 C．80 D．708．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为x m，面积为S m2，其中AD≥AB．有下列结论：①x的取值范围为5≤x≤10；②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m2；③矩形菜园ABCD的面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3第8题第9题9．如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y＝，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为（）A．10m B．12m C．24m D．48m10．中国廊桥是桥梁与房屋的珠联璧合，代表着中国人的智慧和造艺，是世界文明宝库的一大奇观．如图，这是某座下方为抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF长为（）A．米B．16米C．米D．米第10题第11题11．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降2.5米时，水面的宽度为米．（）A．3 B．6 C．8 D．912．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（单位：m）与运行的水平距离x（单位：m）满足关系式，已知球网与点O的水平距离为9m，第12题第13题13．如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为10m的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为24m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为48m2；小亮认为：隔离区的面积可能为36m2，你认为他们俩的说法是（）A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误14．廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面AB宽48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点E，F处安装两盏警示灯，若要保证两盏灯的水平距离EF是24m，则警示灯E距水面AB的高度为（）A．12m B．11m C．10m D．9m二．填空题（共14小题）15．如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为8m，两侧距地面4m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m，则这个门洞内部顶端离地面的距离为．第15题第16题16．漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看作抛物线．如图是其中一个桥拱的示意图，拱跨AB ＝60m，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得AE＝2m，DE⊥AB且DE＝1.16m，则桥拱（抛物线）的函数表达式为．17．如图1是一座抛物线形拱桥，图2是其示意图，桥拱与水平桥面相交于A、B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D、E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为m．第17题第18题19．如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米．身高为1.4米的小吉站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m 的取值范围是．第19题第21题20．超市销售的某商品进价10元/件．在销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝﹣5x+150（10≤x≤30），则利润w和售价x之间的函数关系为，该商品售价定为元/件时，每天销售该商品获利最大．21．如图，横截面为抛物线的山洞，山洞底部宽为8米，最高处高米，现要水半放置横截面为正方形的箱子，其中两个顶点在抛物线上的最大箱子，在大箱子的两侧各放置一个横截面为正方形的小箱子，则小箱子正方形的最大边长为米．22．要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长应为米．第22题第23题23．某单位要对拱形大门进行粉刷，如图是大门示意图，门柱AD和BC高均为0.75米，门宽AB为9米，上方门拱可以近似的看作抛物线的一部分，最高点到地面AB的最大高度为4.8米，工人师傅站在倾斜木板AM上，木板点M一端恰好落在门拱上且到点A的水平距离AN为7.5米，工人师傅能刷到的最大垂直高度为2.4米，则在MA上方区域中，工人师傅刷不到的最大水平宽度为米．24．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80m，高度为200m．则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为．第24题第25题25．如图是某拱桥的截面示意图．已知桥底呈抛物线，主桥底部跨度OA＝400米，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，桥面BF∥OA，抛物线最高点E离路面距离EF＝10米，BC＝120米，CD⊥BF，O，D，B三26．漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看作抛物线．如图是其中一个桥拱的示意图，拱跨AB ＝60m，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得AE＝2m，DE⊥AB且DE＝1.16m，则桥拱最高点到桥面的距离OC为m．27．掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范围，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（米）与飞行的水平距离x（米）之间具有函数关系y＝﹣，则小明这次实心球训练的成绩为．28．如图1，是一座抛物线型拱桥侧面示意图，水面宽AB与桥长CD均为12m，在距离D点3m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．如图2，桥面上方有3根高度均为5m的支柱CG、OH、DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为2m，下面结论正确的是（填写正确结论序号）．①图1抛物线型拱桥的函数表达式y＝﹣x2．②图2右边钢缆抛物线的函数表达式y＝2+2．③图2左边钢缆抛物线的函数表达式y＝2+2．④图2在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，彩带长度的最小值是3m．三．解答题29．某商场计划用5400元购买一批商品，若将进价降低10%，则可以多购买该商品30件．市场调查反映：售价为每件25元时，每天可卖出250件．如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．（1）求该商品原来的进价；（2）在进价没有改变的条件下，若每天所得的销售利润2000元时，且销量尽可能大，商品的售价是多少元；（3）在进价没有改变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元．请比较哪种方案的最大利润更高，并30．电商平台经销某种品牌的儿童玩具，进价为50元/个．经市场调查发现：每周销售量y（个）与销售单价x（元/个）满足一次函数关系（其中x为整数，且50≤x≤100）．部分数据如下表所示：销售单价x（元/个）55 60 70销售量y（个）220 200 160根据以上信息，解答下列问题：（1）求y与x的函数关系式；（2）求每周销售这种品牌的儿童玩具获得的利润W元的最大值；（3）电商平台希望每周获得不低于1100元的利润，请计算销售单价的范围．31．某机械厂每月固定生产甲、乙两种零件共80万件，并能全部售出．甲零件每件成本10元，售价16元；乙零件每件成本8元，售价12元．设生产甲零件x万件．所获总利润y万元．（1）写出y与x的函数关系式；（2）如果每月投入的总成本不超过740万元，应该怎样安排甲、乙零件的产量，可使所获的总利润最大？最大总利润是多少万元？（3）该厂在销售中发现：某月甲零件售价每提高1元，甲零件销量会减少5万件，乙零件售价不变，不管生产多少都能卖出，在（2）获得最大利润的情况下，为了获得更大的利润，该厂决定提高甲零件的售价，并重新调整甲、乙零件的生产数量，求甲零件售价提高多少元时，可获总利润最大？最大总利润是多少万元？32．在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6米，距地面均为1米，绳的最高点距离地面的高度为4米，以水平地面为x轴，垂直于地面且过绳子最高点的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图．（1）求抛物线的函数表达式；（2）身高为1.57米的小明此时进入跳绳，他站直时绳子刚好通过他的头顶，小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离，求小明离甲的水平距离．33．如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式＜不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：≈取1.4）34．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮建立如图的平面直角坐标系．（1）求出抛物线的解析式；（2）若队员与篮圈中心的水平距离为7m，篮圈距地面3m，问此球能否准确投中？35．高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面10m的点A和其正上方点B处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为12m．待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点B处，已知点D到高楼的水平距离为12m，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为3m．建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；（2）若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求A、B 之间的距离；（3）若消防员站在到高楼水平距离为9m的地方，想要扑灭距地面高度12～18m范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为3m时，直接写出a的取值范围．36．如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地面竖直高度为h＝1.2米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝1.8米，竖直高度EF＝1.1米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米．（1）求上边缘抛物线的函数解析式；（2）下边缘抛物线与x轴交点B的坐标为；（3）若d＝2.2米，则灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由．37．消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面2m，距离原点的水平距离为6m，着火点A距离点B的水平距离为10m，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为（其中b，c为常数）．（1）写出点B的坐标，求c与b之间满足的关系式．（2）若着火点A高出地面3m，①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴；②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离1m的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线（水流路线）L解析式中b的取值范围（包含端点）及c的最小值．38．跳大绳是天家喜欢的传统体育运动，绳子两端由两人拉着旋转，绳子离开地面时呈抛物线状，有一次跳大绳，甲、乙两人的手A、B离地面高度都为1米，现以地面为x轴，过点A向地面作的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，AB＝6米，绳子甩到最高处C点离地面2.8米，此时所有点都处于同一平面内．（1）求此时绳子所对应的抛物线表达式；（2）身高1.55米的小红跳入绳中，在绳子的正下方来回跳动，则她离A点的水平方向上的最小距离和最大距离分别是多少米？（3）若身高与小红相同的一群同学想同时跳绳，相互间的间距为0.8米，则此绳最多可容纳多少人一起跳？39．某宾馆有100个房间供游客居住，当每个房间每天的定价是200元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加5元时，就会有一个房间空闲，空闲的房间可以出租储存货物，每个空闲房间每天储存货物可获得50元的利润，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天额外支出40元的各种费用，储存货物不需要额外支出费用，设空闲房间有x间．（1）用含x的式子表示下列各量．①供游客居住的房间数是间；②每个房间每天的定价是元；③该宾馆每天的总利润w是元；（2）若游客居住每天带来的总利润不低于21600元时，求空闲房间每天储存货物获得的最大总利润是多少元？（3）该宾馆计划接受130吨的货物存储，每个房间最多可以存储3吨，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天的总利润w最大，最大利润是多少元？40．宜昌某农副加工厂2023年年初投入80万元经销某种农副产品，由于物美价廉，在惠农网商平台推广下，该产品火爆畅销全国各地．已知该产品的成本为20元/件，经市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足一种函数关系，售价x（元/件）与y （万件）的对应关系如表：x…20 26 28 31 35 …y…20 14 12 9 5 …（1）求该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式；（2）2023年年底该工厂共盈利16万元，2024年国家惠农政策力度更大，生产技术也有所提高，使得该特产的成本平均每件减少了1元．①求2023年该特产的售价；②该产品2024年售价定为多少时，工厂利润最大？最大利润是多少？41．掷实心球是宝鸡市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3m处．（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据宝鸡市高中阶段学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.60m时，得分为满分10分．请计算说明该男生在此项考试中是否得满分．42．如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，喷出的水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，水流的路线是抛物线y＝a（x﹣）2+4的一部分，落点B距离喷水柱底端O处3.5米．（1）写出水流到达的最大高度，并求a的值；（2）在保证水流形状不变的前提下，调整喷水柱OA的高度，使水流落在宽（EF）为米，内侧（点E）距点O为4米的环形区域内（含E，F），直接说出喷水柱OA的高度是变大还是变小，并求它变化的高度h（h＞0）（米）的取值范围．43．如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地面竖直高度为h＝1.2米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝2米，竖直高度EF＝0.8米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米．（1）求上边缘抛物线的函数解析式；（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；（3）若d＝3.2米，则灌溉车行驶时喷出的水（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．44．海豚是生活在海洋里的一种动物，它行动敏捷，弹跳能力强．海豚表演是武汉海昌极地海洋公园最吸引人的节目之一．在进行跳水训练时，海豚身体（看成一点）在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分．如图，在某次训练中以海豚起跳点O为原点，以O与海豚落水点所在的直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系．海豚离水面的高度y（单位：m）与距离起跳点O的水平距离x（单位：m）之间具有函数关系y＝ax2+2x，海豚在跳起过程中碰到（不改变海豚的运动路径）饲养员放在空中的离O点水平距离为3m，离水面高度为4.5m 的小球．（1）求海豚此次训练中离水面的最大高度是多少m？（2）求当海豚离水面的高度是时，距起跳点O的水平距离是多少m？（3）在海豚起跳点与落水点之间漂浮着一个截面长CD＝6m，高DE＝4m的泡沫箱，若海豚能够顺利跳过泡沫箱（不碰到），求点D横坐标n的取值范围．45．如图①为某悬索桥的示意图，其两座桥塔间的主索的形状近似于抛物线，桥塔与锚锭间的主索形状近似于直线，吊索间距均为2米，桥塔和吊索均与水平桥面垂直．如图②，已知桥塔AD和BC的高度为10米，水平桥长AB为32米，桥塔间的主索最低点P距桥面2米，锚锭E，F到桥塔AD，BC的距离均为16米，E，A，B，F四点共线，以CD为x轴，CD的垂直平分线为y轴（恰好经过点P），建立平面直角坐标系xOy．（1）求该抛物线的表达式；（2）为了满足桥梁的使用安全性，长度不小于4米的吊索需要使用密度更高、抗风性能更好的新型吊索，求这座悬索桥所需新型吊索的数量；（3）对桥梁进行维护检修时，发现需要在桥塔AD左右的主索上各加一条竖直钢索进行加固，要求桥塔AD左右的加固钢索相距8米，则最少需要准备加固钢索多少米？46．某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子OA，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．（1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子OA的距离为d米，求d的取值范围；（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y＝﹣x+4，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．47．如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度OH＝1.5米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝2米，竖直高度EF＝1米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.5米，灌溉车到l的距离OD为d米．（1）求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程OC；（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形DEFC位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求d的取值范围．48．某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（2）求w与x之间的函数关系式；（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，求今年可获得最大毛利润。

实际问题与二次函数之六大题型【考点导航】目录【典型例题】1【题型一拱桥问题】【题型二销售问题】【题型三投球问题】【题型四喷水问题】【题型五图形问题】【题型六图形运动问题】【典型例题】【题型一拱桥问题】1(2023·全国·九年级专题练习)郑州市彩虹桥新桥将于2023年9月底建成通车．新桥采用三跨连续单拱肋钢箱系杆拱桥，既保留了历史记忆，又展示出郑州的开放与创新．新桥的中跨大拱的拱肋ACB 可视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度AB 为120米，与AB 中点O 相距30米处有一高度为27米的系杆EF ．以AB 所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立如图②所示的平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)正中间系杆OC 的长度是多少米？若相邻系杆之间的间距均为3米(不考虑系杆的粗细)，是否存在一根系杆的长度恰好是OC 长度的13？请说明理由．【变式训练】1(2023秋·山西晋城·九年级校考期末)如图，有一个横截面为抛物线形状的隧道，隧道底部宽AB 为8m ，拱顶内高8m ．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中(原点O 是AB 的中点)．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；(2)如果该隧道设计为车辆双向通行，规定车辆必须在中心黄线两侧行驶，那么一辆宽2.5m，高4m的大型货运卡车是否可以通过？为什么？2(2023·河南郑州·校考三模)一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度AB为20米时，拱顶点O 距离水面的高度为4米．如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米(横截面可看作是长为5米，宽为3米的矩形)，若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度(结果保留根号)．3(2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)某公司生产A型活动板房的成本是每个3500元．图1表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．(1)按图1中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；(2)现将A型活动板房改造成为B型活动板房．如图2，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G、M在AD上，点F、N在抛物线上，窗户的成本为150元/m2．已知GM=2m，求每个B型活动板房的成本．(每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本)【题型二销售问题】1(2023秋·河北唐山·九年级统考期末)某超市以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系、经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x(元/千克)3035404550日销售量p(千克)604530150(1)请直接写出p与x之间的函数关系式；(2)超市应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)超市每销售1千克这种农产品需支出a元(a>0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为243元，求a的值．【变式训练】1(2023秋·河南驻马店·九年级统考期末)“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元．若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤，若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．(1)若降价2元，则每天的销售利润是多少元？(2)若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降低多少元？(其他成本忽略不计)(3)将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？2(2023秋·湖南湘西·九年级统考期末)某农户生产经销一种地方特产．已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元(1)求w与x之间的函数关系式；(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于每千克30元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？3(2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中)2022年北京冬奥会期间，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到人们的广泛欢迎．某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，销售单价经过两次调整，从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16套冰墩墩和雪容融．(1)若销售单价每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；(2)预计冬奥会闭幕后需求会有所下降，该网店需尽快将这批冰墩墩和雪容融售出，因此决定降价出售．经过市场调查发现：销售单价每降低10元，每天可多卖出两套当销售单价降低m元时，每天的利润为W．求当m为何值时利润最大最大利润是多少？【题型三投球问题】1(2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中)掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y m 与水平距离x m 之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为95m ．当水平距离为4m 时，实心球行进至最高点5m 处．(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)根据中考体育考试评分标准(男生版)，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于11.8m 时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．【变式训练】1(2023·河南安阳·统考一模)小红为了研究抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离．如图，用计算机编程模拟显示，当弹跳球以某种特定的角度和初速度从坐标为0,1 的点P 处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线I ，其最高点的坐标为4,5 ．弹跳球落到倾斜角为45°的斜面上反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线Ⅱ，且开口大小和方向均不变，但最大高度只是抛物线Ⅰ的25．(1)求抛物线I 的解析式；(2)若斜面被坐标平面截得的截图与x 轴的交点M 的坐标为7,0 ，求抛物线Ⅱ的对称轴．2(2023·河北·统考中考真题)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m 长．嘉嘉在点A (6,1)处将沙包(看成点)抛出，并运动路线为抛物线C 1:y =a (x -3)2+2的一部分，淇淇恰在点B (0，c )处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C 2:y =-18x 2+n8x +c +1的一部分．(1)写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；(2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．3(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y(单位：cm)，乒乓球运行的水平距离记为x(单位：cm)．测得如下数据：水平距离x/cm0105090130170230竖直高度y/cm28.7533454945330(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点x,y，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是cm；②求满足条件的抛物线解析式；(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值(乒乓球大小忽略不计)．4(2023·河南信阳·校考三模)实心球是中考体育项目之一．在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面1.8m，实心球运动至最高点时距地面3.4m，距出手点的水平距离为4m．设实心球掷出后距地面的竖直高度为y(m)，实心球距出手点的水平距离为x(m)．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．(1)求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式．(2)若实心球投掷成绩(即出手点与着陆点的水平距离)达到12.4m为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分．(3)第二次投掷时，实心球运动的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.08x-52+3.8．记小军第一次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d1，第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d2，则d1 d2(填“>”“<”“=”)．【题型四喷水问题】1(2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测)某公司为城市广场上一雕塑AB安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，距离地面3m，喷出的水柱轨迹呈抛物线型．据此建立如图的平面直角坐标系．若喷出的水柱轨迹BC上，任意一点与支柱AB的水平距离x(单位：m)与广场地面的垂直高度为y(单位：m)满足关系式y=-328x2+b1x+c1，且点D2,367在抛物线BC上(1)求该抛物线的表达式；(2)求水柱落地点与雕塑AB的水平距离；(3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：新喷水轨迹形成的抛物线形为y2=-328x2+b2x+c2，把水柱喷水的半径(动态喷水时，点C到AB的距离)控制在7m到14m之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度【变式训练】1(2023·甘肃兰州·统考中考真题)一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y m与离起跳点A的水平距离x m之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．(1)求y关于x的函数表达式；(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．2(2023·山东临沂·统考一模)如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为h=1.5米．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3米，竖直高度EF=0.5米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.5米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米．(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；(2)求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．3(2023·江西抚州·校联考三模)如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线x=10．用该灌溉装置灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y(单位：米)与水柱落地处距离喷水头的距离x(单位：米)之间的函数关系式为y=ax2+bx+c，其图像如图②所示．已知坡地OB所在直线经过点(10,1)．(1)c的值为；(2)若a=-120，求水柱与坡面之间的最大铅直高度；(3)若点B横坐标为18，水柱能超过点B，则a的取值范围为；(4)若a=-120时，到喷水头水平距离为16米的A处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由．【题型五图形问题】1(2023·全国·九年级专题练习)2023年南宁市公共资源交易中心明确提出将五象站铁路枢纽接入地铁4号线．目前4号线剩余的东段(五象火车站-龙岗站)已经在建设中，施工方决定对终点站龙岗站施工区域中的一条特殊路段进行围挡施工，先沿着路边砌了一堵长27m的砖墙，然后打算用长60m的铁皮围栏靠着墙围成中间隔有一道铁皮围栏(平行于AB)的长方形施工区域．(1)设施工区域的一边AB为xm，施工区域的面积为Sm2．请求出S与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)当围成的施工区域面积为288m2时，AB的长是多少？(3)该特殊路段围挡区域的施工成本为400元/m2，项目方打算拨款120000元用于施工，请你通过计算判断项目方的拨款能否够用．【变式训练】1(2023春·浙江宁波·八年级校联考期中)某景区要建一个游乐场(如图所示)，其中AD、CD分别靠现有墙DM、DN(墙DM长为27米，墙DN足够长)，其余用篱笆围成．篱笆DE将游乐场隔成等腰直角△CED和长方形ADEB两部分，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为54米．设AB的长为x米．(1)则BE的长为米(用含x的代数式表达)；(2)当AB多长时，游乐场的面积为320平方米？(3)直接写出当AB为多少米时，游乐场的面积达到最大，最大值为多少平方米？2(2023·广东深圳·统考中考真题)蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB=3m，BC=4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：(1)如图，抛物线AED的顶点E0,4，求抛物线的解析式；(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL=NR=0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长．【题型六图形运动问题】1(2023·江苏·模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t(s)．(1)当t为何值时，△PBQ的面积为2cm2；(2)求四边形PQCA面积的最小值．【变式训练】1(2023秋·四川宜宾·九年级统考期中)如图，等腰三角形ABC的直角边AB=BC=10cm，点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以每秒1个单位的速度做匀速运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿射线BC运动，PQ的连线与直线AC相交于点D．设点P运动的时间为ts，△PCQ的面积为S．(1)求S关于的函数关系式．(2)当t为多少时，△PCQ的面积与△ABC的面积相等？(3)当点P在边AB上运动时，过点P作PE⊥AC于点E．在点P，Q运动过程中，线段DE的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．2(2023·吉林松原·校联考三模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，点P从点A 出发以2cm/s的速度向点C运动，到点C停止，过点P作PQ⊥BC交AB点Q，以线段PQ的中点为对称中心将△APQ旋转180°得到△DQP，点A的对应点为点D，设点P的运动时间为t(s)(t>0)，△DQP与Rt△ABC重合部分的面积为S(cm2)．(1)求当点D落在BC边上时t的值；(2)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；(3)直接写出当△ADC是等腰三角形时t的值．实际问题与二次函数之六大题型【考点导航】目录【典型例题】1【题型一拱桥问题】【题型二销售问题】【题型三投球问题】【题型四喷水问题】【题型五图形问题】【题型六图形运动问题】【典型例题】【题型一拱桥问题】1(2023·全国·九年级专题练习)郑州市彩虹桥新桥将于2023年9月底建成通车．新桥采用三跨连续单拱肋钢箱系杆拱桥，既保留了历史记忆，又展示出郑州的开放与创新．新桥的中跨大拱的拱肋ACB 可视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度AB 为120米，与AB 中点O 相距30米处有一高度为27米的系杆EF ．以AB 所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立如图②所示的平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)正中间系杆OC 的长度是多少米？若相邻系杆之间的间距均为3米(不考虑系杆的粗细)，是否存在一根系杆的长度恰好是OC 长度的13？请说明理由．【答案】(1)y =-1100x 2+36(2)正中间系杆OC 的长度是36米，不存在一根系杆的长度恰好是OC 长度的13，理由见解析【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)先求出正中间系杆OC 的长度是36米，再建立方程求解即可．【详解】(1)结合图象由题意可知：B 60,0 ，E 30,27 ，设该抛物线解析式为：y =ax 2+c ，则：3600a +c =0900a +c =27 ，解得：a=-1100 c=36，∴y=-1100x2+36．(2)当x=0时，y=36，∴正中间系杆OC的长度是36米．设存在一根系杆的长度是OC的13，即这根系杆的长度是12米，则12=-1100x2+36，解得x=±206．∵相邻系杆之间的间距均为3米，最中间系标OC在y轴上，∴每根系杆上的点的横坐标均为整数．∴x=±206与实际不符．∴不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的13．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，涉及到了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程等知识，解题关键是读懂题意，找出数量关系，列出方程，并根据实际意义求解．【变式训练】1(2023秋·山西晋城·九年级校考期末)如图，有一个横截面为抛物线形状的隧道，隧道底部宽AB为8m，拱顶内高8m．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中(原点O是AB的中点)．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；(2)如果该隧道设计为车辆双向通行，规定车辆必须在中心黄线两侧行驶，那么一辆宽2.5m，高4m的大型货运卡车是否可以通过？为什么？【答案】(1)y=-12x2+8(2)一辆宽2.5m，高4m的大型货运卡车可以通过，理由见解析【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)求出当y=4时，x的值，再根据车辆宽2.5m且只能在中心的两侧行驶进行求解即可．【详解】(1)解：由题意得，点C的坐标为0，8，点A和点B的坐标分别为-4，0，4，0，设抛物线解析式为y=a x+4x-4，把C0，8代入得a0+40-4=8，解得a=-1 2，∴抛物线解析式为y=-12x+4x-4=-12x2+8；(2)解：一辆宽2.5m，高4m的大型货运卡车可以通过，理由如下：在y =-12x 2+8中，当y =-12x 2+8=4时，解得x =±22，∵22 2=8>2.52=6.25，∴22>2.5，∴一辆宽2.5m ，高4m 的大型货运卡车可以通过．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．2(2023·河南郑州·校考三模)一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度AB 为20米时，拱顶点O 距离水面的高度为4米．如图，以点O 为坐标原点，以桥面所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米(横截面可看作是长为5米，宽为3米的矩形)，若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度(结果保留根号)．【答案】(1)该抛物线的解析式y =-125x 2；(2)水面宽度为513米．【分析】(1)由题意可以写出A 点坐标，设抛物线解析式为y =ax 2，把点A 的坐标代入求出a ，c 的值即可；(2)把x =2.5代入抛物线解析式，求出对应函数值y ，再把y =-3.25代入计算即可求解．【详解】(1)解：设抛物线解析式为y =ax 2，∴桥下水面宽度AB 为20米，拱顶距离水面高度OC 为4米，∴点A (-10，-4)，∴-4=100a ，解得：a =-125，∴该抛物线的解析式y =-125x 2；(2)解：∵船宽5米，∴当x =2.5时，y =-125×2.52=0.25，若该渔船能安全通过，此时水面高为3+0.25 米，∴当y =-3.25时，-3.25=-125x 2，解得x =5213，∴水面宽度为513米．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，运用二次函数解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键．3(2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)某公司生产A 型活动板房的成本是每个3500元．图1表示A 型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD =4m ，宽AB =3m ，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4m ．(1)按图1中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；(2)现将A 型活动板房改造成为B 型活动板房．如图2，在抛物线与AD 之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN ，点G 、M 在AD 上，点F 、N 在抛物线上，窗户的成本为150元/m 2．已知GM =2m ，求每个B 型活动板房的成本．(每个B 型活动板房的成本=每个A 型活动板房的成本+一扇窗户FGMN 的成本)【答案】(1)y =-14x 2+1(2)每个B 型活动板房的成本为3725元【分析】(1)根据题意得出E 0,1 ,D 2,0 ，设该抛物线的函数表达式为y =kx 2+1，利用待定系数法求解即可；(2)根据题意得出N 1,34，继而求出矩形FGMN 的面积，列式求解即可．【详解】(1)∵长方形的长AD =4m ，宽AB =3m ，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4m ，∴OH =AB =3m ，∴OE =EH -OH =4-3=1m ，∴E 0,1 ,D 2,0 ，设该抛物线的函数表达式为y =kx 2+1，把D 2,0 代入，得0=4k +1，解得k =-14，∴该抛物线的函数表达式为y =-14x 2+1；(2)∵GM =2m ，∴OM =OG =1m ，当x =1时，y =-14×1+1=34，∴N 1,34 ，MN =34m ，∴S 矩形FGMN =MN ⋅GM =34×2=32m 2，∴3500+32×150=3725(元)，所以，每个B 型活动板房的成本为3725元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，准确理解题意，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【题型二销售问题】1(2023秋·河北唐山·九年级统考期末)某超市以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p (千克)与销售价格x (元/千克)之间的关系、经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x (元/千克)3035404550日销售量p (千克)604530150(1)请直接写出p 与x 之间的函数关系式；(2)超市应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)超市每销售1千克这种农产品需支出a 元(a >0)的相关费用，当40≤x ≤45时，农经公司的日获利的最大值为243元，求a 的值．【答案】(1)p =-3x +150(2)40元/千克(3)2【分析】(1)由题意知，销售价格每增加5元，销售量减少15千克，设p 与x 之间的函数关系式为p =kx +b ，待定系数法求得p =-3x +150，然后作答即可；(2)设日销售利润为w 元，由题意得：w =-3x +150 x -30 ，根据二次函数的图象与性质进行判断求解即可；(3)设日获利为w 元，由题意得：w =p x -30-a =-3x 2+240+3a x -150a +4500 ，则对称轴为直线x =-240+3a 2×-3 =40+12a ，①若a ≥10，则当x =45时，w 有最大值，最大值为：w =-3×452+240+3a ×45-150a +4500 =225-15a <243，即x =45不符合题意，舍去；②若0<a <10，则当x =40+12a 时，w 有最大值，将x =40+12a 代入，得：w =314a 2-10a +100 ，当w =243时，243=314a 2-10a +100 ，解得a 1=2，a 2=38(舍去)．【详解】(1)解：由题意知，销售价格每增加5元，销售量减少15千克，所以p 与x 之间的函数关系为一次函数关系；设p 与x 之间的函数关系式为p =kx +b ，将30,60 ，50,0 代入得，30k +b =6050k +b =0 ，解得k =-3b =150 ，∴p =-3x +150，故答案为：p =-3x +150；(2)解：设日销售利润为w 元，由题意得：w =p x -30 =-3x +150 x -30 =-3x -40 2+300，∵a =-3<0，抛物线开口向下，∴当x =40时，w 有最大值300．∴这批农产品的销售价格定为40元/千克，才能使日销售利润最大；(3)解：设日获利为w 元，由题意得：w =p x -30-a =-3x +150 x -30-a =-3x 2+240+3a x -150a +4500 ，∴对称轴为直线x=-240+3a2×-3=40+12a，①若a≥10，则当x=45时，w 有最大值，最大值为：w =-3×452+240+3a×45-150a+4500=225-15a<243，∴x=45不符合题意，舍去；②若0<a<10，则当x=40+12a时，w 有最大值，将x=40+12a代入，得：w =314a2-10a+100，当w =243时，243=314a2-10a+100 ，解得a1=2，a2=38(舍去)，综上所述，a的值为2．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式训练】1(2023秋·河南驻马店·九年级统考期末)“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元．若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤，若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．(1)若降价2元，则每天的销售利润是多少元？(2)若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降低多少元？(其他成本忽略不计)(3)将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？【答案】(1)若降价2元，则每天的销售利润是1040元；(2)应降低5元；(3)将商品的销售单价定为25.5元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大，最大利润是1102.5元．【分析】(1)根据题意，每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，若每斤的价格降低2元，则可增加20斤，再根据每斤利润×销量可得解；(2)根据每天盈利1100元列方程，解出x的值即可求解；(3)设每天盈利y元，根据题意建立二次函数，根据二次函数的图象及性质即可求得．【详解】(1)解：根据题意，降价2元则销售量为60+2×10=80(斤)，销售利润为：30-15-2×80=1040(元)，答：若降价2元，则每天的销售利润是1040元；(2)解：设每斤“阳光玫瑰葡萄”应降价x元，根据题意得：30-15-x60+10x=1100，整理得：x2-9x+20=0，解得x1=4，x2=5，∵为了尽快减少库存，∴x=5，此时30-x=25，答：每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤25元；。

例题．一块三角形废料如图所示，∠A ＝30°，∠C ＝90°，AB ＝12． 用这块废料剪出一个长方形CDEF ，其中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上．要使剪出的长方形CDEF 面积最大，点E 应造在何处？练习 如图，点E 、F 、G 、H 分别位于正方形ABCD 的四条边上，四边形EFGH 也是正方形．当 点E 位于何处时，正方形EFGH 的面积最小？二、利润问题例题.某商店经营T 恤衫,已知成批购进时单价是2.5元. 根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析,销售单价是多少时,可以获利最多?练习.某超市经销一种销售成本为每件40元的商品。

据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件。

设销售单价为x 元(x ≥50)，一周的销售量为y 件。

(1)写出y 与x 的函数关系式(标明x 的取值范围)；(2)设一周的销售利润为S ，写出S 与x 的函数关系式，求出S 的最大值,并确定当单价在什么范围内变化时，利润随单价的增大而增大？(3)若超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元F E DC B A H G F ED C B A二．探索新知：例题：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB ＝1.6m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m 。

这时，离开水面1.5m 处，涵洞宽ED 是多少?练习．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y ＝－14 x 2，当拱桥下水位线在AB 位置时，水面宽为12m ，这时水面离桥拱顶端的高度h 是（ ）A ．3mB ．2 6 mC ．4 3 mD ．9m四、最大高度问题例题．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式是h ＝30t －5t 2．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？练习：书中五、喷泉问题例题：如图，某建筑物从10m 高的窗口A 用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状， 如果抛物线的最高点M 离墙1m ，离地面340m ，水流落点B 离墙的距离OB 的长= 。