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英语优化探究必修二第二单元作文英文回答：In unit 2 of the second year of the compulsory English optimization course, we focus on the theme of "Individuals and Society." This unit explores the complex relationship between individuals and the broader social and cultural contexts they inhabit. Students engage with a range of texts, including fiction, nonfiction, and poetry, that grapple with themes of conformity, individuality, and the search for identity.One of the key questions we explore in this unit is: To what extent should individuals conform to societal norms and expectations? Students examine both the benefits and drawbacks of conformity, considering how it can provide a sense of belonging and stability while also potentially stifling creativity and self-expression. We delve into the works of authors such as Nathaniel Hawthorne, who in "The Scarlet Letter" explores the consequences of socialostracism, and J.D. Salinger, whose novel "The Catcher in the Rye" follows the journey of a teenage boy grapplingwith the hypocrisy and conformity of society.Another central theme in this unit is the importance of individuality. Students discuss the concept of authenticity and explore how individuals can develop a strong sense of self while navigating the pressures and expectations of society. We examine the works of poets such as Walt Whitman, who celebrates individual expression and the uniqueness of each person, and Emily Dickinson, whose poems often explore the themes of isolation and nonconformity.Finally, this unit also explores the ways in which individuals can actively engage with and shape their societies. Students consider the role of activism, protest, and social change in promoting individual and collectivewell-being. We examine the works of historical figures such as Martin Luther King Jr., who led the Civil Rights Movement in the United States, and Malala Yousafzai, who advocates for the rights of girls to education.Throughout this unit, students develop their critical thinking skills and their ability to engage with complexand nuanced ideas. They learn to analyze and interprettexts from multiple perspectives, and they practice expressing their own opinions and ideas in a clear and persuasive manner.中文回答：在中学英语优化课程必修二第二单元中，我们聚焦于“个人与社会”主题的探究。
课堂探究 知能点一：求优化问题的最大值问题指点迷津 实际生活中利润最大，容积、面积最大，效率最高，流量、速度最大等问题都需要利用导数求解相应函数的最大值，此时根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左增右减，则此时唯一的极大值就是所求函数的最大值．【例1】 用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边长比另一边长长0.5 m ，那么高为多少时，容器的容积最大？并求它的最大容积． 思路分析 设底面一边长为x m ，用x 表示另一边长和高，从而表示出容积，利用对容积函数求导来求最值．解：设容器底面一边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5) m ，高为14.8－4x －4(x ＋0.5)4＝3.2－2x .由⎩⎪⎨⎪⎧3.2－2x ＞0，x ＞0，解得0＜x ＜1.6. 设容器的容积为y m 3，则y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ，所以y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.令y ′＝0，则15x 2－11x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－415(舍去)． 在定义域(0,1.6)内只有x ＝1使y ′＝0，x ＝1是函数y ＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x 在(0,1.6)内的唯一的极大值点，也就是最大值点．因此，当x ＝1时，y 取得最大值，y max ＝－2＋2.2＋1.6＝1.8，这时高为3.2－2×1＝1.2. 故高为1.2 m 时，容器的容积最大，最大容积为1.8 m 3.解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．知一反三 1.内接于半径为R 的半圆，并且周长最大的矩形的边长为( )． A.12R 和32R B.55R 和455R C.45R 和75R D ．以上都不对 答案：B解析：设矩形的一边长为x ，则另一边长为2R 2－x 2，则矩形的周长为l ＝2x ＋4R 2－x 2(0<x <R )，l ′＝2－4x R 2－x 2.令l ′＝0， 解得x 1＝55R ，x 2＝－55R (舍去)． 当0<x <55R 时，l ′>0；当55R <x <R 时，l ′<0. 所以当x ＝55R 时，l 取最大值，即周长最大的矩形的边长为55R 和455R .故选B. 2．内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为( )．A.233RB.33RC.333RD.32R 答案：A解析：作轴截面如图，设圆柱高为2h ，则底面半径为R 2－h 2，圆柱体体积为V ＝π·(R 2－h 2)·2h ＝2πR 2h －2πh 3.令V ′＝0得2πR 2－6πh 2＝0，∴h ＝33R .即当2h ＝233R 时，圆柱体的体积最大．知能点二：优化问题中最小值问题指点迷津 实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．【例2】 如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y (元)与污水处理池长x (m)的函数关系式，并指出其定义域．(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价． 思路分析 分析题意→写出函数关系式→写出定义域→对函数关系式求导→讨论单调性→求最值解：(1)设长为x m ，则宽为200xm.据题意⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ≤16，0＜200x ≤16，解得252≤x ≤16， y ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋2·200x ×400＋400x×248＋16 000 ＝800x ＋259 200x＋16 000⎝⎛⎭⎫252≤x ≤16. (2)y ′＝800－259 200x 2＝0，解得x ＝18. 当x ∈(0,18)时，函数y 为减函数；当x ∈(18，＋∞)时，函数y 为增函数．又∵252≤x ≤16，∴当x ＝16时，y min ＝45 000. ∴当且仅当长为16 m 、宽为12.5 m 时．总造价y 最低为45 000元．选取合适的量为自变量，并确定其取值范围．正确列出函数关系式，然后利用导数求最值，其中把实际问题转化为数学问题，正确列出函数关系式是解题的关键．知一反三 1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位： ℃ )为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )．A ．8 B.203C ．－1D ．－8 答案：C解析：原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．两个和为48的正整数，第一个数的立方与第二个数的平方之和最小，则这两个正整数分别为__________．答案：5与43解析：设其中一个数为x ，则另一个数为48－x ，记y ＝x 3＋(48－x )2＝x 3＋x 2－96x ＋2 304(0<x <48)，所以y ′＝3x 2＋2x －96＝(3x －16)(x＋6)．由y ′＝0，得x ＝163或－6(舍去)，x ＝163是函数在区间(0,48)上唯一的极小值点，也是最小值点，但因为x 是正整数，所以需要进一步比较x ＝5与x ＝6的情况，从而可以确定x ＝5.所以所求的两个数为5与43.。
1.1.4生活中的优化问题举例教学目标：1．通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2．提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学过程：一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．二．新课讲授例1．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？练习：在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？例2．某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是20.8r π分，其中r 是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm ,问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？练习：在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。
（1）如果C(x)＝10005003.010236++--x x x ，那么生产多少单位产品时，边际)(x C '最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)（2）如果C(x)=50x ＋10000，产品的单价P ＝100－0.01x ，那么怎样定价，可使利润最大？1.1.4生活中的优化问题举例（二）例1：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？（2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？练习：某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2x万元。
[课时作业][组基础巩固]．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是( )．(α＋β)＞α＋β．(α＋β)＞α＋β．(α＋β)＞α＋β．(α＋β)＜α＋β解析：∵α、β为锐角，∴＜α＜α＋β＜π，∴α＞(α＋β)，又β＞，∴α＋β＞(α＋β)．答案：．在不等边三角形中，为最长边，要想得到∠为钝角的结论，三边，，应满足条件( )．＝＋．＜＋．≤＋．＞＋解析：由余弦定理得：＝＜，故＋－＜，∴＞＋.答案：．设＝＋，＝(＜)，则与大小关系为( )．＜．＞．≤．＝解析：＝＋＝，＝，当＜时，＜＜.∴＞.答案：．四面体中，棱、、两两垂直，则点在底面内的射影一定是△的( )．外心．内心．垂心．重心解析：如图，设点是点在底面内的射影，并连接，则⊥面.连接并延长交于点.由已知易得⊥.又∵⊥面，∴⊥.∴⊥面，∴⊥.∴在的高线上，同理在，的高线上．答案：．不相等的三个正数，，成等差数列，并且是，的等比中项，是，的等比中项，则，，三数( )．成等比数列而非等差数列．成等差数列而非等比数列．既成等差数列又成等比数列．既非等差数列又非等比数列解析：由已知条件，可得②＝. ③))由②③得代入①，得＋＝，即＋＝.故，，成等差数列．又由①得＝>＝·所以>·，故，，不成等比数列．答案：．设、是两个不共线的向量，＝＋，＝＋，若、、三点共线，则＝.解析：∵、、三点共线，∴存在λ使＝λ，即＋＝λ(＋)．∴λ＝，＝.答案：．已知α＋β＋γ＝，α＋β＋γ＝.则(α－β)＝.解析：∵α＋β＋γ＝，α＋β＋γ＝，∴α＋β＝－γ α＋β＝－γ))，两式平方相加得：＋( αβ＋αβ)＝，∴(α－β)＝－.答案：－．设>，>，则下面两式的大小关系为(＋)[(＋)＋(＋)]．解析：∵(＋)－(＋)(＋)＝＋＋－－－－＝－(＋)＝－(－)≤，∴(＋)≤(＋)(＋)，∴(＋)≤[(＋)＋(＋)]．答案：≤。
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203 C ．－1D ．－8解析：原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.答案：C2．以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为( ) A ．10 B ．15 C ．25D ．50解析：如图，CDEF 为半圆O 的内接矩形，C 、D 为圆上的动点， 连接OC ，设∠COF ＝α，则 CF ＝5sin α，OF ＝5cos α， ∴S 矩形CDEF ＝2×5cos α·5sin α ＝25sin 2α(0<α<π2)．∴S 矩形CDEF 的最大值为25. 答案：C3．某人要购买8件礼物，分两次购买，商家规定每次购买礼物付款金额为当次购买礼物数量的三次方，若使购买礼物付款额最省，此人每次购买礼物的数量分别为( )A ．2,6B ．4,4C ．3,5D ．1,7解析：设第一次购买了x 件礼物，则第二次购买了8－x 件，则付款额f (x )＝x 3＋(8－x )3， f ′(x )＝3x 2－3(8－x )2＝3(16x －64)， 令f ′(x )＝0，得x ＝4， ∴当x ＝4时，付款额最省． 答案：B4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x ，(0≤x ≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300解析：由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，由P ′(x )＝－x 2300＋300＝0，得x ＝300.当0≤x <300时，P ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大．答案：D5．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为( )A ．0.032B ．0.024C ．0.04D ．0.036解析：设存款利率为x ，依题意：存款量是kx 2，银行应支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.048kx 2，x ∈(0，0.048)．所以银行的收益是y ＝0.048kx 2－kx 3(0<x <0.048)，由于y ′＝0.096kx －3kx 2，令y ′＝0得x ＝0.032或x ＝0(舍去)，又当0<x <0.032时，y ′>0；当0.032<x <0.048时，y ′<0，所以当x ＝0.032时，y 取得最大值．答案：A6．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/时，当速度为10海里/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲乙两地相距800海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________．解析：由题意设每小时的燃料费y 与航速v 间满足y ＝a v 3(0≤v ≤30)， 又∵25＝a ·103，∴a ＝140.设从甲地到乙地海轮的航速为v ，总费用为f (v )， 则f (v )＝a v 3×800v ＋800v ×400＝20v 2＋320 000v ， 由f ′(v )＝40v －320 000v 2＝0，得v ＝20<30.答案：20海里/时7．某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________．解析：设长，宽分别为a ，b ，则ab ＝512，且l ＝a ＋2b ，∴l ＝2b ＋512b ，∴l ′＝2－512b2，令l ′＝0得b 2＝256，∴b ＝16，a ＝32.即当长、宽分别为32 m 、16 m 时最省材料．答案：32 m,16 m8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km 处．解析：依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x ，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离，k 1，k 2是比例系数．于是由2＝k 110得k 1＝20；由8＝10k 2得k 2＝45.因此，两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5(x >0)，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝0，得x ＝5，或x ＝－5(舍去)．当0<x <5时，y ′<0；当x >5时，y ′>0.因此，当x ＝5时，y 取得极小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小． 答案：59.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解析：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积， S ＝2πRh ＋2πR 2由V ＝πR 2h ，得h ＝VπR 2，则S (R )＝2πR V πR 2＋2πR 2＝2VR ＋2πR 2，令S ′(R )＝－2VR 2＋4πR ＝0，解得，R ＝3V2π，从而h ＝VπR2＝V π( 3V 2π)2＝34V π＝2·3V 2π.即h ＝2R .因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值． 所以当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．10．用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解析：设容器的高为x cm，容器的体积为V(x)cm3.则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4 320x(0<x<24)．V′(x)＝12x2－552x＋4 320＝12(x2－46x＋360)＝12 (x－10)(x－36)(0<x<24)．令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)．当0<x<10时，V′(x)>0，V(x)是增函数；当10<x<24时，V′(x)<0，V(x)是减函数；因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19 600(cm3)．故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm3.[B组能力提升]1．横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为()A.3d，33d B.33d，63dC.63d，33d D.63d，3d解析：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y，由题意，知当xy2取最大值时，横梁的强度最大．∵y2＝d2－x2，∴xy2＝x(d2－x2)(0<x<d)．令f(x)＝x(d2－x2)(0<x<d)，求导数，得f′(x)＝d2－3x2.令f′(x)＝0，解得x＝33d，或x＝－33d(舍去)．当0<x<33d时，f′(x)>0；当33d<x<d时，f′(x)<0，因此，当x ＝33d 时，f (x )取得极大值，也是最大值． 综上，当矩形横断面的高为63d ，宽为33d 时，横梁的强度最大． 答案：C2．已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大的矩形的长和宽分别为( )A ．2，233B.83，433C.83，2 D ．4，83解析：设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x ，y )，其中0<x <2，y >0，则另一个在抛物线上的顶点为(－x ，y )，在x 轴上的两个顶点分别为(－x,0)，(x,0)．设矩形的面积为S ，则S ＝2x (4－x 2)(0<x <2)，则S ′＝8－6x 2.令S ′＝0，得x ＝233或x ＝－233(舍去)．当0<x <233时S ′>0；当233<x <2时，S ′<0.因此，当x ＝233时，S 取得极大值，也就是最大值，此时，2x ＝433，4－x 2＝83.所以矩形的长和宽分别为83和433时，矩形的面积最大．答案：B3．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________．解析：设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ， 由题知k ＝250 000，则a 2x ＝250 000， 所以a ＝500x ，总利润y ＝500x －275x 3－1 200(x >0)， y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25，当x ∈(0,25)时，y ′>0，当x ∈(25，＋∞)时，y ′<0， 所以当x ＝25时，y 取得最大值． 答案：25件4．若一球的半径为r ，则内接于球的圆柱的侧面积最大为________．解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则R ＝r cos θ，l ＝2r sin θ.∴S 侧＝2πR ·l ＝2πr cos θ×2r sin θ＝4πr 2sin θcos θ. ∴由S ′侧＝4πr 2(cos 2θ－sin 2θ)＝0，得θ＝π4.∴当θ＝π4，即R ＝22r 时，S 侧最大，且S 侧最大值为2πr 2.答案：2πr 25．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每投入广告费t (百万元)，可增加销售额约为－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤5)．(1)若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x (百万元)，可增加的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(注：收益＝销售额－投入资金)解析：(1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)，则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0<t ≤3)．故当t ＝2(百万元)时，f (t )取得最大值4百万元，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)(0≤x ≤3)，又设由此而获得的收益是g (x )，则有g (x )＝(－13x 3＋x 2＋3x )＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)．∴g ′(x )＝－x 2＋4.令g ′(x )＝0， 解得x ＝－2(舍去)或x ＝2. 又当0≤x <2时，g ′(x )>0； 当2<x ≤3时，g ′(x )<0，故g (x )在[0,2)上是增函数，在(2,3]上是减函数．∴当x ＝2时，g (x )取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．6．设某物体一天中的温度T (℃)是时间t (h)的函数：T (t )＝at 3＋bt 2＋ct ＋d (a ≠0)．t ＝0表示12点，t >0表示12点以后，t <0表示12点以前．若测得该物体在8点的温度为8 ℃，12点的温度为60 ℃，13点的温度为58 ℃，并且该物体的温度在8点和16点有相同的变化率．(1)写出该物体的温度T 与时间t 之间的函数表达式；(2)该物体在10点到14点这段时间内(包括10点和14点)，在何时温度最高？最高值是多少？解析：(1)根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧T (－4)＝8，T (0)＝60，T (1)＝58，即⎩⎪⎨⎪⎧－64a ＋16b －4c ＋d ＝8，d ＝60，a ＋b ＋c ＋d ＝58.又∵该物体的温度在8点和16点有相同的变化率，且T ′＝3at 2＋2bt ＋c ， ∴T ′(－4)＝T ′(4)，即 48a －8b ＋c ＝48a ＋8b ＋c . ∴b ＝0.将b ＝0代入上述方程组中，并进行化简得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝60，a ＋c ＝－2，16a ＋c ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－3，d ＝60.∴该物体的温度T 与时间t 之间的函数表达式为T ＝t 3－3t ＋60. (2)由(1)，T ′(t )＝3t 2－3＝3(t －1)(t ＋1)(－2≤t ≤2)， 令T ′(t )＝0，得t ＝±1.当t 变化时，T ′(t )和T (t )的变化情况如下表：极小值为T (1)＝58.又函数在区间[－2,2]的端点函数值为T (－2)＝58，T (2)＝62，比较以上数值可以得出，当t ＝2或－1时，T (t )取最大值，即在11点、14点时物体的温度最高，最高温度为62 ℃.。
章末检测(二)时间：分钟满分：分一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．根据偶函数定义可推得“函数()＝在上是偶函数”的推理过程是( )．类比推理．归纳推理．非以上答案．演绎推理解析：根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选.答案：．下面四个推理不是合情推理的是( )．由圆的性质类比推出球的有关性质．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是°，归纳出所有三角形的内角和都是°．某次考试张军的成绩是分，由此推出全班同学的成绩都是分．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的解析：是类比推理，、是归纳推理，不是合情推理．答案：．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于，因为是实数，所以>”，你认为这个推理( )．小前提错误．大前提错误．是正确的．推理形式错误解析：这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于”，小前提是“是实数”，结论是“>”．显然结论错误，原因是大前提错误．答案：．设为正整数，()＝＋＋＋…＋，计算得()＝，()>，()>，()>，()>，观察上述结果，可推测出一般结论为( )．()>．()＝．()>．()≥解析：观察所给不等式，不等式左边是()，右边是，故选.答案：．已知数列{}的前项和为，且＝，＝(∈*)，计算，，，，…，可归纳猜想出的表达式为( )解析：由＝，得＋＝，∴＝，＝；又＋＋＝，∴＝，＝＝；又＋＋＋＝，得＝，＝；……由＝＝，＝＝，＝＝，＝＝，…，可以猜想＝.答案：．如果两个数之和为正数，则这两个数( )．一个是正数，一个是负数．两个都是正数．至少有一个是正数．两个都是负数解析：这两个数中至少有一个数是正数，否则，若这两个数都不是正数，则它们的和一定是非正数，这与“两个数之和为正数”相矛盾．答案：．已知为正偶数，用数学归纳法证明－＋－＋…＋＝时，若已假设＝(≥为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )．＝＋时等式成立．＝＋时等式成立．＝＋时等式成立．＝(＋)时等式成立解析：因为假设＝(≥为偶数)，故下一个偶数为＋，故选.答案：．用数学归纳法证明＋＋…＋(－)＋＋(－)＋…＋＋＝时，从＝到＝＋时，等式左边应添加的式子是( )．(－)＋．(＋)＋．(＋)(＋)[(＋)＋]解析：当＝时，左边＝＋＋…＋(－)＋＋(－)…＋＋，当＝＋时，左边＝＋＋…＋(－)＋＋(＋)＋＋(－)＋…＋＋，∴从＝到＝＋，左边应添加的式子为(＋)＋.答案：.如图所示，椭圆中心在坐标原点，为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率等于( )。
[课时作业][A 组 基础巩固]1．自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( )A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化量D ．在区间[x 0，x 1]上的导数解析：根据平均变化率的概念知，选A.答案：A2．函数f (x )在x 0处可导，则li m h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h( ) A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0，h 均无关解析：由导数的概念可知，li m h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h ＝ f ′(x 0)，仅与x 0有关，与h 无关．故选B.答案：B3．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则li m Δx →0Δy Δx等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋Δx 2 解析：∵邻近一点的坐标为(1＋Δx,2＋Δy )，∴2＋Δy ＝f (1＋Δx )＝(1＋Δx )2＋1＝2＋2Δx ＋(Δx )2.∴Δy ＝(Δx )2＋2Δx .∴Δy Δx＝2＋Δx . ∴li m Δx →0 Δy Δx＝li m Δx →0 (2＋Δx )＝2.故选A. 答案：A4．若f ′(x 0)＝－3，则li m h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h ＝( ) A ．－3B ．－6C ．－9D ．－12解析：由题意可得：li m h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )h＝li m h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0－h )h＝li m h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h ＋li m h →0 f (x 0－h )－f (x 0)－h＝f ′(x 0)＋f ′(x 0)＝2f ′(x 0)＝－6.答案：B5．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．直线解析：当f (x )＝b 时，f ′(x )＝0，所以f (x )的图象为一条直线，故应选D.答案：D6．已知一次函数y ＝kx ＋b ，则其在区间[m ，n ]上的平均变化率为________．解析：Δy Δx ＝f (n )－f (m )n －m ＝kn ＋b －km －bn －m ＝k ，∴函数y ＝kx ＋b 在区间[m ，n ]上的平均变化率为k .答案：k7．若一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1.解析：ΔsΔt ＝7(t ＋Δt )2＋8－(7t 2＋8)Δt ＝7Δt ＋14t ，当li m Δt →0 (7Δt ＋14t )＝1时，t ＝114.答案：1148．若f ′(x 0)＝－3，则li m h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－3h )h ＝________.解析：∵f ′(x 0)＝li m h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h ＝－3.∴li m h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－3h )h＝li m h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0－3h )h＝li m h →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x 0＋h )－f (x 0)h ＋3·f (x 0－3h )－f (x0)－3h＝li m h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h ＋3·li m h →0 f (x 0－3h )－f (x 0)－3h＝f ′(x 0)＋3f ′(x 0)＝4f ′(x 0)＝－12.答案：－129．求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数．解析：∵Δy ＝3(1＋Δx )2－3×12＝6Δx ＋3(Δx )2，∴Δy Δx＝6＋3Δx ，∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 (6＋3Δx )＝6. 10．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，求a 的值．解析：因为Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝a (x ＋Δx )3＋3(x ＋Δx )2＋2－(ax 3＋3x 2＋2)＝3ax 2Δx ＋3ax (Δx )2＋a (Δx )3＋6x Δx ＋3(Δx )2，所以Δy Δx＝3ax 2＋3ax Δx ＋a (Δx )2＋6x ＋3Δx ， 所以Δx →0时，Δy Δx→3ax 2＋6x ， 即f ′(x )＝3ax 2＋6x ，所以f ′(－1)＝3a －6＝4，解得a ＝103. [B 组 能力提升]1．已知点P (2,8)是曲线y ＝2x 2上一点，则P 处的瞬时变化率为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：Δy ＝2(2＋Δx )2－2×22＝8Δx ＋2(Δx )2，Δy Δx ＝8Δx ＋2(Δx )2Δx＝8＋2Δx ， 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx无限趋近于常数8. 答案：D2．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )A ．k 1<k 2B ．k 1>k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定 解析：因为k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝2x 0＋Δx ， k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝2x 0－Δx ， 又Δx 可正可负且不为零，所以k 1，k 2的大小关系不确定．答案：D3．若正方体的棱长从x ＝1到x ＝a 时正方体的体积膨胀率为21，则a 的值为________．解析：Δv ＝a 3－1，∴Δv Δx ＝a 3－1a －1＝a 2＋a ＋1＝21， ∴a 2＋a －20＝0，∴a ＝4或a ＝－5(舍去)．答案：44．已知f ′(x 0)＝li m x →x 0f (x )－f (x 0)x －x 0，f (3)＝2，f ′(3)＝－2，则li m x →3 2x －3f (x )x －3的值是________．解析：li m x →32x －3f (x )x －3＝ li m x →3 2x －3f (x )＋3f (3)－3f (3)x －3＝li m x →3 2x －3f (3)x －3＋li m x →3 3(f (3)－f (x ))x －3由于f (3)＝2，上式可化为li m x →32(x －3)x －3－3li m x →3 f (x )－f (3)x －3＝2－3×(－2)＝8. 答案：85．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．(1)从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(3)求T ′(5)，并说明它的实际意义．解析：(1)在t ＝0和t ＝10时，蜥蜴的体温分别为T (0)＝1200＋5＋15＝39，T (10)＝12010＋5＋15＝23，从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温下降了16 ℃.(2)平均变化率ΔT Δt ＝T (10)－T (0)10＝－1610＝ －1.6(℃)．它表示从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.(3)T ′(5)＝li m Δt →0 120(5＋Δt )＋5＋15－1205＋5－15Δt＝ －1.2，它表示T ＝5 min 时蜥蜴体温下降的速度为1.2 ℃/min.6．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？解析：山路从A到B高度的平均变化率为h AB＝ΔyΔx＝10－050－0＝15，山路从B到C高度的平均变化率为h BC＝ΔyΔx＝15－1070－50＝14，∵h BC＞h AB，∴山路从B到C比从A到B要陡峭．。
