最新北师大版九年级数学下册2.0第二章二次函数公开课优质PPT课件(1)

想一想
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总 产量最多？ 【解析】
y=-5(x2-20x)+60 000 =-5(x2-20x+102-102)+60 000 =-5(x-10)2+60 500 ≤60 500
合作探究
y=-5x2+100x+60 000 =-5(x-10)2+60 500
（是）其中a=3,b=-6,c=4 （不是） （是）其中a=-2,b=0,c=3 （不是） （不是） （是）其中a=10π ,b=c=0
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与 矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是 哪一种函数？
解：S=a( 60 -a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a .
2.等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项, 但不能没有二次项.
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的 函数叫做x的二次函数. 2.y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式: (1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0). (2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax²+bx (a≠0,b≠0,c=0). 3.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数是 二次,自变量x的取值范围是全体实数.
如 y=100 x2 + 200 x + 100
a
b
c
【跟踪训练】
1.下列函数中,哪些是二次函数？如果是二次函数请指出二 次函数中a,b,c分别为多少？
（1）y=3(x-1)²+1.

设人民币一年定期储蓄的年利率是 x,一年到期后,银行将本金和利息自动 按一年定期储蓄转存.如果存款额是 100元,那么请你写出两年后的本息和 y(元)的表达式(不考虑利息税).
y=100(x+1)²=100x²+200x+100.
二、新课讲解
用心想一想
1.两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数 之积y的表达式吗？
四、强化训练
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1;
(2) y x 1 . x
(3) s=3-2t²;
(4) y

1 x2
； x
(5)y=(x+3)²-x²;
(6) v=10πr².
（1）（3） （6）
四、强化训练
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
一、新课引入
变 量 之 间函 的数 关 系
一次函数 反比例函数

y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
y=k/x (k≠0)
二次函数
二、新课讲解
用心想一想
某果园有100棵橙子树,平均每 棵树结600个橙子.现准备多种一 些橙子树以提高果园产量,但是如 果多种树,那么树之间的距离和每 一棵树所接受的阳光就会减少.根 据经验估计,每多种一棵树,平均每 棵树就会少结5个橙子.
例如: y=-5x²+100x+60000,y=100x²+200x+100.
老师提示: (1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常 数项,但不能没有二次项.

• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/142021/1/142021/1/141/14/2021 3:47:52 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/142021/1/142021/1/14Jan-2114-Jan-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/142021/1/142021/1/14Thursday, January 14, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/142021/1/142021/1/142021/1/141/14/2021
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应 的y值,完成下表：
x
… -3 -2 -1 0
1
2
3…
y=x2 … 9
4
1
0
1
4
9…
做一做
描点,连线
y
y=x2
10
8
6
4
2 1
-4 -3 -2 -1 0
1
2
3
4x
-2
议一议
观察图象,回答问题
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
y=x2 （0，0）
y轴
y= -x2 （0，0）
y轴
在x轴的上方(除顶点外) 向上
在x轴的下方( 除顶点外) 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=0时,最小值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最大值为0.
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4

不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
(5)y= _1_ -x x²
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
不是二次函数. (6) v=8π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数: 8π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系为y个,那么请你写出y 与x之间的关系式.
总产量=果树的总数X每棵-5树x²+产10量0x+60000
y=(100+x)(600-5x)=
观察：函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
S=-a²+30a y= -5x²+100x+60000
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。
2
即
m 1 n2 1 n 22
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。
解：由题意得： Y=x(40-2x)
x
即：Y=-2x2+40x(0<x<20) m
解：S=a(60 - a)
2 = -a²+30a .
问题2
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那 么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少. 根
据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙 子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种 树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减 少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5个橙子.

一条直线 Байду номын сангаас
双曲线
导入新知
正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正
方体的棱长为x，表面积为y. 显然，对于x的 每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数， 它们的具体关系可以表示为 y＝6x2.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变 量x的最高次数是2. 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学 习的二次函数．
(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等
量关系列出方程或等式． (3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．
例3
填空：
V＝14πr2(r＞0) ； 径r(cm)之间的函数关系式是_______________
知3－讲
(1)已知圆柱的高为14 cm，则圆柱的体积V(cm3)与底面半 (2)已知正方形的边长为10，若边长减少x，则面积减少y，
一次项系数和常数项．
知1－讲
例1 下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函 数的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)y＝7x－1； (3)y＝3a3＋2a2； (2)y＝－5x2； (4)y＝x－2＋x； 1 2 (6)y＝x ＋ 2 . x
(5)y＝3(x－2)(x－5)；
知1－讲
解： (1)y＝7x－1； 自变量的最高次数是1 (2)y＝－5x2； 自变量的最高次数是2 (3)y＝3a3＋2a2；自变量的最高次数是3 (4)y＝x－2＋x； x－2不是整式 (5)y＝3(x－2)(x－5)；
2＋20x(0≤x≤10) y ＝－ x y与x之间的函数关系式是_____________________．
(1)根据圆柱体积公式V＝πr2×h求解； 导引：
(2)有三种思路：如图，①减少的面积y＝ S四边形AEMG＋S四边形GMFD＋S四边形MHCF＝x(10－x) ＋x2＋x(10－x)＝－x2＋20x，②减少的面积y＝ S四边形AEFD＋S四边形GHCD－S四边形GMFD＝10x＋10x－x2＝－x2 ＋20x，③减少的面积y＝S四边形ABCD－S四边形EBHM＝102－(10 －x)2＝－x2＋20x.

1．一般式：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0)
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2 ＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或 最小值，则设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件 代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式．
图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点
与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交
与x轴有唯一交点(顶点)
与x轴有两个交点 与x轴没有交点
四、二次函数图象的平移
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移 得到，具体平移方法如下：
五、二次函数表达式的求法
考点五 二次函数表达式的确定
例5:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的表达式.
解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c, 由题意得：
a b c 10，
a
b
c
4，
4 a 2 b c 7，
待定系数法
解得, a=2,b=－3,c=5.
第二章 二次函数
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)， 那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝c＝0时，
y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，由顶点式可以直接 写出二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图 象与x轴交点的横坐标．

比一比，看谁快
二次函数与一元二次方程
分别求出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与 x轴的交点的坐标,并作出草图.
思路点拨:与x轴交点就是求当 y=0 时这个方程的解,然后
写成点的坐标.
与x轴交点 （-2，0）和（0，0）
（1，0）
与x 轴无交点
y=x2+2x
y=x2-2x+1
5. 已知抛物线与轴交于A(-1, 0) 和(1, 0) 并经过点M(0,1), 则 此抛物 线的解析式为____y_=__-x_2_+_1_____
二次函数与一元二次方程
【例】我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用
公式h=-5t2+v0t+h0 表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度.
( 1 ) h和t的关系式是什么？ （2）图象上的每一个点的横、纵坐标分
别代表什么含义？ ( 3 ) 小球经过多少秒后落地?
你有几种求解方法?与同伴进行交流.
用心想一想，马到功成 二次函数与一元二次方程
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系
可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/
一般地，当y取定值时，二次函数即为一元二次方程
二次函数与一元二次方程
例: 已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有交点，求k 的
取值范围.
错解：由△=（－7）2－4×k×（－7）=49＋28k＞0，
得k＞－
9．
4
正确解法：此函数为二次函数，∴k≠0，又与x轴有交点，

D
5．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表达式为( ) A．y＝60(1－x)2 B．y＝60(1－x) C．y＝60－x2 D．y＝60(1＋x)2
A
6．矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2. 求：（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当x=3时矩形的面积.
B
3．若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数， 则( ) A．m≠－2 B．m≠2 C．m≠3 D．m≠－3
B
4．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 ( ) A．y＝mx2＋3x－1 B．y＝(m－1)x2 C．y＝(m－1)2x2 D．y＝(－m2－1)x2
①∵600-5x>0，x＞0，∴0≤x<120，且x为整数.②x>0.③∵20-x>0，∴0<x<20.
二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.
列二次函数关系式
一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形．剩余部分的面积为ycm2.写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？
它会与某种函数有联系吗?
讲授新课
典例精讲
归纳总结
二次函数的定义及函数自变量取值范围
问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？

2
（2）y= 1x²+x³+25；
2
（3）y=2²+2x； （4）s=1+t+5t ².
2. 圆的半径是 1 cm，假设半径增加 x cm 时，圆 的面积增加 y cm². （1）写出 y 与 x 之间的函数关系表达式. （2）当圆的半径分别增加 1 cm， 2 cm，2 cm 时， 圆的面积增加多少？
2. 定义的实质：ax²+bx+c 是整式，自变量 x 的最高次数是二次，自变量 x 的取值范 围是全体实数.
第二章 二次函数
2 二次函数的图象与性质 （第 1 课时）
想一想
在二次函数 y=x2 中，y 随 x 的变化而变化的规律是什 么？你想直观地了解它的性质吗?
画二次函数 y=x2 的图象. （1）观察 y=x2 的表达式，选择适当的 x 值，并计算相 应的 y 值，完成下表：
抛物线 y=x2 在 x 轴的上方（除顶点外）， 顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无 限伸展.当 x=0 时，函数 y 的值最小，最 小值是0.
做一做 二次函数 y=-x2 的图象是什么形状？先想一想，再画 出它的图象．它与二次函数 y=x2 的图象有什么关系？
与同伴交流.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
二次函数 y=x2 的
y x2
图象形如物体抛射
时所经过的路线，我
们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称，y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做抛 物线的顶点.
当 x<0 （在对称轴的左侧）时，y 随着 x 的增大而减小. 当 x>0 （在对称轴的右侧）时, y 随着 x 的增大而增大.

当c〈0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象
向 下 平移 |c|个单位得到。 上加下减
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移5 个单位得到；y=4x2-11的图象 可由 y=4x2的图象向下 平移11个单位得到。
(2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向上平移 7 个 单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象
20 y 8
12 14
25
y=x2+1
…… ……
6
函数y=x2+1的图象与y=x2的
图象的位置有什么关系?
4
函数y=x2+1的图
象与y=x2的图象
2
y=x2
的形状相同吗?
O
5
x 10
-2
x ….. -2 y=x2 …… 4
y=x2-2 …… 2
函数y=x2-2的图象 可由y=x2的图象 沿y轴向下平移2 个单位长度得到.
A. a+c B. a-c C. –c D. c
(3)
函数y=ax2-a与y=
a x
(a
0)
在同一直角坐标系中的图象可能是 （A ）
(4) 一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线
y 1x2 3.5 5
运行，然后准确落入蓝筐内，已知蓝筐的中心离地面的
距离为3.05m。
1、球在空中运行的最大高度是多少米？
。2021年1月14日星期四2021/1/142021/1/142021/1/14
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2021年1月2021/1/142021/1/142021/1/141/14/2021