初中数学几何-典型问题中的对角互补模型

全等与相似模型-对角互补模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、旋转中的对角互补模型对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。

思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。

常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60°对角互补模型、2α-(180°-2α)对角互补模型。

1)“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型)条件：如图，已知∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB.结论：①CD=CE，②OD+OE=2OC，③S ODCE=S△COE+S△COD=12OC2.2)“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(同侧型)条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB.结论：①CD=CE，②OE-OD=2OC，③S△COE-S△COD=12OC2.3)“等边三角形对120°模型”(1)条件：如图，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB.结论：①CD=CE，②OD+OE=OC，③S△COD+S△COE=34OC2.4)“等边三角形对120°模型”(2)条件：如图，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，结论：①CD=CE，②OD-OE=OC，③S△COD-S△COE=34OC2.5)“120°等腰三角形对60°模型”条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。

专题05 对角互补模型综合应用（知识解读）【专题说明】共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。

主要：含90°的对角互补，含120°的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。

解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线.【方法技巧】类型一：含90°的对角互补模型（1）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，则有以下结论：作法1 作法2；；（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D 时，则有以下结论：作法1 作法2；；类型二：含120°的对角互补模型（1）如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，则有以下结论：作法1 作法2；；（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D 时，则有以下结论：作法1 作法2；；【典例分析】【类型一：含90°的对角互补模型】【典例1】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；（不需要证明）（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD 延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【变式1-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AP＝EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的，其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④⑤C．①③④⑤D．①③④【变式1-2】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是（直接写结论，不需证明）；（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD 上的点，且2∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．【变式1-3】（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：．【变式1-4】问题探究：如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．①BE、CF与EF之间的关系为：BE+CF EF；（填“＞”、“＝”或“＜”）②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．问题解决：如图2，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝130°，以D为顶点作∠EDF＝65°，∠EDF的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．【类型二：含120°的对角互补模型】【典例2】问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC ＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD 之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【变式2-1】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，则△AMN 的周长是．【变式2-2】【问题背景】如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE ≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．专题05 对角互补模型综合应用（知识解读）【专题说明】共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。

专题11.“对角互补模型”一．知识点:1.如图，已知∠AO B +∠DCE ＝180°，且点C 在∠AOB 的平分线上． 结论：①CD ＝CE ；②∠AO B ＝90°时，OD +OE ＝2O C ； ③∠AO B ＝90°时，OD +OE ＝O C ．2. 如图，已知∠AO B +∠DCE ＝180°． 结论：CE ＝CD ·tan ∠CGP3. 已知∠B AC ＝∠B DC ＝90°，AB ＝AC ． 结论：B D +CD ＝2AD拓展：已知∠A BC ＝60°，∠ADC ＝120°，AB ＝,BC 结论：A D +DC ＝BD, S 四边形ABCD ＝S △ABD +S △BCD ＝43BD 2二．典型例题1.如图，AC 平分∠BAD ，∠B +∠D ＝180°，CE ⊥AD 于点E ，AD ＝12cm ，AB ＝7cm ，求DE 的长．2.如图在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，点P 是线段AC 的中点，点M 为线段AB 延长线上一点，点N 为线段BC 延长线上一点，且∠MPN ＝90°，求证：＝33．3.已知△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，点E在射线BC上，点F在射线BA上，∠EDF ＝120°．（1）如图1，若点F与B点重合，求证：DB＝DE；（2）如图2，若点E在线段BC上，点F在线段BA 上，求的值；（3）如图3，若AF+CE＝BD，直接写出∠EDC 的度数为．三．变式练习1.如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB+DA．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2.已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过O点的两直线OE、OF互相垂直，分别交AB、BC于E、F，连接EF，若AE＝4，CF＝3，求EF 的长．3.如图，在等边△ABC，点O为三个内角平分线的交点，∠EOF＝120°，交边BC、AC于E、F，求证：OE＝OF；4.（1）【探究发现】如图1，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF＝90°，将∠EOF绕点O 旋转，旋转过程中，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．则CE，CF，BC之间满足的数量关系是．（2）【类比应用】如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“∠BCD＝120°的菱形ABCD”，其他条件不变，当∠EOF＝60°时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．（3）【拓展延伸】如图3，∠BOD＝120°，OD ＝，OB＝4，OA 平分∠BOD，AB＝，且OB＞2OA，点C是OB上一点，∠CAD＝60°，求OC的长．5．如图，点D是等边△ABC外一点，且DB＝DC，∠BDC＝120°，将一个三角尺60°的顶点放在点D 上，三角尺的两边DP、DQ分别与射线AB、CA相交于E、F两点．（1）当EF∥BC时，如图①，证明：EF＝BE+CF；（2）当三角尺绕点D旋转到如图②的位置时，线段EF、BE、CF之间的上述数量关系是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，写出EF、BE、CF之间的数量关系，并说明理由；（3）当三角尺绕点D继续旋转到如图③的位置时，（1）中的结论是否发生变化？如果不变化，直接写出结论；如果变化，请直接写出EF、BE、CF之间的数量关系．【分析】（1）根据△ABC是等边三角形知道AB ＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，而DB＝DC，∠BDC ＝120°，这样可以得到△DCF和△BED 是直角三角形，由于EF∥BC，可以证明△AEF是等边三角形，也可以证明△BDE≌△CDF，可以得到DE＝DF，由此进一步得到DE＝DF∠BDE＝∠CDF＝30°，这样可以得到BE ＝DE ＝DF＝CF，而△DEF是等边三角形，所以题目的结论就可以证明出来了；（2）结论仍然成立．如图，在AB的延长线上取点F′，使BF′＝CF，连接DF′，根据（1）的结论可以证明△DCF≌△DBF′，根据全等三角形的性质可以得到DF＝DF′，∠BDF′＝∠CDF，又∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，可以得到：∠EDF′＝∠CDF＝60°，由此可以证明△EDF′≌△EDF，从而证明题目的结论．（3）结论发生变化．EF＝BE﹣CF．【解答】解：如图，点D是等边△ABC外一点，且DB＝DC，∠BDC＝120°，将一个三角尺60°的顶点放在点D上，角的两边分别为DP、DQ（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°．∵DB＝DC，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°．∴∠DBE＝∠DBC+∠ABC＝90°，∠DCF＝∠DCB+∠ACB＝90°，∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°．∴AE＝AF．∴BE＝AB﹣AE＝AC﹣AF＝CF．又∵DB＝DC，∠DBE＝∠DCF，∴△BDE≌△CDF，∴DE＝DF∠BDE＝∠CDF＝30°．∴BE＝DE＝DF＝CF．∵∠EDF＝60°，∴△DEF是等边三角形．即DE＝DF＝EF．∴BE+CF＝DE+DF＝EF．（2）结论仍然成立．证明：如图，在AB的延长线上取点F′，使BF′＝CF，连接DF′．由（1）得，∠DBE＝∠DCF＝90°则∠DBF′＝∠DCF＝90°，又∵BD＝CD，∴△DCF≌△DBF′（SAS）∴DF＝DF′，∠BDF′＝∠CDF，又∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°∴∠EDB+∠CDF＝60°∴∠EDB+∠BDF′＝∠EDF′＝∠CDF＝60°，又DE＝DE，∴△EDF′≌△EDF（SAS）．∴EF＝EF′＝BE+BF′＝BE+CF．（3）结论发生变化．EF＝CF﹣BE．。

数学模型-对角互补模型旋转型类型一（“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型)）已知直角△ABC和等腰直角△DBC，则AD．1. 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=BD．（2）探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．【答案】（（2（AD ﹣；（3）+1．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质求出DC（AD（BD 之间的数量关系 （2）过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E（AD 交BC 于O（证明CDB AEB ∆∆≌，得到CD AE =（EB BD =，根据BED ∆为等腰直角三角形，得到DE =（再根据DE AD AE AD CD =-=-，即可解出答案.（3）根据A（B（C（D 四点共圆，得到当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD 的面积最大．在DA 上截取一点H ，使得CD=DH=1，则易证CH AH ==由BD AD =即可得出答案.【详解】解：（1）如图1中，由题意：BAE BCD ∆∆≌（∴AE=CD（BE=BD（∴CD+AD=AD+AE=DE（∵BDE ∆是等腰直角三角形，∴BD（∴（（2（AD DC -=（证明：如图，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E（AD 交BC 于O（∵90ABC DBE ∠=∠=︒（∴ABE EBC CBD EBC ∠+∠=∠+∠（∴ABE CBD ∠=∠（∵90BAE AOB ∠+∠=︒（90BCD COD ∠+∠=︒（AOB COD ∠=∠（∴BAE BCD ∠=∠（∴ABE DBC ∠=∠．又∵AB CB =（∴CDB AEB ∆∆≌（∴CD AE =（EB BD =（∴BD ∆为等腰直角三角形，DE =（∵DE AD AE AD CD =-=-（∴AD DC -=（（3）如图3中，易知A（B（C（D 四点共圆，当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD 的面积最大．此时DG⊥AB（DB=DA，在DA上截取一点H，使得CD=DH=1，则易证==CH AH∴1==（BD AD【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.类型二（“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(同侧型)）已知直角△ABC和等腰直角△DBC，则AD．2. 已知:△ABC中，CA=CB, ∠ACB=90º，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90º(1)如图所示，求证：DC(2)如图所示，猜想DA.DB.DC之间有何数量关系？并证明你的结论.(3)如图所示，过C作CH⊥BD于H,BD=6,AD=3,则CH= .【答案】（1）详见解析；（2）；(3)3 2【解析】【分析】（1）过C点作CQ⊥CD交DB的延长线于Q点，由余角的性质可得∠ACD=∠QCB，∠ADC=∠Q，由“AAS”可证△ACD≌△BCQ，可得CD=CQ，AD=BQ，由等腰直角三角形性质可得DQ CD，即可得结论；（2）过点C作CQ⊥CD交AD于点Q，由“SAS”可证△ACQ≌△BCD，可得AQ=BD，可证CQ=CD，且∠QCD=90°，即可得DA、DB、DC之间关系；（3）过点C作CQ⊥CD交BD于点Q，由“SAS”可证△ACD≌△BCQ，可得AD=BQ，可证△DCQ是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可求CH的长．【详解】证明：（1）如图，过C点作CQ⊥CD交DB的延长线于Q点∵∠ACB=90°，CQ⊥CD，∠ADB=90°∴∠ACD+∠DCB=90°，∠DCB+∠QCB=90°，∠ADC+∠CDQ=90°，∠CDQ+∠Q=90°∴∠ACD=∠QCB，∠ADC=∠Q，且AC=BC∴△ACD≌△BCQ（AAS）∴CD=CQ，AD=BQ∴DQ=DB+BQ=DB+AD∵CD⊥CQ，∠DCQ=90°∴DQ∴DB+AD CD（2）DA-DB CD理由如下：如图，过点C作CQ⊥CD交AD于点Q，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠CAB=45°∵∠ACB=90°，QC⊥CD∴∠ACB=∠ADB=90°，∴点A，点B，点D，点C四点共圆，∴∠ADC=∠ABC=45°∵QC⊥CD∴∠CQD=∠CDQ=45°∴CQ=CD，且∠QCD=90°∴QD CD∵∠ACB=∠DCQ=90°，∴∠ACQ=∠DCB，且AC=BC，CQ=CD∴△ACQ≌△BCD（SAS）∴AQ=BD∴QD=DA-AQ=DA-BD，即：DA-DB（3）如图，过点C作CQ⊥CD交BD于点Q，∵∠ACB=90°，QC⊥CD∴∠ACB=∠ADB=90°，∴点A，点B，点C，点D四点共圆，∴∠CDQ=∠CAB=45°∵QC⊥CD∴∠CQD=∠CDQ=45°∴CQ=CD，且∠QCD=90°∴△DCQ是等腰直角三角形，∵∠ACB=∠DCQ=90°，∴∠ACD=∠QCB，且AC=BC，CQ=CD∴△ACD≌△BCQ（SAS）∴AD=BQ，∴DQ=DB-BQ=DB-AD=3∵△DCQ是等腰直角三角形，DQ=3，CH⊥DB∴CH=DH=HQ=12DQ=32．故答案为32．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．类型三“等边三角形对120°模型”．△ABC是等边三角形，∠BPC=120°，则有PB+PC=PA；类型四“120°等腰三角形对60°模型”△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，则有；3. 例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】(1)DA=DB+DC;(2) DA=DB+DC,证明见解析.【解析】【分析】(1)由旋转60°可得AE =AD ， CE =BD ，∠ABD =∠ACE ，∠DAE =60°，根据∠BAC +∠BDC =180°，可知∠ABD +∠ACD =180°，则 ∠ACE +∠ACD =180°，易知△ADE 是等边三角形，所以AD =DE ，从而解决问题．(2) 延长DC 到点E,使CE=BD ，连接AE,由已知可得180ABD ACD ︒∠+∠=,根据180ACE ACD ︒∠+∠=,可得ABD ∠=ACE ∠,可证ABD ACE ≅,进而可得AD=AE, BAD CAE ∠=∠,可得90DAE BAC ︒∠=∠=,由勾股定理可得：222DA AE DE +=,进行等量代换可得结论.【详解】(1)结论：DA=DB+DC.理由：∵△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ，∴AE=AD ， CE=BD ，∠ABD=∠ACE ，∠DAE=60°，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠ABD+∠ACD=180°，∴∠ACE+∠ACD=180°，∴D,C,E 三点共线，∵AE=AD ，∠DAE=60°，∴△ADE 是等边三角形，∴AD=DE ，∴AD=DC+CE=DB+DC;(2)证明如下：如图所示，延长DC 到点E,使CE=BD ，连接AE,∵90BAC ︒∠=,90BDC ︒∠=,∴180ABD ACD ︒∠+∠=,∵180ACE ACD ︒∠+∠=,∴ABD ∠=ACE ∠,∵AB=AC,CE=BD,∴ABD ACE ≅(SAS),∴AD=AE, BAD CAE ∠=∠,∴90DAE BAC ︒∠=∠=,∴222DA AE DE +=,∴()222DA DB DC =+,DA=DB+DC.【点睛】本题主要考查了截长补短的方法，通过全等三角形得到线段间的等量关系，正确作出辅助线找到全等三角形是解题的关键.4. 如图1，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠ADC=180°，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF=12∠BAD ，连接EF ，试猜想EF ，BE ，DF 之间的数量关系．（1）思路梳理将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF 之间的数量关系为__；（2）类比引申如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.【答案】（1）EF＝BE＋DF；（2）EF＝DF−BE；证明见解析；（3【解析】【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，首先证明F，D，G三点共线，求出∠EAF＝∠GAF，然后证明△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质解答；（2）将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，首先证明E'，D，F三点共线，求出∠EAF＝∠E'AF，然后证明△AFE≌△AFE'，根据全等三角形的性质解答；（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，同（1）可证△AED≌AED'，求出∠ECD'＝90°，再根据勾股定理计算即可．【详解】解：（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，∵∠B＋∠ADC＝180°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G三点共线，∵∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝12∠BAD，∴∠EAF＝∠GAF，在△AFG和△AFE中，AE AGEAF GAF AF AF⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AFG≌△AFE，∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF；（2）EF＝DF−BE；证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，则△ABE≌ADE'，∴∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，DE'＝BE，∠ADE'＝∠ABE，∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠ADE'＝∠ADC，即E'，D，F三点共线，∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠E'AF＝∠BAD−（∠BAF＋∠DAE'）＝∠BAD−（∠BAF＋∠BAE）＝∠BAD−∠EAF＝12∠BAD，∴∠EAF＝∠E'AF，在△AEF和△AE'F中，AE AEEAF E AF AF AF'⎧⎪∠∠'⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AFE≌△AFE'（SAS），∴FE＝FE'，又∵FE'＝DF−DE'，∴EF＝DF−BE；（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，同（1）可证△AED≌AED'，∴DE＝D'E．∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°，∴∠ECD'＝90°，在Rt△ECD'中，ED'2222'5D C EC BD，即DE【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．构造全等型类型五-全等型90°条件：①∠AOB=∠DCE =90°，②OC平分∠AOB结论：①CD=CE；②OC；③S△DCE=S△OCD +S△OCE =12OC2辅助线的做法，可有下面两种方法来证明．当C与AO的延长线相交时，也是相同的方法．结论变：①CD=CE ；②OC ；③S △OCE - S △OCD =12OC 25. 探究：如图1和2,四边形ABCD 中,已知AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．（1）①如图 1,若B 、ADC ∠都是直角，把ABE △绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ，使AB 与AD 重合，则能证得EF BE DF =+，请写出推理过程； ②如图 2，若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足数量关系_______时，仍有EF BE DF =+;（2）拓展：如图3,在ABC 中，90BAC ∠=︒,AB AC ==D 、E 均在边BC 上,且45DAE ∠=︒．若1BD =，求DE 的长．【答案】（1）①见解析；②180B D ∠+∠=︒，理由见解析；（2）5=3DE 【解析】【分析】（1）①根据旋转的性质得出AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，BE ＝DG ，求出∠EAF ＝∠GAF ＝45°，根据SAS 推出△EAF ≌△GAF ，根据全等三角形的性质得出EF ＝GF ，即可求出答案；②根据旋转的性质得出AE ＝AG ，∠B ＝∠ADG ，∠BAE ＝∠DAG ，求出C 、D 、G 在一条直线上，根据SAS 推出△EAF ≌△GAF ，根据全等三角形的性质得出EF ＝GF ，即可求出答案；（2）根据等腰直角三角形性质好勾股定理求出∠ABC ＝∠C ＝45°，BC ＝4，根据旋转的性质得出AF ＝AE ，∠FBA ＝∠C ＝45°，∠BAF ＝∠CAE ，求出∠FAD ＝∠DAE ＝45°，证△FAD ≌△EAD ，根据全等得出DF ＝DE ，设DE ＝x ，则DF ＝x ，BF ＝CE ＝3−x ，根据勾股定理得出方程，求出x 即可．【详解】（1）①如图1，∵把ABE △绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ，使AB 与AD 重合，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，BE DG =∵90BAD ∠=︒，45EAF ∠=︒，∴45BAE DAF ∠+∠=︒，∴45DAG DAF ∠+∠=︒，即45EAF GAF ∠=∠=︒，在EAF △和GAF 中AF AF EAF GAF AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EAF GAF SAS ≌，∴EF GF =，∵BE DG =，∴EF GF BE DF ==+；②180B D ∠+∠=︒，理由是：把ABE △绕A 点旋转到ADG ，使AB 和AD 重合，则AE AG =，B ADG ∠=∠，BAE DAG ∠=∠，∵180B ADC ︒∠+∠=，∴180ADC ADG ∠+∠=︒，∴C ，D ，G 在一条直线上，和①知求法类似，45EAF GAF ∠=∠=︒，在EAF △和GAF 中AF AF EAF GAF AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EAF GAF SAS △≌△，∴EF GF =，∵BE DG =，∴EF GF BE DF ==+；故答案为：180B D ∠+∠=︒（2）∵ABC中，AB AC ==90BAC ∠=∴45ABC C ∠=∠=︒，由勾股定理得：4BC === ，把AEC 绕A 点旋转到AFB △,使AB 和AC 重合，连接DF ．则AF AE =，45FBA C ∠=∠=︒，BAF CAE ∠=∠，∵45DAE ∠=︒，∴904545FAD FAB BAD CAE BAD BAC DAE ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒， ∴45FAD DAE ∠=∠=︒，在FAD △和EAD 中AD AD FAD EAD AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴FAD EAD △≌△，∴DF DE =，设DE x =，则DF x =，∵1BC =，∴413BF CE x x ==--=-，∵45FBA ∠=︒，45ABC ∠=︒，∴90FBD ∠=︒，由勾股定理得：222DF BF BD =+，222(3)1x x =-+， 解得：5=3x ， 即5=3DE ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放性试题，首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．类型六-全等型120°条件：①∠AOB=2∠DCE =120°，②OC 平分∠AOB结论：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③S △DCE =S △OCD +S △OCE2证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 等边三角形．6. 如图，已知60AOB ∠=︒，在AOB ∠的角平分线OM 上有一点C ，将一个120︒角的顶点与点C 重合，它的两条边分别与射线,OA OB 相交于点,D E .（1）如图1，当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时，请猜想+OD OE 与OC 的数量关系，并说明理由；（2）当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）如图3，当DCE ∠绕点C 旋转到点D 位于OA 的反向延长线上时，求线段,OD OE 与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.【答案】（1）OD OE +=，见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3）OE OD -=【解析】【分析】（1）先判断出∠OCE ＝60°，再利用特殊角的三角函数得出OD ，同OE ，即可得出结论；（2）同（1）的方法得OF ＋OG ，再判断出△CFD ≌△CGE ，得出DF ＝EG ，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论．【详解】解：（1）OM 是AOB ∠的角平分线1302AOC BOC AOB ∴∠=∠=∠=︒ ,90,60CD OA ODC OCD ⊥∴∠=︒∴∠=︒60OCE DCE OCD ∴∠=∠-∠=︒在Rt OCD ∆中，cos30OD OC =⋅︒=，同理：OE =OD OE ∴+=（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C 作CF OA ⊥于F ，CG OB ⊥于G90OFC OGC ∴∠=∠=︒60AOB ∠=︒120FCG ∴∠=︒由（1）知，,22OF OC OG ==OF OG ∴+=,CF OA CG OB ⊥⊥，且点C 是AOB ∠的平分线OM 上一点CF CG ∴=120,120DCF FCG ∠=︒∠=︒,DCF ECG CFD CGE ∴∠=∠∴∆≅∆DF EG ∴=,OF OD DF OD EG OG OE EG ∴=+=+=-OF OG OD EG OE EG OD OE ∴+=++-=+OD OE ∴+=（3）结论为：OE OD -=.理由：过点C 作CF ⊥OA 于F ，CG ⊥OB 于G ，∴∠OFC ＝∠OGC ＝90°，∵∠AOB ＝60°，∴∠FCG ＝120°，同（1）的方法得，OF ，OG ，∴OF ＋OG ，∵CF ⊥OA ，CG ⊥OB ，且点C 是∠AOB 的平分线OM 上一点，∴CF ＝CG ，∵∠DCE ＝120°，∠FCG ＝120°，∴∠DCF ＝∠ECG ，∴△CFD ≌△CGE ，∴DF ＝EG ，∴OF ＝DF−OD ＝EG−OD ，OG ＝OE−EG ，∴OF ＋OG ＝EG−OD ＋OE−EG ＝OE−OD ，∴OE−OD OC ．【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用，正确作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键． 7. 如图，一伞状图形，已知120AOB ∠=︒，点P 是AOB ∠角平分线上一点，且2OP =，60MPN ∠=︒，PM 与OB 交于点F ，PN 与OA 交于点E ．(1)如图一，当PN 与PO 重合时，探索PE ，PF 的数量关系(2)如图二，将MPN ∠在(1)的情形下绕点P 逆时针旋转α度()060α<<︒，继续探索PE ，PF 的数量关系，并求四边形OEPF 的面积．【答案】（1）＝PE PF ，证明详见解析；（2）＝PE PF 【解析】【分析】（1）根据角平分线定义得到∠POF=60°，推出△PEF 是等边三角形，得到PE=PF ；（2）过点P 作PQ ⊥OA ，PH ⊥OB ，根据角平分线的性质得到PQ=PH ，∠PQO=∠PHO=90°，根据全等三角形的性质得到PE=PF ，S 四边形OEPF =S 四边形OQPH ，求得OQ=1，，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：（1）∵120AOB ∠︒＝，OP 平分AOB ∠， ∴60POF ∠︒＝，∵60MPN ∠︒＝，∴60MPN FOP ∠∠︒＝＝ ，∴PEF ∆是等边三角形，∴＝PE PF ；（2）过点P 作PQ OA ⊥，PH OB ⊥，∵OP 平分AOB ∠，∴PQ PH ＝，90PQO PHO ∠∠︒＝＝，∵120AOB ∠︒＝， ∴∠QPH ＝60°，∴QPE FPH EPH ∠+∠+∠，∴QPE EPF ∠∠＝，在QPE ∆与HPF ∆中EQP FHP QPE HPF PQ PH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴QPE HPF AAS ∆∆≌（），∴＝PE PF ，OEPF OQPH S S 四边形四边形＝，∵PQ OA ⊥，PH OB ⊥，OP 平分AOB ∠，∴30QPO ∠︒＝，∴1OQ ＝，QP＝∴112OPQ S ∆⨯⨯＝∴四边形OEPF 的面积＝2OPQ S ∆【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．8. （1）方法导引：问题：如图1，等边三角形ABC 的边长为6，点O 是ABC ∠和ACB ∠的角平分线交点，120FOG ︒∠=，绕点O 任意旋转FOG ∠，分别交ABC 的两边于D ，E 两点．求四边形ODBE 面积．讨论：①小明：在FOG ∠旋转过程中，当OF 经过点B 时，OG 一定经过点C ．②小颖：小明的分析有道理，这样我们就可以利用“ASA ”证出ODB OEC ≌． ③小飞：因为ODB OEC ≌，所以只要算出OBC 的面积就得出了四边形ODBE 的面积．老师：同学们的思路很清晰，也很正确．在分析和解决问题时，我们经常会借用特例作辅助线来解决一般问题：请你按照讨论的思路，直接写出四边形ODBE 的面积：________．（2）应用方法：①特例：如图2，FOG ∠的顶点O 在等边三角形ABC 的边BC 上，2OB =，4OC =，边OG AC ⊥于点E ，OF AB ⊥于点D ，求BOD 的面积．②探究：如图3，已知60FOG ︒∠=，顶点O 在等边三角形ABC 的边BC 上，2OB =，4OC =，记BOD 的面积为x ，COE 的面积为y ，求xy 的值． ③应用：如图4，已知60FOG ︒∠=，顶点O 在等边三角形ABC 的边CB 的延长线上，2OB =，6BC =，记BOD 的面积为a ，COE 的面积为b ，请直接写出a 与b 的关系式．【答案】（1）（2）①BOD 的面积=xy=12；③48ab =． 【解析】 【分析】（1）连接OB 、OC ，利用ASA 证出ODB OEC ≌，从而得出OBC 的面积与四边形ODBE 的面积相等，过点O 作OH BC ⊥于H 点，利用锐角三角函数求出OH 即可求出△OBC 的面积，从而得出结论；（2）①根据等边三角形的性质可得60B ︒∠=，从而求出∠BOD ，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出OD 和BD ，从而求出结论； ②过点O 作OM AB ⊥于M ，ON AC ⊥于N ，根据相似三角形判定定理可得BDO COE ∽，根据相似三角形的性质列出比例式，变形可得8BD EC OB OC ⋅=⋅=，然后根据三角形的面积公式即可求出结论；③过点O 作OM AB ⊥交AB 的延长线于M ，ON AC ⊥于N ，根据相似三角形的判定定理可得BDO COE ∽，根据相似三角形的性质列出比例式，变形可得16BD EC OB OC ⋅=⋅=，分别求出OM 和ON ，再结合三角形的面积公式即可求出结论．【详解】解：（1）连接OB 、OC∵ABC 是等边三角形，∴60ABC ACB ︒∠=∠=∵O 是ABC ∠和ACB ∠的角平分线交点∴30DBO OCG CBO ︒∠=∠=∠=∴OB OC =，120BOC FOG ︒∠=∠=∴DOB COE ∠=∠∴ODB OEC ≌∴OBC 的面积与四边形ODBE 的面积相等过点O 作OH BC ⊥于H 点∵6BC =，∴3BH =∵30CBO ︒∠=，∴tan =•∠=OH BH OBH∴162OBC S =⨯⨯=∴四边形ODBE 的面积为故答案为：（2）①∵ABC 是等边三角形，∴60B ︒∠=∵OF AB ⊥于点D ，∴30BOD ︒∠=∵2OB =，∴112BD OB ==，OD ，∴BOD 的面积1122=⨯⨯= ②过点O 作OM AB ⊥于M ，ON AC ⊥于N ．由①得：OM =ON =∵ABC 是等边三角形，∴60B C ︒∠=∠=∵60FOG ︒∠=，∴120BDO DOB EOC DOB ︒∠+∠=∠+∠=∴BDO EOC =∠∠，∴BDO COE ∽ ∴OB BD EC OC=， ∴8BD EC OB OC ⋅=⋅=∴1122⎫⎛⎫=⋅⋅=⎪ ⎪⎭⎝⎭xy ③48ab =过点O 作OM AB ⊥交AB 的延长线于M ，ON AC ⊥于N ．∵60BDO DOC ABC ︒∠+∠=∠=，∴60FOG EOC DOC ︒∠=∠+∠=∴BDO EOC =∠∠，∵120DBO ECO ︒∠=∠=∴BDO COE ∽， ∴OB BD EC OC= ∴16BD EC OB OC ⋅=⋅=∵60OBN ABC ︒∠=∠=，2OB =，∴30BOM ∠=︒，∴OM =∵60ACB ∠=︒，8OC =，∴30CON ∠=︒，∴ON =∴1482⎫⎛⎫=⋅⋅=⎪ ⎪⎭⎝⎭ab 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定及性质和锐角三角函数，掌握全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定及性质和锐角三角函数是解决此题的关键．类型七-全等型α条件：①∠AOB = 2α， ∠DCE = 180- 2α．； ②CD=CE ；结论：①OC 平分∠AOB ；②OD+ OE = 2OC ．cosα③S四边形ooc E = S△oc D +S△oc E = OC2sinαcosα当∠DCE的一边交AO的延长线于点D时，上述条件不变，结论有所变化9. 综合实践初步探究：如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系为；解决问题：(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间的数量关系为；拓展应用：(4)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，请猜想四边形CDOE的周长与OC 的数量关系，并说明理由；【答案】（1）OC；（2）仍然成立，理由见解析；（3）不成立，OE-OD=OC ；（4）四边形CDOE 的周长为，理由见解析． 【解析】【分析】（1）先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出，同理OE=2OC ，即可得出结论；（2）同（1）的方法得OC ，再判断出△CFD ≌△CGE ，得出DF=EG ，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论；（4）同（1）可得，CD+CE=OC ，进而可得结论．【详解】：（1）∵OM 是∠AOB 的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB=30°， ∵CD ⊥OA ，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=60°，∴∠OCE=∠DCE-∠OCD=60°，在Rt △OCD 中，OD=OC •cos30°，同理：OE=2OC ，∴；（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C 作CF ⊥OA 于F ，CG ⊥OB 于G ，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=2OC ，OG=2OC ，∴，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE-EG，∴OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE，∴；（3）（1）中结论不成立，结论为：，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，，，∴，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF-OD=EG-OD，OG=OE-EG，∴OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD，∴．（4）由（1）可得，CD+CE=OC∴，故四边形CDOE的周长为．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．第31页共31页。

专题05 对角互补模型基本模型：例题精讲例1．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，FD ⊥ED ．(1)如图1，若点E 在线段AB 上，点F 在线段AC 上，求证 BE ＝AF ；(2)如图 2，若点E 在线段AB 的延长线上，点F 在线段CA 的延长线上．请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)成立，见解析【解析】(1)证明：连接AD ．如图1所示，∵AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 是BC 的中点，∴45B C ∠=∠=︒，AD BC ⊥，1452DAF BAD BAC ∠=∠=∠=︒， ∴B DAF ∠=∠，90ADB ∠=︒，∴ABD △为等腰直角三角形，AD BD =，又∵FD ED ⊥，∴90EDF ∠=︒，∴BDE ADF ∠=∠，在BDE 和ADF 中，B DAF BD AD BDE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BDE ADF ASA ≌．∴BE AF =；(2)解：BE AF =仍然成立．证明：连接AD ，如图2所示．同①得：BDE ADF ∠=∠，AD BD =，45ABD CAD ∠=∠=︒，∴135DBE DAF ∠=∠=︒，在BDE 和ADF 中，BDE ADF BD AD DBE DAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BDE ADF ASA ≌，∴BE AF =．例2．已知：如图，在等边△ABC 中，点O 是BC 的中点，∠DOE ＝120°，∠DOE 绕着点O 旋转，角的两边与AB 相交于点D ，与AC 相交于点E ．(1)若OD ，OE 都在BC 的上方，如图1，求证：OD ＝OE ．(2)在图1中，BD ，CE 与BC 的数量关系是 ．(3)若点D 在AB 的延长线上，点E 在线段AC 上，如图2，直接写出BD ，CE 与BC 的数量关系是 ． 【答案】(1)见解析；(2)()2CE BD BC +=；(3)2()CE BD BC -=【解析】(1)证明：取AB 的中点F ，连接OF ．∵△ABC 是等边三角形，∴,60AB BC ABC ACB =∠=∠=︒，∵点O 与点F 分别是BC 与AB 的中点，∴BF BO OC ==，∴△BOF 是等边三角形，∴OF OB OC ==，60OFD OCE BOF ∠=∠=∠=︒，∴120COF DOE ∠=︒=∠，∴DOF EOC ∠=∠，∵在△DOF 和△EOC 中，OFD OCE OF OC DOF EOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()DOF EOC ASA ≅，∴OD OE =．(2)解：结论：()2CE BD BC +=．理由：∵DOF EOC ≌，∴DF EC =，∴BD EC BD DF BF +=+=， ∵BOF 是等边三角形，∴OB BF =，∵2BC OB =，∴()2CE BD BC +=．故答案为：()2CE BD BC +=；(3)结论：2()CE BD BC -=．理由如图2中，取AB 的中点F ，连接OF ．同（1）中的方法可证BOF 是等边三角形，DOF EOC ≌，∴DF CE =，∴EC BD DF BD BF OB -=-==，∵2BC OB =，∴2()CE BD BC -=例3．在七年级下册“证明”的一章的学习中，我们曾做过如下的实验：画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F．(1)若PE⊥OA，PF⊥OB（如图①），PE与PF相等吗？请说明理由；(2)把三角尺绕点P旋转（如图②），PE与PF相等吗？请说明理由；(3)探究：画∠AOB＝50°，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF＝130°．∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点（如图③），PE与PF相等吗？请说明理由．【答案】(1)相等，见解析；(2)PE＝PF，见解析；(3)PE＝PF，见解析【解析】(1)解：∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF；(2)解：PE＝PF，理由如下：当PE⊥OA时，如图①，∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠POE＝∠POF＝45°，∵∠PEO＝∠EPF＝∠EOF＝90°，且∠PEO+∠EPF+∠EOF+∠PFO＝360°，∴∠PFO＝90°，∴∠PEO＝∠PFO，∵OP＝OP，∴△PEO≌△PFO（AAS），∴PE＝PF；当PE与OA不垂直时，如图②，作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，∵∠OMP＝∠ONP＝90°，∠POM＝∠PON＝45°，OP＝OP，∴△POM≌△PON（AAS），∴PM＝PN，∵∠OMP＝∠ONP＝∠MON＝90°，且∠OMP+∠ONP+∠MON+∠MPN＝360°，∴∠MPN＝90°，∵∠EPF＝90°，∴∠MPE＝∠NPF＝90°﹣∠EPN，∵∠PME＝∠PNF＝90°，∴△PME≌△PNF（ASA），∴PE＝PF，综上所述，PE＝PF．(3)解：PE＝PF，理由如下：如图③，在OF上取一点G，使OG＝OE，连接PG，∵OC平分∠AOB，∴∠POG＝∠POE，∵OP＝OP，∴△POG≌△POE（SAS），∴∠OGP＝∠OEP，PG＝PE，∴∠PGF+∠OEP＝∠PGF+∠OGP＝180°，∴∠AOB＝50°，∠EPF＝130°，且∠AOB+∠EPF+∠PFG+∠OEP＝360°，∴∠PFG+∠OEP＝180°，∴∠PGF＝∠PFG，∴PG＝PF，∴PE＝PF．课后训练1．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF 的两边分别与线段AB 、AC 交于点E 、F ．（1）当DF ⊥AC 时，求证：BE=CF ；（2）在旋转过程中，BE+CF 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）是，2.【详解】（1）∵△ABC 是边长为4的等边三角形，点D 是线段BC 的中点，∴∠B=∠C=60°，BD=CD ， ∵DF ⊥AC ，∴∠DFA=90°，∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∴∠DEB=∠DFC ，且∠B=∠C=60°，BD=DC ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ）（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．∵∠A=60°，∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF ．在△MBD 和△NCD 中，BMD CND B C BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△MBD ≌△NCD （AAS ），BM=CN ，DM=DN ．在△EMD 和△FND 中，EMD FND DM DNMDE NDF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△EMD ≌△FND （ASA ）∴EM=FN ， ∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=12BC=2.2．如图，点P （3m -1，-2m +4）在第一象限的角平分线OC 上，AP ⊥BP ，点A 在x 轴正半轴上，点B 在y 轴正半轴上．(1)求点P 的坐标．(2)当∠APB 绕点P 旋转时，①OA +OB 的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．②请求出OA 2+OB 2的最小值．【答案】(1)P （2，2）；(2)①不变，定值为4；②OA 2+OB 2的最小值为8．【解析】(1)解：∵点P （3m -1，-2m +4）在第一象限的角平分线OC 上，∴3m -1=-2m +4，∴m =1，∴P （2，2）；(2)①过点P 作PM ⊥y 轴于M ，PN ⊥OA 于N ．∵∠PMO =∠PNO =∠MON =90°，∴四边形OMPN 是矩形，∵OP 平分∠MON ，PM ⊥OM ，PN ⊥ON ，∴PM =PN ，∴四边形OMPN 是正方形，∵P （2，2），∴PM =PN =OM =ON =2，∵AP ⊥BP ，∴∠APB =∠MPN =90°，∴∠MPB +∠BPN =∠BPN +∠NP A =90°，∴∠MPB =∠NP A ，在△PMB 和△PNA 中，MPB NPA PM PN PMB PNA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△PMB ≌△PNA （ASA ），∴BM =AN ，∴OB +OA =OM -BM +ON +AN =2OM =4．②连接AB ，∵∠AOB =90°，∴OA 2+OB 2=AB 2．∵∠BP A =90°，∴AB 2=P A 2+PB 2=2P A 2，∴OA 2+OB 2=2P A 2，当P A 最小时，OA 2+OB 2也最小．根据垂线段最短原理，P A 最小值为2．∴OA 2+OB 2的最小值为8．3．一位同学拿了两块45︒三角尺MNK ∆，ACB ∆做了一个探究活动：将MNK ∆的直角顶点M 放在ACB ∆的斜边AB 的中点处，设4AC BC ==.（1）如图1所示，两三角尺的重叠部分为ACM ∆，则重叠部分的面积为______，周长为______.（2）将如图1所示中的MNK ∆绕顶点M 逆时针旋转45︒，得到如图2所示，此时重叠部分的面积为______，周长为______.（3）如果将MNK ∆绕M 旋转到不同于如图1所示和如图2所示的图形，如图3所示，请你猜想此时重叠部分的面积为______.【答案】（1）4，4+（2）4，8；（3）4；（4）4+【详解】解：()14AC BC ==，90ACB ∠=，AB ∴==M 是AB 的中点，AM ∴=45ACM ∠=，AM MC ∴=，∴4=， ∴周长为：44AM MC AC ++==+4，4+；()2重叠部分是正方形，∴边长为1422⨯=，面积为14444⨯⨯=， 周长为248⨯=．故答案为4，8．()3过点M 分别作AC 、BC 的垂线MH 、ME ，垂足为H 、E ， M 是ABC 斜边AB 的中点，4AC BC ==，12MH BC ∴=，12ME AC =，MH ME ∴=， 又90NMK HME ∠∠==，90NMH HMK ∠∠∴+=，90EMG HMK ∠∠+=，HMD EMG ∠∠∴=，在MHD 和MEG 中，HMD GME MH ME DHM MEG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，MHD ∴≌()MEG ASA ，∴阴影部分的面积等于正方形CEMH 的面积，正方形CEMH 的面积是1144422ME MH ⋅=⨯⨯⨯=；∴阴影部分的面积是4；故答案为4． ()4如图所示， 过点M 作ME BC ⊥于点E ，MH AC ⊥于点H ，∴四边形MECH 是矩形， MH CE ∴=，45A ∠=， 45AMH ∠∴=， AH MH ∴=，AH CE ∴=，在Rt DHM 和Rt GEM 中，DMH EMG MH MEDHM GEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，Rt DHM ∴≌.Rt GEM GE DH ∴=，AH DH CE GE ∴-=-， CG AD ∴=，1AD =， 1.DH ∴=DM ∴==．∴四边形DMGC 的周长为：CE CD DM ME +++ 2AD CD DM =++4=+．4．如图所示，ABC ∆为等边三角形，边长为4，点O 为BC 边中点，120EOF ∠=︒，其两边分别交AB 和CA 的延长线于E ，F ，求AE AF -的值.【答案】6【详解】过点O 作OD ∥AB 交AC 于点D ，∴∠CDO=∠A=∠ACB=∠ABC=60°，∴∠DOC=60°，∠ADO=∠BOD=120°．∴△CDO 是等边三角形，∴DO=CO ，∴DO=BO=AD ．∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC ．∠CAB=∠ABC=∠C=60°，∴∠OBE=120°，∴∠ODF=∠OBE ．∵∠FOB+∠BOE=∠EOF=120°，∠DOF+∠FOB=∠BOD=120°∴∠FOD=∠EOB ．在△DOF 和△BOE 中，ODF OBE DO BO FOD EOB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△DOF ≌△BOE （ASA ）．∴FC=EB ．OF=OE ．∵AE=AB+BE ，∴AE=AB+DF ，∴AE=AB+AD+AF ，∴AE -AF=AB+AD ．∵AB+AD=32AB ，∴AE -AF=32AB ．∵AB=4，∴AE -AF=6.。

对角互补模型对角互补模型的特征：外观呈现四边形，且对角和为180°。

主要：含90°对角互补，含120°的对角互补两种类型。

解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线。

模型一：90°的对角互补模型【基础】如图，四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，BD 平分∠ABC ，则①AD =CD ②AB +BC =2BD ③S △ABD +S △BDC =12BD 2思路：①方法一(基础)：过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F∵BD 平分∠ABC ∴DE =DF∵∠ABC =ADC =90°∴∠DAB +∠DCF =∠DAB +∠DAE =180°∴∠DCF =∠DAE ∴∆DAE ≌∆DCF ∴AD =CD方法二(基础)：作DE ⊥BD 交BC 延长线于点E ∴∠BDE =90°∵BD 平分∠ABC ∴∠4=∠5=∠6=45°∴DE =BD ∵∠ABC =ADC =90°∴∠1+∠2=∠2+∠3=180°∴∠1=∠3∴∆ABD ≌∆CED ∴AD =CD方法三(进阶)：∵四边形ABCD 对角互补∴A 、B 、C 、D 四点共圆∵BD 平分∠ABC∴∠ABD =∠CBD =45°∴AD =CD②③方法一：∵∆DAE ≌∆DCF∴AE =FC S △DAE =S △DCF∵∠ABC =∠ADC =90°，BD 平分∠ABC∴∠EBD =∠DBF =45°∴∆DEB 与∆DFB 为等腰直角三角形∴AB +BC =AB +BF +FC =AB +BF +AE =BE +BF =22BD +22BD =2BD S △ABD +S △BDC =S △ABD +S △BDF +S △DFC =S △ABD +S △BDF +S △AED =S △DEB +S △DFB =S 正方形BFDE =12BD 2方法二：∵∆ABD ≌∆CED∴AB =CE S △ABD =S △CED 而∠BDE =90°∠5=∠6=45°∴∆BDE 为等腰直角三角形则AB +BC =BC +CE =BE =2BDS △ABD +S △BDC =S △DCE +S △BDC =S △BDE =12BD 2【进阶】如图，∠AOB =∠DCE =90°，OC 平分∠AOB ，当∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D 时，有以下结论：①CD =CE ②OE -OD =2OC ③S △OCE -S △OCD =12OC 2思路：①方法一：过点C 分别作CM ⊥AO 于点M , CN ⊥BO 于点N∴∠CMD =∠CNE =90°∵∠AOB =90°∴∠MCN =90°则∠MCD =∠ECN而OC 平分∠AOB ∴CM =CN∴∆CMD ≌∆CNE ∴CD =CE方法二：过点C 作CH ⊥CO 交OB 于点H ∴∠OCH =90°∴∠OCD +∠DCH =∠HCE +∠DCH =90°∴∠OCD =∠HCE∵∠AOB =90°，OC 平分∠AOB∴∠AOC =∠COH =∠CHO =45°∴∆OCH 为等腰直角三角形∴OC =CH∵∠COD =180°-∠AOC ，∠CHE =180°-∠CHO∴∠COD =∠CHE ∴∆COD ≌∆CHE ∴CD =CE方法三：连接DE∵∠AOB =∠DCE =90°∴∠DOE =∠DCE =90°∴O 、C 、E 、D 四点共圆∵OC 平分∠AOB ∴∠CDE =∠COE =∠CED =45°∴CD =CE②③∵∆COD ≌∆CHE ∴OD =HE S △OCD =S △HCE则OE -OD =OE -EH =OH =2OCS△OCE-S△OCD=S△OCE-S△HCE=S△OCH=12OC2模型二：120°的对角互补模型【基础】如图，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，则①CD=CE②OD+OE=OC③S△DCO+S△COE=√34OC2思路：①方法一：过点C分别作CM⊥AO于点M，CN⊥OB于点N所以∠CMD=∠CNE=90°由OC平分∠AOB可知CM=CN由∠AOB=2∠DCE=120°，可得∠CDO+∠CEN=180°而∠CDO+∠CDM=180°因此∠CDM=∠CEN所以∆CMD≌∆CNE则CD=CE方法二：作∠OCF=60°交OB于点F由已知条件可知∆COF为等边三角形所以CO=CF∠COD=∠CFE=60°因为∠DCE=∠OCF=60°所以∠DCO=∠ECF所以∆DCO≌∆ECF则CD=CE方法三：∵∠AOB=2∠DCE=120°∴∠DOE+∠DCE=180°∴O、D、C、E四点共圆∵OC平分∠AOB∴∠COD=∠COE=60°∴CD=CE②由于∆DCO≌∆ECF, ∆COF为等边三角形则OD=EF OC=OF所以OD+OE=EF+OE=OF=OC③过点F作FH⊥CO于点H由于∆DCO≌∆ECF所以S△DCO=S△ECF设OC=x，则OH=X2FH=√3X2S△DCO+S△COE=S△ECF+S△COE=S△OCF=12OC•FH=12•x•√3X2=√3 4x2=√34OC2【进阶】如图，∠AOB =2∠DCE =120°，OC 平分∠AOB ，当∠DCE 的一边与BO 的延长线交于点E 时，有以下结论：①CD =CE ②OD -OE =OC ③S △DCO -S △COE =√34OC 2思路：①方法一：过点C 分别作CM ⊥DO 于点M ，CN ⊥EB 于点N所以∠CMD =∠CNB =90°由OC 平分∠AOB ∠AOB =2∠DCE =120°可知CM =CN ∠DCE =∠MCN =60°则∠DCM =∠ECN所以∆CDM ≌∆CEN 则CD =CE方法二：过点C 作∠OCH =60°根据已知条件可知∠DCE =∠OCH =∠COH =60°，∴∆COH 为等边三角形，∠DCO =∠ECH∴∠COD =∠CHE =60°CO =CH所以∆CDO ≌∆CEH 则CD =CE OD =EH S △DCO =S △ECH∴OD -OE =EH -OE =OH =OCS △DCO -S △COE =S △ECH -S △COE =S △COH =√34OC 2方法三：连接DE∵∠AOB =2∠DCE =120°，OC 平分∠AOB∴∠DOE =∠DCE =∠DOC =60°∴O 、C 、D 、E 四点共圆∴∠DEC =∠DOC =∠DCE =60°∴△DEC 是等边三角形∴CD =CE模型三：全等型之任意角如图，∠AOB =2α，∠DCE =180°-2α，OC 平分∠AOB ，则：①CD =CE②OD +OE =2OC •COSα③S △DCO +S △COE =OC 2•sin αCOSα思路：1)过点C作CM⊥AO于点M, 作CN⊥BO于点N易证∆CDM≌∆CEN∴CD=CE则OD+OE=2ON=2OC•COSαS△DCO+S△COE=2S△CON=CN•ON=OC2•sinαCOSα2)作∠OCH=180°-2α,与OB交于点H易证∆CDO≌∆CEH∴CD=CE OD=EH S△DCO=S△ECH则OD+OE=OH=2OC•COSαS△DCO+S△COE=S△COH=OC2•sinαCOSα【进阶】如图，除满足以上条件外，当∠DCE的一边与BO延长线交于点E 时，则：①CD=CE②OD-OE=2OC•COSα③S△DCO-S△COE=OC2•sinαCOSα[自行证明]模型四：内含90°的相似型如图，∠AOB=∠DCE=90°，∠COB=α，则CE=CD•tanα[自行证明]【进阶】如图，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则CE=CD•tanα[自行证明]【过关培优练】1.(2019春·江苏南京·八年级校联考期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为．【答案】32【分析】可将△OBC绕着O点顺时针旋转90°，所得的图形与△OAC正好拼成等腰直角三角形BC+ AC等于等腰三角形的斜边CD.【详解】解：将△OBC绕O点旋转90°，∵OB=OA∴点B落在A处，点C落在D处且有OD=OC=3，∠COD=90°，∠OAD=∠OBC，在四边形OACB中∵∠BOA=∠BCA=90°，∴∠OBC+∠OAC=180°，∴∠OAD+∠OAC=180°∴C、A、D三点在同一条直线上，∴△OCD为等要直角三角形，根据勾股定理CD2=OC2+OD2即CD2=32+32=18解得CD=32即BC+AC=3 2.【点睛】本题考查旋转的性质，旋转前后的图形对应边相等，对应角相等.要求两条线段的长，可利用作图的方法将两条线段化成一条线段，再求这条线段的长度即可，本题就是利用旋转的方法做到的，但做本题时需注意，一定要证明C、A、D三点在同一条直线上.本题还有一种化一般为特殊的方法，因为答案一定可考虑CB⊥y轴的情况，此时四边形OACB刚好是正方形，在做选择或填空题时，也可以起到事半功倍的效果.2.如图，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，若四边形ABCD的面积为43，则AC=．【答案】4．【分析】将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△ABE．证明△AEC是等边三角形，四边形ABCD面积等于△AEC面积，根据等边△AEC面积特征可求解AC长．【详解】解：将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△ABE．∵四边形内角和360°，∴∠D+∠ABC=180°．∴∠ABE+∠ABC=180°，∴E、B、C三点共线．根据旋转性质可知∠EAC=60度，AE=AC，∴△AEC是等边三角形．四边形ABCD面积等于△AEC面积，等边△AEC面积=34Ac2=43，解得AC=4．故答案为4．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质，解题的关键是根据AB=AD及∠BAD=60°，对△ACD进行旋转，把四边形转化为等边三角形求解．3.(2021春·福建三明·八年级统考期中)感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°．判断DB与DC的大小关系并证明．探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，DB与DC的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③，四边形ABDC中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=m，则AB与AC差是多少(用含m的代数式表示)【答案】感知：DB=DC，证明见详解；探究：DB与DC的大小关系不变，理由见详解；应用：AB与AC差是2m．【分析】感知：根据角平分线的性质定理即可求证；探究：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，根据角平分线的性质定理可得DE=DF，由题意可得∠B=∠DCF，进而可证△DEB≌△DFC，然后问题可求证；应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，由题意易证△DHB≌△DGC，则有DH=DG，进而可得AG=AH，然后根据等腰直角三角形的性质可得DG=CG=DH=BH=22m，则有AG=AH=AC+22m，最后问题可求解．【详解】感知：DB=DC，理由如下：∵∠B+∠C=180°，∠B=90°，∴∠B=∠C=90°，即DB⊥AB,DC⊥AC，∵AD平分∠BAC，∴DB=DC；探究：DB与DC的大小关系不变，还是相等，理由如下：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，则∠DEB=∠DFC=90°，如图所示：∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∵∠ABD+∠ACD=180°，∠DCF+∠ACD=180°，∴∠B=∠DCF，∴△DEB≌△DFC(AAS)，∴DB=DC；应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，如图所示：∵∠B=45°，∠C=135°，∴∠B+∠C=180°，∵∠ACD+∠DCG=180°，∴∠B=∠DCG=45°，∵∠DHB=∠DGC=90°，DB=DC=m，∴△DHB≌△DGC(AAS)，且△DHB与△DGC都为等腰直角三角形，∴DG=CG=DH=BH，由勾股定理可得DH2+BH2=DB2，∴2DH2=m2，m，∴DG=CG=DH=BH=22在Rt△AHD和Rt△AGD中，AD=AD，DH=DG，∴Rt△AHD≌Rt△AGD(HL)，∴AG=AH=AC+2m，2∴AB=AH+BH=AC+2m，∴AB-AC=2m．【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．4.(2013秋·江苏盐城·九年级阶段练习)已知∠MAN，AC平分∠MAN.(1)在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，我们可得结论：AB+AD=AC；在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则上面的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(2)在图3中：(只要填空，不需要证明).①若∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD=AC；②若∠MAN=α(0°<α<180°)，∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD=AC(用含α的三角函数表示)．【答案】(1)成立，证明如下；(2)3，2cos α2 .【详解】试题分析：(1)作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．根据角平分线的性质，得CE=CF，根据等角的补角相等，得∠CDE=∠ABC，再根据AAS得到△CDE≌△CBF，则DE=BF．再由∠MAN =120°，AC平分∠MAN，得到∠ECA=∠FCA=30°，从而根据30°所对的直角边等于斜边的一半，得到AE=12AC，AF=12AC，等量代换后即可证明AD+AB=AC仍成立．试题解析：(1)仍成立．证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F∵AC平分∠MAN∴CE=CF∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°∴∠CDE=∠ABC又∠CED=∠CFB=90°，∴△CED≌△CFB(AAS)∵ED=FB，∴AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF∴AE+AF=AC∴AD+AB=AC(2)3，2cosα2.考点:(1)角平分线的性质；(2)全等三角形的判定与性质；(3)含30度角的直角三角形．5.(2021·全国·八年级专题练习)已知：∠ABC=∠ADC=90°,AD=DC，求证：BC+AB=2BD．6.(2021·全国·八年级专题练习)已知∠ABC =60°,∠ADC =120°,AB =BC ，求证：AD +DC =BD ，S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =34BD 2．【答案】见解析【分析】延长DC 至点E 使CE =AD ，先证明△BAD ≌△BCE ，再证明△BDE 是等边三角形，可证结论成立．【详解】证明：延长DC 至点E 使CE =AD ，∵∠ABC =60°,∠ADC =120°，∴∠A +∠BCD =180°，∵∠BCE +∠BCD =180°，∴∠A =∠BCE ，在△BAD 和△BCE 中BA =BC∠A =∠BCE AD =CE，∴△BAD ≌△BCE ，∴BD =BE ，∠ABD =∠CBE ，∵∠ABC =∠ABD +∠CBD =60°，∴∠DBE =∠CBE +∠CBD =60°，∴△BDE 是等边三角形，∴BD =DE ，∵DC +CE =DE ，∴AD +DC =BD ；作BF ⊥DE 于点F ，则∠EBF =30°，EF =DF =12DE =12BE ，∴BF =BE 2-EF 2=32BE ，∴S △DBE =12DE ×BF =12×BE ×32BE =34BE 2，∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =34BD 2．【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决问题的关键是正确作出辅助线，证出△BAD≌△BCE，再证出△BDE是等边三角形．7.(2021·贵州黔东南·统考中考真题)在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．【探究发现】(1)如图①，若∠BAD=120°，∠ABC=∠ADC=90°．求证：AD+AB=AC；【拓展迁移】(2)如图②，若∠BAD=120°，∠ABC+∠ADC=180°．①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；②若AC=10，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)见解析；(2)①AD+AB=AC，见解析；②253【分析】(1)根据角平分线的性质得到∠DAC=∠BAC=60o，然后根据直角三角形中30o是斜边的一半即可写出数量关系；(2)①根据第一问中的思路，过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，构造AAS证明△CFB≅△CED，根据全等的性质得到FB=DE，结合第一问结论即可写出数量关系；②根据题意应用60o的正弦值求得CE的长，然后根据S四边形ABCD=12AD×CE+12AB×CF=1 2AD+AB×CE的数量关系即可求解四边形ABCD的面积．【详解】(1)证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD=120o，∴∠DAC=∠BAC=60o，∵∠ADC=∠ABC=90o，∴∠ACD=∠ACB=30o，∴AD=12AC，AB=12AC．∴AD+AB=AC，(2)①AD+AB=AC，理由：过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．∵AC平分∠BAD，∴CF=CE，∵∠ABC+∠ADC=180o，∠EDC+∠ADC=180o，∴∠FBC=∠EDC，又∠CFB=∠CED=90o，∴△CFB≅△CED AAS，∴FB=DE，∴AD+AB=AD+FB+AF=AD+DE+AF=AE+AF，在四边形AFCE中，由⑴题知：AE+AF=AC，∴AD+AB=AC；②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD=120o∴∠DAC=∠BAC=60o，又∵AC=10，∴CE=A sin∠DAC=10sin60o=53，∵CF=CE，AD+AB=AC，∴S四边形ABCD =12AD×CE+12AB×CF=12AD+AB×CE=12AC×CE=12×10×53=253．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨认出本题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线．8.(2017·四川乐山·中考真题)在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．(1)如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．(2)如图2，若将(1)中的条件“∠B=90°”去掉，(1)中的结论是否成立？请说明理由．(3)如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．【答案】(1)AC=AD+AB；(2)成立；(3)AD+AB=2AC．【分析】(1)结论：AC=AD+AB，只要证明AD=12AC，AB=12AC即可解决问题；(2)(1)中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；(3)结论：AD+AB=2AC．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；【详解】(1)AC=AD+AB．理由如下：如图1中，在四边形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠D=90°，∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC=60°，∵∠B=90°，∴AB=12AC，同理AD=12 AC，∴AC=AD+AB．(2)(1)中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，如图2，∵∠BAC=60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC=AE=CE，∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°，∴∠DCB=60°，∴∠DCA=∠BCE，∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠CBE，∵CA=CE，∴△DAC≌△BEC，∴AD=BE，∴AC=AE=AD+AB．(3)结论：AD+AB=2AC．理由如下：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，如图3，∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=90°，∴∠DCB=90°，∵∠ACE=90°，∴∠DCA=∠BCE，又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=45°，∴∠E=45°，∴AC=CE．又∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠CBE=180°，∴∠D=∠CBE，∴△CDA≌△CBE，∴AD=BE，∴AD+AB=AE．在Rt△ACE中，AC=CE，∴AE=AC2+CE2=2AC2=2AC，∴AD+AB=2AC．【点睛】本题是四边形探究的综合题，属于压轴题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段的和差倍分关系，对于线段和差问题，常常采用截长法或补短法构造辅助线，通过全等三角形来解决．9.(2022秋·广东惠州·九年级校考期中)在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°．将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交边AC、CB于点D、E．(1)如图①，当PD⊥AC时，则DC+CE的值是．(2)如图②，当PD与AC不垂直时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，在∠DPE内作∠MPN=45°，使得PM、PN分别交DC、CE于点M、N，连接MN．那么△CMN的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)2(2)依然成立(3)△CMN的周长为定值，且周长为2【分析】(1)由等腰三角形的性质和P为斜边AB的中点可知DC=1，CE=1，所以DC+CE的值可求；(2)结论成立．连接PC，通过证明△PCD≌△PBE．可得DC=EB，所以DC+CE=EB+CE= BC=2；(3)△CMN的周长为定值，且周长为2．在EB上截取EF=DM，通过证明△PMN≌△PFN，得到MN=NF．所以MC+CN+NM=MC+CN+NE+EF=MC+CE+DM=DC+CE=2．【详解】(1)连PC∵P是AB的中点，AC=BC=2，∠C=90°∴PC=AP=PB∵PD⊥AC，AC=1∴DC=12∠C=∠DPE=90°∴四边形PDCE是矩形，∴PE⊥BC又∵PC=PBBC=1∴EC=12∴DC+CE=2；故答案为：2；(2)结论成立．连接PC，如图②．∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，∠ACB=45°．∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=12∴∠ACP=∠B=45°，∠CPB=90°．∴∠BPE=90°-∠CPE．又∵∠DPC=90°-∠CPE，∴∠DPC=∠EPB．∴△PCD≌△PBE．∴DC=EB，∴DC+CE=EB+CE=BC=2．(3)△CMN的周长为定值，且周长为2．在EB上截取EF=DM，如图③，由(2)可知：PD=PE，∠PDC=∠PEB，∴△PDM≅△PEF，∴∠DPM=∠EPF，PM=PF．∵∠NPF=∠NPE+∠EPF=∠NPE+∠DPM=∠DPE-∠MPN=45°=∠NPM，又PN=PN，∴△PMN≌△PFN，∴MN=NF．∴MC+CN+NM=MC+CN+NE+EF，=MC+CE+DM，=DC+CE，=2．∴△CMN的周长是2．【点睛】此题比较复杂，综合考查全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、图形的变换．综合性很强，是一道不错的题目．10.(2021秋·河南漯河·八年级统考期中)在等边△ABC中，点D为AC的中点，点F在BC延长线上，点E在射线AB上，∠EDF=120°．(1)如图1，当点E与点B重合时，则DE与DF的数量关系是；(2)当点E在线段AB上时，(1)中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；(3)如图3，当点E在AB的延长线上时，BF=8,BE=2，请直接写出BC的长．【答案】(1)DE=DF；(2)DE=DF，理由见解析；(3)4【分析】(1)根据等腰三角形的性质及已知，可得∠DBC =∠F =30゜，从而可得DE =DF ；(2)仍有DE =DF ；过点D 作DG ∥BC 交AB 于点G ，可证明△DGE ≌△DCF ，从而可得DE =DF ；(3)过点D 作DG ∥BC 交AB 于点G ，可证明△DGE ≌△DCF ，从而可得GE =CF ；设BC =a ，则CF =8-a ，GB =12a ，GE =12a +2，则可得方程，解方程即可求得a ．【详解】(1)∵△ABC 是等边三角形，D 点为AC 的中点∴∠DBC =30゜∵∠EDF =120゜∴∠F =180゜-∠DBC -∠EDF =30゜∴∠DBC =∠F∴DE =DF故答案为：DE =DF(2)仍有DE =DF ；理由如下：过点D 作DG ∥BC 交AB 于点G ，如图2所示则∠AGD =∠ABC∵△ABC 是等边三角形∴AB =AC ，∠A =∠ABC =∠ACB =60゜∴∠AGD =∠A =60゜∴△AGD 是等边三角形∴∠ADG =∠AGD =60゜，AD =GD∴∠DGE =∠GDC =120゜∴∠EDF =∠GDC =120゜∵∠GDE +∠EDC =∠EDC +∠CDF∴∠GDE =∠CDF∵D 点是AC 的中点∴AD =DC =GD∵∠ACB =60゜∴∠DCF =120゜∴∠DGE =∠DCF在△DGE 和△DCF 中∠DGE =∠DCFGD =DC∠GDE =∠CDF∴△DGE ≌△DCF (ASA )∴DE =DF(3)过点D 作DG ∥BC 交AB 于点G ，如图3所示与(2)同理有：△DGE ≌△DCF∴GE =CF设BC =a ，则CF =8-a ，GB =12a ∴GE =12a +2由GE =CF ，得：12a +2=8-a 解得：a =4【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造三角形全等是本题后两问的关键．11.(2017·辽宁葫芦岛·中考真题)如图，∠MAN =60°，AP 平分∠MAN ，点B 是射线AP 上一定点，点C 在直线AN 上运动，连接BC ，将∠ABC (0°<∠ABC <120°)的两边射线BC 和BA 分别绕点B 顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM 交于点D 和点E ．(1)如图1，当点C 在射线AN 上时，①请判断线段BC 与BD 的数量关系，直接写出结论；②请探究线段AC ，AD 和BE 之间的数量关系，写出结论并证明；(2)如图2，当点C 在射线AN 的反向延长线上时，BC 交射线AM 于点F ，若AB =4，AC =3，请直接写出线段AD 和DF 的长．【答案】(1)①BC =BD ；②AD +AC =3BE ；(2)AD =53，DF =3137．【分析】(1)①结论：BC =BD ．只要证明△BGD ≌△BHC 即可．②结论：AD +AC =3BE ．只要证明AD +AC =2AG =2EG ，再证明EB =32BE 即可解决问题；(2)如图2中，作BG ⊥AM 于G ，BH ⊥AN 于H ，AK ⊥CF 于K ．由(1)可知，△ABG ≌△ABH ，△BGD ≌△BHC ，易知BH ，AH ，BC ，CH ，AD 的长，由sin ∠ACH =AK AC=BH BC ，推出AK 的长，设FG =y ，则AF =23-y ，BF =4+y 2，由△AFK ∽△BFG ，可得AF BF =AK BG ，可得关于y 的方程，求出y 即可解决问题．【详解】(1)①结论：BC=BD，理由：如图1中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，∵∠MAN=60°，PA平分∠MAN，BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，∴BG=BH，∠GBH=∠CBD=120°，∴∠CBH=∠GBD，∵∠BGD=∠BHC=90°，∴△BGD≌△BHC，∴BD=BC；②结论：AD+AC=3BE，∵∠ABE=120°，∠BAE=30°，∴∠BEA=∠BAE=30°，∴BA=BE，∵BG⊥AE，∴AG=GE，EG=BE•cos30°=32BE，∵△BGD≌△BHC，∴DG=CH，∵AB=AB，BG=BH，∴Rt△ABG≌Rt△ABH，∴AG=AH，∴AD+AC=AG+DG+AH-CH=2AG=3BE，∴AD+AC=3BE；(2)如图2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K，由(1)可知，△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，易知BH=GB=2，AH=AG=EG=23，BC=BD=BH2+CH2=31，CH=DG=33，∴AD=53，∵sin∠ACH=AKAC =BH BC，∴AK3=231，∴AK=2331，设FG=y，则AF=23-y，BF=4+y2，∵∠AFK=∠BFG，∠AKF=∠BGF=90°，∴△AFK∽△BFG，∴AFBF =AKBG，∴23-y4+y2=23312，解得y=1037或310(舍弃)，∴DF=GF+DG=1037+33，即DF=3137．12.(2021·重庆·统考中考真题)在等边△ABC中，AB=6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．(1)将线段EF 绕点E 逆时针旋转60°得到线段EG ，连接FG ．①如图1，当点E 与点B 重合，且GF 的延长线过点C 时，连接DG ，求线段DG 的长；②如图2，点E 不与点A ，B 重合，GF 的延长线交BC 边于点H ，连接EH ，求证：BE +BH =3BF ；(2)如图3，当点E 为AB 中点时，点M 为BE 中点，点N 在边AC 上，且DN =2NC ，点F 从BD 中点Q 沿射线QD 运动，将线段EF 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EP ，连接FP ，当NP +12MP 最小时，直接写出△DPN 的面积．【答案】(1)①21；②见解析；(2)433【分析】(1)①连接AG ，根据题意得出△ABC 和△GEF 均为等边三角形，从而可证明△GBC ≌△GAC ，进一步求出AD =3，AG =BG =23，然后利用勾股定理求解即可；②以点F 为圆心，FB 的长为半径画弧，与BH 的延长线交于点K ，连接KF ，先证明出△BFK 是顶角为120°的等腰三角形，然后推出△FEB ≌△FHK ，从而得出结论即可；(2)利用“胡不归”模型构造出含有30°角的直角三角形，构造出NP +12MP =NP +PJ ，当N 、P 、J 三点共线的时候满足条件，然后利用等边三角形的性质及判定、矩形的判定及性质以及解直角三角形的知识分别计算出PN 与DN 的长度，即可得出结论．【详解】(1)解：①如图所示，连接AG ，由题意可知，△ABC 和△GEF 均为等边三角形，∴∠GFB =60°，∵BD ⊥AC ，∴∠FBC =30°，∴∠FCB =30°，∠ACG =30°，∵AC =BC ，GC =GC ，∴△GBC ≌△GAC (SAS )，∴∠GAC =∠GBC =90°，AG =BG ，∵AB =6，∴AD =3，AG =BG =23，∴在Rt △ADG 中，DG=AD 2+AG 2=23 2+32=21，∴DG =21；②证明：以点F 为圆心，FB 的长为半径画弧，与BH 的延长线交于点K ，连接KF ，如图，∵△ABC 和△GEF 均为等边三角形，∴∠ABC =60°，∠EFH =120°，∴∠BEF +∠BHF =180°，∵∠BHF +∠KHF =180°，∴∠BEF =∠KHF ，由辅助线作法可知，FB =FK ，则∠K =∠FBE ，∵BD 是等边△ABC 的高，∴∠K =∠DBC =∠DBA =30°，∴∠BFK =120°，在△FEB 与△FHK 中，∠FEB =∠FHK∠FBE =∠KFB =FK∴△FEB ≌△FHK (AAS )，∴BE =KH ，∴BE +BH =KH +BH =BK ，∵FB =FK ，∠BFK =120°，∴BK =3BF ，即：BE +BH =3BF ；(2)方法一：以M 为顶点，MP 为一边，作∠PML =30°，ML 交BD 于G ，过P 作PH ⊥ML 于H ，设MP 交BD 于K ，如图：Rt ΔPMH 中，HP =12MP ，∴NP +12MP 最小即是NP +HP 最小，此时N 、P 、H 共线，∵将线段EF 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EP ，∴F 在射线QF 上运动，则P 在射线MP 上运动，根据“瓜豆原理”，F 为主动点，P 是从动点，E 为定点，∠FEP =60°，则F 、P 轨迹的夹角∠QKP =∠FEP =60°，∴∠BKM =60°，∵∠ABD =30°，∴∠BMK =90°，∵∠PML =30°，∴∠BML =60°，∴∠BML=∠A，∴ML⎳AC，∴∠HNA=180°-∠PHM=90°，而BD⊥AC，∴∠BDC=∠HNA=∠PHM=90°，∴四边形GHND是矩形，∴DN=GH，∵边ΔABC中，AB=6，BD⊥AC，∴CD=3，又DN=2NC，∴DN=GH=2，∵等边ΔABC中，AB=6，点E为AB中点时，点M为BE中点，∴BM=32，BD=AB⋅sin A=6×sin60°=33，RtΔBGM中，MG=12BM=34，BG=BM⋅cos30°=334，∴MH=MG+GH=114，GD=BD-BG=93 4，RtΔMHP中，HP=MH⋅tan30°=11312，∴PN=HN-HP=GD-HP=433，∴SΔDPN=12PN⋅DN=433．方法二：如图，连接EQ，∵在等边△ABC中，AB=6，BD⊥AC，∴∠A=60°，∠BDA=90°，∠ABD=30°，∵点E、Q分别为AB、BD的中点，∴EQ为△ABD的中位线，∴EQ⎳AD，∴∠BEQ=∠A=60°，∠BQE=∠BDA=90°，∵∠BQE=90°，∠ABD=30°，∴EQ=12BE，∵点M为BE的中点，∴ME=12BE=EQ，∵将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，∴△EPF 为等边三角形，∠PEF =60°，PE =EF =PF ，∴∠BEQ =∠PEF ，∴∠BEQ -∠PEQ =∠PEF -∠PEQ ，即∠MEP =∠QEF ，在△MEP 与△QEF 中，ME =EQ∠MEP =∠QEF PE =EF，∴△MEP ≌△QEF (SAS )∴∠EMP =∠EQF =90°，∴MP ⊥BE ，∴点P 在射线MP 上运动，如图，以M 为顶点，MP 为一边，作∠PML =30°，ML 交BD 于G ，过P 作PH ⊥ML 于H ，设MP 交BD 于K ，则在Rt △PMH 中，HP =12MP ，∴NP +12MP 最小即是NP +HP 最小，此时N 、P 、H 共线，如图：∵∠EMP =90°，∠PML =30°，∴∠BML =180°-∠EMP -∠PML =60°，∴∠BML =∠A ，∴ML ⎳AC ，∴∠HNA =180°-∠PHM =90°，又∵BD ⊥AC ，∴∠BDC =∠HNA =∠PHM =90°，∴四边形GHND 是矩形，∴DN =GH ，∵在等边△ABC 中，AB =6，BD ⊥AC ，∴CD =3，又DN =2NC ，∴DN =GH =2，∵在等边△ABC 中，AB =6，点E 为AB 中点时，点M 为BE 中点，∴BM =32，BD =AB ⋅sin A =6×sin60°=33，∴在Rt △BGM 中，MG =12BM =34，BG =BM ⋅cos30°=334，∴MH =MG +GH =114，GD =BD -BG =934，∴在Rt△MHP中，HP=MH⋅tan30°=11312，∴PN=HN-HP=GD-HP=433，∴S△DPN=12PN⋅DN=12×433×2=433．【点睛】本题考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换、解直角三角形、三角形全等的判定及性质、矩形的判定及性质等知识，难度较大，解题的关键是构造辅助线．13.(2022·辽宁朝阳·统考中考真题)【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=60°，∠BCD=120°，AB=AD，连接AC．求证：BC+CD=AC．(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD=180°，推得∠B+∠ADC=180°，从而得到∠B=∠ADE，然后证明△ADE≌△ABC，从而可证BC+CD=AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=6，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．【答案】(1)AC=BC+CD；理由见详解；(2)CB+CD=2AC；理由见详解；(3)33-3或3-3【分析】(1)如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．证明△ADE≌△ABC(SAS)，推出∠DAE=∠BAC，AE=AC，推出△ACE的等边三角形，可得结论；(2)结论：CB+CD=2AC．如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N．证明△AMD≌△ANB(AAS)，推出DM=BN，AM=AN，证明Rt△ACM≌Rt△ACN(HL)，推出CM=CN，可得结论；(3)分两种情形：如图3-1中，当∠CDA=75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．如图3-2中，当∠CBD=75°时，分别求解即可．【详解】(1)证明：如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．∵∠BAD +∠BCD =180°，∴∠B +∠ADC =180°，∵∠ADE +∠ADC =180°∴∠B =∠ADE ，在△ADE 和△ABC 中，DA =BA∠ADE =∠B DE =BC，∴△ADE ≌△ABC (SAS )，∴∠DAE =∠BAC ，AE =AC ，∴∠CAE =∠BAD =60°，∴△ACE 的等边三角形，∴CE =AC ，∵CE =DE +CD ，∴AC =BC +CD ；(2)解：结论：CB +CD =2AC ．理由：如图2中，过点A 作AM ⊥CD 于点M ，AN ⊥CB 交CB 的延长线于点N ．∵∠DAB =∠DCB =90°，∴∠CDA +∠CBA =180°，∵∠ABN +∠ABC =180°，∴∠D =∠ABN ，∵∠AMD =∠N =90°，AD =AB ，∴△AMD ≌△ANB (AAS )，∴DM =BN ，AM =AN ，∵AM ⊥CD ，AN ⊥CN ，∴∠ACD =∠ACB =45°，∴AC =2CM ，∵AC =AC ．AM =AN ，∴Rt △ACM ≌Rt △ACN (HL )，∴CM =CN ，∴CB +CD =CN -BN +CM +DM =2CM =2AC ；(3)解：如图3-1中，当∠CDA =75°时，过点O 作OP ⊥CB 于点P ，CQ ⊥CD 于点Q ．∵∠CDA =75°，∠ADB =45°，∴∠CDB =30°，∵∠DCB =90°，∴CD =3CB ，∵∠DCO =∠BCO =45°，OP ⊥CB ，OQ ⊥CD ，∴OP =OQ ，∴S ΔCDO S ΔOBC=12CD ·OQ 12BC ·OP =CD BC ，∴ODOB =CD CB=3，∵AB =AD =6，∠DAB =90°，∴BD =2AD =23，∴OD =31+3×23=33-3．如图3-2中，当∠CBD =75°时，同法可证OD OB =13，OD =11+3×23=3-3，综上所述，满足条件的OD 的长为33-3或3-3．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．14.(2020·湖南湘西·中考真题)问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD =90°，∠BCD =90°，BA =BC ，∠ABC =120°，∠MBN =60°，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．探究图中线段AE ，CF ，EF 之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC 到G ，使CG =AE ，连接BG ，先证明△BCG ≌△BAE ，再证明△BFC ≌△BFE ，可得出结论，他的结论就是；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD 中，∠BAD =90°，∠BCD =90°，BA =BC ，∠ABC =2∠MBN ，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论(直接写出“成立”或者“不成立”)，不要说明理由．探究延伸2：如图3，在四边形ABCD 中，BA =BC ，∠BAD +∠BCD =180°，∠ABC =2∠MBN ，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．上述结论是否仍然成立？并说明理由．实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西30°的A 处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E 、F 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【答案】EF =AE +CF ．探究延伸1：结论EF=AE +CF 成立．探究延伸2：结论EF =AE +CF 仍然成立．实际应用：210海里．【分析】延长FC 到G ，使CG =AE ，连接BG ，先证明△BCG ≌△BAE ，可得BG =BE ，∠CBG =∠ABE ，再证明△BGF ≌△BEF ，可得GF =EF ，即可解题；探究延伸1：延长FC 到G ，使CG =AE ，连接BG ，先证明△BCG ≌△BAE ，可得BG =BE ，∠CBG =∠ABE ，再证明△BGF ≌△BEF ，可得GF =EF ，即可解题；探究延伸2：延长FC 到G ，使CG =AE ，连接BG ，先证明△BCG ≌△BAE ，可得BG =BE ，∠CBG =∠ABE ，再证明△BGF ≌△BEF ，可得GF =EF ，即可解题；实际应用：连接EF ，延长AE ，BF 相交于点C ，然后与探究延伸2同理可得EF =AE +CF ，将AE 和CF 的长代入即可．【详解】解：EF =AE +CF理由：延长FC 到G ，使CG =AE ，连接BG ，在△BCG 和△BAE 中，BC =BA∠BCG =∠BAE =90°CG =AE，∴△BCG ≌△BAE (SAS )，∴BG =BE ，∠CBG =∠ABE ，∵∠ABC =120°，∠MBN =60°，∴∠ABE +∠CBF =60°，∴∠CBG +∠CBF =60°，即∠GBF =60°，在△BGF 和△BEF 中，BG =BE∠GBF =∠EBF BF =BF，∴△BGF ≌△BEF (SAS )，∴GF =EF ，∵GF =CG +CF =AE +CF ，∴EF =AE +CF ．探究延伸1：结论EF =AE +CF 成立．理由：延长FC 到G ，使CG =AE ，连接BG，在△BCG 和△BAE 中，BC =BA∠BCG =∠BAE =90°CG =AE，∴△BCG ≌△BAE (SAS )，∴BG =BE ，∠CBG =∠ABE ，∵∠ABC =2∠MBN ，∴∠ABE +∠CBF =12∠ABC ，∴∠CBG +∠CBF =12∠ABC ，即∠GBF =12∠ABC ，在△BGF 和△BEF 中，BG =BE∠GBF =∠EBF BF =BF，∴△BGF ≌△BEF (SAS )，∴GF =EF ，∵GF =CG +CF =AE +CF ，∴EF =AE +CF ．探究延伸2：结论EF =AE +CF 仍然成立．理由：延长FC 到G ，使CG =AE ，连接BG ，∵∠BAD +∠BCD =180°，∠BCG +∠BCD =180°，∴∠BCG =∠BAD在△BCG 和△BAE 中，BC =BA∠BCG =∠BAE CG =AE，∴△BCG ≌△BAE (SAS )，∴BG =BE ，∠CBG =∠ABE ，∵∠ABC =2∠MBN ，.。

专题17 对角互补模型1．如图，将5个边长为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则5个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为．【解答】解：如图，过正方形ABCD的中心O作OM⊥CD于M，作ON⊥BC于N，则∠EOM＝∠FON，OM＝ON，在△OEM和△OFN中，，∴△OEM≌△OFN（ASA），则四边形OECF的面积就等于正方形OMCN的面积，如正方形ABCD的边长是1，则OMCN的面积是cm2，∴得阴影部分面积等于正方形面积的cm2，即是cm2，∴5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4＝1cm2，故答案为：1cm2．2．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD ＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为2．【解答】解：将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，∵∠BAC＝∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABD+∠ABE＝180°，∴E，B，M三点共线，∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAM＝∠MAN，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴MN＝ME，∴MN＝CN+BM，∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BC＝4，∴CD＝BC＝2，BD＝＝2，∴△DMN的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝2+2，故答案为：2+2．3.（袁州区校级期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD．【答案】略【解答】证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，∴∠PEC＝∠PFD＝90°，∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF，∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF，在△PCE和△PDF中，∴△PCE≌△PDF（AAS），∴PC＝PD．4.（2021秋•泉港区期末）如图，在正方形ABCD中，AC交BD于O，F在AC上，连线DF，过F作FE⊥DF交BD于G，交AB于E．（1）求证：DF＝EF；（2）若F为OC中点，求证：FG＝EG．【答案】（1）略（2）略【解答】证明：（1）如图1，连接BF，∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠DAC＝∠BAC＝45°，AC⊥BD，在△DAF和△BAF中，，∴△DAF≌△BAF（SAS），∴DF＝BF，∠ADF＝∠ABF，∵∠DAE＝∠DFE＝90°，∴∠ADF+∠AEF＝180°，∵∠AEF+∠BEF＝180°，∴∠ADF＝∠BEF，∴∠ABF＝∠BEF，∴BF＝EF＝DF；（2）如图2，过点E作EH⊥AC于H，∴∠EHF＝∠DOF＝90°，∴∠DFO+∠FDO＝90°＝∠DFO+∠EFH，∴∠FDO＝∠EFH，在△DFO和△FEH中，，∴△DFO≌△FEH（AAS），∴DO＝FH，∵F为OC中点，∴FO＝CF，∴OH＝OF，∵BD∥HE，∴，∴FG＝GE．5.（2020•呼伦贝尔）已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．求证：CE＝DF．【答案】略【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，∴∠DOF+∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，即∠COE+∠COF＝90°，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），∴CE＝DF．6.（2021春•满城区期末）如图，正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点P为平面内外一点，且BP⊥CP．过点O作OE⊥OP交PB的延长线于E．（1）探究BE与PC之间的数量关系，并说明理由．（2）BP、CP、OP三者之间存在怎样的关系？并说明理由．【答案】（1）BE＝PC（2）BP+CP＝OP【解答】解：（1）BE＝PC，理由如下：如图，连接OB，∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，OB⊥OC，∵OE⊥OP，∴∠EOP＝∠BOC＝90°，∴∠EOB+∠BOP＝∠POC+∠BOP，即∠EOB＝∠POC，∵OE⊥OP，BP⊥CP，∴∠E+∠OPE＝∠OPC+∠OPE＝90°，∴∠E＝∠OPC，在△BOE与△COP中，，∴△BOE≌△COP（AAS），∴BE＝PC；（2）BP+CP＝OP，理由如下：由（1）知，△BOE≌△COP，∴BE＝CP，OE＝OP，∴Rt△EOP是等腰直角三角形，∴EP＝＝OP，∵EP＝BP+BE＝BP+CP，∴BP+CP＝OP．7．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD 上的点，若EF＝BE+FD．求证：∠EAF＝∠BAD（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，证明你的结论．【解答】证明：（1）延长CB至M，使得BM＝DF，连接AM，∵∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，在△ABM与△ADF中，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠DAF＝∠BAM，∵EF＝BE+DF＝BE+BM＝ME，在△AME与△AFE中，∴△AME≌△AFE（SSS），∴∠MAE＝∠EAF，∴∠BAE+∠DAF＝∠EAF，即∠EAF＝∠BAD；（2）线段EF、BE、FD之间的数量关系是EF+DF＝BE，在BE上截取BM＝DF，连接AM，∵AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ABM＝∠ADF，在△ABM与△ADF中，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠EAM，在△AEM与△AEF中，∴△AEM≌△AEF（SAS），∴EM＝EF，即BE﹣BM＝EF，即BE﹣DF＝EF．8．问题背景：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．探索延伸：（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【解答】证明：（1）在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为EF＝BE+DF．（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；9．（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF 交AC于点F，连接EF．若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；（2）如图（2），在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．【解答】证明：（1）EF2＝BE2+CF2，理由如下：如图（1）延长ED到G，使DG＝ED，连接CG，FG，在△DCG与△DBE中，，∴△DCG≌△DBE（SAS），∴DG＝DE，CG＝BE，∠B＝∠DCG，又∵DE⊥DF，∴FD垂直平分线段EG，∴FG＝FE，∵∠A＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠FCG＝90°，在△CFG中，CG2+CF2＝FG2，∴EF2＝BE2+CF2；（2）如图（2），结论：EF＝EB+FC，理由如下：延长AB到M，使BM＝CF，∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°，∴∠MBD＝∠C，在△BDM和△CDF中，，∴△BDM≌△CDF（SAS），∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF，在△DEM和△DEF中，，∴△DEM≌△DEF（SAS），∴EF＝EM，∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF．。

专题05 对角互补模型基本模型：例题精讲例1．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，FD ⊥ED ．(1)如图1，若点E 在线段AB 上，点F 在线段AC 上，求证 BE ＝AF ；(2)如图 2，若点E 在线段AB 的延长线上，点F 在线段CA 的延长线上．请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)成立，见解析【解析】(1)证明：连接AD ．如图1所示，∵AB AC =，90BAC Ð=°，点D 是BC 的中点，∴45B C Ð=Ð=°，AD BC ^，1452DAF BAD BAC Ð=Ð=Ð=°，∴B DAF Ð=Ð，90ADB Ð=°，∴ABD △为等腰直角三角形，AD BD =，又∵FD ED ^，∴90EDF Ð=°，∴BDE ADF Ð=Ð，在BDE V 和ADF V 中，B DAF BD AD BDE ADF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()BDE ADF ASA V V ≌．∴BE AF =；(2)解：BE AF =仍然成立．证明：连接AD ，如图2所示．同①得：BDE ADF Ð=Ð，AD BD =，45ABD CAD Ð=Ð=°，∴135DBE DAF Ð=Ð=°，在BDE V 和ADF V 中，BDE ADF BD AD DBE DAF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()BDE ADF ASA V V ≌，∴BE AF =．例2．已知：如图，在等边△ABC 中，点O 是BC 的中点，∠DOE ＝120°，∠DOE 绕着点O 旋转，角的两边与AB 相交于点D ，与AC 相交于点E ．(1)若OD ，OE 都在BC 的上方，如图1，求证：OD ＝OE ．(2)在图1中，BD ，CE 与BC 的数量关系是．(3)若点D 在AB 的延长线上，点E 在线段AC 上，如图2，直接写出BD ，CE 与BC 的数量关系是 ．【答案】(1)见解析；(2)()2CE BD BC +=；(3)2()CE BD BC-=【解析】(1)证明：取AB 的中点F ，连接OF ．∵△ABC 是等边三角形，∴,60AB BC ABC ACB =Ð=Ð=°，∵点O 与点F 分别是BC 与AB 的中点，∴BF BO OC ==，∴△BOF 是等边三角形，∴OF OB OC ==，60OFD OCE BOF Ð=Ð=Ð=°，∴120COF DOE Ð=°=Ð，∴DOF EOC Ð=Ð，∵在△DOF 和△EOC 中，OFD OCE OF OC DOF EOC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()DOF EOC ASA @V V ，∴OD OE =．(2)解：结论：()2CE BD BC +=．理由：∵DOF EOC ≌V V ，∴DF EC =，∴BD EC BD DF BF +=+=，∵BOF V 是等边三角形，∴OB BF =，∵2BC OB =，∴()2CE BD BC +=．故答案为：()2CE BD BC +=；(3)结论：2()CE BD BC -=．理由如图2中，取AB 的中点F ，连接OF ．同（1）中的方法可证BOF V 是等边三角形，DOF EOC ≌V V ，∴DF CE =，∴EC BD DF BD BF OB -=-==，∵2BC OB =，∴2()CE BD BC-=例3．在七年级下册“证明”的一章的学习中，我们曾做过如下的实验：画∠AOB ＝90°，并画∠AOB 的平分线OC ．把三角尺的直角顶点落在OC 的任意一点P 上，使三角尺的两条直角边分别与OA 、OB 相交于点E 、F ．(1)若PE ⊥OA ，PF ⊥OB （如图①），PE 与PF 相等吗？请说明理由；(2)把三角尺绕点P 旋转（如图②），PE 与PF 相等吗？请说明理由；(3)探究：画∠AOB ＝50°，并画∠AOB 的平分线OC ，在OC 上任取一点P ，作∠EPF ＝130°．∠EPF 的两边分别与OA 、OB 相交于E 、F 两点（如图③），PE 与PF 相等吗？请说明理由．【答案】(1)相等，见解析；(2)PE ＝PF ，见解析；(3)PE ＝PF ，见解析【解析】(1)解：∵OC 平分∠AOB ，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，∴PE ＝PF ；(2)解：PE ＝PF ，理由如下：当PE ⊥OA 时，如图①，∵∠AOB ＝90°，OC 平分∠AOB ，∴∠POE ＝∠POF ＝45°，∵∠PEO ＝∠EPF ＝∠EOF ＝90°，且∠PEO +∠EPF +∠EOF +∠PFO ＝360°，∴∠PFO ＝90°，∴∠PEO ＝∠PFO ，∵OP ＝OP ，∴△PEO ≌△PFO （AAS ），∴PE ＝PF ；当PE与OA不垂直时，如图②，作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，∵∠OMP＝∠ONP＝90°，∠POM＝∠PON＝45°，OP＝OP，∴△POM≌△PON（AAS），∴PM＝PN，∵∠OMP＝∠ONP＝∠MON＝90°，且∠OMP+∠ONP+∠MON+∠MPN＝360°，∴∠MPN＝90°，∵∠EPF＝90°，∴∠MPE＝∠NPF＝90°﹣∠EPN，∵∠PME＝∠PNF＝90°，∴△PME≌△PNF（ASA），∴PE＝PF，综上所述，PE＝PF．(3)解：PE＝PF，理由如下：如图③，在OF上取一点G，使OG＝OE，连接PG，∵OC平分∠AOB，∴∠POG＝∠POE，∵OP＝OP，∴△POG≌△POE（SAS），∴∠OGP＝∠OEP，PG＝PE，∴∠PGF+∠OEP＝∠PGF+∠OGP＝180°，∴∠AOB＝50°，∠EPF＝130°，且∠AOB+∠EPF+∠PFG+∠OEP＝360°，∴∠PFG+∠OEP＝180°，∴∠PGF＝∠PFG，∴PG＝PF，∴PE＝PF．课后训练1．如图，△ABC 是边长为4的等边三角形，点D 是线段BC 的中点，∠EDF=120°，把∠EDF 绕点D 旋转，使∠EDF 的两边分别与线段AB 、AC 交于点E 、F ．（1）当DF ⊥AC 时，求证：BE=CF ；（2）在旋转过程中，BE+CF 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）是，2.【详解】（1）∵△ABC 是边长为4的等边三角形，点D 是线段BC 的中点，∴∠B=∠C=60°，BD=CD ，∵DF ⊥AC ，∴∠DFA=90°，∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∴∠DEB=∠DFC ，且∠B=∠C=60°，BD=DC ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ）（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．∵∠A=60°，∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF ．在△MBD 和△NCD 中，BMD CND B C BD CD ÐÐìïÐÐíïî＝＝＝，∴△MBD ≌△NCD （AAS ），BM=CN ，DM=DN ．在△EMD 和△FND 中，EMD FND DM DNMDE NDF ÐÐìïíïÐÐî＝＝＝，∴△EMD ≌△FND （ASA ）∴EM=FN，∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=12BC=2.2．如图，点P（3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分线OC上，AP⊥BP，点A在x轴正半轴上，点B在y 轴正半轴上．(1)求点P的坐标．(2)当∠APB绕点P旋转时，①OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．②请求出OA2+OB2的最小值．【答案】(1)P（2，2）；(2)①不变，定值为4；②OA2+OB2的最小值为8．【解析】(1)解：∵点P（3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分线OC上，∴3m-1=-2m+4，∴m=1，∴P（2，2）；(2)①过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N．∵∠PMO=∠PNO=∠MON=90°，∴四边形OMPN是矩形，∵OP平分∠MON，PM⊥OM，PN⊥ON，∴PM=PN，∴四边形OMPN是正方形，∵P（2，2），∴PM=PN=OM=ON=2，∵AP⊥BP，∴∠APB=∠MPN=90°，∴∠MPB+∠BPN=∠BPN+∠NPA=90°，∴∠MPB=∠NPA，在△PMB和△PNA中，MPB NPAPM PNPMB PNAÐ=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△PMB≌△PNA（ASA），∴BM=AN，∴OB +OA =OM -BM +ON +AN =2OM =4．②连接AB ，∵∠AOB =90°，∴OA 2+OB 2=AB 2．∵∠BPA =90°，∴AB 2=PA 2+PB 2=2PA 2，∴OA 2+OB 2=2PA 2，当PA 最小时，OA 2+OB 2也最小．根据垂线段最短原理，PA 最小值为2．∴OA 2+OB 2的最小值为8．3．一位同学拿了两块45°三角尺MNK D ，ACB D 做了一个探究活动：将MNK D 的直角顶点M 放在ACB D 的斜边AB 的中点处，设4AC BC ==.（1）如图1所示，两三角尺的重叠部分为ACM D ，则重叠部分的面积为______，周长为______.（2）将如图1所示中的MNK D 绕顶点M 逆时针旋转45°，得到如图2所示，此时重叠部分的面积为______，周长为______.（3）如果将MNK D 绕M 旋转到不同于如图1所示和如图2所示的图形，如图3所示，请你猜想此时重叠部分的面积为______.【答案】（1）4，4+；（2）4，8；（3）4；（4）4+【详解】解：()14AC BC Q ==，90ACB Ð=o ，AB \===M Q 是AB 的中点，AM \=，45ACM Ð=o Q ，AM MC \=，\4=，\周长为：44AM MC AC ++=++=+4，4+；()2Q 重叠部分是正方形，\边长为1422´=，面积为14444´´=，周长为248´=．故答案为4，8．()3过点M 分别作AC 、BC 的垂线MH 、ME ，垂足为H 、E ，M Q 是ABC V 斜边AB 的中点，4AC BC ==，12MH BC \=，12ME AC =，MH ME \=，又90NMK HME ÐÐ==o Q ，90NMH HMK ÐÐ\+=o ，90EMG HMK o ÐÐ+=，HMD EMG ÐÐ\=，在MHD V 和MEG V 中，HMD GME MH ME DHM MEG Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，MHD V \≌()MEG ASA V ，\阴影部分的面积等于正方形CEMH 的面积，Q 正方形CEMH 的面积是1144422ME MH ×=´´´=；\阴影部分的面积是4；故答案为4．()4如图所示， 过点M 作ME BC ^于点E ，MH AC ^于点H ，\四边形MECH 是矩形， MH CE \=，45A Ð=o Q ， 45AMH Ð\=o ， AH MH \=，AH CE \=，在Rt DHM V 和Rt GEM V中，DMH EMG MH MEDHM GEM Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，Rt DHM \V ≌.Rt GEM V GE DH \=， AH DH CE GE \-=-， CG AD \=，1AD =Q ， 1.DH \=DM \==．\四边形DMGC 的周长为：CE CD DM ME +++ 2AD CD DM =++4=+．4．如图所示，ABC D 为等边三角形，边长为4，点O 为BC 边中点，120EOF Ð=°，其两边分别交AB 和CA 的延长线于E ，F ，求AE AF -的值.【答案】6【详解】过点O 作OD ∥AB 交AC 于点D ，∴∠CDO=∠A=∠ACB=∠ABC=60°，∴∠DOC=60°，∠ADO=∠BOD=120°．∴△CDO 是等边三角形，∴DO=CO ，∴DO=BO=AD ．∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC ．∠CAB=∠ABC=∠C=60°，∴∠OBE=120°，∴∠ODF=∠OBE ．∵∠FOB+∠BOE=∠EOF=120°，∠DOF+∠FOB=∠BOD=120°∴∠FOD=∠EOB ．在△DOF 和△BOE 中，ODF OBE DO BO FOD EOB ÐÐìïíïÐÐî＝＝＝，∴△DOF ≌△BOE （ASA ）．∴FC=EB ．OF=OE ．∵AE=AB+BE ，∴AE=AB+DF ，∴AE=AB+AD+AF ，∴AE-AF=AB+AD ．∵AB+AD=32AB ，∴AE-AF=32AB ．∵AB=4，∴AE-AF=6.。

初中数学经典几何模型专题06 对角互补模型在三角形中应用【专题说明】对角互补模型证明全等三角形，其辅助线的添加非常灵活，尤其是很多全等证明的题目经常和旋转综合考察，作为初二数学中的压轴题型。

我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，希望各位同学能从中收益。

【知识总结】 一、双等边类型△BCD ≌△ACE△ABD ≌△ACE△BOE ∽△COF二、双等腰直角类型△BCD ≌△ACE△BCE ≌△DCF△ABD ∽△ACECEC O EDCABO GFED CBA ED CB A【类型】一、全等型—60º和120º如图，已知∠A O B＝2∠DCE＝120º，O C平分∠A O B.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②O D＋O E＝O C.【类型】二、全等型—90º如图，已知∠A O B＝∠DCE＝90º，O C平分∠A O B.则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②O D＋O E＝O C，③.如图，已知∠DCE的一边与A O的延长线交于点D，∠A O B＝∠DCE＝90º，O C平分∠A O B则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②O E－O D＝O C.【类型】三、全等型—和如图，已知∠A O B＝，∠DCE＝，O C平分∠A O B.则可以得到以下结论：①CD＝CE，②O D＋O E＝2O C·c o s.【类型】四、相似型—90º如图，已知∠A O B＝∠DCE＝90º，∠B O C＝.结论：CE＝CD·.【基础训练】【类型】一、一般情况基本条件:△ABC∽△EDC，连接AE、BD后,有△AEC∽△BDC，相似比为AC边与BC边之比。

可见,上面几种有图形中有全等情况出现，只因图形中有边长相等。

1、(直接用双子)如图，直角坐标系中，点A的坐标为(1,0),以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB,点C 为x正半轴上一动点(OC＞1),连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA交y轴于点E．(1)△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；(2)着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，说明理由．2、如图,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠BAC ＝∠DAE ＝90°,AB ＝AC ＝2，O 为AC 中点，若点D 在直线BC 上运动，连接OE ，则在点D 运动过程中，线段OE 的最小值是为（ ） A ．12 B ．22 C ．1 D ．23、如图1，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°,cosC ＝56,点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，连接DE ，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为θ．当0°≤θ＜360°时, AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（图1） （图2）【类型】二、旋转构造双子型此类图的特点在于图形的不完整。

对角互补模型2、全等型一12003、相似型一90°为例条件：ZAOB = ZDCE = 90°模型方法一方法二方法三例题：1.如图，在四边形ABCD 中，A8 = A3,NB4O = N8C £) = 90。

，连接AC,若AC=6,则四边形ABCD 的面积为4如图，在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点。

，正方形外有一点E,使/AED = 90° ,且DE=3, OE=47I,贝I JAE 二2如图，已知AABC 是等边三角形，以AC 为边在AABC 外作AACD,ADC=90° ,点E 是BC 的中点，连接DE ,若AB=4,贝ij DE 的长为其中 AD = CD, Z C)的两直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于点M 、N.若正方形ABCD 的变长为a,则重叠部分四边形EMCN 的面积为(5 .如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B,直角顶点P在射线AC 上移动，另一边交DC于Q.(1)如图1,当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；(2)如图2,当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你6已知点P是/MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A ,将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B ,且使N APB+ N MON=180°.图1 图2 图3(1 )利用图1 ,求证：PA = PB ; / /' \(2 )如图2 ,若点C是与0P的交点,当二35,3时，求pc与PB的比值;(3 )若/MON = 60° , 0B = 2，射线AP交ON于点Q，且满足且,请借助图3补全图形，并求°F的长.7综合与实践Q I i X J I 问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“全等等腰直角三角形纸片的图形变换”为主题开展数学活动。

对角互补模型综合应用1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE+FD．【解答】证明：延长CB至M，使BM＝FD，连接AM，如图所示：∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABM+∠ABC＝180°，∴∠ABM＝∠D，在△ABM与△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF＝AM，∠BAM＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD＝∠F AE，∴∠BAM+∠BAE＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF，在△AME与△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS），∴EF＝ME，∵ME＝BE+BM，∴EF＝BE+FD．2．如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD．【解答】证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．在△AEG和△AEF中，，∴△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．3．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．【解答】证明：（1）如图1，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴AG＝AF，∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．又AE＝AE，易证△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．证明：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，∴∠1＝∠D，在△ABM与△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF＝AM，∠2＝∠3．∵∠EAF＝∠BAD，∴∠2+∠4＝∠BAD＝∠EAF．∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF．在△AME与△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS）．∴EF＝ME，即EF＝BE+BM．∴EF＝BE+DF．（3）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG与△ADF中，，∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，易证△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．4．（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45°．直接写出BE、DF、EF之间的数量关系；（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC，CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE+DF；（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF＝∠BAD，则结论EF＝BE+DF是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．【解答】解：（1）EF＝BE+DF；如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF′＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AEF′中，，∴EF＝EF′，又EF′＝BE+BF′＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（2）延长CB到G，使BG＝FD，连接AG，∵∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAE，∴△AEF≌△AEG（SAS），∴EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF．（3）结论不成立，应为EF＝BE﹣DF，证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．5．（1）方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF．将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，易证△GAF≌△EAF，从而得到结论：DE+BF＝EF．根据这个结论，若CD＝6，DE＝2，求EF的长．（2）方法迁移：如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，证明你的结论．（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．【解答】解：（1）方法感悟：∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴GB＝DE＝2，∵△GAF≌△EAF∴GF＝EF，∵CD＝6，DE＝2∴CE＝4，∵EF2＝CF2+CE2，∴EF2＝（8﹣EF）2+16，∴EF＝5；（2）方法迁移：DE+BF＝EF，理由如下：如图②，将△ADE绕点A顺时针旋转角度为∠BAD的度数，得到△ABH，由旋转可得，AH＝AE，BH＝DE，∠1＝∠2，∠D＝∠ABH，∵∠EAF＝∠DAB，∴∠HAF＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD，∴∠HAF＝∠EAF，∵∠ABH+∠ABF＝∠D+∠ABF＝180°，∴点H、B、F三点共线，在△AEF和△AHF中，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝HF，∵HF＝BH+BF，∴EF＝DE+BF．（3）问题拓展：EF＝BE﹣FD，理由如下：在BC上截取BH＝DF，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，且AB＝AD，BH＝DF，∴△ABH≌△ADF（SAS）∴∠BAH＝∠DAF，AH＝AF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAE+∠BAH＝∠BAD，∴∠HAE＝∠BAD＝∠EAF，且AE＝AE，AH＝AF，∴△HAE≌△F AE（SAS）∴HE＝EF，∴EF＝HE＝BE﹣BH＝BE﹣DF．6．（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是；则中线AD的取值范围是；（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，此时：BE+CF EF（填“＞”或“＝”或“＜”）；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作∠ECF＝70°，边CE，CF分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，此时：BE+DF EF （填“＞”或“＝”或“＜“）；（4）若在图③的四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB ＝CD，且（3）中的结论仍然成立，则∠BCD＝（用含α的代数式表示）.【解答】解：（1）在△ADC与△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝3，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即2＜AE＜8，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4，故答案为：2＜AE＜8；1＜AD＜4；（2）如图，延长FD至点G，使DG＝DF，连接BG，EG，∵点D是BC的中点，∴DB＝DC，∵∠BDG＝∠CDF，DG＝DF，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝CF，∵ED⊥FD，FD＝GD，∴EF＝EG，在△BEG中，BE+BG＞EG，∴BE+CF＞EF，故答案为：＞；（3）BE+DF＝EF，如图，延长AB至点G，使BG＝DF，连接CG，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBG＝180°，∴∠CBG＝∠D，又∵CB＝CD，BG＝DF，∴△CBG≌△CDF（SAS），∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠DCF+∠BCE＝70°，∴∠BCE+∠BCG＝70°，∴∠ECG＝∠ECF＝70°，又∵CE＝CE，CG＝CF，∴△ECG≌△ECF（SAS），∴EG＝EF，∵BE+BG＝EG，∴BE+DF＝EF，故答案为：＝；（4）由（3）同理可得△CBG≌△CDF，∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，若BE+DF＝EF，则EG＝EF，∴△ECF≌△ECG（SSS），∴∠ECG＝∠ECF，∴∠BCD＝2∠ECF＝2α，故答案为：2α．7．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，连结DA、DB、DC，且∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+BDC＝180°，则∠ABD+∠ACD＝180°，因为∠ACD+∠ACE＝180°可证∠ABD＝∠ACE，易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是；【拓展延伸】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知30°所对直角边等于斜边一半，则PQ的长为cm．（结果无需化简）【解答】解：（1）如图1，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠BDC＝120°，∴∠BAC+BDC＝180°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∵∠ACD+∠ACE＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝DE，∴DA＝DE＝DC+CE＝DB+DC；故答案为：DA＝DB+DC；（2）DA＝DB+DC，理由如下：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∵∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，CE＝BD，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴DA2+AE2＝DE2，∴2DA2＝（DB+DC）2，∴DA＝DB+DC；（3）如图3，连接PQ，∵MN＝2cm，∠QMN＝30°，∴QN＝MN＝1cm，∴MQ＝＝（cm），由（2）可得：PQ＝QM+QN，解得：PQ＝cm，故答案为：．8．如图，点P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分线OC上，AP⊥BP，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．（1）求点P的坐标．（2）当∠APB绕点P旋转时，①OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．②请求出OA2+OB2的最小值．【解答】解：（1）∵点P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分线OC上，∴3m﹣1＝﹣2m+4，∴m＝1，∴P（2，2）；（2）①不变．过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N．∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，PM＝PN＝2，∴四边形QMPN是正方形，∴∠MPN＝90°＝∠APB，∴∠MPB＝∠NP A．在△PMB和△PNA中，，∴△PMB≌△PNA（ASA），∴BM＝AN，∴OB+OA＝OM﹣BM+ON+AN＝2OM＝4，②连接AB，∵∠AOB＝90°，∴OA2+OB2＝AB2，∵∠BP A＝90°，∴AB2＝P A2+PB2＝2P A2，∴OA2+OB2＝2P A2，当P A最小时，OA2+OB2也最小．根据垂线段最短原理，P A最小值为2，∴OA2+OB2的最小值为8．。

专题04 对角互补模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.对角互补模型（全等模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。

常见含90°、120°（60°）及任意角度的三种对角互补类型。

该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等. 【常见模型及结论】1）全等型—60º和120º：如图1，已知∠AOB ＝2∠DCE ＝120º，OC 平分∠AOB . 则可得到如下几个结论：∠CD ＝CE ，∠OD ＋OE ＝OC ，∠234COD COESSOC +=. 2）全等型—90º：如图2，已知∠AOB ＝∠DCE ＝90º，OC 平分∠AOB .则可以得到如下几个结论：∠CD ＝CE ，∠OD ＋OE ＝OC ，∠212ODCE OCD COE S S S OC =+=.3）全等型—2α和1802α︒-：如图3，已知∠AOB ＝2α，∠DCE ＝1802α︒-，OC 平分∠AOB .则可以得到以下结论：∠CD ＝CE ，∠OD ＋OE ＝2OC ·cos ，∠2sin cos OCDCOESSOC αα+=⋅⋅.1．（2021·贵州黔东南·中考真题）在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ．（探究发现）（1）如图①，若∠BAD ＝120︒，∠ABC ＝∠ADC ＝90︒．求证：AD ＋AB ＝AC ； （拓展迁移）（2）如图②，若∠BAD ＝120︒，∠ABC ＋∠ADC ＝180︒．①猜想AB 、AD 、AC 三条线段的数量关系，并说明理由；②若AC ＝10，求四边形ABCD 的面积． 【答案】（1）见解析；（2）①AD ＋AB ＝AC ，见解析；②253【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠DAC ＝∠BAC ＝60o ，然后根据直角三角形中30o 是斜边的一半即可写出数量关系；（2）①根据第一问中的思路，过点C 分别作CE ∠AD 于E ，CF ∠AB 于F ，构造AAS 证明∠CFB ≅∠CED ，根据全等的性质得到FB ＝DE ，结合第一问结论即可写出数量关系；②根据题意应用60o 的正弦值求得CE 的长，然后根据()111222ABCD S AD CE AB CF AD AB CE ⨯⨯⨯四边形＝＋＝＋的数量关系即可求解四边形ABCD 的面积．【详解】（1）证明：∠AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝120o ，∠∠DAC ＝∠BAC ＝60o ， ∠∠ADC ＝∠ABC ＝90o ，，∠∠ACD ＝∠ACB ＝30o ，∠AD ＝1122AC AB AC ，＝．∠AD ＋AB ＝AC ，（2）①AD ＋AB ＝AC ，理由：过点C 分别作CE ∠AD 于E ，CF ∠AB 于F ．∠AC 平分∠BAD ，∠CF ＝CE ，∠∠ABC ＋∠ADC ＝180o ，∠EDC ＋∠ADC ＝180o ，∠∠FBC ＝∠EDC ，又∠CFB ＝∠CED ＝90o ，∠∠CFB ≅∠CED()AAS ，∠FB ＝DE ，∠AD ＋AB ＝AD ＋FB ＋AF ＝AD ＋DE ＋AF ＝AE ＋AF ，在四边形AFCE 中，由∠题知：AE ＋AF ＝AC ，∠AD ＋AB ＝AC ； ②在Rt ∠ACE 中，∠AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝120o ∠∠DAC ＝∠BAC ＝60o ，又∠AC ＝10，∠CE ＝A sin 10sin 6053o DAC ∠＝＝，∠CF ＝CE ，AD ＋AB ＝AC ，∠()111222ABCD SAD CE AB CF AD AB CE ⨯⨯⨯四边形＝＋＝＋＝11105325322AC CE ⨯⨯⨯＝＝． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨认出本题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线．2．（2022·广东深圳·一模）【问题提出】如图1，在四边形ABCD 中，AD CD =，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，1BC =，求四边形ABCD 的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD ，由于AD CD =，所以可将DCB 绕点D 顺时针方向旋转60︒，得到'DAB △，则'BDB △的形状是．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD 的面积．（3）如图3，等边ABC 的边长为2，BDC 是顶角为120BDC ∠=︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的角，角的两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN 的周长．【答案】（1）等边三角形；（2）934；（3）4【分析】（1）由旋转的性质得出'BD DB=，'60BDB ∠=︒，所以'BDB △是等边三角形； （2）求出等边三角形的边长为3，求出三角形'BDB 的面积即可； （3）将BDM 绕点D 顺时针方向旋转120︒，得到DCP ，则BDM CDP ≅△△，得出MD PD =，MBD DCP ∠=∠，MDB PDC ∠=∠，证明NMD NPD ≅△△，证得AMN 的周长4AB AC =+=．【详解】解：（1）∠将DCB 绕点D 顺时针方向旋转60︒，得到'DAB △， ∠DCB ∠'DAB △， ∠'BD B D =，'60BDB∠=︒， ∠'BDB △是等边三角形； 故答案为：等边三角形； （2）过B ′作B ′E ∠BD 于E ，由（1）知，'BCDB AD △≌△， ∠'1BC AB ==，∠''213BB AB AB =+=+=， 由（1）知△B′BD 为等边三角形， ∠∠B′BE =60°，BD ='3BB =,∠四边形ABCD 的面积＝三角形BCD 面积+三角形ACD 面积=三角形B ′AD 面积+三角形ACD 面积=等边三角形'BDB 的面积， ∠BE =B′B sin60°=3333=22⨯， ∠'13393322124BDB ABCD SSBD B E ⨯⨯'====⋅△四边形；（3）解：将BDM 绕点D 顺时针方向旋转120︒，得到DCP ，∠BDM CDP ≅△△，∠MDPD =，CP BM =，MBD DCP ∠=∠，MDB PDC ∠=∠， ∠BDC 是等腰三角形，且120BDC ∠=︒， ∠BD CD =，30DBC DCB ∠=∠=︒， 又∠ABC 等边三角形， ∠60ABC ACB ∠=∠=︒，∠90MBD ACB DBC ∠=∠+∠=︒， 同理可得90NCD ∠=︒，∠90PCD NCD MBD ∠=∠=∠=︒， ∠90DCN NCP ∠+∠=︒， ∠N ，C ，P 三点共线，∠60MDN ∠=︒， ∠=1206060PDC NDC MDB NDC BDC MDN ∠+∠=∠+∠=∠-∠︒-︒=︒， 即60MDN PDN ∠=∠=︒，在NMD △和NPD 中，MD PDMDN PDN DN DN =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∠()NMD NPD SAS ≅△△， ∠MN PN NC CP NC BM ==+=+，∠AMN 的周长224AM AN MN AM AN NC BM AB AC =++=+++=+=+=． 故AMN 的周长为4．【点睛】本题考查三角形全等变换，等边三角形判定，四边形面积转化为三角形面积，图形旋转，直角三角形判定，三点共线，三角形的周长转化为两边之和，特殊角锐角三角函数，掌握三角形全等变换，等边三角形判定，四边形面积转化为三角形面积，图形旋转，直角三角形判定，三点共线，三角形的周长转化为两边之和，特别是利用图形旋转进行图形的转化特殊角锐角三角函数，是解题关键． 3．（2022·河南安阳·二模）【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度大小进行比较，直观地得到线段之间的数量关系，这是“数形结合”思想的典型应用．【理解】（1）如图1，120MAN ∠=︒，AC 平分,,MAN CD AM CB AN ∠⊥⊥，求证：AB AD AC +=．【拓展】（2）如图2，其他条件不变，将图1中的DCB ∠绕点C 逆时针旋转，CD 交MA 的延长线于点D ，CB 交射线AN 于点B ，写出线段AD ，AB ，AC 之间的数量关系，并就图2的情形说明理由．【应用】（3）如图3，ABC 为等边三角形，4AB =，P 为BC 边的中点，120MPN ∠=︒，将MPN ∠绕点P 转动使射线PM 交直线AC 于点M ，射线PN 交直线AB 于点N ，当8AM =时，请直接写出AN 的长．【答案】（1）见解析；（2）AB AD AC -=，理由见解析；（3）【分析】（1）根据角平分线的性质以及含30度角的直角三角形的性质，即可得证； （2）过点C 分别作,AM AN 的垂线,CE CF ，垂足分别为E 、F ，根据三角形的外角以及对顶角的性质，证明EDC FBC ∠=∠，然后证明CED CFB ≌△△，由ED FB =，可得,AE ED AD AF AB FB =-=-，AE AF AC +=即可得证；（3）分M 在AN 的上方和下方两种情形讨论，①过点P 分别作,AM AN 的垂线,PE PF ，根据（2）的结论可得PEM PFN ≌，根据含30度角的直角三角形的性质，求得CE 的长，进而可得AE 的长，根据AN AF FN AF EM AF AE AM =+=+=++即可求解，②同①方法求解，根据AN FN AF EM AF =-=-即可求解．【详解】（1） AC 平分,,MAN CD AM CB AN ∠⊥⊥，120MAN ∠=︒，DA AB ∴=，60DAC BAC ∠=∠=︒，30DCA BCA ∠=∠=︒，12DA AB AC ∴==，∴AB AD AC +=；（2）AB AD AC -=，理由如下，如图，过点C 分别作,AM AN 的垂线,CE CF ，垂足分别为E 、F ，由（1）可得AE AF AC +=，CE CF =，DCB ∠绕点C 逆时针旋转，60DCB ∴∠=︒，120MAN ∠=︒，60BAD =∴∠︒， BAD CDA DCB ABC ∠+∠=∠+∠， CDA ABC ∴∠=∠，即EDC FBC ∠=∠， 90CED CFB ∠=∠=︒，CE CF =， CED CFB ∴≌，ED FB ∴=，,AE ED AD AF AB FB =-=-，AE AF ED AD AB FB AB AD ∴+=-+-=-，又AE AF AC +=，AB AD AC ∴-=；（3）①如图，当M 在AB 下方时，过点P 分别作,AM AN 的垂线,PE PF ，垂足分别为E 、F ，P是BC 的中点，ABC 是等边三角形，AP ∴平分CAB ∠，∠B =∠C =60°，PE PF ∴=，由（2）可得PEM PFN ≌，EM FN ∴=，4AB =，11222CP BC AB ∴===，∠∠EPC =∠FPB =90°-60°=30°，1CE FB ∴==，3AE AF ∴==，8AM =，33814AN AF FN AF EM AF AE AM ∴=+=+=++=++=，②如图，当M 在AB 上方时，过点C 分别作,AM AN 的垂线,PE PF ，垂足分别为E 、F ，同理可得EM FN =8332AN FN AF EM AF =-=-=--=．综上所述，AN 的长为14或2．【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，作两垂线证明三角形全等是解题的关键．模型2.对角互补模型（相似模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。