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特殊三角形学生姓名授课日期教师姓名授课时长特殊三角形包括等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形，一些特殊角的三角形，知道等腰和等边三角形的性质和判定，等边三角形的性质，会画黄金三角形等等。
知识梳理11等边三角形的概念和性质：有一个角为60度等腰三角形，等边三角形三边相等，三角相等2等腰三角形：两个角相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形两地角相等，两边相等，底边上的中线，高线垂线三线合一。
知识梳理2黄金三角形定义：是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值；对应的还有：黄金矩形之类，正是因为其腰与边的比为(√5-1)/2.约为0.618而获得了此名称。
黄金三角形的画法:1、作正方形ABCD2、取AB的中点N3、以点N为圆心NC为半径作圆交AB延长线于E4、以B为圆心BE长为半径作⊙B5、以A为圆心AB长为半径作⊙A交⊙B于M则△ABM为黄金三角形。
(如下图)黄金三角形的分类黄金三角形有2种：等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°；这种三角形既美观又标准。
这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：(√5-1)/2.等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这样的三角形的一腰与底之长之比为黄金比：(√5-1)/2.黄金三角形的特征编辑黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为36°，每个底角为72°.它的腰与它的底成黄金比．当底角被平分时，角平分线分对边也成黄金比，并形成两个较小的等腰三角形．这两三角形之一相似于原三角形，而另一三角形可用于产生螺旋形曲线．黄金三角形的一个几何特征是：它是唯一一种能够由5个全等的小三角形生成其相似三角形的三角形。
【试题来源】【题目】等边ABC ∆的周长等于21㎝，求：（1）各边的长；（2）各角的度数。
【试题来源】【题目】如图，已知ABC ∆是等边三角形，点D 是AC 边上一动点，BDE ∆是等边三角形，连接AE ．求证：DBC EBA ∆∆≅．【试题来源】【题目】 等边三角形的对称轴有（ ）（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条.【试题来源】 A B C【题目】如图所示，ABC ∆是等边三角形，D 是BC 边上一点，CDE ∆也是等边三角形，试说明线段AD 与BE 的大小关系．【试题来源】【题目】.如图1，点C 将线段AB 分成两．部分，如果AC BC AB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点． 某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点（如图2），则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF CE ∥，交AC 于点F ，连接EF （如图3），则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线．请你画一条ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边黄金分割点．【试题来源】 【题目】如图1，已知线段AB ，点C 在AB 上，且有AC BC AB AC=，则AC AB 的数值为______；若AB 的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在_____位置最好．【试题来源】Ｃ Ｂ 图1 D 图2 C A D 图3 C F E E 图4（第27题图）【题目】（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．（1）操作：请你在如图2所示的黄金矩形()>中，以短边AD为一边作正方形AEFD；ABCD AB AD（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）．【试题来源】【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=36°，作∠C的平分线CD，交AB于D，求图中有个等腰三角形；并写出图中一对相似三角形。
1A R Q学科教师辅导讲义教学过程 一：选择题1.等腰三角形底边长为，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为.则腰长为 。
2、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为（ ）A 、50°B 、130° Ｃ、50°或130° Ｄ、55°或130°3、如图，△ABC 中，AB=AC ，过AC 上一点作DE ⊥AC ，EF ⊥BC ，若∠BDE=140°，则∠DEF=（ ）（A ）55° （B ）60° （C ）65° （D ）70°BADC FEB 'BCA '（第3题） （第4题） （第5题）4、如图，在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=3：5：10，又△A ′B ′C•′≌△ABC ，则∠BCA ′：∠BCB ′等于（ ）A 、1：2 （B ）1：3 （C ）2：3 （D ）1：45、如图，CD 是ABC Rt ∆斜边AB 上的高，将∆BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A等于（ ）A 、25B 、30C 、45D 、60 6、下列能断定△ABC 为等腰三角形的是（ ）A 、∠A=30º、∠B=60ºB 、∠A=50º、∠B=80ºC 、AB=AC=2，BC=4D 、AB=3、BC=7，周长为137、正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得⊿PAB 、⊿PBC 、⊿PCA 都是等腰三角形，则这样的P点有（ ）A 、1个B 、4个C 、7个 C 、10个1、如图，在△ABC 中， P 是的BC 边上一点，过点P 作BC 的垂线，交AB 于点Q ，交CA 的延2长线于点R ，若AQ=AR ，则△ABC 是等腰三角形吗？请说明理由。
2、如图所示，△ABC 中，∠ABC=100°，AM=AN ，CN=CP ，求∠MNP 的度数．ACMPN3、如图所示，已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 是∠A 的平分线． 求证：AC+CD=AB ．.cBAD C4、如图所示：∠ABC 的平分线BF 与△ABC 中∠ACB•的相邻外角的平分线CF 相交于点F ，过F 作DF ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，则：①图中有几个等腰三角形？为什么？②BD ，CE ，DE 之间存在着什么关系？请证明．B A DCFE5．如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，E 在AC 上，且AD=AE ，DE 的延长线与BC 相交于F ，试求∠DFC 的度数．BCAED F6.如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，点D 是BC 边上的任意点，DE ⊥AB 于E 点，DF ⊥AC 于F 点，则DE+DF= .CB37、如图，线段OD 的一个端点O 在直线a 上，以OD 为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a 上，这样的等腰三角形能画多少个?（用直尺与．．．．圆规找出相应的等腰三角形．．．．．．．．．．．．）8、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？9、按下面的方法折纸，然后思考问题：连结AF ，你知道∆AEF 是什么三角形吗？请说明理由。
等腰三角形的性质课件课件一、教学内容本节课的教学内容来自于人教版小学数学四年级下册第98页至第100页，第四章第二节“等腰三角形的性质”。
这部分内容主要介绍等腰三角形的定义、性质以及等腰三角形与其他三角形之间的区别。
具体内容包括：等腰三角形的定义，等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形的底边中线垂直平分底边等。
二、教学目标1. 让学生掌握等腰三角形的定义及其性质。
2. 培养学生观察、分析、归纳的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3. 培养学生合作学习、积极探究的精神，提高学生的团队协作能力。
三、教学难点与重点重点：等腰三角形的性质及其应用。
难点：等腰三角形底边中线性质的理解和运用。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔、三角板、尺子。
学具：学生用书、练习本、彩笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：上课之初，教师拿出两块完全一样的三角板，让学生观察并提问：“你们能找出这两块三角板之间的相同点和不同点吗？”学生经过观察可以发现，这两块三角板的形状、大小完全一样，但一块三角板的底边比另一块长。
教师引导学生思考：“如果把这两块三角板拼在一起，会形成一个什么图形呢？”学生回答：“会形成一个四边形。
”教师继续提问：“这个四边形的两腰是否相等？为什么？”学生通过观察和思考，可以得出结论：这个四边形的两腰相等，因为三角板完全一样，所以拼在一起后的四边形的两腰就是三角板的底边，底边相等。
2. 等腰三角形的定义：3. 等腰三角形的性质：教师提问：“等腰三角形有哪些性质呢？”学生回答：“等腰三角形的两腰相等，底角相等。
”教师引导学生通过观察、测量、画图等方法验证等腰三角形的性质。
学生通过实践可以发现，在等腰三角形中，底角相等，腰长相等。
4. 例题讲解：教师出示例题：“已知一个等腰三角形的一个底角是30度，求这个等腰三角形的另一个底角。
”学生通过画图、思考、讨论，可以得出结论：这个等腰三角形的另一个底角也是30度。
5. 随堂练习：教师出示随堂练习题，让学生独立完成：“已知一个等腰三角形的底边长为8厘米，腰长为5厘米，求这个等腰三角形的面积。
等腰？
知识互联网
满分晋级
漫画释义
4
特殊三角形之 等腰三角形
三角形5级 全等中的 基本模型
三角形6级 特殊三角形之 等腰三角形 三角形7级 倍长中线与 截长补短
暑期班 第二讲
暑期班 第四讲
秋季班 第二讲
知识导航
模块一 等腰三角形
【例1】 ⑴ 如图，ABC △中，AC AD BD ==，80DAC ∠=︒，
则B ∠的度数是（ ）
A ．40︒
B ．35︒
C ．25︒
D ．20︒
⑵ ABC △的一个内角的大小是40︒，且A B ∠=∠，那么C ∠的外角的大小是
( )
A ．140︒
B ．80︒或100︒
C ． 100︒或140︒
D ． 80︒或140︒
⑶如图，ABC △内有一点D ，且D A D B D C ==，若20DAB ∠=︒，30DAC ∠=︒，则BDC ∠的大小是（ ） A.100︒ B.80︒ C.70︒ D.50︒
【例2】 ⑴等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个
等腰三角形的底边的长为（ ）
A ．17cm
B ．5cm
C ．17cm 或5cm
D ．无法确定 ⑵如图，在△ABA 1中，∠B =20°，AB =A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2=A 1C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3=A 2D ；…，按此做法进行下去，∠A n 的度数
为_________．
【例3】 如图1，AB AC =，BD 、CD 分别平分ABC ∠、ACB ∠．问：
⑴ 图1中有几个等腰三角形？
⑵ 过D 点作EF ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，如图2，图中又增加了几个等腰三角形?
⑶ 如图3，若将题中的ABC △改为不等边三角形，其它条件不变，图中有几个等腰三角形? 线段EF 与BE 、CF 有什么关系?
⑷ 如图4，BD 平分ABC ∠，CD 平分外角ACG ∠.DE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ．线段EF 与BE 、CF 有什么关系?
夯实基础
能力提升
D
C
B A
D C
B A
A n
A 4
A 3A 2A 1E D
C A B
⑸ 如图5，BD 、CD 为外角CBM ∠、BCN ∠的平分线，DE ∥BC 交AB 延长线于E ，交AC 延长线于F ，线段EF 与BE 、CF 有什么关系?
图1
D
C
B
A
图2F E D
C
B
A
图3
F E D
C
B
A
图4
G F
D
C A E
B
图5
N
M
F
E
D C
B A
【例4】 如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长
线上的一点，且CE ＝CA ． ⑴求证：DE 平分∠BDC ； ⑵若点M 在DE 上，且DC=DM ，求证：ME=BD ．
E
模块二等边三角形
知识导航
夯实基础
【引例】下面给出的五种三角形：①所有外角都相等的三角形；②三边上的高都相等的三角形；③有两个角是60︒的三角形；④有一个角是60︒的等腰三角形；⑤以等边三角
形三边中点为顶点的三角形．其中是等边三角形的个数有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解析】D. 点拨：所给五个命题都可通过证明得到它们都是等边三角形．
【例5】 ⑴如下左图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 边上，且AD =CE ，BE 、
CD 交于P 点，则图中︒
60的角共有（ ）
A. 6个
B. 5个
C. 4个
D. 3个
⑵如下右图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当P A ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）
A.13
B.12
C.2
3 D.不能确定
【例6】 数学课上，李老师出示了如下框中的题目.
在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED =EC ，如图，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由.
E
D
C
B A
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： ⑴特殊情况，探索结论
当点E 为AB 的中点时，如图1确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：
AE DB （填“>”,“<”或“=”）.
F
D A
B
C
E
图2
图1
E
D C B
A
⑵特例启发，解答题目
解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE DB （填“>”,“<”或“=”）.理由
能力提升
P
E D
C
B
A Q
P
E
D
C
B
A
如下：如图2，过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F .（请你完成以下解答过程） ⑶拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =.若ABC △的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你直接写出结果）.
【例7】 MON ∠是一个钢架，10MON ∠=o ，在其内部添加一些钢管BC ，CD ，DE ，EF ，
FG ，…
添加的钢管长度都与OB 相等．
⑴当添加到第五根钢管时，求FGM ∠的度数．
⑵假设OM 、ON 足够长，能无限地添加下去吗?如果能，请说明理由．如果不能，则最多能添加几根?
D N
M
F
E
O C
B
G
探索创新
思维拓展训练(选讲)
训练1.若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25︒，则该三角形的一个底角为()
A．32.5︒B．57.5︒C．65︒或57.5︒D．32.5︒或57.5︒
训练2.已知ABC
∠.
=，求D C E
ACB
△中，90
∠=︒，点D、E在AB上，且AD AC
=，BE BC
训练3.已知等腰三角形的高与三角形一边的夹角为40，求三角形的三个内角．
训练4.已知如图，在正ABC
△所在平面上找点P使PAB
△同时为等腰
△、PCA
△、PBC
三角形，作出这些点．
A
B
知识模块一 等腰三角形 课后演练
【演练1】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为9和12两部分，求腰长和底边
长．
【演练2】 7cm AB =，:2:5BC AC =，如果ABC △恰好是等腰三角形，试求BC 、AC 的
值．
【演练3】 如图，在ABC △中，ABC ∠与ACB ∠的角平分线相交于点F ，过F
作DE BC ∥，交AB 于D ，交AC 于E ，若9B D C E +=，则线段DE 之长为 ．
知识模块二 等边三角形 课后演练
【演练4】 在ABC △中，如果只给出条件60A ∠=°，那么还不能判定ABC △是等边三角形，
给出下面四种说法：
① 如果再加上条件“AB AC =”，那么ABC △是等边三角形； ② 如果再加上条件“B C ∠=∠”，那么ABC △是等边三角形； ③ 如果再加上条件“D 是BC 的中点，且AD BC ⊥”，则ABC △是等边三角形； ④ 如果再加上条件“AB 、AC 边上的高相等”，那么ABC △是等边三角形． 其中正确的说法有 （把你认为正确的序全部填上）．
【演练5】 已知如图等腰△ABC ，AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥BC 于点D ，点P 是BA 延长
线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP =OC ，下面的结论：①∠APO +∠DCO =30°；
实战演练
F E D C
B
A
②△OPC 是等边三角形；③AC =AO +AP ；④S △ABC =S 四边形AOCP ．其中正确的有（ ）．
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③④
P
O
D
C B
A
第十五种品格：创新
将头脑打开一毫米
美国有一间生产牙膏的公司，产品优良，包装精美，深受广大消费者的喜爱，每年营业额蒸蒸日上．记录显示，前十年每年的营业增长率为10 20％，令董事部雀跃万分．不过，业绩进入第十一年，第十二年及第十三年时，则停滞下来，每个月维持同样的数字．董事部对此三年业绩表现感到不满，便召开全国经理级高层会议，以商讨对策．会议中，有名年轻经理站起来，扬了扬手中的一张纸对董事部说：“我有个建议，若您要使用我的建议，必须另付我5万元！”总裁听了很生气说：“我每个月都支付你薪水，另有红包奖励．现在叫你来开会讨论，你还要另外要求5万元．是否过分？”“总裁先生，请别误会．若我的建议行不通．您可以将它丢弃，一毛钱也不必付．”年轻的经理解释说．“好！”总裁接过那张纸后，阅毕，马上签了一张5万元支票给那年轻经理．那张纸上只写了一句话：将现有的牙膏开口扩大1mm．总裁马上下令更换新的包装．
试想，每天早上，每个消费者多用1mm的牙膏，每天牙膏的消费量将多出多少倍呢？这个决定，使该公司第十四年的营业额增加了32％．
好点子的身价是没有上限的，点子是所有财富的起点．
今天我学到了。
